Площа основи призми: від трикутної до багатокутної. Об'єм трикутної призми: формула загального типу та формула для правильної призми

Обсяг призми. Розв'язання задач

Геометрія є наймогутнішим засобом для витончення наших розумових здібностей і дає можливість правильно мислити і міркувати.

Г.Галілей

Мета уроку:

• навчити вирішення завдань на обчислення обсягу призм, узагальнити та систематизувати наявні у учнів відомості про призм та її елементи, формувати вміння вирішувати завдання підвищеної складності;
• розвивати логічне мислення, вміння самостійно працювати, навички взаємоконтролю та самоконтролю, вміння говорити та слухати;
• виробити звичку до постійної зайнятості, якоюсь корисною справою, виховання чуйності, працьовитості, акуратності.

Тип уроку: урок застосування знань, умінь та навичок.

Обладнання: картки контролю, медіапроектор, презентація “Урок. Об'єм Призми”, комп'ютери.

Хід уроку

• Бічні ребра призми (рис. 2).
• Бічна поверхня призми (рис 2, рис 5).
• Висоту призми (рис 3, рис 4).
• Пряму призму (рис 2,3,4).
• Похилий призму (рис 5).
• Правильна призму (рис 2, рис 3).
• Діагональний переріз призми (рис. 2).
• Діагональ призми (рис. 2).
• Перпендикулярний переріз призми (рі3, рис4).
• Площа бічній поверхні призми.
• Площа повної поверхніпризми.
• Обсяг призми.

1. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ (8 хв)

Обміняйтесь зошитами, перевірте рішення на слайдах і виставте позначку (позначка 10 якщо складено завдання)

Складіть завдання задачі і розв'яжіть її. Учень захищає складене завдання дошки. Рис 6 та рис 7.





Глава 2, §3
Завдання.2. Довжина всіх ребер правильної трикутної призми дорівнює між собою. Обчисліть об'єм призми, якщо площа поверхні дорівнює cм 2 (рис8)



Глава 2, §3
Завдання 5. Підстава прямої призми АВСА 1В 1С1 є прямокутний трикутникАВС (кут АВС = 90 °), АВ = 4см. Обчисліть обсяг призми, якщо радіус кола, описаного біля трикутника АВС, дорівнює 2,5см, а висота призми дорівнює 10см. (Рис 9).



Глава2, §3
Завдання 29.Довжина сторони підстави правильної чотирикутної призми дорівнює 3см. Діагональ призми утворює з площиною бічної грані кут 30 °. Обчислити обсяг призми (рис. 10).



2. Сумісна працявчителі з класом (2-3хв.).

Мета: підбиття підсумків теоретичної розминки (учні проставляють оцінки один одному), вивчення способів вирішення завдань на тему.

3. Фізкультхвилинка (3 хв)
4. РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ (10 хв)

На цьому етапі вчитель організує фронтальну роботу з повторення способів розв'язання планиметричних завдань, формул планіметрії. Клас ділиться на дві групи, одні вирішують завдання, інші працюють за комп'ютером. Потім змінюються. Учням пропонується вирішити всім №8 (усно), №9 (усно). Після поділяються на групи і починають вирішувати задачі № 14, № 30, № 32.

Розділ 2, §3, сторінка 66-67

Завдання 8. Усі ребра правильної трикутної призми рівні між собою. Знайдіть об'єм призми, якщо площа перерізу площиною, що проходить через ребро нижньої основи та середину сторони верхньої основи, дорівнює см (рис.11).



Розділ 2, §3, сторінка 66-67
Завдання 9. основа прямої призми – квадрат, та її бічні ребра вдвічі більше боку основания. Обчисліть об'єм призми, якщо радіус кола, описаного біля перерізу призми площиною, що проходить через бік основи і середину бічного ребра, дорівнює див. (рис.12)



Розділ 2, §3, сторінка 66-67
Завдання 14.Підстава прямої призми - ромб, одна з діагоналей якого дорівнює його стороні. Обчисліть периметр перерізу площиною, що проходить через велику діагональ нижньої основи, якщо об'єм призми дорівнює і всі бічні грані квадрати (рис.13).



