Дискрет Фурье хувиргалтын үндсэн талууд. Фурье хувиргалт. Давтамжийн муж дахь шугаман шүүлтүүр. Давтамжийн домэйн зургийн шүүлтүүр
Болъё е(x 1 , x 2) – хоёр хувьсагчийн функц. Нэг хэмжээст Фурье хувиргалттай зүйрлэвэл бид хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтыг нэвтрүүлж болно.
ω 1, ω 2-ийн тогтмол утгуудын функц нь хавтгай дахь хавтгай долгионыг дүрсэлдэг. x 1 , x 2 (Зураг 19.1).
ω 1, ω 2 хэмжигдэхүүнүүд нь орон зайн давтамж, хэмжээсийн утгыг агуулна. мм−1 ба F(ω 1, ω 2) функц нь орон зайн давтамжийн спектрийг тодорхойлно. Бөмбөрцөг линз нь оптик дохионы спектрийг тооцоолох чадвартай (Зураг 19.2). Зураг 19.2-т дараах тэмдэглэгээг үзүүлэв: φ - фокусын урт,
Зураг 19.1 - Орон зайн давтамжийг тодорхойлох
Хоёр хэмжээст Фурье хувиргалт нь нэг хэмжээст хувиргалттай холбоотой бүх шинж чанартай байдаг бөгөөд үүнээс гадна бид хоёр нэмэлт шинж чанарыг тэмдэглэж байгаа бөгөөд үүний баталгаа нь хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтын тодорхойлолтоос амархан гардаг.
Зураг 19.2 – Оптик дохионы спектрийг ашиглан тооцоолох
бөмбөрцөг линз
Factorization. Хэрэв хоёр хэмжээст дохиог хүчин зүйлээр тооцвол,
Дараа нь түүний спектрийг мөн хүчин зүйлчилсэн болно:
Радиал тэгш хэм. Хэрэв хоёр хэмжээст дохио нь радиаль тэгш хэмтэй бол, өөрөөр хэлбэл
Тэг эрэмбийн Бесселийн функц хаана байна. Радиаль тэгш хэмтэй хоёр хэмжээст дохио ба түүний орон зайн спектрийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлох томъёог Hankel хувиргалт гэж нэрлэдэг.
ЛЕКЦ 20. Дискрет Фурье хувиргалт. Бага нэвтрүүлэх шүүлтүүр
Шууд хоёр хэмжээст дискрет Фурье хувиргалт (DFT) нь орон зайн координатын системд тодорхойлсон дүрсийг хувиргадаг. x, y), давтамжийн координатын системд заасан хоёр хэмжээст дискрет дүрс хувиргалт ( у, в):
Урвуу дискрет Фурье хувиргалт (IDFT) дараах хэлбэртэй байна.
DFT нь нарийн төвөгтэй өөрчлөлт гэдгийг харж болно. Энэхүү хувиргалтын модуль нь зургийн спектрийн далайцыг илэрхийлдэг бөгөөд DFT-ийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийн квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар тооцоологддог. Үе шат (фазын шилжилтийн өнцөг) нь DFT-ийн төсөөллийн хэсгийн бодит хэсгийн харьцааны арктангенс гэж тодорхойлогддог. Эрчим хүчний спектр нь спектрийн далайцын квадрат буюу спектрийн төсөөлөл ба бодит хэсгүүдийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
Хувиралтын теорем
Хувиралын теоремын дагуу орон зайн муж дахь хоёр функцийн эргэлтийг тэдгээрийн DFT-ийн үржвэрийн ODFT-ээр олж авч болно, өөрөөр хэлбэл
Давтамжийн домэйнд шүүлтүүр хийх нь зургийн DFT-г ашиглан зургийн шаардлагатай хувиргалтыг хангах шүүлтүүрийн давтамжийн хариуг сонгох боломжийг олгоно. Хамгийн түгээмэл шүүлтүүрүүдийн давтамжийн шинж чанарыг авч үзье.
Шугаман зургийн шүүлтүүрийг орон зайн болон давтамжийн аль алинд нь хийж болно. "Бага" орон зайн давтамж нь зургийн үндсэн агуулга - дэвсгэр ба том хэмжээтэй объектууд, "өндөр" орон зайн давтамжууд - жижиг хэмжээтэй объектууд, том хэлбэрийн жижиг нарийн ширийн зүйлс, дуу чимээний бүрэлдэхүүн хэсэгтэй нийцдэг гэж үздэг.
Уламжлал ёсоор орон зайн давтамжийн домайн руу шилжихийн тулд $\textit(Fourier transform)$ дээр суурилсан аргуудыг ашигладаг. Сүүлийн жилүүдэд $\textit(wavelet-transform)$-д үндэслэсэн аргууд ч их хэрэглэгдэх болсон.
Фурье хувиргалт.
Фурье хувиргалт нь синус болон косинус зэрэг тригонометрийн функцүүдийн хослол хэлбэрээр бараг ямар ч функц эсвэл өгөгдлийн багцыг илэрхийлэх боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь өгөгдлийн үечилсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тодорхойлж, тэдгээрийн анхны өгөгдлийн бүтэц эсвэл хэлбэрт оруулсан хувь нэмрийг үнэлэх боломжийг олгодог. функц. Уламжлал ёсоор Фурье хувиргалтын гурван үндсэн хэлбэр байдаг: интеграл Фурье хувиргалт, Фурьегийн цуваа, салангид Фурье хувиргалт.
Фурье интеграл хувиргалт нь бодит функцийг хос бодит функц болгон эсвэл нэг цогц функцийг нөгөө болгон хувиргадаг.
