Рівняння пряме через нормаль і точку. Загальне рівняння прямої. Приватні випадки загального рівняння прямої
У цій статті ми розглянемо загальне рівняння прямої на площині. Наведемо приклади побудови загального рівнянняпрямий, якщо відомі дві точки цієї прямої або якщо відома одна точка і нормальний вектор цієї прямої. Представимо методи перетворення рівняння в загальному виглядіу канонічний та параметричний види.
Нехай задана довільна декартова прямокутна система координат Oxy. Розглянемо рівняння першого ступеня або лінійне рівняння:
| Ax+By+C=0, | (1) |
де A, B, C− деякі постійні, причому хоча б один із елементів Aі Bна відміну від нуля.
Покажемо, що лінійне рівняння на площині визначає пряму. Доведемо таку теорему.
Теорема 1. У довільній декартовій прямокутної системикоординат на площині, кожна пряма лінія може бути задана лінійним рівнянням. Назад, кожне лінійне рівняння (1) у довільній декартовій прямокутній системі координат на площині визначає пряму лінію.
Доведення. Достатньо довести, що пряма Lвизначається лінійним рівнянням при якійсь одній декартовій прямокутній системі координат, оскільки тоді вона визначатиметься лінійним рівнянням і при будь-якому виборі декартової прямокутної системи координат.
Нехай на площині задана пряма L. Виберемо систему координат так, щоб вісь Oxзбігався з прямою L, а вісь Ойбув перпендикулярним до неї. Тоді рівняння прямої Lнабуде наступного вигляду:
| y=0. | (2) |
Усі точки на прямій Lбудуть задовольняти лінійному рівнянню (2), а всі точки поза цією прямою, не задовольнятимуть рівняння (2). Першу частину теореми доведено.
Нехай задана декартова прямокутна система координат і нехай задана лінійне рівняння (1), де хоча б один із елементів Aі Bвідмінний від нуля. Знайдемо геометричне місце точок, координати яких задовольняють рівняння (1). Бо хоча б один із коефіцієнтів Aі Bвідмінний від нуля, то рівняння (1) має хоча б одне рішення M(x 0 ,y 0). (Наприклад, при A≠0, точка M 0 (−C/A, 0) належить даному геометричному місцю точок). Підставляючи ці координати в (1) отримаємо тотожність
| Ax 0 +By 0 +C=0. | (3) |
Віднімемо з (1) тотожність (3):
| A(x−x 0)+B(y−y 0)=0. | (4) |
Очевидно, що рівняння (4) еквівалентне рівнянню (1). Тому достатньо довести, що (4) визначає деяку пряму.
Оскільки ми розглядаємо декартову прямокутну систему координат, то з рівності (4) випливає, що вектор з компонентами ( x−x 0 , y−y 0 ) ортогональний вектор nз координатами ( A,B}.
Розглянемо деяку пряму L, що проходить через точку M 0 (x 0 , y 0) та перпендикулярною вектору n(Рис.1). Нехай крапка M(x,y) належить прямий L. Тоді вектор із координатами x−x 0 , y−y 0 перпендикулярний nта рівняння (4) задоволено (скалярний добуток векторів nі одно нулю). Назад, якщо точка M(x,y) не лежить на прямій Lто вектор з координатами x−x 0 , y−y 0 не ортогональний вектор nта рівняння (4) не задоволене. Теорему доведено.
Доведення. Так як прямі (5) і (6) визначають ту саму пряму, то нормальні вектори n 1 ={A 1 ,B 1 ) n 2 ={A 2 ,B 2) колінеарні. Оскільки вектори n 1 ≠0, n 2 ≠0, то існує таке число λ , що n 2 =n 1 λ . Звідси маємо: A 2 =A 1 λ , B 2 =B 1 λ . Доведемо, що C 2 =C 1 λ . Очевидно, що прямі збігаються загальну точку M 0 (x 0 , y 0). Помножуючи рівняння (5) на λ і віднімаючи з нього рівняння (6) отримаємо:
Оскільки виконані перші дві рівності з виразів (7), то C 1 λ −C 2 = 0. Тобто. C 2 =C 1 λ . Зауваження доведене.
