Формула інтегрування частинами. Складні інтеграли
Приклади інтегрування частинами подібного складу задають студентам 1, 2 курсів. Дані завдання ставили на контрольній роботі у ЛНУ ім. І. Франка. Щоб формули у завданнях і відповідях не повторювалися завдання описувати не будемо. За умовою завдань потрібно або "Знайти інтеграл", або "Обчислити інтеграл".
Приклад 8. Інтеграл знаходимо за правилом інтегрування частинами int(u*dv)=u*v-int(v*du). Тут головне правильно вибрати функції під правило. (Для себе запам'ятайте, що за dv якщо можливо вибирають періодичні функції або такі, які при диференціюванні з точністю до множника дають самі себе - експонента). У цьому інтегралі синус внести під диференціал
Подальше інтегрування досить просте і на деталях зупинятись не будемо. 
Приклад 9. Знову потрібно застосовувати правило інтегрування частинами u*dv . Тут маємо твір періодичної функціїна експоненту, тому що краще вносити під диференціал вибирати Вам. Можна як експоненту, і косинус (у кожному варіанті отримаємо рекурентну формулу). 
Застосовуємо інтегрування частинами повторно 
Прийшли до рекурентної формули. Якщо записати інтеграл який шукали і результат обчислень то отримаємо два подібні доданки
Групуємо їх і знаходимо шуканий інтеграл
Приклад 10. Маємо готовий запис інтеграла під правилом u*dv. Знаходимо du та виконуємо інтегрування 
Зводимо другий інтеграл під табличну формулу та обчислюємо його 
Приклад 11. Позначимо за нову змінну cos(ln(x))=u і знайдемо du, потім внесенням під диференціал 
До інтегралу повторно застосовуємо правило інтегрування частинами 
Прийшли до рекурентної формули
з якою і обчислюємо невідомий інтеграл
Приклад 12. Для знаходження інтеграла виділимо у знаменнику повний квадрат. Далі звівши знаменник до відомою формулоюінтегрування отримаємо арктангенс 
Добре запам'ятайте порядок чергування множників. Одиниця розділена на корінь із вільного члена фігурує перед арктангенсом, також цей множник присутній у арктангенсі перед змінною.
Приклад 13. Справу маємо з подібним інтегралом, лише у знаменнику квадратична залежність перебуває під коренем. Виділяємо повний квадрат і зводимо під формулу інтегрування, що дає логарифм 
Ось такі бувають приклади на контрольній чи тестах. Добре запам'ятайте основні схеми інтегрування.
Якщо не можете вирішити інтеграл самі, звертайтеся за допомогою.
Рішення інтегралів – завдання легке, але тільки для обраних. Ця стаття для тих, хто хоче навчитися розуміти інтеграли, але не знає про них нічого чи майже нічого. Інтеграл... Навіщо він потрібний? Як його обчислювати? Що таке певний та невизначений інтеграли? Якщо єдине відоме вам застосування інтеграла – діставати гачком у формі значка інтеграла щось корисне з важкодоступних місць, Тоді ласкаво просимо! Дізнайтеся, як вирішувати інтеграли і чому без цього не можна обійтися.
Вивчаємо поняття "інтеграл"
Інтегрування було відоме ще в Стародавньому Єгипті. Звичайно, не в сучасному вигляді, але все ж. З того часу математики написали дуже багато книг на цю тему. Особливо відзначилися Ньютон і Лейбніц але суть речей не змінилася. Як зрозуміти інтеграли з нуля? Ніяк! Для розуміння цієї теми все одно знадобляться базові знанняоснов математичного аналізу. Відомості про , необхідні і для розуміння інтегралів, вже є у нас у блозі.
Невизначений інтеграл
Нехай у нас є якась функція f(x) .
Невизначеним інтегралом функції f(x) називається така функція F(x) , похідна якої дорівнює функції f(x) .
Тобто інтеграл - це похідна навпаки або первинна. До речі, про те, як читайте у нашій статті.
Первісна існує для всіх безперервних функцій. Також до первісної часто додають символ константи, оскільки похідні функцій, що різняться на константу, збігаються. Процес знаходження інтеграла називається інтегруванням.
Простий приклад:
Щоб постійно не вираховувати первісні елементарних функцій, їх зручно звести до таблиці та користуватися вже готовими значеннями:
Визначений інтеграл
Маючи справу з поняттям інтеграла, ми маємо справу з нескінченно малими величинами. Інтеграл допоможе обчислити площу фігури, масу неоднорідного тіла, пройдений при нерівномірному русі шлях та багато іншого. Слід пам'ятати, що інтеграл – це нескінченно сума великої кількостінескінченно малих доданків.