Бодит $f(x)$ функцийг тригонометрийн функцүүдийн ортогональ системд өргөтгөж, өөрөөр хэлбэл хэлбэрээр дүрсэлж болно.
$$ f\left(x \right)=\int\limits_0^\infty (A\left(\omega \right)) \cos \left((2\pi \omega x) \right)d\omega -\ int\limits_0^\infty (B\left(\omega \right)) \sin \left((2\pi \omega x) \right)d\omega , $$
$A(\omega)$ ба $B(\omega)$-ийг интеграл косинус ба синус хувиргалт гэж нэрлэдэг:
$$ A\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \баруун)) \cos \left((2\pi \omega x) ) \right)dx; \quad B\left(\omega \right)=2\int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (f\left(x \баруун)) \sin \left((2\pi \omega x) ) \right)dx. $$
Фурье цуврал нь $$ интервал дээр тодорхойлогдсон $f(x)$ үечилсэн функцийг синусын болон косинусын хязгааргүй цуваа хэлбэрээр илэрхийлдэг. Өөрөөр хэлбэл, $f(x)$ үечилсэн функц нь Фурье коэффициентүүдийн хязгааргүй дараалалтай холбоотой.
$$ f\left(x \right)=\frac(A_0 )(2)+\sum\limits_(n=1)^\infty (A_n ) \cos \left((\frac(2\pi xn))( b-a)) \баруун)+\нийлбэр\хязгаар_(n=1)^\infty (B_n \sin \left((\frac(2\pi xn)(b-a)) \баруун)) , $$
$$ A_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \баруун)) \cos \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \баруун)dx ; \quad B_n =\frac(2)(b-a)\int\limits_a^b (f\left(x \баруун)) \sin \left((\frac(2\pi nx)(b-a)) \баруун)dx . $$
Дискрет Фурье хувиргалт нь бодит тоонуудын хязгаарлагдмал дарааллыг Фурье коэффициентийн төгсгөлөг дараалал болгон хувиргадаг.
$\left\( (x_i ) \right\), i= 0,\ldots, N-1 $ - бодит тоонуудын дараалал - жишээ нь зургийн шугамын дагуу пикселийн тод байдлыг тоолъё. Энэ дарааллыг маягтын хязгаарлагдмал нийлбэрүүдийн хослолоор төлөөлж болно
$$ x_i =a_0 +\нийлбэр\хязгаар_(n=1)^(N/2) (a_n ) \cos \left((\frac(2\pi ni)(N)) \баруун)+\нийлбэр\хязгаар_ (n=1)^(N/2) (b_n \sin \left((\frac(2\pi ni)(N)) \баруун)) , $$
$$ a_0 =\frac(1)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) , \quad a_(N/2) =\frac(1)(N)\sum \limits_(i=0)^(N-1) (x_i ) \left((-1) \right)^i, \quad a_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0) ^(N-1) (x_i \cos \left((\frac(2\pi ik)(N)) \баруун)), $$
$$ b_k =\frac(2)(N)\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i \sin \left((\frac(2\pi ik)(N)) \баруун) ), \quad i\le k Фурье хувиргалтын гурван хэлбэрийн гол ялгаа нь хэрэв интеграл Фурье хувиргалтыг $f(x)$ функцийн тодорхойлолтын бүхэл бүтэн мужид тодорхойлсон бол цуваа болон дискрет Фурье хувиргалтыг зөвхөн дискрет олонлог дээр тодорхойлно. цэгүүдийн тоо, Фурье цувралын хувьд хязгааргүй, дискрет нэг хувиргалтуудын хувьд төгсгөлтэй. Фурье хувиргалтын тодорхойлолтуудаас харахад дискрет Фурье хувиргалт нь дижитал дохио боловсруулах системд хамгийн их сонирхол татдаг. Тоон зөөвөрлөгч эсвэл мэдээллийн эх сурвалжаас хүлээн авсан өгөгдөл нь вектор эсвэл матриц хэлбэрээр бичигдсэн тоонуудын дараалсан багц юм. Дискрет хувиргалт хийх оролтын өгөгдөл нь $T=N\Delta $-ийн алхмтай нэг төрлийн түүвэр байх бөгөөд $T=N\Delta $ утгыг бичлэгийн урт буюу үндсэн үе гэж нэрлэдэг гэж үздэг. Үндсэн давтамж нь $1/T$ байна. Тиймээс дискрет Фурье хувиргалт нь оролтын өгөгдлийг үндсэн давтамжийн бүхэл үржвэр давтамж болгон задалдаг. Оролтын өгөгдлийн хэмжээсээр тодорхойлогддог хамгийн их давтамж нь $1/2 \Delta $-тай тэнцүү бөгөөд үүнийг $\it(Nyquist давтамж)$ гэж нэрлэдэг. Дискрет хувиргалтыг ашиглах үед Nyquist давтамжийг харгалзан үзэх нь чухал юм. Хэрэв оролтын өгөгдөл нь Nyquist давтамжаас өндөр давтамжтай үечилсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй бол дискрет Фурье хувиргалт нь өндөр давтамжийн өгөгдлийг бага давтамжтайгаар орлуулах бөгөөд энэ нь дискрет хувиргалтын үр дүнг тайлбарлахад алдаа гаргахад хүргэдэг. $\it(энергийн спектр)$ нь мөн өгөгдөлд дүн шинжилгээ хийх чухал хэрэгсэл юм. $\omega $ давтамж дахь дохионы хүчийг дараах байдлаар тодорхойлно. $$ P \left(\omega \right)=\frac(1)(2)\left((A \left(\omega \right)^2+B \left(\omega \right)^2) \right ) . $$ Энэ хэмжигдэхүүнийг ихэвчлэн $\omega $ давтамжтайгаар $\it(дохионы энерги)$ гэж нэрлэдэг. Парсевалын теоремоор оролтын дохионы нийт энерги нь бүх давтамжийн энергийн нийлбэртэй тэнцүү байна. $$ E=\sum\limits_(i=0)^(N-1) (x_i^2 ) =\sum\limits_(i=0)^(N/2) (P \left((\omega _i )) \right)) . $$ Давтамж ба чадлын графикийг эрчим хүчний спектр эсвэл эрчим хүчний спектр гэж нэрлэдэг. Эрчим хүчний спектр нь оролтын өгөгдлийн далд давтамжийг тодорхойлох, оролтын өгөгдлийн бүтцэд тодорхой давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн оруулсан хувь нэмрийг үнэлэх боломжийг олгодог. Дискрет Фурье хувиргалтыг бүртгэх тригонометрийн хэлбэрээс гадна $\it(complex representation)$ өргөн хэрэглэгддэг. Фурье хувиргалтыг бүртгэх нарийн төвөгтэй хэлбэрийг олон хэмжээст шинжилгээнд, ялангуяа зураг боловсруулахад өргөн ашигладаг. Тригонометрээс нарийн төвөгтэй хэлбэрт шилжих ажлыг Эйлерийн томъёонд үндэслэн гүйцэтгэдэг $$ e^(j\omega t)=\cos \omega t+j\sin \omega t, \quad j=\sqrt (-1) . $$ Хэрэв оролтын дараалал нь $N$ комплекс тоо бол түүний салангид Фурье хувиргалт болно $$ G_m =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (x_n ) e^(\frac(-2\pi jmn)(N)), $$ ба урвуу хувирал $$ x_m =\нийлбэр\limits_(n=1)^(N-1) (G_n ) e^(\frac(2\pi jmn)(N)). $$ Хэрэв оролтын дараалал нь бодит тоонуудын массив бол түүний хувьд нийлмэл болон салангид синус-косинусын хувиргалт байдаг. Эдгээр санаануудын хоорондын хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлнэ. $$ a_0 =G_0 , \quad G_k =\left((a_k -jb_k ) \right)/2, \quad 1\le k\le N/2; $$ Үлдсэн $N/2$ хувиргах утгууд нь нарийн төвөгтэй коньюгатууд бөгөөд нэмэлт мэдээлэл агуулдаггүй. Иймд дискрет Фурье хувирлын чадлын спектрийн график $N/2$-тай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. Дискрет Фурье хувиргалтыг (DFT) тооцоолох хамгийн энгийн арга бол шууд нийлбэр бөгөөд үр дүнд нь коэффициент тус бүр дээр $N$ үйлдлүүд гардаг. Нийт коэффициентүүд нь $N$ тул нийт нарийн төвөгтэй байдал нь $O\left((N^2) \right)$ байна. Хурдан Фурье хувиргалт (FFT) гэж нэрлэгддэг $O (N\log N)$ нарийн төвөгтэй DFT-ийг тооцоолох илүү үр дүнтэй аргууд байдаг тул энэ арга нь практик сонирхол биш юм. FFT нь зөвхөн урттай (элементийн тоо) 2-ын зэрэгтэй дараалалд хамаарна. FFT алгоритмын хамгийн ерөнхий зарчим нь оролтын дарааллыг хагас урттай хоёр дараалалд хуваах явдал юм. Эхний дарааллыг тэгш тоогоор, хоёр дахь нь сондгой тоогоор дүүргэсэн. Энэ нь $N/2$ хэмжээсийн хоёр хувиргалтаар DFT коэффициентийг тооцоолох боломжтой болгодог. $\omega _m =e^(\frac(2\pi j)(m))$, дараа нь $G_m =\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_) гэж тэмдэглэе. (2n ) ) \omega _(N/2)^(mn) +\sum\limits_(n=1)^((N/2)-1) (x_(2n+1) ) \omega _(N/ 2) ^(mn)\omega _N^m $. доллараар< N/2$ тогда можно записать $G_m =G_{\textrm{even}} \left(m \right)+G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Учитывая, что элементы ДПФ с индексом
б ольшим, чем $N/2$, являются комплексно сопряженными к элементам с индексами
меньшими $N/2$, можно записать $G_{m+(N/2)} =G_{\textrm{even}} \left(m \right)-G_{\textrm{odd}}
\left(m \right)\omega _N^m $. Таким образом, можно вычислить БПФ длиной $N$,
используя два ДПФ длиной $N/2$. Полный алгоритм БПФ заключается в рекурсивном
выполнении вышеописанной процедуры, начиная с объединения одиночных элементов в пары,
затем в четверки и так до полного охвата исходного массива данных. $M\times N$ хэмжээтэй хоёр хэмжээст массивын дискрет Фурье хувиргалтыг дараах байдлаар тодорхойлно. $$ G_(uw) =\frac(1)(NM)\sum\limits_(n=1)^(N-1) (\sum\limits_(m=1)^(M-1) (x_(mn) ) ) ) e^((-2\pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \баруун]) ), $$ ба урвуу хувирал $$ x_(mn) =\sum\limits_(u=1)^(N-1) (\sum\limits_(w=1)^(M-1) (G_(uw) ) ) e^( (2) \pi j\left[ (\frac(mu)(M)+\frac(nw)(N)) \баруун]) ). $$ Зургийн боловсруулалтын хувьд хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг $\textit(орон зайн давтамж)$ гэж нэрлэдэг. Хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтын чухал шинж чанар нь нэг хэмжээст FFT процедурыг ашиглан үүнийг тооцоолох чадвар юм. $$ G_(uw) =\frac(1)(N)\sum\limits_(n=1)^(N-1) ( \left[(\frac(1)(M)\sum\limits_(m=) 0)^(M-1) (x_(mn) e^(\frac(-2\pi jmw)(M))) ) \баруун] ) e^(\frac(-2\pi jnu)(N) ), $$ Энд дөрвөлжин хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь нэг хэмжээст FFT-ээр гүйцэтгэх боломжтой өгөгдлийн матрицын эгнээний нэг хэмжээст хувиргалт юм. Ийнхүү хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтыг авахын тулд эхлээд нэг хэмжээст мөрийн хувиргалтыг тооцоолж, үр дүнг анхны матрицад бичиж, үүссэн матрицын баганын нэг хэмжээст хувиргалтыг тооцоолох хэрэгтэй. Хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтыг тооцоолохдоо бага давтамжууд нь матрицын буланд төвлөрөх бөгөөд энэ нь хүлээн авсан мэдээллийг цаашид боловсруулахад тийм ч тохиромжтой биш юм. Бага давтамжууд нь матрицын төвд төвлөрдөг 2 хэмжээст Фурье хувиргалт дүрслэлийг олж авахын тулд орчуулж болох энгийн процедур бол анхны өгөгдлийг $-1^(m+n)$-р үржүүлэх явдал юм. Зураг дээр. Зураг 16-д анхны зураг болон түүний Фурье хувиргалтыг үзүүлэв. Хагас өнгөний зураг ба түүний Фурье хувиргалт (LabVIEW-ээс авсан зургууд) $s(t)$ ба $r(t)$ функцүүдийн эргэлтийг дараах байдлаар тодорхойлно $$ s\ast r\cong r\ast s\cong \int\limits_(-\infty )^(+\infty ) (s(\tau)) r(t-\tau)d\tau . $$ Практикт бид тасралтгүй функцуудыг жигд сүлжээний зангилааны утгуудын багцаар сольдог салангид эргэлттэй ажиллах шаардлагатай болдог (ихэвчлэн бүхэл тоон сүлжээг авдаг): $$ (r\ast s)_j \cong \sum\limits_(k=-N)^P (s_(j-k) r_k ). $$ Энд $-N$ ба $P$ нь $r(t) = 0$-аас хэтрэх хүрээг тодорхойлдог. Фурье хувиргалтыг ашиглан эргэлтийг тооцоолохдоо Фурье хувиргалтын шинж чанарыг ашигладаг бөгөөд үүний дагуу давтамжийн муж дахь функцүүдийн зургийн бүтээгдэхүүн нь цаг хугацааны муж дахь эдгээр функцүүдийн эргэлттэй тэнцүү байна. Тохиролтыг тооцоолохын тулд анхны өгөгдлийг давтамжийн муж болгон хувиргах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл түүний Фурье хувиргалтыг тооцоолж, хувирлын үр дүнг үржүүлж, урвуу Фурье хувиргалтыг хийж, анхны дүрслэлийг сэргээнэ. Алгоритмын үйл ажиллагааны цорын ганц нарийн зүйл бол Фурьегийн салангид хувиргалт (тасралтгүй нэгээс ялгаатай) үед хоёр үечилсэн функц нь эргэлддэг, өөрөөр хэлбэл бидний утгуудын багц нь яг тодорхой заасан байдагтай холбоотой юм. тэнхлэгийн зарим хэсэг дээрх утгууд төдийгүй эдгээр функцүүдийн үеүүд. Өөрөөр хэлбэл, алгоритм нь $x_(N )$ цэгийн араас тэг биш, харин $x_(0)$ цэг гэх мэт тойрог дотор байна гэж үздэг. Тиймээс эргэлтийг зөв тооцоолохын тулд дохионд хангалттай урт тэг дарааллыг өгөх шаардлагатай. Шугаман шүүлтүүрийн аргууд нь хурдан эргэлтийн алгоритм, спектрийн шинжилгээнд суурилсан үр ашигтай тооцооллын схемийг боловсруулсан сайн бүтэцтэй аргуудын нэг юм. Ерөнхийдөө шугаман шүүлтүүрийн алгоритмууд нь маягтын хувиргалтыг гүйцэтгэдэг $$ f"(x,y) = \int\int f(\zeta -x, \eta -y)K (\zeta , \eta) d \zeta d \eta , $$ Энд $K(\zeta ,\eta)$ нь шугаман хувиргалтын цөм юм. Дохионы салангид дүрслэлээр энэ томьёо дахь интеграл нь тодорхой диафрагмын дотор анхны зургийн түүврийн жигнэсэн нийлбэр болж доройтдог. Энэ тохиолдолд $K(\zeta ,\eta)$ цөмийг аль нэг оновчтой байдлын шалгуурын дагуу сонгох нь хэд хэдэн ашигтай шинж чанарыг бий болгоход хүргэдэг (зургийн тоон ялгах асуудлыг зохицуулах үед Гауссын тэгшитгэх гэх мэт). . Шугаман боловсруулалтын аргыг давтамжийн мужид хамгийн үр дүнтэй хэрэгжүүлдэг. Шүүлтүүр хийх үйлдлүүдийг гүйцэтгэхийн тулд зургийн Фурье хувиргалтыг ашиглах нь юуны түрүүнд эдгээр үйлдлүүдийн өндөр гүйцэтгэлтэй холбоотой юм. Дүрмээр бол 2 хэмжээст Фурьегийн урагш болон урвуу хувиргалтыг хийж, шүүлтүүрийн Фурье зургийн коэффициентээр үржүүлэх нь анхны зураг дээр 2 хэмжээст хувиргалт хийхээс бага хугацаа шаарддаг. Давтамжийн домэйн шүүлтүүрийн алгоритмууд нь эргэлтийн теорем дээр суурилдаг. 2D тохиолдолд эргэлтийн хувиргалт дараах байдалтай байна. $$ G\left((u,v) \баруун)=H\left((u,v) \баруун)F\left((u,v) \баруун), $$ Энд $G$ нь эргэлтийн үр дүнгийн Фурье хувиргалт, $H$ нь шүүлтүүрийн Фурье хувиргалт, $F$ нь анхны зургийн Фурье хувиргалт юм. Өөрөөр хэлбэл, давтамжийн мужид хоёр хэмжээст эргэлтийг анхны зургийн дүрс, харгалзах шүүлтүүрийн элементийн үржвэрээр солино. Товчлуурыг хийхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй. Давтамжийн муж дахь шүүлтүүрийн функц ба орон зайн муж хоорондын хамаарлыг эргэлтийн теорем ашиглан тодорхойлж болно $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)H\left(( u,v) \right), $$ $$ \Phi \left[ (f\left((x,y) \right)h(x,y)) \right]=F\left((u,v) \right)\ast H\left(( u,v)\баруун). $$ Импульсийн функцтэй функцийн эргэлтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. $$ \нийлбэр\хязгаар_(x=0)^M (\нийлбэр\хязгаар_(у=0)^N (s\left((x,y) \баруун)) ) \delta \left((x-x_0 , y-y_0 )\right)=s(x_0,y_0). $$ Импульсийн функцийн Фурье хувиргалт $$ F\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)\sum\limits_(x=0)^M (\sum\limits_(y=0)^N (\delta \ зүүн((x,y) \баруун) ) ) e^( (-2\pi j\left((\frac(ux)(M)+\frac(vy)(N)) \баруун)) ) =\ frac(1)(MN). $$ $f(x,y) = \delta (x,y)$, дараа нь эргэлт гэж үзье $$ f\left((x,y) \right)\ast h(x,y)=\frac(1)(MN)h\left((x,y) \баруун), $$ $$ \Phi \left[ (\delta \left((x,y) \right)\ast h(x,y)) \right]=\Phi \left[ (\delta \left((x,y)) \right)) \right]H\left((u,v) \right)=\frac(1)(MN)H\left((u,v) \right). $$ Эдгээр илэрхийллээс харахад давтамж ба орон зайн муж дахь шүүлтүүрийн функцууд нь Фурье хувиргалтаар харилцан хамааралтай байдаг. Давтамжийн муж дахь өгөгдсөн шүүлтүүрийн функцийн хувьд урвуу Фурье хувиргалтыг ашиглан орон зайн мужид тохирох шүүлтүүрийг олох боломжтой. Урвуу тохиолдолд ч мөн адил. Энэ хамаарлыг ашиглан орон зайн шугаман шүүлтүүрийг нэгтгэх процедурыг тодорхойлж болно. ($\textit(Хамгийн тохиромжтой бага нэвтрүүлэх шүүлтүүр)$) $H(u,v)$ нь $$H(u,v) = 1, \quad \mbox(хэрэв )D(u,v) хэлбэртэй байна< D_0 ,$$
$$H(u,v) = 0, \quad \mbox{если }D(u,v) \ge D_0 ,$$
где $D\left({u,v} \right)=\sqrt {\left({u-\frac{M}{2}} \right)^2+\left({v-\frac{N}{2}} \right)^2}$ - расстояние от центра частотной плоскости. ($\textit(Ideal high-pass filter)$) нь хамгийн тохиромжтой нам дамжуулалтын шүүлтүүрийг эргүүлснээр олж авна: $$ H"(u,v) = 1-H(u,v). $$ Энд бага давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бүрэн дарж, өндөр давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хадгалдаг. Гэсэн хэдий ч хамгийн тохиромжтой нам дамжуулалтын шүүлтүүрийн нэгэн адил түүний хэрэглээ нь ихээхэн гажуудлаар дүүрэн байдаг. Шүүлтүүрийг хамгийн бага гажуудалтай нэгтгэхийн тулд янз бүрийн аргыг ашигладаг. Тэдний нэг нь экспоненциал дээр суурилсан шүүлтүүрийн синтез юм. Ийм шүүлтүүрүүд нь үүссэн зурагт хамгийн бага гажуудал үүсгэдэг бөгөөд давтамжийн мужид синтез хийхэд тохиромжтой. Бодит Гауссын функц дээр суурилсан шүүлтүүрийн гэр бүлийг зураг боловсруулахад өргөн ашигладаг. $\textit(Бага нэвтрүүлэх Гауссын шүүлтүүр)$ маягттай байна $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma Ae^(-2\left((\pi \sigma x) \баруун)^2) \mbox(болон ) H\left( u \баруун)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma ^2)) $$ Давтамжийн домэйн дэх шүүлтүүрийн профайл нарийхан байх тусам ($\sigma $ том байх тусам) орон зайн домэйнд илүү өргөн болно. ($\textit(Өндөр нэвтрүүлэх Гауссын шүүлтүүр)$) маягт байна $$ h\left(x \right)=\sqrt (2\pi ) \sigma _A Ae^(-2\left((\pi \sigma _A x) \баруун)^2)-\sqrt (2\pi) ) \sigma _B Be^(-2\left((\pi \sigma _B x) \баруун)^2 ), $$ $$ H\left(u \баруун)=Ae^(-\frac(u^2)(2\sigma _A^2 ))-Be^(-\frac(u^2)(2\sigma _B^2) )). $$ Хоёр хэмжээст тохиолдолд ($\it(бага нэвтрүүлэх)$) Гауссын шүүлтүүр дараах байдлаар харагдана. $$ H\left((u,v) \right)=e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ ($\it(High Pass)$) Гауссын шүүлтүүр нь хэлбэртэй байна $$ H\left((u,v) \right)=1-e^(-\frac(D^2\left((u,v) \right))(2D_0^2 )). $$ Давтамжийн мужид (Зураг 17 - 22) зураг шүүх (Зураг 1) жишээг авч үзье. Зургийн давтамжийн шүүлтүүр нь тэгшитгэх ($\textit(бага нэвтрүүлэх шүүлтүүр)$) болон контур болон жижиг хэмжээтэй объектуудыг тодруулах ($\textit(өндөр нэвтрүүлэх шүүлтүүр)$) гэсэн утгатай болохыг анхаарна уу. Зураг дээрээс харж болно. 17, 19-д, зургийн бага давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсэгт шүүлтүүрийн “хүч” нэмэгдэхийн хэрээр зургийн “тодорхой бус байдал” буюу $\it(blur)$-ын нөлөө улам бүр тодрох болно. Үүний зэрэгцээ зургийн мэдээллийн ихэнх хэсэг нь аажмаар өндөр давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсэг рүү шилждэг бөгөөд эхэнд зөвхөн объектын контур ажиглагддаг (Зураг 18, 20 - 22). Одоо зураг дээр нэмэлт Гауссын шуугиан байгаа үед өндөр болон бага дамжуулалтын шүүлтүүрүүдийн үйл ажиллагааг (Зураг 23 - 28) авч үзье (Зураг 7). Зураг дээрээс харж болно. 23, 25, нэмэлт санамсаргүй дуу чимээг дарах бага давтамжийн шүүлтүүрийн шинж чанарууд нь өмнө нь авч үзсэн шугаман шүүлтүүрүүдийн шинж чанаруудтай төстэй байдаг - хангалттай шүүлтүүрийн чадалтай, дуу чимээ дарагддаг, гэхдээ үүний үнэ нь контурыг хүчтэй бүдгэрүүлж, "фокусыг сааруулдаг" ” зургийг бүхэлд нь харуулсан. Шуугиантай дүрсийн өндөр давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь мэдээлэл өгөхөө больсон, учир нь контур ба объектын мэдээллээс гадна дуу чимээний бүрэлдэхүүн хэсэг нь бүрэн дүүрэн байдаг (Зураг 27, 28). Дуу чимээний процессын статистик загвар ба/эсвэл дүрс дамжуулах сувгийн оптик дамжуулах функц мэдэгдэж байгаа тохиолдолд давтамжийн аргыг ашиглах нь хамгийн тохиромжтой. Дараах хэлбэрийн ерөнхий хяналттай шүүлтүүрийг ($\sigma $ ба $\mu$ параметрээр) сэргээн босгох шүүлтүүр болгон сонгох замаар ийм априори өгөгдлийг харгалзан үзэх нь тохиромжтой. $$ F(w_1,w_2)= \left[ ( \frac (1) (P(w_1,w_2)) )\right] \cdot \left[ (\frac ((\vert P(w_1,w_2) \vert) )^2) (\vert P(w_1,w_2) \vert ^2 + \alpha \vert Q(w_1,w_2) \vert ^2) )\right]. $$ хаана 0 доллар< \sigma < 1$, $0 < \mu < 1$ - назначаемые параметры фильтра,
$P(w_{1}$, $w_{2})$ - передаточная функция системы, $Q(w_{1}$, $w_{2})$ -
стабилизатор фильтра, согласованный с энергетическим спектром фона. Выбор
параметров $\sigma = 1$, $\mu = 0$ приводит к чисто инверсной фильтрации,
$\sigma =\mu = 1$ к \it{винеровской фильтрации}, что позволяет получить изображение, близкое к
истинному в смысле минимума СКО при условии, что спектры
плотности мощности
изображения и его шумовой компоненты априорно известны. Для дальнейшего
улучшения эффекта сглаживания в алгоритм линейной (винеровской) фильтрации
вводят адаптацию, основанную на оценке локальных статистик: математического
ожидания $M(P)$ и дисперсии $\sigma (P)$. Этот алгоритм эффективно фильтрует
засоренные однородные поверхности (области) фона. Однако при попадании в
скользящее окно обработки неоднородных участков фона импульсная
характеристика фильтра сужается ввиду резкого изменения локальных статистик,
и эти неоднородности (контуры, пятна) передаются практически без
расфокусировки, свойственной неадаптивным методам линейной фильтрации. Шугаман шүүлтүүрийн аргын давуу тал нь тэдгээрийн тодорхой физик утга, үр дүнг шинжлэхэд хялбар байдаг. Гэсэн хэдий ч дохио ба дуу чимээний харьцаа огцом муудаж, талбайн дуу чимээний боломжит хувилбарууд, өндөр далайцтай импульсийн дуу чимээ байгаа тохиолдолд шугаман урьдчилсан боловсруулалтын аргууд хангалтгүй байж болно. Энэ тохиолдолд шугаман бус аргууд нь илүү хүчтэй байдаг. 19 тасалбар 1. Өргөтгөх мэс засал 2. Орон зайн спектрийн шинж чанарууд Өргөтгөх үйл ажиллагаа. Z 2 зайнаас А ба В олонлог байг. А олонлогийн В олонлогоор (эсвэл В-ийн хувьд) тэлэлтийг A⊕B гэж тэмдэглээд дараах байдлаар тодорхойлно. Дараах байдлаар дахин бичиж болно. Бид В олонлогийг бүтэц үүсгэгч олонлог эсвэл тэлэлтийн команд гэж нэрлэх болно. (11) нь В олонлогийн анхны координаттай (В төв) төвлөрсөн тусгал авч, дараа нь энэ олонлогийг z цэг рүү шилжүүлж, А олонлогийг B дагуу өргөтгөх - z ба А-д давхцаж буй бүх ийм шилжилтийн олонлогийг дэлгэрүүлэхэд суурилдаг. дор хаяж нэг элемент. Энэ тодорхойлолт нь цорын ганц биш юм. Гэсэн хэдий ч өргөсгөх процедур нь багц дээр хийгддэг эргэлтийн ажиллагаатай зарим талаараа төстэй юм. Орон зайн спектрийн шинж чанарууд (1.8)-ын дагуу хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтыг дараах байдлаар тодорхойлно Хаана w x, w y- орон зайн давтамж. Спектрийн квадрат модуль M( w x, w y) = |Ф( w x, w y)| 2-ыг хэд хэдэн онцлогийг тооцоолоход ашиглаж болно. Функцийг нэгтгэх М(w x, w y) орон зайн давтамжийн хавтгай дээрх өнцгөөр дүрсний шилжилт ба эргэлтийн хувьд өөрчлөгддөггүй орон зай-давтамжийн тэмдгийг өгдөг. Функцийг танилцуулж байна М(w x, w y) туйлын координатууд дээр бид энэ тэмдгийг хэлбэрээр бичнэ Хаана q= arctg( w y/w x); r 2 = w x 2 +w y 2 . 20 тасалбар 1. Элэгдлийн үйл ажиллагаа Зургийн дээжийн матрицын салангид хоёр хэмжээст Фурье хувиргалтыг дараах байдлаар тодорхойлно. Энд ба салангид урвуу хувиргалт нь дараах хэлбэртэй байна. Үргэлжилсэн Фурье хувиргалтын нэр томьёоны адилаар хувьсагчдыг орон зайн давтамж гэж нэрлэдэг. Бүх судлаачид (4.97), (4.98) тодорхойлолтуудыг ашигладаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Зарим нь урвуу хувиргалтын илэрхийлэлд бүх масштабын тогтмолыг оруулахыг илүүд үздэг бол зарим нь цөм дэх тэмдгүүдийг урвуу болгодог. Хувиргах цөм нь тэгш хэмтэй, салгах боломжтой байдаг тул хоёр хэмжээст хувиргалтыг зургийн матрицын мөр, баганын дагуу дараалсан нэг хэмжээст хувиргалт хэлбэрээр хийж болно. Үндсэн хувиргах функцууд нь синус болон косинусын бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд задардаг нарийн төвөгтэй экспоненциалууд юм. Тиймээс, Зургийн спектр нь олон сонирхолтой бүтцийн шинж чанартай байдаг. Давтамжийн хавтгайн гарал үүслийн спектрийн бүрэлдэхүүн хэсэг -ийн өсөлттэй тэнцүү байна Ндундаж (анхны хавтгай дээрх) зургийн тод байдлын утгыг дахин нэмэгдүүлнэ. Тэгш байдлыг орлуулах (4.97) хаана ба тогтмол бол бид дараахыг авна: Аливаа бүхэл тоон утгын хувьд тэгш байдлын хоёр дахь экспоненциал хүчин зүйл (4.101) нэг болж хувирдаг. Тиймээс, хэзээ, энэ нь давтамжийн хавтгайн үечилсэн байдлыг илэрхийлдэг. Энэ үр дүнг Зураг 4.14а-д үзүүлэв. Зургийн хоёр хэмжээст Фурье спектр нь үндсэндээ хоёр хэмжээст талбайн Фурье цувралын дүрслэл юм. Ийм дүрслэл шударга байхын тулд анхны зураг нь мөн үечилсэн бүтэцтэй байх ёстой, i.e. босоо болон хэвтээ давтагдах хэв маягтай байна (Зураг 4.14, б). Тиймээс зургийн баруун ирмэг нь зүүн тийшээ, дээд ирмэг нь доод талтай зэрэгцэн оршдог. Эдгээр газруудад гэрэлтүүлгийн утгууд тасалдсанаас болж давтамжийн хавтгайн координатын тэнхлэг дээр байрлах зургийн спектрт нэмэлт бүрэлдэхүүн хэсгүүд гарч ирдэг. Эдгээр бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь зургийн дотоод цэгүүдийн тод байдлын утгуудтай холбоогүй боловч түүний хурц хил хязгаарыг хуулбарлахад шаардлагатай байдаг. Хэрэв зургийн дээжийн массив нь тод байдлын талбарыг дүрсэлсэн бол тоонууд нь бодит бөгөөд эерэг байх болно. Гэхдээ энэ зургийн Фурье спектр нь ерөнхийдөө нарийн төвөгтэй утгатай байдаг. Спектр нь бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг төлөөлдөг бүрэлдэхүүн хэсэг эсвэл давтамж бүрийн спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн фаз ба хэмжээг агуулсан байдаг тул Фурье хувиргалт нь зургийн хэмжээст байдлыг нэмэгдүүлэх мэт харагдаж болно. Гэсэн хэдий ч энэ нь нарийн төвөгтэй коньюгацийн хувьд тэгш хэмтэй тул тийм биш юм. Хэрэв тэгш байдал (4.101) дээр бид бүхэл тоонуудыг тавивал нийлмэл холболтын дараа бид тэгшитгэлийг авна. Орлуулах ба src=http://electrono.ru/wp-content/image_post/osncifr/pic126_15.gif>-г ашиглан үүнийг харуулж болно. Нарийн төвөгтэй коньюгат тэгш хэм байгаа тул спектрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн бараг тал хувь нь илүүдэл болж хувирдаг, өөрөөр хэлбэл. тэдгээрийг үлдсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс үүсгэж болно (Зураг 4.15). Доод хагас хавтгайд биш, харин баруун талын хагас хавтгайд унадаг гармоникуудыг мэдээжийн хэрэг илүүдэл бүрэлдэхүүн гэж үзэж болно. Дүрс боловсруулахад Фурье шинжилгээг нэг хэмжээст дохиотой ижил зорилгоор ашигладаг. Гэсэн хэдий ч давтамжийн мужид зураг нь ямар ч утга учиртай мэдээллийг төлөөлдөггүй тул Фурье хувиргалтыг дүрсний шинжилгээ хийхэд тийм ч ашигтай хэрэгсэл биш болгодог. Жишээлбэл, Фурье хувиргалтыг нэг хэмжээст аудио дохионд хэрэглэхэд цаг хугацааны муж дахь томъёолоход хэцүү, нарийн төвөгтэй долгионы хэлбэрийг давтамжийн мужид ойлгоход хялбар спектр болгон хувиргадаг. Харьцуулбал, зургийн Фурье хувиргалтыг хийснээр бид орон зайн муж дахь эрэмбэлэгдсэн мэдээллийг давтамжийн мужид кодлогдсон хэлбэр болгон хувиргадаг. Товчхондоо, Фурьегийн хувиргалт нь зураг дээр кодлогдсон мэдээллийг ойлгоход тусална гэж найдаж болохгүй. Үүний нэгэн адил та шүүлтүүрийг зохион бүтээхдээ давтамжийн домэйныг харах ёсгүй. Зургийн гол онцлог нь хил юм - нэгийг тусгаарлах шугам объектэсвэл бүс нутагөөрөөсөө обьектэсвэл бүс нутаг. Зурган дээрх контурууд нь өргөн хүрээний давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг агуулсан байдаг тул давтамжийн спектрийг удирдах замаар дүрсийг өөрчлөхийг оролдох нь үр дүнгүй ажил юм. Дүрс боловсруулах шүүлтүүрүүд нь мэдээллийг хамгийн энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлбэрээр танилцуулдаг орон зайн домэйнд бүтээгдсэн байдаг. Зураг боловсруулах асуудлыг шийдэхдээ үйл ажиллагааны хувьд ажиллах шаардлагатай гөлгөр болгохТэгээд онцолж байнаконтур (орон зайн домэйн) -ээс илүү өндөр нэвтрүүлэх шүүлтүүрТэгээд бага нэвтрүүлэх шүүлтүүр(давтамжийн домэйн). Гэсэн хэдий ч Фурье зургийн шинжилгээ нь хэд хэдэн ашигтай шинж чанартай байдаг. Жишээлбэл, эргэлторон зайн домэйнд тохирно үржүүлэхдавтамжийн мужид. Үржүүлэх нь эргэлтээс илүү хялбар математикийн үйлдэл учраас энэ нь чухал юм. 1D дохионы нэгэн адил энэ шинж чанар нь FFT-ийн эргэлт болон янз бүрийн задралын техникийг зөвшөөрдөг. Давтамжийн домэйны өөр нэг ашигтай шинж чанар бол Фурье секторын теорем, зураг ба түүний төсөөллийн хоорондох захидал харилцааг тогтоох (ижил дүрсийг өөр өөр талаас харах). Энэ теорем нь чиглэлүүдийн онолын үндсийг бүрдүүлдэг компьютерийн томографи, флюроскопи, анагаах ухаан, үйлдвэрлэлд өргөн хэрэглэгддэг. Зургийн давтамжийн спектрийг хэд хэдэн аргаар тооцоолж болох боловч спектрийг тооцоолох хамгийн практик арга бол FFT алгоритм юм. FFT алгоритмыг ашиглах үед анхны зураг нь заавал байх ёстой Ншугам ба Нбагана, тоо Н 2-ын үржвэр байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. 256, 512, 1024 болон гэх мэт. Хэрэв анхны зургийн хэмжээ нь 2-ын үржвэр биш бол зургийг хүссэн хэмжээгээр дуусгахын тулд тэг утгатай пикселүүдийг нэмэх шаардлагатай. Фурье хувиргалт нь мэдээллийн дарааллыг хадгалдаг тул бага давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн далайц нь хоёр хэмжээст спектрийн буланд байрлах ба өндөр давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь түүний төвд байх болно. Жишээ болгон, үйлдлийн өсгөгчийн оролтын үе шатны электрон микроскопийн зургийн Фурье хувирлын үр дүнг авч үзье (Зураг 4.16). Давтамжийн муж нь сөрөг утгатай пикселүүдийг агуулж болох тул эдгээр зургийн саарал масштабыг шилжүүлж, сөрөг утгыг зурган дээрх бараан цэгүүд, тэг утгыг саарал цэг гэж хүлээн зөвшөөрч, эерэг утгыг авдаг. гэрлийн цэгүүд гэж үздэг. Ерөнхийдөө зургийн спектрийн бага давтамжийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь өндөр давтамжтай харьцуулахад далайцын хувьд хамаагүй том байдаг нь спектрийн дүрсний дөрвөн буланд маш тод, маш харанхуй цэгүүд байгааг тайлбарладаг (Зураг 4.16, b). Зурагнаас харахад ердийн үзүүлэлтФурье хувиргалтын цогц дүрслэл.
Хурдан Фурье хувиргалт.
Хоёр хэмжээст Фурье хувиргалт.
Фурье хувиргалтыг ашиглан эргэлт.
Давтамжийн домэйн дэх зургийг шүүж байна.
Энэ тэмдэг нь масштабын хувьд өөрчлөгддөггүй
