y 2x функцийн график. Онлайн график. Нарийн төвөгтэй функцийг графикаар зурах

Модуль агуулсан функцүүдийн графикийг бүтээх нь ихэвчлэн сургуулийн хүүхдүүдэд ихээхэн бэрхшээл учруулдаг. Гэсэн хэдий ч бүх зүйл тийм ч муу биш юм. Ийм асуудлыг шийдвэрлэх хэд хэдэн алгоритмыг санахад хангалттай бөгөөд та хамгийн төвөгтэй мэт санагдах функцүүдийн графикийг хялбархан барьж чадна. Эдгээр нь ямар төрлийн алгоритмууд болохыг олж мэдье.

1. y = |f(x)| функцийн графикийг зурах

Функцийн утгын багц y = |f(x)| гэдгийг анхаарна уу : y ≥ 0. Иймд ийм функцүүдийн графикууд үргэлж бүхэлдээ дээд хагас хавтгайд байрлана.

y = |f(x)| функцийн графикийг зурах дараах энгийн дөрвөн алхамаас бүрдэнэ.

1) y = f(x) функцийн графикийг болгоомжтой, болгоомжтой байгуул.

2) График дээрх эсвэл 0x тэнхлэг дээрх бүх цэгүүдийг өөрчлөхгүй орхи.

3) Графикийн 0х тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг 0х тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар харуул.

Жишээ 1. y = |x 2 – 4x + 3| функцийн графикийг зур.

1) Бид y = x 2 – 4x + 3 функцийн графикийг байгуулна. Энэ функцийн график нь парабол болох нь ойлгомжтой. Параболын координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцсон бүх цэгийн координат ба параболын оройн координатыг олъё.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Тиймээс парабол 0x тэнхлэгийг (3, 0) ба (1, 0) цэгүүдээр огтолж байна.

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Тиймээс парабол 0y тэнхлэгийг (0, 3) цэг дээр огтолж байна.

Парабола оройн координатууд:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Тиймээс (2, -1) цэг нь энэ параболын орой юм.

Олж авсан өгөгдлийг ашиглан парабола зур (Зураг 1)

2) Графикийн 0x тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг нь 0x тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдаж байна.

3) Бид анхны функцийн графикийг авдаг ( будаа. 2, тасархай шугамаар харуулсан).

2. y = f(|x|) функцийн графикийг зурах

y = f(|x|) хэлбэрийн функцууд тэгш байна:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Энэ нь ийм функцүүдийн графикууд 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна гэсэн үг юм.

y = f(|x|) функцийн графикийг зурах нь дараах энгийн үйлдлийн гинжин хэлхээнээс бүрдэнэ.

1) y = f(x) функцийн графикийг зур.

2) Графикийн х ≥ 0, өөрөөр хэлбэл баруун хагас хавтгайд байрлах графын хэсгийг үлдээгээрэй.

3) (2)-д заасан графикийн хэсгийг 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэйгээр харуулна.

4) Эцсийн график болгон (2) ба (3) цэгүүдэд олж авсан муруйнуудын нэгдлийг сонгоно.

Жишээ 2. y = x 2 – 4 · |x| функцийн графикийг зур + 3

Учир нь x 2 = |x| 2, дараа нь анхны функцийг дараах хэлбэрээр дахин бичиж болно: y = |x| 2 – 4 |x| + 3. Одоо бид дээр санал болгосон алгоритмыг хэрэглэж болно.

1) Бид y = x 2 – 4 x + 3 функцийн графикийг анхааралтай, болгоомжтой байгуулдаг (мөн үзнэ үү. будаа. 1).

2) Бид графикийн х ≥ 0, өөрөөр хэлбэл баруун хагас хавтгайд байрлах графын хэсгийг үлдээнэ.

3) Графикийн баруун талыг 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэйгээр харуул.

(Зураг 3).

