Диференціювання функції заданої параметричними рівняннями. Похідна функції заданої неявно. Похідна параметрично заданої функції
Похідна функції заданої неявно.
Похідна параметрично заданої функції
У цій статті ми розглянемо ще два типові завдання, які часто зустрічаються в контрольні роботиз вищої математики. Для того, щоб успішно освоїти матеріал, необхідно вміти знаходити похідні хоча б на середньому рівні. Навчитися знаходити похідні практично з нуля можна на двох базових уроках та Похідна складної функції. Якщо з навичками диференціювання все гаразд, тоді поїхали.
Похідна функції, заданої неявно
Або коротше – похідна неявної функції. Що таке неявна функція? Давайте спочатку згадаємо саме визначення функції однієї змінної:
Функція однієї змінної-Це правило, за яким кожному значенню незалежної змінної відповідає одне і тільки одне значення функції.
Змінна називається незалежної змінноїабо аргументом.
Змінна називається залежною змінноюабо функцією
.
Досі ми розглядали функції, задані в явномувигляді. Що це означає? Влаштуємо аналіз польотів на конкретних прикладах.
Розглянемо функцію 
Ми бачимо, що ліворуч у нас самотній «гравець», а праворуч – тільки «ікси». Тобто функція у явному виглядівиражена через незалежну змінну.
Розглянемо іншу функцію:
Тут змінні та розташовані «впереміш». Причому ніякими способами неможливовисловити "ігрок" тільки через "ікс". Що за способи? Перенесення доданків із частини у частину зі зміною знака, винесення за дужки, перекидання множників за правилом пропорції та інших. Перепишіть рівність і спробуйте виразити «гравець» у вигляді: . Можна крутити-крутити рівняння годинником, але у вас цього не вийде.
Дозвольте познайомити: приклад неявної функції.
У курсі математичного аналізу доведено, що неявна функція існує(проте не завжди), у неї є графік (так само, як і у «нормальної» функції). У неявної функції так само існуєперша похідна, друга похідна і т.д. Як кажуть, усі права секс-меншин дотримані.
І цьому уроці ми навчимося знаходити похідну від функції, заданої неявно. Це не так складно! Усі правила диференціювання, таблиця похідних елементарних функційзалишаються у силі. Різниця в одному своєрідному моменті, який ми розглянемо зараз.
Так, і повідомлю хорошу новину – розглянуті нижче завдання виконуються за досить жорстким та чітким алгоритмом без каменю перед трьома доріжками.
Приклад 1
1) На першому етапі навішуємо штрихи на обидві частини:
2) Використовуємо правила лінійності похідної (перші два правила уроку Як знайти похідну? Приклади рішень):
3) Безпосереднє диференціювання.
Як диференціювати і зрозуміло. Що робити там, де під штрихами є «Ігреки»?
- просто до неподобства, похідна від функції дорівнює її похідній: .
Як диференціювати
Тут у нас складна функція. Чому? Начебто під синусом лише одна літера «ігрок». Але, річ у тому, що лише одна буква «ігрок» – САМА ЗА СЕБЕ Є ФУНКЦІЄЮ(Див. визначення на початку уроку). Таким чином, синус – зовнішня функція, – внутрішня функція. Використовуємо правило диференціювання складної функції 
:
Твір диференціюємо за звичайному правилу 
:
Зверніть увагу, що теж складна функція, будь-який «ігрок з наворотами» – складна функція:
Саме оформлення рішення має виглядати приблизно так:
Якщо є дужки, то розкриваємо їх:
4) У лівій частині збираємо доданки, в яких є «ігрок» зі штрихом. У праву частину– переносимо все інше:
5) У лівій частині виносимо похідну за дужки:
6) І за правилом пропорції скидаємо ці дужки у знаменник правої частини:
Похідна знайдена. Готово.
