Знайти вектор та кут між векторами. Скалярський витвір векторів. Кут між векторами

Скалярний добутоквекторів (далі у тексті СП). Дорогі друзі! До складу іспиту з математики входить група завдань рішення векторів. Деякі завдання ми вже розглянули. Можете подивитися їх у категорії «Вектори». У цілому нині, теорія векторів нескладна, головне послідовно її вивчити. Обчислення та дії з векторами у шкільному курсі математики прості, формули не складні. Загляньте в . У цій статті ми розберемо завдання на СП векторів (входять до ЄДІ). Тепер «занурення» у теорію:

Ч щоб знайти координати вектора, потрібно від координат його кінця віднятивідповідні координати його початку

І ще:

*Довжина вектора (модуль) визначається наступним чином:

Дані формули необхідно запам'ятати!

Покажемо кут між векторами:

Зрозуміло, що він може змінюватись у межах від 0 до 180 0(або радіанах від 0 до Пі).

Можемо зробити деякі висновки про знак скалярного твору. Довжини векторів мають позитивне значення, очевидно. Отже знак скалярного твору залежить від значення косинуса кута між векторами.

Можливі випадки:

1. Якщо кут між векторами гострий (від 0 до 90 0), то косинус кута матиме позитивне значення.

2. Якщо кут між векторами тупий (від 90 0 до 180 0), то косинус кута матиме негативне значення.

*При нулі градусів, тобто коли вектори мають однаковий напрямок, косинус дорівнює одиниці і відповідно результат буде позитивним.

При 180 про, тобто коли вектори мають протилежні напрямки, косинус дорівнює мінус одиниці,і, відповідно, результат буде негативним.

Тепер ВАЖЛИВИЙ МОМЕНТ!

При 90 про, тобто коли вектори перпендикулярні один одному, косинус дорівнює нулю, отже, і СП дорівнює нулю. Цей факт (наслідок, висновок) використовується при вирішенні багатьох завдань, де йдеться про взаємне розташуваннявекторів, у тому числі і в завданнях, що входять у відкритий банк завдань з математики.

Сформулюємо твердження: скалярний добуток дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли дані вектори лежать на перпендикулярних прямих.

Отже, формули СП векторів:

Якщо відомі координати векторів або координати точок їх початків і кінців, то завжди зможемо знайти кут між векторами:

Розглянемо завдання:

27724 Знайдіть скалярний добуток векторів a та b .

Скалярний добуток векторів ми можемо знайти за однією з двох формул:

Кут між векторами невідомий, але ми легко можемо знайти координати векторів і далі скористатися першою формулою. Оскільки початки обох векторів збігаються з початком координат, то координати даних векторів дорівнюють координатам їх кінців, тобто

Як знайти координати вектора викладено у .

Обчислюємо:

Відповідь: 40

Знайдемо координати векторів та скористаємося формулою:

Щоб знайти координати вектора необхідно від координат кінця вектора відняти відповідні координати його початку, отже

Обчислюємо скалярний твір:

Відповідь: 40

Знайдіть кут між векторами a та b . Відповідь дайте у градусах.

Нехай координати векторів мають вигляд:

Для знаходження кута між векторами використовуємо формулу скалярного добутку векторів:

Косинус кута між векторами:

Отже:

Координати даних векторів дорівнюють:

Підставимо їх у формулу:

Кут між векторами дорівнює 45 градусів.

Відповідь: 45

Інструкція

Нехай на площині задано два ненульові вектори, відкладені від однієї точки: вектор A з координатами (x1, y1) B з координатами (x2, y2). Кутміж ними позначено як θ. Щоб знайти градусну міру кута θ, необхідно скористатися визначенням скалярного твору.

Скалярним твором двох ненульових називається число, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто (A,B)=|A|*|B|*cos(θ). Тепер потрібно виразити з даної косинус кута: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Скалярний добуток можна знайти також за формулою (A,B)=x1*x2+y1*y2, оскільки добуток двох ненульових векторів дорівнює сумі творів відповідних цих векторів. Якщо скалярний добуток ненульових векторів дорівнює нулю, то вектори перпендикулярні (кут між ними дорівнює 90 градусів) і подальші обчислення можна не проводити. Якщо скалярний добуток двох векторів позитивний, то кут між цими векторамигострий, і якщо негативно, то кут тупий.

Тепер порахуйте довжини векторів A і B за формулами: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Довжина вектора обчислюється як квадратний коріньіз суми квадратів його координат.

Знайдені значення скалярного добутку та довжин векторів підставте в отриману за кроком 2 формулу для кута, тобто cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+y1²)+√(x2²+y2²)). Тепер, знаючи значення , щоб знайти градусну міру кута між векторамипотрібно скористатися таблицею Брадіса або взяти з цього: θ = arccos (cos (θ)).

Якщо вектори A і B задані тривимірному просторі і мають координати (x1, y1, z1) і (x2, y2, z2) відповідно, то при знаходженні косинуса кута додається ще одна координата. У цьому випадку косинус: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Корисна порада

Якщо два вектори відкладено не від однієї точки, то знаходження кута з-поміж них паралельним переносом потрібно поєднати початку цих векторів.
Кут між двома векторами не може бути більшим за 180 градусів.

Джерела:

• як обчислити кут між векторами
• Кут між прямою та площиною

Для вирішення багатьох завдань, як прикладних, так і теоретичних, у фізиці та лінійній алгебрі необхідно обчислювати кут між векторами. Ця проста на перший погляд завдання здатна доставити безліч труднощів, якщо ви чітко не засвоїте сутність скалярного твору та яка величина з'являється в результаті цього твору.

