Перетин багатогранників. Презентація на тему "побудова перерізів багатогранників" Одна точка перетину

Чудаєва Олена Володимирівна, вчитель математики,

МОУ «Інсарська середня загальноосвітня школа №1»,

м. Інсар, Республіка Мордовія

Побудова перерізів багатогранників

Навчально-методичне забезпечення:Атанасян Л.С. та ін. Геометрія 10-11 клас.

Обладнання та матеріали для уроку: комп'ютер, проектор, екран, презентація для супроводу уроку, матеріал учнів.

Мета уроку:поглиблення, узагальнення, систематизація, закріплення отриманих знань та розвиток їх у перспективі (вивчити метод слідів)

Завдання уроку:

1. Сформувати в школярів мотивацію до вивчення цієї теми.

2. Розвивати в учнів уміння користуватися опорними знаннями, щоб одержати нових знань.

3. Розвивати в учнів мислення (уміння виділяти суттєві ознаки та робити узагальнення).

4. Розвивати в учнів навички творчого підходу до вирішення завдань та навички дослідницької роботи над завданням.

Знання, вміння, навички та якості, які закріплять учні під час уроку:

вміння користуватися опорними знаннями для отримання нових знань;

вміння виділяти суттєві ознаки та робити узагальнення;

навички творчого підходу до вирішення завдань на побудову перерізів

План уроку:

1. Сформування в школярів мотивації до вивчення цієї теми.

2. Перевірка домашнього завдання. Історичні відомості.

3. Повторення опорних знань (аксіоматика, способи завдання площини).

4. Застосування знань у стандартній ситуації.

5. Вивчення та закріплення нового матеріалу: метод слідів.

6. Самостійна робота.

7. Підбиття підсумку уроку.

8. Домашнє завдання.

Хід уроку: I етап - вступна бесіда.

Перевірка домашнього завдання. (6-7 хв)

Форми та методи роботи

Види діяльності

учнів

1.Мотивація

Вступна розмова (1 хв)

Слухають вчителі

2. Перевірка домашнього завдання

Коментує міні-виступи учнів

Слухають виступи товаришів, запитують

II етап– Актуалізація знань (10 хв)

(Повторення теоретичного матеріалу)

Форми та методи роботи

Види діяльності

учнів

1. Повторення аксіом стереометрії

2. Повторення: взаємне розташування у просторі прямих та площин

3. Узагальнення теорії

Висновок про способи завдання площини

Запис виведення у зошит

4. Повторення поняття багатогранника та перерізу багатогранника площиною

Опитування учнів

Усні відповіді на запитання вчителя

III етап– Застосування знань у стандартній ситуації (6-7 хв)

(Робота по готовим кресленням)

Форми та методи роботи

Види діяльності

учнів

Рішення типових завдань за готовими кресленнями (кожному учневі видається робочий листок з умовою задачі та кресленням для побудови перерізу).

Спільне рішення першого завдання (докладне коментування кроків рішення та запису оформлення в робочий лист).

Вивчення умови завдання, робота з готовим кресленням, з наступним розбором рішення щодо слайдів.

IV етап–Звластивості паралельних площин (6 хв)

Форми та методи роботи вчителя

Види діяльності учнів

1. Повторення теми «Паралельність площин».

2. Розв'язання задач

Робота з готовими слайдами (фронтальне опитування учнів)

Перевірка правильності виконання завдання

Усні відповіді на запитання вчителя

Побудова перерізів у робочому листі.

Відповіді на дошці.

V етап - Вихід отримання нових знань: «Метод слідів»(6 хв)

Форми та методи роботи

Види діяльності

учнів

1. Вивчення нового матеріалу

2. Закріплення нового матеріалу

Пояснення нового матеріалу. Показ учбового фрагмента учбового фільму «Як побудувати перетин куба?»

Робота з готовим кресленням біля дошки (з наступним коментуванням етапів побудови перерізу по слайду)

Слухають пояснення вчителя. Перегляд навчального фільму. Аналіз відеофрагм., запис зразка рішення.

Двоє учнів вирішують біля дошки, решта в робочому листі

VIетап - Самостійна робота (4-5 хв)

Форми та методи роботи

Види діяльності

учнів

Самостійна робота навчального характеру

Пояснення майбутньої роботи.

