Що таке екстремуми функції: критичні точки максимуму та мінімуму. Екстремуми функції: ознаки існування, приклади рішень

Переходячи в цих нерівностях до межі при Δ x→ 0 та враховуючи, що похідна f "(x 0) існує, а отже межа, що стоїть зліва, не залежить від того, як Δ x→ 0, отримуємо: при Δ x → 0 – 0 f" (x 0) ≥ 0 а при Δ x → 0 + 0 f" (x 0) ≤ 0. Оскільки f " (x 0) визначає число, то ці дві нерівності спільні лише у тому випадку, коли f " (x 0) = 0.

Доведена теорема стверджує, що точки максимуму і мінімуму можуть бути лише серед тих значень аргументу, у яких похідна перетворюється на нуль.

Ми розглянули випадок, коли функція у всіх точках деякого відрізка має похідну. Яка ж справа в тих випадках, коли похідна не існує? Розглянемо приклади.

y =|x |.

Функція не має похідної у точці x=0 (у цій точці графік функції немає певної дотичної), але у цій точці функція має мінімум, оскільки y(0)=0, а за всіх x ≠ 0y > 0.

Таким чином, з наведених прикладів та сформульованої теореми видно, що функція може мати екстремум лише у двох випадках: 1) у точках, де похідна існує і дорівнює нулю; 2) у точці, де похідна немає.

Однак, якщо в деякій точці x 0 ми знаємо, що f "(x 0 ) =0, то звідси не можна робити висновок, що у точці x 0 функція має екстремум.

Наприклад.

Але точка x=0 не є точкою екстремуму, оскільки зліва від цієї точки значення функції розташовані нижче за осі Ox, а праворуч вище.

Значення аргументу з області визначення функції, при яких похідна функції перетворюється на нуль або не існує, називаються критичними точками .

З усього вищесказаного випливає, що точки екстремуму функції знаходяться серед критичних точок, і, однак, не будь-яка критична точка є точкою екстремуму. Тому, щоб знайти екстремум функції, потрібно знайти всі критичні точки функції, а потім кожну з цих точок досліджувати окремо максимум і мінімум. І тому служить така теорема.

Теорема 2. (Достатня умова існування екстремуму.) Нехай функція безперервна на деякому інтервалі, що містить критичну точку x 0 , і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім, можливо, самої точки x 0). Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна змінює знак із плюса на мінус, то в точці x = x 0 функція має максимум. Якщо ж при переході через x 0 зліва направо похідна змінює знак з мінусу на плюс, то функція має у цій точці мінімум.

Таким чином, якщо

f "(x)>0 при x <x 0 та f "(x)< 0 при x> x 0 , то x 0 – точка максимуму;

Доведення. Припустимо спочатку, що при переході через x 0 похідна змінює знак із плюса на мінус, тобто. при всіх x, близьких до точки x 0 f"(x)> 0 для x< x 0 , f "(x)< 0 для x> x 0 . Застосуємо теорему Лагранжа до різниці f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x-x 0), де cлежить між xі x 0 .

Нехай x< x 0 . Тоді c< x 0 та f"(c)> 0. Тому f "(c)(x-x 0)< 0і, отже,

f(x) - f(x 0 )< 0, тобто. f(x)< f(x 0 ).

Нехай x > x 0 . Тоді c> x 0 та f "(c)< 0. Значить f "(c)(x-x 0)< 0. Тому f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x) < f(x 0 ) .

Таким чином, для всіх значень xдосить близьких до x 0 f(x) < f(x 0 ) . А це означає, що в точці x 0 функція має максимум.

Аналогічно доводиться друга частина теореми про мінімум.

Проілюструємо сенс цієї теореми малюнку. Нехай f "(x 1 ) =0 і для будь-яких x,досить близьких до x 1 , виконуються нерівності

f "(x)< 0 при x< x 1 , f"(x)> 0 при x> x 1 .