Інструкція

Кут між векторами у векторному лінійному просторі – мінімальний кутпри , який досягається сонаправленность векторів. Здійснюється один із векторів навколо його початкової точки. З визначення стає очевидним, що значення кута не може перевищувати 180 градусів (см. до кроку).

При цьому цілком справедливо передбачається, що в лінійному просторі при здійсненні паралельного перенесення векторів кут між ними не змінюється. Тому для аналітичного розрахунку кута просторова орієнтація векторів не має значення.

Результат скалярного добутку – число, інакше скаляр. Запам'ятайте (це важливо знати), щоб не допустити подальших розрахунків помилок. Формула скалярного твору, розташованих площині чи просторі векторів, має вигляд (див. малюнок кроку).

Якщо вектори розташовуються у просторі, то розрахунок робіть аналогічним способом. Єдиним буде поява доданку в ділимому - це доданок за аплікату, тобто. третій компонент вектора. Відповідно, при обчисленні модуля векторів компоненту z також необхідно врахувати, тоді для векторів, розташованих у просторі, останнє вираз перетворюється так (див. малюнок 6 до кроку).

Вектор – це відрізок із заданим напрямком. Кут між векторами має фізичне значення, наприклад, при знаходженні довжини проекції вектора на вісь.

Інструкція

Кут між двома ненульовими векторами за допомогою обчислення скалярного добутку. За визначенням твір дорівнює добутку довжин на кутку між ними. З іншого боку, скалярний добуток для двох векторів a з координатами (x1; y1) та b з координатами (x2; y2) обчислюється: ab = x1x2 + y1y2. З цих двох способів скалярного добутку легко кут між векторами.

Знайдіть довжини чи модулі векторів. Для наших векторів a та b: |a| = (x1² + y1²) ^ 1/2, | b | = (x2² + y2²) ^ 1/2.

Знайдіть скалярний добуток векторів, перемноживши їх координати попарно: ab = x1x2 + y1y2. З визначення скалярного добутку ab = | a | * | b | * cos α, де - кут між векторами. Тоді матимемо, що x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Тоді cos = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Знайдіть кут α за допомогою таблиць Брадіса.

Відео на тему

Зверніть увагу

Скалярне твір - це скалярна характеристика довжин векторів та кута між ними.

Площина – одне з вихідних понять у геометрії. Площиною називається поверхня, для якої правильне твердження - будь-яка пряма, що з'єднує дві її точки, повністю належить цій поверхні. Площини заведено позначати грецькими літерами α, β, γ тощо. Дві площини завжди перетинаються прямою лінією, яка належить обом площинам.

Інструкція

Розглянемо напівплощини α та β утворені при перетині. Кут, утворений прямий a двома напівплощинами α і β двогранним кутом. При цьому напівплощини, що утворюють двогранний кут гранями, пряма a по якій перетинаються площини, називається ребром. двогранного кута.

Двогранний кут, як і плоский кут, у градусах. Щоб двогранний кут необхідно з його межі вибрати довільну точку O. В обох через точку O проводяться два промені a. Утворений кут AOB називається лінійним кутом двогранного кута a.

Отже, нехай заданий вектор V = (а, b, с) і площину А x + В y + C z = 0, де А, В і C – координати нормалі N. Тоді косинус кута між векторами V і N дорівнює:сos α = (а А + b + З C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²)).

Щоб обчислити величину кута в градусах або радіанах, потрібно від виразу розрахувати функцію, зворотну до косінус, тобто. арккосинус:α = аrссos ((а А + b В + з C)/(√(а² + b² + с²) √(А² + В² + C²))).

приклад: знайдіть кутміж вектором(5, -3, 8) та площиною, заданою загальним рівнянням 2 x – 5 y + 3 z = 0. Рішення: випишіть координати нормального вектора площини N = (2, -5, 3). Підставте все відомі значенняу наведену формулу: сos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.

Відео на тему

Складіть рівність і вичленуйте з нього косинус. За однією формулою скалярний добуток векторів дорівнює їх довжинам, перемноженим один на одного і на косинус кута, а за іншою - сумою творів координат уздовж кожної з осей. Прирівнявши обидві формули можна зробити висновок, що косинус кутаповинен дорівнювати відношенню суми творів координат до твору довжин векторів.

Запишіть отриману рівність. І тому треба позначити обох векторів. Припустимо, вони дано в тривимірній декартовій системі та їх початкові точки координатної сітки. Напрямок та величина першого вектора буде задана точкою (X₁,Y₁,Z₁), другого - (X₂,Y₂,Z₂), а кут позначте буквою γ. Тоді довжини кожного з векторів можна , наприклад, за теоремою Піфагора для , утворених їх проекціями на кожну з координатних осей: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) та √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Підставте ці вирази у сформульовану на попередньому кроці формулу і ви отримаєте рівність: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂²) )).

Використовуйте той факт, що сума зведених у квадрат синусаі до синусавід кутаоднієї величини завжди дає одиницю. Отже, звівши отримане на попередньому кроці для синусау квадрат і відібравши від одиниці, а потім квадратний корінь, ви вирішите завдання. Запишіть потрібну формулу в загальному вигляді: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁²) * (X₂² + Y₂² + Z₂²))).

Скалярний добуток векторів

Продовжуємо розбиратися із векторами. На першому уроці Вектори для чайниківми розглянули поняття вектора, дії з векторами, координати вектора та найпростіші завдання із векторами. Якщо ви зайшли на цю сторінку вперше з пошуковика, настійно рекомендую прочитати вищезгадану вступну статтю, оскільки для засвоєння матеріалу необхідно орієнтуватися в термінах, позначеннях, що використовуються мною, мати базовими знаннямипро вектори та вміти вирішувати елементарні завдання. Цей урок є логічним продовженням теми, і на ньому я докладно розберу типові завдання, в яких використовується скалярний твір векторів. Це дуже ВАЖЛИВО . Намагайтеся не пропускати приклади, до них додається корисний бонус – практика допоможе вам закріпити пройдений матеріал і «набити руку» на вирішенні поширених завдань аналітичної геометрії.

Додавання векторів, множення вектора на число…. Було б наївним думати, що математики не вигадали щось ще. Крім уже розглянутих дій, існує низка інших операцій із векторами, а саме: скалярний добуток векторів, векторний добуток векторіві змішаний твір векторів. Скалярний твір векторів знайомий нам зі школи, два інших твори традиційно ставляться до курсу вищої математики. Теми нескладні, алгоритм вирішення багатьох завдань трафаретний і зрозумілий. Єдине. Інформації пристойно, тому небажано намагатися освоїти-вирішувати ВСЕ І ВІДРАЗУ. Особливо це стосується чайників, повірте, автор зовсім не хоче почувати себе Чікатіло від математики. Ну і не від математики, звичайно, теж =) Більше підготовлені студенти можуть використовувати матеріали вибірково, у певному сенсі, «добирати» знання, що бракують, для вас я буду невинним графом Дракулою =)

Прочинимо ж, нарешті, двері і захоплено подивимося, що відбувається, коли два вектори зустрічають один одного….

Визначення скалярного добутку векторів.
Властивості скалярного твору. Типові завдання

Поняття скалярного твору

Спочатку про кут між векторами. Думаю, всім інтуїтивно зрозуміло, що таке кут між векторами, але про всяк випадок трохи докладніше. Розглянемо вільні ненульові вектори та . Якщо відкласти ці вектори від довільної точки, то вийде картинка, яку багато хто вже представив подумки:

Зізнаюся, тут я описав ситуацію лише на рівні розуміння. Якщо необхідно суворе визначення кута між векторами, будь ласка, зверніться до підручника, для практичних завдань воно нам, в принципі, ні до чого. Також ТУТ І ДАЛІ я місцями ігноруватиму нульові вектори через їх малу практичну значущість. Застереження зробив спеціально для просунутих відвідувачів сайту, які можуть мені дорікнути за теоретичну неповноту деяких наступних тверджень.

може набувати значення від 0 до 180 градусів (від 0 до радіан) включно. Аналітично цей факт записується у вигляді подвійної нерівності: або (У радіанах).

У літературі значок кута часто пропускають і пишуть просто.

Визначення:Скалярним твором двох векторів і називається ЧИСЛО, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

Ось це вже цілком суворе визначення.

Акцентуємо увагу на суттєвій інформації:

Позначення:скалярний твір позначається через або просто.

Результат операції є ЧИСЛОМ: Помножується вектор на вектор, а виходить число Справді, якщо довжини векторів – це числа, косинус кута – число, їхній твір теж буде числом.

Відразу пара прикладів розминки:

Приклад 1

Рішення:Використовуємо формулу . У даному випадку:

Відповідь:

Значення косинуса можна знайти в тригонометричної таблиці. Рекомендую її роздрукувати - знадобиться практично у всіх розділах вежі і знадобиться багато разів.

Чисто з математичної погляду скалярне твір безрозмірно, тобто результат, у разі , просто число і все. З точки зору завдань фізики скалярний твір завжди має певний фізичний зміст, тобто після результату потрібно вказати ту чи іншу фізичну одиницю. Канонічний приклад з обчислення роботи сили можна знайти в будь-якому підручнику (формула в точності є скалярним твіром). Робота сили вимірюється в Джоулях, тому і відповідь запишеться цілком конкретно, наприклад, .

Приклад 2

Знайти , якщо , а кут між векторами дорівнює.

Це приклад для самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку

Кут між векторами та значення скалярного твору

У Прикладі 1 скалярне твір вийшло позитивним, а Прикладі 2 – негативним. З'ясуймо, від чого залежить знак скалярного твору. Дивимося на формулу: . Довжини ненульових векторів завжди позитивні: тому знак може залежати тільки від значення косинуса.

Примітка: Для більш якісного розуміння наведеної нижче інформації краще вивчити графік косинуса в методичці Графіки та властивості функції. Подивіться, як поводиться косинус на відрізку.

Як уже зазначалося, кут між векторами може змінюватись у межах , і при цьому можливі наступні випадки:

1) Якщо кутміж векторами гострий: (від 0 до 90 градусів), то , і скалярний твір буде позитивним співспрямовані, то кут між ними вважається нульовим, і скалярне твір також буде позитивним. Оскільки , формула спрощується: .

2) Якщо кутміж векторами тупий: (від 90 до 180 градусів), то , і відповідно, скалярний твір негативно: . Особливий випадок: якщо вектори спрямовані протилежно, то кут між ними вважається розгорнутим: (180 градусів). Скалярне твір теж негативно, оскільки

Справедливі та зворотні твердження:

1) Якщо , то кут між цими векторами гострий. Як варіант вектори сонаправлены.

2) Якщо , то кут між цими векторами тупий. Як варіант вектори спрямовані протилежно.

Але особливий інтерес становить третій випадок:

3) Якщо кутміж векторами прямий: (90 градусів), то й скалярний добуток дорівнює нулю: . Назад теж вірно: якщо , то . Компактне твердження формулюється так: Скалярний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні.. Короткий математичний запис:

! Примітка : повторимо основи математичної логіки: двосторонній значок логічного слідства зазвичай читають «тоді й тільки тоді», «у тому й лише в тому випадку». Як бачите, стрілки направлені в обидві сторони – «з цього випливає це, і назад – з того, випливає це». У чому, до речі, на відміну від одностороннього значка слідування? Значок стверджує, тільки те, Що «з цього випливає це», і не факт, що протилежне справедливе. Наприклад: , але не кожен звір є пантерою, тому в цьому випадку не можна використовувати . У той же час замість значка можна, можливовикористовувати односторонній значок. Наприклад, вирішуючи завдання, ми з'ясували, що й зробили висновок, що вектори ортогональні: – такий запис буде коректним, і навіть доречнішим, ніж .

Третій випадок має велику практичну значимістьоскільки дозволяє перевірити, ортогональні вектори чи ні. Це завдання ми вирішимо у другому розділі уроку.

Властивості скалярного твору

Повернемося до ситуації, коли два вектори співспрямовані. І тут кут з-поміж них дорівнює нулю, , і формула скалярного твори набуває вигляду: .

А що буде, якщо вектор помножити на себе? Зрозуміло, що вектор спрямований сам із собою, тому користуємося вищезгаданою спрощеною формулою:

Число називається скалярним квадратомвектора і позначаться як .

Таким чином, скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату довжини даного вектора:

З цієї рівності можна отримати формулу для обчислення довжини вектора:

Поки що вона здається малозрозумілою, але завдання уроку все розставлять на свої місця. Для вирішення завдань нам також знадобляться властивості скалярного твору.

Для довільних векторів та будь-якого числа справедливі такі властивості:

1) - переміщувальний або комутативнийзакон скалярного твору

2) - Розподільчий або дистрибутивнийзакон скалярного твору Просто можна розкривати дужки.

3) - Сполучний або асоціативнийзакон скалярного твору Константу можна винести із скалярного твору.

Найчастіше, всілякі властивості (які ще й доводити треба!) сприймаються студентами як непотрібний мотлох, який лише необхідно визубрити і відразу після іспиту благополучно забути. Здавалося б, чого тут важливого, всі й так з першого класу знають, що з перестановки множників твір змінюється: . Повинен застерегти, що у вищій математиці з подібним підходом легко наламати дров. Так, наприклад, переміщувальна властивість не є справедливою для алгебраїчних матриць. Невірно воно і для векторного твору векторів. Тому, будь-які властивості, які вам зустрінуться в курсі вищої математики, як мінімум, краще вникати, щоб зрозуміти, що можна робити, а чого не можна.

Приклад 3

.

Рішення:Спочатку прояснимо ситуацію з вектором. Що це взагалі таке? Сума векторів і є цілком певним вектором, який і позначений через . Геометричну інтерпретацію дій із векторами можна знайти у статті Вектори для чайників. Та ж петрушка з вектором – це сума векторів та .

Отже, за умовою потрібно знайти скалярний твір. За ідеєю, потрібно застосувати робочу формулу Але біда в тому, що нам невідомі довжини векторів і кут між ними. Зате в умові дано аналогічні параметри для векторів, тому ми підемо іншим шляхом:

(1) Підставляємо вирази векторів.

(2) Розкриваємо дужки за правилом множення багаточленів, вульгарну скоромовку можна знайти в статті Комплексні числаабо Інтегрування дробово-раціональної функції. Повторюватися вже не буду =) До речі, розкрити дужки нам дозволяє дистрибутивна властивість скалярного твору. Маємо право.

(3) У першому та останньому доданку компактно записуємо скалярні квадрати векторів: . У другому доданку використовуємо перестановочність скалярного произведения: .

(4) Наводимо такі доданки: .

(5) У першому доданку використовуємо формулу скалярного квадрата , яку недавно згадувалося. В останньому доданку, відповідно, працює та сама штука: . Другий доданок розкладаємо за стандартною формулою .

(6) Підставляємо ці умови , та УВАЖНО проводимо остаточні обчислення.

Відповідь:

Від'ємне значенняскалярного твору констатує те що, що кут між векторами є тупим.

Завдання типове, ось приклад для самостійного вирішення:

Приклад 4

Знайти скалярний добуток векторів і, якщо відомо, що .

Тепер ще одне поширене завдання, саме на нову формулу довжини вектора . Позначення тут трохи співпадатимуть, тому для ясності я перепишу її з іншою літерою:

Приклад 5

Знайти довжину вектора, якщо .

Рішеннябуде наступним:

(1) Поставляємо вираз вектора.

(2) Використовуємо формулу довжини: , при цьому як вектор «ве» у нас виступає ціле вираз .

(3) Використовуємо шкільну формулу квадрата суми. Зверніть увагу, як вона тут цікаво працює: - Це квадрат різниці, і, по суті, так воно і є. Бажаючі можуть переставити вектори місцями: – вийшло те саме з точністю до перестановки доданків.

(4) Подальше вже знайоме із двох попередніх завдань.

Відповідь:

Якщо йдеться про довжину, не забуваємо вказати розмірність - «одиниці».