Перевірка виконання завдання.

Виконання самостійної роботи (за готовими кресленнями).

Самоперевірка за готовими слайдами.

VII етап– підбиття підсумків уроку (4 хв)

Форми та методи роботи

Види діяльності

учнів

1. Підбиття підсумків

2. Творче домашнє завдання

Розмова за підсумками уроку з використанням слайдів

Проектується на екран

Усні відповіді на запитання вчителя

Запис у щоденники

ХІД УРОКУ

Вступна розмова. Історичні відомості.

Вчитель: Привіт, хлопці! Тема нашого уроку "Побудова перерізів багатогранників на основі аксіоматики". На уроці ми узагальним і систематизуємо пройдений теоретичний матеріал, і застосуємо його до практичним завданням на побудову перерізів, з виходом новий більш складний рівень проблеми.

Головна метанашого уроку у поглибленні, систематизації, закріпленні отриманих знань та розвитку їх у перспективі.

В якості домашнього завдання вам було запропоновано написання рефератів або невеликих виступів про історію розвитку геометрії, про життя великих математиків, про їх відомі відкриття та теореми. Доповіді та реферати вийшли дуже цікаві, але на уроці ми заслухаємо лише три міні-виступи, які відповідають на питання, що вивчає стереометрія, як виникла та розвивалася і де знаходить своє застосування?

1 учень. Концепція стереометрії, що вивчає. (2 хв)

2 учень. Евклід – основоположник геометрії, грецька архітектура. (2 хв)

3 учень. Математична теорія живопису. «Золотий перетин» - формула досконалого людського тіла за Леонардо да Вінчі. (2 – 3 хв)

У стереометрії вивчаються чудові математичні об'єкти. Їхні форми знаходять своє застосування в мистецтві, архітектурі, будівництві. "Не випадково кажуть, що піраміда Хеопса - німий трактат з геометрії, а грецька архітектура - зовнішній вираз геометрії Евкліда", - писав архітектор Корбюзьє.

Минуло століття, але роль геометрії не змінилася. Вона, як і раніше, залишається «граматикою архітектора». Геометричні форми знаходять своє застосування мистецтво, архітектурі, будівництві.

Математична теорія живопису – це теорія перспективи, що представляє, за словами Леонардо да Вінчі, «найтонше дослідження та винахід, заснований на вивченні математики, яке силою ліній змушувало здаватися віддаленим те, що близько, і великим те, що невелике». Будівництво інженерних споруд, що розгорнулося в епоху Відродження, відродило і розширило прийоми проекційних зображень, що застосовувалися в античному світі. Архітектори та скульптори постали перед необхідністю створення вчення про мальовничу перспективу на геометричній основі. Численні приклади побудови перспективних зображень є у роботах геніального італійського художника та видатного вченого Леонардо Да Вінчі. Він уперше говорить про скорочення масштабу різних відрізків віддалених у глиб картини, кладе початок панорамній перспективі, вказує правила розподілу тіней, висловлює впевненість у існуванні певної математичної формули краси відношення розмірів людського тіла – формули «золотого перетину».

Таким чином ми плавно підійшли до теми нашого уроку, і містком на його наступний етап будуть слова Леонардо да Вінчі:

"Ті, хто закохуються в практику без теорії, уподібнюються мореплавцю, що сідає на корабель без керма і компаса і тому ніколи не знає, куди він пливе".

Цей вислів визначає наступний етап нашого уроку: повторення теоретичного матеріалу.

II. Актуалізація знань (повторення теоретичного матеріалу)

2.1. Аксіоми стереометрії (таблиці залишаються учням до роботи).

а) роз'яснити зміст аксіом та ілюструвати на моделі;

б) читання учнями тексту аксіом;

в) виконання креслення;

2.2. Наслідки із аксіом стереометрії.

2.3. Взаємне розташування у просторі прямих та площин.

а) двох прямих (прямі паралельні, перетинаються, схрещуються)

б) прямий та площині (пряма лежить у площині, перетинає площину, паралельна площині)

в) двох площин (площини перетинаються чи паралельні).