Цікаво відзначити, що у неявному вигляді можна переписати будь-яку функцію. Наприклад, функцію 
можна переписати так: 
. І диференціювати її за щойно розглянутим алгоритмом. Насправді фрази «функція, задана у неявному вигляді» та «неявна функція» відрізняються одним смисловим нюансом. Фраза «функція, задана в неявному вигляді» більш загальна та коректна, 
– ця функція задана у неявному вигляді, але тут можна виразити «гравець» і уявити функцію у явному вигляді. Під фразою "неявна функція" розуміють "класичну" неявну функцію, коли "ігрок" висловити не можна.
Другий спосіб вирішення
Увага!З другим способом можна ознайомитись лише в тому випадку, якщо Ви вмієте впевнено знаходити приватні похідні. Початківці вивчати математичний аналізта чайники, будь ласка, не читайте та пропустіть цей пунктІнакше в голові буде повна каша.
Знайдемо похідну неявної функції другим способом.
Переносимо всі доданки в ліву частину:
І розглядаємо функцію двох змінних:
Тоді нашу похідну можна знайти за формулою
Знайдемо приватні похідні:
Таким чином:
Другий спосіб рішення дозволяє виконати перевірку. Але оформляти їм чистовий варіант завдання небажано, оскільки приватні похідні освоюють пізніше, і студент, який вивчає тему «Похідна функції однієї змінної», знати приватні похідні як би ще не повинен.
Розглянемо ще кілька прикладів.
Приклад 2
Знайти похідну від функції, заданої неявно
Навішуємо штрихи на обидві частини:
Використовуємо правила лінійності:
Знаходимо похідні:
Розкриваємо всі дужки:
Переносимо всі доданки в ліву частину, інші – в праву частину:
Остаточна відповідь: 
Приклад 3
Знайти похідну від функції, заданої неявно 
Повне рішеннята зразок оформлення наприкінці уроку.
Не рідкість, коли після диференціювання з'являються дроби. У таких випадках дробів потрібно позбавлятися. Розглянемо ще два приклади.
Приклад 4
Знайти похідну від функції, заданої неявно 
Укладаємо обидві частини під штрихи та використовуємо правило лінійності: 
Диференціюємо, використовуючи правило диференціювання складної функції 
та правило диференціювання приватного 
:
Розкриваємо дужки: 
Тепер нам потрібно позбутися дробу. Це можна зробити і пізніше, але раціональніше зробити відразу. У знаменнику дробу знаходиться . Примножуємо на . Якщо докладно, то це виглядатиме так:
Іноді після диференціювання утворюється 2-3 дроби. Якби в нас був ще один дріб, наприклад, то операцію потрібно було б повторити – помножити кожен доданок кожної частинина
У лівій частині виносимо за дужку:
Остаточна відповідь: 
Приклад 5
Знайти похідну від функції, заданої неявно
Це приклад для самостійного рішення. Єдине, в ньому, перед тим як позбутися дробу, попередньо потрібно буде позбутися триповерховості самого дробу. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.
Похідна параметрично заданої функції
Не напружуємось, у цьому параграфі теж все досить просто. Можна записати загальну формулупараметрично заданої функції, але для того, щоб було зрозуміло, я відразу запишу конкретний приклад. У параметричної формі функція визначається двома рівняннями: . Часто рівняння записують під фігурними дужками, а послідовно: , .
Змінна називається параметромі може приймати значення від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Розглянемо, наприклад, значення і підставимо його в обидва рівняння: 
. Або по-людськи: «якщо ікс дорівнює чотирьом, то ігрок дорівнює одиниці». На координатній площині можна відзначити точку, і ця точка відповідатиме значенню параметра. Аналогічно можна знайти точку будь-якого значення параметра «те». Як і для «звичайної» функції, для американських індіанцівпараметрично заданої функції всі права також дотримані: можна побудувати графік, знайти похідні тощо. До речі, якщо потрібно побудувати графік параметрично заданої функції, можете скористатися моєю програмою .
У найпростіших випадках є можливість уявити функцію у явному вигляді. Виразимо з першого рівняння параметр: 
– і підставимо його на друге рівняння: 
. В результаті отримано звичайну кубічну функцію.
У «важчих» випадках такий фокус не прокочує. Але це не біда, тому що для знаходження похідної параметричної функції існує формула:
Знаходимо похідну від «гравця за змінною те»:
Всі правила диференціювання та таблиця похідних справедливі, природно, і для літери, таким чином, якоїсь новизни у самому процесі знаходження похідних немає. Просто подумки замініть у таблиці всі «ікси» на літеру «те».
Знаходимо похідну від «ікса за змінною те»: 
Тепер тільки залишилося підставити знайдені похідні до нашої формули: 
Готово. Похідна, як і сама функція, також залежить від параметра .
Що стосується позначень, то у формулі замість запису можна було просто записати без підрядкового індексу, оскільки це «звичайна» похідна «ікс». Але в літературі завжди зустрічається варіант, тому я не відхилятимуся від стандарту.
Приклад 6
Використовуємо формулу
Таким чином: 
Особливістю знаходження похідної параметричної функції є той факт, що на кожному кроці результат вигідно максимально спрощувати. Так, у розглянутому прикладі при знаходженні я розкрив дужки під коренем (хоча міг цього не робити). Великий шанс, що при підстановці та формулі багато речей добре скоротяться. Хоча зустрічаються, звичайно, приклади і з кострубатими відповідями.
Приклад 7
Знайти похідну від функції, заданої параметрично 
Це приклад самостійного рішення.
у статті Найпростіші типові завдання з похідноюми розглядали приклади, у яких потрібно було знайти другу похідну функції. Для параметрично заданої функції також можна знайти другу похідну, і вона за наступною формуле: . Цілком очевидно, що для того, щоб знайти другу похідну, потрібно спочатку знайти першу похідну.
Приклад 8
Знайти першу та другу похідні від функції, заданої параметрично
Спочатку знайдемо першу похідну.
Використовуємо формулу
В даному випадку: 
Підставляємо знайдені похідні у формулу. З метою спрощень використовуємо тригонометричну формулу: 
Розглянемо завдання лінії на площині, при якому змінні x, y є функціями третьої змінної t (назвою параметром):
Для кожного значення tз деякого інтервалу відповідають певні значення xі y, а, Отже, певна точка M (x, y) площині. Коли tпробігає всі значення із заданого інтервалу, то точка M (x, y) описує деяку лінію L. Рівняння (2.2) називаються параметричними рівняннямилінії L.
Якщо функція x = ? yяк функцію від x. У цьому випадку кажуть, що рівняння (2.2) задають функцію yпараметрично.
приклад 1.Нехай M (x, y)– довільна точка кола радіусу Rта з центром на початку координат. Нехай t- Кут між віссю Oxта радіусом OM(Див. рис. 2.3). Тоді x, yвиражаються через t:
Рівняння (2.3) є параметричними рівняннями кола. Виключимо із рівнянь (2.3) параметр t. Для цього кожне з рівнянь зведемо до квадрата і складемо, отримаємо: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) або x 2 + y 2 = R 2 – рівняння кола в декартовій системі координат. Воно визначає дві функції: Кожна з цих функцій визначається параметричними рівняннями (2.3), але для першої функції , а для другої .
Приклад 2. Параметричні рівняння
задають еліпс із півосями a, b(Рис. 2.4). Виключаючи з рівнянь параметр t, отримаємо канонічне рівнянняеліпса:
Приклад 3. Циклоїдою називається лінія, описана точкою, що лежить на колі, якщо це коло котиться без ковзання по прямій (рис. 2.5). Введемо параметричні рівняння циклоїди. Нехай радіус кола, що котиться, дорівнює a, крапка M, що описує циклоїду, на початку руху збігалася з початком координат. 
Визначимо координати x, y точки Mпісля того, як коло повернулося на кут t
(рис. 2.5), t = ÐMCB. Довжина дуги MBдорівнює довжині відрізка OB,так як коло котиться без ковзання, тому
OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB - AB = at - asint = a (t - sint),
y = AM = CB - CD = a - acost = a (1 - cost).