Тоді зліва від точки x 1 функція зростає, а справа зменшується, отже, при x = x 1 функція переходить від зростання до спадання, тобто має максимум.

Аналогічно можна розглядати точки x 2 та x 3 .

Схематично все вищесказане можна зобразити на зображенні:

Правило дослідження функції y=f(x) на екстремум

Знайти область визначення функції f(x).

Знайти першу похідну функції f "(x) .

Визначити критичні точки для цього:

знайти дійсне коріння рівняння f "(x) =0;

знайти всі значення xпри яких похідна f "(x)не існує.

Визначити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Так як знак похідної залишається постійним між двома критичними точками, досить визначити знак похідної в якій-небудь одній точці зліва і в одній точці праворуч від критичної точки.

Обчислити значення функції у точках екстремуму.

За допомогою цього сервісу можна знайти найбільше та найменше значення функціїоднієї змінної f(x) з оформленням рішення Word . Якщо задана функція f(x,y) , отже, необхідно знайти екстремум функції двох змінних . Також можна знайти інтервали зростання та зменшення функції.

Правила введення функцій:

Необхідна умова екстремуму функції однієї змінної

Достатня умова екстремуму функції однієї змінної

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

То точка x * є точкою локального (глобального) мінімуму функції.

Якщо у точці x * виконується умова:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

То точка x * – локальний (глобальний) максимум.

Приклад №1. Знайти найбільше та найменше значення функції: на відрізку .
Рішення.

Критична точка одна x 1 = 2 (f'(x) = 0). Ця точка належить відрізку. (Точка x=0 перестав бути критичної, оскільки 0∉).
Обчислюємо значення функції на кінцях відрізка та у критичній точці.
f(1)=9, f(2)= 5/2, f(3)=3 8/81
Відповідь: f min = 5/2 при x=2; f max =9 при x=1

Приклад №2. За допомогою похідних вищих порядків знайти екстремум функції y = x-2 sin (x).
Рішення.
Знаходимо похідну функції: y'=1-2cos(x). Знайдемо критичні точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Знаходимо y’’=2sin(x), обчислюємо , отже x= π / 3 +2πk, k∈Z – точки мінімуму функції; , Отже x = - π / 3 +2πk, k∈Z - точки максимуму функції.

Приклад №3. Дослідити на екстремум функцію на околицях точки x=0.
Рішення. Тут потрібно знайти екстремуми функції. Якщо екстремум x = 0, то з'ясувати його тип (мінімум або максимум). Якщо знайдених точок немає x = 0, то обчислити значення функції f(x=0).
Слід звернути увагу на те, що коли похідна з кожної сторони від цієї точки не змінює свого знака, не вичерпуються можливі ситуаціїнавіть для диференційованих функцій: може статися, що для будь-якої малої околиці по одну зі сторін від точки x 0 або по обидва боки похідна змінює знак. У цих точках доводиться застосовувати інші методи дослідження функцій на екстремум.

Важливим поняттям математики є функція. З її допомогою можна наочно уявити багато процесів, що відбуваються в природі, відобразити з використанням формул, таблиць та зображень на графіку взаємозв'язок між певними величинами. Прикладом може бути залежність тиску шару рідини на тіло від глибини занурення, прискорення - від на об'єкт певної сили, збільшення температури - від енергії, що передається, і багато інших процесів. Дослідження функції передбачає побудова графіка, з'ясування її властивостей, області визначення та значень, проміжків зростання та спадання. Важливим моментому цьому процесі є знаходження точок екстремуму. Про те, як правильно це робити, і йтиметься далі.

Про поняття на конкретному прикладі

У медицині побудова графіка функції може розповісти про перебіг розвитку хвороби в організмі пацієнта, наочно відбиваючи його стан. Припустимо, по осі ОХ відкладається час на добу, а по осі ОУ – температура тіла людини. На малюнку добре видно, як цей показник різко здіймається, а потім падає. Неважко помітити також особливі точки, Що відбивають моменти, коли функція, раніше зростаючи, починає зменшуватися, і навпаки. Це точки екстремуму, тобто критичні значення (максимальні та мінімальні) в даному випадкутемператури хворого, після яких настають зміни у його стані.

