රේඛීය නොවන සමීකරණ න්‍යාය සහ බෙදීමේ ක්රමය. ද්විකෝටික ක්රමය හෝ විභජන ක්රමය
අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය(වෙනත් නම්: bisection ක්රමය, dichotomy ක්රමය) සමීකරණය විසඳීමට f(x) = 0 පහත පරිදි වේ. ශ්‍රිතය අඛණ්ඩ වන අතර කොටසේ කෙළවර ගන්නා බව දන්වන්න
[ඒ, බී] විවිධ සලකුණු වල අගයන්, පසුව මූලය පරතරය තුළ අඩංගු වේ ( ඒ, බී) අපි අන්තරය කොටස් දෙකකට බෙදමු, ඉන්පසු ශ්‍රිතය විවිධ සලකුණු වල අගයන් ගන්නා භාගය සලකා බලමු. අපි නැවතත් මෙම නව කොටස සමාන කොටස් දෙකකට බෙදා මූල අඩංගු එක තෝරන්න. ඊළඟ කොටසේ දිග අවශ්ය දෝෂ අගයට වඩා අඩු වන තෙක් මෙම ක්රියාවලිය දිගටම පවතී. විභජන ක්රමය සඳහා ඇල්ගොරිතම වඩාත් දැඩි ලෙස ඉදිරිපත් කිරීම:
1) ගණනය කරමු x = (ඒ+ බී)/2; අපි ගණනය කරමු f(x);
2) නම් f(x) = 0, ඉන්පසු පියවර 5 වෙත යන්න;
3) නම් f(x)∙f(ඒ) < 0, то බී = x, එසේ නොමැති නම් ඒ = x;
4) නම් | බී – ඒ| > ε, 1 වන කරුණ වෙත යන්න;
5) අගය ප්‍රතිදානය කරන්න x;
උදාහරණය 2.4.විභජන ක්රමය භාවිතා කරමින්, සමීකරණයේ මූලය පිරිපහදු කරන්න ( x– 1) 3 = 0, කොටසට අයත් වේ.
වැඩසටහනේ විසඳුම එක්සෙල්:
1) සෛල තුළ ඒ 1:එෆ් 4 අපි 2.3 වගුවේ පෙන්වා ඇති පරිදි අංකනය, ආරම්භක අගයන් සහ සූත්‍ර හඳුන්වා දෙන්නෙමු.
2) එක් එක් සූත්රය දහවන පේළිය දක්වා පිරවුම් සලකුණක් සමඟ පහළ සෛල තුළට පිටපත් කරන්න, i.e. බී 4 - දක්වා බී 10, සී 4 - දක්වා සී 10, ඩී 3 - දක්වා ඩී 10, ඊ 4 - දක්වා ඊ 10, එෆ් 3 - දක්වා එෆ් 10.
වගුව 2.3
| ඒ | බී | සී | ඩී | ඊ | එෆ් | |
| f(a)= | =(1-B3)^3 | |||||
| කේ | ඒ | x | f(x) | බී | b-a | |
| 0,95 | =(B3+E3)/2 | =(1-C3)^3 | 1,1 | =E3-B3 | ||
| =IF(D3=0,C3; IF(C$1*D3<0;B3;C3)) | =IF(C$1*D3>0; E3;C3) |
ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵල වගුවේ දක්වා ඇත. 2.4 තීරුවේ එෆ්අන්තර දිග අගයන් පරීක්ෂා කිරීම බී – ඒ. අගය 0.01 ට වඩා අඩු නම්, නිශ්චිත දෝෂයක් සහිත මූලයේ ආසන්න අගයක් මෙම පේළියේ දක්නට ලැබේ. අවශ්ය නිරවද්‍යතාවය ලබා ගැනීමට පුනරාවර්තන 5ක් ගත විය. දශම ස්ථාන තුනකට වට කිරීමෙන් පසු 0.01 නිරවද්‍යතාවයක් සහිත මූලයේ ආසන්න අගය 1.0015625 ≈ 1.00 වේ.
වගුව 2.4
| ඒ | බී | සී | ඩී | ඊ | එෆ් | |
| f(a)= | 0,000125 | |||||
| කේ | ඒ | x | f(x) | බී | b-a | |
| 0,95 | 1,025 | -2E-05 | 1,1 | 0,15 | ||
| 0,95 | 0,9875 | 2E-06 | 1,025 | 0,075 | ||
| 0,9875 | 1,00625 | -2E-07 | 1,025 | 0,0375 | ||
| 0,9875 | 0,996875 | 3.1E-08 | 1,00625 | 0,0187 | ||
| 0,996875 | 1,0015625 | -4E-09 | 1,00625 | 0,0094 | ||
| 0,996875 | 0,9992188 | 4.8E-10 | 1,0015625 | 0,0047 | ||
| 0,99921875 | 1,0003906 | -6E-11 | 1,0015625 | 0,0023 | ||
| 0,99921875 | 0,9998047 | 7.5E-12 | 1,000390625 | 0,0012 |
ලබා දී ඇති ඇල්ගොරිතම සැලකිල්ලට ගනී හැකි නඩුව"මූලයට පහර දීම", i.e. සමානාත්මතාවය f(x) ඊළඟ අදියරේදී බිංදුව. උදාහරණයක් ලෙස 2.3 අපි කොටස ගන්නේ නම්, පළමු පියවරේදී අපි මූලයට පිවිසෙමු x= 1. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපි සෛලය තුළ ලියන්නෙමු බී 3 අගය 0.9. එවිට ප්රතිඵල වගුව 2.5 පෝරමය ගනු ඇත (දී ඇත්තේ පුනරාවර්තන 2 ක් පමණි).
වගුව 2.5
| ඒ | බී | සී | ඩී | ඊ | එෆ් | |
| f(a)= | 0,001 | |||||
| කේ | ඒ | x | f(x) | බී | b-a | |
| 0,9 | 1,1 | 0,2 | ||||
අපි එය වැඩසටහන තුළ නිර්මාණය කරමු එක්සෙල්අභිරුචි ශ්‍රිත f(x) සහ bisect(a, b, eps) බිල්ට්-ඉන් භාෂාව භාවිතා කරමින් සමීකරණ විසඳීම සඳහා බයිසෙක්ට් ක්රමය භාවිතා කරයි දෘෂ්ය මූලික. ඔවුන්ගේ විස්තර පහත දැක්වේ.