Отже, отримано параметричні рівняння циклоїди:
При зміні параметра tвід 0 до 2πколо повертається однією оборот, у своїй точка Mописує одну арку циклоїдів. Рівняння (2.5) задають yяк функцію від x. Хоча функція x = a(t – sint)має зворотну функціюале вона не виражається через елементарні функції, тому функція y = f(x)не виражається через елементарні функції.
Розглянемо диференціювання функції, заданої параметрично рівняннями (2.2). Функція x = φ(t) на деякому інтервалі зміни t має зворотну функцію t = Ф(x)тоді y = g(Ф(x)). Нехай x = φ(t), y = g(t)мають похідні, причому x"t≠0. За правилом диференціювання складної функції y"x=y"t×t"x.З правила диференціювання зворотної функції , тому:
Отримана формула (2.6) дозволяє знаходити похідну функції, заданої параметрически.
Приклад 4. Нехай функція y, що залежить від x, задана параметрично:
Рішення. 
.
Приклад 5.Знайти кутовий коефіцієнт kдотичної до циклоїди у точці M 0 , що відповідає значенню параметра .
Рішення.З рівнянь циклоїди: y" t = asint, x" t = a (1 - cost),тому 
Кутовий коефіцієнт дотичної у точці M 0 дорівнює значеннюпри t 0 = π/4:
ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ
Нехай функція у точці x 0має похідну. За визначенням: 
тому за властивостями межі (розд. 1.8), де a- нескінченно мала при Δx → 0. Звідси
Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)
При Δx → 0 другий доданок у рівності (2.7) є нескінченно малою вищого порядку, порівняно з 
тому Δy і f" (x 0)×Δx - еквівалентні, нескінченно малі (при f "(x 0) ≠ 0).
Таким чином, збільшення функції Δy складається з двох доданків, з яких перше f "(x 0)×Δx є головною частиною збільшення Δy, лінійної щодо Δx (при f"(x 0)≠ 0).
Диференціаломфункції f(x) у точці x 0 називається головна частина збільшення функції та позначається: dyабо df (x 0). Отже,
df (x0) = f "(x0)×Δx. (2.8)
приклад 1.Знайти диференціал функції dyі збільшення функції Δy для функції y = x 2 при:
1) довільних xта Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.
Рішення
1) Δy = (x + Δx) 2 - x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 - x 2 = 2xΔx + (Δx) 2 , dy = 2xΔx.
2) Якщо x 0 = 20, x = 0,1, то y = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 0,1 = 4.
Запишемо рівність (2.7) у вигляді:
Δy = dy + a×Δx. (2.9)
Приріст Δy відрізняється від диференціала dyна нескінченно малу вищого порядку, в порівнянні з Δx, тому в наближених обчисленнях користуються наближеною рівністю Δy ≈ dy, якщо Δx досить мало.
Враховуючи, що Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), отримуємо наближену формулу:
f(x 0 + Δx) f(x 0) + dy. (2.10)
Приклад 2. Обчислити приблизно .
Рішення.Розглянемо:
Використовуючи формулу (2.10), отримаємо:
Значить, ≈ 2,025.
Розглянемо геометричний сенс диференціалу df(x 0)(Рис. 2.6). 
Проведемо до графіка функції y = f(x), що стосується в точці M 0 (x0, f(x 0)), нехай φ – кут між дотичною KM0 і віссю Ox, тоді f"(x 0) = tgφ. З ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Але PN є збільшенням ординати дотичної за зміни x від x 0 до x 0 + Δx.
Отже, диференціал функції f(x) у точці x 0 дорівнює збільшенню дотичної ординати.
Знайдемо диференціал функції
y = x. Оскільки (x)" = 1, то dx = 1×Δx = Δx. Вважатимемо, що диференціал незалежної змінної x дорівнює її прирощенню, тобто dx = Δx.
Якщо x – довільне число, то з рівності (2.8) одержуємо df(x) = f "(x)dx, звідки 
.
Таким чином, похідна функції y = f(x) дорівнює відношенню її диференціала до диференціалу аргументу.
Розглянемо властивості диференціала функції.
Якщо u(x), v(x) – функції, що диференціюються, то справедливі наступні формули:
Для доказу цих формул використовуються формули похідних для суми, добутку та приватної функції. Доведемо, наприклад, формулу (2.12):
d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.