Жишээ 3. y = log 2 |x| функцийн графикийг зур

Бид дээр дурдсан схемийг ашигладаг.

1) y = log 2 x функцийн графикийг байгуул (Зураг 4).

3. y = |f(|x|)| функцийн графикийг зурах

y = |f(|x|)| хэлбэрийн функцууд гэдгийг анхаарна уу бас жигд байна. Үнэхээр y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), тиймээс тэдгээрийн график нь 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна. Ийм функцүүдийн утгуудын багц: y ≥ 0. Ийм функцүүдийн графикууд бүхэлдээ дээд хагас хавтгайд байрлана гэсэн үг.

y = |f(|x|)| функцийг зурахын тулд та:

1) y = f(|x|) функцийн графикийг болгоомжтой байгуул.

2) Графикийн 0x тэнхлэг дээрх эсвэл дээр байгаа хэсгийг өөрчлөхгүй.

3) Графикийн 0x тэнхлэгийн доор байрлах хэсгийг 0x тэнхлэгтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байдлаар харуул.

4) Эцсийн график болгон (2) ба (3) цэгүүдэд олж авсан муруйнуудын нэгдлийг сонгоно.

Жишээ 4. y = |-x 2 + 2|x| функцийн графикийг зур. – 1|.

1) x 2 = |x| гэдгийг анхаарна уу 2. Энэ нь анхны функцийн оронд y = -x 2 + 2|x| гэсэн үг юм - 1

y = -|x| функцийг ашиглаж болно 2 + 2|x| – 1, учир нь тэдгээрийн графикууд давхцаж байна.

Бид y = -|x| график байгуулна 2 + 2|x| – 1. Үүний тулд бид 2-р алгоритмыг ашигладаг.

a) y = -x 2 + 2x – 1 функцийн графикийг зур (Зураг 6).

б) Графикийн баруун хагас хавтгайд байрлах хэсгийг бид орхино.

в) Бид графикийн үр дүнгийн хэсгийг 0y тэнхлэгт тэгш хэмтэй байдлаар харуулна.

d) Үүссэн графикийг зурган дээрх тасархай шугамаар үзүүлэв (Зураг 7).

2) 0x тэнхлэгээс дээш цэг байхгүй;

3) Графикийн 0x тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг нь 0x-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдаж байна.

4) Үүссэн графикийг зурган дээр тасархай шугамаар үзүүлэв (Зураг 8).

Жишээ 5. y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| функцийн графикийг зур.

1) Эхлээд та y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) функцийн графикийг зурах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд бид 2-р алгоритм руу буцна.

a) y = (2x – 4) / (x + 3) функцийг анхааралтай зур. (Зураг 9).

Энэ функц нь бутархай шугаман бөгөөд түүний график нь гипербола гэдгийг анхаарна уу. Муруй зурахын тулд эхлээд графикийн асимптотуудыг олох хэрэгтэй. Хэвтээ – у = 2/1 (бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь х-ийн коэффициентүүдийн харьцаа), босоо – x = -3.

2) Графикийн 0x тэнхлэгээс дээш эсвэл түүн дээр байгаа хэсгийг бид өөрчлөхгүй орхино.

3) Графикийн 0x тэнхлэгийн доор байрлах хэсэг нь 0x-тэй харьцуулахад тэгш хэмтэй харагдах болно.

4) Эцсийн графикийг зурагт үзүүлэв (Зураг 11).

blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.

Өмнө нь бид бусад функцуудыг судалж үзсэн, жишээ нь шугаман, түүний стандарт хэлбэрийг эргэн санацгаая.

Тиймээс үндсэн ялгаа нь шугаман функцэд байна Xнэгдүгээр зэрэглэлд зогсож байгаа бөгөөд шинэ функцэд бид судалж эхэлж байна. Xхоёр дахь хүчинд зогсож байна.

Шугаман функцийн график нь шулуун шугам, харин функцийн график нь парабол гэж нэрлэгддэг муруй гэдгийг санаарай.