ශ්‍රිතය f(Byval x)
ශ්‍රිත ද්වි අංශය(a, b, eps)
1 x = (a + b) / 2
f(x) = 0 නම් GoTo 5
f(x) * f(a) නම්< 0 Then
Abs(a - b) >eps නම් GoTo 1
f(x) ශ්‍රිතය තීරණය කරයි වම් පැත්තසමීකරණ, සහ කාර්යය
bisect (a, b, eps) සමීකරණයේ මූලය බයිසෙක්ට් ක්රමය භාවිතයෙන් ගණනය කරයි f(x) = 0. bisect(a, b, eps) ශ්‍රිතය f(x) ශ්‍රිතයට ප්‍රවේශයක් භාවිතා කරන බව සලකන්න. අභිරුචි ශ්‍රිතයක් නිර්මාණය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම මෙන්න:
1) මෙනු විධානය ක්රියාත්මක කරන්න “මෙවලම් - මැක්‍රෝ - සංස්කාරකය දෘෂ්ය මූලික" ජනේලය " Microsoft Visual Basic" මෙම වැඩසටහන් ගොනුවේ නම් එක්සෙල් macros හෝ පරිශීලක කාර්යයන් හෝ ක්‍රියා පටිපාටි තවමත් නිර්මාණය කර නොමැත, මෙම කවුළුව Fig. 2.4 හි පෙන්වා ඇති ආකාරයට පෙනෙනු ඇත.
2) "ඇතුළු කරන්න - මොඩියුලය" මෙනු විධානය ක්රියාත්මක කර 2.5 රූපයේ දැක්වෙන පරිදි වැඩසටහන් ක්‍රියාකාරිත්වයේ පෙළ ඇතුළත් කරන්න.
දැන් වැඩසටහන් පත්‍ර සෛල තුළ එක්සෙල්ඔබට සූත්‍රවල සාදන ලද කාර්යයන් භාවිතා කළ හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, අපි සෛලයකට ඇතුල් වෙමු ඩී 18 සූත්රය
Bisect(0.95;1;0.00001),
එවිට අපට 0.999993896 අගය ලැබේ.
වෙනත් සමීකරණයක් විසඳීමට (වෙනස් වම් පැත්තක් සමඟ) ඔබ “මෙවලම් - මැක්‍රෝ - සංස්කාරකය” විධානය භාවිතයෙන් සංස්කාරක කවුළුව වෙත යා යුතුය. දෘෂ්ය මූලික” සහ සරලව f(x) ශ්රිතයේ විස්තරය නැවත ලියන්න. උදාහරණයක් ලෙස, 0.001 ක නිරවද්යතාවයකින් sin5 සමීකරණයේ මූලය සොයා ගනිමු. x + x 2 - 1 = 0, අන්තරයට අයත් (0.4; 0.5). මෙය සිදු කිරීම සඳහා, කාර්යයේ විස්තරය වෙනස් කරමු
නව විස්තරයක් සඳහා
f = Sin(5 * x) + x^2 - 1
ඊට පස්සේ සෛලය තුළ ඩී 18 අපි 0.441009521 අගය ලබා ගනිමු (උදාහරණ 2.3 හි ඇති අන්තරයේ (0.4; 0.5) මූලයේ අගය සමඟ මෙම ප්රතිඵලය සසඳන්න!).
වැඩසටහනේ අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණයක් විසඳීමට Mathcadඅපි subroutine function එකක් හදමු බයිසෙක්(f, ඒ, බී, ε), කොහෙද:
f-සමීකරණයේ වම් පැත්තට අනුරූප වන ශ්‍රිත නාමය f(x) = 0;
ඒ, බී- කොටසේ වම් සහ දකුණු කෙළවර [ ඒ, බී];
ε - මූලයේ ආසන්න අගයේ නිරවද්‍යතාවය.
වැඩසටහනේ උදාහරණයේ විසඳුම Mathcad:
1) වැඩසටහන දියත් කරන්න Mathcad.අපි ශ්රිතයේ නිර්වචනය හඳුන්වා දෙමු බයිසෙක්(f, ඒ, බී, ε). මෙය සිදු කිරීම සඳහා, යතුරුපුවරුව සහ "ග්රීක සංකේත" මෙවලම් තීරුව භාවිතා කර, ටයිප් කරන්න බයිසෙක්(f, ඒ, බී, ε:=. “ක්‍රමලේඛන” මෙවලම් තීරුවේ “:=” පැවරුම් ලකුණෙන් පසුව, “රේඛාව එක් කරන්න” වම්-ක්ලික් කිරීමට මූසික දර්ශකය භාවිතා කරන්න. පැවරුම් ලකුණෙන් පසුව සිරස් රේඛාවක් දිස්වනු ඇත. මීළඟට, ලූප ක්රියාකරු වන “←” ලකුණ ඇතුළු කිරීමට “ක්‍රමලේඛන” මෙවලම් තීරුව භාවිතා කරමින් පහත දැක්වෙන වැඩසටහන් පෙළ ඇතුළත් කරන්න. අතර, ක්රියාකරු බිඳීමසහ කොන්දේසි සහිත ක්රියාකරු එසේ නොමැති නම්.
2) අපි ශ්රිතයේ නිර්වචනය හඳුන්වා දෙමු f(x):=sin(5*x)+x^2-1, ඉන්පසු ශ්‍රිතය භාවිතයෙන් මූලයේ අගය ගණනය කරන්න බයිසෙක්දී ඇති අගයන් අනුව:
බයිසෙක්(f, –0.8,–0.7,0.0001)=. “=” ලකුණෙන් පසුව, වැඩසටහන මඟින් ගණනය කරන ලද මූල අගය –0.7266601563 ස්වයංක්‍රීයව දිස්වනු ඇත. ඉතිරි මූලයන් ද එලෙසම ගණනය කරමු.
එම පත්‍රය පහතින් Mathcadකාර්යය නිර්වචනය සමඟ බයිසෙක්(f, ඒ, බී, ε) සහ ගණනය කිරීම්:
භාෂාවෙන් වැඩසටහනක් දෙමු සී++ සමීකරණය විසඳීමට f(x) = 0 අඩක් කිරීමේ ක්රමයෙන්:
#ඇතුළත්
#ඇතුළත්
ද්විත්ව f (ද්විත්ව x);
typedef ද්විත්ව (*PF)(ද්විත්ව);
ද්විත්ව බයිසෙක් (PF f, ද්විත්ව a, ද්විත්ව b, ද්විත්ව eps);
ද්විත්ව a, b, x, eps;PF pf;
cout<< "\n a = "; cin >>a;
cout<< "\n b = "; cin >>b;
cout<< "\n eps = "; cin >> eps;
x = bisec(pf,a,b,eps); cout<< "\n x = " << x;
cout<< "\n Press any key & Enter "; cin >>a;
ද්විත්ව f(ද්විත්ව x)(
r = sin(5*x)+x*x-1;
ද්විත්ව බයිසෙක් (PF f, ද්විත්ව a, ද්විත්ව b, ද්විත්ව eps)(
do( x = (a + b)/2;
(f(x) == 0) කැඩීම නම්;
නම් (f(x)*f(a)<0) b = x;
)while (fabs(b-a) > eps);
වැඩසටහනේ කාර්යය f(x) සමීකරණය විසඳීම සඳහා අර්ථ දක්වා ඇත
පව්5 x + x 2 – 1 = 0
උදාහරණයක් 2.3 සිට. 0.00001 නිරවද්යතාවයකින් (0.4; 0.5) පරතරයේ මූලය තීරණය කිරීමේ වැඩසටහනේ ප්රතිඵලය පහත දැක්වේ (පරිගණක තිරය):
ඕනෑම යතුරක් ඔබා Enter කරන්න
ප්රතිඵලය බැලීම සඳහා විරාමයක් සංවිධානය කිරීම සඳහා අවසාන පේළිය අවශ්ය වේ.