Розглянемо диференціал складної функції: y = f(x), x = φ(t), тобто. y = f(?(t)).
Тоді dy = y" t dt, але y" t = y" x xx" t тому dy = y" x x" t dt. Враховуючи,
що x "t = dx, отримуємо dy = y" x dx = f "(x) dx.
Таким чином, диференціал складної функції y = f(x), де x =φ(t), має вигляд dy = f "(x)dx, такий же, як у тому випадку, коли x є незалежною змінною. Ця властивість називається інваріантністю форми диференціал а.
Логарифмічне диференціювання
Похідні елементарних функцій
Основні правила диференціювання
Диференціал функції
Головна лінійна частиназбільшення функції A D xу визначенні диференційованості функції
D f=f(x)- f(x 0)=A(x - x 0)+o(x – x 0), x®x 0
називається диференціалом функції f(x) у точці x 0 і позначається
df(x 0)=f¢(x 0) D x= A D x.
Диференціал залежить від точки x 0 і від збільшення D x.На D xпри цьому дивляться, як на самостійну змінну, так що у кожній точці диференціал є лінійну функціювід збільшення D x.
Якщо як функція розглянути f(x)=x, то отримаємо dx= D x, dy = Adx. Це узгоджується з позначенням Лейбниця
Геометрична інтерпретація диференціала як збільшення ординати дотичної.
Мал. 4.3
1) f= const , f¢= 0, df= 0D x= 0.
2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.
3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.
Слідство. (cf(x))¢=cf¢(x), (c 1 f 1 (x)+…+c n f n(x))¢= c 1 f¢ 1 (x)+…+ c n f¢ n(x)
4) f=u/v, v(x 0)¹0 і похідна існує, то f¢=(u¢v-v¢ u)/v 2 .
Для стислості будемо позначати u=u(x), u 0 =u(x 0), тоді
Переходячи до межі у D x® 0 отримаємо необхідну рівність.
5) Похідна складної функції.
Теорема. Якщо існують f¢(x 0), g¢(x 0)і x 0 = g(t 0), то в деякій околиці t 0 визначено складну функцію f(g(t)), вона диференційована у точці t 0 і
Доведення.
f(x)- f(x 0)=f¢(x 0)(x-x 0)+ a( x)(x-x 0), xÎ U(x 0).
f(g(t))- f(g(t 0))= f¢(x 0)(g(t)- g(t 0))+ a( g(t))(g(t)- g(t 0)).
Поділимо обидві частини цієї рівності на ( t - t 0) і перейдемо до межі при t®t 0 .
6) Обчислення похідної зворотної функції.
Теорема. Нехай f безперервна і строго монотонна на[a,b]. Нехай у точці x 0 Î( a,b)існує f¢(x 0)¹ 0 тоді зворотна функція x=f -1 (y)має в точці y 0 похідну, рівну
Доведення. Вважаємо fсуворо монотонно зростаючою, тоді f -1 (y) безперервна, монотонно зростає на [ f(a),f(b)]. Покладемо y 0 =f(x 0), y=f(x), x - x 0 =D x,
y - y 0 =D y. Через безперервність зворотної функції D y®0 Þ D x®0, маємо
Переходячи до межі, отримаємо необхідну рівність.
7) Похідна парної функціїнепарна, похідна непарної функції парна.
Справді, якщо x® - x 0 , то - x® x 0 , тому
Для парної функції для непарної функції
1) f= const, f¢(x)=0.
2) f(x)=x, f¢(x)=1.
3) f(x)=e x, f¢(x)= e x ,
4) f(x)=a x ,(a x)¢ = a x ln a.
5) ln a.
6) f(x)=ln x ,
Слідство. (похідна парної функції непарна)
7) (x m )¢= m x m -1 , x>0, x m =e m ln x .
8) (sin x)¢= cos x,
9) (cos x)¢=- sin x,(cos x)¢= (sin( x+ p/2)) ¢= cos( x+ p/2)=-sin x.
