Відрізок, що з'єднує центр кола та точки його кола називають радіусом. При цьому у кожному колі всі радіуси між собою рівні. Діаметром кола називається пряма, яка з'єднує дві точки на колі і проходить крізь її центр. Все це нам знадобиться для правильного розрахункуплощі кола. Крім того, дана величинарозраховується з допомогою числа Пі.

Як розрахувати площу кола

Наприклад, у нас є коло з радіусом чотири сантиметри. Давайте розрахуємо його площу: S=(3,14)*4^2=(3,14)*16=50,24. Таким чином, площа кола становить 50,24 квадратних сантиметрів.

Також існує спеціальна формула для розрахунку площі кола через діаметр: S=(pi/4) d^2.

Розгляньмо приклад такого розрахунку кола через його діаметр, знаючи радіус фігури. Наприклад, ми маємо коло з радіусом, що дорівнює чотирьом сантиметрам. Спочатку необхідно знайти діаметр, який у два рази більший за сам радіус: d=2R, d=2*4=8.

Тепер слід використовувати отримані дані для розрахунку площі кола за формулою: S=((3,14)/4 )*8^2=0,785*64=50,24.

Як бачите, в результаті ми отримуємо ту саму відповідь, що і в першому випадку.

Знання описаних вище стандартних формул для правильного розрахунку площі кола допоможуть Вам з легкістю знаходити недостатні величини та визначати площу секторів.

Отже, нам відомо, що формула для розрахунку площі кола розраховується за допомогою множення постійної величини Пі на квадрат радіусу самого кола. Сам же радіус можна виразити через фактичну довжину кола, підставивши формулу вираз через довжину кола. Тобто: R=l/2pi.

Тепер необхідно підставити у формулу розрахунку площі кола дану рівність й у результаті отримуємо формулу знаходження площі цієї геометричної фігури через довжину кола: S=pi((l/2pi))^2=l^2/(4pi).

Наприклад, нам дано коло, довжина кола якого становить вісім сантиметрів. Підставляємо значення розглянуту формулу: S=(8^2)/(4*3,14)=64/(12,56)=5. І отримуємо площу кола рівну п'яти квадратним сантиметрам.

Кола вимагають більш акуратного підходу і зустрічаються в завданнях B5 набагато рідше. Разом з тим, загальна схемарішення навіть простіше, ніж у випадку із багатокутниками (див. урок «Площі багатокутників на координатній сітці»).

Все, що потрібно в таких завданнях - знайти радіус кола R . Потім можна обчислити площу кола за формулою S = πR 2 . З цієї формули також випливає, що для вирішення достатньо знайти R2.

Щоб знайти зазначені величини, достатньо вказати на коло точку, що лежить на перетині ліній сітки. А потім скористатися теоремою Піфагора. Розглянемо конкретні прикладиобчислення радіусу:

Завдання. Знайти радіуси трьох кіл, зображених на малюнку:

Виконаємо додаткові побудови у кожному колі:

У кожному випадку точка B вибрана на колі таким чином, щоб лежати на перетині ліній сітки. Крапка C в кіл 1 і 3 доповнюють фігуру до прямокутного трикутника. Залишилось знайти радіуси:

Розглянемо трикутник ABC у першому колі. За теоремою Піфагора: R2 = AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 22 = 8.

Для другого кола все очевидно: R = AB = 2.

Третій випадок аналогічний першому. З трикутника ABC з теореми Піфагора: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Тепер ми знаємо, як шукати радіус кола (або хоча б його квадрат). Отже, можемо знайти площу. Зустрічаються завдання, де потрібно знайти площу сектора, а чи не всього кола. У таких випадках легко з'ясувати, яку частину кола становить цей сектор, і таким чином знайти площу.

Завдання. Знайти площу S зафарбованого сектора. У відповіді вкажіть S/π.

Очевидно, що сектор становить одну чверть кола. Отже, S = 0,25 · S кола.

Залишається знайти S кола – площа кола. Для цього виконаємо додаткову побудову:

Трикутник ABC – прямокутний. За теоремою Піфагора маємо: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Тепер знаходимо площі кола та сектора: S кола = πR 2 = 8π; S = 0,25 · S кола = 2π.

Нарешті, потрібна величина дорівнює S /π = 2.

Площа сектора при невідомому радіусі

Це абсолютно новий типзавдань, нічого подібного у 2010-2011 роках не було. За умовою, нам дано коло певної площі (саме площі, а не радіусу!). Потім усередині цього кола виділяється сектор, площу якого потрібно знайти.

Хороша новина полягає в тому, що подібні завдання – найлегші з усіх завдань на площі, які бувають у ЄДІ з математики. До того ж, коло та сектор завжди поміщається на координатну сітку. Тому, щоб навчитися вирішувати такі завдання, просто погляньте на картинку:

Нехай вихідне коло має площу S кола = 80. Тоді його можна розділити на два сектори площею S = 40 кожен (див. 2 ​​крок). Аналогічно, кожен із цих секторів-«половинок» можна знову розділити навпіл - отримаємо чотири сектори площею S = 20 кожен (див. 3 крок). Нарешті, можна розділити кожен із цих секторів ще на два – отримаємо 8 секторів-«ошметків». Площа кожного з цих "ошметків" складе S = 10.

Зверніть увагу: дрібнішого розбиття в жодному завданні ЄДІ з математики немає! Таким чином, алгоритм розв'язання задачі B-3 наступний:

1. Розрізати вихідне коло на 8 секторів-«ошметків». Площа кожного з них становить рівно 1/8 частину площі всього кола. Наприклад, якщо за умовою коло має площу S кола = 240, то «ошметки» мають площу S = 240: 8 = 30;
2. З'ясувати, скільки «ошметків» міститься у вихідному секторі, площу якого потрібно знайти. Наприклад, якщо в нашому секторі міститься 3 «ошметки» площею 30, то площа сектора, що шукається, дорівнює S = 3 · 30 = 90. Це і буде відповідь.

От і все! Завдання вирішується практично усно. Якщо все одно щось незрозуміло, купіть піцу і наріжте її на 8 шматків. Кожен такий шматок буде тим самим сектором-«ошметком», які можна об'єднати у більші шматки.

А тепер розберемо приклади із пробного ЄДІ:

Завдання. На картатому папері намальовано коло, площа якого дорівнює 40. Знайдіть площу заштрихованої фігури.

Отже, площа кола дорівнює 40. Розділимо його на 8 секторів – кожен площею S = 40: 5 = 8. Отримаємо:

Очевидно, зафарбований сектор складається з двох секторів-«ошметків». Отже, його площа дорівнює 2 · 5 = 10. Ось і все рішення!

Завдання. На картатому папері намальовано коло, площа якого дорівнює 64. Знайдіть площу заштрихованої фігури.

Знову розділимо все коло на 8 рівних секторів. Очевидно, що площу одного з них якраз і потрібно знайти. Отже, площа дорівнює S = 64: 8 = 8.

Завдання. На папері на карті намальовано коло, площа якого дорівнює 48. Знайдіть площу заштрихованої фігури.

Знову розділимо коло на 8 рівних секторів. Площа кожного з них дорівнює S = 48: 8 = 6. У секторі, що шукається, міститься рівно три сектори-«ошметка» (див. малюнок). Отже, площа сектора, що шукається, дорівнює 3 · 6 = 18.

Коло - це видима сукупність безлічі точок, що знаходяться на однаковій відстані від центру. Щоб знайти його площу, необхідно знати, що таке радіус, діаметр, число π і коло.

Величини, що у розрахунку площі кола

Відстань, обмежена центральною точкою кола та будь-якою з точок кола, називається радіусом цієї геометричної фігури. Довжини всіх радіусів одного кола однакові. Відрізок між 2 будь-якими точками кола, що проходить через центральну точку, називається діаметром. Довжина діаметра дорівнює довжині радіусу, помноженої на 2.

Для підрахунку площі кола застосовується значення числа π. Ця величина дорівнює відношенню довжини кола до довжини діаметра кола і має постійне значення. Π = 3,1415926. Довжина кола вираховується за формулою L=2πR.

Знайти площу кола через радіус

Отже, площа кола дорівнює добутку числа π на радіус кола, зведений у 2 ступінь. Як приклад приймемо довжину радіуса кола рівною 5 см. Тоді площа кола S дорівнюватиме 3,14*5^2=78,5 кв. див.

Площа кола через діаметр

Площу кола можна також підрахувати, знаючи величину діаметра кола. У разі S = (π/4)*d^2, де d – діаметр кола. Візьмемо той самий приклад, де радіус дорівнює 5 см. Тоді його діаметр дорівнюватиме 5*2=10 см. Площа кола S = 3,14/4*10^2=78,5 кв.см. Результат, що дорівнює підсумку обчислень у першому прикладі, підтверджує правильність розрахунків в обох випадках.

Площа кола через довжину кола

Якщо радіус кола уявити через довжину кола, то формула матиме наступний вигляд: R=(L/2)π. Підставимо цей вираз у формулу площі кола і в результаті отримаємо S=(L^2)/4π. Розглянемо приклад, у якому довжина кола дорівнює 10 див. Тоді площа кола S = (10^2)/4*3,14=7,96 кв. див.

Площа кола через довжину сторони вписаного квадрата

Якщо коло вписаний квадрат, то довжина діаметра кола дорівнює довжині діагоналі квадрата. Знаючи величину сторони квадрата, можна легко дізнатись діаметр кола за формулою: d^2=2a^2. Тобто діаметр у 2 ступеня дорівнює стороніквадрата у 2 ступені, помноженої на 2.

Обчисливши значення довжини діаметра кола, можна дізнатися і його радіус, після чого скористатися однією з формул визначення площі кола.

Площа сектора кола

Сектор – це частина кола, обмежена двома радіусами та дугою між ними. Щоб дізнатися про його площу, потрібно виміряти кут сектора. Після цього необхідно скласти дріб, у чисельнику якого буде значення кута сектора, а в знаменнику – 360. Щоб вирахувати площу сектора, значення, отримане в результаті розподілу дробу, потрібно помножити на площу кола, обчислену за однією з перерахованих вище формул.

– це плоска фігура, Яка є безліч точок рівновіддалених від центру. Всі вони знаходяться на однаковій відстані та утворюють собою коло.

Відрізок, який з'єднує центр кола з точками його кола, називається радіусом. У кожному колі всі радіуси рівні між собою. Пряма, що з'єднує дві точки на колі і проходить через центр діаметром. Формула площі кола розраховується за допомогою математичної константи – числа π.

Це цікаво : Число π. є співвідношення довжини кола до довжини її діаметра і є постійною величиною. Значення π = 3,1415926 набуло застосування після робіт Л. Ейлера в 1737 р.

Площу кола можна обчислити через константу π. та радіус кола. Формула площі кола через радіус виглядає так:

Розглянемо приклад розрахунку площі кола через радіус. Нехай дане коло з радіусом R = 4 см. Знайдемо площу фігури.

Площа нашого кола дорівнюватиме 50,24 кв. див.

Існує формула площі кола через діаметр. Вона також широко застосовується для обчислення потрібних параметрів. Дані формули можна використовуватиме знаходження .

Розглянемо приклад розрахунку площі кола через діаметр, знаючи його радіус. Нехай дане коло з радіусом R = 4 см. Для початку знайдемо діаметр, який, як відомо, вдвічі більший за радіус.


Тепер використовуємо дані для прикладу розрахунку площі кола за наведеною вище формулою:

Як бачимо, в результаті отримуємо ту саму відповідь, що і при перших розрахунках.