Приклад 6

Знайти довжину вектора, якщо .

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

Продовжуємо вичавлювати корисні речі із скалярного твору. Знову подивимося на нашу формулу . За правилом пропорції скинемо довжини векторів у знаменник лівої частини:

А частини поміняємо місцями:

У чому зміст цієї формули? Якщо відомі довжини двох векторів та його скалярне твір, можна обчислити косинус кута між даними векторами, отже, і сам кут.

Скалярне твір – це число? Число. Довжини векторів – числа? Числа. Значить, дріб також є деяким числом . А якщо відомий косинус кута: , то за допомогою зворотної функціїлегко знайти і сам кут: .

Приклад 7

Знайти кут між векторами і якщо відомо, що .

Рішення:Використовуємо формулу:

на заключному етапіобчислень використано технічний прийом – усунення ірраціональності у знаменнику. З метою усунення ірраціональності я примножив чисельник і знаменник на .

Отже, якщо , то:

Значення зворотних тригонометричних функційможна знаходити по тригонометричної таблиці. Хоча трапляється це рідко. У завданнях аналітичної геометрії значно частіше з'являється якийсь неповороткий ведмідь на кшталт , і значення кута доводиться знаходити приблизно, використовуючи калькулятор. Власне, таку картину ми ще неодноразово побачимо.

Відповідь:

Знову, не забуваємо вказувати розмірність – радіани та градуси. Особисто я, щоб свідомо «зняти всі питання», волію вказувати і те, і те (якщо за умовою, звичайно, не потрібно подати відповідь тільки в радіанах або лише в градусах).

Тепер ви зможете самостійно впоратися із складнішим завданням:

Приклад 7*

Дані - довжини векторів, і кут між ними. Знайти кут між векторами .

Завдання навіть не так складне, як багатоходове.
Розберемо алгоритм розв'язання:

1) За умовою потрібно знайти кут між векторами і тому потрібно використовувати формулу .

2) Знаходимо скалярне твір (див. приклади № 3, 4).

3) Знаходимо довжину вектора та довжину вектора (див. Приклади № 5, 6).

4) Кінцівка рішення збігається з Прикладом № 7 - нам відоме число, а значить, легко знайти і сам кут:

Коротке рішення та відповідь наприкінці уроку.

Другий розділ уроку присвячений тому ж скалярному твору. Координати. Буде навіть простіше, ніж у першій частині.

Скалярний добуток векторів,
заданих координатами в ортонормованому базисі

Відповідь:

Що й казати, мати справу з координатами значно приємніше.

Приклад 14

Знайти скалярний добуток векторів і , якщо

Це приклад самостійного рішення. Тут можна використовувати асоціативність операції, тобто не брати до уваги, а відразу винести трійку за межі скалярного твору і примножити на неї в останню чергу. Рішення та відповідь наприкінці уроку.

На закінчення параграфа провокаційний приклад на обчислення довжини вектора:

Приклад 15

Знайти довжини векторів , якщо

Рішення:знову напрошується спосіб попереднього розділу: але існує й інша дорога:

Знайдемо вектор:

І його довжину за тривіальною формулою :

Скалярний твір тут взагалі не при справах!

Як не при справах воно і при обчисленні довжини вектора:
Стоп. А чи не скористатися очевидною властивістю довжини вектора? Що можна сказати про довжину вектора? Даний вектор довший за вектор у 5 разів. Напрямок протилежний, але це не відіграє ролі, адже розмова про довжину. Очевидно, що довжина вектора дорівнює добутку модулячисла на довжину вектора:
- Знак модуля «з'їдає» можливий мінус числа.

Таким чином:

Відповідь:

Формула косинуса кута між векторами, заданими координатами

Тепер у нас є повна інформація, щоб раніше виведену формулу косинуса кута між векторами виразити через координати векторів:

Косинус кута між векторами площини.та , заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:
.

Косинус кута між векторами простору, заданими в ортонормованому базисі , виражається формулою:

Приклад 16

Дано три вершини трикутника. Знайти (кут при вершині).

Рішення:За умовою креслення виконувати не потрібно, але все-таки:

Необхідний кут позначений зеленою дугою. Відразу згадуємо шкільне позначення кута: – особливу увагуна середнюлітеру - це і є потрібна нам вершина кута. Для стислості можна було також записати просто.

З креслення цілком очевидно, що кут трикутника збігається з кутом між векторами і іншими словами: .

Проведений аналіз бажано навчитися виконувати подумки.

Знайдемо вектори:

Обчислимо скалярний твір:

І довжини векторів:

Косинус кута:

Саме такий порядок виконання завдання рекомендую чайникам. Більше підготовлені читачі можуть записувати обчислення «одним рядком»:

Ось і приклад поганого значення косинуса. Отримане значення не є остаточним, тому ні особливого сенсупозбавлятися ірраціональності в знаменнику.

Знайдемо сам кут:

Якщо подивитися на креслення, то результат цілком правдоподібний. Для перевірки кут можна виміряти і транспортиром. Не пошкодіть покриття монітора =)

Відповідь:

У відповіді не забуваємо, що питалося про кут трикутника(а не про кут між векторами), не забуваємо вказати точну відповідь: і наближене значення кута: знайдене за допомогою калькулятора.

