Геометричні фігури. Повні уроки – Гіпермаркет знань. Геометричні фігури для дітей. Коло У кола є сторони

Сьогодні ми робитимемо курча. Яким кольором курча? Правильно, жовтий. З усіх кіл вибери лише жовті кола. Потім відклади окремо блакитні кола та зелені.

Спочатку просто викладаємо курча на папері без клею, щоб у малюка було розуміння того, що ми робимо, це також допоможе уникнути помилок під час роботи з клеєм.

Велике жовте коло буде тулубом курчати. Куди ми його покладемо? (Пропонуємо дитині самому вибрати місце на аркуші паперу).

Гурток поменше буде головою. Де у нашого курчати буде голова? (Дитина нехай знову сама вибере місце, в який бік дивитиметься курчатка: вгору на небо і сонце або вниз на траву, може вона буде клювати зернятка. Допомагайте малюкові фантазувати, пропонуйте варіанти. Маленьким можна підказати, порадити, але не наполягайте, нехай він сам зробить вибір)

Де маленький чорний гурток? Це буде око. Маленький трикутник - дзьоб, два однакові трикутники - лапки. Розклади фігури на свої місця.

Чого не вистачає нашому курча? Правильно, крил! У нас є ще 2 жовті круги, один ми відкладемо - це буде сонце, а з другого зробимо крила. Як ти думаєш, як із одного кола зробити два крила? (З цим впораються діти від трьох років. Нехай дитина потримає коло в руках, повертає, додасть до паперу, можливо, у нього з'явиться відповідь).

Ми розріжемо коло навпіл. Для цього давай знайдемо центр кола. Де центр (середина) біля кола? (можна дати дитині олівець і запропонувати самому знайти і відзначити центр з тильного (не кольорового!) боку аркуша. Навіть якщо точка не в центрі, а десь поряд, нічого страшного, похваліть малюка! Якщо дитина мала, зробіть все самі, пояснюючи кожну дію).

Через центр тепер проведемо пряму лінію, яка розділить коло навпіл. По цій лінії ми розріжемо коло на дві частини. Вийшло два крила (обов'язково розрізайте через точку (центр), вказану дитиною, по-перше, дитина відчуватиме, що його думка важлива для вас і ви прислухаєтеся до неї, а по-друге – аплікація буде більш художньою)

У ході заняття для старших дітей можна пояснити, що таке півколо (або згадати цю фігуру)

Подивися, які фігури в нас вийшли. Ця фігура називається півколо. Підлога кола - півколо (повторюємо кілька разів і пропонуємо повторити назву)
Де будуть крильця у нашого курчати?

Курча виклали на папері, тепер можна приклеїти його.

Курча готове.

Давай візьмемо великі зелені кола (або 1 коло) – це буде наша трава. Як ти думаєш, як із кола зробити траву? Правильно, знову розрізати навпіл (повторюємо кроки, як з крильцями: даємо дитині відзначити центр, розрізаємо і приклеюємо знизу). Щоб трава була натуральнішою, можна зробити невеликі надрізи по округлій стороні.

На небо приклеюємо сонечко.

Хмари можна зробити різними способами:

1. Наклеїти кружки внахлест, формуючи хмару. Різний розмір гуртків зробить форму хмари натуральнішою.
2. Розрізати кола навпіл і також наклеювати внахлест.

У нас вийшло інакше: Поля захотіла скласти кола навпіл і приклеїти лише одну половину кола. Таким чином ми вже робили інші вироби, і цей варіант їй сподобався.

Коли папір остаточно висохне, можна домальовувати сонячні промені та квіти на траві олівцем. Можна зробити це пластиліном. Нехай малюк обирає сам.

Спочатку розберемося на відміну між колом і окружністю. Щоб побачити цю різницю, достатньо розглянути, чим є обидві фігури. Це незліченну кількість точок площини, що знаходяться на рівній відстані від єдиної центральної точки. Але, якщо коло складається і з внутрішнього простору, то коло воно не належить. Виходить, що коло це і коло, що обмежує його (о-кружність), і незліченну кількість точок, що всередині кола.

