Як виміряти площу півкола. Площа кола: формула. Чому дорівнює площа кола, описаного та вписаного у квадрат, прямокутний та рівнобедрений трикутник, прямокутну, рівнобедрену трапецію
Кола вимагають більш акуратного підходу і зустрічаються в завданнях B5 набагато рідше. Разом з тим, загальна схемарішення навіть простіше, ніж у випадку із багатокутниками (див. урок «Площі багатокутників на координатній сітці»).
Все, що потрібно в таких завданнях - знайти радіус кола R . Потім можна обчислити площу кола за формулою S = πR 2 . З цієї формули також випливає, що для вирішення достатньо знайти R2.
Щоб знайти зазначені величини, достатньо вказати на коло точку, що лежить на перетині ліній сітки. А потім скористатися теоремою Піфагора. Розглянемо конкретні прикладиобчислення радіусу:
Завдання. Знайти радіуси трьох кіл, зображених на малюнку:
Виконаємо додаткові побудови у кожному колі:
У кожному випадку точка B вибрана на колі таким чином, щоб лежати на перетині ліній сітки. Точка C в колах 1 та 3 доповнюють фігуру до прямокутного трикутника. Залишилось знайти радіуси:
Розглянемо трикутник ABC у першому колі. За теоремою Піфагора: R2 = AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 22 = 8.
Для другого кола все очевидно: R = AB = 2.
Третій випадок аналогічний першому. З трикутника ABC з теореми Піфагора: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Тепер ми знаємо, як шукати радіус кола (або хоча б його квадрат). Отже, можемо знайти площу. Зустрічаються завдання, де потрібно знайти площу сектора, а чи не всього кола. У таких випадках легко з'ясувати, яку частину кола складає цей сектор, і таким чином знайти площу.
Завдання. Знайти площу S зафарбованого сектора. У відповіді вкажіть S/π.
Очевидно, що сектор становить одну чверть кола. Отже, S = 0,25 · S кола.
Залишається знайти S кола – площа кола. Для цього виконаємо додаткову побудову:
Трикутник ABC – прямокутний. За теоремою Піфагора маємо: R2 = AB2 = AC2 + BC2 = 22 + 22 = 8.
Тепер знаходимо площі кола та сектора: S кола = πR 2 = 8π; S = 0,25 · S кола = 2π.
Нарешті, потрібна величина дорівнює S /π = 2.
Площа сектора при невідомому радіусі
Це абсолютно новий типзавдань, нічого подібного у 2010-2011 роках не було. За умовою, нам дано коло певної площі (саме площі, а не радіусу!). Потім усередині цього кола виділяється сектор, площу якого потрібно знайти.
Хороша новина полягає в тому, що подібні завдання – найлегші з усіх завдань на площі, які бувають у ЄДІ з математики. До того ж, коло та сектор завжди поміщається на координатну сітку. Тому, щоб навчитися вирішувати такі завдання, просто погляньте на картинку:
Нехай вихідне коло має площу S кола = 80. Тоді його можна розділити на два сектори площею S = 40 кожен (див. 2 крок). Аналогічно, кожен із цих секторів-«половинок» можна знову розділити навпіл - отримаємо чотири сектори площею S = 20 кожен (див. 3 крок). Нарешті, можна розділити кожен із цих секторів ще на два – отримаємо 8 секторів-«ошметків». Площа кожного із цих «ошметків» складе S = 10.
Зверніть увагу: дрібнішого розбиття в жодному завданні ЄДІ з математики немає! Таким чином, алгоритм розв'язання задачі B-3 наступний:
- Розрізати вихідне коло на 8 секторів-«ошметків». Площа кожного з них становить рівно 1/8 частину площі всього кола. Наприклад, якщо за умовою коло має площу S кола = 240, то «ошметки» мають площу S = 240: 8 = 30;
- З'ясувати, скільки «ошметків» міститься у вихідному секторі, площу якого потрібно знайти. Наприклад, якщо в нашому секторі міститься 3 «ошметки» площею 30, то площа сектора, що шукається, дорівнює S = 3 · 30 = 90. Це і буде відповідь.
От і все! Завдання вирішується практично усно. Якщо все одно щось незрозуміло, купіть піцу і поріжте її на 8 шматків. Кожен такий шматок буде тим самим сектором-«ошметком», які можна об'єднати у більші шматки.
А тепер розберемо приклади із пробного ЄДІ:
Завдання. На картатому папері намальовано коло, площа якого дорівнює 40. Знайдіть площу заштрихованої фігури.
Отже, площа кола дорівнює 40. Розділимо його на 8 секторів – кожен площею S = 40: 5 = 8. Отримаємо:
Очевидно, зафарбований сектор складається з двох секторів-«ошметків». Отже, його площа дорівнює 2 · 5 = 10. Ось і все рішення!
Завдання. На картатому папері намальовано коло, площа якого дорівнює 64. Знайдіть площу заштрихованої фігури.
Знову розділимо все коло на 8 рівних секторів. Очевидно, що площу одного з них якраз і потрібно знайти. Отже, його площа дорівнює S = 64: 8 = 8.
Завдання. На картатому папері намальовано коло, площа якого дорівнює 48. Знайдіть площу заштрихованої фігури.
Знову розділимо коло на 8 рівних секторів. Площа кожного з них дорівнює S = 48: 8 = 6. У секторі, що шукається, міститься рівно три сектори-«ошметка» (див. малюнок). Отже, площа сектора, що шукається, дорівнює 3 · 6 = 18.
У геометрії кругомназивається деяка безліч усіх точок на площині, які віддалені від однієї точки, званої його центром, на відстань, не більше заданого, званого його радіусом. При цьому зовнішнім кордоном кола є коло, а в тому випадку, якщо довжина радіуса дорівнює нулю, коловироджується у крапку.
Визначення площі кола
За потреби площа коламожна обчислити за такою формулою:
| S | πr 2 | D 2 |
r- радіус кола
D- Діаметр кола
S- площа кола
π - 3.14
Ця геометрична фігурадуже часто зустрічається як у техніці, так і в архітектурі. Конструктори машин і механізмів розробляють різні деталі, перерізи багатьох з яких є саме коло. Наприклад, такими є вали, штоки, тяги, циліндри, осі, поршні і таке інше. При виготовленні цих деталей використовуються заготівлі з різних матеріалів(металів, деревини, пластичних мас), їх перерізи також є саме коло. Зрозуміло, що розробникам нерідко доводиться обчислювати площа колачерез діаметр або радіус, використовуючи для цієї мети нескладні математичні формуливідкриті ще в давнину.
Саме тоді круглі елементистали активно та широко використовуватися в архітектурі. Один з найяскравіших прикладів – цирк, що є різновидом будівель, призначених для проведення в них різних видовищних заходів. Їхні арени мають форму кола, а вперше вони почали будуватися ще за часів античності. Саме слово « circus» у перекладі з латинської мовиозначає « коло». Якщо в давнину в цирках йшли театральні постановкиі проводилися бої гладіаторів, то зараз вони є місцем, де практично виключно проводяться циркові вистави за участю дресирувальників, акробатів, фокусників, клоунів і т.д. Стандартний діаметрциркової арени становить 13 метрів, причому це зовсім не випадково: річ у тому, що саме він забезпечує мінімально необхідні геометричні параметриманежу, яким циркові коні можуть бігати по колу галопом. Якщо вирахувати площа колачерез діаметр, то вийде, що з циркової арени ця величина становить 113,04 квадратних метра.