Ті, хто отримав задоволення від процесу, можуть обчислити кути і переконатися в справедливості канонічної рівності

Приклад 17

У просторі заданий трикутник координатами своїх вершин. Знайти кут між сторонами та

Це приклад самостійного рішення. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку

Невеликий заключний розділбуде присвячено проекціям, у яких теж «замішано» скалярний твір:

Вектор проекції на вектор. Вектор проекції на координатні осі.
Напрямні косинуси вектор

Розглянемо вектори та:

Спроектуємо вектор на вектор, для цього з початку та кінця вектора опустимо перпендикуляривектор (зелені пунктирні лінії). Уявіть, що вектор перпендикулярно падають промені світла. Тоді відрізок (червона лінія) буде «тінь» вектора. В даному випадку проекцією вектора на вектор є ДОВжина відрізка. Тобто ПРОЕКЦІЯ – ЦЕ ЧИСЛО.

Дане ЧИСЛО позначається так: «великим вектором» позначають вектор КОТРИЙпроектують, «маленьким підрядковим вектором» позначають вектор НАякий проектують.

Сам запис читається так: "проекція вектора "а" на вектор "бе"".

Що станеться, якщо вектор «бе» буде «надто коротким»? Проводимо пряму лінію, що містить вектор "бе". І вектор «а» проектуватиметься вже на напрям вектора «бе», Просто - на пряму, що містить вектор «бе». Те саме станеться, якщо вектор «а» відкласти в тридесятому царстві – він все одно легко спроектується на пряму вектор «бе».

Якщо кутміж векторами гострий(як на малюнку), то

Якщо вектори ортогональні, то (проекцією є точка, розміри якої вважаються нульовими).

Якщо кутміж векторами тупий(на малюнку подумки переставте стрілочку вектора), то (та сама довжина, але взята зі знаком мінус).

Відкладемо ці вектори від однієї точки:

Очевидно, що при переміщенні вектора його проекція не змінюється

При вивченні геометрії чимало питань виникає на тему векторів. Особливі труднощі учень відчуває за необхідності знайти кути між векторами.

Основні терміни

Перед тим як розглядати кути між векторами необхідно ознайомитися з визначенням вектора і поняттям кута між векторами.

Вектором називають відрізок, що має напрямок, тобто відрізок, для якого визначено його початок та кінець.

Кутом між двома векторами на площині, що мають загальний початок, називають менший з кутів, на величину якого потрібно перемістити один із векторів навколо загальної точки, до становища, коли їх напрями збігатимуться.

Формула для вирішення

Зрозумівши, що являє собою вектор і як визначається його кут, можна обчислити кут між векторами. Формула рішення для цього досить проста, і результатом її застосування буде значення косинуса кута. Згідно з визначенням, він дорівнює приватному скалярному твору векторів та твору їх довжин.

Скалярний добуток векторів вважається як сума помножених один на одного відповідних координат векторів-співмножників. Довжина вектора або його модуль обчислюється як квадратний корінь із суми квадратів його координат.

Отримавши значення косинуса кута, обчислити величину самого кута можна за допомогою калькулятора або скориставшись тригонометричною таблицею.

приклад

Після того, як ви розберетеся з тим, як обчислити кут між векторами, розв'язання відповідного завдання стане простим і зрозумілим. Як приклад варто розглянути нескладне завдання про знаходження величини кута.

Насамперед зручніше обчислити необхідні рішення значення довжин векторів та його скалярного твори. Скориставшись описом, наведеним вище, отримаємо:

Підставивши отримані значення формулу, обчислимо значення косинуса шуканого кута:

Це число не є одним із п'яти поширених значень косинуса, тому для отримання величини кута доведеться скористатися калькулятором або тригонометричною таблицею Брадіса. Але перед тим, як отримати кут між векторами, формула може бути спрощена, щоб позбавитися зайвого негативного знака:

Підсумкову відповідь для збереження точності можна залишити в такому вигляді, а можна визначити значення кута в градусах. За таблицею Брадіса його величина становитиме приблизно 116 градусів та 70 хвилин, а калькулятор покаже значення 116,57 градуса.

Обчислення кута в n-мірному просторі

При розгляді двох векторів у тривимірному просторі, зрозуміти, про який кут йде мова набагато складніше, якщо вони не лежать в одній площині. Для спрощення сприйняття можна накреслити два відрізки, що перетинаються, які утворюють найменший кут між ними, він і буде шуканим. Незважаючи на наявність третьої координати у векторі, процес того, як обчислюються кути між векторами, не зміниться. Обчисліть скалярний твір і модулі векторів, арккосинус їхнього приватного і буде відповіддю на це завдання.

У геометрії нерідко зустрічаються завдання з просторами, що мають більше трьох вимірів. Але й їм алгоритм знаходження відповіді виглядає аналогічно.

Різниця між 0 та 180 градусами

Одна з поширених помилок при написанні відповіді на задачу, розраховану на те, щоб обчислити кут між векторами, - рішення записати, що вектори паралельні, тобто кут, що шукається, вийшов дорівнює 0 або 180 градусів. Ця відповідь є невірною.

Отримавши за підсумками рішення значення кута 0 градусів, правильною відповіддю буде позначення векторів як сонаправленных, тобто векторів збігатися напрямок. У разі отримання 180 градусів вектори матимуть характер протилежно спрямованих.

Специфічні вектори

Знайшовши кути між векторами, можна зустріти один із особливих типів, крім описаних вище сонаправленных і протилежно спрямованих.

