Все, що потрібно знати про призм (2019). Об'єм трикутної призми: формула загального типу та формула для правильної призми

Школярам, ​​які готуються до здачі ЄДІ з математики, обов'язково варто навчитися вирішувати завдання на знаходження площі прямої та правильної призми. Багаторічна практика підтверджує той факт, що подібні завдання з геометрії багато учнів вважають досить складними.

При цьому вміти знаходити площу та обсяг правильної та прямої призми мають старшокласники з будь-яким рівнем підготовки. Тільки в цьому випадку вони зможуть розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками здавання ЄДІ.

Основні моменти, які варто запам'ятати

• Якщо бічні ребра призми перпендикулярні до основи, вона називається прямою. Усі бічні грані цієї фігури прямокутники. Висота прямої призми збігається з її рубом.
• Правильною є призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основи, в якій знаходиться правильний багатокутник. Бічні грані цієї фігури – рівні прямокутники. Правильна призма завжди є прямою.

Підготовка до єдиного держекзамену разом зі «Школковим» - запорука вашого успіху!

Щоб заняття проходили легко та максимально ефективно, вибирайте наш математичний портал. Тут представлений весь необхідний матеріал, який допоможе підготуватись до проходження атестаційного випробування.

Фахівці освітнього проекту «Школкове» пропонують піти від простого до складного: спочатку ми даємо теорію, основні формули, теореми та елементарні завдання з вирішенням, а потім поступово переходимо до завдань експертного рівня.

Базова інформація систематизована та зрозуміло викладена у розділі «Теоретична довідка». Якщо ви вже встигли повторити необхідний матеріал, рекомендуємо попрактикуватися у вирішенні завдань на знаходження площі та обсягу прямої призми. У розділі «Каталог» представлено велика добіркавправ різного ступеня складності.

Спробуйте розрахувати площу прямої та правильної призми або прямо зараз. Розберіть будь-яке завдання. Якщо вона не викликала складнощів, можете сміливо переходити до вправ експертного рівня. А якщо певні труднощі все ж таки виникли, рекомендуємо вам регулярно готуватися до ЄДІ в онлайн-режимі разом з математичним порталом «Школкове», і завдання по темі «Пряма та правильна призма» будуть даватися вам легко.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Чому дорівнює обсяг призми та як його знайти

Обсяг призми - це твір площі її основи висоту.

Однак нам відомо, що у підстави призми може бути трикутник, квадрат або будь-який інший багатогранник.

Отже, для знаходження обсягу призми, необхідно просто обчислити площу підстави призми, а потім цю площу помножити на її висоту.

Тобто, якщо у підстави призми трикутник, то спочатку потрібно знайти площу трикутника. Якщо ж підставою призми є квадрат або інший багатокутник, то спочатку потрібно шукати площу квадрата або іншого багатокутника.

Слід пам'ятати, що висотою призми є перпендикуляр, проведений до підстав призми.

Що таке призма

А тепер давайте згадаємо визначення призми.

Призма - це багатокутник, дві грані (основи) якого знаходяться в паралельних площинах, а всі ребра, що знаходяться поза цими гранями, паралельні.

Якщо говорити простіше, то:

Призма – це будь-яка геометрична фігура, яка має дві підстави, рівних між собою та плоскі грані.

Назва призми залежить від форми її заснування. Коли основою призми є трикутник, то таку призму називають трикутною. Багатогранною призмою називають геометричну фігуру, основою якої є багатогранник. Також призма – це різновид циліндра.

Яких видів бувають призми

Якщо ми подивимося на малюнок угорі, то побачимо, що призми бувають прямими, правильними та похилими.

Завдання

1. Яку призму називають правильною?
2. Чому вона так називається?
3. Яка назва призма, основами якої є правильні багатокутники?
4. Що висотою цієї постаті?
5. Як називають призму, ребра якої не є перпендикулярними?
6. Дайте визначення трикутної призми.
7. Чи може призма бути паралелепіпедом?
8. Яка геометрична фігура називається напівправильним багатокутником?

З яких елементів складається призма

Призма складається з таких елементів, як нижня та верхня основа, бічні грані, ребра та вершини.

Обидві підстави призми лежать у площинах і паралельні одна одній.
Бічні грані піраміди – це паралелограми.
Бічна поверхняпіраміди є сумою бічних граней.
Загальні сторони бічних граней, є нічим іншим, як бічні ребра даної постаті.
Висотою піраміди є відрізок, що з'єднує площини основ і перпендикулярний їм.

Властивості призми

Геометрична фігура, як призма, має низку властивостей. Давайте докладніше розглянемо ці характеристики:

По-перше, основами призми називаються рівні багатокутники;
По-друге, у призми бічні грані представлені у вигляді паралелограма;
По-третє, у цієї геометричної фігуриребра паралельні та рівні;
По-четверте, площею повної поверхні призми є:

А тепер розглянемо теорему, яка надає формулу, за допомогою якої обчислюють площу бічної поверхні та доказ.

Чи замислювалися ви над таким цікавим фактом, Що призмою може бути не тільки, геометричне тіло, але й інші навколишні предмети. Навіть звичайна сніжинка в залежності від температурного режимуможе перетворитися на крижану призму, набравши форми шестигранної фігури.