10) (tg x)¢= 1/cos 2 x.
11) (ctg x)¢= -1/sin 2 x.
16) sh x, ch x.
f(x),звідки випливає, що f¢(x)=f(x)(ln f(x))¢ .
Ту ж формулу можна отримати інакше f(x)=e ln f(x) , f¢=e ln f(x) (ln f(x))¢.
приклад. Обчислити похідну функції f = x x.
= x x = x x = x x = x x(ln x + 1).
Геометричне місце точок на площині
будемо називати графіком функції, заданою параметрично. Говорять також про параметричне завдання функції.
Зауваження 1.Якщо x, yбезперервні на [a,b] і x(t) суворо монотонна на відрізку (наприклад, строго монотонно зростає), то [ a,b], a = x(a) , b = x(b) визначено функцію f(x)=y(t(x))де t(x) – обернена до x(t) функція. Графік цієї функції збігається із графіком функції
Якщо область визначення параметрично заданої функції можна розбити на кінцеву кількість відрізків , k= 1,2,…,n,на кожному з яких функція x(t) строго монотонна, то параметрично задана функція розпадається на кінцеве число звичайних функцій f k(x)=y(t -1 (x)) з областями визначення [ x(a k), x(b k)] для ділянок зростання x(t) та з областями визначення [ x(b k), x(a k)] для ділянок зменшення функції x(t). Отримані таким чином функції називають однозначними гілками параметрично заданої функції.
На малюнку показано графік параметрично заданої функції
При вибраній параметризації область визначення розбивається на п'ять ділянок суворої монотонності функції sin(2 t), саме: tÎ tÎ ,tÎ ,tÎ , і, відповідно, графік розпадеться на п'ять однозначних гілок, що відповідають цим ділянкам.
Мал. 4.4
Мал. 4.5
Можна вибрати іншу параметризацію того ж геометричного місця точок
У цьому випадку таких гілок буде лише чотири. Вони відповідатимуть ділянкам суворої монотонності. tÎ ,tÎ , tÎ ,tÎ функції sin(2 t).
Мал. 4.6
Чотири ділянки монотонності функції sin(2 t) на відрізку довгою.
Мал. 4.7
Зображення обох графіків одному малюнку дозволяє приблизно зобразити графік параметрично заданої функції, використовуючи ділянки монотонності обох функцій.
Розглянемо для прикладу першу гілку, що відповідає відрізку tÎ . На кінцях цієї ділянки функція x= sin(2 t) приймає значення -1 та 1 тому ця гілка буде визначена на [-1,1] . Після цього слід дивитися на ділянки монотонності другої функції y= cos( t), у неї на дві ділянки монотонності . Це дозволяє сказати, що перша гілка має дві ділянки монотонності. Знайшовши кінцеві точки графіка можна поєднати їх прямими у тому, щоб позначити характер монотонності графіка. Зробивши це з кожною гілкою, отримаємо ділянки монотонності однозначних гілок графіка (на малюнку вони виділені червоним кольором)
Мал. 4.8
Перша однозначна гілка f 1 (x)=y(t(x)) , що відповідає ділянці буде визначено для xÎ[-1,1] . Перша однозначна гілка tÎ , xÎ[-1,1].
Всі інші три гілки будуть мати область визначення також безліч [-1,1] .
Мал. 4.9
Друга гілка tÎ xÎ[-1,1].
Мал. 4.10
Третя гілка tÎ xÎ[-1,1]
Мал. 4.11
Четверта гілка tÎ xÎ[-1,1]
Мал. 4.12
Зауваження 2. Одна й та сама функція може мати різні параметричні завдання. Відмінності можуть стосуватися як самих функцій x(t), y(t) , так і області визначення цих функцій.
Приклад різних параметричних завдань однієї й тієї функції
і tÎ[-1, 1] .
Примітка 3.Якщо x,y безперервні на , x(t)-суворо монотонна на відрізку та існують похідні y¢(t 0),x¢(t 0)¹0, то існує f¢(x 0)= .
Справді, .
Останнє твердження поширюється і однозначні гілки параметрически заданої функції.