රේඛීය නොවන සමීකරණ පන්ති 2 කට බෙදිය හැකිය - වීජීය සහ පාරභෞතික. වීජීය සමීකරණවීජීය ශ්‍රිත (පූර්ණ සංඛ්‍යා, තාර්කික, අතාර්කික) පමණක් අඩංගු සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. විශේෂයෙන්ම, බහුපදයක් යනු සම්පූර්ණ වීජීය ශ්‍රිතයකි. වෙනත් ශ්‍රිත අඩංගු සමීකරණ (ත්‍රිකෝණමිතික, ඝාතීය, ලඝුගණක, ආදිය) ලෙස හැඳින්වේ. ලෝකෝත්තර.
රේඛීය නොවන සමීකරණ විසඳීමේ ක්රම කණ්ඩායම් දෙකකට බෙදා ඇත:
- නිශ්චිත ක්රම ;
- පුනරාවර්තන ක්රම .
නිශ්චිත ක්රම මගින් යම් පරිමිත සම්බන්ධතා (සූත්රය) ආකාරයෙන් මුල් ලිවීමට හැකි වේ. පාසල් වීජ ගණිත පාඨමාලාවේ සිට, එවැනි ක්රම ත්‍රිකෝණමිතික, ලඝුගණක, ඝාතීය මෙන්ම සරල වීජීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා ප්‍රසිද්ධය.
දන්නා පරිදි, බොහෝ සමීකරණ සහ සමීකරණ පද්ධතිවල විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම් නොමැත. මෙය මූලික වශයෙන් බොහෝ පාර්ශ්වීය සමීකරණ සඳහා අදාළ වේ. අංශක හතරකට වඩා වැඩි අත්තනෝමතික වීජීය සමීකරණයක් විසඳීමට භාවිතා කළ හැකි සූත්‍රයක් තැනීම කළ නොහැකි බව ද ඔප්පු වී ඇත. මීට අමතරව, සමහර අවස්ථාවලදී සමීකරණයේ දළ වශයෙන් පමණක් දන්නා සංගුණක අඩංගු වන අතර, එම නිසා, සමීකරණයේ මූලයන් නිවැරදිව නිර්ණය කිරීමේ කාර්යය එහි අර්ථය නැති කර ගනී. ඒවා විසඳීමට අපි භාවිතා කරමු පුනරාවර්තන ක්රමදී ඇති නිරවද්යතාවයකින්.
සමීකරණය ලබා දෙන්න
- කාර්යය f(x) පරතරය මත අඛණ්ඩව පවතී [ a, b] එහි 1 වන සහ 2 වන අනුපිළිවෙල ව්‍යුත්පන්නයන් සමඟ.
- වටිනාකම් f(x) කොටසේ කෙළවරේ විවිධ සලකුණු ඇත ( f(ඒ) * f(බී) < 0).
- පළමු සහ දෙවන ව්යුත්පන්න f"(x) සහ f""(x) සම්පූර්ණ කොටස පුරා යම් ලකුණක් රඳවා තබා ගන්න.
කොන්දේසි 1) සහ 2) පරතරය මත [ ඒ, බී] අවම වශයෙන් එක් මූලයක් ඇති අතර, 3) එය අනුගමනය කරයි f(x) මෙම පරතරය මත ඒකාකාරී වන අතර එම නිසා මූලය අද්විතීය වනු ඇත.
සමීකරණය විසඳන්න (1) පුනරාවර්තන ක්රමයයන්නෙන් අදහස් කරන්නේ එයට මූලයන් තිබේද, මූලයන් කීයක් තිබේද යන්න සහ අවශ්ය නිරවද්‍යතාවයෙන් මුල්වල අගයන් සොයා ගැනීමයි.
ශ්‍රිතයක් ආපසු හරවන ඕනෑම අගයක් f(x) බිංදුවට, i.e. එවැනි:
කියලා මූල සමීකරණ(1) හෝ ශුන්යකාර්යයන් f(x).
සමීකරණයක මූලය සෙවීමේ ගැටලුව f(x) = 0 පුනරාවර්තන ක්රමය මගින් අදියර දෙකකින් සමන්විත වේ:
- මූල වෙන් කිරීම - මූලයේ හෝ එය අඩංගු කොටසක ආසන්න අගයක් සොයා ගැනීම;
- ආසන්න මූලයන් පිරිපහදු කිරීම - දී ඇති නිරවද්‍යතාවයට ඒවා ගෙන ඒම.
මූල වෙන් කිරීමේ ක්රියාවලිය ආරම්භ වන්නේ ශ්රිතයේ සංඥා ස්ථාපිත කිරීමෙනි f(x) සීමාව තුළ x=ඒසහ x=බීඑහි පැවැත්මේ කලාපයේ ලක්ෂ්ය.
උදාහරණ 1 . සමීකරණයේ මූලයන් වෙන් කරන්න:
|
f( x) є x 3 - 6x + 2 = 0. |
අපි ආසන්න රූප සටහනක් සකස් කරමු:
එහි ප්රතිඵලයක් ලෙස, (2) සමීකරණයට [-3, -1], සහ .
මූලයන් වල ආසන්න අගයන් ( මූලික ආසන්න කිරීම්) ගැටලුවේ භෞතික අර්ථයෙන්, විවිධ ආරම්භක දත්ත සමඟ සමාන ගැටළුවක් විසඳීමෙන් හෝ ප්‍රස්ථාරිකව සොයාගත හැකිය.
ඉංජිනේරු භාවිතයේදී බහුලව දක්නට ලැබේ ග්රැෆික් ක්රමයආසන්න මූලයන් තීරණය කිරීම.