Архітектурними елементами, які можуть набувати форми кола, є вікна. Звичайно, у більшості випадків вони прямокутні або квадратні (причому багато в чому завдяки тому, що це простіше як для зодчих, так і для будівельників), але в деяких будинках можна зустріти і круглі вікна. Більше того, у таких транспортних засобах, як повітряні, морські та річкові суднавони найчастіше саме такі.
Не є рідкістю використання круглих елементів для виробництва меблів, наприклад столів і стільців. Існує навіть поняття « круглий стіл », що має на увазі конструктивну дискусію, в ході якої відбувається всебічне обговорення різних важливих проблемта виробляється шляхи їх вирішення. Що стосується виготовлення самих стільниць, що мають круглу форму, то їх виробництва застосовуються спеціалізовані інструменти та устаткування, за умови участі робітників з досить високою кваліфікацією.
Як знайти площу кола? Спочатку знайдіть радіус. Вчіться вирішувати прості та складні завдання.
Коло - це замкнута крива. Будь-яка точка на лінії кола буде знаходитись на однаковій відстані від центральної точки. Коло - це плоска фігураТому вирішувати завдання зі знаходженням площі просто. У цій статті ми розглянемо, як знайти площу кола, вписаного в трикутник, трапецію, квадрат і описаного біля цих фігур.
Щоб знайти площу даної фігури, потрібно знати, що таке радіус, діаметр і π.
Радіус R- Це відстань, обмежена центром кола. Довжини всіх R-радіусів одного кола будуть рівними.
Діаметр D— це лінія між двома будь-якими точками кола, що проходить через центральну точку. Довжина цього відрізка дорівнює довжині R-радіусу, помноженої на 2.
Число π- Це постійна величина, що дорівнює 3,1415926. У математиці зазвичай це число округляється до 3,14.
Формула знаходження площі кола через радіус:
Приклади вирішення завдань знаходження S-площі кола через R-радіус:
Завдання:Знайдіть площу кола, якщо її радіус дорівнює 7 см.
Рішення: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 см².
Відповідь:Площа кола дорівнює 153,86 см ².
Формула знаходження S-площі кола через D-діаметр:
Приклади вирішення завдань знаходження S, якщо відомий D:
————————————————————————————————————————-
Завдання:Знайдіть S кола, якщо його D дорівнює 10 см.
Рішення: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 см².
Відповідь:Площа плоскої круглої фігури дорівнює 78,5 см ².
Знаходження S кола, якщо відома довжина кола:
Спочатку знаходимо, чому дорівнює радіус. Довжина кола розраховується за формулою: L=2πR, відповідно радіус R дорівнюватиме L/2π. Тепер знаходимо площу кола за формулою через R.
Розглянемо рішення з прикладу завдання:
———————————————————————————————————————-
Завдання:Знайдіть площу кола, якщо відома довжина кола L — 12 см.
Рішення:Спочатку знаходимо радіус: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.
Тепер знаходимо площу через радіус: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 см².
Відповідь:Площа кола дорівнює 11,46 см ².
Знайти площу кола, вписаного в квадрат просто. Сторона квадрата – це діаметр кола. Щоб знайти радіус, потрібно розділити бік на 2.
Формула знаходження площі кола, вписаного у квадрат:
Приклади розв'язання задач щодо знаходження площі кола, вписаного у квадрат:
———————————————————————————————————————
Завдання №1:Відома сторона квадратної фігури, що дорівнює 6 сантиметрів. Знайдіть S-площу вписаного кола.
Рішення: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 см².
Відповідь:Площа плоскої круглої фігури дорівнює 28,26 см ².
————————————————————————————————————————
Завдання №2: Знайдіть S кола, вписаного в квадратну фігуру та його радіус, якщо одна сторона дорівнює a=4 см.
Вирішуйте так: Спочатку знайдемо R=a/2=4/2=2 см.
Тепер знайдемо площу кола S=3,14*2²=3,14*4=12,56 см².
Відповідь:Площа плоскої круглої фігури дорівнює 12,56 см.
Трохи складніше знаходити площу круглої фігури, що описана біля квадрата. Але, знаючи формулу, можна швидко підрахувати це значення.
Формула знаходження S кола, описаного біля квадратної фігури:
Приклади розв'язання завдань щодо знаходження площі кола, описаної біля квадратної фігури:
Завдання
Окружність, яка вписана в трикутну фігуру, - це коло, яке стосується всіх трьох сторін трикутника. У будь-яку трикутну фігуру можна вписати коло, але лише одне. Центром кола буде точка перетину бісектрис кутів трикутника.
Формула знаходження площі кола, вписаного в рівнобедрений трикутник:
Коли відомий радіус, площу можна обчислити за такою формулою: S=πR².
Формула знаходження площі кола, вписаного в прямокутний трикутник:
Приклади вирішення завдань:
Завдання №1
Якщо у цій задачі потрібно знайти ще й площу кола з радіусом 4 см, то зробити це можна за формулою: S=πR²
Завдання №2
Рішення:
Тепер, коли відомий радіус, можна знайти площу кола через радіус. Формулу дивіться вище за текстом.
Завдання №3
Площа кола, описаного біля прямокутного та рівнобедреного трикутника: формула, приклади розв'язання задач
Усі формули знаходження площі кола зводяться до того, що спочатку потрібно знайти його радіус. Коли відомий радіус, то знайти площу просто, як було описано вище.
Площа кола, описаного біля прямокутного та рівнобедреного трикутника знаходиться за такою формулою:
Приклади розв'язання задач:
Ось ще приклад вирішення задачі з використанням формули Герона.
Вирішувати подібні завдання складно, але їх можна подужати, якщо знати усі формули. Такі завдання школярі вирішують у 9 класі.
Площа кола, вписаного в прямокутну та рівнобедрену трапецію: формула, приклади розв'язання задач
У рівнобедреної трапеції дві сторони рівні. У прямокутної трапеції один кут дорівнює 90 º. Розглянемо, як знайти площу кола, вписаного в прямокутну і рівнобедрену трапеціюз прикладу рішення задач.
Наприклад, рівнобедрену трапецію вписано коло, яка в точці торкання ділить одну сторону на відрізки m і n.
Для вирішення цього завдання потрібно використовувати такі формули:
Знаходження площі кола, вписаної у прямокутну трапецію, провадиться за такою формулою:
Якщо відома бічна сторона, можна знайти радіус через це значення. Висота збоку трапеції дорівнює діаметру кола, а радіус - це половина діаметра. Відповідно, радіус дорівнює R=d/2.
Приклади розв'язання задач:
Трапецію можна вписати в коло, коли сума її протилежних кутів дорівнює 180 º. Тому вписати можна лише рівнобічну трапецію. Радіус для обчислення площа кола, описаного біля прямокутної або рівнобедреної трапеції, розраховується за такими формулами:
Приклади розв'язання задач:
Рішення:Велика основа в даному випадкупроходить через центр, оскільки в коло вписано рівнобедрену трапецію. Центр ділить цю основу рівно навпіл. Якщо основа АВ дорівнює 12, тоді радіус R можна знайти так: R=12/2=6.
Відповідь:Радіус дорівнює 6.
У геометрії важливо знати формули. Але їх неможливо запам'ятати, тому навіть на багатьох іспитах дозволяється користуватися спеціальним формуляром. Однак важливо вміти знаходити правильну формулудля вирішення того чи іншого завдання. Тренуйтеся у вирішенні різних завдань на знаходження радіусу та площі кола, щоб вміти правильно підставляти формули та отримувати точні відповіді.