Зауважимо, що рівняння (4) визначає рівняння прямої, яка проходить через точку M 0 (x 0 , y 0) і має нормальний вектор n={A,B). Тому, якщо відомий нормальний вектор прямої та точка, що належить цій прямій, можна побудувати загальне рівняння прямої за допомогою рівняння (4).
Приклад 1. Пряма проходить через точку M=(4,−1) і має нормальний вектор n= (3, 5). Побудувати загальне рівняння прямої.
Рішення. Маємо: x 0 =4, y 0 =−1, A=3, B=5. Для побудови загального рівняння прямої, підставимо ці значення рівняння (4):
Відповідь:
Вектор паралельний прямий Lі, отже, перпердикулярний до нормального вектора прямий L. Побудуємо нормальний вектор прямий L, враховуючи що скалярний добутоквекторів nі одно нулю. Можемо записати, наприклад, n={1,−3}.
Для побудови загального рівняння прямою скористаємося формулою (4). Підставимо в (4) координати точки M 1 (можемо взяти також координати точки M 2) та нормального вектора n:
Підставляючи координати точок M 1 і M 2 (9) можемо переконатися, що пряма задана рівнянням (9) проходить через ці точки.
Відповідь:
Віднімемо (10) з (1):
Ми отримали канонічне рівнянняпрямий. Вектор q={−B, A) є напрямним вектором прямої (12).
Зворотне перетворення дивіться.
Приклад 3. Пряма на площині представлена наступним загальним рівнянням:
Перемістимо на право другу складову і розділимо обидві частини рівняння на 2.5.
Урок із серії «Геометричні алгоритми»
Здрастуйте, дорогий читачу!
Сьогодні ми почнемо вивчати алгоритми, пов'язані із геометрією. Справа в тому, що олімпіадних завдань з інформатики, пов'язаних з обчислювальною геометрією, досить багато і вирішення таких завдань часто спричиняє труднощі.
За кілька уроків ми розглянемо ряд елементарних підзавдань, куди спирається вирішення більшості завдань обчислювальної геометрії.
На цьому уроці ми складемо програму для знаходження рівняння прямої, що проходить через задані дві точки. Для вирішення геометричних завдань нам знадобляться деякі знання з обчислювальної геометрії. Частину уроку ми присвятимо знайомству з ними.
Відомості з обчислювальної геометрії
Обчислювальна геометрія – це розділ інформатики, що вивчає алгоритми розв'язання геометричних завдань.
Вихідними даними для таких завдань можуть бути безліч точок на площині, набір відрізків, багатокутник (заданий, наприклад, списком своїх вершин у порядку руху за годинниковою стрілкою) і т.п.
Результатом може бути або відповідь на якесь питання (типу належить чи точка відрізка, чи перетинаються два відрізки, …), або якийсь геометричний об'єкт (наприклад, найменший опуклий багатокутник, що з'єднує задані точки, площа багатокутника, тощо) .
Ми розглядатимемо завдання обчислювальної геометрії тільки на площині і тільки в декартовій системі координат.
Вектори та координати
Щоб застосовувати методи обчислювальної геометрії, необхідно геометричні образи перекласти мовою чисел. Вважатимемо, що у площині задана декартова система координат, у якій напрямок повороту проти годинникової стрілки називається позитивним.
Тепер геометричні об'єкти набувають аналітичного виразу. Так, щоб задати точку, досить зазначити її координати: пару чисел (x; y). Відрізок можна задати, вказавши координати його кінців, можна задати пряму, вказавши координати пари її точок.
Але основним інструментом у вирішенні завдань у нас будуть вектори. Нагадаю тому деякі відомості про них.
Відрізок АВ, у якого точку Авважають початком (точкою програми), а точку У– кінцем, називають вектором АВі позначають або , або жирною малою літерою, наприклад а .
Для позначення довжини вектора (тобто довжини відповідного відрізка) користуватимемося символом модуля (наприклад, ).