У ході бесіди виділяються суттєві моменти теорії:

а) Ознака паралельності прямої та площини:Якщо пряма, що не лежить у даній площині, паралельна до якої-небудь прямої, що лежить у цій площині, то вона паралельна даній площині.

б) Ознака паралельності площин:Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом перетинаються прямим інший площині, то ці площини паралельні.

Вчитель: Узагальнюючи все сказане, приходимо висновку про способи завдання площині.

2.5. Концепція багатогранників. Переріз.

Багатогранником називається тіло, обмежене кінцевим числом площин. Поверхня багатогранника складається з кінцевого числа багатокутників.

М
ногокутник, отриманий при перетині багатогранника та площини, називається перетином багатогранника зазначеною площиною .

III. Застосування знань у стандартній ситуації.

Використовуючи отримані знання, застосуємо їх для побудови перерізів багатогранників на основі аксіоматики.

Приклади та його рішення наводять учні (під керівництвом вчителя).

IV. Побудова перерізів із застосуванням властивостей паралельних площин.

Вчитель:Для вирішення наступної групи завдань нам необхідно повторити властивості паралельних площин.

V. Вихід отримання нових знань: «Метод слідів».

Перегляд фільму.

Електронне видання

Застосування отриманих знань (вирішення учнями двох завдань біля дошки з наступним переглядом правильного рішення та запису оформлення).

VI- Самостійна робота

з наступною взаємоперевіркою (за слайдом з готовим рішенням).

VII. Підбиття підсумків уроку

1. Що нового ви дізналися на уроці?

2. Як будується перетин тетраедра?

3. Які багатокутники можуть бути перетином тетраедра?

4. Які багатокутники можуть вийти у перерізі паралелепіпеда?

5. Що ви можете сказати про метод слідів?

Творче домашнє завдання. Скласти дві задачі на побудову перерізів багатогранників із використанням отриманих знань.

Використані джерела

Прототипом даного уроку став авторський урок Легкошур Ірини Михайлівни , зміни доповнення та презентація до уроку виконані з її дозволу у 2008 р. Посилання:

Атанасян Л.С. та ін. Геометрія 10-11 клас. Навчальний посібник.

Електронне видання «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

Електронне видання « Решник з геометрії. Посібник для абітурієнтів. Повний курс за 7-11 класи»

Завдання на побудову перерізів

Визначення. 1.Секуща площина тетраедра (паралепіпеда)-це будь-яка площина, по обидва боки від якої є точки даного тетраедра (паралепіпеда). 2. Багатокутник, сторонами якого є відрізки, що перетинають грані тетраедра (паралепіпеда) називається перетином тетраедра (паралепіпеда).

Перерізи тетраедра та паралелепіпеда

А ВС Завдання 1. Побудувати переріз площиною, що проходить через дані точки D, Е, K . D E K M F Побудова: 2. ЕК 3. ЕК ∩ АС = F 4 . FD 5. FD ∩ B С = M 6 . KM 1 . DE D Е K М – шуканий переріз

Пояснення до побудови: 1. З'єднуємо точки K і F, що належать до однієї площини А 1 В 1 С 1 D 1 . А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 2 . Побудувати переріз площиною, яка проходить через дані точки Е, F, K. К L М Побудова: 1. KF 2. FE 3. FE ∩ А B = L EFKNM – перетин F E N 4 . LN ║ FK 6 . EM 5 . LN ∩ AD = M 7 . KN Пояснення до побудови: 2. З'єднуємо точки F і E, що належать до однієї площини АА 1 В 1 В. Пояснення до побудови: 3. Прямі FE і АВ, що лежать в одній площині АА 1 В 1 В, перетинаються в точці L . Пояснення до побудови: 4 . Проводимо пряму LN паралельно FK (якщо січна площина перетинає протилежні грані, вона перетинає їх по паралельним відрізкам). Пояснення до побудови: 5 . Пряма LN перетинає ребро AD у точці M . Пояснення до побудови: 6 . З'єднуємо точки Е і М, що належать до однієї площини АА 1 D 1 D . Пояснення до побудови: 7 . З'єднуємо точки К і N , що належать до однієї площини ВСС 1 В 1 .

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 3. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки К, L, М. К L М Побудова: 1. ML 2. ML ∩ D 1 А 1 = E 3. EK М LFKPG – шуканий переріз F E N P G T 4 . EK ∩ А 1 B 1 = F 6 . LM ∩ D 1 D = N 5 . LF 7 . Е K ∩ D 1 C 1 = T 8 . NT 9 . NT ∩ DC = G NT ∩ CC 1 = P 10 . MG 11 . PK

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати перетин площиною, яка проходить через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Побудова: 1. НМ 1. МТ 1. Н T Виберіть правильний варіант:

А D 1 В СА 1 C 1 D 1 Завдання 4 . Побудувати переріз площиною, яка проходить через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Побудова: 1. НМ Коментарі: Дані точки належать різним граням! назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати перетин площиною, яка проходить через точки Т, Н, М, М∈АВ. Н Т М Побудова: 1. М T Коментарі: Дані точки належать різним граням! назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е 2. НТ ∩ B С = Е Виберіть правильний варіант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ ВС = Е Назад Коментарі: Дані прямі - схрещуються ! Перетинатися не можуть!

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = Е Е 3 . ME ∩ AA 1 = F 3 . ME ∩ B С = F 3 . ME ∩ CC 1 = F Виберіть правильний варіант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 3 . ME ∩ AA 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Коментарі: Дані прямі - схрещуються! Перетинатися не можуть!

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 3 . ME ∩ CC 1 = F 2. НТ ∩ D С = E E Назад Коментарі: Дані прямі - схрещуються! Перетинатися не можуть!

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F 4. Т F 4. МТ Виберіть правильний варіант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Н F Коментарі: Дані точки належать різним граням! назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. MT Коментарі: Дані точки належать різним граням! назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ВС = ​​F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 А = K 5. Т F ∩ В 1 В = K Виберіть правильний варіант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ВС = ​​F F 4. Т F 5. Т F ∩ А 1 А = K Коментарі: Дані прямі - схрещуються! Перетинатися не можуть! назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ВС = ​​F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L 6 . Н K ∩ А D = L 6. Т K ∩ А D = L Виберіть правильний варіант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ВС = ​​F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. Н K ∩ А D = L Коментарі: Дані прямі - схрещуються! Перетинатися не можуть! назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ВС = ​​F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. T K ∩ А D = L Коментарі: Дані прямі - схрещуються! Перетинатися не можуть! назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ ВС = F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LT 7. LF 7. LH Виберіть правильний варіант:

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ВС = ​​F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Т Коментарі: Дані точки належать різним граням! назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ВС = ​​F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. LF Коментарі: Дані точки належать різним граням! назад

А D В 1 В С А 1 C 1 D 1 Завдання 4. Побудувати переріз площиною, що проходить через точки Н, М, Т. Н Т М Побудова: 1. НТ 2. НТ ∩ D С = E E 3 . ME ∩ВС = ​​F F 4. Т F 5. Т F ∩ В 1 В = K K 6. М K ∩ АА 1 = L L 7. L Н НТ F М L – шуканий переріз

А В С S Завдання 5 . Побудувати переріз площиною, яка проходить через дані точки К, М, Р, Р∈АВС К М Р ​​Побудова:

А В С S Завдання 5 . Побудувати переріз площиною, що проходить через дані точки К, М, Р, Р∈АВС К М Р ​​Е N F Побудова: 1. КМ 2. КМ ∩ СА = Е 3. E Р 4 . ЕР ∩ АВ = F ЕР ∩ В C = N 5 . М F 6 . N До КМ FN – шуканий переріз

Дякую за увагу!

"П'ять платонових тіл" - Тетраедр. Куб. А сфера – порожнеча. Октаедр. Багато багатогранників мають «двійників». Куб, будучи повністю закритою фігурою, символізує обмеження. По-перше, усі грані такого тіла рівні за розмірами. Тому породжений розгорткою куба хрест також означає обмеження, страждання. Додекаедр та ікосаедр.

"Завдання по багатогранникам" - Прямокутний трикутник. Трикутник. Багатогранник. Октаедр. Заснування прямої призми. Неопуклий багатогранник. Рівнобедрений трикутник. Сума площ усіх граней. Діагональ прямокутного паралелепіпеда. Сторони заснування прямого паралелепіпеда. Призма. Сторони підстави. Бокове ребро. Переріз.

«Многогранники стереометрія» - Епіграф уроку. Велика піраміда у Гізі. Перетин багатогранників. Зоряна година багатогранників. Виправити логічний ланцюжок. Історична довідка. "Гра з глядачами". Багатогранник. Чи відповідають геометричні фігури та їх назви. Цілі уроку. Архімедові тіла. Платонові тіла. Вкажіть правильний переріз.

«Геометричне тіло багатогранник» - Землетрус зруйнував Мавзолей. Відстань між площинами. Елементи піраміди. Призми. Велика піраміда. Слово. Вчені та філософи Стародавньої Греції. Тілесна фігура. Застосування. Бічні грані. Попіл царственого подружжя. Властивості призми. Заснування піраміди Хеопса. Восьмигранник. Квадрат будь-якої діагоналі.

«Поняття багатогранника» – чотирикутна призма. Визначення. Пряма призма називається правильною. Ребра – сторони граней. Що таке прямокутний паралелепіпед. Призма. Теорема. Сума площ усіх її граней. Концепція багатогранника. Що таке паралелепіпед. Багатогранники. Грані. Висота призми – це перпендикуляр. Що таке тетраедр.

«Зоряні форми багатогранників» - Зірчасті кубооктаедри. Великий зірчастий додекаедр. Зірчастий усічений ікосаедр. Відповідь. Багатогранник, зображений малюнку. Зірчасті ікосаедри. Вершини великого зірчастого додекаедру. Зірчастий додекаедр. Багатогранник. Багатогранник, отриманий усіченням зірчастого усіченого ікосаедра. Великий ікосаедр.

Всього у темі 29 презентацій

Побудова перерізів багатогранників

Слайд 2

Визначення перерізу.

Сікучою площиною багатогранника назвемо будь-яку площину, по обидва боки якої є точки даного багатогранника. Січна площина перетинає грані багатогранника по відрізках. Багатокутник, сторонами якого є ці відрізки, називається перетином багатогранника.

Слайд 3

Сікуча площина А В D M N K α

Слайд 4

Секальна площина перетин A B C D M N K α

Слайд 5

На яких малюнках перетин побудовано не так?

B А А А А А D D D D B B B B B C C C C C N M M M M M M N Q P P Q S

Слайд 6

Побудувати перетин тетраедра площиною, заданою трьома крапками.

P N Побудова: А В D P M N 2. Відрізок PN А В D M L 1. Відрізок MP Побудова: 3. Відрізок MN MPN – шуканий переріз 1. Відрізок MN 2. Промінь NP; промінь NP перетинає АС у точці L 3. Відрізок ML MNL – шуканий переріз

Слайд 7

Побудова: АС D N P Q R E 1. Відрізок NQ 2. Відрізок NP Пряма NP перетинає АС у точці Е 3. Пряма EQ EQ перетинає BC у точці R NQRP – шуканий переріз

Слайд 8

Побудова: А B C D M N P X K S L 1. MN; відрізок МК 2. MN перетинає АВ у точці Х 3. ХР; відрізок SL MKLS – шуканий переріз

Слайд 9

Аксіоматичний метод Метод слідів Суть методу полягає в побудові допоміжної прямої, що є зображенням лінії перетину площини, що січе, з площиною будь-якої грані фігури. Найзручніше будувати зображення лінії перетину січної площини з площиною нижньої основи. Цю лінію називають слідом січної площини. Використовуючи слід, легко побудувати зображення точок січної площини, що знаходяться на бічних ребрах або гранях фігури.

Слайд 10

Побудуйте перетин піраміди площиною через три точки M,N,P.

XY – слід січної площини на площині основи

Слайд 11

XY – слід січної площини на площині основи D C B Z Y X M N P S А F

Побудова перерізів багатогранників

Стереометрія 10 клас

Виконала вчитель математики

МБОУ «Молодьківська ЗОШ»

Степченко М.А.

Мета уроку:

Сформувати навичку вирішення завдань на побудову перерізів тетраедра та паралелепіпеда

«Скажи мені – і я забуду. Покажи мені – і я запам'ятаю…»

Стародавня китайська

прислів'я

Це цікаво!

Багато митців, спотворюючи закони перспективи, малюють незвичайні картини. До речі, ці малюнки дуже популярні серед математиків. У мережі Internet можна знайти велику кількість сайтів, де публікуються ці неможливі об'єкти.

Популярні художники Моріс Ешер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей та інші дивували своїми картинами математиків.

"Таке може намалювати лише той, хто робить дизайн, не бачачи перспективи..."

Жос де Мей

Закони геометрії часто порушуються у комп'ютерних іграх.

Піднімаючись цією драбинкою, ми залишаємося на тому ж поверсі.

А 2 . Якщо дві точки прямий

лежать у площині, то всі крапки

прямий лежать у цій площині.

Геометрія: Навч. Для 10-11 кл. загальнообразова. установ / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев та ін - 9-е вид., З ізм. - М.: Просвітництво, 2000. - 206 с.: іл. - ISBN 5-09-008612-5.

Лісенята тут бути не може!

а

"Ті, хто закохуються в практику без теорії, уподібнюються мореплавцю, що сідає на корабель без керма і компаса і тому ніколи не знає, куди він пливе".

Леонардо Да Вінчі

http://blogs.nnm.ru/page6/

АКСІОМИ

планіметрія

стереометрія

Характеризують взаємне розташування точок та прямих

А1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж лише одна

1. Кожній прямій належать принаймні дві точки

А2. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині

2. Є принаймні три точки, що не лежать на одній прямій

3. Через будь-які дві точки проходить пряма, і лише одна.

А3. Якщо дві площини мають спільну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать всі загальні точки цих площин .

Основне поняття геометрії «лежати між»

4. З трьох точок пряма одна і тільки одна лежить між двома іншими.

Площина (у тому числі і січну) можна задати наступним чином

Одна точка перетину

Немає точок перетину

Перетином

є площина

Перетином

є відрізок

Поточною площиноюПаралелепіпеда (тетраедра) називається будь-яка площина, по обидва боки від якої є точки даного паралелепіпеда (тетраедра).

Побудувати переріз багатогранника площиною – це означає вказати точки перетину січної площини з ребрами багатогранника і з'єднати ці точки відрізками, що належать граням багатогранника.

Для побудови перерізу багатогранника площиною потрібно у площині кожної грані вказати 2 точки, що належать перерізу, з'єднати їх прямою і знайти точки перетину цієї прямої з ребрами багатогранника.

Довідковий посібник з методів вирішення задач з математики для середньої школи. Ципкін А.Г,.Пінський А.І./Під. редакцією В.І.Благодатських. - М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1983. - 416 с.

Поточна площина перетинає грані тетраедра (паралелепіпеда) по відрізкам.

L

Багатокутник сторонами якого є дані відрізки, називається перетином тетраедра ((паралелепіпеда).

Поточна площина

Січна площина перетинає грані тетраедра по відрізках.

Багатокутник, сторонами якого є ці відрізки – перетин тетраедра .

Для вирішення багатьох геометричних завдань необхідно будувати їх перерізурізними площинами.

Для побудови перерізу потрібно побудувати точки перетину площини з ребрами і з'єднати їх відрізками.

При цьому необхідно враховувати таке:

1. З'єднувати можна лише дві точки, що лежать

у площині однієї грані.

2. Січна площина перетинає паралельні грані по паралельним відрізкам.

3. Якщо в площині грані зазначено лише одну точку, що належить площині перерізу, то треба побудувати додаткову точку. Для цього необхідно знайти точки перетину вже збудованих прямих з іншими прямими, що лежать у тих же гранях.

Які багатокутники можуть вийти у перерізі?

Тетраедр має 4 грані

У перерізах можуть вийти:

• Чотирикутники

• Трикутники

Паралелепіпед має 6 граней

• П'ятикутники

• Трикутники

У його перерізах

можуть вийти:

• Шестикутники

• Чотирикутники

Бліц опитування

• Завдання бліц – опитування: відповісти на запитання та обґрунтувати відповідь за допомогою аксіом, теорем та властивостей паралельних площин.