Томъёо хаанаас гарсныг олж мэдээд эхэлцгээе. Тайлбар нь: хэрэв бидэнд талтай дөрвөлжин өгвөл А, дараа нь бид түүний талбайг дараах байдлаар тооцоолж болно.

Хэрэв бид квадратын хажуугийн уртыг өөрчилвөл түүний талбай өөрчлөгдөнө.

Тиймээс энэ нь функцийг судлах шалтгаануудын нэг юм

хувьсагч гэдгийг санаарай X- энэ нь бие даасан хувьсагч, эсвэл аргумент, жишээлбэл, цаг хугацаа байж болно; Зай нь эсрэгээрээ хамааралтай хувьсагч бөгөөд энэ нь цаг хугацаанаас хамаарна. Хамаарах хувьсагч эсвэл функц нь хувьсагч юм цагт.

Энэ бол захидал харилцааны хууль бөгөөд үүний дагуу үнэ цэнэ тус бүр байдаг Xнэг утгыг өгсөн цагт.

Аливаа захидал харилцааны хууль нь аргументаас функц хүртэлх өвөрмөц байдлын шаардлагыг хангасан байх ёстой. Физик тайлбарт энэ нь зайнаас цаг хугацааны хамаарлын жишээг ашиглавал маш тодорхой харагдаж байна: цаг мөч бүрт бид эхлэх цэгээс тодорхой зайд байдаг бөгөөд эхнээсээ 10 ба 20 километрийн зайд байх боломжгүй юм. t цагт нэгэн зэрэг аялалын.

Үүний зэрэгцээ функц бүрийн утгыг хэд хэдэн аргументын утгуудын тусламжтайгаар олж авч болно.

Тиймээс бид функцийн графикийг бүтээх хэрэгтэй бөгөөд үүний тулд бид хүснэгт хийх хэрэгтэй. Дараа нь график ашиглан функц болон түүний шинж чанарыг судал. Гэхдээ функцийн төрлөөр график байгуулахаас өмнө бид түүний шинж чанарын талаар ямар нэг зүйлийг хэлж чадна: энэ нь ойлгомжтой. цагтсөрөг утгыг авч чадахгүй, учир нь

Тиймээс, хүснэгтийг хийцгээе:

Цагаан будаа. 1

Графикаас дараах шинж чанаруудыг тэмдэглэхэд хялбар байдаг.

Тэнхлэг цагт- энэ нь графикийн тэгш хэмийн тэнхлэг юм;

Параболын орой нь цэг (0; 0);

Функц нь зөвхөн сөрөг бус утгыг хүлээн авдаг гэдгийг бид харж байна;

Хаана байгаа интервалд функц буурч, функц нэмэгдэх интервал дээр;

Функц нь хамгийн бага утгыг орой дээрээ авдаг. ;

Функцийн хамгийн их утга байхгүй;

Жишээ 1

Нөхцөл:

Шийдэл:

Учир нь XНөхцөл нь тодорхой интервал дээр өөрчлөгддөг бол бид функцийн талаар энэ нь нэмэгдэж, интервал дээр өөрчлөгддөг гэж хэлж болно. Функц нь энэ интервалд хамгийн бага утга ба хамгийн их утгатай байна

Цагаан будаа. 2. y = x 2 , x ∈ функцийн график

Жишээ 2

Нөхцөл:Функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол:

Шийдэл:

Xинтервалаар өөрчлөгддөг гэсэн үг цагт while интервал дээр буурч, харин интервал дээр нэмэгдэнэ.

Тиймээс өөрчлөлтийн хязгаар X, өөрчлөлтийн хязгаар цагт, тиймээс өгөгдсөн интервал дээр функцийн хамгийн бага утга ба максимум хоёулаа байна

Цагаан будаа. 3. y = x 2 , x ∈ функцийн график [-3; 2]

Хэд хэдэн аргументын утгуудын тусламжтайгаар ижил функцийн утгыг олж авах боломжтойг жишээгээр харуулъя.

