Об'єм правильної трикутної піраміди обчислюється за такою формулою. Об'єм правильної піраміди

Піраміда - це багатогранник, основу якого лежить багатокутник. Всі грані у свою чергу утворюють трикутники, які сходяться на одній вершині. Піраміди бувають трикутними, чотирикутними тощо. Щоб визначити, яка піраміда перед вами, досить порахувати кількість кутів у її основі. Визначення "висота піраміди" дуже часто зустрічається в задачах з геометрії шкільній програмі. У статті спробуємо розглянути різні способиїї знаходження.

Частини піраміди

Кожна піраміда складається з наступних елементів:

• бічні грані, які мають по три кути та сходяться у вершині;
• апофема є висотою, яка опускається з її вершини;
• вершина піраміди - це точка, яка з'єднує бічні ребра, але при цьому не лежить у площині основи;
• основа - це багатокутник, у якому лежить вершина;
• висота піраміди є відрізком, який перетинає вершину піраміди і утворює з її основою прямий кут.

Як знайти висоту піраміди, якщо відомий її об'єм

Через формулу V = (S * h) / 3 (у формулі V - об'єм, S - площа основи, h - висота піраміди) знаходимо, що h = (3 * V) / S. Для закріплення матеріалу давайте відразу вирішимо завдання. Трикутна основа дорівнює 50 см 2 , тоді як її обсяг становить 125 см 3 . Невідома висота трикутної піраміди, яку нам необхідно знайти. Тут все просто: вставляємо дані до нашої формули. Отримуємо h = (3 * 125) / 50 = 7,5 см.

Як знайти висоту піраміди, якщо відома довжина діагоналі та її ребра

Як ми пам'ятаємо, висота піраміди утворює з її основою прямий кут. А це означає, що висота, ребро і половина діагоналі разом утворюють Багато хто, звичайно ж, пам'ятають теорему Піфагора. Знаючи два виміри, третю величину знайти буде нескладно. Згадаймо відому теорему a² = b² + c², де а - гіпотенуза, а нашому випадку ребро піраміди; b - перший катет або половина діагоналі і - відповідно, другий катет, або висота піраміди. З цієї формули c? = a? - b?.

Тепер завдання: у правильній піраміді діагональ дорівнює 20 см, коли як довжина ребра - 30 см. Необхідно визначити висоту. Вирішуємо: c ² = 30 ² - 20 ² = 900-400 = 500. Звідси з = √ 500 = близько 22,4.

Як знайти висоту зрізаної піраміди

Вона являє собою багатокутник, який має перетин паралельно до її основи. Висота усіченої піраміди - це відрізок, який з'єднує дві її основи. Висоту можна знайти у правильної пірамідиякщо будуть відомі довжини діагоналей обох основ, а також ребро піраміди. Нехай діагональ більшої основи дорівнює d1, тоді як діагональ меншої основи – d2, а ребро має довжину – l. Щоб знайти висоту, можна із двох верхніх протилежних точок діаграми опустити висоти на її основу. Ми бачимо, що у нас вийшли два прямокутні трикутники, залишається знайти довжини їх катетів. Для цього з більшої діагоналі віднімаємо меншу та ділимо на 2. Так ми знайдемо один катет: а = (d1-d2)/2. Після чого за теоремою Піфагора нам залишається лише знайти другий катет, який є висотою піраміди.

Тепер розглянемо всю цю справу на практиці. Перед нами завдання. Усічена піраміда має в основі квадрат, довжина діагоналі більшої основи дорівнює 10 см, тоді як меншої - 6 см, а ребро дорівнює 4 см. Потрібно знайти висоту. Для початку знаходимо один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет дорівнює 2 см, а гіпотенуза - 4 см. Виходить, що другий катет або висота дорівнюватиме 16-4 = 12, тобто h = √12 = близько 3,5 см.

Слово «піраміда» мимоволі асоціюється з величними велетнями в Єгипті, що вірно зберігають спокій фараонів. Можливо тому піраміду як безпомилково дізнаються всі, навіть діти.

Проте спробуємо дати їй геометричне визначення. Представимо на площині кілька точок (А1, А2, ..., Ап) і ще одну (Е), що не належала їй. Так от, якщо точку Е (вершину) з'єднати з вершинами багатокутника, утвореного точками А1, А2,..., Ап (основа), вийде багатогранник, який і називають пірамідою. Очевидно, що вершин у багатокутника в основі піраміди може бути скільки завгодно, і в залежності від їх кількості піраміду можна назвати трикутною та чотирикутною, п'ятикутною тощо.

