Площа бічної поверхні пі. Площа бічної та повної поверхні конуса

Визначення. Бічна грань- Це трикутник, у якого один кут лежить у вершині піраміди, а протилежна йому сторона збігається зі стороною основи (багатокутника).

Визначення. Бічні ребра- це спільні сторони бічних граней. У піраміди стільки ребер, скільки кутів у багатокутника.

Визначення. Висота піраміди- Це перпендикуляр, опущений з вершини на основу піраміди.

Визначення. Апофема- Це перпендикуляр бічної грані піраміди, опущений з вершини піраміди до сторони основи.

Визначення. Діагональний переріз- це переріз піраміди площиною, що проходить через вершину піраміди та діагональ основи.

Визначення. Правильна піраміда- це піраміда, в якій основою є правильний багатокутник, а висота опускається до центру основи.

Об'єм та площа поверхні піраміди

Формули. Об'єм пірамідичерез площу основи та висоту:

Властивості піраміди

Якщо всі бічні ребра рівні, навколо основи піраміди можна описати коло, а центр основи збігається з центром кола. Також перпендикуляр, опущений із вершини, проходить через центр основи (кола).

Якщо бічні ребра рівні, всі вони нахилені до площині підстави під однаковими кутами.

Бічні ребра рівні тоді, коли вони утворюють із площиною основи рівні кутиабо якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Якщо бічні грані нахилені до площини основи під одним кутом, то в основу піраміди можна вписати коло, а вершина піраміди проектується до її центру.

Якщо бічні грані нахилені до поверхні підстави під одним кутом, то апофеми бічних граней рівні.

Властивості правильної піраміди

1. Вершина піраміди рівновіддалена від усіх кутів основи.

2. Усі бічні ребра рівні.

3. Усі бічні ребра нахилені під однаковими кутами до основи.

4. Апофеми всіх бічних граней рівні.

5. Площі всіх бічних граней рівні.

6. Усі грані мають однакові двогранні (плоські) кути.

7. Навколо піраміди можна описати сферу. Центром описаної сфери буде точка перетину перпендикулярів, що проходять через середину ребер.

8. До піраміди можна вписати сферу. Центром вписаної сфери буде точка перетину бісектрис, що виходять із кута між ребром і основою.

9. Якщо центр вписаної сфери збігається із центром описаної сфери, то сума плоских кутівпри вершині дорівнює π або навпаки, один кут дорівнює π/n, де n - це кількість кутів на підставі піраміди.

Зв'язок піраміди зі сферою

Навколо піраміди можна описати сферу тоді, коли в основі піраміди лежить багатогранник навколо якого можна описати коло (необхідне і достатня умова). Центром сфери буде точка перетину площин, що проходять перпендикулярно через середини бічних ребер піраміди.

Навколо будь-якої трикутної або правильної пірамідиЗавжди можна описати сферу.

У піраміду можна вписати сферу, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в одній точці (необхідна та достатня умова). Ця точка буде осередком сфери.

Зв'язок піраміди з конусом

Конус називається вписаним у піраміду, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса вписана в основу піраміди.

Конус можна вписати до піраміди, якщо апофеми піраміди рівні між собою.

Конус називається описаним навколо піраміди, якщо їх вершини збігаються, а основа конуса описана навколо основи піраміди.

Конус можна описати навколо піраміди, якщо всі бічні ребра піраміди рівні між собою.

Зв'язок піраміди з циліндром

Піраміда називається вписаною в циліндр, якщо вершина піраміди лежить на одній основі циліндра, а основа піраміди вписана в іншу основу циліндра.

Циліндр можна описати навколо піраміди, якщо навколо основи піраміди можна описати коло.

Визначення. Усічена піраміда (пірамідальна призма)- це багатогранник, який знаходиться між основою піраміди та площиною перерізу, паралельною основі. Таким чином піраміда має більшу основу і меншу основу, яка подібна до більшої. Бічні грані є трапецією.

Визначення. Трикутна піраміда (чотирьохгранник)- це піраміда в якій три грані та основа є довільними трикутниками.

У чотиригранник чотири грані та чотири вершини та шість ребер, де будь-які два ребра не мають спільних вершин але не стикаються.

Кожна вершина складається з трьох граней та ребер, які утворюють тригранний кут.

Відрізок, що з'єднує вершину чотиригранника із центром протилежної грані називається медіаною чотиригранника(GM).

Бімедіаноюназивається відрізок, що з'єднує середини протилежних ребер, які не стикаються (KL).