(1) සමීකරණයේ සැබෑ මූලයන් ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ ඡේදනය වන ස්ථාන බව සැලකිල්ලට ගනිමින් f(x) x-අක්ෂය සමඟ, එය කාර්යය සැලසුම් කිරීමට ප්රමාණවත් වේ f(x) සහ මංසන්ධි ලකුණු සලකුණු කරන්න f(x) අක්ෂය සමඟ ඔහ්,හෝ අක්ෂය මත සලකුණු කරන්න ඔහ්එක් මූලයක් අඩංගු කොටස්. (1) සමීකරණය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ප්‍රස්ථාර තැනීම බොහෝ විට සරල කළ හැක. සමානඔහු සමීකරණය සමඟ:
සමීකරණය (4) පහසුවෙන් සමානාත්මතාවයක් ලෙස නැවත ලිවිය හැකිය:
ලඝුගණක වක්‍රයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල අබ්සිස්සා ලෙස සමීකරණයේ (4) මූලයන් සොයාගත හැකි බව මෙයින් පැහැදිලි වේ. වයි= ලඝු-සටහන xසහ අධිබල වයි = . මෙම වක්‍ර තැනීමෙන් පසු, අපි සමීකරණයේ එකම මූලය (4) ආසන්න වශයෙන් සොයා ගනිමු හෝ එය අඩංගු කොටස තීරණය කරමු.
පුනරාවර්තන ක්රියාවලිය ආරම්භක ආසන්නයේ අනුක්රමික පිරිපහදු කිරීමකින් සමන්විත වේ x 0 . එවැනි සෑම පියවරක්ම හැඳින්වේ පුනරාවර්තනය. පුනරාවර්තනවල ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ආසන්න මූල අගයන් අනුපිළිවෙලක් දක්නට ලැබේ x 1 , x 2 , ..., xnමෙම අගයන් වැඩිවන පුනරාවර්තන සංඛ්‍යාව සමඟ නම් nමූලයේ සැබෑ අගයට පිවිසෙන්න, එවිට අපි පුනරාවර්තන ක්රියාවලිය යැයි කියමු අභිසාරී වේ.
ඛණ්ඩයට අයත් (1) සමීකරණයේ මුල සොයා ගැනීමට [ ඒ, බී], මෙම කොටස අඩකින් බෙදන්න. නම් f= 0, පසුව x = සමීකරණයේ මුල වේ. නම් f 0 ට සමාන නොවේ (එය, ප්‍රායෝගිකව, බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත), එවිට අපි භාගවලින් එකක් හෝ ශ්රිතයේ කෙළවර තෝරා ගනිමු f(x) විරුද්ධ සංඥා ඇත. නව පටු කොටස [ ඒ 1 , බී 1] නැවතත් අඩකින් බෙදා එම ක්‍රියාවන් කරන්න.
දී ඇති සමීකරණයක මූලය දළ වශයෙන් සොයා ගැනීම සඳහා අර්ධ ක්රමය ප්‍රායෝගිකව පහසු වේ; ක්රමය සරල සහ විශ්වාසදායක වන අතර සෑම විටම අභිසාරී වේ.
උදාහරණ 3. සමීකරණයේ මූලය පැහැදිලි කිරීම සඳහා අඩක් කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරන්න
f( x) = x 4 + 2 x 3 - x - 1 = 0
කොටස මත වැතිර සිටීම [0, 1] .
අඛණ්ඩව අපට ඇත්තේ:
f(0) = - 1; f(1) = 1; f(0,5) = 0,06 + 0,25 - 0,5 - 1 = - 1,19;
f (0.75) = 0.32 + 0.84 - 0.75 - 1 = - 0.59;
f (0.875) = 0.59 + 1.34 - 0.88 - 1 = + 0.05;
f (0.8125) = 0.436 + 1.072 - 0.812 - 1 = - 0.304;
f (0.8438) = 0.507 + 1.202 - 0.844 - 1 = - 0.135;
f(0.8594) = 0.546 + 1.270 - 0.859 - 1 = - 0.043, ආදිය.
පිළිගත හැක
x = (0.859 + 0.875) = 0.867
මෙම ක්රමයේදී, පුනරාවර්තන ක්රියාවලිය සමන්විත වන්නේ සමීකරණයේ මූලයට ආසන්න වශයෙන් ගන්නා පහත අගයන් (1): x 1 , X 2 , ..., x nස්වර ඡේදනය ලකුණු AB x අක්ෂය සමඟ (රූපය 3). මුලින්ම අපි chord එකේ සමීකරණය ලියන්නෙමු AB:
.
ස්වර ඡේදනය ලක්ෂ්‍යය සඳහා AB x අක්ෂය සමඟ ( x = x 1 ,y= 0) අපට සමීකරණය ලැබේ:
සහතිකයට ඉඩ දෙන්න f""(x) > 0 ට a x b(සිදුවෙමින් පවතී f""(x) < අපි සමීකරණය පෝරමයේ ලියන්නේ නම් 0 අපගේ බවට අඩු කරයි - f(x) = 0) එවිට වක්රය හිදී = f(x) පහළට උත්තල වන අතර, එම නිසා, එහි ස්වරයට පහළින් පිහිටා ඇත AB. හැකි අවස්ථා දෙකක් තිබේ: 1) f(ඒ) > 0 (රූපය 3, ඒ) සහ 2) f(බී) < 0 (Рисунок 3, බී).
රූපය 3, a, b.
පළමු අවස්ථාවේ දී අවසානය ඒචලනය නොවන සහ අනුක්රමික ආසන්න කිරීම්: x 0 = බී;x , මෙහි ශ්‍රිතය f (x) එහි දෙවන ව්‍යුත්පන්නයේ ලකුණට විරුද්ධ ලකුණක් ඇත f""(x).
එය සොයා ගන්නා තෙක් පුනරාවර්තන ක්රියාවලිය දිගටම පවතී
| x i - x i - 1 |< e ,
මෙහි e යනු නිශ්චිත උපරිම නිරපේක්ෂ දෝෂයයි.
උදාහරණය 4. සමීකරණයේ ධනාත්මක මූලය සොයන්න
f( x) = x 3 - 0,2 x 2 - 0,2 x - 1,2 = 0
e = 0.01 නිරවද්යතාවයකින්.
පළමුවෙන්ම, අපි මූල වෙන් කරමු. නිසා
f(1) = -0.6< 0 и f (2) = 5,6 > 0,
එවිට අවශ්ය මූල x පරතරය තුළ පිහිටයි. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් පරතරය විශාල වේ, එබැවින් අපි එය අඩකින් බෙදන්නෙමු. නිසා
f (1.5) = 1.425 > 0, පසුව 1< x < 1,5.