Довільний вектор матиме координати, рівні різниці відповідних координат його кінця та початку:
,
тут крапки Aі B
мають координати 
відповідно.
Для обчислень ми будемо використовувати поняття орієнтованого кута, тобто кута, що враховує взаємне розташування векторів.
Орієнтований кут між векторами a і b позитивний, якщо поворот від вектора a до вектору b відбувається в позитивному напрямку (проти годинникової стрілки) і негативний - в іншому випадку. Див рис.1а, рис.1б. Говорять також, що пара векторів a і b позитивно (негативно) орієнтована.
Таким чином, величина орієнтованого кута залежить від порядку перерахування векторів і може набувати значення в інтервалі .
Багато завдань обчислювальної геометрії використовують поняття векторного (косого чи псевдоскалярного) творів векторів.
Векторним твором векторів a і b називатимемо добуток довжин цих векторів на синус кута між ними:
.
Векторний добуток векторів у координатах:
Вираз праворуч – визначник другого порядку:
На відміну від визначення, яке дається в аналітичній геометрії, це скаляр.
Знак векторного творувизначає положення векторів один щодо одного:
a і b позитивно орієнтована.
Якщо величина, то пара векторів a і b негативно орієнтована.
Векторний добуток ненульових векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні ( 
). Це означає, що вони лежать на одній прямій або паралельних прямих.
Розглянемо кілька найпростіших завдань, необхідні під час вирішення складніших.
Визначимо рівняння прямої за координатами двох точок.
Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки, задані своїми координатами.
Нехай на прямій задані дві точки, що не збігаються: з координатами (x1; y1) і з координатами (x2; y2). Відповідно вектор з початком у точці та кінцем у точці має координати (x2-x1, y2-y1). Якщо P(x, y) – довільна точка нашої прямої, то координати вектора рівні (x-x1, y – y1).
За допомогою векторного твору умову колінеарності векторів можна записати так:
Тобто. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0
(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0
Останнє рівняння перепишемо так:
ax + by + c = 0, (1)
c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)
Отже, пряму можна встановити рівнянням виду (1).
Завдання 1. Задано координати двох точок. Знайти її уявлення як ax + by + c = 0.
На цьому уроці ми познайомились із деякими відомостями з обчислювальної геометрії. Вирішили завдання щодо знаходження рівняння лінії за координатами двох точок.
На наступному уроці складемо програму знаходження точки перетину двох ліній, заданих своїми рівняннями.
Властивості прямої в евклідовій геометрії.
Через будь-яку точку можна провести безліч прямих.
Через будь-які дві точки, що не збігаються, можна провести єдину пряму.
Дві несхожі прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є
паралельними (випливає з попереднього).
У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:
- прямі перетинаються;
- прямі паралельні;
- прямі схрещуються.
Пряма лінія— крива алгебри першого порядку: в декартовій системі координат пряма лінія
задається на площині рівнянням першого ступеня (лінійне рівняння).
Загальне рівняння прямої.
Визначення. Будь-яка пряма на площині може бути задана рівнянням першого порядку
Ах + Ву + С = 0,
причому постійні А, Вне дорівнюють нулю одночасно. Це рівняння першого порядку називають загальним
рівнянням прямої.Залежно від значень постійних А, Ві Зможливі такі окремі випадки:
. C = 0, А ≠0, В ≠ 0- Пряма проходить через початок координат
. А = 0, В ≠0, С ≠0 ( By + C = 0)- Пряма паралельна осі Ох
. В = 0, А ≠ 0, С ≠ 0 (Ax + C = 0)- Пряма паралельна осі Оу
. В = С = 0, А ≠0- Пряма збігається з віссю Оу
. А = С = 0, В ≠0- Пряма збігається з віссю Ох
Рівняння прямої може бути представлене в різному вигляді залежно від будь-яких заданих
початкових умов.
Рівняння прямої за точкою та вектором нормалі.
Визначення. У декартовій системі прямокутної координат вектор з компонентами (А, В)
перпендикулярний прямий, заданою рівнянням
Ах + Ву + З = 0.
приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку А(1, 2)перпендикулярно вектору (3, -1).
Рішення. Складемо при А = 3 і В = -1 рівняння прямої: 3х - у + С = 0. Для знаходження коефіцієнта С
підставимо в отриманий вираз координати заданої точки А. Отримуємо: 3 - 2 + C = 0, отже
З = -1. Разом: шукане рівняння: 3х - у - 1 = 0.
Рівняння пряме, що проходить через дві точки.
Нехай у просторі задані дві точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1)і M2 (x 2, y 2 , z 2),тоді рівняння прямої,
проходить через ці точки:
Якщо один із знаменників дорівнює нулю, слід прирівняти нулю відповідний чисельник. на
площині записане вище рівняння прямої спрощується:
якщо х 1 ≠ х 2і х = х 1, якщо х 1 = х 2 .
Дріб = kназивається кутовим коефіцієнтом прямий.
приклад. Знайти рівняння прямої, що проходить через точки А(1, 2) та В(3, 4).
Рішення. Застосовуючи записану вище формулу, отримуємо:
Рівняння прямої за точкою та кутовим коефіцієнтом.
Якщо загальне рівняння прямої Ах + Ву + С = 0привести до вигляду:
та позначити 
, то отримане рівняння називається
рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом k.
Рівняння прямої по точці та напрямному вектору.
За аналогією з пунктом, що розглядає рівняння прямої через вектор нормалі, можна ввести завдання
прямий через точку та напрямний вектор прямий.
Визначення. Кожен ненульовий вектор (α 1 , α 2), компоненти якого задовольняють умові
Аα 1 + Вα 2 = 0називається напрямний вектор прямий.
Ах + Ву + З = 0.
приклад. Знайти рівняння прямої з напрямним вектором (1, -1) і проходить через точку А(1, 2).
Рішення. Рівняння шуканої прямої шукатимемо у вигляді: Ax+By+C=0.Відповідно до визначення,
коефіцієнти повинні задовольняти умови:
1 * A + (-1) * B = 0, тобто. А = В.
Тоді рівняння прямої має вигляд: Ax + Ay + C = 0,або x + y + C/A = 0.
при х = 1, у = 2отримуємо С/A = -3, тобто. шукане рівняння:
х + у - 3 = 0
Рівняння прямої у відрізках.
Якщо в загальному рівнянні прямий Ах + Ву + С = 0 С 0, то, розділивши на -С, отримаємо:
або , де
Геометричний зміст коефіцієнтів у тому, що коефіцієнт а є координатою точки перетину
прямий з віссю Ох,а b- координатою точки перетину прямої з віссю Оу.
приклад. Задано загальне рівняння прямої х – у + 1 = 0.Знайти рівняння цієї прямої у відрізках.
С = 1, а = -1, b = 1.
Нормальне рівнянняпрямий.
Якщо обидві частини рівняння Ах + Ву + С = 0розділити на число 
, Яке називається
нормуючим множником, то отримаємо
xcosφ + ysinφ - p = 0 -нормальне рівняння прямої.
Знак ± нормуючого множника треба вибирати так, щоб μ * С< 0.
р- Довжина перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму,
а φ - Кут, утворений цим перпендикуляром з позитивним напрямом осі Ох.
приклад. Дано загальне рівняння прямої 12х - 5у - 65 = 0. Потрібно написати різні типирівнянь
цієї прямої.
Рівняння цієї прямої у відрізках:
Рівняння цієї прямої з кутовим коефіцієнтом: (ділимо на 5)
Рівняння прямої:
cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.
Слід зазначити, що не кожну пряму можна уявити рівнянням у відрізках, наприклад, прямі,
паралельні осям або проходять через початок координат.
Кут між прямими на площині.
Визначення. Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, то гострий кут між цими прямими
визначатиметься як
Дві прямі паралельні, якщо k 1 = k 2. Дві прямі перпендикулярні,
якщо k 1 = -1/ k 2 .
Теорема.