Усі бімедіани та медіани чотиригранника перетинаються в одній точці (S). При цьому бімедіани діляться навпіл, а медіани щодо 3:1, починаючи з вершини.

Визначення. Похила піраміда- це піраміда в якій одне з ребер утворює тупий кут (β) з основою.

Визначення. Прямокутна піраміда- це піраміда в якій одна з бічних граней перпендикулярна до основи.

Визначення. Гострокутна піраміда- це піраміда в якій апофема більше половини довжини сторони основи.

Визначення. Тупокутна піраміда- це піраміда в якій апофема менше половини довжини сторони основи.

Визначення. Правильний тетраедр- чотиригранник, у якого всі чотири грані - рівносторонні трикутники. Він є одним із п'яти правильних багатокутників. У правильного тетраедра всі двогранні кути (між гранями) та тригранні кути (при вершині) рівні.

Визначення. Прямокутний тетраедрназивається чотиригранник у якого прямий кут між трьома ребрами при вершині (ребра перпендикулярні). Три грані утворюють прямокутний трикутний куті грані є прямокутними трикутникамиа основа довільним трикутником. Апофема будь-якої межі дорівнює половині боку основи, яку падає апофема.

Визначення. Рівногранний тетраедрназивається чотиригранник у якого бічні грані рівні між собою, а основа – правильний трикутник. У такого тетраедра грані це рівнобедрені трикутники.

Визначення. Ортоцентричний тетраедрназивається чотиригранник, у якого всі висоти (перпендикуляри), що опущені з вершини до протилежної грані, перетинаються в одній точці.

Визначення. Зіркова піраміданазивається багатогранник, у якого основою є зірка.

Визначення. Біпіраміда- багатогранник, що складається з двох різних пірамід (також можуть бути зрізані піраміди), що мають загальну основуа вершини лежать по різні боки від площини основи.

Яку постать ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, що сходяться в одній спільній вершині. Ось тепер, розібравшись із терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.

Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться із суми площ основи та всієї її бічної поверхні.

Обчислення площі основи піраміди

Вибір розрахункової формули залежить від форми багатокутника, що лежить в основі нашої піраміди. Він може бути правильним, тобто зі сторонами однакової довжини або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.

В основі – правильний багатокутник

Зі шкільного курсу відомо:

• площа квадрата дорівнюватиме довжині його сторони, зведеній у квадрат;
• площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеному на 4 і помноженому на квадратний корінь із трьох.

Але існує і загальна формуладля розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn=1/2P*r.

В основі – неправильний багатокутник

Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них за формулою: 1/2a * h (де а - основа трикутника, h - опущена на цю основу висота), скласти всі результати.

Площа бічної поверхні піраміди

Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто. суму площ усіх її бокових сторін. Тут також можливі 2 варіанти.

1. Нехай ми маємо довільну піраміду, тобто. така, на основі якої – неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площу кожної грані та скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1/2a * h.
2. Нехай наша піраміда – правильна, тобто. у її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється у його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) достатньо знайти половину добутку периметра багатокутника-основи (Р) на висоту (h) бічної сторони (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається додаванням довжин всіх його сторін.

Повна площа поверхні правильної піраміди знайдеться підсумовуванням площі її основи з площею всієї бічної поверхні.

Приклади

Для прикладу обчислимо алгебраїчну площу поверхні декількох пірамід.

Площа поверхні трикутної піраміди

В основі такої піраміди – трикутник. За формулою Sо=1/2a*h знаходимо площу основи. Цю ж формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, що також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 та S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і підстави, отримаємо повну площу поверхні піраміди, що шукається: Sп= Sо+ Sб.

Площа поверхні чотирикутної піраміди

Площа бічної поверхні - це сума 4-х доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площу основи доведеться шукати, залежно від форми чотирикутника – правильного чи неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі основи та повної площі поверхні заданої піраміди.

У цьому уроці:

• Завдання 1. Знайти площу повної поверхні піраміди
• Завдання 2. Знайти площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди

також матеріали на тему:
.

Примітка . Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. У задачах замість символу "квадратний корінь" застосовується функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а в дужках зазначено підкорене вираз. Для простих підкорених виразів можна використовувати знак "√".

Завдання 1. Знайти площу повної поверхні правильної піраміди

Висота основи правильної трикутної піраміди дорівнює 3 см. а кут між бічною гранню та основою піраміди дорівнює 45 градусів.
Знайти площу повної поверхні піраміди

Рішення.