4.2 Похідні та диференціали вищих порядків
Старші похідні та диференціали. Диференціювання функцій, заданих параметрично. Формула Лейбниця.
Нехай функція задана параметричним способом:
(1)
де деяка змінна, яка називається параметром. І нехай функції і мають похідні за певного значення змінної. Причому і функція має зворотну функцію в околиці точки. Тоді функція (1) має в похідній точці , яка, в параметричному вигляді, визначається за формулами:
(2)
Тут і - похідні функцій і за змінною (параметром). Їх часто записують у такому вигляді:
;
.
Тоді систему (2) можна записати так:
Доведення
За умовою, функція має зворотну функцію. Позначимо її як
.
Тоді вихідну функцію можна як складну функцію:
.
Знайдемо її похідну, застосовуючи правила диференціювання складної та зворотної функцій:
.
Правило підтверджено.
Доказ другим способом
Знайдемо похідну другим способом, виходячи з визначення похідної функції в точці:
.
Введемо позначення:
.
Тоді й попередня формула набуває вигляду:
.
Скористаємося тим, що функція має зворотну функцію в околиці точки .
Введемо позначення:
;
;
;
.
Розділимо чисельник і знаменник дробу на:
.
При , . Тоді
.
Правило підтверджено.
Похідні вищих порядків
Щоб знайти похідні найвищих порядків, треба виконувати диференціювання кілька разів. Припустимо, нам треба знайти похідну другого порядку від функції, заданої параметричним способом наступного виду:
(1)
За формулою (2) знаходимо першу похідну, яка також визначається параметричним способом:
(2)
Позначимо першу похідну, за допомогою змінної:
.
Тоді, щоб знайти другу похідну від функції змінної , потрібно знайти першу похідну від функції змінної . Залежність змінної від змінної також задана параметричним способом:
(3)
Порівнюючи (3) з формулами (1) і (2), знаходимо:
Тепер виразимо результат через функції та . Для цього підставимо та застосуємо формулу похідного дробу:
.
Тоді
.
Звідси отримуємо другу похідну функції змінної :
Вона також задана у параметричному вигляді. Зауважимо, що перший рядок також можна записати так:
.
Продовжуючи процес, можна отримати похідні функції від змінної третього і вищих порядків.
Зауважимо, що можна вводити позначення для похідної . Можна записати так:
;
.
Приклад 1
Знайдіть похідну від функції, заданої параметричним способом:
Рішення
Знаходимо похідні та по .
З таблиці похідних знаходимо:
;
.
Застосовуємо:
.
Тут.
.
Тут.
Похідна:
.
Відповідь
Приклад 2
Знайдіть похідну від функції, вираженої через параметр :
Рішення
Розкриємо дужки, застосовуючи формули для статечних функцій і коріння:
.
Знаходимо похідну:
.
Знаходимо похідну. Для цього введемо змінну та застосуємо формулу похідної складної функції.
.
Знаходимо шукану похідну:
.
Відповідь
Приклад 3
Знайдіть похідні другого та третього порядків від функції, заданої параметричним способом у прикладі 1:
Рішення
У прикладі 1 ми знайшли похідну першого порядку:
Введемо позначення. Тоді функція є похідною . Вона задана параметричним способом:
Щоб знайти другу похідну по нам треба знайти першу похідну по .
Диференціюємо по .
.
Похідну ми знайшли в прикладі 1:
.
Похідна другого порядку за дорівнює похідній першого порядку за :
.
Отже, ми знайшли похідну другого порядку в параметричному вигляді:
Тепер знаходимо похідну третього порядку. Введемо позначення. Тоді нам потрібно знайти похідну першого порядку від функції, яка задана параметричним способом:
Знаходимо похідну по . Для цього перепишемо в еквівалентному вигляді:
.
З
.
Похідна третього порядку дорівнює похідній першого порядку по :
.
Зауваження
Можна не вводити змінні та , які є похідними та відповідно. Тоді можна записати так:
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Відповідь
У параметричному поданні похідна другого порядку має наступний вигляд:
Похідна третій порядок.
