Ганц цэгүүд гэж юу вэ? Лоран цувралын тусгаарлагдсан ганц цэгүүд ба тэдгээрийн ангилал. Бууруулах ба тэдгээрийг тооцоолох томъёо

Болъё zq нь /(r) функцийн онцгой цэг, t.s. f(z)гэхдээ энэ үед аналитик шинж чанартай байдаг (ялангуяа үүнийг тодорхойлоогүй байж болно). Цэгийн ийм цоорсон хөрш байгаа бол zq (өөрөөр хэлбэл O z - олонлог) zq f(z) нь aialitic, тэгвэл zoдуудсан тусгаарлагдсан ганц цэгфункцууд f(z).Энэ тодорхойлолт нь тохиолдолд ижил хэвээр байна zn = oo, хэрэв иодыг цэгийн ойролцоо цоолсон бол zq = oo ойлгох багц z> I - төв нь гарал үүсэлтэй тойргийн гадна тал. Өөрөөр хэлбэл, онцгой цэг Хэрэв энэ цэгийн хөрш зэргэлдээ байвал zq-г тусгаарлагдсан гэж үзнэ. zq. Дараах бүх зүйлд бид зөвхөн өвөрмөц тэмдэгтийн цорын ганц цэгүүдийг (функц f(z)хоёрдмол утгагүй гэж үздэг).

Функцийн зан төлөвөөс хамаарна f(z)цагт z -> zqГурван төрлийн ганц цэг байдаг. Тусгаарлагдсан ганц цэг zq функцууд f(z)гэж нэрлэдэг:

1) зөөврийн ганц цэг, хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол

2) туйл, хэрэв хязгаар байгаа бол

3) үндсэндээ онцгой цэг,Хэрэв f(z) нь хязгааргүй, төгсгөлгүй хязгааргүй z-> zq.

Жишээ 26.1. Гурван төрлийн цорын ганц цэг бүгд биелдэг гэдгийг харуулъя. Ингээд авч үзье е(z)= Цэг zq = 0 нь тусгаарлагдсан байна

Энэ функцийн онцгой цэг. Томъёог (22.12) ашиглан бид өргөтгөлийг олж авна

үүнээс лим байдаг гэсэн үг fi(z)= 1. Тиймээс zq = 0 байна

нь функцийн зөөврийн ганц цэг юм fi(z).

Чиг үүрэг f‘j(z) =---нэг цэг дээр тулгууртай zo= 1 учир нь

2 r"X

Одоо функцийг авч үзье )з(z)= e 1 ^ r ба үүнийг харуул zo = O нь энэ функцийн үндсэндээ онцгой цэг юм. Хичээж байхдаа zБодит тэнхлэгийн дагуу /z функцийн зүүн ба баруун хязгаарыг тэг болгох (z)ялгаатай: лим -тай 1 / 1 = 0, лим s 1 /* = os. Энэ нь,

x->0-0 x->0+O

Юу f:i(z) 2-т төгсгөлгүй, төгсгөлгүй хязгаар байхгүй -> Өө, тийм. zq = O нь энэ функцийн үндсэндээ ганц цэг юм. (Зохиол нь чиг хандлагатай байгааг анхаарна уу z - iyтөсөөллийн тэнхлэгийн функцын дагуу тэг рүү

ямар ч хязгаарлалт байхгүй.)

Мэдээжийн хэрэг, тусгаарлагдаагүй онцгой цэгүүд байдаг. Жишээлбэл. функц нь цэгүүд дээр туйлтай байдаг z n = -, П= ±1, ±2,...

Тиймээс, Zq = 0 нь энэ функцийн тусгаарлагдаагүй онцгой цэг юм: энэ цэгийн аль ч (жижиг байсан ч) ойролцоо бусад онцгой цэгүүд байдаг. g х.

Болъё зо-функцийн хязгаарлагдмал тусгаарлагдсан ганц цэг f(z).Дараа нь f(z) 0 Zo цэгийн зарим цоорсон хороололд ижил төстэй байна zoэнэ хөршийг дотоод радиустай цагираг гэж үзэж болно r = 0. Теорем 25.1-д харгалзан үзэж буй хөршдөө функц f(z) Laurent цуврал болгон өргөжүүлж болно (25.2). Бид 2 дахь функцын зан төлөвийг харуулах болно -> zq (өөрөөр хэлбэл ганц цэгийн төрөл zo)өргөтгөлийн үндсэн хэсгийн төрлөөс хамаарна (25.2); Энэ нөхцөл байдал нь "үндсэн хэсэг" гэсэн нэр томъёоны гарал үүслийг тайлбарлаж байна.

Теорем 2G.2. f(z) функцийн тусгаарлагдсан цорын ганц zo цэгийг зөвхөн энэ цэгийн цоорсон орчмын Лораповын өргөтгөл нь оидтой тохиолдолд авч болно.

тэдгээр. зөвхөн зөв хэсгээс бүрдэнэ, үндсэн хэсгийн бүх коэффициентүүд нь сумтай тэнцүү байна.

Баталгаа. 1. Болъё zo- зөөврийн ганц цэг. Лорентын функцийн өргөтгөл гэдгийг баталцгаая f(z)(26.1) хэлбэртэй байна. Онцгой цэгээс хойш zoзөөврийн, дараа нь хязгаарлагдмал хязгаар lim байна f(z) = A.Тиймээс, f(z) 0 z - zq цэгийн зарим цоорсон хороололд хүрээлэгдсэн байна зо,тэдгээр. )(z) хүн бүрт zэнэ орчмоос. Аль нэгийг нь авъя Р. U р /?|, Лоран цувралын коэффициентүүдийн хувьд (25.3) томъёог ашиглана:

Өргөтгөлийн үндсэн хэсгийн коэффициентүүдийн хувьд n =- 1,-2,... Ийм утгын хувьд Пбидэнд байгаа p~ х-e 0 цагт Р-> 0. утгаас хойш Рдур мэдэн жижиг сонгож болно, тэгвэл ноён~"хүссэн хэмжээгээрээ жижиг байж болно. оноос хойш |s t,| ^ Ноён ~ pба c„ p-ээс хамаарахгүй, тэгвэл c„ = 0 at Тэгээд= - 1, -2,..., үүнийг батлах шаардлагатай байсан.

2. Одоо Лоран тэлэлт (26.1) хэлбэртэй байна гэж үзье. Цуврал (26.1) нь хүчирхэг цуврал ба. тиймээс энэ нь зөвхөн цоорсон хэсэгт төдийгүй бүхэл бүтэн ойр орчимд нийлдэг z-zq цэгийг оруулаад zo;түүний хэмжээ S(z)үед аналитик юм z ба S(z) = )(z) 0 z-д - zoР.Тиймээс хязгаарлагдмал хязгаартай хязгаар байдаг )(z)= Pt 5(g) = 5(th) - Иймд ганц цэг zq

Z->Zo Z-*Zo

зөөврийн. Теорем нь батлагдсан.

Сэтгэгдэл. Теоремын нотолгооноос харахад зөөврийн ганц цэгийн цоорсон 0 z - zo орчимд функц гарч ирнэ. f(z)Энэ нь бүхэл бүтэн хөршийн аналитик 5(r) функцтэй давхцдаг z - zo. Тиймээс хэрэв бид /(th) = гэж тохируулбал S(zq), дараа нь функцийн утгыг өөрчлөхгүйгээр f(z)цоорсон хөршийн аль ч цэг дээр бид энэ функцийг Go-д аналитик болгоно, i.e. Онцлогыг "арилгацгаая". Энэ нь "зөөврийн функц" гэсэн нэр томъёог тайлбарладаг. Ийм цэгүүдийг функцийн ганц цэг биш харин тогтмол гэж үзэх нь зүйн хэрэг юм f(z).

Жишээлбэл, функцийг авч үзье

Жишээ 26.1-д Pm Nr) = 1. өөрөөр хэлбэл. онцгой цэг

zq = 0 зөөврийн. /i(0) = 1 гэж тохируулснаар бид онцгой байдлыг арилгаж, тухайн цэг дээр аналитик функцийг олж авна. zq = 0 (мөн С хавтгайд).

Одоо туйлуудыг Лорентын тэлэлтээр тодорхойлъё.

Теорем 26.3. f(z) функцийн тусгаарлагдсан ганц цэг Zo нь туйл болно, Zq төвтэй Лорант тэлэлтийн гол хэсэг нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны ялгаатай байх үед

n-тэй тэг коэффициентээс:

Баталгаа. 1. Болъё zq - туйл, өөрөөр хэлбэл. лим/( z) = oo.