Як приклад уявімо графік якоїсь функції. Як знайти площу фігури, обмеженою графікомфункції?
За допомогою інтегралу! Розіб'ємо криволінійну трапецію, обмежену осями координат та графіком функції, на нескінченно малі відрізки. Таким чином фігура виявиться розділена на тонкі стовпчики. Сума площ стовпчиків і становитиме площу трапеції. Але пам'ятайте, що таке обчислення дасть зразковий результат. Однак що менше і вже будуть відрізки, то точніше буде обчислення. Якщо ми зменшимо їх настільки, що довжина буде прагнути до нуля, то сума площ відрізків буде прагнути до площі фігури. Це і є певний інтеграл, який записується так:
Точки а та b називаються межами інтегрування.
Барі Алібасов та гурт "Інтеграл" До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на
Правила обчислення інтегралів для чайників
Властивості невизначеного інтегралу
Як вирішувати невизначений інтеграл? Тут ми розглянемо властивості не певного інтегралу, які стануть у нагоді при вирішенні прикладів.
- Похідна від інтеграла дорівнює підінтегральній функції:
- Константу можна виносити з-під знаку інтеграла:
- Інтеграл від суми дорівнює суміінтегралів. Правильно також для різниці:
Властивості певного інтегралу
- Лінійність:
- Знак інтеграла змінюється, якщо поміняти місцями межі інтегрування:
- При будь-якихточках a, bі з:
Ми вже з'ясували, що певний інтеграл – це межа суми. Але як отримати конкретне значення під час вирішення прикладу? Для цього існує формула Ньютона-Лейбніца:
Приклади вирішення інтегралів
Нижче розглянемо кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів. Пропонуємо самостійно розібратися у тонкощах рішення, а якщо щось незрозуміло, ставте запитання у коментарях.
Для закріплення матеріалу перегляньте відео про те, як вирішуються інтеграли на практиці. Не впадаєте у відчай, якщо інтеграл не дається відразу. Зверніться до професійного сервісу для студентів, і будь-який потрійний чи криволінійний інтеграл по замкнутій поверхні стане вам під силу.
У цій темі ми детально поговоримо про обчислення невизначених інтегралів за допомогою так званої "формули інтегрування частинами". Нам знадобиться таблиця невизначених інтегралів та таблиця похідних. У першій частині будуть розібрані стандартні приклади, які переважно зустрічаються в типових розрахунках і контрольні роботи. Більше складні прикладирозібрані у другій частині.
Постановка завдання у стандартному випадку така. Допустимо, під інтегралом у нас розташовані дві функції різної природи: багаточлен та тригонометрична функція, багаточлен та логарифм, багаточлен та зворотна тригонометрична функція і так далі. У цій ситуації вигідно відокремити одну функцію від іншої. Грубо кажучи, має сенс розбити підінтегральний вираз на частини - і розібратися з кожною частиною окремо. Звідси і назва: "інтегрування частинами". Застосування цього методу ґрунтується на наступній теоремі:
Нехай функції $u(x)$ і $v(x)$ диференціюються на деякому проміжку, і на цьому проміжку існує інтеграл $\int v \; du$. Тоді на цьому ж проміжку існує й інтеграл $int u; dv$, при цьому вірна наступна рівність:
\begin(equation) \int u \; dv=u\cdot v-\int v\; du \end(equation)
Формулу (1) і називають "формулою інтегрування частинами". Іноді, застосовуючи вищезгадану теорему, говорять про використання "методу інтегрування частинами". Нам буде важливою є суть цього методу, яку й розглянемо на прикладах. Існує кілька стандартних випадків, у яких явно застосовується формула (1). Саме ці випадки стануть темою даної сторінки. Нехай $P_n(x)$ - багаточлен n-йступеня. Введемо два правила:
Правило №1
Для інтегралів виду $\int P_n(x) \ln x \;dx$, $\int P_n(x) \arcsin x \;dx$, $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, $\ int P_n(x)\arctg x \;dx$, $\int P_n(x) \arcctg x \;dx$ приймаємо $dv=P_n(x)dx$.
Правило №2
Для інтегралів виду $\int P_n(x) a^x \;dx$ ($a$ - деяке додатне число), $\int P_n(x) \sin x \;dx$, $\int P_n(x) \cos x \;dx$, $\int P_n(x)ch x \;dx$, $\int P_n (x) sh x \;dx$ приймаємо $u=P_n(x)$.
Відразу зазначу, що вищезазначені записи не потрібно сприймати буквально. Наприклад, в інтегралах виду $\int P_n(x) \ln x \;dx$ не обов'язково стоятиме саме $\ln x$. Там можуть бути розташовані і $ln 5x$, і $ln (10x^2+14x-5)$. Тобто. запис $\ln x$ потрібно сприймати як свого роду узагальнення.
Ще один момент. Буває, що формулу інтегрування частинами доводиться застосовувати кілька разів. Про це поговоримо докладніше у прикладах №4 та №5. Тепер перейдемо безпосередньо до вирішення типових завдань. Розв'язання завдань, рівень яких трохи вищий за стандартні, розбирається в другій частині .
Приклад №1
Знайти $\int (3x+4) \cos(2x-1)\; dx$.
Під інтегралом розташований багаточлен $3x+4$ та тригонометрична функція $\cos (2x-1)$. Це класичний випадок застосування формули , тому візьмемо заданий інтеграл частинами. Формула вимагає, щоб інтеграл $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx$ був представлений у формі $\int u\; dv$. Нам потрібно вибрати вирази для $u$ і $dv$. Можна як $u$ прийняти $3x+4$, тоді $dv=\cos (2x-1)dx$. Можна взяти $u=\cos (2x-1)$, тоді $dv=(3x+4)dx$. Щоб зробити правильний вибірзвернемося до . Заданий інтеграл $\int (3x+4) \cos(2x-1)\; dx$ підпадає під вигляд $\int P_n(x) \cos x \;dx$ (багаточлен $P_n(x)$ у нашому інтегралі має вигляд $3x+4$). Відповідно потрібно вибрати $u=P_n(x)$, тобто. у нашому випадку $u=3x+4$. Оскільки $u=3x+4$, то $dv=\cos(2x-1)dx$.
Однак недостатньо просто вибрати $u$ та $dv$. Нам ще знадобляться значення $du$ та $v$. Оскільки $u=3x+4$, то:
$$ du=d(3x+4)=(3x+4)"dx=3dx.$$
Тепер розберемося з функцією $v$. Оскільки $dv=\cos(2x-1)dx$, то згідно з визначенням невизначеного інтеграла маємо: $ v=\int \cos(2x-1)\; dx$. Щоб знайти потрібний інтеграл застосуємо внесення під знак диференціала:
$ $ v = \ int \ cos (2x-1) \; dx=\frac(1)(2)\cdot \int \cos(2x-1)d(2x-1)=\frac(1)(2)\cdot \sin(2x-1)+C=\frac (\sin(2x-1))(2)+C. $$
Однак нам потрібно не все безліч функцій $v$, яке описує формула $\frac(\sin(2x-1))(2)+C$. Нам потрібна якась однафункція з цієї множини. Щоб отримати потрібну функцію потрібно замість $ C $ підставити якесь число. Найпростіше, очевидно, підставити $C=0$, отримавши у своїй $v=\frac(\sin(2x-1))(2)$.
Отже, зберемо все вищевикладене воєдино. Ми маємо: $u=3x+4$, $du=3dx$, $dv=\cos(2x-1)dx$, $v=\frac(\sin(2x-1))(2)$. Підставляючи все це в праву частинуформули матимемо:
$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=(3x+4)\cdot\frac(\sin(2x-1))(2)-\int \frac(\sin(2x-1))(2)\cdot 3dx. $$
Залишилося, по суті, тільки знайти $int=frac(sin(2x-1))(2)cdot 3dx$. Виносячи константу (тобто $\frac(3)(2)$) за знак інтеграла і застосовуючи метод внесення під знак диференціала , отримаємо:
$$ (3x+4)\cdot \frac(\sin(2x-1))(2)-\int \frac(\sin(2x-1))(2)\cdot 3dx= \frac((3x+ 4)\cdot\sin(2x-1))(2)-\frac(3)(2)\int \sin(2x-1) \;dx= \\ =\frac((3x+4)\cdot \sin(2x-1))(2)-\frac(3)(4)\int \sin(2x-1) \;d(2x-1)= \frac((3x+4)\cdot\sin (2x-1))(2)-\frac(3)(4)\cdot (-\cos (2x-1))+C=\\ =\frac((3x+4)\cdot\sin(2x -1))(2)+frac(3)(4)cdotcos (2x-1)+C. $$
Отже, $ int (3x +4) \ cos (2x-1) \; dx=frac((3x+4)cdotsin(2x-1))(2)+frac(3)(4)cdotcos(2x-1)+C$. У скороченому вигляді процес рішення записують так:
$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx = \ left | \begin(aligned) & u=3x+4; \; du = 3xdx. \ & dv = \ cos (2x-1) dx; \; v=\frac(\sin(2x-1))(2). \end(aligned) \right |=\\ =(3x+4)\cdot\frac(\sin(2x-1))(2)-\int \frac(\sin(2x-1))(2) \cdot 3dx= \frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)-\frac(3)(2)\int \sin(2x-1) \;dx=\\ = \frac((3x+4)\cdot\sin(2x-1))(2)-\frac(3)(4)\cdot (-\cos (2x-1))+C= \frac((3x +4) cdot sin (2x-1)) (2) + frac (3) (4) cdot cos (2x-1) + C. $$
Невизначений інтеграл частинами знайдено, залишилося лише записати відповідь.