Для будь-якої точки L, що лежить на колі, діє рівність OL=R. (Довжина відрізка OL дорівнює радіусу кола).

Відрізок, який з'єднує дві точки кола, є її хордий.

Хорда, що проходить прямо через центр кола, є діаметромцього кола (D) . Діаметр можна обчислити за такою формулою: D=2R

Довжина колаобчислюється за формулою: C=2\pi R

Площа кола: S=\pi R^(2)

Дугого коланазивається та її частина, яка розташовується між двома її точками. Ці дві точки визначають дві дуги кола. Хорда CD стягує дві дуги: CMD та CLD. Однакові хорди стягують однакові дуги.

Центральним кутомназивається такий кут, що знаходиться між двома радіусами.

Довжину дугиможна знайти за формулою:

1. Використовуючи градусний захід: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Використовуючи радіальний захід: CD = \alpha R

Діаметр, що перпендикулярний хорді, ділить хорду і стягнуті нею дуги навпіл.

Якщо хорди AB і CD кола мають перетин у точці N , то твори відрізків хорд, розділені точкою N , рівні між собою.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Стосовно кола

Стосовно колаприйнято називати пряму, у якої є одна загальна точка з коло.

Якщо ж у прямої є дві спільні точки, її називають січучою.

Якщо провести радіус у точку торкання, він буде перпендикулярний дотичній до кола.

Проведемо дві дотичні з цієї точки до нашого кола. Вийде, що відрізки дотичних зрівняються один з одним, а центр кола розташується на бісектрисі кута з вершиною в цій точці.

AC = CB

Тепер до кола з нашої точки проведемо дотичну та січну. Отримаємо, що квадрат довжини відрізка дотичної дорівнюватиме добутку всього відрізка січної на його зовнішню частину.

AC^(2) = CD \cdot BC

Можна зробити висновок: добуток цілого відрізка першої січної на його зовнішню частину дорівнює добутку цілого відрізка другої сікної на його зовнішню частину.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Кути в колі

Градусні заходи центрального кута і дуги, яку той спирається, рівні.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Вписаний кут- Це кут, вершина якого знаходиться на колі, а сторони містять хорди.

Обчислити його можна, дізнавшись величину дуги, оскільки він дорівнює половині цієї дуги.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Який спирається на діаметр, вписаний кут, прямий.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Вписані кути, що спираються на одну дугу, тотожні.

Опирающиеся однією хорду вписані кути тотожні чи його сума дорівнює 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180 ^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

На одному колі знаходяться вершини трикутників з тотожними кутами та заданою основою.

Кут з вершиною всередині кола і розташований між двома хордами тотожний половині суми кутових величин дуг кола, які полягають усередині даного та вертикального кутів.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Кут з вершиною поза коло і розташований між двома січними тотожний половині різниці кутових величин дуг кола, які полягають усередині кута.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Вписане коло

Вписане коло- Це коло, що стосується сторін багатокутника.

У точці, де перетинаються бісектриси кутів багатокутника, розташовується її центр.

Коло може бути вписане не в кожен багатокутник.

Площа багатокутника з вписаним колом знаходиться за формулою:

S = pr,

p - напівпериметр багатокутника,

r - радіус вписаного кола.

Звідси випливає, що радіус вписаного кола дорівнює:

r = \frac(S)(p)

Суми довжин протилежних сторін будуть тотожні, якщо коло вписано у опуклий чотирикутник. І навпаки: у опуклий чотирикутник вписується коло, якщо у ньому суми довжин протилежних сторін тотожні.

AB + DC = AD + BC

У будь-який з трикутників можна вписати коло. Лише одну єдину. У точці, де перетинаються бісектриси внутрішніх кутів фігури, лежатиме центр цього вписаного кола.