Прямі Ах + Ву + С = 0і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0паралельні, коли пропорційні коефіцієнти
А 1 = λА, 1 = λВ. Якщо ще й З 1 = λС, То прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих
перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.
Рівняння пряме, що проходить через дану точкуперпендикулярно даній прямій.
Визначення. Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1)і перпендикулярна до прямої у = kx + b
є рівнянням:
Відстань від точки до прямої.
Теорема. Якщо задана точка М(х 0 у 0),та відстань до прямої Ах + Ву + С = 0визначається як:
Доведення. Нехай крапка М 1 (х 1, у 1)- основа перпендикуляра, опущеного з точки Мна задану
пряму. Тоді відстань між точками Мі М 1:
(1)
Координати x 1і у 1можуть бути знайдені як розв'язання системи рівнянь:
Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точкуМ 0 перпендикулярно
заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
то, вирішуючи, отримаємо:
Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:
Теорему доведено.
Пряма, що проходить через точку K(x 0 ; y 0) і паралельна прямий y = kx + a знаходиться за формулою:
y - y 0 = k(x - x 0) (1)
Де k – кутовий коефіцієнт прямий.
Альтернативна формула:
Пряма, що проходить через точку M 1 (x 1 ; y 1) і паралельна прямий Ax+By+C=0 представляється рівнянням
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Приклад №1. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку M 0 (-2,1) і при цьому:а) паралельно прямий 2x+3y -7 = 0;
б) перпендикулярно до прямої 2x+3y -7 = 0.
Рішення . Представимо рівняння з кутовим коефіцієнтом як y = kx + a . Для цього перенесемо всі значення крім y в праву частину: 3y = -2x + 7 Потім розділимо праву частину коефіцієнт 3 . Отримаємо: y = -2/3x + 7/3
Знайдемо рівняння NK, що проходить через точку K(-2;1), паралельно прямий y = -2/3 x + 7/3
Підставляючи x 0 = -2, k = -2 / 3 , y 0 = 1 отримаємо:
y-1 = -2/3 (x-(-2))
або
y = -2/3 x - 1/3 або 3y + 2x +1 = 0
Приклад №2. Написати рівняння прямої, паралельної прямої 2x + 5y = 0 і твірної разом з осями координат трикутник, площа якого дорівнює 5.
Рішення
. Так як прямі паралельні, то рівняння шуканої прямої 2x + 5y + C = 0. Площа прямокутного трикутникаде a і b його катети. Знайдемо точки перетину шуканої прямої з осями координат: 
;
.
Отже, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Підставимо у формулу для площі: 
. Отримуємо два рішення: 2x + 5y + 10 = 0 та 2x + 5y – 10 = 0 .
Приклад №3. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку (-2; 5) і паралельна пряма 5x-7y-4=0 .
Рішення. Цю пряму можна уявити рівнянням y = 5 / 7 x - 4 / 7 (тут a = 5 / 7). Рівняння шуканої прямої є y – 5 = 5/7 (x – (-2)), тобто. 7(y-5)=5(x+2) або 5x-7y+45=0.
Приклад №4. Розв'язавши приклад 3 (A=5, B=-7) за формулою (2), знайдемо 5(x+2)-7(y-5)=0.
Приклад №5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точку (-2; 5) і паралельної прямої 7x+10=0.
Рішення. Тут A = 7, B = 0. Формула (2) дає 7(x+2)=0, тобто. x+2=0. Формула (1) не застосовується, оскільки дане рівняння не можна розв'язати щодо y (дана пряма паралельна осі ординат).
Загальне рівняння прямої:
Часткові випадки загального рівняння прямої:
а якщо C= 0, рівняння (2) матиме вигляд
Ax + By = 0,
і пряма, яка визначається цим рівнянням, проходить через початок координат, оскільки координати початку координат x = 0, y= 0 задовольняють цього рівняння.
б) Якщо у загальному рівнянні прямий (2) B= 0, то рівняння набуде вигляду
Ax + З= 0, або .
Рівняння не містить змінної y, а пряма паралельна осі, що визначається цим рівнянням Ой.