Відповідь: $\int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=frac((3x+4)cdotsin(2x-1))(2)+frac(3)(4)cdotcos(2x-1)+C$.
Гадаю, тут не обійдеться без запитання, тож спробую сформулювати його та дати відповідь.
Чому ми прийняли саме $u=3x+4$ і $dv=\cos(2x-1)dx$? Так, інтеграл було вирішено. Але, можливо, якби ми взяли $u=\cos (2x-1)$ і $dv=(3x+4)dx$ інтеграл теж було б знайдено!
Ні, якщо прийняти $u=\cos (2x-1)$ і $dv=(3x+4)dx$, то нічого хорошого з цього не вийде - інтеграл не спроститься. Судіть самі: якщо $u=\cos(2x-1)$, то $du=(\cos(2x-1))"dx=-2\sin(2x-1)dx$. Крім того, оскільки $ dv=(3x+4)dx$, то:
$$ v=\int (3x+4) \; dx=\frac(3x^2)(2)+4x+C.$$
Прийнявши $C=0$, отримаємо $v=\frac(3x^2)(2)+4x$. Підставимо тепер у формулу знайдені значення $u$, $du$, $v$ і $dv$:
$$ \int (3x+4) \cos (2x-1) \; dx=\cos (2x-1)\cdot \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) - \int \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) \cdot (-2\sin(2x-1)dx)=\\ =\cos (2x-1)\cdot \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) +2\cdot\ int \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) \sin(2x-1)\;dx $$
І чого ми прийшли? Ми прийшли до інтеграла $\int \left(\frac(3x^2)(2)+4x \right) \sin(2x-1)\;dx$, який явно складніший ніж вихідний інтеграл $\int (3x+4 ) \ cos (2x-1) \; dx$. Це говорить про те, що вибір $u$ та $dv$ було зроблено невдало. Після застосування формули інтегрування частинами отриманий інтеграл повинен бути простіше вихідного. Знаходячи невизначений інтеграл частинами ми повинні спрощувати його, а не ускладнювати, тому якщо після застосування формули (1) інтеграл ускладнився, то вибір $u$ і $dv$ здійснено некоректно.
Приклад №2
Знайти $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x\; dx$.
Під інтегралом розташований багаточлен (тобто $3x^4+4x-1$) та $\ln 5x$. Цей випадок підпадає під , тому візьмемо інтеграл частинами. Заданий інтеграл має таку ж структуру, як і інтеграл $\int P_n(x) \ln x\; dx$. Знову, як і в прикладі №1, нам потрібно вибрати якусь частину підінтегрального виразу $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ як $u$, а якусь частину - як $dv$. Відповідно до, потрібно вибрати $dv=P_n(x)dx$, тобто. у разі $dv=(3x^4+4x-1)dx$. Якщо вираз $(3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx$ "вияти" $dv=(3x^4+4x-1)dx$, то залишиться $\ln 5x$ - це і буде функція $u$. Отже, $dv=(3x^4+4x-1)dx$, $u=\ln 5x$. Для застосування формули нам знадобляться $du$ і $v$. Оскільки $u=\ln 5x$, то:
$$ du=d(\ln 5x)=(\ln 5x)"dx=\frac(1)(5x)\cdot 5 dx=\frac(1)(x)dx. $$
Тепер знайдемо функцію $v$. Оскільки $dv=(3x^4+4x-1)dx$, то:
$ $ v = \ int (3x ^ 4 + 4x-1) \; dx=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x+C. $$
З усього знайденого безлічі функцій $\frac(3x^5)(5)+2x^2-x+C$ нам потрібно вибрати одну. А найпростіше це зробити прийнявши $ C = 0 $, тобто. $v=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x$. Для застосування формули все готове. Підставимо в праву частину зазначеної формули значення $u=\ln 5x$, $du=\frac(1)(x)dx$, $v=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x$ і $dv=(3x^4+4x-1)dx$ будемо мати:
$$ \int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx = \ left | \begin(aligned) & u=\ln 5x; \; du=\frac(1)(x)dx.\dv=(3x^4+4x-1)dx; \; v=\frac(3x^5)(5)+2x^2-x. \end(aligned) \right |=\\ =\ln 5x \cdot \left (\frac(3x^5)(5)+2x^2-x \right)-\int \left (\frac(3x^ 5)(5)+2x^2-x \right)\cdot \frac(1)(x)dx=\\ =\left (\frac(3x^5)(5)+2x^2-x \right )\cdot\ln 5x -\int \left (\frac(3x^4)(5)+2x-1 \right)dx=\\ =\left (\frac(3x^5)(5)+2x^ 2-x \right)\cdot\ln 5x - \left (\frac(3x^5)(25)+x^2-x \right)+C=\\ =\left (\frac(3x^5) (5)+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac(3x^5)(25)-x^2+x+C. $$
Відповідь: $\int (3x^4+4x-1) \ln 5x \; dx=\left (\frac(3x^5)(5)+2x^2-x \right)\cdot\ln 5x - \frac(3x^5)(25)-x^2+x+C$.