නිසා f""(x) = 6 x- 1ට 0.4 > 0< x < 1,5 и f(1.5) > 0, පසුව අපි ගැටළුව විසඳීම සඳහා සූත්රය (5) භාවිතා කරමු:
= 1,15;
| x 1-x 0 | = 0.15 > e,
එබැවින්, අපි ගණනය කිරීම් දිගටම කරගෙන යන්නෙමු;
f ( x 1) = -0,173;
= 1,190;
|x 2-x 1 | = 0.04 > e,
f (x 2) = -0,036;
= 1,198;
| x 3-x 2 | = 0,008 < e .
මේ අනුව, අපට e = 0.01 නිරවද්යතාවයකින් x = 1.198 ගත හැකිය.
සමීකරණයේ නියම මූලය x = 1.2 බව සලකන්න.
ද්විකෝටික ක්රමයපැරණි ග්රීක වචනයෙන් එහි නම ඇත, පරිවර්තනයේ තේරුම දෙකට බෙදීම යන්නයි. මෙම ක්‍රමයට දෙවන නමක් ද ඇත්තේ එබැවිනි: අඩක් කිරීමේ ක්රමය. අපි එය බොහෝ විට භාවිතා කරමු. එක් ක්‍රීඩකයෙක් 1 සිට 100 දක්වා සංඛ්‍යාවක් අනුමාන කරන "අංකය අනුමාන කරන්න" ක්‍රීඩාව ක්‍රීඩා කරන බව කියමු, අනෙක් ක්‍රීඩකයා එය අනුමාන කිරීමට උත්සාහ කරයි, එය "වැඩි" හෝ "අඩු" හෝඩුවාවන් මගින් මෙහෙයවනු ලැබේ. පළමු අංකය 50 ලෙස හැඳින්වෙන බව උපකල්පනය කිරීම තර්කානුකූලයි, එය අඩු නම් - 25, වැඩි නම් - 75. මේ අනුව, එක් එක් අදියරේදී (පුනරාවර්තනය) නොදන්නා අවිනිශ්චිතතාවය 2 ගුණයකින් අඩු වේ. එම. ලෝකයේ අවාසනාවන්තම පුද්ගලයා පවා අහඹු ප්‍රකාශ 100ක් වෙනුවට අනුමාන 7කින් මෙම පරාසයේ සැඟවුණු අංකය අනුමාන කරයි.
සමීකරණය විසඳීමේදී අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය
අර්ධයේ ක්රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණයක නිවැරදි විසඳුම ලබා ගත හැක්කේ දී ඇති පරතරයක් මත මූලයක් ඇති බවත් එය අද්විතීය බවත් දන්නේ නම් පමණි. ද්විකෝටික ක්රමය භාවිතා කළ හැක්කේ රේඛීය සමීකරණ විසඳීමට පමණක් බව මින් අදහස් නොවේ. බයිසෙක්ෂන් ක්රමය භාවිතා කර ඉහළ අනුපිළිවෙලෙහි සමීකරණවල මූලයන් සොයා ගැනීමට, ඔබ මුලින්ම මූලයන් කොටස් වලට වෙන් කළ යුතුය. ශ්රිතයේ පළමු හා දෙවන ව්‍යුත්පන්නයන් සොයා ඒවා ශුන්‍ය f"(x)=0 සහ f""(x)=0 ට සමාන කිරීම මගින් මූලයන් වෙන් කිරීමේ ක්රියාවලිය සිදු කෙරේ. ඊළඟට, f(x) හි සලකුණු තීරනාත්මක සහ මායිම් ලක්ෂ්ය වලදී තීරණය කරනු ලැබේ.ශ්‍රිතය වෙනස් වන විරාමය ලකුණ |a,b|, f(a)*f(b)< 0.
ද්විකෝටික ක්රමයේ ඇල්ගොරිතම
dichotomy ක්රමයේ ඇල්ගොරිතම ඉතා සරලයි. |a,b| කොටස සලකා බලන්න එහි එක් මූලයක් ඇත x 1
පළමු අදියරේදී x 0 =(a+b)/2 ගණනය කෙරේ
ඊළඟට, මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ශ්රිතයේ අගය තීරණය වේ: f(x 0) නම්< 0, то , если наоборот, то ,т.е происходит сужение интервала. Таким образом в результате формируется последовательность x i , где i - номер иттерации.
b-a වෙනස අවශ්ය දෝෂයට වඩා අඩු වූ විට ගණනය කිරීම් නතර වේ.
අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය භාවිතා කිරීමේ උදාහරණයක් ලෙස, අපි x 3 -3*x+1=0 සමීකරණයේ පරතරය මත මූලය 10 -3 නිරවද්යතාවයකින් සොයා ගනිමු.
වගුවෙන් දැකිය හැකි පරිදි, මූලය 0.347 කි. පුනරාවර්තන ගණන 10. සම්පූර්ණ කිරීමේ කොන්දේසිය: a-b=0.0009< 10 -3
අර්ධ ක්රමය හෝ ද්විකෝටික ක්‍රමයසංඛ්යාත්මක ක්රම භාවිතා කරමින් සමීකරණය විසඳීම සඳහා සරලම වේ.
බාගත:
ද්විකෝටික ක්රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණයක් විසඳීම - පැස්කල් හි ද්වි බෙදීමේ ක්රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණයක් විසඳීම.
තරමක් පැහැදිලි ප්‍රමේයයක් ඇත: "නිශ්චිත අන්තරයක කෙළවරේ අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයකට විවිධ සලකුණු වල අගයන් තිබේ නම්, මෙම පරතරය තුළ එයට මූලයක් ඇත (අවම වශයෙන් එකක්, නමුත් සමහර විට කිහිපයක්)". මෙම ප්‍රමේයය මත පදනම්ව, ශ්රිතයේ මූලයේ ආසන්න අගය පිළිබඳ සංඛ්‍යාත්මක නිර්ණය ගොඩනගා ඇත. සාමාන්යයෙන් මෙම ක්රමය හැඳින්වේ ද්විකෝටික, i.e. කොටසක් කොටස් දෙකකට බෙදීම. සාමාන්ය ඇල්ගොරිතම මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:
අවශ්ය නිරවද්‍යතාවය ලබා ගන්නා තුරු.
බෙදීම් ලක්ෂ්‍යය තෝරාගැනීමේදී ද්විකෝටික ක්රමයේ ප්‍රභේද වෙනස් වේ. ද්විකෝටික විකල්ප සලකා බලමු: අර්ධ බෙදීමේ ක්රමයසහ chord ක්රමය.
අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය
අර්ධ බෙදීමේ ක්රමයලෙසද හැඳින්වේ bisection ක්රමය. මෙම ක්රමයේදී, පරතරය හරියටම අඩකින් බෙදී ඇත.
මෙම ප්‍රවේශය කාර්යයේ සංකීර්ණත්වය නොසලකා ක්රමයේ අභිසාරී සහතිකය සහතික කරයි - මෙය ඉතා වැදගත් දේපලකි. ක්රමයේ අවාසිය සමාන වේ - ක්රමය කිසි විටෙකත් වේගයෙන් අභිසාරී නොවේ, i.e. ක්රමයේ අභිසාරීතාවය සෑම විටම නරකම අභිසාරීතාවයට සමාන වේ.
අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය:
- සෙවීමට සරලම ක්රමවලින් එකකි එක් තර්කයක ශ්‍රිතයක මූලයන්.
- සොයා ගැනීමට භාවිතා කරයි සැබෑ වටිනාකම් සහිත ශ්‍රිතයක අගයන්, යම් නිර්ණායක මගින් තීරණය කරනු ලැබේ (මෙය සැසඳීමක් විය හැකිය අවම, උපරිමහෝ නිශ්චිත අංකයක්).
ශ්‍රිතයක මූලයන් සෙවීමේ ක්‍රමයක් ලෙස අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය
ක්රමයේ ප්රකාශය
ශ්‍රිතයක මූලයන් සෙවීමට ක්රමය භාවිතා කිරීමට පෙර, දන්නා ක්රම වලින් එකක් භාවිතා කර මුල් වෙන් කිරීම අවශ්ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස, චිත්රක ක්‍රමයක්. මූල සෙවිය යුත්තේ කුමන කොටසෙහිදැයි නොදන්නේ නම් මුල් වෙන් කිරීම අවශ්ය වේ.
අපි උපකල්පනය කරමු ශ්රිතයේ මූලය කොටස මත වෙන් කර ඇත . කර්තව්‍යය වන්නේ අර්ධ කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කර මෙම මූලය සොයා ගැනීම සහ පිරිපහදු කිරීමයි. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඔබ ලබා දී ඇති නිරවද්යතාවයකින් මූලයේ ආසන්න අගය සොයාගත යුතුය.
කොටසෙහි ශ්‍රිතය අඛණ්ඩව පැවතීමට ඉඩ දෙන්න,
සහ සමීකරණයේ එකම මූලය වේ.(කොටසේ මූලයන් කිහිපයක් ඇති විට, එනම් එකකට වඩා වැඩි නම්, අපි නඩුව සලකා බලන්නේ නැත. අපට තවත් ප්රමාණවත් තරම් කුඩා ධන සංඛ්‍යාවක් ද ගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, .)
අපි කොටස අඩකින් බෙදමු. අපට ලක්ෂ්යයක් සහ කොටස් දෙකක් ලැබේ.
අපි නව කොටස අඩකින් බෙදන්නෙමු. අපි මෙම කොටසේ මැද සහ යනාදිය ලබා ගනිමු.0" alt=" \eps >0 නිරවද්යතාවයකින් මූලයේ ආසන්න අගය සොයා ගැනීම සඳහා">, необходимо остановить процесс половинного деления на таком шаге , на котором и вычислить . Тогда можно взять .!}
C++ සහ සංඛ්‍යාත්මක උදාහරණයේ ක්රමය ක්රියාත්මක කිරීම
අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය භාවිතා කර සමීකරණය විසඳමු. චිත්රක ක්රමයඅපේක්ෂිත මූලය අයත් වන කොටස අපි සොයා ගනිමු. එතැන් සිට අපි පිළිගනිමු.
ගැටළුව විසඳන C++ වැඩසටහනක උදාහරණයක් පහත දැක්වේ.
වැඩසටහන 1. සමීකරණයේ මූලය
#ඇතුළත්
ඔබ සොයන මූලය. ගණනය කිරීම් නිවැරදිව සිදු කරන ලදී.
අතරමැදි ගණනය කිරීම් පහත වගුවේ දක්වා ඇත.
| n | a n | b n | c n | b n -c n |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0.5 | 0.5 |
| 2 | 0.5 | 1 | 0.75 | 0.25 |
| 3 | 0.75 | 1 | 0.875 | 0.125 |
| 4 | 0.875 | 1 | 0.9375 | 0.0625 |
| 5 | 0.875 | 0.9375 | 0.90625 | 0.03125 |
| 6 | 0.875 | 0.90625 | 0.890625 | 0.015625 |
| 7 | 0.875 | 0.890625 | 0.8828125 | 0.0078125 |
ප්‍රශස්තිකරණ ක්‍රමයක් ලෙස අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය
තනි පරාමිති ප්රශස්තකරණය (එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතවල අන්ත සෙවීම) ස්වාධීන සහ නිතර මුහුණ දෙන කාර්යයකි. ඊට අමතරව, වඩාත් සංකීර්ණ ගැටළුවක් එයට අඩු වේ - බොහෝ විචල්‍යවල ශ්‍රිතයක අන්තය සොයා ගැනීම.
සරළම එක් පරාමිතිය කොන්දේසි විරහිත ප්‍රශස්තිකරණ ක්රමය ලෙස අපි bisection ක්රමය සලකා බලමු. මෙම ක්රමය වේ සෘජු සෙවුම් ක්රමය. එහි දී, වෛෂයික ශ්රිතයේ අන්තය සෙවීමේදී, වෛෂයික ශ්රිතයේ ගණනය කළ අගයන් පමණක් භාවිතා වේ.
කාර්යය ලබා දී ඇත. එය සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ , ලබා දී ඇති නිරවද්යතාවයකින් විරාමය මත ශ්රිතයේ අවම (හෝ උපරිම) ලබා දෙයි, i.e. සොයාගන්න
.ක්රමයේ වාචික ඇල්ගොරිතම ලියා ගනිමු.
ක්රම ඇල්ගොරිතම රූප සටහන රූප සටහන 2 හි දක්වා ඇත.
- නියත,ප්‍රතිදානය කරන විට - ශ්‍රිතයට අවම (හෝ උපරිම) ඇති ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංකය, - මෙම ලක්ෂ්‍යයේ ශ්රිතයේ අගය.