Радіус вписаного кола обчислюється за такою формулою:

r = \frac(S)(p) ,

де p = \frac(a + b + c)(2)

Описане коло

Якщо коло проходить через кожну вершину багатокутника, то таке коло прийнято називати описаної біля багатокутника.

У точці перетину серединних перпендикулярів сторін цієї фігури буде центр описаного кола.

Радіус можна знайти, обчисливши його як радіус кола, яка описана біля трикутника, визначеного будь-якими трьома вершинами багатокутника.

Є така умова: коло можна описати близько чотирикутника лише, якщо сума його протилежних кутів дорівнює 180^(\circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180 (\circ)

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, причому одну-єдину. Центр такого кола буде розташований у точці, де перетинаються серединні перпендикуляри сторін трикутника.

Радіус описаного кола можна обчислити за формулами:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = frac(abc)(4 S)

a, b, c - Довжини сторін трикутника,

S – площа трикутника.

Теорема Птолемея

Насамкінець, розглянемо теорему Птолемея.

Теорема Птолемея свідчить, що добуток діагоналей тотожний сумі творів протилежних сторін вписаного чотирикутника.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

Тема урока

Геометричні фігури

Що таке геометрична фігура

Геометричні фігури – це сукупність безлічі точок, ліній, поверхонь або тіл, які розташовані на поверхні, площині чи просторі та формує кінцеву кількість ліній.

Термін «фігура» певною мірою формально застосовується до безлічі точок, але зазвичай фігурою прийнято називати такі множини, які розташовані на площині і обмежуються кінцевим числом ліній.

Точка та пряма – це основні геометричні фігури, розташовані на площині.

До найпростіших геометричних фігур на площині належать - відрізок, промінь та ламана лінія.

Що таке геометрія

Геометрія – це така математична наука, що займається вивченням властивостей геометричних постатей. Якщо дослівно перекласти російською мовою термін «геометрія», він позначає «землемірство», оскільки у стародавні часи основним завданням геометрії, як науки, стало вимір відстаней і площ лежить на поверхні землі.

Практичне застосування геометрії безцінно в усі часи та незалежно від професії. Без знань геометрії неспроможна обійтися ні робітник, ні інженер, ні архітектор і навіть художник.

У геометрії є такий розділ, який займається вивченням різних фігур на площині та називається планіметрією.

Вам вже відомо, що фігурою називають довільну множину точок, що знаходяться на площині.

До геометричних фігур належать: точка, пряма, відрізок, промінь, трикутник, квадрат, коло та інші фігури, які вивчає планіметрія.

Крапка

З вище вивченого матеріалу вам вже відомо, що точка відноситься до головних геометричних фігур. І хоча це найменша геометрична фігура, але вона необхідна для побудови інших фігур на площині, кресленні або зображенні і є основою для решти всіх побудов. Адже побудова складніших геометричних постатей складається з безлічі точок, притаманних даної постаті.

У геометрії точки позначають великими літерами латинського алфавіту, наприклад, такими як: А, В, С, D ….

А тепер підіб'ємо підсумок, і так, з математичної точки зору, точка є таким абстрактним об'єктом у просторі, який не має обсягу, площі, довжини та інших характеристик, але залишається одним із фундаментальних понять у математиці. Крапка – це такий нульмерний об'єкт, який немає визначення. За визначенням Евкліда, точкою називають те, що неможливо визначити.

Пряма

Як і точка, пряма відноситься до фігур на площині, яка не має визначення, так як складається з безлічі точок, що знаходяться на одній лінії, яка не має ні початку, ні кінця. Можна стверджувати, що пряма лінія нескінченна і не має меж.

Якщо ж пряма починається і закінчується точкою, вона вже не є прямою і називається відрізком.

Але іноді пряма, з одного боку має крапку, з другого немає. У такому разі пряма перетворюється на промінь.

Якщо ж взяти пряму і на її середині поставити крапку, то вона розіб'є пряму на два протилежно спрямовані промені. Ці промені є додатковими.