Відео: Математика | Обчислення площ кола та його частин
Калькулятор кола - це сервіс спеціально розроблений для розрахунку геометричних розмірів фігур онлайн. Завдяки даному сервісу Ви без проблем зможете визначити будь-який параметр фігури, в основі якої лежить коло. Наприклад: Ви знаєте обсяг кулі, а необхідно отримати її площу. Немає нічого простішого! Виберіть відповідний параметр, введіть числове значення та натисніть кнопку розрахувати. Сервіс як видає результати обчислень, а й надає формули, якими вони зроблено. За допомогою нашого сервісу ви легко розрахуєте радіус, діаметр, довжину кола (периметр кола), площу кола і кулі, об'єм кулі.
Обчислити радіус
Завдання на обчислення значення радіусу – одне з найпоширеніших. Причина тому досить проста, адже знаючи цей параметр, ви без особливої працізможете визначити значення будь-якого іншого параметра кола чи кулі. Наш сайт побудований саме на такій схемі. Незалежно від того, який ви вибрали вихідний параметр, насамперед обчислюється значення радіусу і на його основі будуються всі наступні обчислення. Для більшої точності обчислень сайт використовує число Пі з округленням до 10-го знака після коми.
Розрахувати діаметр
Розрахунок діаметра - найпростіший вид розрахунку з тих, що вміє виконувати наш калькулятор. Отримати значення діаметра дуже легко і вручну, при цьому зовсім не потрібно вдаватися до допомоги інтернету. Діаметр дорівнює значеннюрадіусу помноженому на 2. Діаметр – найважливіший параметркола, який надзвичайно часто використовується в повсякденному житті. Вміти його правильно розрахувати та використовувати має абсолютно кожен. Скориставшись можливостями нашого сайту, ви обчислите діаметр із великою точністю за частки секунди.
Дізнатися довжину кола
Ви навіть не уявляєте, як багато навколо нас круглих об'єктів та яку важливу рольвони грають у нашому житті. Вміння розрахувати довжину кола необхідно всім, від рядового водія, до провідного інженера-проектувальника. Формула для обчислення довжини кола дуже проста: D = 2Pr. Розрахунок можна легко провести як на аркуші паперу, так і за допомогою даного інтернетпомічника. Перевага останнього полягає в тому, що він проілюструє всі обчислення малюнками. І до того ж, другий спосіб набагато швидше.
Обчислити площу кола
Площа кола – як і всі перелічені у цій статті параметри є основою сучасної цивілізації. Вміти розрахувати та знати площу кола корисно всім без винятку верствам населення. Важко уявити галузь науки і техніки, в якій не треба було б знати площу кола. Формула для обчислення знову ж таки неважка: S = PR 2 . Ця формула та наш онлайн-калькулятор допоможуть Вам без зайвих зусиль дізнатися площу будь-якого кола. Наш сайт гарантує високу точністьобчислень та їх блискавичне виконання.
Розрахувати площу кулі
Формула для розрахунку площі кулі анітрохи не складніше формул, описаних у попередніх пунктах S = 4Pr 2 . Цей нехитрий набір букв і цифр уже багато років дає людям можливість досить точно обчислювати площу кулі. Де це може бути використано? Та скрізь! Наприклад, ви знаєте, що площа земної кулідорівнює 510 100 000 квадратних кілометрів. Перераховувати, де може бути застосоване знання цієї формули, перераховувати марно. Занадто широка сфера застосування формули для обчислення площі кулі.
Обчислити об'єм кулі
Для обчислення об'єму кулі використовують формулу V=4/3(Pr 3). Вона була використана при створенні нашого онлайн сервісу. Сайт сайт дає можливість розрахувати обсяг кулі за лічені секунди, якщо ви відомі будь-яким з наступних параметрів: радіус, діаметр, довжина кола, площа кола або площа кулі. Так само ви можете застосовувати його для зворотного обчисленнянаприклад, щоб знаючи об'єм кулі, отримати значення його радіуса або діаметра. Дякую, що коротко ознайомились із можливостями нашого калькулятора кола. Сподіваємось, Вам у нас сподобалося, і ви вже додали сайт до закладок.