Заримдаа даалгаварт тийм ч энгийн функц байдаггүй бөгөөд функцийн томъёонд зөвхөн "y" эсвэл зөвхөн "x" байдаг.

гэсэн асуулт гарч ирнэ: " Ийм функцийг хэрхэн графикаар зурах вэ?».

Санаж байна уу!

“y = 7” ба “x = 2” хэлбэрийн функцийн график (зөвхөн “y” эсвэл зөвхөн “x” байдаг функцууд) нь координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд параллель шулуун шугам юм.

"y = 7" функцийн графикийг хэрхэн зурах вэ

Үүнийг жишээгээр ойлгоцгооё. "y = 7" функцийг авч үзье.

“y = 7” функцийн томъёонд зөвхөн “y” байна. Энэ нь “y = 7” функцийн график дээрх бүх цэгүүд “y” тэнхлэг (ординат) дагуу “7”-той тэнцүү координаттай байна гэсэн үг.

"х" функцийн аргумент нь "y = 7" функцийн томъёонд тодорхой байхгүй боловч "х" нь "үл үзэгдэх" боловч функцэд байгаа бөгөөд ямар ч тоон утгыг авдаг.

Үүнтэй холбогдуулан зарим зүйлийг олж мэдье график урлаг
"y = 7" функцууд. "x"-ийн гурван дурын тоон утгыг сонгоцгооё. Жишээлбэл, "1", "2", "3" тоонууд.

Хэрэв бид "y = 7" функцийн графикийн олж авсан цэгүүдийг холбовол "Ox" тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг авна.

“x = 2” функцийн графикийг хэрхэн зурах вэ

Зөвхөн "x" байдаг функцууд нь зөвхөн "y" байдаг функцүүдтэй ижил төстэй зарчим дээр бүтээгдсэн бөгөөд цорын ганц ялгаа нь "Ox" тэнхлэгтэй ажилладаг.

Үүнийг жишээгээр ойлгоцгооё. “x = 2” функцийг авч үзье.

"x = 2" функцийн томъёонд зөвхөн "x" байна.

Энэ нь “x = 2” функцийн график дээрх бүх цэгүүд “x” тэнхлэг (абсцисса) дагуу “2”-той тэнцүү координаттай байна гэсэн үг.

“y” функцийн утга “x = 2” функцэд илт байхгүй боловч “y” нь функцэд “үл үзэгдэхгүй” байгаа бөгөөд ямар ч тоон утгыг авдаг.

Ингэж хэлээд график дээрх хэдэн цэгийг олъё
"x = 2" функцууд.

"y"-ийн хувьд дурын гурван тоон утгыг сонгоцгооё. Жишээлбэл, "1", "2", "3" тоонууд.

Олж авсан цэгүүдийг координатын систем дээр тэмдэглэе.

Хэрэв бид "x = 2" функцийн графикийн олж авсан цэгүүдийг холбовол "Oy" тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам гарч ирнэ.

"y = 7" ба "x = 2" хэлбэрийн функцуудыг зурах дүрмийг хэрхэн санах вэ

"y = 7" ба "x = 2" хэлбэрийн функцуудыг зурахын тулд дараах дүрмийг санаарай.

Функц бүтээх

Бид таны анхааралд бүх эрх нь компанид хамаарах функциональ графикийг онлайнаар бүтээх үйлчилгээг санал болгож байна Десмос. Функцуудыг оруулахын тулд зүүн баганыг ашиглана уу. Та гараар эсвэл цонхны доод талд байрлах виртуал гарыг ашиглан оруулах боломжтой. Цонхыг графикаар томруулахын тулд та зүүн багана болон виртуал гарыг хоёуланг нь нууж болно.

Онлайн графикийн ашиг тус

Оруулсан функцүүдийн визуал дэлгэц
Маш нарийн төвөгтэй графикуудыг бүтээх
Графикуудыг далд хэлбэрээр байгуулах (жишээлбэл, эллипс x^2/9+y^2/16=1)
Диаграммуудыг хадгалах, тэдгээрийн холбоосыг хүлээн авах чадвар нь интернетэд байгаа бүх хүмүүст боломжтой болно
Масштаб ба шугамын өнгийг хянах
Тогтмолыг ашиглан графикийг цэгээр зурах боломж
Хэд хэдэн функцийн графикийг нэгэн зэрэг зурах
Туйлын координатаар зурах (r ба θ(\theta)-г ашиглана)

Бидний тусламжтайгаар янз бүрийн нарийн төвөгтэй графикуудыг онлайнаар бүтээхэд хялбар байдаг. Барилга нь шууд хийгддэг. Энэхүү үйлчилгээ нь функцүүдийн огтлолцох цэгүүдийг олох, асуудлыг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг Word баримт бичигт шилжүүлэх графикийг дүрслэх, функцийн графикийн зан үйлийн шинж чанарыг шинжлэхэд эрэлт хэрэгцээтэй байдаг. Энэ вэб хуудасны графиктай ажиллах хамгийн оновчтой хөтөч бол Google Chrome юм. Бусад хөтчүүдийг ашиглах үед зөв ажиллах баталгаа байхгүй.

Функцийн график нь координатын хавтгай дээрх функцийн үйл ажиллагааны дүрслэл юм. График нь функцийг өөрөө тодорхойлох боломжгүй функцийн янз бүрийн талыг ойлгоход тусална. Та олон функцийн графикийг барьж болох бөгөөд тус бүрд нь тодорхой томьёо өгөх болно. Аливаа функцийн графикийг тодорхой алгоритм ашиглан бүтээдэг (хэрэв та тодорхой функцийн график зурах үйл явцыг яг таг мартсан бол).

Алхам

Шугаман функцийн график зурах

Функц шугаман эсэхийг тодорхойл.Шугаман функцийг маягтын томъёогоор өгөгдсөн F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)эсвэл y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(жишээ нь, ), түүний график нь шулуун шугам юм. Тиймээс томьёо нь нэг хувьсагч ба нэг тогтмол (тогтмол) -ийг илтгэгч, язгуур тэмдэг гэх мэт зүйлгүйгээр агуулдаг. Хэрэв ижил төрлийн функц өгөгдсөн бол ийм функцийн графикийг зурах нь маш энгийн. Шугаман функцүүдийн бусад жишээ энд байна:

Y тэнхлэг дээрх цэгийг тэмдэглэхийн тулд тогтмолыг ашиглана.Тогтмол (b) нь графикийн Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийн "y" координат бөгөөд өөрөөр хэлбэл, "x" координат нь 0-тэй тэнцүү цэг юм. Тиймээс хэрэв x = 0 гэж орлуулсан бол. томъёо, дараа нь y = b (тогтмол). Бидний жишээнд y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)тогтмол нь 5-тай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (0.5). Энэ цэгийг координатын хавтгайд зур.

Шугамын налууг ол.Энэ нь хувьсагчийн хүчин зүйлтэй тэнцүү байна. Бидний жишээнд y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)"x" хувьсагчийн хувьд 2-ын хүчин зүйл байна; ингэснээр налуугийн коэффициент нь 2-той тэнцүү байна.Налуугийн коэффициент нь шулуун шугамын X тэнхлэгт хазайх өнцгийг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл налуугийн коэффициент их байх тусам функц хурдан өсөх эсвэл буурах болно.