Кут нахилу

Легко можна визначити за малюнком, як змінюється похідна функції. Якщо прямі лінії графіка з часом йдуть вгору, вона позитивна. І чим вони крутіші, тим більше значення набуває похідна, оскільки росте кут нахилу. У періоди спадання ця величина набуває негативних значень, в точках екстремуму звертаючись у нуль, а графік похідної в останньому випадку малюється паралельно осі ОХ.

Будь-який інший процес слід розглядати аналогічним чином. Але найкраще про це поняття може розповісти рух різних тіл, наочно показане на графіках.

Рух

Припустимо, деякий об'єкт рухається прямою, рівномірно набираючи швидкість. У цей період зміна координати тіла графічно є якоюсь кривою, яку математик назвав би гілкою параболи. У цьому функція постійно зростає, оскільки показники координати з кожною секундою змінюються дедалі швидше. Графік швидкості демонструє поведінку похідної, значення якої також зростає. Отже, рух немає критичних точок.

Так би й тривало нескінченно довго. Але якщо тіло раптом вирішить загальмувати, зупинитися та почати рухатися в іншому напрямку? У разі показники координати почнуть зменшуватися. А функція перейде критичне значення і з зростаючої перетвориться на спадну.

На цьому прикладі знову можна зрозуміти, що точки екстремуму на графіку функції з'являються в моменти, коли вона перестає бути монотонною.

Фізичний зміст похідної

Описане раніше наочно показало, що похідна насправді є швидкістю зміни функції. У цьому уточненні і укладено її фізичний зміст. Крапки екстремуму – це критичні області на графіку. Їх можна з'ясувати і виявити, обчисливши значення похідної, яка виявляється рівною нулю.

Існує й інша ознака, яка є достатньою умовою екстремуму. Похідна в таких місцях перегину змінює свій знак: з + на "-" в області максимуму і з "-" на "+" в районі мінімуму.

Рух під впливом сили тяжіння

Уявімо ще одну ситуацію. Діти, граючи в м'яч, кинули його в такий спосіб, що він почав рухатися під кутом до горизонту. У початковий момент швидкість даного об'єкта була найбільшою, але під дією сили тяжіння почала зменшуватися, причому з кожною секундою на одну й ту саму величину, що дорівнює приблизно 9,8 м/с 2 . Це значення прискорення, що виникає під впливом гравітації земної при вільному падінні. На Місяці воно було б приблизно в шість разів менше.

Графіком, що описує рух тіла, є парабола з гілками, спрямованими вниз. Як знайти точки екстремуму? В даному випадку це вершина функції, де швидкість тіла (м'яча) набуває нульового значення. Похідна функції стає рівною нулю. У цьому напрям, отже, і значення швидкості, змінюється на протилежне. Тіло летить вниз з кожною секундою все швидше, причому прискорюється на ту саму величину - 9,8 м/с2.

Друга похідна

У попередньому випадку графік модуля швидкості змальовується як пряма. Ця лінія виявляється спочатку спрямована вниз, оскільки значення цієї величини постійно зменшується. Досягши нуля в один із моментів часу, далі показники цієї величини починають зростати, а напрямок графічного зображеннямодуля швидкості кардинально змінюється. Тепер лінія спрямована нагору.

Швидкість, похідна від координати за часом, теж має критичну точку. У цій галузі функція, спочатку спадаючи, починає зростати. Це місце точки екстремуму похідної функції. В даному випадку кут нахилу дотичної стає рівним нулю. А прискорення, будучи другою похідною від координати за часом, змінює знак із «-» на «+». І рух із рівноуповільненого стає рівноприскореним.

Графік прискорення

Тепер розглянемо чотири малюнки. На кожному з них відображено графік зміни з часом такої фізичної величини, як прискорення. У разі «А» значення його залишається позитивним та постійним. Це означає, що швидкість тіла, як і його координата постійно збільшується. Якщо уявити, що об'єкт рухатиметься таким чином нескінченно довго, функція, що відображатиме залежність координати від часу, виявиться постійно зростаючою. Із цього випливає, що вона не має критичних областей. Точки екстремуму на графіку похідної, тобто лінійно змінної швидкості, також відсутні.

Те саме стосується і випадку «Б» з позитивним і прискоренням, що постійно збільшується. Щоправда, графіки для координати та швидкості тут будуть дещо складнішими.

Коли прискорення прагне нуля

Розглядаючи малюнок "В", можна спостерігати зовсім іншу картину, що характеризує рух тіла. Швидкість його графічно зображуватиметься параболою з гілками, спрямованими вниз. Якщо продовжити лінію, що описує зміна прискорення до перетину її з віссю ОХ, і далі, можна уявити, що до цього критичного значення, де прискорення виявиться рівним нулю, швидкість об'єкта буде збільшуватися все повільніше. Точка екстремуму похідної від функції координати виявиться якраз у вершині параболи, після чого тіло кардинально змінить характер руху та почне рухатися в іншому напрямку.

У разі, «Г», характер руху точно визначити неможливо. Тут відомо тільки, що прискорення за деякий період відсутній. Отже, об'єкт може залишатися дома або рух відбувається з постійної швидкістю.

Завдання на складання координат

Перейдемо до завдань, які часто зустрічаються щодо алгебри у шкільництві та пропонуються на підготовку до ЄДІ. На малюнку, що представлений нижче, зображено графік функції. Потрібно обчислити суму точок екстремуму.

Зробимо це осі ординат, визначивши координати критичних областей, де спостерігається зміна характеристик функції. Простіше кажучи, знайдемо значення осі ОХ для точок перегину, а потім перейдемо до складання отриманих членів. За графіком очевидно, що вони набувають таких значень: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. У сумі це становить -21, що є відповіддю.

Оптимальне вирішення

Не варто пояснювати, наскільки виявиться важливим у виконанні практичних завдань вибір оптимального рішення. Адже шляхів досягнення мети буває багато, а найкращий вихід, як правило, лише один. Це дуже необхідно, наприклад, при конструюванні судів, космічних кораблівта літаків, архітектурних споруддля знаходження оптимальної формиданих рукотворних об'єктів.

Швидкохідність засобів пересування багато в чому залежить від грамотного відомості до мінімуму опору, який вони відчувають при переміщенні по воді та повітрі, від навантажень, що виникають під дією гравітаційних сил та багатьох інших показників. Кораблю на морі необхідні такі якості, як стійкість під час шторму, для річкового судна важлива мінімальна осадка. При розрахунках оптимальної конструкціїточки екстремуму на графіку наочно можуть дати уявлення про найкращому рішенні складної проблеми. Завдання такого плану часто вирішуються в економіці, у господарських галузях, у багатьох інших життєвих ситуацій.

З античної історії

Завдання на екстремум займали навіть давніх мудреців. Грецькі вчені успішно розгадали таємницю площ і обсягів шляхом математичних обчислень. Це вони першими зрозуміли, що на площині з різноманітних фігур, що мають один і той же периметр, найбільшу площузавжди має коло. Аналогічним чином шар наділений максимальним обсягом серед інших предметів у просторі з однаковою величиною поверхні. Вирішенню подібних завдань присвятили себе такі найвідоміші особистості, як Архімед, Евклід, Арістотель, Аполлоній. Знайти точки екстремуму чудово вдавалося Герону, який, вдавшись до розрахунків, споруджував хитромудрі пристрої. До них належали автомати, що переміщаються за допомогою пари, що працюють за тим самим принципом насоси та турбіни.

Будівництво Карфагену

Існує легенда, сюжет якої побудований на вирішенні одного з екстремальних завдань. Результатом ділового підходу, який продемонструвала фінікійська царівна, яка звернулася за допомогою до мудреців, стало будівництво Карфагену. Земельна ділянкадля цього стародавнього та уславленого міста подарував Дідоні (так звали правительку) вождь одного з африканських племен. Площа наділу не здалася йому спочатку дуже великою, оскільки за договором мала покриватися волов'ячою шкірою. Але царівна наказала своїм воїнам розрізати її на тонкі смуги і скласти їх ремінь. Він вийшов настільки довгим, що охопив ділянку, де вмістилося ціле місто.

Витоки математичного аналізу

А тепер перенесемося з античних часів у пізнішу епоху. Цікаво, що до усвідомлення основ математичного аналізупідштовхнула Кеплера у XVII столітті зустріч із продавцем вина. Торговець був настільки обізнаний у своїй професії, що легко міг визначити обсяг напою, що знаходиться в бочці, просто опускаючи туди залізний джгут. Розмірковуючи над подібним курйозом, знаменитий учений зумів вирішити собі цю дилему. Виявляється, майстерні бочари тих часів призвичаїлися виготовляти судини таким чином, щоб при певній висоті і радіусі кола скріплюючих кілець вони мали максимальну місткість.

Це стало для Кеплера приводом для подальших роздумів. Бочарі прийшли до оптимальному рішеннюметодом тривалого пошуку, помилок та нових спроб, передаючи свій досвід із покоління в покоління. Але Кеплер хотів прискорити процес і навчитися робити те саме в короткий строкшляхом математичних обчислень. Усі його напрацювання, підхоплені колегами, перетворилися на відомі нині теореми Ферма та Ньютона – Лейбніца.

Завдання на перебування максимальної площі

Уявимо, що ми маємо дріт, довжина якого дорівнює 50 см. Як скласти з нього прямокутник, який має найбільшу площу?

Починаючи рішення, слід виходити з простих і відомих будь-яких істин. Зрозуміло, що периметр нашої фігури становитиме 50 см. Він складається з подвоєних довжин обох сторін. Це означає, що, позначивши за «Х» одну з них, іншу можна виразити як (25 – Х).

Звідси отримуємо площу, що дорівнює Х(25 - Х). Дане вираз можна як функцію, приймає безліч значень. Розв'язання задачі вимагає знайти максимальне з них, а значить слід дізнатися точки екстремуму.

Для цього знаходимо першу похідну та прирівнюємо її нулю. В результаті виходить просте рівняння: 25 – 2Х = 0.

З нього ми дізнаємося, що одна із сторін Х = 12,5.

Отже, інша: 25 – 12,5 = 12,5.

Виходить, що розв'язанням задачі буде квадрат зі стороною 12,5 см.

Як знайти максимальну швидкість

Розглянемо ще один приклад. Уявимо, що існує тіло, прямолінійний рухякого описується рівнянням S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8 де пройдена відстань виражається в метрах, а час в секундах. Потрібно знайти максимальну швидкість. Як це зробити? Скачала знаходимо швидкість, тобто першу похідну.

Отримуємо рівняння: V = - 3t 2 + 18t - 24. Тепер для вирішення задачі знову потрібно знайти точки екстремуму. Зробити це необхідно тим самим способом, що й у попередній задачі. Знаходимо першу похідну від швидкості та прирівнюємо її до нуля.

Отримуємо: - 6t + 18 = 0. Звідси t = 3 с. Це час, коли швидкість тіла набуває критичного значення. Підставляємо отримане дане рівняння швидкості і отримуємо: V = 3 м/с.

Але як зрозуміти, що це саме максимальна швидкість, адже критичними точками функції можуть бути найбільші чи найменші значення? Для перевірки потрібно знайти другу похідну від швидкості. Вона виражається числом 6 зі знаком мінус. Це означає, що знайдена точка є максимумом. А у випадку позитивного значеннядругий похідний був би мінімум. Отже, знайдене рішення виявилося правильним.

Наведені як приклад завдання є лише частиною тих, які можна вирішити, вміючи знаходити точки екстремуму функції. Насправді їх значно більше. А подібні знання відкривають перед людською цивілізацієюнеобмежені можливості.

Урок на тему: "Знаходження точок екстремумів функцій. Приклади"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 10 класу від 1С
Вирішуємо задачі з геометрії. Інтерактивні завдання на побудову для 7-10 класів
Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.1"

Що вивчатимемо:
1. Введення.
2. Точки мінімуму та максимуму.

4. Як обчислювати екстремуми?
5. Приклади.

Введення в екстремуми функцій

Діти, давайте подивимося на графік деякої функції:

Зауважить, що поведінка нашої функції y = f (x) багато чому визначається двома точками x1 і x2. Давайте уважно подивимося на графік функції у цих точках та біля них. До точки x2 функція зростає, у точці x2 відбувається перегин, і відразу після цієї точки функція зменшується до точки x1. У точці x1 функція знову перегинається, і після цього знову зростає. Точки x1 і x2 поки що так і називатимемо точками перегину. Давайте проведемо дотичні у цих точках:

Дотичні в наших точках паралельні осі абсцис, а отже, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює нулю. Це означає, як і похідна нашої функції у цих точках дорівнює нулю.

Подивимося на графік ось такої функції:

Щодо точок x2 і x1 провести неможливо. Отже, похідної у цих точках немає. Тепер подивимося знову на наші точки на двох графіках. Точка x2 - це точка, в якій функція досягає найбільшого значення в деякій області (поряд з точкою x2). Точка x1 - це точка, у якій функція сягає свого найменшого значення у певній області (поруч із точкою x1).

Точки мінімуму та максимуму

Визначення: Точку x= x0 називають точкою мінімуму функції y=f(x), якщо існує околиця точки x0, у якій виконується нерівність: f(x) ≥ f(x0).

Визначення: Точку x=x0 називають точкою максимуму функції y=f(x), якщо існує околиця точки x0, у якій виконується нерівність: f(x) ≤ f(x0).

Хлопці, а що таке околиця?

Визначення: Околиця точки - безліч точок, що містить нашу точку, та близькі до неї.

Околиця ми можемо ставити самі. Наприклад, для точки x=2 ми можемо визначити околицю у вигляді точок 1 і 3.

Повернемося до наших графіків, подивимося на точку x2, вона найбільша за всі інші точки з деякої околиці, тоді за визначенням - це точка максимуму. Тепер подивимося на точку x1, вона менша за всі інші точки з деякої околиці, тоді за визначенням - це точка мінімуму.

Хлопці, давайте введемо позначення:

Y min - точка мінімуму,
y max – точка максимуму.

Важливо!Хлопці, не плутайте точки максимуму та мінімуму з найменшим та найбільшим значенням функції. Найменше та найбільше значення шукаються на всій області визначення заданої функції, А точки мінімуму і максимуму в околиці.

Екстремуми функції

Для точок мінімуму та максимуму є загальний термін – точки екстремуму.

Екстремум (лат. extremum – крайній) – максимальне чи мінімальне значення функції на заданій множині. Крапка, в якій досягається екстремум, називається точкою екстремуму.

Відповідно, якщо досягається мінімум – точка екстремуму називається точкою мінімуму, а якщо максимум – точкою максимуму.

Як шукати екстремуми функції?

Повернімося до наших графіків. У наших точках похідна або звертається в нуль (на першому графіку), або не існує (на другому графіку).

Тоді можна зробити важливе твердження: Якщо функція y=f(x) має екстремум у точці x=x0, то цій точці похідна функції або дорівнює нулю, або немає.

Точки, в яких похідна дорівнює нулю, називаються стаціонарними.

Точки, у яких похідної функції немає, називаються критичними.

Як обчислювати екстремуми?

Діти, давайте знову повернемося до першого графіку функції:

Аналізуючи цей графік, ми говорили: до точки x2 функція зростає, у точці x2 відбувається перегин, і після цієї точки функція зменшується до точки x1. У точці x1 у функції знову перегинається, і після цього функція знову збільшується.

З таких міркувань, можна дійти невтішного висновку, що функція у точках екстремуму змінює характер монотонності, отже, і похідна функція змінює знак. Згадаймо: якщо функція зменшується, то похідна менше чи дорівнює нулю, і якщо функція зростає, то похідна більше чи дорівнює нулю.

Узагальним отримані знання твердженням:

Теорема: Достатня умова екстремуму: нехай функція y = f (x) безперервна на деякому проміжку Х і має всередині проміжку стаціонарну або критичну точку x = x0. Тоді:

• Якщо ця точка існує така околиця, у якій при x x0 виконується f'(x)>0, то точка x0 – точка мінімуму функції y= f(x).
• Якщо у цієї точки існує така околиця, в якій при x 0, а при x > x0 виконується f'(x) Якщо у цієї точки існує така околиця, в якій і зліва і праворуч від точки x0 похідні знаки однакові, то в точці x0 екстремуму немає.

Для вирішення завдань запам'ятайте такі правила: Якщо знаки похідних визначено:

Алгоритм дослідження безперервної функції y=f(x) на монотонність та екстремуми:

• Знайти похідну y'.
• Знайти стаціонарні (похідна дорівнює нулю) та критичні точки (похідна не існує).
• Відзначити стаціонарні і критичні точки на числовій прямій і визначити знаки похідної на проміжках, що виходять.
• За зазначеними вище твердженням дійти невтішного висновку характері точок екстремуму.

Приклади знаходження точки екстремумів

1) Знайти точки екстремуму функції та визначити їх характер: y= 7+ 12*x - x 3

Рішення: Наша функція безперервна, тоді скористаємося нашим алгоритмом:
а) y"= 12 - 3x 2
б) y"= 0, при x= ±2,

Точка x=-2 – точка мінімуму функції, точка x=2 – точка максимуму функції.
Відповідь: x=-2 – точка мінімуму функції, x=2 – точка максимуму функції.

2) Знайти точки екстремуму функції та визначити їх характер.

3) Знайти точки екстремуму функції y= x - 2cos(x) і визначити їх характер, при -π ≤ x ≤ π.

Рішення: Наша функція безперервна, скористаємося нашим алгоритмом:
а) y"= 1 + 2sin(x),
б) знайдемо значення у якій похідна дорівнює нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
в) відзначимо стаціонарні точки на числовій прямій та визначимо знаки похідної: г) подивимося наш малюнок, де зображені правила визначення екстремумів.
Точка x=-5π/6 - точка максимуму функції.
Точка x=-π/6 – точка мінімуму функції.
Відповідь: x=-5π/6 – точка максимуму функції, x=-π/6 – точка мінімуму функції.

4) Знайти точки екстремуму функції та визначити їх характер:

Завдання для самостійного вирішення

Звернемося до графіка функції у = х 3 - 3х2. Розглянемо околицю точки x = 0, тобто. деякий інтервал, що містить цю точку. Логічно, що існує така околиця точки х = 0, що найбільше значення функція у = х 3 – 3х 2 у цій околиці приймає в точці х = 0. Наприклад, на інтервалі (-1; 1) найбільше значення, що дорівнює 0, функція набуває у точці х = 0. Точку х = 0 називають точкою максимуму цієї функції.

Аналогічно, точка х = 2 називається точкою мінімуму функції х 3 - 3х 2, так як у цій точці значення функції не більше її значення в іншій точці околиці точки х = 2, наприклад, околиці (1,5; 2,5).

Таким чином, точкою максимуму функції f(х) називається точка х 0 якщо існує околиця точки х 0 – така, що виконується нерівність f(х) ≤ f(х 0) для всіх х з цієї околиці.

Наприклад, точка х 0 = 0 – це точка максимуму функції f(х) = 1 – х 2 , оскільки f(0) = 1 і вірна нерівність f(х) ≤ 1 при всіх значеннях х.

Точкою мінімуму функції f(х) називається точка х 0 якщо існує така околиця точки х 0 що виконується нерівність f(х) ≥ f(х 0) для всіх х з цієї околиці.

Наприклад, точка х 0 = 2 – це точка мінімуму функції f(х) = 3 + (х – 2) 2 так як f(2) = 3 і f(х) ≥ 3 при всіх х.

Точками екстремуму називаються точки мінімуму та точки максимуму.

Звернемося до функції f(х), яка визначена в околиці точки х 0 і має в цій точці похідну.

Якщо х 0 – точка екстремуму функції, що диференціюється f(х), то f "(х 0) = 0. Це твердження називають теоремою Ферма.

Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: у точці екстремуму дотична паралельна осі абсцис і тому її кутовий коефіцієнт
f "(х 0) дорівнює нулю.

Наприклад, функція f(х) = 1 - 3х2 має в точці х 0 = 0 максимум, її похідна f "(х) = -2х, f "(0) = 0.

Функція f(х) = (х - 2) 2 + 3 має мінімум у точці х 0 = 2, f "(х) = 2 (х - 2), f "(2) = 0.

Зазначимо, якщо f "(х 0) = 0, цього недостатньо, щоб стверджувати, що х 0 – це обов'язково точка екстремуму функції f(х).

Наприклад, якщо f(х) = х 3 то f "(0) = 0. Однак точкою екстремуму точка х = 0 не є, так як на всій числовій осі функція х 3 зростає.

Отже, точки екстремуму функції, що диференціюється, необхідно шукати лише серед коренів рівняння.
f "(х) = 0, але корінь цього рівняння не завжди є точкою екстремуму.

Стаціонарними точками називають точки, у яких похідна функції дорівнює нулю.

Таким чином, для того щоб точка х 0 була точкою екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною точкою.

Розглянемо достатні умови те, що стаціонарна точка є точкою екстремуму, тобто. умови, у виконанні яких стаціонарна точка є точкою мінімуму чи максимуму функції.

Якщо похідна лівіше стаціонарної точки позитивна, а правіше – негативна, тобто. похідна змінює знак "+" на знак "-" при переході через цю точку, то ця стаціонарна точка - це точка максимуму.

Справді, у разі лівіше стаціонарної точки функція зростає, а правіше – зменшується, тобто. дана точка- Це точка максимуму.

Якщо похідна змінює знак «–» на знак «+» під час переходу через стаціонарну точку, то ця стаціонарна точка є точкою мінімуму.

Якщо похідна знак не змінює під час переходу через стаціонарну точку, тобто. ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна позитивна чи негативна, то ця точка не є точкою екстремуму.

Розглянемо одне із завдань. Знайти точки екстремуму функції f(х) = х4 – 4х3.

Рішення.

1) Знайдемо похідну: f "(х) = 4х3 - 12х2 = 4х2 (х - 3).

2) Знайдемо стаціонарні точки: 4х2 (х - 3) = 0, х1 = 0, х2 = 3.

3) Методом інтервалів встановлюємо, що похідна f "(х) = 4х 2 (х - 3) позитивна при х> 3, негативна при х< 0 и при 0 < х < 3.

4) Оскільки при переході через точку х 1 = 0 знак похідної не змінюється, то ця точка не є точкою екстремуму.

5) Похідна змінює знак «–» на знак «+» під час переходу через точку х 2 = 3. Тому х 2 = 3 – точка мінімуму.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.