Приклад №3
Знайти $ \ int \ arccos x \; dx$.
Цей інтеграл має структуру $\int P_n(x) \arccos x \;dx$, що підпадає під . Розумію, що відразу виникне резонне питання: "а де в заданому інтегралі $\int\arccos x \; dx$ сховали багаточлен $P_n(x)$? Там же немає ніякого багаточлена, тільки арккосинус і все!". Однак насправді під інтегралом розташований не лише арккосинус. Я представлю інтеграл $\int arccos x; dx$ у такому вигляді: $\int 1\cdot\arccos x \; dx$. Погодьтеся, що від примноження на одиницю підінтегральний вираз не зміниться. Ось ця одиниця є $P_n(x)$. Тобто. $dv=1\cdot dx=dx$. А як $u$ (згідно з) приймаємо $\arccos x$, тобто. $u=\arccos x$. Значення $du$ і $v$, які беруть участь у формулі, знайдемо так само, як і в попередніх прикладах:
$$ du=(\arccos x)"dx=-\frac(1)(\sqrt(1-x^2))dx;\\v=\int 1\; dx=x+C. $$
Як і попередніх прикладах, вважаючи $C=0$ отримаємо $v=x$. Підставляючи всі знайдені параметри у формулу, матимемо наступне:
$$ \int \arccos x \; dx = \ left | \begin(aligned) & u=\arccos x; \; du=-\frac(1)(\sqrt(1-x^2))dx.\\ dv=dx; \; v = x. \end(aligned) \right |=\\ =\arccos x \cdot x-\int x\cdot \left(-\frac(1)(\sqrt(1-x^2))dx \right)= \ arccos x \cdot x+\int \frac(xdx)(\sqrt(1-x^2))=\\ =x\cdot\arccos x-\frac(1)(2)\cdot\int (1-x ^2)^(-\frac(1)(2))d(1-x^2)= =x\cdot\arccos x-\frac(1)(2)\cdot\frac((1-x^ 2)^(\frac(1)(2)))(\frac(1)(2))+C=\=x\cdot\arccos x-\sqrt(1-x^2)+C. $$
Відповідь: $ \ int \ arccos x \; dx = x cdot arccos x-sqrt (1-x ^ 2) + C $.
Приклад №4
Знайти $ \ int (3x ^ 2 + x) e ^ (7x) \; dx$.
У цьому прикладі формулу інтегрування частинами доведеться застосовувати два рази. Інтеграл $\int (3x^2+x) e^(7x) \; dx$ має структуру $\int P_n(x) a^x \;dx$. У разі $P_n(x)=3x^2+x$, $a=e$. Відповідно маємо: $u=3x^2+x$. Відповідно $dv=e^(7x)dx$.
$$ du=(3x^2+x)"=(6x+1)dx;\v=\int e^(7x)\;dx=\frac(1)(7)\cdot \int e^( 7x)\;d(7x)=\frac(1)(7)\cdot e^(7x)+C=\frac(e^(7x))(7)+C.
Знову-таки, як і попередніх прикладах, вважаючи $C=0$, маємо: $v=\frac(e^(7x))(7)$.
