Усі двогранні кути. Двогранні кути та формула для їх обчислення. Двогранний кут на основі чотирикутної правильної піраміди

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

ДВОГРАНИЙ КУТ Вчитель математики ГОУ ЗОШ №10 Єрьоменко М.А.

Основні завдання уроку: Ввести поняття двогранного кута та його лінійного кута Розглянути завдання застосування цих понять

Визначення: Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами із загальною граничною прямою.

Завбільшки двогранного кута називається величина його лінійного кута. AF ⊥ CD BF ⊥ CD AFB -лінійний кут двогранного кута ACD В

Доведемо, що всі лінійні кути двогранного кута дорівнюють один одному. Розглянемо два лінійні кути АОВ та А 1 ОВ 1 . Промені ОА та ОА 1 лежать в одній грані та перпендикулярні ОО 1 тому вони сонаправлены. Промені ВВ та ВВ 1 також співспрямовані. Отже, ∠ АОВ = ∠ А 1 ОВ 1 (як кути із співспрямованими сторонами).

Приклади двогранних кутів:

Визначення: Кутом між двома площинами, що перетинаються, називається найменший з двогранних кутів, утворених цими площинами.

Завдання 1: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDD 1 . Відповідь: 90 o .

Завдання 2: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та CDA 1 . Відповідь: 45 o .

Завдання 3: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ABC та BDD 1 . Відповідь: 90 o .

Завдання 4: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами ACC 1 та BDD 1 . Відповідь: 90 o .

Завдання 5: У кубі A … D 1 знайдіть кут між площинами BC 1 D та BA 1 D . Рішення: Нехай О – середина D. A 1 OC 1 – лінійний кут двогранного кута А 1 В D С 1 .

Завдання 6: У тетраедрі DABC усі ребра рівні, точка М – середина ребра АС. Доведіть, що ∠ DMB – лінійний кут двогранного кута BACD.

Рішення: Трикутники ABC і ADC правильні, тому BM ⊥ AC і DM ⊥ AC і, отже, ∠ DMB є лінійним кутом двогранного кута DACB .

Завдання 7: З вершини В трикутника АВС, сторона АС якого лежить у площині α проведений до цієї площини перпендикуляр ВР 1 . Знайдіть відстань від точки В до прямої АС і до площини α якщо АВ=2, ∠ВАС=150 0 і двогранний кут ВАСВ 1 дорівнює 45 0 .

Рішення: АВС – тупокутний трикутник з тупим кутом А, тому основа висоти ВК лежить продовженні боку АС. ВК – відстань від точки до АС. ВВ 1 – відстань від точки до площині α

2) Оскільки АС ⊥ВК, то АС⊥КВ 1 (по теоремі, зворотній теоремі про три перпендикуляри). Отже, ∠ВКВ 1 – лінійний кут двогранного кута ВАСВ 1 та ∠ВКВ 1 =45 0 . 3) ∆ВАК: ∠А=30 0 , ВК=ВА· sin 30 0 , ВК =1. ∆ВКВ 1: ВВ 1 =ВК· sin 45 0 , ВВ 1 =

Двогранний кут. Лінійний кут двогранного кута. Двогранним кутом називається фігура, утворена двома напівплощинами, що не належать одній площині, що мають загальний кордон – пряму а. Напівплощини, що утворюють двогранний кут, називаються його гранями, а загальна межа цих напівплощин – рубом двогранного кута. Лінійним кутом двогранного кута називається кут, сторонами якого є промені, якими грані двогранного кута, перетинаються площиною, перпендикулярною ребру двогранного кута. У кожного двогранного кута скільки завгодно лінійних кутів: через кожну точку ребра можна провести площину, перпендикулярну до цього ребра; промені, якими ця площина перетинає грані двогранного кута, і утворюють лінійні кути.

Усі лінійні кути двогранного кута рівні між собою. Доведемо, що якщо рівні двогранні кути, утворені площиною основи піраміди КАВС і площин її бічних граней, то основа перпендикуляра, проведеного з вершини К, є центром вписаної в трикутник АВС кола.

Доведення. Насамперед, побудуємо лінійні кути рівніх двогранних кутів. За визначенням, площина лінійного кута має бути перпендикулярна ребру двогранного кута. Отже, ребро двогранного кута має бути перпендикулярне сторонам лінійного кута. Якщо КО перпендикуляр до площини основи, то можна провести ОР перпендикуляр АС, OR перпендикуляр СВ, OQ перпендикулярAB, а потім з'єднати точки P, Q, R З точкою К. Тим самим ми побудуємо проекцію похилих РК, QK, RK так, що ребра АС, СВ, АВ перпендикулярні до цих проекцій. Отже, ці ребра перпендикулярні і самим похилим. І тому площини трикутників РОК, QOK, ROK перпендикулярні відповідним ребрам двогранного кута і утворюють рівні лінійні кути, про які сказано в умові. Прямокутні трикутники РОК, QOK, ROK рівні (оскільки вони мають загальний катет ОК і рівні протилежні цьому катету кути). Отже, ОР = OR = OQ. Якщо провести коло з центром О і радіусом ОР, то сторони трикутника АВС перпендикулярні радіусам ОР, OR і OQ тому є дотичні до цього кола.

Перпендикулярність площин. Площина альфа і бета називаються перпендикулярними, якщо лінійний кут одного з двогранних кутів, що утворилися при їх перетині дорівнює 90". Ознаки перпендикулярності двох площин Якщо одна з двох площин проходить через пряму, перпендикулярну до іншої площини, то ці площини перпендикулярні.

На малюнку зображено прямокутний паралелепіпед. Його основами є прямокутники ABCD і A1B1C1D1. А бічні ребра АА1 ВВ1, СС1, DD1 перпендикулярні до основ. Звідси випливає, що АА1 перпендикуляр АВ, тобто бічна грань - прямокутник. Таким чином, можна обґрунтувати властивості прямокутного паралелепіпеда: У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней – прямокутники. У прямокутному паралелепіпеді всі шість граней – прямокутники. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда – прямі. Усі двогранні кути прямокутного паралелепіпеда – прямі.

Теорема Квадрат діагоналі прямокутного паралелепіпеда дорівнює суміквадратів трьох його вимірів. Звернемося знову до малюнка, І доведемо, що АС12 =АВ2+AD2+АА12 Так як ребро СС1 перпендикулярне до основи АВСD то кут АСС1 прямий. З прямокутного трикутникаАСС1 за теоремою Піфагора отримуємо АС12 = АС2 + СС12. Але АС – діагональ прямокутника АВСD, тому АС2 = АВ2+АD2. Крім того, СС1 = АА1. Отже, АС12= АВ2+АD2+AA12 Теорема доведена.

"Двогранний кут" - Знайдіть відстань від точки В до площини. Кут С гострий. Трикутник АВС – тупокутний. Кут З тупою. Відстань від точки до прямої. У тетраедрі DАВС усі ребра рівні. Кут між похилими. Відстань між основами похилих. Лінійні кути двогранного кута рівні. Алгоритм побудови лінійного кута.

«Двогранний кут геометрія» – кут РСВ – лінійний для двогранного кута з ребром АС. Знайти (побачити) ребро та грані двогранного кута. Модель може бути як об'ємною, так і складною. Перетин двогранного кута площиною, перпендикулярною до ребра. Грані. пряма СР перпендикулярна ребру СА (за теоремою про три перпендикуляри). кут РКВ – лінійний для двогранного кута з РСАВ.

«Тригранний кут» - ознаки рівності тригранних кутів. Дано: Оabc – тригранний кут; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Урок 6. Наслідки. 1) Для обчислення кута між прямою та площиною застосовна формула: Формула трьох косінусів. . Дано тригранний кут Оabc. Трикутний кут. Теорема. У правильній трикутної пірамідиплоский кут при вершині менше 120?

«Тригранні та багатогранні кути» - Тригранні кути додекаедру. Тригранні та чотиригранні кути ромбододекаедра. Чотиригранні кути октаедра. Тригранні кути тетраедра. Вимірювання багатогранних кутів. Завдання. Багатогранні кути. П'ятигранні кути ікосаедра. Вертикальні багатогранні кути. Трикутний кут піраміди. Нехай SA1 ... An - опуклий n-гранний кут.

«Кут між прямою та площиною» - У правильній 6-й призмі A…F1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямою AC1 і площиною ADE1. У правильній 6 призмі A…F1, ребра якої рівні 1, знайдіть кут між прямою AA1 і площиною ACE1. Кут між прямою та площиною. У правильній 6-й призмі A…F1, ребра якої дорівнюють 1, знайдіть кут між прямою AB1 та площиною ADE1.

Багатогранний кут - Випуклі багатогранні кути. Багатогранні кути. Залежно від числа граней багатогранні кути бувають тригранними, чотиригранними, п'ятигранними і т. д. В) ікосаедр. Два плоскі кути тригранного кута дорівнюють 70° і 80°. Отже, ? ASB +? BSC +? ASC< 360° . Сумма плоских кутівтригранного кута менше 360 °.