Бліц опитування.

D 1

З 1

Чи вірите ви, що прямі ПК та ВР 1 перетинаються?

А 1

B 1

Бліц опитування.

D 1

З 1

А 1

Чи вірите ви, що

прямі НК та ВР 1

перетинаються?

B 1

Бліц опитування.

D 1

З 1

Чи вірите ви, що прямі ПК та МР перетинаються?

А 1

B 1

На кресленні є

ще помилка!

Чи вірите ви, що прямі Н R та NK

перетинаються?

Бліц опитування.

З 1

D 1

А 1

B 1

На кресленні є

ще помилка!

Чи перетинаються прямі Н R та А 1 В 1 ?

Бліц опитування.

Чи перетинаються прямі Н R і 1 D 1 ?

D 1

З 1

А 1

B 1

Чи перетинаються

прямі NK і DC?

Чи перетинаються

прямі NK і А D?

Чи вірите ви,

що прямі МО та АС

перетинаються?

Бліц опитування.

Прямі МО та АВ перетинаються, т.к. лежать в одній площині (AD С). Прямі МО та АВ не перетинаються, т.к. лежать у різних площинах (AD С) і (AD В) – ці площини перетинаються по прямій А D , на якій лежать всі загальні точки цих площин.

Чи вірите ви,

що прямі МО та АВ

перетинаються?

Вміння вирішувати завдання – практичне мистецтво, подібне до плавання, або катання на лижах … : навчитися цьому можна лише наслідуючи обраних зразків і постійно тренуючись.

Д. Пойа

Властивість

паралельних площин.

Якщо дві паралельні площини

перетнуті третьою,

то лінії їх перетину

паралельні.

а

b

Ця властивість нам допоможе

при побудові перерізів.

Найпростіші завдання.

D 1

З 1

B 1

А 1

З'єднуємо відрізками 2 точки, що належать до однієї грані багатогранника. Якщо у піраміди «зрізати» його вершину вийде зрізана піраміда.

Найпростіші завдання.

Діагональні перерізи.

D 1

З 1

D 1

З 1

А 1

B 1

А 1

B 1

З'єднуємо відрізками 2 точки, що належать до однієї грані багатогранника. Діагональні перерізи.

D 1

З 1

А 1

B 1

Аксіоматичний метод

Метод слідів

• Метод слідів

Суть методу полягає у побудові допоміжної прямої, що є зображенням лінії перетину січної площини з площиною будь-якої грані фігури. Найзручніше будувати зображення лінії перетину січної площини з площиною нижньої основи. Цю лінію називають слідом січної площини. Використовуючи слід, легко побудувати зображення точок сіючої площини, що знаходяться на бічних ребрах. або гранях фігури.

1. Побудувати перерізи паралелепіпеда площиною, що проходить через точки В 1, М, N

7. Продовжимо MN і BD.

2. Продовжимо MN, ВА

5. В 1 О ∩ А 1 А=К

10. B 1 Е ∩ D 1 D=P , PN

Побудувати переріз багатогранника площиною, що проходить через крапки М, Р, К, якщо До належить площині a.

Рішення варіанта 1.

Рішення варіанта 2.

Правила самоконтролю:

• Вершини перерізу знаходяться лише на ребрах.

• Сторони перерізу знаходяться лише на межі багатогранника.

• Сікуча площина перетинає грань або площину грані, лише один раз.

Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо входите у воду, а якщо хочете навчитися вирішувати завдання, то вирішуйте їх

(Д. Пойя)

• Атанасян Л.С. та ін. Геометрія 10-11. - М.: Просвітництво, 2008.
• Литвиненко В.М., багатогранники. Завдання та рішення. - М.: Віта-Прес, 1995.
• Смірнов В.А., Смірнова І. М., ЄДІ 100 балів. Геометрія. Перетин багатогранників. - М.: Іспит, 2011.
• Навчально-методичний додаток до газети "Перше вересня" "Математика". Федотова О., Кабакова Т. Інтегрований урок "Побудова перерізів призми", 9/2010.

• Зів Б.Г.Дидактичні матеріали з геометрії для 10 класів. - М., Просвітництво, 1997.
• Електронне видання «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

7. http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html