$$ \int (3x^2+x) e^(7x) \; dx = \ left | \begin(aligned) & u=3x^2+x; \; du=(6x+1)dx.\dv=e^(7x)dx; \; v=\frac(e^(7x))(7). \end(aligned) \right |=\\ =(3x^2+x)\cdot\frac(e^(7x))(7)-\int \frac(e^(7x))(7)\cdot (6x+1)dx= \frac((3x^2+x)e^(7x))(7)-\frac(1)(7)\cdot \int (6x+1) e^(7x)\ ;dx. $$
Ми прийшли до інтеграла $\int (6x+1) e^(7x)\;dx$, який знову необхідно брати частинами. Прийнявши $u=6x+1$ і $dv=e^(7x)dx$ будемо мати:
$$ \frac((3x^2+x)e^(7x))(7)-\frac(1)(7)\cdot \int (6x+1) e^(7x)\;dx=\left | \begin(aligned) & u=6x+1; \; du=6dx.\\dv=e^(7x)dx; \; v=\frac(e^(7x))(7). \end(aligned) \right |=\\ =\frac((3x^2+x)e^(7x))(7)-\frac(1)(7)\cdot \left ((6x+1) \cdot\frac(e^(7x))(7) - \int\frac(e^(7x))(7)\cdot 6\;dx \right)=\\=\frac((3x^2+ x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e^(7x))(49) +\frac(6)(49)\cdot\int\ e^(7x)\; dx=\\ =\frac((3x^2+x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e^(7x))(49) +\frac(6)(49 )\cdot\frac(e^(7x))(7)+C=\\ =\frac((3x^2+x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e ^(7x))(49) +\frac(6\; e^(7x))(343)+C. $$
Отриману відповідь можна і спростити, розкривши дужки та перегрупувавши доданки:
$$ \frac((3x^2+x)e^(7x))(7) -\frac((6x+1)e^(7x))(49) +\frac(6\; e^(7x) ))(343)+C=e^(7x)\cdot \left(\frac(3x^2)(7)+\frac(x)(49)-\frac(1)(343) \right)+ C. $$
Відповідь: $\int (3x^2+x) e^(7x) \; dx=e^(7x)\cdot \left(\frac(3x^2)(7)+\frac(x)(49)-\frac(1)(343) \right)+C$.
Приклад №5
Знайти $\int(x^2+5)\sin(3x+1)\; dx$.
Тут, як і в попередньому прикладі, інтегрування частинами застосовується двічі. Детальні пояснення були надані раніше, тому наведу лише рішення:
$$ \int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx = \ left | \begin(aligned) & u=x^2+5; \; du=2xdx.\dv=\sin(3x+1)dx; \; v=-frac(\cos(3x+1))(3). \end(aligned) \right |=\\ =(x^2+5)\cdot \left(-\frac(\cos(3x+1))(3) \right)-\int\left(-\ frac(\cos(3x+1))(3) \right)\cdot 2xdx=\\ = -\frac((x^2+5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac (2)(3)\int x\cos(3x+1)dx= \left | \begin(aligned) & u=x; \; du = dx. \ & dv = \ cos (3x + 1) dx; \; v=\frac(\sin(3x+1))(3). \end(aligned) \right |=\\ =-\frac((x^2+5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2)(3)\cdot \left( x\cdot\frac(\sin(3x+1))(3)-\int\frac(\sin(3x+1))(3)dx \right)=\\ =-\frac((x^2 +5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)-\frac(2)(9)\cdot\int\sin(3x+ 1)dx=\\ =-\frac((x^2+5)\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)-\frac (2)(9)\cdot \left(-\frac(\cos(3x+1))(3)\right)+C=\\ = -\frac((x^2+5)\cdot\cos (3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)+\frac(2\cos(3x+1))(27)+C=\=-\frac (x^2\cdot\cos(3x+1))(3)-\frac(5\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9 )+\frac(2\cos(3x+1))(27)+C=\\ =-\frac(x^2\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin (3x+1))(9)-\frac(43\cos(3x+1))(27)+C. $$
Відповідь: $\int (x^2+5)\sin(3x+1) \; dx=-\frac(x^2\cdot\cos(3x+1))(3) +\frac(2x\sin(3x+1))(9)-\frac(43\cos(3x+1) ) (27) + C $.
Застосування методу інтегрування частинами у декілька нестандартних випадках, що не підпадають під дію правил №1 та №2, буде дано у
Функція F(x), що диференціюється в даному проміжку X, називається первісної функції f(x), або інтегралом від f(x), якщо для кожного x ∈X справедлива рівність:
F "(x) = f(x). (8.1)
Знаходження всіх первісних для цієї функції називається її інтегрування. Невизначеним інтегралом функції f(x) на даному проміжку Х називається безліч всіх первісних функцій для функції f(x); позначення -
Якщо F(x) - якась первоподібна для функції f(x), то ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)
де С-довільна постійна.