Всього у темі 9 презентацій

РОЗДІЛ ПЕРШИЙ ПРЯМІ І ПЛОЩИНИ

V. ДВОГРАНІ КУТИ, КУТ ПРЯМИЙ З ПЛОЩИНОЮ,
КУТ ДВОХ ПРЯМИХ, ЩО ПЕРЕХРЕДЖУЮТЬСЯ, БАГАТОГРАНІ КУТИ

Двогранні кути

38. Визначення.Частина площини, що лежить по одну сторону від будь-якої прямої, що лежить у цій площині, називається напівплощиною. Фігура, утворена двома напівплощинами (Р і Q, рис. 26), що виходять з однієї прямої (АВ), називається двогранним кутом. Пряма АВ називається рубом, а напівплощини Р і Q - сторонамиабо гранямидвогранного кута.

Такий кут позначається зазвичай двома літерами, поставленими біля його ребра (двогранний кут АВ). Але якщо при одному ребрі лежать ніскільки двогранних кутів, то кожен з них позначають чотирма літерами, з яких дві середні стоять при ребрі, а два крайні - у граней (наприклад, двогранний кут SCDR) (чорт. 27).

Якщо з довільної точки D ребра АВ (чорт. 28) проведемо на кожній грані перпендикуляром до ребра, то утворений ними кут CDE називається лінійним кутомдвогранного кута.

Величина лінійного кута залежить від становища його вершини на ребре. Так, лінійні кути CDE і C 1 D 1 E 1 рівні, тому що їхні сторони відповідно паралельні та однаково спрямовані.

Площина лінійного кута перпендикулярна до ребра, оскільки містить дві прямі, перпендикулярні до нього. Тому для отримання лінійного кута достатньо грані даного двогранного кута перетнути площиною, перпендикулярною до ребра, і розглянути кут, що вийшов у цій площині.

39. Рівність та нерівність двогранних кутів.Два двогранних кута вважаються рівними, якщо вони при вкладенні можуть поєднатися; в іншому випадку той із двогранних кутів вважається меншим, який складе частину іншого кута.

Подібно до кутів у планіметрії, двогранні кути можуть бути суміжні, вертикальніта ін.

Якщо два суміжні двогранні кути рівні між собою, то кожен з них називається прямим двогранним кутом.

Теореми. 1) Рівним двогранним кутам відповідають рівні лінійні кути.

2) Більшому двогранному куту відповідає більший лінійний кут.

Нехай РАВQ, і Р 1 А 1 В 1 Q 1 (чорт. 29)-два двогранні кути. Вкладемо кут А 1 В 1 у кут АВ так, щоб ребро А 1 В 1 збіглося з ребром АВ та грань Р 1 з гранню Р.

Тоді, якщо ці двогранні кути рівні, то грань Q 1 збігається з гранню Q; якщо ж кут А 1 В 1 менший за кут АВ, то грань Q 1 займе деяке положення всередині двогранного кута, наприклад Q 2 .

Помітивши це, візьмемо на загальному ребрі якусь точку і проведемо через неї площину R, перпендикулярну до ребра. Від перетину цієї площини із гранями двогранних кутів вийдуть лінійні кути. Зрозуміло, що якщо двогранні кути збігатимуться, то у них виявиться один і той же лінійний кут CBD; якщо ж двогранні кути не збігатимуться, якщо, наприклад, грань Q 1 займе положення Q 2 , то у більшого двогранного кута виявиться більший лінійний кут (саме: / CBD > / C2BD).

40. Зворотні теореми. 1) Рівним лінійним кутам відповідають рівні двогранні кути.

2) Більшому лінійному куту відповідає більший двогранний кут .

Ці теореми легко доводяться протилежного.

41. Наслідки. 1) Прямого двогранного кута відповідає прямий лінійний кут, і назад.

Нехай (чорт. 30) двогранний кут PABQ прямий. Це означає, що він дорівнює суміжному куту QABP 1 . Але в такому випадку лінійні кути CDE та CDE 1 також рівні; а оскільки вони суміжні, то кожен із них має бути прямий. Назад, якщо рівні суміжні лінійні кути CDE і CDE 1 то рівні і суміжні двогранні кути, тобто кожен з них повинен бути прямий.

2) Всі прямі двогранні кути рівні,лотому, що у них рівні лінійні кути .

Подібним чином легко довести, що:

3) Вертикальні двогранні кути рівні.

4) Двогранні кути з відповідно паралельними та однаково (або протилежно) спрямованими гранями рівні.

5) Якщо за одиницю двогранних кутів візьмемо такий двогранний кут, який відповідає одиниці лінійних кутів, то можна сказати, що двогранний кут вимірюється його лінійним кутом.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.