Якщо уважно придивитися до піраміди, то стане зрозуміло, чому її визначають ще й по-іншому – як геометричну фігуру, що має в основі багатокутник, а як бічні грані - трикутники, об'єднані загальною вершиною.

Оскільки піраміда – просторова постать, то й у неї є така кількісна характеристика, як обчислюють за добре відомою рівною третиною твору підстави піраміди на її висоту:

Об'єм піраміди при виведенні формули спочатку розраховується для трикутної, взявши за основу постійне співвідношення, що зв'язує цю величину з об'ємом трикутної призми, Що має ту ж основу і висоту, яка, як виявляється, втричі перевищує цей обсяг.

А оскільки будь-яка піраміда розбивається на трикутні, і її обсяг не залежить від побудов, що виконуються при доказі, правомірність наведеної формули обсягу - очевидна.

Особняком серед усіх пірамід стоять правильні, у яких в основі лежить Що ж до , то вона повинна «закінчуватися» в центрі основи.

У разі неправильного багатокутника у підставі для обчислення площі основи потрібно:

• розбити його на трикутники та квадрати;

• підрахувати площу кожного з них;

• скласти отримані дані.

У разі правильного багатокутника на основі піраміди, його площу розраховують за готовими формулами, тому обсяг правильної піраміди обчислюється дуже просто.

Наприклад, щоб обчислити об'єм чотирикутної піраміди, якщо вона правильна, зводять довжину сторони правильного чотирикутника (квадрату) в основі квадрат і, помноживши на висоту піраміди, ділять отриманий добуток на три.

Обсяг піраміди можна обчислити, використовуючи інші параметри:

• як третина добутку радіусу кулі, вписаної в піраміду, на площу її повної поверхні;

• як дві третини твору відстані між двома довільно взятими ребрами, що схрещуються, і площі паралелограма, який утворюють середини решти чотирьох ребер.

Об'єм піраміди обчислюється просто і у разі, коли його висота збігається з одним з бічних ребер, тобто у разі прямокутної піраміди.

Говорячи про піраміди, не можна залишити без уваги також усічені піраміди, отримані перетином піраміди паралельної основи площиною. Їх обсяг практично дорівнює різниці обсягів цілої піраміди та відсіченої вершини.

Першим обсяг піраміди, правда не зовсім у його сучасному виглядіПроте рівним 1/3 обсягу відомої нам призми знайшов Демокріт. Його метод підрахунку Архімед назвав «без доказу», оскільки Демокріт підходив до піраміди, як до фігури, складеної з нескінченно тонких, подібних до пластинок.

До питання знаходження обсягу піраміди «звернулась» і векторна алгебра, використовуючи при цьому координати її вершин. Піраміда, збудована на трійці векторів a, b, c, дорівнює одній шостій від модуля змішаного творузаданих векторів.

Тут розберемо приклади, пов'язані з поняттям обсягу. Для вирішення подібних завдань обов'язково потрібно знати формулу обсягу піраміди:

S

h – висота піраміди

Підставою може бути будь-який багатокутник. Але в більшості завдань на ЄДІ мова в умові, як правило, йде про правильні піраміди. Нагадаю одну з її властивостей:

Вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування

Подивіться на проекцію правильної трикутної, чотирикутної та шестикутної пірамід (ВИД Зверху):

Можете на блозі, де розбиралися завдання, пов'язані зі знаходженням обсягу піраміди.Розглянемо завдання:

27087. Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 1, а висота дорівнює кореню з трьох.

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Знайдемо площу основи піраміди, це правильний трикутник. Скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:

Відповідь: 0,25

27088. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 2, а об'єм дорівнює кореню з трьох.

Такі поняття як висота піраміди та характеристики її основи пов'язані формулою об'єму:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Сам обсяг нам відомий, площу основи можемо знайти, оскільки відомі сторони трикутника, який є основою. Знаючи зазначені величини легко знайдемо висоту.

Для знаходження площі основи скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:

Таким чином, підставивши дані значення формулу обсягу можемо обчислити висоту піраміди:

Висота дорівнює трьом.

Відповідь: 3

27109. У правильній чотирикутної пірамідивисота дорівнює 6, бічне ребро дорівнює 10. Знайдіть її об'єм.