• Декілька векторів паралельних однієї площини називаються компланарними.
• Вектори, однакові за довжиною та напрямком, називаються рівними.
• Вектори, що лежать на одній прямій, незалежно від напрямку, називаються колінеарними.
• Якщо довжина вектора дорівнює нулю, тобто його початок і кінець збігаються, його називають нульовим, і якщо одиниці, то одиничним.

Кут між двома векторами :

Якщо кут між двома векторами гострий, їх скалярне твір позитивно; якщо кут між векторами тупий, то скалярний добуток цих векторів негативний. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні.

Завдання.Знайти кут між векторами та

Рішення.Косинус шуканого кута

16. Обчислення кута між прямими, прямою та площиною

Кут між прямою та площиною, що перетинає цю пряму і не перпендикулярну до неї, - це кут між прямою та її проекцією на цю площину.

Визначення кута між прямою і площиною дозволяє укласти, що кут між прямою і площиною являє собою кут між двома прямими, що перетинаються: самої прямої і її проекцією на площину. Отже, кут між прямою та площиною є гострий кут.

Кут між перпендикулярними прямою і площиною вважають рівним , а кут між паралельними прямою і площиною або не визначають зовсім, або вважають рівним .

§ 69. Обчислення кута між прямими.

Завдання обчислення кута між двома прямими у просторі вирішується так само, як і на площині (§ 32). Позначимо через φ величину кута між прямими l 1 і l 2 а через ψ - величину кута між напрямними векторами а і b цих прямих.

Тоді, якщо

? 90 ° (рис. 206,6), то ? = 180 ° - ?. Вочевидь, що у обох випадках правильна рівність cos φ = |cos ψ|. За формулою (1) § 20 маємо

отже,

Нехай прямі задані своїми канонічними рівняннями

Тоді кут між прямими визначається за допомогою формули

Якщо одна з прямих (або обидві) задана не канонічних рівнянь, то для обчислення кута потрібно знайти координати напрямних векторів цих прямих, а потім скористатися формулою (1).

17. Паралельні прямі, Теореми про паралельні прямі

Визначення.Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.

Дві прямі в тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Кут між двома векторами.

З визначення скалярного твору:

.

Умова ортогональності двох векторів:

Умова колінеарності двох векторів:

.

Слід з визначення 5 - . Дійсно, з визначення твору вектора на число випливає . Тому, виходячи з правила рівності векторів, запишемо , , , звідки випливає . Але вектор , що у результаті множення вектора на число , колінеарен вектору .

Вектор проекції на вектор:

.

Приклад 4. Дано крапки , , , .

Знайти скалярний твір.

Рішення. знайдемо за формулою скалярного добутку векторів, поставлених своїми координатами. Оскільки

, ,

Приклад 5.Дано крапки , , , .

Знайти проекцію.

Рішення. Оскільки

, ,

На підставі формули проекції, маємо

.

Приклад 6.Дано крапки , , , .

Знайти кут між векторами та .

Рішення. Зауважимо, що вектор

, ,

не є колінеарними, оскільки не пропорційні їх координати:

.

Ці вектори є також перпендикулярними, оскільки їх скалярний добуток .

Знайдемо,

Кут знайдемо з формули:

.

Приклад 7.Визначити за яких векторів і колінеарні.

Рішення. У разі колінеарності відповідні координати векторів і повинні бути пропорційними, тобто:

.

Звідси і.

Приклад 8. Визначити, за якого значення вектора і перпендикулярні.

Рішення. Вектор і перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. На цьому умови отримуємо: . Стало бути, .

Приклад 9. Знайти , якщо , , .

Рішення. В силу властивостей скалярного твору маємо:

Приклад 10. Знайдіть кут між векторами і , де і - одиничні вектори і кут між векторами дорівнює 120о.

Рішення. Маємо: , ,

Остаточно маємо: .

5.б. Векторний витвір.

Визначення 21.Векторним творомвектора на вектор називається вектор , або , який визначається наступними трьома умовами:

1) Модуль вектора дорівнює , де - Кут між векторами і , тобто. .

Звідси випливає, що модуль векторного твору чисельно дорівнює площіпаралелограма, побудованого на векторах та як на сторонах.

2) Вектор перпендикулярний кожному із векторів і ( ; ), тобто. перпендикулярний площині паралелограма, побудованого на векторах і .

3) Вектор спрямований так, що якщо дивитися з його кінця, то найкоротший поворот від вектора до вектора був би проти годинникової стрілки (вектори, утворюють праву трійку).

Як визначити кути між векторами?

При вивченні геометрії чимало питань виникає на тему векторів. Особливі труднощі учень відчуває за необхідності знайти кути між векторами.

Основні терміни

Перед тим як розглядати кути між векторами необхідно ознайомитися з визначенням вектора і поняттям кута між векторами.

Вектором називають відрізок, що має напрямок, тобто відрізок, для якого визначено його початок та кінець.

Кутом між двома векторами на площині, що мають загальний початок, називають менший з кутів, на величину якого потрібно перемістити один із векторів навколо загальної точки, до положення, коли їх напрямки збігаються.

Формула для вирішення

Зрозумівши, що являє собою вектор і як визначається його кут, можна обчислити кут між векторами. Формула рішення для цього досить проста, і результатом її застосування буде значення косинуса кута. Згідно з визначенням, він дорівнює приватному скалярному твору векторів та твору їх довжин.

Скалярний добуток векторів вважається як сума помножених один на одного відповідних координат векторів-співмножників. Довжина вектора або його модуль обчислюється як квадратний корінь із суми квадратів його координат.