Лорентын функцийн өргөтгөл гэдгийг баталцгаая f(z)(2G.2) хэлбэртэй байна. Лимээс хойш f(z)= oo. дараа нь цэгийн цоорсон хөрш байдаг

ки zq. тэнд f(z)нь аналитик бөгөөд тэг байхгүй. Дараа нь функц g(z) = 1 /f(z)Мөн энэ цоорсон хороололд аналитик байх болно, мөн лим g(z)= 0. Тиймээс, Зозөөврийн *-? *0

функцийн ганц цэг g(z).Тодорхойлъё g(z)цэг дээр zo, оруулах g(zo)= 0. Дараа нь g(z)(цоолсонгүй) цэгийн бүх хөршид аналитик болох болно z 0,болон z 0түүний тусгаарлагдсан тэг байх болно. -ээр тэмдэглэе Нэнэ тэгийн үржвэр (зэрэглэл). §23-т үзүүлсэнчлэн, цэгийн ойролцоо zq функц g(z)хэлбэрээр төлөөлж болно ((23.2)-ыг үзнэ үү)

болон (z$) f 0 ба y>(z)цэгийн зарим хөршид аналитик юм зо-Учир нь ip(z)нэг цэг дээр тасралтгүй zoТэгээд g>(zo) Ф 0" тэгвэл ip(z)Энэ цэгийн зарим хэсэгт тэг байхгүй. Тиймээс функц 1 /-p(z)Мөн энэ хөршид аналитик байх болно, тиймээс үүнийг Тейлорын цувралд дэлгэн үзүүлэв:

Хаалтуудыг нээж, коэффициентүүдийн тэмдэглэгээг өөрчилснөөр бид сүүлчийн өргөтгөлийг маягт дээр бичнэ.

хаана c_jv = 1>o f 0. Тиймээс /(r) функцийн Лорентын өргөтгөлийн гол хэсэг нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны нэр томъёог агуулдаг; Бид хүссэн тэгш байдалд хүрлээ (26.2).

2. Цоолбортой ойр орчмын цэгүүдийг оруулна thфункц )(z)Лорентын өргөтгөлөөр (26.2) төлөөлдөг (дэлгэрэнгүй хэлбэрийг (26.3)-аас үзнэ үү), үндсэн хэсэг нь зөвхөн хязгаарлагдмал тооны нэр томъёог агуулдаг ба -г" е 0. Үүнийг батлах шаардлагатай байна Zq - функциональ туйл f(z).Тэгш байдлыг (26.3)-аар үржүүлэх (Г - Г o) iV , бид функцийг авна

(26.4) дэх цуваа нь зөвхөн цоорсон цэгт төдийгүй цэгийн бүх орчимд аналитик функцэд нийлдэг хүчирхэг цуваа юм. Zq. Тиймээс функц h(z)тавих замаар цааш нь тодорхойлох юм бол энэ хөршид аналитик болно h(zo)= s_dg е 0. Дараа нь

Тиймээс th цэг нь туйл бөгөөд теорем 26.3 батлагдсан болно.

Тэг функцийн олон талт (захиалга). g(z)= 1//(r) гэж нэрлэдэг туйлын захиалга th функцууд /(r). Хэрэв N- th-ийн туйлын дараалал, тэгвэл g(z)= (g - Zo) N ip(z),ба (явах) Ф 0 ба 26.3 теоремын нотлох хэсгийн эхний хэсэгт үзүүлсэнчлэн /(r) функцийн өргөтгөл (26.3) хэлбэртэй байна, энд c_/v байна. е 0. Харин эсрэгээр, хэрэв /(r)-ийг цуврал болгон өргөтгөж (26.3) болон e-i F 0, тэгвэл

т.с. N-функцийн туйлын дараалал /(r). Тиймээс, zq функцийн туйлын дараалал/(G) zq цэгийн цоорсон хөрш дэх Лоран тэлэлтийн үндсэн хэсгийн хамгийн их тэгээс бусад коэффициентийн тоотой тэнцүү.(өөрөөр хэлбэл энэ тоотой тэнцүү). Н,ямар s_dg е 0 ба Sp= 0 цагт П > N).

Хэрэглэхэд тохиромжтой дараах мэдэгдлийг баталцгаая.

Дүгнэлт 26.4. zq цэг нь уран зохиолын N эрэмбийн туйл юм/(G) дараа нь, зөвхөн хэзээ/(G) хэлбэрээр төлөөлөх боломжтой

Энд h(z) нь цэгийн ойролцоох аналитик функц юм th ба h(zo) f 0.

Баталгаа. Чиг үүрэг cp(z) = л/ц(z) h цэгийн зарим хэсэгт аналитик байна Үр дүн 26.4-ийн нөхцөл нь дараахтай тэнцүү байна.

Тийм ч учраас zq - тэг олон талт Нфункцууд g(z).тиймээс олон зүйлийн туйл Нфункцууд /(2).

II Жишээ 26.5. Функцийн тусгаарлагдсан ганц цэгүүдийг ол мөн тэдгээрийн төрлийг тодорхойлох.

Шийдэл: Энэ цэгүүд (з 2 + 1 )(z+ Z) 2 = 0. Хэрэв z 2 L- 1 = 0, дараа нь 2 = ±gХэрэв (з 4- 3) 2 = 0, тэгвэл z= -3. Тиймээс функц нь гурван онцгой цэгтэй байна z= g, 22 = -g, З3 = - 3. Анхаарна уу z:

G -нэгдүгээр эрэмбийн туйл (бид үр дүн 26.4-ийг ашигласан). Үүнтэй ижил аргаар 22 = гэдгийг баталж болно -имөн нэгдүгээр зэрэглэлийн туйл. 2z-ийн хувьд бидэнд:

Үндсэндээ онцгой цэгүүдийг авч үзье.

Теорем 26.6. f(z) функцийн zq тусгаарлагдсан ганц цэг нь zq төвтэй Лоран тэлэлтийн үндсэн хэсэг нь zq-аас хязгааргүй олон ялгаатай байвал үндсэндээ ганц бие болно. тэг, p-ээс коэффициентүүд.

Баталгаа. 26.6 теорем нь 26.2 ба 26.3 теоремуудаас шууд гардаг. Үнэхээр, хэрэв цэг бол zq нь үндсэндээ онцгой, тэгвэл Лорентын өргөтгөлийн гол хэсэг нь байхгүй эсвэл хязгаарлагдмал тооны нэр томьёо агуулж болохгүй (эсвэл цэг Zq зөөврийн эсвэл шонтой байх болно). Тиймээс үндсэн хэсгийн гишүүний тоо хязгааргүй байх ёстой.

Эсрэгээр, хэрэв үндсэн хэсэг нь хязгааргүй олон нэр томъёог агуулж байвал Zq нь зөөврийн цэг ч биш, туйл ч байж болохгүй. Үүнээс үзэхэд энэ цэг нь үндсэндээ онцгой юм.

Тодорхойлолтоор бол үндсэндээ ганц цэг нь /(2) функц нь хязгааргүй, хязгааргүй байдаг гэдгээрээ онцлог юм. z ->zq. Үндсэндээ онцгой цэгийн ойролцоо функцийн үйл ажиллагаа хэр жигд бус болох талаар илүү бүрэн гүйцэд ойлголтыг дараах теоремоор өгсөн болно.

Теорем 26.7 (Сохотскийн теорем). Хэрэв zq нь хувь хүмүүст зайлшгүй шаардлагатай бол f(z) функцийн цэг), дараа нь дурын комплекс тооЛ, үүнд A =Өө, z n -> zo ба байх z n цэгүүдийн дараалал байдаглим f(zn) = А.

n->os

Баталгаа. Эхлээд хэргийг авч үзье A = oo. 2G.2 теоремын нотолгооны эхний хэсэгт бид хэрэв f(z) r цэгийн зарим цоорсон хөршөөр хязгаарлагдаж, дараа нь бүх коэффициент c", n = -Үндсэн хэсгийн 1,- 2,... нь 0-тэй тэнцүү байна (тиймээс go in singularity арилгадаг). Нөхцөлөөр th нь чухал цорын ганц цэг тул th цэгийн цоорсон аль ч хэсэгт f(r) функц нь хязгааргүй байна. Ийм хүчтэй 0 Z хөршийг авч үзье f(zi) > 1 (хэрэв |/(r)| z - zo I/2 цэг байгаа бол z-2 , үүнд |/(yy)| > 2 гэх мэт: цоорсон хороололд О 71. r„ -e go, lim /(r“) = oo гэдэг нь ойлгомжтой. Иймд A = oo тохиолдолд теорем 26.7

батлагдсан.

Одоо больё А f oo. Эхлээд цоорсон 0 хороолол байна гэж үзье

= -ж---- Энэ цоорсон хороололд аналитик байх болно, улмаар

/(G) - А

Иймээс go нь Φ(r) функцийн тусгаарлагдсан ганц цэг юм. Бид танд үзүүлэх болно. r нь Φ(r)-ийн үндсэндээ ганц цэг юм. Энэ нь үнэн биш байж магадгүй юм. Дараа нь хязгаартай lim Ф(r), төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байдаг. Хэсэг хугацаа

/(r) = A + , тэгвэл мөн Hsh /(r) байгаа нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна

F(g) ~ :-*z 0

Би теоремыг харж байна. Тиймээс r0 нь Φ(r) функцийн үндсэндээ ганц цэг юм. Дээр нотлогдсоны дагуу r n th ба lim Ф(r n) = oo байх r n цэгүүдийн дараалал байна. Эндээс

Бид /(r) гэсэн таамаглалын дагуу шаардлагатай мэдэгдлийг нотолсон. Ф А in some punctured neighbourhood of the point go- Одоо үүнийг худал гэж үзье, i.e. цэгийн дур мэдэн жижиг цоорсон хөршид ийм цэг байдаг G",тэр /(r") = L. Дараа нь дурын Пцоорсон хороололд 0 f(z u) = А П-юо

бүх тохиолдолд, 26.7 теорем батлагдсан.

Теорем 26.7 (Сохотский) дагуу үндсэндээ ганц цэгийн аль ч (дураараа жижиг) цоорсон хөршид /(r) функц нь өргөтгөсөн цогцолбор С хавтгайгаас дурын тоотой ойролцоо утгыг авдаг.

Тусгаарлагдсан онцгой цэгүүдийг судлахын тулд үндсэн функцүүдийн аль хэдийн мэдэгдэж байсан Тейлорын өргөтгөлүүд ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг.

Жишээ 2G.8. Функцийн хувьд zq = 0 цорын ганц цэгийн төрлийг тодорхойл

Шийдвэрлэсэн ба e. (22.11) 3-т орлуулах тоо болон хуваагчийг Тейлорын цуврал болгон өргөжүүлье z r ба 1-ийг хасахын оронд бид авна

(22.12) ашиглан бид хуваагчийн өргөтгөлийг олж авна.

Эдгээр өргөтгөлүүдийн цувралууд нь бүхэл бүтэн € нийлдэг. Бидэнд байгаа

ба /2(2) нь тухайн цэгийн ойролцоо анаритик байна zo = 0 (мөн бүх хавтгайд ч) ба /2(20) Ф 0, тэгвэл h(z)мөн gF 0 цэгийн зарим хөршид аналитик байна.Үндсэн 26.4-т зааснаар цэг Zo = 0 бол захиалгын туйл юм N=4.

II Жишээ 26.9. Функцийн онцгой цэгүүдийг ол f(z)= sin j - ба тэдгээрийн төрлийг тодорхойлно.

R e in e i e. Функц нь ганц төгсгөлтэй ганц цэгтэй zq = 1. С-ээс бусад цэгүүдэд функц w =--- аналитик; иймээс sin функц wаналитик байх болно.

Синусын өргөтгөлийг орлуулах (22.12) - r-ийн оронд бид авна

Бид 2o = 1 цэгийн цоорсон хөршийн Laurent цуврал болгон sin функцийн өргөтгөлийг олж авлаа. Үүссэн өргөтгөл нь сөрөг хүчинтэй (r - 1) хязгааргүй олон гишүүнчлэлийг агуулж байгаа тул дараа нь zq = 1 нь үндсэндээ ганц цэг юм (энэ тохиолдолд Лорентын өргөтгөл нь зөвхөн үндсэн хэсгээс бүрдэх ба ердийн хэсэг байхгүй байна).

Цуврал өргөтгөл хийхгүйгээр энэ тохиолдолд онцгой байдлын мөн чанарыг тодорхойлолтоос шууд тогтоох боломжтой байсныг анхаарна уу. Үнэн хэрэгтээ (r",) ба (2") нийлдэг дараалал байдаг zo= 1 гэх мэт f(z"n)= 1, /(2") = 0 (ийм дарааллыг өөрөө зааж өгнө үү). Тэгэхээр, f(z)хязгааргүй z -> 1, тиймээс цэг zq - 1 нь үндсэндээ онцгой юм.

Лорант функцийг цэгийн ойролцоо өргөтгөх тухай ойлголтыг танилцуулъя Zq = 00 ба энэ цэг дэх онцгой байдлын тэлэлт ба шинж чанарын хоорондын холбоог авч үзье. Тусгаарлагдсан ганц цэг болон түүний төрөл (зөөврийн, туйл эсвэл үндсэндээ ганц) тодорхойлолтууд нь тухайн тохиолдолд хамаарна гэдгийг анхаарна уу. zq = oc өөрчлөлтгүйгээр. Харин теорем 26.2. Лорентын өргөтгөлийн шинж чанартай холбоотой 26.3 ба 26.6-г өөрчлөх шаардлагатай. Гол нь гишүүд cn(z- 2o) х. П= -1,-2,..., үндсэн хэсэг, төгсгөлийн цэгийн ойролцоо функцийн "зөрчил"-ийг тодорхойлох Zq, 2 нь оо руу чиглэдэг тул тэд "зөв" ажиллах болно (0-тэй тэнцүү). Харин эсрэгээрээ зөв хэсгийн гишүүд нь П= 1,2,... oo хандлагатай болно; тэдгээр нь онцлог шинж чанарыг тодорхойлдог Zq = oo. Тиймээс oo орчимд өргөтгөл хийх гол хэсэг нь эерэг эрх мэдэл бүхий нэр томъёоноос бүрдэх болно П,ба зөв нь - сөрөг талуудтай.

Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя w = 12. Чиг үүрэг ТВ = 1/2, u(oo) = 0 байхаар өргөтгөсөн, нэгийг харьцаж, хөрш зэргэлдээ газрын зураглалыг тохирно z > Роноо zq = 00 -ийн ойролцоо |w| wq = 0. Хэрэв функц f(z)цоорсон хөрш дэх аналитик Р z Zq = oc, дараа нь функц G(w) = f(l/w)агуу хөршид аналитик байх болно 0 wo = 0. 2 цагаас хойш -> oo байх болно w-> 0, тэгвэл

Тийм ч учраас G(w)цэг дээр байна wq = 0 нь ижил төрлийн шинж чанар юм f(z)цэг дээр Zq = 00. W(w) функцийг wo = 0 цэгийн цоорсон ойролцоох Лорант цуврал болгон өргөжүүлье.

(26.5)-ын баруун талд байгаа нийлбэрүүд нь өргөтгөлийн ердийн болон үндсэн хэсгүүдийг тус тус илэрхийлнэ. Хувьсагч руу шилжье z,орлуулах w = 1/z:

Зориулалтын П= -A*, 6* = 6_„ = s pмөн үүнийг анзаарсан G(л/ц) = f(z), бид авдаг

задрал (2G.G) гэж нэрлэдэг zq цэгийн цоорсон хөрш дэх f(z) функцийн Лорентын өргөтгөл= oo. (2G.6) дахь эхний нийлбэрийг дуудна баруун хэсэг, хоёр дахь нийлбэр нь гол хэсэгэнэ задралын. Эдгээр нийлбэрүүд нь тэлэлтийн зөв ба үндсэн хэсгүүдэд (26.5) тохирч байгаа тул 26.2, 26.3, 26.6 теоремуудын аналогууд (26.6) хүчинтэй байна. Тиймээс дараах теорем нь теорем 26.2-ын аналог болно.

Теорем 26.10. Тусгаарлагдсан ганц цэгZq - OS (функц/(G) Зөвхөн энэ цэгийн цоорсон хэсэгт байрлах Лорентын өргөтгөл нь хэлбэртэй байвал салгаж болно.

т.с. зөвхөн зөв хэсгээс бүрдэнэ.

/(oo) = гэж тавьцгаая хамтранОйролцоох (26.7) цувралаар тодорхойлогддог функц z > Рцэг 2o = oc, гэж нэрлэдэг z цэг дээрх аналитик o = oo. (Энэ тодорхойлолт нь функцийн аналитик шинжтэй тэнцэж байгааг анхаарна уу G(w) цэг дээр wo = 0.)

Жишээ 26.11. Функцийн zq = oo ганц цэгийг судал

Хязгаар нь хязгаартай тул zo = oo нь /(r) функцийн зөөврийн ганц цэг юм. Хэрэв бид /(oo) = lim-ийг тавьбал J(z)= 0, тэгвэл f(z)аналитик болох болно

цэг дээр tic Зо= os. Харгалзах өргөтгөлийг хэрхэн олохыг зааж өгье (26.7). Хувьсагч руу шилжье w = 1 fz.Орлуулах z= 1 /?е, бид авна

(сүүлийн тэгшитгэл нь wо = 0 цэгийн цоорсон хөршид хүчинтэй, гэхдээ бид цаашид (7(0) = 0) тодорхойлох болно). Үр дүнд нь функц нь онцгой цэгүүдтэй байна. w =±i, w =-1/3, мөн цэг дээр Wq = 0 нь аналитик юм. Нэвтрэх функц G(w)градусаар w(Жишээ 25.7-д хийсэн шиг) ба үр дүнгийн чадлын цувралд орлуулах w = 1/z,Бид функцийн өргөтгөлийг (26.7) авч болно f(z).

Тохиолдолд зориулсан теорем 26.3 zo= oo дараах хэлбэрээр дахин бичигдэнэ.