Розділ 2, §3, сторінка 66-67
Завдання 30.АВСА 1 В 1 З 1 –правильна трикутна призма, всі ребра якої рівні між собою, точка про середину ребра ВВ 1 . Обчисліть радіус кола, вписаного в переріз призми площиною АОС, якщо обсяг призми дорівнює (рис.14).



Розділ 2, §3, сторінка 66-67
Завдання 32.У правильній чотирьох вугільній призмі сума площ основ дорівнює площі бічної поверхні. Обчисліть об'єм призми, якщо діаметр кола, описаного біля перерізу призми площиною, що проходить через дві вершини нижньої основи та протилежну вершину верхньої основи, дорівнює 6 см (рис15).



У ході вирішення завдань учні зіставляють свої відповіді з тими, що показує вчитель. Це зразок вирішення задачі з докладними коментарями. Індивідуальна роботавчителі з "сильними" учнями (10хв.).

5. Самостійна роботаучнів над тестом за комп'ютером

1. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює , а висота-5. Знайдіть обсяг призми.

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

2. Виберіть правильне затвердження.

1) Обсяг прямої призми, основою якої є прямокутний трикутник, дорівнює добутку площі основи на висоту.

2) Об'єм правильної трикутної призми обчислюється за формулою V = 0,25а 2 h -де а - сторона основи, h-висота призми.

3) Обсяг прямої призми дорівнює половині добутку площі підстави на висоту.

4) Обсяг правильної чотирикутної призми обчислюється за формулою V=a 2 h-де а-сторона основи,h-висота призми.

5) Обсяг правильної шестикутної призми обчислюється за формулою V = 1.5а 2 h, де а - сторона основи, h - висота призми.

3.Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює. Через бік нижньої основи та протилежну вершину верхньої основи проведена площина, яка проходить під кутом 45° до основи. Знайдіть обсяг призми.

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

4. Підставою прямої призми є ромб, сторона якого дорівнює 13 а одна з діагоналей-24. Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14.

У фізиці трикутна призма, зроблена зі скла, часто використовується для вивчення спектру білого світлаоскільки вона здатна розкладати його на окремі складові. У цій статті розглянемо формулу обсягу

Що таке трикутна призма?

Перед тим, як наводити формулу об'єму, розглянемо властивості цієї фігури.

Щоб отримати цей, необхідно взяти трикутник довільної форми і паралельно самому собі перенести його на деяку відстань. Вершини трикутника у початковому та кінцевому положенні слід з'єднати прямими відрізками. Отримана об'ємна фігура називається трикутною призмою. Вона складається із п'яти сторін. Дві з них називаються основами: вони паралельні та рівні один одному. Підставами аналізованої призми є трикутники. Три сторони, що залишилися, - це паралелограми.

Крім сторін, призма, що розглядається, характеризується шістьма вершинами (по три для кожної основи) і дев'ятьма ребрами (6 ребер лежать у площинах основ і 3 ребра утворені перетином бічних сторін). Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, то така призма називається прямокутною.

Відмінність трикутної призми від решти фігур цього класу полягає в тому, що вона завжди є опуклою (чотирьох-, п'яти-, ..., n-вугільні призми можуть також бути увігнутими).

Це прямокутна фігура, в основі якої лежить рівносторонній трикутник.

Об'єм трикутної призми загального типу

Як знайти обсяг трикутної призми? Формула в загальному виглядіаналогічна такою для призми будь-якого виду. Вона має такий математичний запис:

Тут h – це висота фігури, тобто відстань між її основами, S o – площа трикутника.

Величину S o можна знайти, якщо відомі деякі параметри для трикутника, наприклад, одна його сторона і два кути або дві сторони і один кут. Площа трикутника дорівнює половині добутку його висоти на довжину сторони, яку опущена ця висота.

Що стосується висоти h фігури, то її найпростіше знайти для прямокутної призми. У разі h збігається з довжиною бічного ребра.

Об'єм правильної трикутної призми

Загальну формулуобсягу трикутної призми, яка наведена у попередньому розділі статті, можна використовувати для обчислення відповідної величини для правильної трикутної призми. Оскільки у її основі лежить рівносторонній трикутник, його площа дорівнює:

Цю формулу може отримати кожен, якщо згадає, що в рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють один одному і становлять 60 o . Тут символ a – це довжина сторони трикутника.