Отримавши значення косинуса кута, обчислити величину самого кута можна за допомогою калькулятора або скориставшись тригонометричною таблицею.

приклад

Після того, як ви розберетеся з тим, як обчислити кут між векторами, розв'язання відповідного завдання стане простим і зрозумілим. Як приклад варто розглянути нескладне завдання про знаходження величини кута.

Насамперед зручніше обчислити необхідні рішення значення довжин векторів та його скалярного твори. Скориставшись описом, наведеним вище, отримаємо:

Підставивши отримані значення формулу, обчислимо значення косинуса шуканого кута:

Це число не є одним із п'яти поширених значень косинуса, тому для отримання величини кута доведеться скористатися калькулятором або тригонометричною таблицею Брадіса. Але перед тим, як отримати кут між векторами, формула може бути спрощена, щоб позбавитися зайвого негативного знака:

Підсумкову відповідь для збереження точності можна залишити в такому вигляді, а можна визначити значення кута в градусах. За таблицею Брадіса його величина становитиме приблизно 116 градусів та 70 хвилин, а калькулятор покаже значення 116,57 градуса.

Обчислення кута в n-мірному просторі

При розгляді двох векторів у тривимірному просторі, зрозуміти, про який кут йде мова набагато складніше, якщо вони не лежать в одній площині. Для спрощення сприйняття можна накреслити два відрізки, що перетинаються, які утворюють найменший кут між ними, він і буде шуканим. Незважаючи на наявність третьої координати у векторі, процес того, як обчислюються кути між векторами, не зміниться. Обчисліть скалярний твір і модулі векторів, арккосинус їхнього приватного і буде відповіддю на це завдання.

У геометрії нерідко зустрічаються завдання з просторами, що мають більше трьох вимірів. Але й їм алгоритм знаходження відповіді виглядає аналогічно.

Різниця між 0 та 180 градусами

Одна з поширених помилок при написанні відповіді на задачу, розраховану на те, щоб обчислити кут між векторами, - рішення записати, що вектори паралельні, тобто кут, що шукається, вийшов дорівнює 0 або 180 градусів. Ця відповідь є невірною.

Отримавши за підсумками рішення значення кута 0 градусів, правильною відповіддю буде позначення векторів як сонаправленных, тобто векторів збігатися напрямок. У разі отримання 180 градусів вектори матимуть характер протилежно спрямованих.

Специфічні вектори

Знайшовши кути між векторами, можна зустріти один із особливих типів, крім описаних вище сонаправленных і протилежно спрямованих.

• Декілька векторів паралельних однієї площини називаються компланарними.
• Вектори, однакові за довжиною та напрямком, називаються рівними.
• Вектори, що лежать на одній прямій, незалежно від напрямку, називаються колінеарними.
• Якщо довжина вектора дорівнює нулю, тобто його початок і кінець збігаються, його називають нульовим, і якщо одиниці, то одиничним.

Як знайти кут між векторами?

Допоможіть будь ласка! формулу знаю, а вирахувати не виходить ((
вектор a (8; 10; 4) вектор b (5; -20; -10)

Олександр Титов

Кут між векторами, заданими своїми координатами, знаходиться за стандартним алгоритмом. Спочатку потрібно знайти скалярний добуток векторів a і b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Підставляємо сюди координати даних векторів та вважаємо:
(a, b) = 8 * 5 + 10 * (-20) = 4 * (-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Далі визначаємо довжини кожного із векторів. Довжина або модуль вектора - це квадратний корінь із суми квадратів його координат:
|a| = корінь із (x1^2 + y1^2 + z1^2) = корінь із (8^2 + 10^2 + 4^2) = корінь із (64 + 100 + 16) = корінь із 180 = 6 коренів з 5
|b| = корінь із (x2^2 + y2^2 + z2^2) = корінь із (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = корінь із (25 + 400 + 100) = корінь із 525 = 5 коренів із 21.
Розмножуємо ці довжини. Отримуємо 30 коренів із 105.
І нарешті, ділимо скалярний добуток векторів на добуток довжин цих векторів. Отримуємо, -200/(30 коренів зі 105) або
- (4 кореня зі 105) / 63. Це - косинус кута між векторами. А сам кут дорівнює арккосинусу з цього числа
ф = arccos (-4 кореня зі 105) / 63.
Якщо я все правильно порахував.

Як обчислити синус кута між векторами за координатами векторів

Михайло ткачов

Помножуємо ці вектори. Їх скалярний добуток дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Кут нам невідомий, натомість відомі координати.
Математично запишемо це так.
Нехай дані вектора a(x1;y1) і b(x2;y2)
Тоді

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Розмірковуємо.
a*b-скалярний добуток векторів, що дорівнює сумі творів відповідних координат координат цих векторів, тобто дорівнює x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-твор довжин векторів, дорівнює √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Отже, косинус кута між векторами дорівнює:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Знаючи косинус кута, можемо обчислити його синус. Розмірковуємо, як це зробити:

Якщо косинус кута позитивний, це кут лежить в 1 або 4 чверті, значить його синус або позитивний, або негативний. Але оскільки кут між векторами-менше або дорівнює 180 градусів, то його синус - позитивний. Аналогічно міркуємо, якщо косинус – негативний.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Ось так)))) удачі розібратися)))

Дмитро левищів

Те, що прямо синус не можна – це неправда.
Крім формули:
(a, b) = | a | * | b | * cos A
Є ще й така:
||=|a|*|b|*sin A
Тобто замість скалярного добутку можна взяти модуль векторного добутку.