Знання стандартних формул розрахунку площі кола допоможуть надалі легко визначати площа секторіві легко знаходити відсутні величини.

Ми вже знаємо, що формула площі кола розраховується через добуток постійної величини π на квадрат радіуса кола. Радіус можна виразити через довжину кола і підставити вираз у формулу площі кола через довжину кола:
Тепер підставимо цю рівність у формулу розрахунку площі кола і отримаємо формулу знаходження площі кола через довжину кола

Розглянемо приклад розрахунку площі кола через довжину кола. Нехай дане коло з довжиною l = 8 см. Підставимо значення у виведену формулу:

Разом площа кола дорівнюватиме 5 кв. див.

Площа кола описаного навколо квадрата

Дуже легко можна знайти площу кола, описаного навколо квадрата.

Для цього знадобиться лише сторона квадрата та знання простих формул. Діагональ квадрата дорівнюватиме діагоналі описаного кола. Знаючи бік a її можна знайти за теоремою Піфагора: звідси.
Коли знайдемо діагональ – ми зможемо розрахувати радіус: .
І потім підставимо все в основну формулу площі кола описаного навколо квадрата:

У геометрії кругомназивається деяка безліч усіх точок на площині, які віддалені від однієї точки, званої його центром, на відстань, не більше заданого, званого його радіусом. При цьому зовнішнім кордоном кола є коло, а в тому випадку, якщо довжина радіуса дорівнює нулю, коловироджується у крапку.

Визначення площі кола

За потреби площа коламожна обчислити за такою формулою:

r- радіус кола

D- Діаметр кола

S- площа кола

π - 3.14

Ця геометрична фігурадуже часто зустрічається як у техніці, так і в архітектурі. Конструктори машин і механізмів розробляють різні деталі, перерізи багатьох з яких є саме коло. Наприклад, такими є вали, штоки, тяги, циліндри, осі, поршні і таке інше. При виготовленні цих деталей використовуються заготівлі з різних матеріалів(металів, деревини, пластичних мас), їх перерізи також є саме коло. Зрозуміло, що розробникам нерідко доводиться обчислювати площа колачерез діаметр або радіус, використовуючи для цієї мети нескладні математичні формуливідкриті ще в давнину.

Саме тоді круглі елементистали активно та широко використовуватися в архітектурі. Один з найяскравіших прикладів – цирк, що є різновидом будівель, призначених для проведення в них різних видовищних заходів. Їхні арени мають форму кола, а вперше вони почали будуватися ще за часів античності. Саме слово « circus» у перекладі з латинської мовиозначає « коло». Якщо в давнину в цирках йшли театральні постановкиі проводилися бої гладіаторів, то зараз вони є місцем, де практично виключно проводяться циркові вистави за участю дресирувальників, акробатів, фокусників, клоунів і т.д. Стандартний діаметрциркової арени становить 13 метрів, причому це зовсім не випадково: річ у тому, що саме він забезпечує мінімально необхідні геометричні параметриманежу, яким циркові коні можуть бігати по колу галопом. Якщо вирахувати площа колачерез діаметр, то вийде, що з циркової арени ця величина становить 113,04 квадратних метра.

Архітектурними елементами, які можуть набувати форми кола, є вікна. Звичайно, у більшості випадків вони прямокутні або квадратні (причому багато в чому завдяки тому, що це простіше як для зодчих, так і для будівельників), але в деяких будинках можна зустріти і круглі вікна. Більше того, у таких транспортних засобах, як повітряні, морські та річкові суднавони найчастіше саме такі.

Не є рідкістю використання круглих елементів для виробництва меблів, наприклад столів і стільців. Існує навіть поняття « круглий стіл », що має на увазі конструктивну дискусію, в ході якої відбувається всебічне обговорення різних важливих проблемта виробляється шляхи їх вирішення. Що стосується виготовлення самих стільниць, що мають круглу форму, то їх виробництва застосовуються спеціалізовані інструменти та устаткування, за умови участі робітників з досить високою кваліфікацією.