А ось кристали кальциту володіють таким унікальним явищем, як розпадатися на уламки і набувати форми паралелепіпеда. І що найдивовижніше, на які б дрібні частини не дробили кристали кальциту, результат завжди однаковий, вони перетворюються на малесенькі паралелепіпеди.

Виявляється, призма здобула популярність у математиці, демонструючи своє геометричне тіло, а й у галузі мистецтва, оскільки є основою картин, створених такими великими художниками, як П.Пикассо, Шлюб, Грисс та інших.

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд вона має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнею вже буде поєднання всіх граней, які становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо вони однакові фігури у верхній і нижній гранях, їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи в загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли йдеться про чотирикутну призму, то площа основи правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони "в", а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та чотиристоронню бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площа поверхні призми виявляється 960 см2.

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Всі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Нехай потрібно знайти об'єм прямої трикутної призми, площа основи якої дорівнює S, а висота дорівнює h= AA' = BB' = CC' (рис. 306).

Накреслимо окремо підставу призми, тобто трикутник АВС (рис. 307 а), і добудуємо його до прямокутника, для чого через вершину В проведемо пряму КМ || АС та з точок A та С опустимо на цю пряму перпендикуляри АF та РЄ. Отримаємо прямокутник АСЕF. Провівши висоту ВD трикутника АВС, побачимо, що прямокутник АСЕF розбився на 4 прямокутний трикутник. Причому \(\Delta\)ВСЕ = \(\Delta\)BCD і \(\Delta\)BAF = \(\Delta\)BAD. Значить, площа прямокутника АСЕF вдвічі більше площітрикутника АВС, тобто дорівнює 2S.

До цієї призми з основою АВС прибудуємо призми з основами ВСЕ і ВАF і висотою h(Рис. 307, б). Отримаємо прямокутний паралелепіпед з основою АСЕF.

Якщо цей паралелепіпед розсічемо площиною, що проходить через прямі BD і BB', то побачимо, що прямокутний паралелепіпед складається з 4 призм з основами BCD, ВСІ, BAD і BAF.

Призми з основами BCD і ВСІ можуть бути поєднані, так як основи їх рівні (\(\Delta\)BCD = \(\Delta\)BСЕ) і також рівні їх бічні ребра, що є перпендикулярами до однієї площини. Отже, обсяги цих призм є рівними. Також рівні обсяги призм із підставами BAD і BAF.

Таким чином, виявляється, що обсяг даної трикутної призми з основою АВС вдвічі менше обсягу прямокутного паралелепіпеда з основою АСЕF.

Нам відомо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто в даному випадкудорівнює 2S h. Звідси обсяг цієї прямої трикутної призми дорівнює S h.

Обсяг прямої трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

2. Обсяг прямої багатокутної призми.

Щоб знайти об'єм прямий багатокутної призминаприклад п'ятикутною, з площею основи Sі висотою h, Розіб'ємо її на трикутні призми (рис. 308).

Позначивши площі основи трикутних призм через S 1 , S 2 і S 3 а обсяг даної багатокутної призми через V, отримаємо:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, або

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

І остаточно: V = S h.

Таким же шляхом виводиться формула обсягу прямої призми, що має в основі будь-який багатокутник.

Значить, обсяг будь-якої прямої призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

Обсяг призми

Теорема. Обсяг призми дорівнює добутку площі основи висоту.

Спочатку доведемо цю теорему для трикутної призми, та був і багатокутної.

1) Проведемо (чорт. 95) через ребро AA 1 трикутної призми АВСА 1 В 1 С 1 площину, паралельну грані ВР 1 С 1 С, а через ребро СС 1 - площину, паралельну грані AA 1 B 1 B; потім продовжимо площини обох підстав призми до перетину з проведеними площинами.

Тоді ми отримаємо паралелепіпед BD 1 , який діагональною площиною АА 1 С 1 С ділиться на дві трикутні призми (з них одна є дана). Доведемо, що ці призми є рівновеликими. Для цього проведемо перпендикулярний перетин abcd. У перетині вийде паралелограм, який діагоналлю асділиться на два рівні трикутники. Ця призма рівновелика такій прямій призмі, яка має основу \(\Delta\) аbcа висота - ребро АА 1 . Інша трикутна призма рівновелика такої прямої, у якої основа є (Delta) аdса висота - ребро АА 1 . Але дві прямі призми з рівними основами і рівними висотами рівні (оскільки при вкладенні вони поєднуються), отже, призми АВСА 1 В 1 С 1 і ADCA 1 D 1 C 1 рівновеликі. З цього випливає, що обсяг цієї призми становить половину обсягу паралелепіпеда BD 1 ; тому, позначивши висоту призми через H, отримаємо:

$$ V_(\Delta ін.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Проведемо через ребро АА 1 багатокутної призми (рис. 96) діагональні площини АА 1 З 1 З і AA 1 D 1 D.

Тоді ця призма розрахується на кілька трикутних призмів. Сума обсягів цих призм складає об'єм, що шукається. Якщо позначимо площі їх підстав через b 1 , b 2 , b 3 а загальну висоту через Н, то отримаємо:

обсяг багатокутної призми = b 1 H + b 2 H + b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (площі ABCDE) H.

Слідство.

Якщо V, В і Н будуть числа, що виражають у відповідних одиницях об'єм, площу основи та висоту призми, то, за доведеним, можна написати: