Умовний екстремум за умови 2x y 3. Екстремум функції кількох змінних Поняття екстремуму функції кількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму Умовний екстремум Найбільше та найменше значення безперервних функцій
Спочатку розглянемо випадок функції двох змінних. Умовним екстремумом функції $z=f(x,y)$ у точці $M_0(x_0;y_0)$ називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні $x$ і $y$ в околиці цієї точки задовольняють рівняння зв'язку $\ varphi (x, y) = 0 $.
Назва «умовний» екстремум пов'язана з тим, що на змінні накладено додаткова умова$ \ Varphi (x, y) = 0 $. Якщо з рівняння зв'язку можна виразити одну змінну через іншу, то завдання визначення умовного екстремуму зводиться до завдання на звичайний екстремум функції однієї змінної. Наприклад, якщо з рівняння зв'язку випливає $y=\psi(x)$, то підставивши $y=\psi(x)$ $z=f(x,y)$, отримаємо функцію однієї змінної $z=f\left (x, \ psi (x) \ right) $. У загальному випадкуПроте такий метод малопридатний, тому потрібно введення нового алгоритму.
Метод множників Лагранжа для функцій двох змінних.
Метод множників Лагранжа полягає в тому, що для відшукання умовного екстремуму складають функцію Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$ (параметр $lambda$ називають множником Лагранжа ). Необхідні умови екстремуму задаються системою рівнянь, з якої визначаються стаціонарні точки:
$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$$
Достатньою умовою, з якої можна з'ясувати характер екстремуму, є знак $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Якщо стаціонарної точці $d^2F > 0$, то функція $z=f(x,y)$ має у цій точці умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, то условный максимум.
Є й інший спосіб визначення характеру екстремуму. З рівняння зв'язку отримуємо: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_ (y)^("))dx$, тому в будь-якій стаціонарній точці маємо:
$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$
Другий помножувач (розташований у дужці) можна представити у такій формі:
Червоним кольором виділено елементи визначника $ \ left | \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$, який є гесіаном функції Лагранжа. Якщо $H > 0$, то $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, тобто. маємо умовний мінімум функції $ z = f (x, y) $.
Примітка щодо форми запису визначника $H$. показати\сховати
$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$
У цій ситуації сформульоване вище правило зміниться так: якщо $H > 0$, то функція має умовний мінімум, а при $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.
Алгоритм дослідження функції двох змінних на умовний екстремум
- Скласти функцію Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$
- Вирішити систему $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x, y) = 0. \end (aligned) \right.$
- Визначити характер екстремуму у кожній із знайдених у попередньому пункті стаціонарних точок. Для цього застосувати будь-який із зазначених способів:
- Скласти визначник $H$ та з'ясувати його знак
- З урахуванням рівняння зв'язку обчислити знак $d^2F$
Метод множників Лагранжа для функцій n змінних
Допустимо, ми маємо функцію $n$ змінних $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ і $m$ рівнянь зв'язку ($n > m$):
$ $ \ Varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$
Позначивши множники Лагранжа як $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, складемо функцію Лагранжа:
$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$
Необхідні умови наявності умовного екстремуму задаються системою рівнянь, з якої знаходяться координати стаціонарних точок та значення множників Лагранжа:
$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$
З'ясувати, умовний мінімум чи умовний максимум має функція у знайденій точці, можна, як і раніше, за допомогою символу $d^2F$. Якщо знайденої точці $d^2F > 0$, то функція має умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:
Визначник матриці $ \ left | \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, виділеної в матриці $L$ червоним, є гессиан функції Лагранжа. Використовуємо таке правило:
- Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матриці $L$ збігаються зі знаком $(-1)^m$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного мінімуму функції $z=f(x_1,x_2 , x_3, \ ldots, x_n) $.
- Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ чергуються, причому знак мінору $H_(2m+1)$ збігається зі знаком числа $(-1)^(m+1)$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного максимуму функції $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.
Приклад №1
Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=x+3y$ за умови $x^2+y^2=10$.