Таблиця інтегралів
Безпосередньо з визначення отримуємо основні властивості невизначеного інтегралу та список табличних інтегралів:
1) d∫f(x)dx=f(x)
2)∫df(x)=f(x)+C
3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)
4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx
Список табличних інтегралів
1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)
3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)
4.∫e x dx = e x + C
5.∫sin x dx = cosx + C
6.∫cos x dx = - sin x + C
7. = arctg x + C
8. = arcsin x + C
10. = - ctg x + C
Заміна змінної
Для інтегрування багатьох функцій застосовують метод заміни змінної або підстановки,що дозволяє приводити інтеграли до табличної форми.
Якщо функція f(z) неперервна на [α,β], функція z =g(x) має безперервну похідну і α ≤ g(x) ≤ β, то
∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)
причому після інтегрування у правій частині слід зробити підстановку z = g (x).
Для доказу достатньо записати вихідний інтеграл у вигляді:
∫ f(g(x)) g "(x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).
Наприклад:
Метод інтегрування частинами
Нехай u = f(x) та v = g(x) - функції, що мають безперервні . Тоді, за творами,
d(uv))= udv + vdu або udv = d(uv) - vdu.
Для вираження d(uv) первісної, очевидно, буде uv, тому має місце формула:
∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)
Ця формула виражає правило інтегрування частинами. Воно наводить інтегрування виразу udv=uv"dx до інтегрування виразу vdu=vu"dx.
Нехай, наприклад, потрібно знайти ∫xcosx dx. Покладемо u = x, dv = cosxdx, отже du=dx, v=sinx. Тоді
∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cosx + C.
Правило інтегрування частинами має більш обмежену сферу застосування, ніж заміна змінної. Але є цілі класи інтегралів, наприклад,
∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax та інші, які обчислюються саме за допомогою інтегрування частинами.
Визначений інтеграл
Поняття певного інтеграла вводиться в такий спосіб. Нехай на відрізку визначено функцію f(x). Розіб'ємо відрізок [a, b] на nчастин точками a = x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 ,
x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i)
Δx i где
Δ x i = x i - x i-1. Сума виду f(ξ i)Δ x i називається інтегральною сумою, а її межа при λ = maxΔx i → 0, якщо вона існує і кінцева, називається певним інтеграломфункції f(x) від aдо bі позначається:
F(ξ i)Δx i (8.5).
Функція f(x) у разі називається інтегрованої на відрізку, числа a та b носять назву нижньої та верхньої межі інтегралу.
Для певного інтеграла справедливі такі характеристики:
4), (k = const, k R);
5)
6)
7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).
Остання властивість називається теорема про середнє значення.
Нехай f(x) безперервна на . Тоді на цьому відрізку існує невизначений інтеграл
∫f(x)dx = F(x) + C
і має місце формула Ньютона-Лейбніца, що пов'язує певний інтеграл з невизначеним:
F(b) - F(a). (8.6)
Геометрична інтерпретація: певний інтеграл є площею криволінійної трапеції, обмеженою зверху кривою y=f(x), прямими x = a і x = b і відрізком осі Ox.
Невласні інтеграли
Інтеграли з нескінченними межами та інтеграли від розривних (необмежених) функцій називаються невласними. Невласні інтеграли I роду -це інтеграли на нескінченному проміжку, що визначаються таким чином:
(8.7)
Якщо ця межа існує і кінцева, то називається схожим невласним інтегралом від f(x)на інтервалі [а,+ ∞), а функцію f(x) називають інтегрованої на нескінченному проміжку[а + ∞). Інакше про інтеграл кажуть, що він не існує або розходиться.
Аналогічно визначаються невласні інтеграли на інтервалах (-∞,b] та (-∞, + ∞):
Визначимо поняття інтеграла від необмеженої функції. Якщо f(x) безперервна для всіх значень xвідрізка , крім точки з, в якій f(x) має нескінченний розрив, то невласним інтегралом II роду від f(x) в межах від a до bназивається сума:
якщо ці межі є і кінцеві. Позначення:
Приклади обчислення інтегралів
Приклад 3.30.Обчислити ∫dx/(x+2).
Рішення.Позначимо t = x+2, тоді dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln | x +2 | + C.
Приклад 3.31. Знайти ∫ tgxdx.
Рішення.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Нехай t = cosx, тоді tgxdx = - dt / t = - ln | t | + C = -ln|cosx|+C.
приклад3.32 . Знайти ∫dx/sinxРішення.
приклад3.33. Знайти.
Рішення. = .
приклад3.34 . Знайти ∫arctgxdx.
Рішення. Інтегруємо частинами. Позначимо u=arctgx, dv=dx. Тоді du = dx/(x 2 +1), v=x, звідки ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; так як
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.
приклад3.35 . Обчислити ∫lnxdx.
Рішення.Застосовуючи формулу інтегрування частинами, отримаємо:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Тоді ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C = xlnx - x + C.
