Вирішення меж з різними типами невизначеності. Методи розв'язання меж. Невизначеності. Порядок зростання функції. Метод заміни

Невизначеність виду і виду - найпоширеніші невизначеності, які потрібно розкривати під час вирішення меж.

Більшість завдань на межі, що трапляються студентам, несуть у собі такі невизначеності. Для їх розкриття або, точніше, уникнення невизначеностей існує кілька штучних прийомів перетворення виду вираження під знаком межі. Ці прийоми наступні: почленное поділ чисельника і знаменника на старший ступінь змінної, примноження на сполучене вираз і розкладання на множники для подальшого скорочення з використанням рішень квадратних рівняньта формул скороченого множення.

Невизначеність виду

приклад 1.

nдорівнює 2. Тому почленно ділимо чисельник і знаменник на:

.

Коментар до правої частини виразу. Стрілками та цифрами позначено, чого прагнуть дроби після підстановки замість nзначення нескінченність. Тут, як і в прикладі 2, ступінь nу знаменника більше, ніж у чисельнику, внаслідок чого весь дріб прагне нескінченно малої величини або "супермалого числа".

Отримуємо відповідь: межа цієї функції при змінній, що прагне нескінченності, дорівнює .

приклад 2. .

Рішення. Тут старший ступінь змінної xдорівнює 1. Тому почленно ділимо чисельник і знаменник на x:

.

Коментар до перебігу рішення. У чисельнику заганяємо "ікс" під корінь третього ступеня, а щоб його початковий ступінь (1) залишався незмінним, привласнюємо йому той самий ступінь, що й у кореня, тобто 3. Стрілок і додаткових чисел у цьому записі вже немає, так що спробуйте подумки, але за аналогією з попереднім прикладом визначити, чого прагнуть вирази в чисельнику і знаменнику після підстановки нескінченності замість "ікса".

Отримали відповідь: межа цієї функції при змінній, що прагне нескінченності, дорівнює нулю.

Невизначеність виду

приклад 3.Розкрити невизначеність і знайти межу.

Рішення. У чисельнику - різниця кубів. Розкладемо її на множники, застосовуючи формулу скороченого множення з курсу шкільної математики:

У знаменнику - квадратний тричлен, який розкладемо на множники, вирішивши квадратне рівняння (ще раз посилання на розв'язання квадратних рівнянь):

Запишемо вираз, отриманий в результаті перетворень і знайдемо межу функції:

приклад 4.Розкрити невизначеність і знайти межу

Рішення. Теорема про межу приватного тут не застосовується, оскільки

Тому тотожно перетворимо дріб: помноживши чисельник і знаменник на двочлен, пов'язаний знаменнику, і скоротимо на x+1. Відповідно до слідства з теореми 1, отримаємо вираз, вирішуючи яке, знаходимо потрібну межу:

Приклад 5.Розкрити невизначеність і знайти межу

Рішення. Безпосереднє встановлення значення x= 0 в задану функціюпризводить до невизначеності виду 0/0. Щоб розкрити її, здійснимо тотожні перетворення і отримаємо в результаті потрібну межу:

Приклад 6.Обчислити

Рішення:скористаємося теоремами про межі

Відповідь: 11

Приклад 7.Обчислити

Рішення:у цьому прикладі межі чисельника та знаменника при рівні 0:

; . Отримали, отже, теорему про межі частки застосовувати не можна.

Розкладемо чисельник і знаменник на множники, щоб скоротити дріб на загальний множник, що прагне нуля, і, отже, зробити можливим застосування теореми 3.

Квадратний тричлен у чисельнику розкладемо за формулою , де х 1 і х 2 – коріння тричлена. Розклавши на множники і знаменник, скоротимо дріб на (x-2), потім застосуємо теорему 3.

Відповідь:

Приклад 8.Обчислити

Рішення:При чисельник і знаменник прагнуть нескінченності, тому при безпосередньому застосуванні теореми 3 отримуємо вираз , який є невизначеністю. Для позбавлення від невизначеності такого виду слід розділити чисельник та знаменник на старший ступінь аргументу. У даному прикладіпотрібно розділити на х:

Відповідь:

Приклад 9.Обчислити

Рішення: х 3:

Відповідь: 2

приклад 10.Обчислити

Рішення:При чисельник і знаменник прагнуть нескінченності. Розділимо чисельник і знаменник на старшу міру аргументу, тобто. х 5:

=

чисельник дробу прагне 1, знаменник до 0, тому дріб прагне нескінченності.

Відповідь:

Приклад 11.Обчислити

Рішення:При чисельник і знаменник прагнуть нескінченності. Розділимо чисельник і знаменник на старшу міру аргументу, тобто. х 7:

Відповідь: 0

Похідна.

Похідної функції y = f(x) за аргументом xназивається межа відношення її збільшення y до збільшення x аргументу x, коли збільшення аргументу прагне до нуля: . Якщо ця межа закінчена, то функція y = f(x)називається диференційованою у точці х. Якщо ж ця межа є , то кажуть, що функція y = f(x)має у точці х нескінченну похідну.

Похідні основних елементарних функцій:

1. (const) = 0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Правила диференціювання:

a)

в)

приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення:Якщо похідну від другого доданку знаходимо за правилом диференціювання дробу, то перший доданок є складною функцією, похідна якої знаходиться за формулою:

, де тоді

За рішення були використані формули: 1,2,10,а,в,г.

Відповідь:

Приклад 21.Знайти похідну функції

Рішення:обидва доданки – складні функції, де для першого , , а для другого , тоді

Відповідь:

Програми похідної.

1. Швидкість та прискорення

Нехай функція s(t) описує становищеоб'єкта в деякій системі координат на момент часу t. Тоді перша похідна функції s(t) є миттєвою швидкістюоб'єкта:
v=s′=f′(t)
Друга похідна функції s(t) є миттєвим прискоренняоб'єкта:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Рівняння дотичної
y−y0=f′(x0)(x−x0),
де (x0, y0) – координати точки дотику, f′(x0) – значення похідної функції f(x) у точці дотику.

3. Рівняння нормалі
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

де (x0,y0) – координати точки, в якій проведена нормаль, f′(x0) – значення похідної функції f(x) у даній точці.

4. Зростання та зменшення функції
Якщо f′(x0)>0, то функція зростає у точці x0. На малюнку нижче функція зростає при x x2.
Якщо f′(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Якщо f′(x0)=0 або похідна не існує, то ця ознака не дозволяє визначити характер монотонності функції у точці x0.

5. Локальні екстремуми функції
Функція f(x) має локальний максимуму точці x1, якщо існує така околиця точки x1, що для всіх x з цієї околиці виконується нерівність f(x1)≥f(x).
Аналогічно, функція f(x) має локальний мінімуму точці x2, якщо існує така околиця точки x2, що для всіх x з цієї околиці виконується нерівність f(x2)≤f(x).

6. Критичні точки
Точка x0 є критичною точкоюфункції f(x), якщо похідна f′(x0) у ній дорівнює нулю чи немає.

7. Перша достатня ознака існування екстремуму
Якщо функція f(x) зростає (f′(x)>0) для всіх x у певному інтервалі (a,x1] і зменшується (f′(x)<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) для всіх x з інтервалу)