Якщо ж перед вами кілька відрізків, з'єднаних між собою так, що кінець першого відрізка стає початком другого, а кінець другого відрізка - початком третього і т. д., і ці відрізки знаходяться не на одній прямій і при з'єднанні мають спільну точку, то така ланцюжок є ламаною лінією.

Завдання

Яка ламана лінія називається незамкнутою?
Як позначається пряма?
Як називається ламана лінія, у якої чотири замкнуті ланки?
Яку назву має ламана лінія із трьома замкнутими ланками?

Коли кінець останнього відрізка ламаною збігається з початком 1-го відрізка, таку ламану лінію називають замкнутою. Прикладом замкнутої ламаною є будь-який багатокутник.

Площина

Як точка і пряма, і площина є первинним поняттям, немає визначення і в неї не можна побачити ні початку, ні кінця. Тому при розгляді площини ми розглядаємо тільки ту її частину, яка обмежується замкненою ламаною лінією. Таким чином, площиною можна вважати будь-яку гладку поверхню. Цією поверхнею може бути аркуш паперу чи столу.

Кут

Фігура, яка має два промені та вершину, називається кутом. Місце з'єднання променів є вершиною цього кута, а його сторонами вважаються промені, які цей кут утворюють.

Завдання:

1. Як у тексті позначають кут?
2. Якими одиницями можна виміряти кут?
3. Які бувають кути?

Паралелограм

Паралелограм – це чотирикутник, протилежні сторони якого попарно паралельні.

Прямокутник, квадрат і ромб є окремими випадками паралелограма.

Паралелограм, що має прямі кути, рівні 90 градусів, є прямокутником.

Квадрат - це той же паралелограм, у нього і кути та сторони рівні.

Що ж до визначення ромба, це така геометрична фігура, всі сторони якого рівні.

Крім того, слід знати, що будь-який квадрат є ромбом, але не кожен ромб може бути квадратом.

Трапеція

При розгляді такої геометричної фігури, як трапеція, можна сказати, що вона, як і чотирикутник, має одну пару паралельних протилежних сторін і є криволінійною.

Коло та коло

Окружність - геометричне місце точок площини, рівновіддалених від заданої точки, яка називається центром, на задану ненульову відстань, яку називають її радіусом.

Трикутник

Також до простих геометричних фігур належить і трикутник, що вже вивчається вами. Це один із видів багатокутників, у якого частина площини обмежена трьома точками та трьома відрізками, які з'єднують ці точки попарно. Будь-який трикутник має три вершини та три сторони.

Завдання:Який трикутник називають виродженим?

Багатокутник

До багатокутників відносяться геометричні фігури різних форм, які мають замкнуту ламану лінію.

У багатокутнику всі точки, які з'єднують відрізки, є його вершинами. А відрізки, у тому числі складається багатокутник, є його сторонами.

А чи відомо вам, що виникнення геометрії сягає глибини століть і пов'язане з розвитком різних ремесел, культури, мистецтва та спостереженням за навколишнім світом. Та й назва геометричних постатей є тому підтвердженням, оскільки їхні терміни виникли не просто так, а завдяки своїй схожості та подобі.

Адже термін «трапеція» у перекладі з давньогрецької мови від слова «трапезіон» означає столик, трапеза та інші похідні слова.

«Конус» походить від грецького слова «конос», що у перекладі звучить, як соснова шишка.

«Лінія» має латинське коріння і походить від слова «лінум», у перекладі це звучить, як лляна нитка.

А чи знаєте ви, що якщо взяти геометричні фігури з однаковим периметром, то серед них володарем найбільшої площі виявилося коло.

Невже довкола нас є багато предметів, які схожі на геометричні фігури? Так це правда! Зокрема, багато з них мають форму кола. Наприклад, циркова арена, дно каструлі, ми можемо вирізати його з тканини або картону.

Розглянемо, що таке коло

Фігура, яка обмежена коло. Вона має центр, тому всі точки, які розташовані від центру до кола є площиною кола. Радіус кола – це відстань від його центру до кола.