В основі правильної трикутної піраміди лежить рівносторонній трикутник.
Тому для вирішення задачі скористаємось властивостями правильного трикутника:

Нам відома висота трикутника, звідки можна знайти його площу.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Звідки площа основи дорівнюватиме:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6/√3) 2
S = 3√3

Для того, щоб знайти площу бічної грані, обчислимо висоту KM. Кут OKM за умовою завдання дорівнює 45 градусам.
Таким чином:
OK / MK = cos 45
Скористаємося таблицею значень тригонометричних функцій та підставимо відомі значення.

OK / MK = √2/2

Врахуємо, що ОК дорівнює радіусу вписаного кола. Тоді
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тоді
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Площа бічної грані тоді дорівнює половині добутку висоти основу трикутника.
Sбок = 1/2 (6/√3) (2/√2) = 6/√6

Таким чином, площа повної поверхні піраміди дорівнюватиме
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Відповідь: 3√3 + 18/√6

Завдання 2. Знайти площу бічної поверхні правильної піраміди

У правильній трикутній піраміді висота дорівнює 10 см, а сторона основи 16 см . Знайти площу бічної поверхні .

Рішення.

Оскільки основою правильної трикутної піраміди є рівносторонній трикутник, AO є радіусом описаної навколо основи кола.
(Це випливає з )

Радіус кола, описаного навколо рівностороннього трикутника знайдемо з його властивостей

Звідки довжина ребер правильної трикутної піраміди дорівнюватиме:
AM 2 = MO 2 + AO 2
висота піраміди відома за умовою (10 см), AO = 16√3/3
AM2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Кожна зі сторін піраміди є рівнобедреним трикутником. Площа рівнобедреного трикутниказнайдемо з першої формули, поданої нижче

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Оскільки всі три грані у правильної піраміди рівні, то площа бічної поверхні дорівнюватиме
3S = 48 √(91/3)

Відповідь: 48 √(91/3)

Завдання 3. Знайти площу повної поверхні правильної піраміди

Сторона правильної трикутної піраміди дорівнює 3 см, а кут між бічною гранню і основою піраміди дорівнює 45 градусів. Знайдіть площу повної поверхні піраміди.

Рішення.
Оскільки піраміда правильна, у її основі лежить рівносторонній трикутник. Тому площа основи дорівнює


So = 9 * √3/4

Для того, щоб знайти площу бічної грані, обчислимо висоту KM. Кут OKM за умовою завдання дорівнює 45 градусам.
Таким чином:
OK / MK = cos 45
Скористаємося

– це постать, основу якої лежить довільний багатокутник, а бічні грані представлені трикутниками. Їхні вершини лежать в одній точці і відповідають вершині піраміди.

Піраміда може бути різноманітною – трикутною, чотирикутною, шестикутною тощо. Її назву можна визначити в залежності від кількості кутів, що прилягають до основи.
Правильною пірамідоюназивається піраміда, в якій рівні сторони основи, кути і ребра. Також у такій піраміді дорівнюватиме площа бічних граней.
Формула площі бічної поверхні піраміди є сумою площ усіх її граней:
Тобто, щоб розрахувати площу бічної поверхні довільної піраміди, необхідно знайти площу кожного окремого трикутника та скласти їх між собою. Якщо піраміда усічена, її межі представлені трапеціями. Для правильної піраміди є інша формула. У ній площа бічної поверхні розраховується через півпериметр основи та довжину апофеми:

Розглянемо приклад розрахунку площі бічної поверхні піраміди.
Нехай дана правильна чотирикутна піраміда. Сторона заснування b= 6 см, а апофема a= 8 см. Знайдіть площу бічної поверхні.

В основі правильної чотирикутної пірамідилежить квадрат. Для початку знайдемо його периметр:

Тепер можемо прорахувати площу бічної поверхні нашої піраміди:

Для того щоб знайти повну площу багатогранника, потрібно знайти площу його основи. Формула площі основи піраміди може відрізнятися, залежно від того, який багатокутник лежить в основі. Для цього використовуються формули площі трикутника, площі паралелограмаі т.д.

Розглянь приклад розрахунку площі основи піраміди, заданої нашими умовами. Оскільки піраміда правильна, у її основі лежить квадрат.
Площа квадратарозраховується за формулою: ,
де a - Сторона квадрата. У нас вона дорівнює 6 см. Значить площа основи піраміди:

Тепер залишається лише знайти повну площу багатогранника. Формула площі піраміди складається із суми площі її основи та бічної поверхні.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.