Теорем 26.12. Тусгаарлагдсан ганц цэг th = os f(z) функц нь зөвхөн Лорентын тэлэлтийн үндсэн хэсэг бол туйл болно (26.6) зөвхөн хязгаарлагдмал тооны тэгээс өөр коэффициенттэй"-тай:

Энд цуврал нь ердийн хэсэг бөгөөд хаалтанд байгаа олон гишүүнт нь өргөтгөлийн гол хэсэг юм. oc дахь туйлын үржвэрийг туйлын үржвэрээр тодорхойлно wq = 0 функц G(z).Тулгийн олон тал нь тоотой давхцаж байгааг харахад хялбар байдаг Н(26.8) дотор.

Q p | (i 2 + 1)(z+3) 2

Даалгавар. Функц гэдгийг харуул f(z) =-- -- орсон

цэг zo = oo захиалгын туйл 3.

Үндсэндээ онцгой цэг дээрх теорем 26.6-г тухайн тохиолдолд дахин бичиж болно zo= os бараг үгчлэн, бид энэ талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй.

Ганц цэг

математикт.

1) F тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон муруйн онцгой цэг ( x, y) = 0, - цэг M 0 ( x 0 , y 0), үүнд F функцийн хэсэгчилсэн дериватив хоёулаа ( x, y) тэг рүү очих:

Хэрэв функцийн бүх хоёр дахь хэсэгчилсэн дериватив биш бол F ( x, y) цэгийн M 0 нь тэгтэй тэнцүү бол O. t-ийг давхар гэж нэрлэдэг. Хэрэв M0 цэг дээр алга болох эхний деривативын хамт гурав дахь дериватив нь алга болох боловч бүх хоёр дахь дериватив алга болвол тэгшитгэлийг гурвалсан гэх мэт гэнэ. Давхар О.т-ийн ойролцоох муруйн бүтцийг судлахад илэрхийллийн тэмдэг чухал үүрэг гүйцэтгэдэг

Хэрэв Δ > 0 бол задгай орон зайг тусгаарлагдсан гэж нэрлэдэг; жишээ нь, муруй дээр y 2 - x 4 + 4x 2= 0 координатын гарал үүсэл нь тусгаарлагдсан O. t (харна уу. будаа. 1 ). Хэрэв Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - a 4= 0 координатын гарал үүсэл нь зангилааны O. t (харна уу. будаа. 2 ). Хэрэв Δ = 0 бол муруйн ерөнхий цэг нь тусгаарлагдсан эсвэл муруйны янз бүрийн мөчрүүд энэ цэг дээр нийтлэг шүргэгчтэй байдгаараа тодорхойлогддог, жишээлбэл: a) 1-р төрлийн оройн цэг - өөр өөр мөчрүүд. муруй нь нийтлэг шүргэгчийн эсрэг талд байрладаг бөгөөд муруй шиг цэг үүсгэдэг y 2 - x 3= 0 (харна уу будаа. 3 , a); б) 2-р төрлийн оройн цэг - муруйн өөр өөр мөчрүүд нь муруйн адил нийтлэг шүргэгчийн нэг талд байрладаг. (у - х 2)2 - x 5= 0 (харна уу будаа. 3 , б); в) өөрөө хүрэх цэг (муруйн хувьд y 2 - x 4= 0 гарал үүсэл нь өөрөө хүрэх цэг; (см. будаа. 3 , V). Заасан O. t-ийн хамт бусад олон тооны тусгай нэртэй байдаг. жишээлбэл, асимптот цэг нь хязгааргүй тооны эргэлттэй спираль орой юм (харна уу. будаа. 4 ), төгсгөлийн цэг, булангийн цэг гэх мэт.

2) Дифференциал тэгшитгэлийн ганц цэг нь дифференциал тэгшитгэлийн баруун талын хүртэгч ба хуваагч нэгэн зэрэг алга болох цэг юм (Дифференциал тэгшитгэлийг үзнэ үү)

Энд P ба Q нь тасралтгүй дифференциалагдах функцууд юм. O. t нь координатын эхэнд байрлаж, Тейлорын томъёог ашиглан (Тэйлорын томъёог үз) тэгшитгэлийг (1) хэлбэрээр илэрхийлж болно.

P 1 ( x, y) ба Q 1 ( x, y) -тай холбоотой хязгааргүй жижиг

Тухайлбал, хэрэв λ 1 ≠ λ 2 ба λ 1 λ 2 > 0 эсвэл λ 1 = λ 2 бол O. t нь зангилаа болно; Зангилааны хангалттай жижиг орчмын цэгүүдээр дамжин өнгөрөх бүх интеграл муруйнууд түүнд ордог. Хэрэв λ 1 ≠ λ 2 ба λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 ба β ≠ 0 байвал ерөнхий цэг нь фокус болно; Фокусын хангалттай жижиг орчмын цэгүүдийг дайран өнгөрч буй бүх салшгүй муруй нь фокусын дурын жижиг хөршийн хязгааргүй тооны эргэлттэй спиральуудыг илэрхийлдэг. Хэрэв эцэст нь λ 1,2 = ± бол биβ, β ≠ 0, тэгвэл O. t-ийн шинж чанар нь P-ийн өргөтгөлүүдэд зөвхөн шугаман нөхцлөөр тодорхойлогддоггүй. x, y) ба Q ( x, y), дээрх бүх тохиолдлуудад тохиолдсон шиг; энд O. t нь фокус эсвэл төв байж болно, эсвэл илүү төвөгтэй шинж чанартай байж болно. Төвийн ойролцоо бүх интеграл муруйнууд хаалттай бөгөөд төвийг дотроо агуулна. Жишээлбэл, цэг (0, 0) нь тэгшитгэлийн зангилаа юм цагт" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; үзнэ үү будаа. 5 , a) ба y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; үзнэ үү будаа. 5 , б), тэгшитгэлийн эмээл y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; см. будаа. 6 ), тэгшитгэлийн фокус y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - би, λ 2 = 1 + би; см. будаа. 7 ) ба тэгшитгэлийн төв y" = -x/y(λ 1 = -и, λ 2 = би; см. будаа. 8 ).

Хэрэв x, y) ба Q ( x, y) аналитикийн хувьд дээд зэрэглэлийн GP-ийн хөршийг бүс болгон хувааж болно: D 1 - интеграл муруйгаар дүүрсэн, хоёр төгсгөл нь GP-д багтсан (зууван бүсүүд), D 2 - салшгүй муруйгаар дүүрсэн, нэг төгсгөл нь GP-д багтсан. (параболик мужууд) ба D 3 - ерөнхий онолд багтсан хоёр интеграл муруйгаар хязгаарлагдсан мужууд, тэдгээрийн хооронд гипербол хэлбэрийн интеграл муруйнууд (гиперболын мужууд) байрладаг (харна уу. будаа. 9 ). Хэрэв тойрог замын t.-д интеграл муруй байхгүй бол тойрог замын t-ийг тогтвортой хэлбэрийн цэг гэж нэрлэдэг. Тогтвортой осцилляторын ойр орчмын хэсэг нь дотроо осмос агуулсан битүү интеграл муруйгаас тогтдог бөгөөд тэдгээрийн хооронд спираль байдаг (Зураг 2-ыг үз). будаа. 10 ).

Дифференциал тэгшитгэлийн судалгаа, өөрөөр хэлбэл дифференциал тэгшитгэлийн ойролцоох интеграл муруйн гэр бүлийн зан төлөвийг судлах нь дифференциал тэгшитгэлийн чанарын онолын нэг салбар бөгөөд хэрэглээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. хөдөлгөөний тогтвортой байдлын асуултууд (A. M. Lyapunov a, A. Puincare гэх мэт).

3) Нэг утгатай аналитик функцийн онцгой цэг нь функцийн аналитик шинж чанар зөрчигдсөн цэг юм (Аналитик функцуудыг үзнэ үү). Хэрэв O. t-ийн хөрш байгаа бол. а, бусад O. t.-аас чөлөөтэй, дараа нь цэг Агэж нэрлэдэг тусгаарлагдсан O. t А- тусгаарлагдсан ерөнхий онолыг бөгөөд хязгаарлагдмал a байгаа бол зөөврийн ерөнхий онол гэж нэрлэдэг бөгөөд а цэг дэх функцийн тодорхойлолтыг зохих ёсоор өөрчилснөөр (эсвэл түүний функц нь огт тодорхойлогдоогүй бол энэ цэг дээр дахин тодорхойлсноор). тухайлбал, таамаглах замаар е(а)= б, үүнд хүрэх боломжтой азассан функцийн энгийн цэг болно. Жишээлбэл, цэг z= 0 нь f 1 ( функцийн хувьд зөөврийн O. t. z) = е(z), Хэрэв z≠ 0, ба е 1 (0), = 1, цэг z= 0 нь энгийн цэг [ е 1 (z) нь тухайн цэг дээр аналитик юм z= 0]. Хэрэв А- тусгаарлагдсан O. t ба a-г функцийн туйл буюу чухал бус ганц цэг гэж нэрлэдэг е(z), хэрэв Лоран цуврал) функцийг гүйцэтгэдэг е(z) тусгаарлагдсан O.-ийн ойролцоо сөрөг хүчийг агуулдаггүй z - a, Хэрэв А- зөөврийн O. t., хязгаарлагдмал тооны сөрөг градус агуулсан z - a, Хэрэв А- туйл (энэ тохиолдолд туйлын дараалал Рнь хамгийн дээд зэрэг нь тодорхойлогддог - үндсэндээ онцгой цэг. Жишээлбэл, функцийн хувьд

p = 2, 3, …)

цэг z= 0 бол захиалгын туйл юм Р, функцийн хувьд

цэг z= 0 нь үндсэндээ онцгой цэг юм.

Хүчний цувааны нийлэх тойргийн зааг дээр өгөгдсөн зэрэглэлийн цуваагаар дүрслэгдсэн функцийн дор хаяж нэг DP байх ёстой. Өвөрмөц аналитик функцийн оршин тогтнох хүрээний бүх хилийн цэгүүд (байгалийн хил) нь энэ функцийн хил юм. Ийнхүү нэгж тойргийн бүх цэгүүд | z| = 1 нь функцийн хувьд онцгой юм

Олон утгатай аналитик функцийн хувьд “О. Т." илүү төвөгтэй. Функцийн Риманы гадаргуугийн бие даасан хуудаснуудад (өөрөөр хэлбэл нэг утгатай аналитик элементүүдийн O. t.) O. t.-ээс гадна салбар цэг бүр нь функцийн O. t. Риманы гадаргуугийн тусгаарлагдсан салаалсан цэгүүдийг (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн зарим хөршид ямар ч навчинд өөр ямар ч О. т. функц байдаггүй) салбар цэгүүдийг дараах байдлаар ангилдаг. Хэрэв а нь хязгаарлагдмал эрэмбийн тусгаарлагдсан салаалсан цэг бөгөөд төгсгөлөг a байвал түүнийг критик туйл гэнэ. Хэрэв А- хязгааргүй эрэмбийн тусгаарлагдсан салбар цэг ба a-г трансцендентал О.т гэнэ. Жишээ нь: цэг z= 0 нь f ( функцийн ердийн критик цэг юм. z) = бүртгэл zмөн функцийн чухал үндсэн цэг е (z) = sin ln z.

Хөдөлгөөнт онолоос бусад бүх ерөнхий онолууд аналитик үргэлжлэлд саад болдог, өөрөөр хэлбэл, бууруулж болохгүй ерөнхий асуудлыг дамжин өнгөрөх муруй дагуу аналитик үргэлжлэл нь боломжгүй юм.

Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. 1969-1978 .

Бусад толь бичгүүдэд "Ганц цэг" гэж юу болохыг харна уу:

Энд оноо. Мөн ганц цэгийг (дифференциал тэгшитгэл) үзнэ үү. Математикийн онцлог эсвэл онцгой байдал нь математикийн объект (ихэвчлэн функц) тодорхойлогдоогүй эсвэл тогтмол бус үйлдэлтэй (жишээлбэл, ... ... Wikipedia

Аналитик функц нь аналитик байдлын нөхцөлийг зөрчсөн цэг юм. Хэрэв аналитик функц f(z) z0 цэгийн тодорхой орчимд өгөгдсөн бол хаа сайгүй... Физик нэвтэрхий толь бичиг

Аналитик функц гэдэг нь тухайн функцийн аналитик чанар зөрчигдсөн цэг юм... Том нэвтэрхий толь бичиг

онцгой цэг- - [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Цахилгаан инженерчлэл ба эрчим хүчний инженерийн англи-орос толь бичиг, Москва, 1999] Цахилгааны инженерийн сэдэв, үндсэн ойлголтууд EN онцгой цэг ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

1) Аналитик функц f(z) нь нийлмэл хувьсагчийн f(z) функцийн элементийг энэ хувьсагчийн хавтгай дээрх дурын замын дагуу аналитик үргэлжлүүлэхэд саад болж байна. Аналитик функц f(z)-ыг зарим... ...-аар тодорхойл. Математик нэвтэрхий толь бичиг

Аналитик функц, функцийн аналитик шинж чанар зөрчигдсөн цэг. * * * Аналитик функцийн ГАНЦ ЦЭГ НЭГ ЦЭГ, тухайн функцийн аналитик чанар зөрчигдсөн цэг... нэвтэрхий толь бичиг

онцгой цэг- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. ганц цэг vok. singulärer Punkt, m rus. онцгой цэг, f pranc. цэгийн тоосонцор, м; цэг ганцаарчилсан, м … Automatikos terminų žodynas

Тейлорын цувралууд нь zol тойрогт аналитик функцүүдийг судлах үр дүнтэй хэрэгсэл болдог. Цагираган муж дахь аналитик функцуудыг судлахын тулд хэлбэрийн эерэг ба сөрөг (z - zq) хүчийг өргөтгөх боломжтой болж байна. Тейлорын өргөтгөлүүдийг ерөнхийд нь илэрхийлдэг. Хоёр цувралын нийлбэр гэж ойлгогдох (1) цувралыг Лоран цуврал гэж нэрлэдэг. (1) цувралын нийлэх муж нь (2) цуваа бүрийн нийлэх мужуудын нийтлэг хэсэг болох нь тодорхой байна. Түүнийг олъё. Эхний цувралын нэгдэх талбай нь радиус нь Коши-Хадамард томъёогоор тодорхойлогддог тойрог юм. туйлын бөгөөд жигд. Хоёрдахь цуваа нь хувьсагчийн хувьд (5) цуваа нь нийлэх тойрог дотор m-*oo нийлмэл хувьсагчийн аналитик функцэд нийлдэг бөгөөд бага радиустай аль ч тойрогт үнэмлэхүй, жигд нийлдэг. (4) цувралын нийлэх талбар нь тойргийн гадна тал байна гэсэн үг - Хэрэв цуврал (3) ба (4) -ийн нэгдэх нийтлэг талбар байгаа бол - цуврал (1) дугуй цагираг. аналитик функцэд нийлдэг. Түүнээс гадна, ямар ч цагирагт энэ нь туйлын, жигд нийлдэг. Жишээ 1. Рад Лоранын цувралын нийлэх мужийг тодорхойл. Тусгаарлагдсан ганц цэгүүд ба тэдгээрийн ангилал М. Нэгдүгээр цувааны нийлэх муж нь тойргийн гадна тал, хоёр дахь цувааны нийлэх муж нь тойргийн дотоод хэсэг байна. энэ цуваа тойрог болж нийлдэг Теорем 15. Дугуй цагираг дахь хоёрдмол утгагүй, бодлогогүй аливаа f (z) функцийг энэ цагирагт Cn коэффициентүүд нь томьёоны дагуу өвөрмөц тодорхойлогдох ба тооцоолсон нийлсэн цувааны нийлбэрээр дүрслэгдэж болно. Энд 7p нь m радиустай тойрог юм R цагираг дотор дурын z цэгийг засъя. Радиус нь тэгш бус байдлыг хангадаг r цэгт төвтэй тойрог байгуулж, Кошигийн интеграл теоремыг үржвэрээр холбосон мужид ашиглан бид (8) нийлбэр дэх интеграл бүрийг тус тусад нь хувиргая. 7d* тойргийн дагуух бүх £ цэгийн хувьд жигд нийлсэн цувааны 1 1-ийн де нийлбэрийн хамаарал хангагдсан тул ^ бутархайг vi- / "/ -ээр хоёр хэсгийг тасралтгүй функцээр үржүүлж (O ба гүйцэтгэнэ). Тойргийн дагуу гишүүнчлэлээр интеграл хийснээр бид хоёр дахь интегралын хувиргалтыг арай өөр аргаар хийж байна ir> тойргийн бүх цэгүүдийн хувьд ^ бутархайг илэрхийлж болно жигд нийлсэн цувааны нийлбэр гэж хоёр хэсгийг тасралтгүй функцээр үржүүлээд 7/ тойргийн дагуух гишүүнчлэлийг нэгтгэснээр бид (10) ба (12) томьёо дахь интегралууд нь дугуй цагираг дахь аналитик функцууд болохыг анхаарна уу. Тиймээс Кошигийн теоремийн дагуу 7/r ба 7r/ тойргийг дурын тойрогоор орлуулахад харгалзах интегралуудын утга өөрчлөгдөхгүй. Энэ нь (10) ба (12) томъёог тэдгээрийн илэрхийлэл (9) ба (11)-ээр сольж, z нь дур зоргоороо байх боломжийг олгодог цагирагийн цэгээс харахад (14) цуврал нь энэ цагирагны хаа сайгүй f(z) функцэд нийлдэг бөгөөд аль ч цагирагт цуваа нь энэ функцэд туйлын бөгөөд жигд нийлдэг. Одоо (6) хэлбэрийн задрал нь өвөрмөц гэдгийг баталцгаая. Дахиад нэг тэлэлт байна гэж бодъё. Дараа нь R цагираг доторх бүх хэсэгт тойрог дээр (15) цуваа жигд нийлнэ. Тэгш байдлын хоёр талыг үржүүлцгээе (энд m нь тогтмол бүхэл тоо бөгөөд хоёр цуврал гишүүнийг нэр томъёогоор нэгтгэх. Үүний үр дүнд бид зүүн талд, баруун талд - Sch. Тиймээс, (4, = St. оноос хойш). m нь дурын тоо бөгөөд хамгийн сүүлийн тэгш байдал нь (7) томъёогоор тооцоолсон цувралын өвөрмөц байдлыг нотолж, цагираг дахь f(z) функцийн Лорент цуврал гэж нэрлэгддэг сөрөг бус хүчин чадалтай энэ цувралын нөхцлийн багцыг Лоран цувралын зөв хэсэг гэж нэрлэдэг ба сөрөг утгатай бол түүний үндсэн хэсэг Лоран цувралын коэффициентүүдийн томъёог (. 7) практикт бараг ашигладаггүй. Дүрэм, тэд төвөгтэй тооцоолол хийх шаардлагатай байдаг, ихэвчлэн, хэрэв боломжтой бол, ямар нэгэн хууль ёсны арга нь ижил үр дүнд хүргэдэг энгийн функцууд. f(r)-ийг хоёр онцгой цэгтэй гэж үзвэл янз бүрийн муж дахь функцүүдийн тоо: Иймд төв нь r = 0 цэгт байрлах гурван цагирагийн муж байна. /(r) функц тус бүрд аналитик байна: a. ) тойргийн гадна талын цагираг (Зураг 27). Эдгээр муж тус бүрийн /(z) функцийн Лорентын өргөтгөлийг олцгооё. /(z)-ийг энгийн бутархайн нийлбэрээр төлөөлүүлье a) Тойрог (16) харьцааг геометрийн прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог ашиглан (17) томъёогоор олно. : Энэ өргөтгөл нь /(z) функцийн Тейлорын цуврал юм. b) |z|-ийн j^j функцийн цуврал (19) тул -r функцийн цагираг энэ цагирагт нийлсэн хэвээр байна. > 1 зөрүүтэй. Тиймээс бид /(z) функцийг дараах байдлаар хувиргана: (19) томьёог дахин ашигласнаар энэ цуваа нь нийлдэг болохыг олж авна. (18) ба (21) өргөтгөлүүдийг (20) хамааралд орлуулснаар бид c) -z функцийн тойргийн гадна талыг |z| > 2 ялгарах ба функцийн цуваа (21)- /(z) функцийг дараах хэлбэрээр илэрхийлье: /<*> (18) ба (19) томъёог ашиглан бид OR 1-ийг олж авна. Энэ жишээ нь ижил функцийн хувьд f(z) Лорентын өргөтгөл нь ерөнхийдөө өөр өөр цагиргуудын хувьд өөр хэлбэртэй болохыг харуулж байна. Жишээ 3. Функцийн 8-р Лоран цувралын өргөтгөлийг ол. Лоранын цуврал Тусгаарлагдсан ганц цэгүүд ба тэдгээрийн ангиллыг цагирагийн мужид A Бид f(z) функцийн дүрслэлийг дараах хэлбэрээр ашигладаг: мөн хоёр дахь гишүүнийг хувиргана. геометр прогрессийн гишүүний нийлбэрийн томъёог бид олж авна Олдсон илэрхийлэлүүдийг томьёо (22)-д орлуулбал бидэнд Жишээ 4 байна. zq = 0 муж дахь Лорант цуврал дахь функцийг өргөжүүлэх. Аливаа комплексийн хувьд бид үүнийг үзье. тэлэлт нь дурын z Ф 0 цэгт хүчинтэй. Энэ тохиолдолд цагираган муж нь нэг хасагдсан z - 0 цэг бүхий цогц хавтгайг бүхэлд нь илэрхийлнэ. Энэ мужийг дараах хамаарлаар тодорхойлж болно: Энэ функц нь мужид аналитик юм. 13) Лоран цувралын коэффициентүүдийн хувьд өмнөх догол мөрөнд дурдсантай ижил үндэслэлийг ашиглан Kouiw тэгш бус байдлыг олж авч болно. хэрэв f(z) функц нь тойрог дээр хязгаарлагдсан бол M нь тогтмол), дараа нь тусгаарлагдсан ганц цэгүүд Хэрэв цэгийн цагирагтай хөрш байвал zo цэгийг f(z) функцийн тусгаарлагдсан ганц цэг гэнэ. Энэ олонлогийг заримдаа 2o цэгийн цоорсон хөрш гэж нэрлэдэг ба f(z) функц нь өвөрмөц бөгөөд аналитик юм. Зо цэгийн хувьд функц нь тодорхойгүй эсвэл хоёрдмол утгатай, аналитик биш юм. Зо цэгт ойртох үед /(r) функцийн үйлдлээс хамааран гурван төрлийн ганц цэгийг ялгадаг. Тусгаарлагдсан ганц цэгийг: 1) төгсгөлтэй бол зөөврийн 2) pmusach бол 3) f(z) функцэд хязгаар байхгүй бол үндсэн цорын ганц цэг гэж нэрлэдэг Тусгаарлагдсан ганц цэгийн төрөл нь тухайн цэгтэй нягт холбоотой. -ийн цоорсон төвөөр функцийг өргөтгөх Лорентын мөн чанар. Теорем 16. f(z) функцийн тусгаарлагдсан ганц цэг z0 нь зөвхөн zo цэгийн ойр орчмын f(z) функцийн Лорентын өргөтгөл нь үндсэн хэсгийг агуулаагүй тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, зөөврийн ганц цэг болно. Let zo be removable singular point хэлбэртэй байна. Дараа нь хязгаарлагдмал байдаг тул f(z) функц нь z цэгийн прокологийн ойролцоо хязгаарлагдмал байна. Бид Кошигийн тэгш бус байдлын ачаар p-г дурын жижиг гэж сонгож болох тул бүх коэффициентийг сөрөг түвшинд (z) авна. - 20) тэгтэй тэнцүү байна: Эсрэгээр, zq цэгийн хөрш дэх /(r) функцийн өргөтгөл нь зөвхөн зөв хэсгийг агуулна, өөрөөр хэлбэл (23) хэлбэртэй байх ба тиймээс Лорант функцийн өргөтгөл хийцгээе. Тейлор. z -* z0-ийн хувьд /(z) функц нь хязгаарын утгатай болохыг хялбархан харж болно: Теорем 17. f(z) функцийн тусгаарлагдсан zq цэгийг зөвхөн J(z) функц байвал салгаж болно. zq цэгийн зарим цоорсон хороололд хязгаарлагдсан, Zgmechai үгүй. r нь /(r) функцийн зөөврийн ганц цэг байг. /(r) функц нь r цэгт төвтэй зарим тойрогт аналитик байна гэж үзвэл. Энэ нь цэгийн нэрийг тодорхойлдог - зөөврийн. Теорем 18. f(z) функцийн zq тусгаарлагдсан ганц цэг нь тухайн цэгийн ойр орчмын f(z) функцийн Лорентын өргөтгөлийн үндсэн хэсэг нь төгсгөлтэй (болон эерэг) тоог агуулж байвал туйл болно. тэгээс өөр нөхцөлтэй, өөрөөр хэлбэл 4 хэлбэртэй байна z0 туйл байя. Түүнээс хойш f(z) функц нь аналитик ба тэгээс өөр байх z0 цэгийн цоорсон хөрш бий. Дараа нь энэ хөршид аналитик функц тодорхойлогддог ба Иймд zq цэг нь функцийн зөөврийн ганц цэг (тэг) буюу h(z) нь аналитик функц, h(z0) Φ 0. Дараа нь h(zo) Φ. 0 нь мөн аналитик, тэгвэл φ функц нь zq цэгийн ойролцоо аналитик байна, тиймээс бид хаанаас олж авсан бол f(z) функц нь цоорсон хөршид (24) хэлбэрийн өргөтгөлтэй байна гэж бодъё. цэг zо. Энэ нь энэ орчинд f(z) функц нь функцын хамт аналитик шинж чанартай гэсэн үг юм. g(z) функцийн хувьд өргөтгөл нь хүчинтэй бөгөөд үүнээс zq нь g(z) функцийн салж болох ганц цэг бөгөөд тэнд байгаа функц нь функцийн туйл байх хандлагатай байна бас нэг энгийн баримт юм. G(z) = уй функцийг g(z0) = 0 гэж тохируулснаар zq цэгийн ойролцоох аналитик функцэд өргөтгөж болох тохиолдолд Zq цэг нь f(z) функцийн туйл болно. f(z) функцийн туйлын утгыг jfa функцийн тэг эрэмбэ гэнэ. 16 ба 18-р теоремуудаас дараах мэдэгдэл гарна. Теорем 19. Хэрэв энэ цэгийн цоорсон хөрш дэх Лоран тэлэлтийн үндсэн хэсэг нь тэгээс өөр гишүүнчлэлийн хязгааргүй олон гишүүнтэй байвал тусгаарлагдсан ганц цэг нь үндсэндээ ганц байна. Жишээ 5. Функцийн ганц цэг нь zo = 0. Бидэнд Лоран цувралын тусгаарлагдсан ганц цэгүүд ба тэдгээрийн ангилал Тиймээс zo = O нь зөөврийн ганц цэг юм. /(z) функцийг тэг цэгийн ойролцоох Лорент цуврал болгон өргөтгөх нь зөвхөн зөв хэсгийг агуулна: Жишээ 7. /(z) = f(z) функцийн ганц цэг нь zq = 0. Энэ функцийн бодит ба төсөөллийн тэнхлэг дээрх үйлдлийг авч үзье: бодит тэнхлэг дээр x 0, төсөөллийн тэнхлэг дээр. z -* 0-д f(z)-ийн хувьд төгсгөлтэй ч биш, төгсгөлгүй ч хязгаар байхгүй. Энэ нь r = 0 цэг нь f(z) функцийн үндсэндээ ганц цэг гэсэн үг юм. Тэг цэгийн ойролцоо f(z) функцийн Лорентын тэлэлтийг олъё. Аливаа цогцолбор С-ийн хувьд бид Set байна. Дараа нь Лорентын өргөтгөл нь z-ийн сөрөг хүчинтэй хязгааргүй тооны гишүүнчлэлийг агуулна.

Тодорхойлолт.Функцийн ганц цэгийг дуудна тусгаарлагдсан, хэрэв энэ цэгийн зарим хэсэгт энэ нь аналитик функц юм (өөрөөр хэлбэл цагираг дахь аналитик).

Функцийн тусгаарлагдсан ганц цэгүүдийн ангилал нь энэ функцийн онцгой цэгийн ойролцоох үйл ажиллагаатай холбоотой байдаг.

Тодорхойлолт.цэг гэж нэрлэдэг зөөврийн -д энэ функцийн хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол функцийн ганц цэг.

Жишээ 5.Функц нь цэг дээр зөөврийн онцгой шинж чанартай болохыг харуул.

Шийдэл.Эхний гайхалтай хязгаарыг санаж, бид тооцоолно

Энэ нь тухайн үед өгөгдсөн функц нь зөөврийн онцгой шинж чанартай байна гэсэн үг юм.

Даалгавар 4.Цэг нь салгаж авах боломжтой гэдгийг харуул.

Тодорхойлолт.цэг гэж нэрлэдэг туйл функц, хэрэв энэ функц хязгааргүй үед нэмэгдвэл, өөрөөр хэлбэл, .

Аналитик функцийн тэг ба туйл гэсэн ойлголтуудын уялдаа холбоог анхаарч үзье. Функцийг хэлбэрээр илэрхийлье.

Хэрэв цэг нь функцийн энгийн тэг бол функц нь энгийн туйлтай байна

Хэрэв цэг нь функцийн дарааллын тэг бол функцийн хувьд энэ нь туйл болно захиалга.

Жишээ 6.Функц нь цэг дээр гуравдахь эрэмбийн туйлтай болохыг харуул.

Шийдэл.Бид авсан гэж бодвол. Бид тэглэх хандлагатай байдаг тул ямар ч хуулиар . Дараа нь , мөн түүнтэй хамт функц нь өөрөө тодорхойгүй хугацаагаар нэмэгддэг. Тиймээс, , өөрөөр хэлбэл, ганц цэг нь туйл юм. Функцийн хувьд энэ цэг нь гурав дахин тэг байх нь ойлгомжтой. Энэ нь энэ функцийн хувьд цэг нь гуравдахь эрэмбийн туйл гэсэн үг юм.

Даалгавар 5.Цэг нь энгийн туйлтай болохыг харуул.

Тодорхойлолт.цэг гэж нэрлэдэг мэдэгдэхүйц онцгой функцийн цэг, хэрэв энэ цэг дээр функцийн хязгааргүй эсвэл төгсгөлгүй хязгаар байхгүй бол (функцийн зан төлөв тодорхойлогдоогүй).

Функцийн үндсэндээ ганц цэг байцгаая. Дараа нь аливаа өгөгдсөн цогцолбор тооны хувьд нийлдэг цэгүүдийн дараалал байдаг бөгөөд тэдгээрийн дагуу утгууд нь дараах байдалтай байна: ( Сохотскийн теорем).

Жишээ 7.Нэг цэг дэх функц нь чухал шинж чанартай болохыг харуул.

Шийдэл.Өгөгдсөн функцийн үйлдлийг цэгийн ойролцоо авч үзье. Бодит тэнхлэгийн эерэг хэсгийн дагуу (өөрөөр хэлбэл) үед бид ба ; хэрэв бодит тэнхлэгийн сөрөг хэсгийн дагуу (өөрөөр хэлбэл), дараа нь ба . -д хязгаарлалт байхгүй гэсэн үг. Тодорхойлолтоор бол функц нь нэг цэгт чухал онцгой шинж чанартай байдаг.

Сохотскийн теоремын үүднээс тэг дэх функцийн үйлдлийг авч үзье. Тэг болон хязгааргүйгээс ялгаатай дурын комплекс тоо байг.

Тэгш байдлаас бид олж авдаг. Бид цэгүүдийн дарааллыг олж авна гэж үзвэл , . Мэдээжийн хэрэг, . Энэ дарааллын цэг бүрт функц нь -тэй тэнцүү байна

Даалгавар 6.Функц нь нэг цэгт чухал онцгой шинж чанартай болохыг харуул.

Хязгааргүй цэгийг үргэлж функцийн хувьд онцгой гэж үздэг. Хэрэв энэ функц эх дээр төвлөрсөн тодорхой тойргийн гадна өөр ганц цэг байхгүй бол тухайн цэгийг функцийн тусгаарлагдсан ганц цэг гэнэ.

Тусгаарлагдсан ганц цэгүүдийн ангиллыг тухайн тохиолдолд өргөтгөж болно.

Жишээ 8.Функц нь хязгааргүйд давхар туйлтай болохыг харуул.

Шийдэл.Функцийг авч үзье , хаана нь цэгийн хөрш дэх аналитик функц ба . Энэ нь функц хязгааргүйд давхар тэгтэй байна гэсэн үг, харин функцийн хувьд цэг нь давхар туйл болно.

Жишээ 9.Функц нь хязгааргүй чухал онцгой шинж чанартай болохыг харуул.

Шийдэл.Төсөл 7-д ижил төстэй асуудлыг авч үзсэн болно. Хязгааргүй цэгийн ойролцоох функцийн үйлдлийг авч үзье. Бодит тэнхлэгийн эерэг хэсгийн дагуу, харин сөрөг хэсгийн дагуу байх үед. Энэ нь тухайн цэг дээр функцийн хязгаар байхгүй гэсэн үг бөгөөд тодорхойлолтоор энэ цэг нь үндсэндээ онцгой юм.

Нэг цэг дэх функцийн онцгой байдлын мөн чанарыг дараах байдлаар шүүж болно гол хэсэг Энэ цэгийн ойролцоох Лорент өргөтгөл.

Теорем 1.Гол нь байхын тулд зөөврийн Функцийн ганц цэг, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм харгалзах Лоран тэлэлт үндсэн хэсгийг агуулаагүй.

Даалгавар 6.Цэгийн ойролцоох функцийн Тейлорын өргөтгөлийг ашигласнаар энэ нь тэг дээр зөөврийн онцгой шинж чанартай болохыг харуул.

Теорем 2.Гол нь байхын тулд туйл функц шаардлагатай бөгөөд хангалттай гол хэсэг холбогдох Лорентын өргөтгөл хязгаарлагдмал тооны гишүүдийг багтаасан :

Хамгийн их сөрөг нэр томъёоны тоо нь туйлын дарааллыг тодорхойлдог.

Энэ тохиолдолд функцийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

цэг дэх функц аналитик хаана байна, , туйлын дараалал.

Жишээ 10.Функц нь цэгүүдэд энгийн туйлтай болохыг харуул.

Шийдэл.Гол санааг авч үзье. Жишээ 2-т олж авсан энэ цэгийн ойролцоо энэ функцийн Лорентын өргөтгөлийг ашиглацгаая.

Энэ өргөтгөлийн үндсэн хэсэгт хамгийн өндөр (ба цорын ганц) сөрөг зэрэг нь нэгтэй тэнцүү байдаг тул цэг нь энэ функцийн энгийн туйл юм.

Энэ үр дүнг өөр аргаар олж авах боломжтой байсан. Бид үүнийг хэлбэрээр төлөөлүүлэн тавьж үзье - энэ нь цэг дээр аналитик функц юм. Энэ нь (8)-ын ачаар энэ функц нь энгийн туйлтай байна гэсэн үг юм.

Өөр нэг арга: цэг дээр энгийн тэгтэй функцийг авч үзье. Энэ нь энэ үед энгийн шонтой байна гэсэн үг юм.

Үүний нэгэн адил функцийг хэлбэрт бичвэл хаана нь цэг дээр функц аналитик байна, тэгвэл цэг нь функцийн энгийн туйл болох нь шууд тодорхой болно.