Геометрична інтерпретація цього завдання така: потрібно знайти найбільше і найменше значення аплікати площини $z=x+3y$ для точок її перетину з циліндром $x^2+y^2=10$.
Виразити одну змінну через іншу з рівняння зв'язку і підставити її у функцію $z(x,y)=x+3y$ трохи важко, тому будемо використовувати метод Лагранжа.
Позначивши $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, складемо функцію Лагранжа:
$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$
Запишемо систему рівнянь визначення стаціонарних точок функції Лагранжа:
$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligned) \right.$$
Якщо припустити $\lambda=0$, перше рівняння стане таким: $1=0$. Отримане протиріччя свідчить, що $lambdaneq 0$. За умови $\lambda\neq 0$ з першого та другого рівнянь маємо: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda)$. Підставляючи отримані значення третє рівняння, отримаємо:
$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$
Отже, система має два рішення: $ x_1 = 1; \; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ і $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці: $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$. І тому обчислимо визначник $H$ у кожному з точок.
$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda. \ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$
У точці $ M_1 (1; 3) $ отримаємо: $ H = 8 \ cdot \ left | \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, тому в точці $M_1(1;3)$ функція $z(x,y)=x+3y$ має умовний максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.
Аналогічно, у точці $M_2(-1;-3)$ знайдемо: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Оскільки $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.
Зазначу, що замість обчислення значення визначника $H$ у кожній точці набагато зручніше розкрити його в загальному вигляді. Щоб не захаращувати текст подробицями, цей спосіб приховую під примітку.
Запис визначника $H$ у загальному вигляді. показати\сховати
$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\x&\lambda&0\y&0&lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$
У принципі, очевидно, який знак має $H$. Оскільки жодна з точок $M_1$ або $M_2$ не збігається з початком координат, $y^2+x^2>0$. Отже, знак $H$ протилежний символу $\lambda$. Можна і довести обчислення до кінця:
$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligned) $$
Питання характер екстремуму в стаціонарних точках $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$ можна вирішити без використання визначника $H$. Знайдемо знак $d^2F$ у кожній стаціонарній точці:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$
Зазначу, що запис $dx^2$ означає саме $dx$, зведений на другий ступінь, тобто. $ \ left (dx \ right) ^ 2 $. Звідси маємо: $dx^2+dy^2>0$, тому при $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ отримаємо $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.
Відповідь: у точці $(-1;-3)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=-10$. У точці $(1;3)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=10$
Приклад №2
Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ за умови $x+y=0$.
Перший спосіб (метод множників Лагранжа)
Позначивши $\varphi(x,y)=x+y$ складемо функцію Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.
$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y) = 9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda = 0; \ \ & x + y = 0. \end (aligned) \right.
Вирішивши систему, отримаємо: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ і $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9)$ , $ \ lambda_2 = -10 $. Маємо дві стаціонарні точки: $M_1(0;0)$ і $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці з використанням визначника $H$.
$ $ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$
У точці $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, тому у цій точці функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Досліджуємо характер екстремуму в кожній з точок іншим способом, ґрунтуючись на знаку $d^2F$:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy^2 $$
З рівняння зв'язку $x+y=0$ маємо: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.
$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$
Оскільки $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ є точкою умовного мінімуму функції $z(x,y)=3y^3+4x^ 2-xy $. Аналогічно $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.
Другий спосіб
З рівняння зв'язку $x+y=0$ отримаємо $y=-x$. Підставивши $y=-x$ у функцію $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, отримаємо деяку функцію змінної $x$. Позначимо цю функцію як $u(x)$:
$$u(x)=z(x,-x)=3cdot(-x)^3+4x^2-xcdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$
Таким чином, задачу про знаходження умовного екстремуму функції двох змінних ми звели до завдання визначення екстремуму функції однієї змінної.
$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\ -9x^2+10x=0; \;x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ y_1=-x_1=0;\\x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).
Отримали точки $M_1(0;0)$ і $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Подальше дослідження відоме з курсу диференціального обчисленняфункцій однією зміною. Досліджуючи знак $u_(xx)^("")$ у кожній стаціонарній точці або перевіряючи зміну знака $u_(x)^(")$ у знайдених точках, отримаємо ті самі висновки, що і при вирішенні першим способом. Наприклад, перевіримо знак $u_(xx)^("")$:
$$u_(xx)^("")=-18x+10;\u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$
Оскільки $u_(xx)^("")(M_1)>0$, то $M_1$ - точка мінімуму функції $u(x)$, у своїй $u_(\min)=u(0)=0$ . Оскільки $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.
Значення функції $u(x)$ за заданої умови зв'язку збігаються зі значеннями функції $z(x,y)$, тобто. знайдені екстремуми функції $u(x)$ і є умовні екстремуми функції $z(x,y)$, що шукаються.
Відповідь: у точці $(0;0)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=0$. У точці $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.
Розглянемо ще один приклад, у якому характер екстремуму з'ясуємо у вигляді визначення знака $d^2F$.
Приклад №3
Знайти найбільше та найменше значенняфункції $z=5xy-4$, якщо змінні $x$ і $y$ позитивні і задовольняють рівняння зв'язку $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$ .
Складемо функцію Лагранжа: $ F = 5xy-4 + lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа:
$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1 = 0; \ \ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right.$$
Усі подальші перетворення здійснюються з урахуванням $x>0; \; y > 0$ (це обумовлено за умови завдання). З другого рівняння виразимо $\lambda=-\frac(5x)(y)$ і підставимо знайдене значення у перше рівняння: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Підставляючи $x=2y$ у третє рівняння, отримаємо: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.
Оскільки $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер екстремуму у точці $(2;1)$ визначимо, з знаку $d^2F$.
$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$
Оскільки $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, то:
$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$
В принципі, тут можна відразу підставити координати стаціонарної точки $x=2$, $y=1$ та параметра $\lambda=-10$, отримавши при цьому:
$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$
Однак в інших завданнях на умовний екстремум стаціонарних точок може бути декілька. У таких випадках краще $d^2F$ подати у загальному вигляді, а потім підставляти в отриманий вираз координати кожної зі знайдених стаціонарних точок:
$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\=\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$
Підставляючи $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, отримаємо:
$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$
Оскільки $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.
Відповідь: у точці $(2;1)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=6$.
У наступній частині розглянемо застосування методу Лагранжа для функцій більшої кількості змінних.
Визначення1: Кажуть, що функція має в точці локальний максимум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції< 0.
Визначення2: Кажуть, що функція має в точці локальний мінімум, якщо існує така околиця точки, для якої для будь-якої точки Mз координатами (x, y)виконується нерівність: . При цьому, тобто збільшення функції > 0.
Визначення 3: Точки локальних мінімуму та максимуму називаються точками екстремуму.
Умовні екстремуми
При відшуканні екстремумів функції багатьох змінних часто виникають завдання, пов'язані з так званим умовним екстремумом.Це можна пояснити з прикладу функції двох змінних.
Нехай задані функція та лінія Lна площині 0xy. Завдання полягає в тому, щоб на лінії Lзнайти таку точку P(x, y),в якій значення функції є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції у точках лінії L, що знаходяться поблизу точки P. Такі точки Pназиваються точками умовного екстремумуфункції на лінії L. На відміну від звичайної точки екстремуму значення функції у точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякої її околиці, а лише тих, що лежать на лінії L.
Цілком ясно, що точка звичайного екстремуму (кажуть також безумовного екстремуму) є точкою умовного екстремуму для будь-якої лінії, що проходить через цю точку. Зворотне ж, зрозуміло, не так: точка умовного екстремуму може і не бути точкою звичайного екстремуму. Поясню сказане звичайним прикладом. Графіком функції є верхня напівсфера (Додаток 3 (Рис 3)).
Ця функція має максимум на початку координат; йому відповідає вершина Mпівсфери. Якщо лінія Lє пряма, що проходить через крапки Аі У(її рівняння x+y-1=0), то геометрично ясно, що для точок цієї лінії найбільше значення функції досягається в точці, що лежить посередині між точками Аі Ст.Це і є точка умовного екстремуму (максимуму) функції даної лінії; їй відповідає точка M 1 на півсфері, і з малюнка видно, що ні про який звичайний екстремум тут не може бути мови.
Зазначимо, що у заключній частині завдання знайти найбільшого і найменшого значень функції у замкнутої області нам доводиться знаходити екстремальні значення функції межі цієї області, тобто. на якійсь лінії, і тим самим вирішувати завдання умовного екстремуму.
Приступимо тепер практичного відшукання точок умовного екстремуму функції Z= f(x, y) за умови, що змінні x і y пов'язані рівнянням (x, y) = 0. Це співвідношення називатимемо рівняння зв'язку. Якщо рівняння зв'язку y можна виразити явно через х: y=(x), ми отримаємо функцію однієї змінної Z= f(x, (x)) = Ф(х).
Знайшовши значення х, при яких ця функція досягає екстремуму, і визначивши потім рівняння зв'язку відповідні їм значення у, ми отримаємо шукані точки умовного екстремуму.
Так, у наведеному вище прикладі з рівняння зв'язку x+y-1=0 маємо y=1-х. Звідси
Легко перевірити, що z досягає максимуму за х = 0,5; але тоді з рівняння зв'язку y=0,5, і ми отримуємо якраз точку P, знайдену з геометричних міркувань.
Дуже просто вирішується завдання на умовний екстремум і тоді, коли рівняння зв'язку можна уявити параметричними рівняннями x = x (t), y = y (t). Підставляючи вирази для х і у цю функцію, знову приходимо до завдання відшукання екстремуму функції однієї змінної.
Якщо рівняння зв'язку має більше складний вигляді нам не вдається ні явно висловити одну змінну через іншу, ні замінити його параметричними рівняннями, то завдання відшукання умовного екстремуму стає важчим. Будемо, як і раніше, вважати, що у вираженні функції z=f(x, y) змінна (x, y) = 0. Повна похідна від функції z=f(x, y) дорівнює:
Де похідна y`, знайдена за правилом диференціювання неявної функції. У точках умовного екстремуму знайдена повна похідна повинна дорівнювати нулю; це дає одне рівняння, що зв'язує х та у. Оскільки вони повинні задовольняти ще й рівняння зв'язку, ми отримуємо систему двох рівнянь із двома невідомими
Перетворимо цю систему до більш зручної, записавши перше рівняння у вигляді пропорції і ввівши нову допоміжну невідому:
(Знак мінус перед поставлений для зручності). Від цих рівностей легко перейти до наступної системи:
f ` x = (x, y) + ` x (x, y) = 0, f ` y (x, y) + ` y (x, y) = 0 (*),
яка разом із рівнянням зв'язку (x, y) = 0 утворює систему трьох рівнянь з невідомими х, у і.
Ці рівняння (*) найлегше запам'ятати за допомогою наступного правила: для того, щоб знайти точки, які можуть бути точками умовного екстремуму функції
Z= f(x, y) при рівнянні зв'язку (x, y) = 0, потрібно утворити допоміжну функцію
Ф(х,у)=f(x,y)+(x,y)
Де - деяка стала, і скласти рівняння для відшукання точок екстремуму цієї функції.
Зазначена система рівнянь доставляє, зазвичай, лише необхідні умови, тобто. не кожна пара значень х і у, що задовольняє цій системі, обов'язково є точкою умовного екстремуму. Достатні умови для точок умовного екстремуму я наводити не стану; Найчастіше конкретний зміст завдання саме підказує, чим є знайдена точка. Описаний прийом розв'язання задач на умовний екстремум називається методом множників Лагранжа.
Умовний екстремум.
Екстремуми функції кількох змінних
Метод найменших квадратів.
Локальний екстремум ФНП
Нехай дана функція і= f(Р), РÎDÌR nі нехай точка Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., а п) –внутрішняточка множини D.
Визначення 9.4.
1) Точка Р 0 називається точкою максимуму функції і= f(Р), якщо існує околиця цієї точки U(P 0) Ì D така, що для будь-якої точки Р( х 1 , х 2 , ..., х п)Î U(P 0) , Р¹Р 0 виконується умова f(P) £ f(P 0). Значення f(P 0) функції в точці максимуму називається максимумом функції і позначається f(P 0) = max f(P).
2) Точка Р 0 називається точкою мінімуму функції і= f(Р), якщо існує околиця цієї точки U(P 0)Ì D така, що для будь-якої точки Р( х 1 , х 2 , ..., х п)ÎU(P 0), Р¹Р 0 виконується умова f(P) ³ f(P 0). Значення f(P 0) функції в точці мінімуму називається мінімумом функції і позначається f(P 0) = min f(P).
Точки мінімуму та максимуму функції називаються точками екстремумівзначення функції в точках екстремумів називаються екстремумами функції.
Як випливає з визначення, нерівності f(P) £ f(P 0), f(P) ³ f(P 0) повинні виконуватися тільки в деякій околиці точки Р 0 , а не у всій області визначення функції, отже, функція може мати кілька однотипних екстремумів (кілька мінімумів, кілька максимумів). Тому певні вище екстремуми називають локальними(місцевими) екстремумами.
Теорема 9.1. ( необхідна умоваекстремуму ФНП)
Якщо функція і= f(х 1 , х 2 , ..., х п) має екстремум у точці Р 0 то її приватні похідні першого порядку в цій точці або рівні нулю, або не існують.
Доведення.Нехай у точці Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., а п) функція і= f(P) має екстремум, наприклад, максимум. Зафіксуємо аргументи х 2 , ..., х п, поклавши х 2 =а 2 ,..., х п = а п. Тоді і= f(P) = f 1 ((х 1 , а 2 , ..., а п) є функція однієї змінної х 1 . Так як ця функція має при х 1 = а 1 екстремум (максимум), то f 1 ¢=0або не існує при х 1 =а 1 (необхідна умова існування екстремуму функції однієї змінної). Але , отже чи існує у точці Р 0 – точці екстремуму. Аналогічно можна розглянути приватні похідні щодо інших змінних. ЧТД.
Точки області визначення функції, в яких приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними точками цієї функції.
Як випливає з теореми 9.1 точки екстремуму ФНП слід шукати серед критичних точок функції. Але, як і для функції однієї змінної, не всяка критична точкає точкою екстремуму.
Теорема 9.2. (достатня умова екстремуму ФНП)
Нехай Р 0 – критична точка функції і= f(P) та 
- Диференціал другого порядку цієї функції. Тоді
а якщо d 2 u(P 0) > 0 при , то Р 0 – точка мінімумуфункції і= f(P);
б) якщо d 2 u(P 0)< 0 при , то Р 0 – точка максимумуфункції і= f(P);
в) якщо d 2 u(P 0) не визначено за знаком, то Р 0 не є точкою екстремуму;
Цю теорему розглянемо без підтвердження.
Зауважимо, що в теоремі не розглянуто випадок, коли d 2 u(P 0) = 0 чи немає. Це означає, що питання про наявність екстремуму в точці Р 0 за таких умов залишається відкритим – потрібні додаткові дослідження, наприклад дослідження збільшення функції в цій точці.
У докладніших курсах математики доводиться, що зокрема функції z = f(x,y) двох змінних, диференціал другого порядку якої є сумою виду
Вивчення наявності екстремуму в критичній точці Р 0 можна спростити.
Позначимо , , . Складемо визначник
.
Виявляється:
d 2 z> 0 точці Р 0 , тобто. Р 0 – точка мінімуму, якщо A(P 0) > 0 та D(Р 0) > 0;
d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P 0)< 0 , а D(Р 0) > 0;
якщо D(Р 0)< 0, то d 2 zв околиці точки Р 0 змінює знак та екстремуму в точці Р 0 немає;
якщо ж D(Р 0) = 0, то також потрібні додаткові дослідження функції на околиці критичної точки Р 0 .
Таким чином, для функції z = f(x,y) двох змінних маємо наступний алгоритм (назвемо його «алгоритмом D») відшукання екстремуму:
1) Знайти область визначення D( f) функції.
2) Знайти критичні точки, тобто. точки з D( f), для яких і дорівнюють нулю або не існують.
3) У кожній критичній точці Р0 перевірити достатні умови екстремуму. Для цього знайти де , , і обчислити D(Р 0) і А(Р 0).
якщо D(Р 0) >0 , то точці Р 0 є екстремум, причому, якщо А(Р 0) > 0 – це мінімум, і якщо А(Р 0)< 0 – максимум;
якщо D(Р 0)< 0, то в точке Р 0 нет экстремума;
Якщо D(Р 0) = 0, потрібні додаткові дослідження.
4) У знайдених точках екстремуму обчислити значення функції.
Приклад1.
Знайти екстремум функції z = x 3 + 8y 3 – 3xy .
Рішення.Область визначення цієї функції – вся координатна площина. Знайдемо критичні точки.
, 
, 
Р 0 (0,0) , .
Перевіримо виконання достатніх умов екстремуму. Знайдемо
6х, = -3, = 48уі 
= 288ху – 9.
Тоді D(Р 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.
D(Р 1) = 36-9>0 – у точці Р 1 є екстремум, оскільки А(Р 1) = 3 >0, цей екстремум – мінімум. Значить, min z=z(P 1) = 
.
приклад 2.
Знайти екстремум функції 
.
Рішення: D( f) = R 2 . Критичні точки: 
; не існує при у= 0, отже Р 0 (0,0) – критична точка цієї функції.
2, = 0, = , = , але D(Р 0) не визначено, тому дослідження його символу неможливе.
З цієї причини неможливо застосувати теорему 9.2 безпосередньо – d 2 zу цій точці не існує.
Розглянемо збільшення функції f(x, y) у точці Р 0 . Якщо D f =f(P) - f(P 0)>0 " Р, то Р 0 точка мінімуму, якщо ж D f < 0, то Р 0 – точка максимума.
Маємо у нашому випадку
D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .
При D x= 0,1 та D y= -0,008 отримаємо D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 та D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1> 0, тобто. в околиці точки Р 0 не виконуються жодна умова D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) і отже, Р 0 – не точка максимуму), ні умова D f>0 (тобто. f(x, y) > f(0, 0) і тоді Р0 – не точка мінімуму). Значить, за визначенням екстремуму, дана функціяекстремумів не має.
Умовний екстремум.
Розглянутий екстремум функції називають безумовним, оскільки аргументи функції не накладаються ніякі обмеження (умови).
Визначення 9.2.Екстремум функції і = f(х 1 , х 2 , ... , х п), знайдений за умови, що її аргументи х 1 , х 2 , ... , х пзадовольняють рівнянням j 1 ( х 1 , х 2 , ... , х п) = 0, …, j т(х 1 , х 2 , ... , х п) = 0, де P ( х 1 , х 2 , ... , х п) Î D( f), називається умовним екстремумом .
Рівняння j k(х 1 , х 2 , ... , х п) = 0 , k = 1, 2,..., m, називаються рівняннями зв'язку.
Розглянемо функції z = f(x,y) двох змінних. Якщо рівняння зв'язку одне, тобто. , то відшукання умовного екстремуму означає, що екстремум шукається не у всій області визначення функції, а на деякій кривій , що лежить в D( f) (тобто. шукаються не найвищі або найнижчі точки поверхні z = f(x,y), а найвищі або найнижчі точки серед точок перетину цієї поверхні з циліндром , рис 5).
Умовний екстремум функції z = f(x,y) двох змінних можна знайти наступним способом( метод виключення). З рівняння виразити одну із змінних як функцію іншої (наприклад, записати ) і, підставивши це значення змінної у функцію , записати останню як функцію однієї змінної (у розглянутому випадку 
). Знайти екстремум отриманої функції однієї змінної.
Достатня умова екстремуму функції двох змінних
1. Нехай функція безперервно диференційована в околиці точки і має безперервні приватні похідні другого порядку (чисті та змішані).
2. Позначимо за визначник другого порядку
екстремум змінна лекційна функція
Теорема
Якщо точка з координатами є стаціонарною точкою для функції, то:
А) При вона є точкою локального екстремуму, причому, при локального максимуму, - Локального мінімуму;
В) при точку не є точкою локального екстремуму;
С) якщо, можливо і те, й інше.
Доведення
Запишемо формулу Тейлора для функції, обмежившись двома членами:
Оскільки за умовою теореми точка є стаціонарною, то приватні похідні другого порядку дорівнюють нулю, тобто. в. Тоді
Позначимо
Тоді збільшення функції набуде вигляду:
Через безперервність приватних похідних другого порядку (чистих і змішаних) за умовою теореми в точці можна записати:
Де чи; ,
1. Нехай і, тобто. або.
2. Збільшення функції помножимо і розділимо на, отримаємо:
3. Доповнимо вираз у фігурних дужках до повного квадрата суми:
4. Вираз у фігурних дужках невід'ємний, оскільки
5. Тому якщо отже, і, отже, відповідно до визначення, точка є точкою локального мінімуму.
6. Якщо отже, і, то, згідно з визначенням точка з координатами - точка локального максимуму.
2. Розглянемо квадратний тричлен, його дискримінант, .
3. Якщо, то існують такі точки, що багаточлен
4. Повне збільшення функції в точці відповідно до виразу, отриманого в I, запишемо у вигляді:
5. Через безперервність приватних похідних другого порядку за умовою теореми в точці можна записати, що
отже, існує - околиця точки, що для будь-якої точки квадратний тричлен більше нуля:
6. Розглянемо - околиця точки.
Виберемо будь-яке значення, тож точка. Вважаючи, що у формулі збільшення функції
Що, отримаємо:
7. Тому що.
8. Розмірковуючи аналогічно для кореня, отримаємо, що в будь-якій точки точки існує точка для якої, отже, в околиці точки не зберігає знак, отже в точці екстремуму немає.
Умовний екстремум функції двох змінних
При пошуку екстремумів функції двох змінних часто виникають завдання, пов'язані з так званим умовним екстремумом. Це можна пояснити з прикладу функції двох змінних.
Нехай задані функція та лінія L на площині 0xy. Завдання полягає в тому, щоб на лінії L знайти таку точку P (x, y), в якій значення функції є найбільшим або найменшим у порівнянні зі значеннями цієї функції в точках лінії L, що знаходяться поблизу точки P. Такі точки P називають точками умовного екстремуму функції на лінії L. На відміну від звичайної точки екстремуму значення функції у точці умовного екстремуму порівнюється зі значеннями функції не у всіх точках деякої її околиці, а лише тих, які лежать на лінії L.
Цілком ясно, що точка звичайного екстремуму (говорять також безумовного екстремуму) є і точкою умовного екстремуму для будь-якої лінії, що проходить через цю точку. Зворотне ж, зрозуміло, не так: точка умовного екстремуму може і не бути точкою звичайного екстремуму. Проілюструємо сказане з прикладу.
Приклад №1. p align="justify"> Графіком функції є верхня півсфера (рис. 2).
Рис. 2.
Ця функція має максимум на початку координат; йому відповідає вершина M півсфери. Якщо лінія L є пряма, що проходить через точки А та В (її рівняння), то геометрично ясно, що для точок цієї лінії найбільше значення функції досягається в точці, що лежить посередині між точками А і В. Це і є точка умовного екстремуму (максимуму) функції цієї лінії; їй відповідає точка M 1 на півсфері, і з малюнка видно, що ні про який звичайний екстремум тут не може бути мови.
Зазначимо, що у заключній частині завдання знайти найбільшого і найменшого значень функції у замкнутої області доводиться шукати екстремальні значення функції межі цієї області, тобто. на якійсь лінії, і тим самим вирішувати завдання умовного екстремуму.
Визначення 1.Кажуть, що, де має в точці, яка задовольняє рівняння, умовний або відносний максимум (мінімум): якщо для будь-якої, яка задовольняє рівняння, виконується нерівність
Визначення 2.Рівняння виду називається рівнянням зв'язку.
Теорема
Якщо функції і безперервно диференційовані в околиці точки, і похідна, і точка є точкою умовного екстремуму функції щодо рівняння зв'язку, то визначник другого порядку дорівнює нулю:
Доведення
1. Оскільки за умовою теореми приватна похідна, а значення функції, то в деякому прямокутнику
визначено неявну функцію
Складна функція двох змінних у точці матиме локальний екстремум, Отже, або.
2. Дійсно, згідно з властивістю інваріантності формули диференціалу першого порядку
3. Рівняння зв'язку можна уявити у такому вигляді, отже
4. Помножимо рівняння (2) на, а (3) на і складемо їх
Отже, при
довільному. ч.т.д.
Слідство
Пошук точок умовного екстремуму функції двох змінних практично здійснюється шляхом вирішення системи рівнянь
Так, у наведеному вище прикладі №1 з рівняння зв'язку маємо. Звідси легко перевірити, що досягає максимуму при. Але тоді із рівняння зв'язку. Отримуємо точку P, знайдену геометрично.
Приклад №2.Знайти точки умовного екстремуму функції щодо рівняння зв'язку.
Знайдемо приватні похідні заданої функціїта рівняння зв'язку:
Складемо визначник другого порядку:
Запишемо систему рівнянь для відшукання точок умовного екстремуму:
отже, є чотири точки умовного екстремуму функції з координатами: .
Приклад №3.Знайти точки екстремуму функції.
Прирівнюючи приватні похідні до нуля: знаходимо одну стаціонарну точку - початок координат. Тут. Отже, і точка (0, 0) не є точкою екстремуму. Рівняння є рівняння гіперболічного параболоїда (Рис. 3) на малюнку видно, що точка (0, 0) не є точкою екстремуму.
Рис. 3.
Найбільше та найменше значення функції у замкнутій області
1. Нехай функція визначена та безперервна в обмеженій замкнутій ділянці D.
2. Нехай у цій галузі функція має кінцеві приватні похідні, крім окремих точок області.
3. Відповідно до теореми Вейєрштраса в цій області знайдеться точка, в якій функція набуде найбільшого та найменшого значення.
4. Якщо ці точки будуть внутрішніми точками області D, то, очевидно, вони будуть максимум або мінімум.
5. У цьому випадку цікаві для нас точки знаходяться серед підозрілих точок на екстремум.
6. Однак, найбільше або найменше значення функція може приймати і на межі області D.
7. Для того, щоб знайти найбільше (найменше) значення функції в області D, потрібно знайти всі внутрішні точки підозрілі на екстремум, обчислити значення функції в них, потім порівняти зі значенням функції в прикордонних точках області, і найбільше знайдених значень буде найбільшим у замкнутій ділянці D.
8. Метод відшукання локального максимуму чи мінімуму розглядався раніше у п. 1.2. та 1.3.
9. Залишається розглянути спосіб пошуку максимального і меншого значення функції межі області.
10. У разі функції двох змінних область зазвичай виявляється обмеженою кривою або кількома кривими.
11. Уздовж такої кривої (або кількох кривих) змінні і або залежать одна від одної, або обидві залежать від одного параметра.
12. Таким чином, на кордоні функція виявляється залежною від однієї змінної.
13. Спосіб відшукання найбільшого значенняфункції однієї змінної було розглянуто раніше.
14. Нехай межа області D задана параметричними рівняннями:
Тоді на цій кривій функція двох змінних буде являти собою складну функціювід параметра: . Для такої функції найбільше та найменше значення визначається за методикою визначення найбільшого та найменшого значення для функції однієї змінної.