Chord ක්රමය
ඛණ්ඩයක් දැඩි ලෙස අඩකින් බෙදීමේ අවාසිය නම් එය අපගමනය (නිරපේක්ෂ අගය) නොසලකා හරිමින් ශ්රිතයේ ලකුණ පමණක් භාවිතා කිරීමයි. නමුත් ශ්රිතයේ අගය කුඩා වන තරමට (නිරපේක්ෂ අගයෙන්) අපි මූලයට සමීප වන බව පැහැදිලිය. Chord ක්රමයදාරවල ශ්රිතයේ නිරපේක්ෂ අගයට සමානුපාතිකව කොටසේ දාරවල සිට පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යයක කොටස බෙදීමට යෝජනා කරයි. (“චෝඩ් ක්රමය” යන නම පැමිණෙන්නේ බෙදීම් ලක්ෂ්‍යය යනු ඛණ්ඩයේ ඡේදනය වන බැවිනි - ස්වරය - abscissa අක්ෂය සමඟ.)
ක්රමයේ ප්රකාශය
ක්රමය පදනම් වී ඇත්තේ එක් එක් සෙවුම් පියවරේදී ශ්‍රිතය ස්වරයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම මත වන අතර, එහි ඡේදනය අක්ෂය සමඟ මූලයේ ආසන්න අගයක් ලබා දෙයි.
මෙම අවස්ථාවේදී, සෙවුම් ක්‍රියාවලියේදී, යතුරු පුවරුවක් සෑදිය හැකිය:
එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, මූලයට අභිසාරී වීමේ පුනරාවර්තන ක්රියාවලිය පුනරාවර්තන සූත්රය මගින් ක්රියාත්මක වේ:
- නඩුව සඳහා a):
- නඩුව b සඳහා):
කොන්දේසිය හෝ සපුරාලන තෙක් සෙවුම් ක්රියාවලිය දිගටම පවතී.
%200" alt="f(z)\cdot f නම් ක්රමය වේගවත් අභිසාරීතාවයක් සපයයි.""(z) > 0">, т.е. хорды фиксируются в том конце интервала , где знаки функции и ее кривизны совпадают.!}
කෝඩ් ක්රමය භාවිතයෙන් මූල පිරිපහදු කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතමයේ රූප සටහන රූපයේ දැක්වේ. 4.
කෝඩ් ක්රමය සහ බයිසෙක්ෂන් ක්රමය ඒකාබද්ධ කිරීම
bisection ක්රමය අවශ්ය නිරවද්‍යතාවය සහතික කළ පසු chord ක්රමය "අවසන් ස්පර්ශයක්" ලෙස යෙදිය හැකිය - මෙය සහතික කළ නිරවද්‍යතාවය සැලකිය යුතු ලෙස වැඩි දියුණු නොකරනු ඇත, නමුත් බොහෝ දුරට විසඳුමේ නිරවද්‍යතාවය විශාලත්වයේ ඇණවුම් කිහිපයකින් වැඩි කරයි.
එය ද්විකෝටික ක්රමය ලෙසද හැඳින්වේ. මෙම සමීකරණ විසඳීමේ ක්රමය ඉහත සාකච්ඡා කරන ලද ක්‍රමවලට වඩා වෙනස් වන්නේ එයට පළමු සහ දෙවන ව්‍යුත්පන්නයන් ඔවුන්ගේ ලකුණ පරතරය මත රඳවා තබා ගැනීමේ කොන්දේසිය සපුරාලීම අවශ්ය නොවන බැවිනි. විභේදක ක්රමය වෙනස් කළ නොහැකි ඒවා ඇතුළුව f(x) ඕනෑම අඛණ්ඩ ශ්‍රිතයක් සඳහා අභිසාරී වේ.
ලක්ෂ්යයක් සමඟ කොටස අඩකින් බෙදන්න. (ප්‍රායෝගිකව බොහෝ දුරට ඉඩ ඇති) නම්, අවස්ථා දෙකක් විය හැකිය: එක්කෝ f(x) ඛණ්ඩයේ (පය. 3.8) ලකුණ වෙනස් කරයි, නැතහොත් කොටසේ (රූපය 3.9)
එක් එක් අවස්ථාවෙහිදී ශ්‍රිතය ලකුණ වෙනස් කරන ඛණ්ඩය තෝරා ගැනීමෙන් සහ තව දුරටත් අඩක් කිරීමේ ක්රියාවලිය දිගටම කරගෙන යාමෙන්, කෙනෙකුට සමීකරණයේ මූලය අඩංගු හිතුවක්කාර ලෙස කුඩා කොටසකට ළඟා විය හැකිය.
උදාහරණ 4. 5x - 6x -3 = 0 සමීකරණයට පරතරය මත තනි මූලයක් ඇත. අර්ධ බෙදීමේ ක්රමය භාවිතයෙන් මෙම සමීකරණය විසඳන්න.
විසඳුමක්: පැස්කල් වැඩසටහනක් මේ වගේ විය හැක:
ශ්‍රිතය f(x: real): real;
f:=exp(x*ln(5))-6*x-3;
a, b, e, c, x: real;
while abs(b-a)>e do
f(a)*f(c) නම්<0 then
writeln("x=",x:3:3," f(x)=",f(x):4:4);
වැඩසටහන ක්රියාත්මක කිරීමේ ප්රතිඵල:
e=0.001 x=1.562 f(x)=-0.0047
20.අර්ධ බෙදීමේ ක්රමයේ ඇල්ගොරිතම.
1.නව මූල ආසන්නයක් නිර්ණය කරන්න xකොටස මැද [a,b]: x=(a+b)/2.
2. ලක්ෂ්‍යවල ශ්රිතයේ අගයන් සොයන්න ඒසහ x: F(a)සහ F(x).
3. තත්ත්වය පරීක්ෂා කරන්න F(a)*F(x)< 0 . කොන්දේසිය සපුරා ඇත්නම්, මූල කොටස කොටසේ පිහිටා ඇත [ඔහ්] බීලක්ෂ්යය වෙත ගමන් කරන්න x (b=x). කොන්දේසිය සපුරා නොමැති නම්, මූල කොටස කොටසේ පිහිටා ඇත [x,b]. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට ලක්ෂ්යයක් අවශ්ය වේ ඒලක්ෂ්යය වෙත ගමන් කරන්න x (a=x).
4. පියවර 1 වෙත ගොස් නැවත කොටස අඩකින් බෙදන්න. කොන්දේසිය සපුරාලන තුරු ඇල්ගොරිතම දිගටම පවතී /F(x)/< e (නිශ්චිත නිරවද්යතාව).
21. මූලයන් සෙවීම සඳහා සරල පුනරාවර්තන ක්රමය. ජ්යාමිතික අර්ථ නිරූපණය.