Багато хто не розрізняє, що таке коло і коло. Окружність у нас вийде, якщо ми обведемо склянку, а також можемо викласти її з нитки. Усі точки площини, які розміщені на однаковій відстані від цієї точки, утворюють фігуру, яка називається коло. Якщо з'єднати дві точки кола, ми отримаємо відрізок, який називається хордою. Якщо хорда проходитиме через центр кола, то ми вже її назвемо діаметром, який дорівнює двом радіусам. Коло може розбиватися на сектори за допомогою двох радіусів. А на сегменти коло ділить хорда.

Огляньтеся! І ви побачите навколо себе коло та коло! Потрібно лише трохи фантазії.

І коло- геометричні постаті, взаємопов'язані між собою. є гранична ламана лінія (крива) кола,

Визначення. Окружність - замкнута крива, кожна точка якої рівновіддалена від точки, званої центром кола.

Для побудови кола вибирається довільна точка, прийнята за центр кола, і за допомогою циркуля проводиться замкнута лінія.

Якщо точку центру кола з'єднати з довільними точками на колі, то всі отримані відрізки будуть між собою рівні, і називаються такі відрізки радіусами, скорочено позначаються латинською маленькою або великою літерою «ер» ( rабо R). Радіусів у колі можна провести стільки ж, скільки точок має довжина кола.

Відрізок, що з'єднує дві точки кола і проходить через її центр, називається діаметром. Діаметрскладається з двох радіусів, що лежить на одній прямій. Діаметр позначається латинською маленькою або великою літерою «де» ( dабо D).

Правило. Діаметркола дорівнює двом її радіусів.

d = 2r
D = 2R

Довжина кола обчислюється за формулою і залежить від радіусу (діаметра) кола. У формулі є число ¶, яке показує у скільки разів довжина кола більше, ніж його діаметр. Число ¶ має нескінченну кількість знаків після коми. Для обчислень прийнято = 3,14.

Довжина кола позначається великою латинською літерою «це» ( C). Довжина кола пропорційна її діаметру. Формули для розрахунку довжини кола за її радіусом та діаметром:

C = ¶d
C = 2¶r

• Приклади
• Дано: d = 100 див.
• Довжина кола: C = 3,14*100 см = 314 см
• Дано: d = 25 мм.
• Довжина кола: С = 2 * 3,14 * 25 = 157 мм

Сікна кола та дуга кола

Будь-яка січна (пряма лінія) перетинає коло у двох точках і ділить її на дві дуги. Величина дуги кола залежить від відстані між центром і січною і вимірюється по замкнутій кривій від першої точки перетину січної з колом до другої.

Дугикола діляться січучоюна велику і малу, якщо січна не збігається з діаметром, і на дві рівні дуги, якщо січна проходить діаметром кола.

Якщо січна проходить через центр кола, то її відрізок, розташований між точками перетину з колом, є діаметр кола, або найбільша хорда кола.

Чим далі січна розташована від центру кола, тим менша градусна міра меншої дуги кола і більше - більшої дуги кола, а відрізок сіючої, званий хордий, зменшується в міру видалення січе від центру кола.

Визначення. Навколо називається частина площини, що лежить усередині кола.

Центр, радіус, діаметр кола є одночасно центром, радіусом та діаметром відповідного кола.

Так як коло - це частина площини, то одним із його параметрів є площа.

Правило. Площа кола ( S) дорівнює добутку квадрата радіусу ( r 2) на число ¶.

• Приклади
• Дано: r = 100 см
• Площа кола:
• S = 3,14 * 100 см * 100 см = 31 400 см 2 ≈ 3м 2
• Дано: d = 50 мм
• Площа кола:
• S = ¼ * 3,14 * 50 мм * 50 мм = 1 963 мм 2 ≈ 20 см 2

Якщо в колі провести два радіуси до різних точок кола, то утворюється дві частини кола, які називаються секторами. Якщо у колі провести хорду, то частина площини між дугою та хордою називається сегментом кола.