в) Якщо у загальному рівнянні прямий (2) A= 0, то це рівняння набуде вигляду
By + З= 0, або ;
рівняння не містить змінної x, а пряма паралельна осі, яка їм визначається Ox.
Слід запам'ятати: якщо пряма паралельна до будь-якої координатної осі, то в її рівнянні відсутній член, що містить координату, однойменну з цією віссю.
г) При C= 0 і A= 0 рівняння (2) набуває вигляду By= 0, або y = 0.
Це рівняння осі Ox.
д) При C= 0 і B= 0 рівняння (2) запишеться у вигляді Ax= 0 або x = 0.
Це рівняння осі Ой.
Взаємне розташуванняпрямі на площині. Кут між прямими на площині. Умови паралельності прямих. Умови перпендикулярності прямих.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Вектори S 1 та S 2 називаються напрямними для своїх прямих.
Кут між прямими l 1 і l 2 визначається кутом між напрямними векторами.
Теорема 1: cos кута між l 1 і l 2 = cos(l 1 ; l 2) =
Теорема 2:Для того, щоб 2 прямі дорівнювали необхідно і достатньо:
Теорема 3:щоб 2 прямі були перпендикулярні необхідно і достатньо:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Загальне рівняння площини та її окремі випадки. Рівняння площини у відрізках.
Загальне рівняння площини:
Ax + By + Cz + D = 0
Приватні випадки:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 – площина проходить через початок координат
2. З=0 Ax+By+D = 0 – площина || OZ
3. У=0 Ax+Cz+d = 0 – площина || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – площина || OX
5. A=0 та D=0 By+Cz = 0 – площина проходить через OX
6. В=0 та D=0 Ax+Cz = 0 – площина проходить через OY
7. C=0 та D=0 Ax+By = 0 – площина проходить через OZ
Взаємне розташування площин та прямих ліній у просторі:
1. Кутом між прямими в просторі називається кут між їх напрямними векторами.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = = 
2. Кутом між площинами визначається через кут між їхніми нормальними векторами.
Cos (l 1 ; l 2) = cos(N 1 ; N 2) = = 
3. Косинус кута між прямою та площиною можна знайти через sin кута між напрямним вектором прямої та нормальним вектором площини.
4. 2 Прямі || у просторі, коли їх || напрямні вектора
5. 2 поверхні || коли || нормальний вектор
6. Аналогічно вводяться поняття перпендикулярності прямих та площин.
Запитання №14
Різні видирівняння прямої лінії на площині (рівняння прямої у відрізках, з кутовим коефіцієнтом та ін.)
Рівняння прямої у відрізках:
Припустимо, що у загальному рівнянні прямий:
1. С = 0 Ах + Ву = 0 - Пряма проходить через початок координат.
2. а = 0 Ву + С = 0 у =
3. в = 0 Ах + С = 0 х =
4. в = С = 0 Ах = 0 х = 0
5. а = С = 0 Ву = 0 у = 0
Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом:
Будь-яка пряма, не рівна осіОУ (Не=0), може бути записана в слід. вигляді:
k = tgα α – кут між прямою та позитивно спрямованою лінією ОХ
b – точка перетину прямої з віссю ОУ
Док-во:
Ах + Ву + С = 0
Ву = -Ах-С |:
Рівняння прямої за двома точками:
Питання №16
Кінцева межа функції у точці та при x→∞
Кінцева межа в точці х 0:
Число А називається межею функції y = f(x) при x→х 0 якщо для будь-якого Е > 0 існує б > 0 таке, що при х ≠x 0 , що задовольняє нерівності | х - х 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Межа позначається: = A
Кінцева межа в точці +∞:
Число А називається межею функції y = f(x) при x → + ∞ , якщо будь-якого Е > 0 існує З > 0, таке що з x > C виконується нерівність |f(x) - A|< Е
Межа позначається: = A
Кінцева межа в точці -∞:
Число А називається межею функції y = f(x) при x→-∞,якщо для будь-якого Е< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