приклад3.36 . Обчислити ∫e x sinxdx.
Рішення.Позначимо u = e x , dv = sinxdx, тоді du = e x dx, v = sinxdx = - cosx → e x sinxdx = - e cosx + ∫ e x cosxdx. Інтеграл ∫e x cosxdx також інтегруємо вроздріб: u = e x , dv = cosxdx, du = e x dx, v = sinx. Маємо:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Отримали співвідношення ∫e x sinxdx = – e x cosx + e x sinx – ∫ e x sinxdx, звідки 2∫e x sinx dx = – e x cosx + e x sinx + С.
приклад 3.37. Обчислити J = ∫cos(lnx)dx/x.
Рішення.Оскільки dx/x = dlnx, то J= ∫cos(lnx)d(lnx). Замінюючи lnx через t, приходимо до табличного інтеграла J = ∫ costdt = sint + C = sin (lnx) + C.
приклад 3.38 . Обчислити J =.
Рішення.Враховуючи, що = d(lnx), робимо підстановку lnx = t. Тоді J = 
.
приклад 3.39
. Обчислити інтеграл J = 
.
Рішення.Маємо: 
. Тому =
=
=. вводиться так sqrt(tan(x/2)).
А якщо у вікні результату натиснете Show steps у правому верхньому кутку, то отримаєте докладне рішення.
Інтегрування частинами- метод, який застосовується для вирішення певних і невизначених інтегралів, коли одна з підінтегральних функцій легко інтегрована, а інша диференційована. Досить поширений метод знаходження інтегралів як невизначених, і певних. Головна ознака, коли потрібно використовувати його - це деяка функція, що складається з твору двох функцій, яку не можна проінтегрувати в упор.
Формула
Для того, щоб успішно використовувати цей метод необхідно розібрати та вивчити формули.
Формула інтегрування частинами в невизначеному інтегралі:
$$ \int udv = uv - \int vdu $$
Формула інтегрування частинами у певному інтегралі:
$$ \int \limits_(a)^(b) udv = uv \bigg |_(a)^(b) - \int \limits_(a)^(b) vdu $$
Приклади рішень
Розглянемо практично приклади рішень інтегрування частинами, які часто пропонуються викладачами на контрольних роботах. Зверніть увагу, що під позначкою інтеграла стоїть добуток двох функцій. Це як ознака того, що для вирішення підійде цей метод.
| Приклад 1 |
| Знайти інтеграл $ \int xe^xdx $ |
| Рішення |
|
Бачимо, що підінтегральна функція складається з двох функцій, одна з яких при диференціюванні моментально перетворюється на одиницю, а інша легко інтегрується. Для вирішення інтеграла скористаємося методом інтегрування частинами. Припустимо, $ u = x \rightarrow du = dx $, а $ dv = e^x dx \rightarrow v = e^x $ Підставляємо знайдені значення у першу формулу інтегрування та отримуємо: $$ \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C $$ Якщо не вдається вирішити своє завдання, то надсилайте його до нас. Ми надамо детальне рішення. Ви зможете ознайомитися з ходом обчислення та отримати інформацію. Це допоможе вчасно отримати залік у викладача! |
| Відповідь |
|
$$ \int xe^x dx = xe^x - e^x + C$$ |
| Приклад 4 |
| Обчислити інтеграл $ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx $ |
| Рішення |
|
За аналогією з попередніми вирішеними прикладами розберемося яку функцію без проблем інтегрувати, яку диференціювати. Звертаємо увагу, що якщо продиференціювати $(x+5)$, то відбудеться автоматичне перетворення цього виразу на одиницю, що нам буде "на руку". Тому робимо так: $$u=x+5 \rightarrow du=dx, dv=3^x dx \rightarrow v=\frac(3^x)(ln3) $$ Тепер усі невідомі функції стали знайдені і можуть бути поставлені у другу формулу інтегрування частинами для певного інтеграла. $$ \int \limits_0 ^1 (x+5) 3^x dx = (x+5) \frac(3^x)(\ln 3) \bigg |_0 ^1 - \int \limits_0 ^1 \frac (3^x dx)(\ln 3) = $$ $$ = \frac(18)(\ln 3) - \frac(5)(\ln 3) - \frac(3^x)(\ln^2 3)\bigg| _0 ^1 = \frac(13)(\ln 3) - \frac(3)(\ln^2 3)+\frac(1)(\ln^2 3) = \frac(13)(\ln 3 )-\frac(4)(\ln^2 3) $$ |
| Відповідь |
| $$ \int\limits_0 ^1 (x+5)3^x dx = \frac(13)(\ln 3)-\frac(4)(\ln^2 3) $$ |