Обсяг піраміди обчислюється за такою формулою:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Висота нам відома. Необхідно знайти площу основи. Нагадаю, що вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування. Підставою правильної чотирикутної піраміди є квадрат. Ми можемо знайти його діагональ. Розглянемо прямокутний трикутник (виділений синім):

Відрізок з'єднує центр квадрата з точкою Це катет, який дорівнює половині діагоналі квадрата. Цей катет можемо вирахувати за теоремою Піфагора:

Значить BD = 16. Обчислимо площу квадрата, скориставшись формулою площі чотирикутника:

Отже:

Таким чином, обсяг піраміди дорівнює:

Відповідь: 256

27178. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 12, об'єм дорівнює 200. Знайдіть бічне ребро цієї піраміди.

Висота піраміди та її та обсяг відомі, значить можемо знайти площу квадрата, який є основою. Знаючи площу квадрата, ми зможемо знайти його діагональ. Далі розглянувши прямокутний трикутник по теоремі Піфагора обчислимо бічне ребро:

Знайдемо площу квадрата (підстави піраміди):

Обчислимо діагональ квадрата. Так як його площа дорівнює 50, то сторона дорівнюватиме кореню з п'ятдесяти і за теоремою Піфагора:

Крапка Про поділяє діагональ BD навпіл, значить катет прямокутного трикутникаВВ = 5.

Таким чином, можемо обчислити чому одно бічне ребро піраміди:

Відповідь: 13

245353. Знайдіть об'єм піраміди, зображеної на малюнку. Її основою є багатокутник, сусідні сторони якого перпендикулярні, а одне з бічних ребер перпендикулярно площині основи і 3.

Як неодноразово було сказано – обсяг піраміди обчислюється по формуле:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Бокове ребро перпендикулярне до основи дорівнює трьом, це означає, що висота піраміди дорівнює трьом. Основи піраміди – це багатокутник, площа якого дорівнює:

Таким чином:

Відповідь: 27

27086. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 3 та 4. Її об'єм дорівнює 16. Знайдіть висоту цієї піраміди.

Щоб знайти обсяг піраміди, потрібно знати кілька формул. Розглянемо їх.

Як визначити обсяг піраміди - перший метод

Об'єм піраміди можна дізнатися за допомогою висоти та площі її основи. V = 1/3 * S * h. Так, наприклад, якщо висота піраміди 10 см, а площа її основи 25 см 2 то обсяг буде дорівнює V = 1/3*25*10 = 1/3*250 = 83.3 см 3

Як визначити обсяг піраміди - другий метод

Якщо в основі піраміди лежить правильний багатокутник, то знайти її об'єм можна за такою формулою: V = na 2 h/12*tg(180/n), де а – сторона, що лежить в основі багатокутника, а n – кількість його сторін. Наприклад: В основі лежить правильний шестикутник, тобто n = 6. Так як він правильний, всі його сторони однакові, тобто всі рівні. Скажімо a = 10, а h – 15. Вставляємо числа у формулу та отримуємо приблизну відповідь – 1299 см 3

Як визначити обсяг піраміди - третій метод

Якщо у підставі піраміди лежить рівносторонній трикутник, її об'єм можна знайти за такою формулою: V = ha 2 /4√3, де а – сторона рівностороннього трикутника. Наприклад: висота піраміди – 10 см, сторона основи – 5 см. Об'єм дорівнюватиме V = 10*25/4√3 = 250/4√3. Зазвичай те, що вийшло у знаменнику не обчислюють і залишають у такому ж вигляді. Можна також помножити і чисельник, і знаменник на 4 3. Отримаємо 1000 3/48. Скоротивши отримаємо 125√3/6 см 3 .

Як визначити обсяг піраміди - 4-ий спосіб

Якщо підставі піраміди лежить квадрат, її об'єм можна знайти за такою формулою: V = 1/3*h*a 2 , де a – сторін квадрата. Наприклад: висота – 5 см, сторона квадрата – 3 см. V = 1/3*5*9 = 15 см 3

Як знайти об'єм піраміди – п'ятий спосіб

Якщо піраміда є тетраедром, тобто у неї всі грані – рівносторонні трикутники, знайти об'єм піраміди можна за такою формулою: V = a 3 √2/12, де a – ребро тетраедра. Наприклад: ребро тетраедра = 7. V = 7*7*7√2/12 = 343 см 3

Однією з найпростіших об'ємних фігур є трикутна піраміда, оскільки вона складається з найменшого числаграней, з якого можна утворити фігуру у просторі. У статті розглянемо формули, з допомогою яких можна знайти обсяг трикутної правильної піраміди.

Трикутна піраміда

Згідно загальному визначеннюпіраміда є багатокутником, всі вершини якого з'єднані з однією точкою, не розташованою в площині цього багатокутника. Якщо останній є трикутником, то вся фігура називається трикутною пірамідою.