Налууг бутархай хэлбэрээр бич.Өнцгийн коэффициент нь налуу өнцгийн тангенс, өөрөөр хэлбэл босоо зайг (шулуун шугамын хоёр цэгийн хоорондох) хэвтээ зайд (ижил цэгүүдийн хоорондох) харьцаатай тэнцүү байна. Бидний жишээн дээр налуу нь 2 тул босоо зай нь 2, хэвтээ зай нь 1 байна гэж хэлж болно. Үүнийг бутархай хэлбэрээр бичнэ үү. 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

Хэрэв налуу нь сөрөг байвал функц буурч байна.

Шулуун шугам нь Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэгээс босоо болон хэвтээ зайг ашиглан хоёр дахь цэгийг зур. Шугаман функцийг хоёр цэг ашиглан графикаар зурж болно. Бидний жишээнд Y тэнхлэгтэй огтлолцох цэг нь координаттай (0.5); Энэ цэгээс дээш 2 зай, дараа нь баруун тийш 1 зай ав. Нэг цэгийг тэмдэглэх; энэ нь координаттай байх болно (1,7). Одоо та шулуун шугам зурж болно.

Захирагч ашиглан хоёр цэгээр шулуун шугам зур.Алдаа гаргахгүйн тулд гурав дахь цэгийг олоорой, гэхдээ ихэнх тохиолдолд графикийг хоёр цэгийг ашиглан зурж болно. Тиймээс та шугаман функцийг зурсан байна.

Координатын хавтгайд цэгүүдийг зурах
1. Функцийг тодорхойлно уу.Функцийг f(x) гэж тэмдэглэнэ. "y" хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг ба "x" хувьсагчийн бүх боломжит утгыг функцийн домэйн гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, y = x+2, тухайлбал f(x) = x+2 функцийг авч үзье.
  
  Хоёр огтлолцсон перпендикуляр шугам зур.Хэвтээ шугам нь Y тэнхлэг юм.
  
  Координатын тэнхлэгүүдийг тэмдэглэнэ үү.Тэнхлэг бүрийг тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, дугаарлана. Тэнхлэгүүдийн огтлолцох цэг нь 0. X тэнхлэгийн хувьд: эерэг тоонуудыг баруун тийш (0-ээс), сөрөг тоонуудыг зүүн тийш зурна. Y тэнхлэгийн хувьд: эерэг тоонуудыг дээд талд (0-ээс), сөрөг тоонуудыг доод талд нь зурна.
  
  "x"-ийн утгуудаас "y"-ийн утгыг ол.Бидний жишээнд f(x) = x+2. Харгалзах y утгыг тооцоолохын тулд энэ томьёонд тодорхой x утгуудыг орлуулна уу. Хэрэв нийлмэл функц өгөгдсөн бол тэгшитгэлийн нэг талын "y"-г тусгаарлах замаар хялбаршуулна.
  - -1: -1 + 2 = 1
  - 0: 0 +2 = 2
  - 1: 1 + 2 = 3
2. Координатын хавтгай дээрх цэгүүдийг зур.Хос координат бүрийн хувьд дараахь зүйлийг хий: X тэнхлэг дээр харгалзах утгыг олж, босоо шугам (цэсгээр) зурах; Y тэнхлэг дээр харгалзах утгыг олж, хэвтээ шугам (тасархай) зур. Хоёр тасархай шугамын огтлолцлын цэгийг тэмдэглэ; Тиймээс та график дээр цэг зурсан байна.
  
  Тасалсан зураасыг арилга.График дээрх бүх цэгүүдийг координатын хавтгайд зурсны дараа үүнийг хий. Тайлбар: f(x) = x функцийн график нь координатын төвийг дайран өнгөрөх шулуун шугам [координат (0,0) цэг]; f(x) = x + 2 график нь f(x) = x шулуунтай параллель шулуун боловч хоёр нэгжээр дээш шилжсэн тул (0,2) координаттай цэгийг дайран өнгөрдөг (учир нь тогтмол нь 2) .
Нарийн төвөгтэй функцийг графикаар зурах