Висота h є довжиною ребра. Вона ніяк не пов'язана з основою правильної призмиі може набувати довільних значень. У результаті формула обсягу трикутної призми правильного виглядувиглядає так:

Обчисливши корінь, можна переписати цю формулу так:

Таким чином, щоб знайти об'єм правильної призми з трикутною основою, необхідно звести у квадрат бік основи, помножити цю величину на висоту та отримане значення помножити на 0,433.

Чому дорівнює обсяг призми та як його знайти

Обсяг призми - це твір площі її основи висоту.

Однак нам відомо, що у підстави призми може бути трикутник, квадрат або будь-який інший багатогранник.

Отже, для знаходження обсягу призми, необхідно просто обчислити площу підстави призми, а потім цю площу помножити на її висоту.

Тобто, якщо у підстави призми трикутник, то спочатку потрібно знайти площу трикутника. Якщо ж підставою призми є квадрат або інший багатокутник, то спочатку потрібно шукати площу квадрата або іншого багатокутника.

Слід пам'ятати, що висотою призми є перпендикуляр, проведений до підстав призми.

Що таке призма

А тепер давайте згадаємо визначення призми.

Призма - це багатокутник, дві грані (основи) якого знаходяться в паралельних площинах, а всі ребра, що знаходяться поза цими гранями, паралельні.

Якщо говорити простіше, то:

Призма – це будь-яка геометрична фігура, яка має дві підстави, рівних між собою та плоскі грані.

Назва призми залежить від форми її заснування. Коли основою призми є трикутник, то таку призму називають трикутною. Багатогранною призмою називають геометричну фігуру, основою якої є багатогранник. Також призма – це різновид циліндра.

Яких видів бувають призми

Якщо ми подивимося на малюнок угорі, то побачимо, що призми бувають прямими, правильними та похилими.

Завдання

1. Яку призму називають правильною?
2. Чому вона так називається?
3. Яка назва призма, основами якої є правильні багатокутники?
4. Що висотою цієї постаті?
5. Як називають призму, ребра якої не є перпендикулярними?
6. Дайте визначення трикутної призми.
7. Чи може призма бути паралелепіпедом?
8. Яка геометрична фігура називається напівправильним багатокутником?

З яких елементів складається призма

Призма складається з таких елементів, як нижня та верхня основа, бічні грані, ребра та вершини.

Обидві підстави призми лежать у площинах і паралельні одна одній.
Бічні грані піраміди – це паралелограми.
Бічна поверхня піраміди є сумою бічних граней.
Загальні сторони бічних граней, є нічим іншим, як бічні ребра даної постаті.
Висотою піраміди є відрізок, що з'єднує площини основ і перпендикулярний їм.

Властивості призми

Геометрична фігура, як призма, має низку властивостей. Давайте докладніше розглянемо ці характеристики:

По-перше, основами призми називаються рівні багатокутники;
По-друге, у призми бічні грані представлені у вигляді паралелограма;
По-третє, у цієї геометричної фігуриребра паралельні та рівні;
По-четверте, площею повної поверхні призми є:

А тепер розглянемо теорему, яка надає формулу, за допомогою якої обчислюють площу бічної поверхні та доказ.

Чи замислювалися ви над таким цікавим фактом, Що призмою може бути не тільки, геометричне тіло, але й інші навколишні предмети. Навіть звичайна сніжинка в залежності від температурного режимуможе перетворитися на крижану призму, набравши форми шестигранної фігури.

А ось кристали кальциту володіють таким унікальним явищем, як розпадатися на уламки і набувати форми паралелепіпеда. І що найдивовижніше, на які б дрібні частини не дробили кристали кальциту, результат завжди однаковий, вони перетворюються на малесенькі паралелепіпеди.

Виявляється, призма здобула популярність у математиці, демонструючи своє геометричне тіло, а й у галузі мистецтва, оскільки є основою картин, створених такими великими художниками, як П.Пикассо, Шлюб, Грисс та інших.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачіЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База для вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.