Розглянута піраміда складається з основи (трикутника) та трьох бічних граней (трикутників). Крапка, в якій з'єднані три бічні грані, називається вершиною фігури. Опущений основу перпендикуляр з цієї вершини є висотою піраміди. Якщо точка перетину перпендикуляра з основою збігається з точкою перетину медіан трикутника в основі, тоді говорять про правильну піраміду. В іншому випадку вона буде похилою.

Як було сказано, основа трикутної піраміди може являти собою трикутник загального типу. Однак якщо він є рівностороннім, а сама піраміда пряма, тоді говорять про правильну об'ємну фігуру.

Будь-яка має 4 грані, 6 ребер та 4 вершини. Якщо довжини всіх ребер дорівнюють між собою, тоді така фігура називається тетраедром.

загального типу

Перш ніж записати правильну трикутну піраміду, наведемо вираз цієї фізичної величини для піраміди загального типу. Цей вираз має вигляд:

Тут S o – площа основи, h – висота фігури. Ця рівність буде справедливою для будь-якого типу основи багатокутника піраміди, а також для конуса. Якщо ж у підставі знаходиться трикутник, що має довжину сторони a і висоту h o опущену на неї, тоді формула для об'єму запишеться так:

Формули об'єму правильної трикутної піраміди

Трикутна має рівносторонній трикутник у підставі. Відомо, що висота цього трикутника пов'язана з довжиною його боку рівністю:

Підставляючи цей вираз у формулу для обсягу трикутної піраміди, записану в попередньому пункті, отримуємо:

V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.

Об'єм правильної піраміди з трикутною основою є функцією довжини сторони основи та висоти фігури.

Оскільки будь-який правильний багатокутник можна вписати в коло, радіус якого однозначно визначить довжину сторони багатокутника, тоді цю формулу можна записати через відповідний радіус r:

Цю формулу легко отримати з попередньої, якщо врахувати, що радіус r описаного кола через довжину сторони трикутника визначається виразом:

Завдання визначення обсягу тетраедра

Покажемо, як використовувати наведені вище формули під час вирішення конкретних задач геометрії.

Відомо, що тетраедр має довжину ребра 7 см. Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди-тетраедра.

Нагадаємо, що тетраедр є правильною трикутною пірамідою, в якій всі основи рівні між собою. Щоб скористатися формулою об'єму правильної трикутної піраміди, необхідно обчислити дві величини:

• довжину сторони трикутника;
• висоту фігури.

Перша величина відома з умови завдання:

Щоб визначити висоту, розглянемо фігуру, зображену малюнку.

Зазначений трикутник ABC є прямокутним, де кут ABC дорівнює 90 o . Сторона AC – це гіпотенуза, довжина якої дорівнює a. Шляхом нескладних геометричних міркувань можна показати, що сторона BC має довжину:

Зауважимо, що довжина BC є радіусом описаного навколо трикутника кола.

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).

Тепер можна h і a підставити у відповідну формулу для обсягу:

V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .

Таким чином, ми одержали формулу обсягу тетраедра. Видно, що обсяг залежить лише від довжини ребра. Якщо вираз підставити значення з умови завдання, тоді отримуємо відповідь:

V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 см 3 .

Якщо порівняти цю величину з об'ємом куба, що має таке ж ребро, то отримаємо, що об'єм тетраедра в 8,5 разів менше. Це свідчить про те, що тетраедр є компактною фігурою, що реалізується у деяких природних речовинах. Наприклад, молекула метану має тетраедричну форму, а кожен атом вуглецю в алмазі з'єднаний з чотирма іншими атомами, що утворюють тетраедр.

Завдання з гомотетичними пірамідами

Розв'яжемо одну цікаву геометричну задачу. Припустимо, що є правильна трикутна піраміда з деяким об'ємом V 1 . У скільки разів слід зменшити розміри цієї фігури, щоб отримати гомотетичну їй піраміду з об'ємом, втричі меншим за вихідний?

Завдання почнемо вирішувати із запису формули для вихідної правильної піраміди:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

Нехай необхідний за умовою завдання обсяг фігури вийде, якщо помножити параметри на коефіцієнт k. Маємо:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .

Оскільки з умови відоме відношення обсягів фігур, то отримуємо значення коефіцієнта k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.

Зазначимо, що аналогічне значення коефіцієнта k ми отримали б для піраміди довільного типу, а не тільки для правильної трикутної.