මුල් සමීකරණය f(x)=0 තෝරන ලද වම් පැත්තේ නොදන්නා, එනම් x=φ(x) ආකෘතියට සමාන පරිවර්තන මගින් අඩු කරනු ලැබේ, මෙහි φ(x) යනු මුල් ශ්‍රිතය f හා සම්බන්ධ යම් ශ්‍රිතයකි. (x). මෙම සමීකරණය ලිවීමේ ක්රමය මඟින් ආරම්භක ආසන්න අගය x 0 ලබා දී ඊළඟට, පළමු ආසන්න අගය x 1 =φ(x 0) ලබා ගැනීමට ඉඩ සලසයි, ඉන්පසු දෙවන ආසන්න අගය x 2 =φ(x 1) සහ x n +1 ලබා ගන්න. =φ(x n)… . අනුපිළිවෙල (x n )= x 0, x 1, x 2, …, x n,... ආරම්භක අගය x 0 සමඟ පුනරාවර්තන හෝ ආසන්න අනුපිළිවෙලක් ලෙස හැඳින්වේ. φ(x) ශ්‍රිතය අඛණ්ඩව නොමැති නම් සහ සීමාවක් තිබේ නම් ξ = lim x n n→∞ ලෙස, පසුව, සමානාත්මතාවයේ x n +1 =φ(x n), අපි n→ ∞ ලෙස එය සොයා ගනිමු: lim x n +1 =lim φ(x n)=φ(lim x n ), එනම්, ξ=φ(ξ) ප්රතිඵලයක් ලෙස, ආසන්න අනුපිළිවෙල අභිසාරී වේ නම්, එය සමීකරණයේ (2) මූලයට අභිසාරී වන අතර, එබැවින් සමීකරණය (1). පුනරාවර්තන ක්රියාවලියේ අභිසාරීතාවය හේතුවෙන්, මෙම මූල ප්රමාණවත් තරම් විශාල ලෙස ගණනය කළ හැක nඕනෑම නිරවද්යතාවයකින්. කෙසේ වෙතත්, අනුපිළිවෙල (x n) අභිසාරී වන්නේ කුමන තත්වයන් යටතේද යන්න තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ. අසල්වැසි ආසන්න කිරීම් දෙකක දෝෂ අතර සම්බන්ධයක් ලබා ගනිමු - ε n සහ ε n +1: x n =ξ+ε n, x n +1 =ξ+ε n +1. අපි මෙම නිරූපණයන් x n +1 =φ(x n) ලෙස ආදේශ කර ශ්‍රිතය මූලයට ආසන්නයේ ටේලර් ශ්‍රේණියක් දක්වා පුළුල් කරමු:ξ+ε n +1 =φ(ξ+ε n)=φ(ξ)+ε n φ'(ξ)+ (ε n 2 /2!)φ''(η), η О [ξ; ξ+ε n ] එම් . ξ යනු මූලයක් වන බැවින්, ξ=φ(ξ) , අපට ලැබෙන්නේ: ε n +1 =ε n φ'(ξ)+(φ''(η)/2)ε n 2 ε සිට<1, то ε n 2 <<ε n . Поэтому если φ’(ξ) ¹ 0,то основной вклад в погрешность дает первое слагаемое, а слагаемым (φ’’(η)/2)ε n 2 можно пренебречь, то есть ε n +1 » ε n φ’(ξ).Это означает, что погрешность будет уменьшаться на каждом последующем шаге, если |φ’(ξ)|<1, тогда для любого n|ε n +1 |<|ε n |. Сформулируем теорему о сходимости метода простых итераций, дающую достаточные условия сходимости.
සරල පුනරාවර්තන ක්රමයේ අභිසාරීතාව පිළිබඳ ප්‍රමේයය.ξ යනු x=φ(x) සමීකරණයේ මුල වේවා, φ(x) ශ්‍රිතය විරාමය මත අර්ථ දක්වා ඇති අතර අවකලනය වන අතර x О සඳහා φ (x) O ශ්රිතයේ සියලුම අගයන් වේ. එවිට, එවැනි ධන අංකයක් තිබේ නම් q<1, что при x Î выполняется неравенство |φ’(ξ)|≤q<1, то на отрезке уравнение x=φ(x) имеет единственный корень x=ξ и процесс итераций, выраженный формулой x n +1 =φ(x n), где n=1,2,3… , сходится к этому корню независимо от выбора начального приближения x 0 Î .Таким образом, последовательность {x n },начинающаяся с любого x 0 Î , сходится к корню ξ со скоростью геометрической прогрессии, причем скорость сходимости тем выше, чем меньше величина q Î (1;0).Если функция φ(х) монотонно возрастает и 0<φ’(х)<1, то все приближения лежат по одну сторону от корня - такую сходимость называют монотонной (или ступенчатой) – рис.1. Если функция φ(х) монотонно убывает и 0>φ'(x)>-1, එවිට අසල්වැසි ආසන්න කිරීම් මූලයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවල පිහිටා ඇත - එවැනි අභිසාරීතාවයක් ද්වි-මාර්ග (හෝ සර්පිලාකාර) ලෙස හැඳින්වේ - රූපය 2. මෙම අවස්ථාවේ දී මූලය පරතරය තුළ අඩංගු වන බැවින්, එහි කෙළවර අසල්වැසි ආසන්න අගයන් වේ - ξÎ(x n ,x n +1), එවිට කොන්දේසිය ඉටු කිරීම |x n +1 -x n |<ε обеспечивает выполнение условия |ξ-x n +1 |<ε.
අභිසාරී වේගය අනුව පුනරාවර්තන ක්රම සංසන්දනය කිරීමට, පහත සංකල්ප හඳුන්වා දෙනු ලැබේ:
අර්ථ දැක්වීම 1:අනුපිළිවෙලක් (x n) සිට ξ දක්වා අභිසාරී වීම හැඳින්වේ රේඛීය(ඒ අනුව, පුනරාවර්තන ක්රියාවලිය රේඛීය අභිසාරී), අසමානතා |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | n≥n 0 සඳහා.
කලින් හඳුන්වා දුන් දෝෂ සඳහා මෙයින් අදහස් වන්නේ |ε n+1 |≤C|ε n |. සරල පුනරාවර්තන ක්රමයේදී, නියත C යනු q අගයයි, එනම් ක්රමය රේඛීයව අභිසාරී වේ.
අර්ථ දැක්වීම 2:ආසන්නයේ අනුපිළිවෙල (x n ) අවම වශයෙන් ξ වෙත අභිසාරී වේ ආර්අනුපිළිවෙල (ඒ අනුව, පුනරාවර්තන ක්රියාවලිය අවම වශයෙන් ඇත පි-th order), එවැනි නියත C>0 තිබේ නම්, පි≥1 සහ n 0 , සියලු n≥n 0 සඳහා කොන්දේසි |ξ-x n +1 |≤C|ξ-x n | p (හෝ වෙනත් අංකවල |ε n+1 |≤C|ε n | p).
