Формула об'єму правильної трикутної піраміди. Як обчислюють обсяг піраміди

Піраміда - це багатогранник, основу якого лежить багатокутник. Всі грані у свою чергу утворюють трикутники, які сходяться на одній вершині. Піраміди бувають трикутними, чотирикутними тощо. Щоб визначити, яка піраміда перед вами, досить порахувати кількість кутів у її основі. Визначення "висота піраміди" дуже часто зустрічається в задачах з геометрії шкільній програмі. У статті спробуємо розглянути різні способиїї знаходження.

Частини піраміди

Кожна піраміда складається з наступних елементів:

• бічні грані, які мають по три кути та сходяться у вершині;
• апофема є висотою, яка опускається з її вершини;
• вершина піраміди - це точка, яка з'єднує бічні ребра, але при цьому не лежить у площині основи;
• основа - це багатокутник, у якому лежить вершина;
• висота піраміди є відрізком, який перетинає вершину піраміди і утворює з її основою прямий кут.

Як знайти висоту піраміди, якщо відомий її об'єм

Через формулу V = (S * h) / 3 (у формулі V - об'єм, S - площа основи, h - висота піраміди) знаходимо, що h = (3 * V) / S. Для закріплення матеріалу давайте відразу вирішимо завдання. Трикутна основа дорівнює 50 см 2 , тоді як її обсяг становить 125 см 3 . Невідома висота трикутної піраміди, яку нам необхідно знайти. Тут все просто: вставляємо дані до нашої формули. Отримуємо h = (3 * 125) / 50 = 7,5 см.

Як знайти висоту піраміди, якщо відома довжина діагоналі та її ребра

Як ми пам'ятаємо, висота піраміди утворює з її основою прямий кут. А це означає, що висота, ребро і половина діагоналі разом утворюють Багато хто, звичайно ж, пам'ятають теорему Піфагора. Знаючи два виміри, третю величину знайти буде нескладно. Згадаймо відому теорему a² = b² + c², де а - гіпотенуза, а нашому випадку ребро піраміди; b - перший катет або половина діагоналі і - відповідно, другий катет, або висота піраміди. З цієї формули c? = a? - b?.

Тепер завдання: у правильній піраміді діагональ дорівнює 20 см, коли як довжина ребра - 30 см. Необхідно визначити висоту. Вирішуємо: c ² = 30 ² - 20 ² = 900-400 = 500. Звідси з = √ 500 = близько 22,4.

Як знайти висоту зрізаної піраміди

Вона являє собою багатокутник, який має перетин паралельно до її основи. Висота усіченої піраміди - це відрізок, який з'єднує дві її основи. Висоту можна знайти у правильної пірамідиякщо будуть відомі довжини діагоналей обох основ, а також ребро піраміди. Нехай діагональ більшої основи дорівнює d1, тоді як діагональ меншої основи – d2, а ребро має довжину – l. Щоб знайти висоту, можна із двох верхніх протилежних точок діаграми опустити висоти на її основу. Ми бачимо, що у нас вийшли два прямокутні трикутники, залишається знайти довжини їх катетів. Для цього з більшої діагоналі віднімаємо меншу та ділимо на 2. Так ми знайдемо один катет: а = (d1-d2)/2. Після чого за теоремою Піфагора нам залишається лише знайти другий катет, який є висотою піраміди.

Тепер розглянемо всю цю справу на практиці. Перед нами завдання. Усічена піраміда має в основі квадрат, довжина діагоналі більшої основи дорівнює 10 см, тоді як меншої - 6 см, а ребро дорівнює 4 см. Потрібно знайти висоту. Для початку знаходимо один катет: а = (10-6)/2 = 2 см. Один катет дорівнює 2 см, а гіпотенуза - 4 см. Виходить, що другий катет або висота дорівнюватиме 16-4 = 12, тобто h = √12 = близько 3,5 см.

Теорема.

Обсяг піраміди дорівнює одній третині твору площі основи на висоту.

Доведення:

Спочатку доведемо теорему для трикутної піраміди, потім довільної.

1. Розглянемо трикутну пірамідуОАВСз об'ємом V, площею основиSта заввишки h. Проведемо вісь ох (ОМ2- Висота), розглянемо перетинА1 В1 С1піраміди площиною, перпендикулярною до осіохі, отже, паралельної площині основи. Позначимо черезхабсцису точки М1 перетину цієї площини з віссю ох, а черезS(x)- Площа перерізу. Висловимо S(x)через S, hі х. Зауважимо, що трикутники А1 У1 З1 і АВС подібні. Справді А1 У1 II AB, тому трикутникОА 1 У 1 подібний до трикутника ОАВ. Зльодово, А1 У1 : АВ=ОА 1: ОА .

Прямокутні трикутникиОА 1 У 1 та ОАВ теж подібні (вони мають загальний гострий кут із вершиною О). Тому , ОА 1: ОА = О 1 М1 : ОМ = х: h. Таким чиномА 1 У 1 : А В = х: h.Аналогічно доводиться, щоВ1 С1:НД = х: hі А1 С1:АС =х: h.Отже, трикутникА1 В1 С1і АВСподібні до коефіцієнта подібностіх: h.Отже, S(x) : S = (х: h)², або S(x) = S х ²/ h².

Застосуємо тепер основну формулу для обчислення обсягів тіл приa= 0, b =hотримуємо

2. Доведемо тепер теорему для довільної піраміди з висотою hта площею підстави S. Таку піраміду можна розбити на трикутні піраміди із загальною висотою h.Виразимо обсяг кожної трикутної піраміди за доведеною нами формулою та складемо ці обсяги. Виносячи за дужки загальний множник 1/3h, отримаємо у дужках суму підстав трикутних пірамід, тобто. площа S основ вихідної піраміди.

Таким чином, обсяг вихідної піраміди дорівнює 1/3Sh. Теорему доведено.

Наслідок:

Об'єм V усіченої піраміди, висота якої дорівнює h, а площі основи дорівнюють S і S1 , обчислюються за формулою

h - висота піраміди

S верх. - площа верхньої основи

S ниж. - площа нижньої основи

Головною характеристикою будь-якої геометричної фігуриу просторі є її обсяг. У цій статті розглянемо, що являє собою піраміда з трикутником в основі, а також покажемо, як знаходити обсяг трикутної піраміди - правильної повної та усіченої.

Що це – трикутна піраміда?

Кожен чув про стародавні єгипетські піраміди, проте вони є чотирикутними правильними, а не трикутними. Пояснимо, як отримати трикутну піраміду.

Візьмемо довільний трикутник і з'єднаємо всі його вершини з деякою однією точкою, розташованою поза площиною цього трикутника. Освічена фігурабуде називатися трикутною пірамідою. Вона показана малюнку нижче.

Як видно, розглянута фігура утворена чотирма трикутниками, які в загальному випадкує різними. Кожен трикутник – це сторони піраміди або її грань. Цю піраміду часто називають тетраедром, тобто чотиригранною об'ємною фігурою.

Крім сторін, піраміда також має ребра (їх у неї 6) і вершини (їх 4).

з трикутною основою

Фігура, яка отримана з використанням довільного трикутника та точки у просторі, буде неправильною похилою пірамідою у загальному випадку. Тепер уявімо, що вихідний трикутник має однакові сторони, а точка простору розташована над його геометричним центром на відстані h від площини трикутника. Побудована з використанням цих вихідних даних піраміда буде правильною.

Очевидно, що число ребер, сторін і вершин у правильної трикутної піраміди буде таким самим, як у піраміди, побудованої з довільного трикутника.

Однак правильна фігура має деякі відмінними рисами:

• її висота, проведена з вершини, точно перетне основу в геометричному центрі (точка перетину медіан);
• бічна поверхнятака піраміда утворена трьома однаковими трикутниками, які є рівнобедреними або рівносторонніми.

Правильна трикутна піраміда є чисто теоретичним геометричним об'єктом. Деякі структури у природі мають її форму, наприклад кристалічна решіткаалмазу, де атом вуглецю з'єднаний з чотирма такими ж атомами ковалентними зв'язками, або молекула метану, де вершини піраміди утворені атомами водню

трикутної піраміди

Визначити об'єм абсолютно будь-якої піраміди з довільним n-кутником в основі можна за допомогою наступного виразу:

Тут символ S o позначає площу основи, h - це висота фігури, проведена до зазначеної основи з вершини піраміди.

Оскільки площа довільного трикутника дорівнює половині добутку довжини його сторони a на апофему h a , опущену на цю сторону, формула обсягу трикутної піраміди може бути записана в наступному вигляді:

V = 1/6 × a × h a × h

Для загального типувизначення висоти є непростим завданням. Для її вирішення найпростіше скористатися формулою відстані між точкою (вершиною) та площиною (трикутною основою), представленою рівнянням загального вигляду.

Для правильної має певний вигляд. Площа основи (рівностороннього трикутника) для неї дорівнює:

Підставляємо її в загальний вираздля V, отримуємо:

V = √3/12 × a 2 × h

Окремим випадком є ​​ситуація, коли у тетраедра всі сторони виявляються однаковими рівносторонніми трикутниками. У цьому випадку визначити його обсяг можна тільки виходячи зі знання параметра його ребра a. Відповідний вираз має вигляд:

Усічена піраміда

Якщо верхню частину, Що містить вершину, відсікти у правильної трикутної піраміди, то вийде усічена фігура. На відміну від вихідної, вона складатиметься з двох рівносторонніх. трикутних основта трьох рівнобедрених трапецій.

Нижче на фото показано, як виглядає правильна усічена трикутна піраміда, виготовлена ​​з паперу.

Для визначення обсягу трикутної піраміди зрізаної необхідно знати три її лінійні характеристики: кожну зі сторін основ і висоту фігури, рівну відстаніміж верхньою та нижньою основами. Відповідна формула для обсягу записується так:

V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)

Тут h – висота фігури, A та a – довжини сторін великого (нижнього) та малого (верхнього) рівносторонніх трикутників відповідно.

Рішення задачі

Щоб наведена інформація у статті була зрозумілішою для читача, покажемо на наочний приклад, як користуватися деякими із записаних формул.

Нехай обсяг трикутної піраміди дорівнює 15 см3. Відомо, що фігура є правильною. Слід знайти апофему б бокового ребра, якщо відомо, що висота піраміди становить 4 см.

Оскільки відомі обсяг та висота фігури, то можна скористатися відповідною формулою для обчислення довжини сторони її основи. Маємо:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25,98 см

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25,98 2 / 12) = 8,5 см

Розрахована довжина апофеми фігури вийшла більше за її висоти, що справедливо для піраміди будь-якого типу.

Тут розберемо приклади, пов'язані з поняттям обсягу. Для вирішення подібних завдань обов'язково потрібно знати формулу обсягу піраміди:

S

h – висота піраміди

Підставою може бути будь-який багатокутник. Але в більшості завдань на ЄДІ мова в умові, як правило, йде про правильні піраміди. Нагадаю одну з її властивостей:

Вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування

Подивіться на проекцію правильної трикутної, чотирикутної та шестикутної пірамід (ВИД Зверху):

Можете на блозі, де розбиралися завдання, пов'язані зі знаходженням обсягу піраміди.Розглянемо завдання:

27087. Знайдіть об'єм правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 1, а висота дорівнює кореню з трьох.

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Знайдемо площу основи піраміди, це правильний трикутник. Скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:

Відповідь: 0,25

27088. Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, сторони основи якої дорівнюють 2, а об'єм дорівнює кореню з трьох.

Такі поняття як висота піраміди та характеристики її основи пов'язані формулою об'єму:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Сам обсяг нам відомий, площу основи можемо знайти, оскільки відомі сторони трикутника, який є основою. Знаючи зазначені величини легко знайдемо висоту.

Для знаходження площі основи скористаємося формулою – площа трикутника дорівнює половині добутку сусідніх сторін на синус кута між ними, отже:

Таким чином, підставивши дані значення формулу обсягу можемо обчислити висоту піраміди:

Висота дорівнює трьом.

Відповідь: 3

27109. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 6, бічне ребро дорівнює 10. Знайдіть її об'єм.

Обсяг піраміди обчислюється за такою формулою:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Висота нам відома. Необхідно знайти площу основи. Нагадаю, що вершина правильної піраміди проектується до центру її заснування. Підставою правильної чотирикутної піраміди є квадрат. Ми можемо знайти його діагональ. Розглянемо прямокутний трикутник (виділений синім):

Відрізок з'єднує центр квадрата з точкою Це катет, який дорівнює половині діагоналі квадрата. Цей катет можемо вирахувати за теоремою Піфагора:

Значить BD = 16. Обчислимо площу квадрата, скориставшись формулою площі чотирикутника:

Отже:

Таким чином, обсяг піраміди дорівнює:

Відповідь: 256

27178. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 12, об'єм дорівнює 200. Знайдіть бічне ребро цієї піраміди.

Висота піраміди та її та обсяг відомі, значить можемо знайти площу квадрата, який є основою. Знаючи площу квадрата, ми зможемо знайти його діагональ. Далі розглянувши прямокутний трикутник по теоремі Піфагора обчислимо бічне ребро:

Знайдемо площу квадрата (підстави піраміди):

Обчислимо діагональ квадрата. Так як його площа дорівнює 50, то сторона дорівнюватиме кореню з п'ятдесяти і за теоремою Піфагора:

Крапка Про поділяє діагональ BD навпіл, значить катет прямокутного трикутникаВВ = 5.

Таким чином, можемо обчислити чому одно бічне ребро піраміди:

Відповідь: 13

245353. Знайдіть об'єм піраміди, зображеної на малюнку. Її основою є багатокутник, сусідні сторони якого перпендикулярні, а одне з бічних ребер перпендикулярно площині основи і 3.

Як неодноразово було сказано – обсяг піраміди обчислюється по формуле:

S– площа основи піраміди

h- Висота піраміди

Бокове ребро перпендикулярне до основи дорівнює трьом, це означає, що висота піраміди дорівнює трьом. Основи піраміди – це багатокутник, площа якого дорівнює:

Таким чином:

Відповідь: 27

27086. Основою піраміди є прямокутник зі сторонами 3 та 4. Її об'єм дорівнює 16. Знайдіть висоту цієї піраміди.