Даалгавар 7.Функц нь цэг дээр 2-р эрэмбийн туйл, цэг дээр 4-р эрэмбийн туйлтай болохыг харуул.

Теорем 3.Гол нь байхын тулд мэдэгдэхүйц онцгой функцийн цэг, энэ нь шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм гол хэсэг цэгийн ойр орчимд Лоран тэлэлт хязгааргүй тооны гишүүдийг агуулж байв .

Жишээ 11.Функцийн цэг дэх онцгой байдлын мөн чанарыг тодорхойлно уу

Шийдэл.Бид сайн мэддэг косинусын өргөтгөлийн оронд дараахь зүйлийг тавьдаг.

Энэ нь нэг цэгийн ойролцоох Лорентын тэлэлт нь хэлбэртэй байна гэсэн үг юм

Энд зөв хэсэг нь нэг нэр томъёо юм. Мөн үндсэн хэсэг нь хязгааргүй тооны нэр томьёог агуулдаг тул гол санаа нь онцгой юм.

Даалгавар 8.Тухайн үед функц чухал онцгой шинж чанартай болохыг харуул.

Зарим функцийг авч үзээд түүний Лорентын өргөтгөлийг бичье.

Сэлгээ хийцгээе, тэгвэл гол нь гол руугаа орлоо. Одоо бид хязгааргүй цэгийн ойролцоо байна

Энэ нь шинэ тэмдэглэгээг нэвтрүүлэх хэвээр байна. Бид авдаг

гол хэсэг нь хаана байна, мөн хязгааргүй дэх цэгийн хөрш дэх функцийн Лорентын өргөтгөлийн зөв хэсэг юм. Ийнхүү цэгийн хөрш дэх функцийг Лорентын өргөтгөлөөр гол хэсэг нь эерэг зэрэглэлийн цуваа, зөв ​​хэсэг нь сөрөг түвшний цуваа байна. Үүнийг харгалзан солих хэрэгтэй

Гэсэн хэдий ч, онцгой байдлын мөн чанарыг тодорхойлох дээрх шалгуур нь хязгааргүй цэгийн хувьд хүчинтэй хэвээр байна.

Жишээ 12.Цэг дэх функцийн онцгой байдлын мөн чанарыг олж мэд. , тэгвэл цэг нь тусгаарлагдаагүй болж магадгүй юм.

Жишээ 15.Хязгааргүй цэг дэх функц нь чухал шинж чанартай байдаг. Функцийн цэг нь тусгаарлагдсан ганц цэг биш гэдгийг харуул.

Шийдэл.Функц нь хуваагчийн тэг дээр, өөрөөр хэлбэл , цэгүүдэд хязгааргүй олон туйлтай байна. -ээс хойш шон байгаа аль ч хөршийн цэг нь шонгийн хязгаар юм.

Үндсэн ойлголт, тодорхойлолтууд:

f(z) аналитик функцийн тэг нь f(a)=0 байх “a” цэг юм.

f(z) функцийн “n” зэрэглэлийн тэг нь fn(a)¹0 бол “a” цэг болно.

Хэрэв энэ цэгийн хөрш зэргэлдээ "a"-аас өөр ганц цэг байхгүй бол "a" ганц цэгийг f(z) функцийн тусгаарлагдсан ганц цэг гэнэ.

Гурван төрлийн тусгаарлагдсан ганц цэг байдаг: .

1 зөөврийн ганц цэг;

3 үндсэн цэг.

Ганц цэгийн төрлийг олсон ганц цэг дэх өгөгдсөн функцийн зан төлөв, түүнчлэн олсон ганц цэгийн ойролцоох функцэд зориулж олж авсан Лоран цувралын хэлбэрт үндэслэн тодорхойлж болно.

Ганц цэгийн төрлийг түүний функцийн үйлдлээр тодорхойлох.

1. Зөөврийн ганц цэгүүд.

f(z) функцийн тусгаарлагдсан ганц а цэгийг хязгаарлагдмал хязгаартай бол зөөврийн гэж нэрлэдэг.

2. Польшууд.

f(z) функцийн тусгаарлагдсан ганц а цэгийг хэрэв туйл гэнэ .

3. Үндсэндээ онцгой цэгүүд.

f(z) функцийн тусгаарлагдсан ганц а цэгийг хязгаарлагдмал болон төгсгөлгүй аль нь ч байхгүй бол үндсэн ганц цэг гэж нэрлэдэг.

Функцийн тэг ба туйлуудын хооронд дараах хамаарал бий.

a цэг f(Z) функцийн n эрэмбийн туйл байхын тулд энэ цэг нь функцийн хувьд n дарааллын тэг байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

Хэрэв n=1 бол туйлыг энгийн гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт:Хоёрдмол утгагүй шинж чанартай тусгаарлагдсан ганц цэгийг дараахь байдлаар нэрлэнэ.

а) задралын үндсэн хэсэг байхгүй бол салгаж авах боломжтой;

б) үндсэн хэсэг нь хязгаарлагдмал тооны нэр томъёог агуулсан бол туйл;

в) үндсэн хэсэг нь хязгааргүй тооны нэр томьёог агуулсан бол үндсэндээ ганц цэг.

a) Тиймээс зөөврийн ганц цэгийн ойролцоо тэлэлт нь дараах хэлбэртэй байна.

энэ нь |z-a| тойргийн бүх цэгт функцийг илэрхийлнэ

z=a төвд тэгш байдал үнэн биш, учир нь z=a дээрх функц нь тасалдалтай, баруун тал нь тасралтгүй байна. Хэрэв төв хэсэгт байрлах функцийн утгыг баруун талын утгатай тэнцүү болгон өөрчилвөл цоорхой арилах болно - иймээс нэр нь - зөөврийн.

б) m эрэмбийн туйлын ойролцоо Лоран цувралын өргөтгөл дараах хэлбэртэй байна.

в) Энгийн шонгийн ойролцоо

Хасгалт ба тэдгээрийг тооцоолох томъёо.

Тусгаарлагдсан ганц цэг z 0 дээрх аналитик функцийн f(z) үлдэгдэл нь интегралын утгатай тэнцүү комплекс тоо юм. , f(z) функцийн аналитикийн мужид (жишээ нь 0 цагирагт) байрлах z 0 цэгт төвтэй L тойргийн дагуу эерэг чиглэлд авав.<|z-z0|

Тусгаарлагдсан z 0 цэг дэх f(z) функцийн үлдэгдлийг Res f(z 0) эсвэл Res (f(z); z 0) тэмдгээр тэмдэглэнэ. Тиймээс,

Res f(z 0)= . (22.15.1)

Хэрэв бид (22.15.1) томъёонд n=-1-ийг оруулбал бид дараахийг авна.

C -1 =

эсвэл Res f(z 0)= C -1 ,

тэдгээр. f(z) функцийн үлдэгдэл z 0 онцгой цэгтэй харьцуулахад Лоранын цуврал дахь f(z) функцийн тэлэлт дэх сөрөг илтгэгчтэй эхний гишүүний коэффициенттэй тэнцүү байна.

Суутгалын тооцоо.

Тогтмол эсвэл зөөврийн ганц цэгүүд. Мэдээжийн хэрэг, хэрэв z=z 0 нь f(z) функцийн тогтмол буюу зөөврийн ганц цэг бол Res f(z 0)=0 (эдгээр тохиолдлуудад Лорентын өргөтгөл үндсэн хэсэг байхгүй тул c-1=0) .

Туйл. z 0 цэгийг f(z) функцийн энгийн туйл болгоё. Дараа нь z 0 цэгийн ойролцоо байрлах f(z) функцийн Лорант цуврал дараах хэлбэртэй байна.

Эндээс

Тиймээс энэ тэгшитгэлийг z --z 0-ийн хязгаарт шилжүүлснээр бид олж авна

Res f(z0)=

Үндсэндээ онцгой цэг. Хэрэв z 0 цэг нь f(z) функцийн үндсэн цорын ганц цэг юм бол энэ цэг дэх функцын үлдэгдлийг тооцоолохын тулд функцийн Лоран цувралын өргөтгөлийн коэффициент c-1 нь ихэвчлэн шууд тодорхойлогддог.

Үйл явдлын ангилал. Үйл явдлын нийлбэр, үржвэр, тэдгээрийн шинж чанар, график дүрслэл.

Үйл явдлуудыг дараахь байдлаар хуваадаг.

1. Санамсаргүй

2. Найдвартай

3. Боломжгүй

Найдвартай гэдэг нь өгөгдсөн нөхцөлд (өглөөний дараах шөнө) зайлшгүй тохиолддог үйл явдал юм.

Санамсаргүй үйл явдал нь тохиолдож болох эсвэл болохгүй (шалгалтанд тэнцэх) үйл явдал юм.

Боломжгүй үйл явдал бол өгөгдсөн нөхцөлд тохиолдохгүй үйл явдал юм (зөвхөн улаан харандаатай хайрцагнаас ногоон харандаа авах).