Дивитись що таке "УМОВНИЙ ЕКСТРЕМУМ" в інших словниках:

Відносний екстремум, екстремум функції f (x1,..., xn + m) від п + т змінних у припущенні, що ці змінні підпорядковані ще рівнянням зв'язку (умовам): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (див. Екстремум).

Нехай відкрите безліч і задані функції. Нехай. Ці рівняння називають рівняннями зв'язків (термінологія запозичена з механіки). Нехай на G визначено функцію … Вікіпедія

- (Від лат. extremum крайнє) значення безперервної функції f (x), що є або максимумом, або мінімумом. Точніше: безперервна в точці х0 функція f (x) має x0 максимум (мінімум), якщо існує околиця (x0 + δ, x0 δ) цієї точки, ... ... Велика Радянська Енциклопедія

Цей термін має й інші значення, див. Екстремум (значення). Екстремум (лат. extremum крайній) у математиці максимальне або мінімальне значення функції на заданій множині. Точка, в якій досягається екстремум, ... Вікіпедія

Функція, що використовується під час вирішення завдань на умовний екстремум функцій багатьох змінних та функціоналів. За допомогою Л. ф. записуються необхідні умови оптимальності у завдання на умовний екстремум. При цьому не потрібно висловлювати одні перемінні. Математична енциклопедія

Математична дисципліна, присвячена пошуку екстремальних (найбільших і найменших) значень функціоналів змінних величин, що залежать від вибору однієї або декількох функцій. Ст і. є природним розвитком того розділу. Велика Радянська Енциклопедія

Змінні, за допомогою яких будується Лагранжа функція при дослідженні завдань на умовний екстремум. Використання Л. м. та функції Лагранжа дозволяє одноманітним способом отримувати необхідні умови оптимальності у завданнях на умовний екстремум. Математична енциклопедія

Варіаційне обчислення - це розділ функціонального аналізу, в якому вивчаються варіації функціоналів. Найбільш типова задача варіаційного обчислення полягає в тому, щоб знайти функцію, на якій заданий функціонал досягає.

Розділ мате.матики, присвячений дослідженню методів відшукання екстремумів функціоналів, що залежать від вибору однієї або декількох функцій при різноманітних обмеженнях (фазових, диференціальних, інтегральних і т. п.), що накладаються на ці… Математична енциклопедія

Варіаційне літочислення це розділ математики, в якому вивчаються варіації функціоналів. Найбільш типове завдання варіаційного обчислення у тому, щоб знайти функцію, де функціонал досягає екстремального значення. Методи… … Вікіпедія

Книги

• Лекції з теорії управління. Том 2. Оптимальне управління, В. Бос. Розглядається класична проблематика теорії оптимального управління. Виклад починається з базових понять оптимізації в кінцевих просторах: умовний і безумовний екстремум,…

Спочатку розглянемо випадок функції двох змінних. Умовним екстремумом функції $z=f(x,y)$ у точці $M_0(x_0;y_0)$ називається екстремум цієї функції, досягнутий за умови, що змінні $x$ і $y$ в околиці цієї точки задовольняють рівняння зв'язку $\ varphi (x, y) = 0 $.

Назва «умовний» екстремум пов'язана з тим, що на змінні накладено додаткову умову $ Varphi (x, y) = 0 $. Якщо з рівняння зв'язку можна виразити одну змінну через іншу, то завдання визначення умовного екстремуму зводиться до завдання на звичайний екстремум функції однієї змінної. Наприклад, якщо з рівняння зв'язку випливає $y=\psi(x)$, то підставивши $y=\psi(x)$ $z=f(x,y)$, отримаємо функцію однієї змінної $z=f\left (x, \ psi (x) \ right) $. У загальному випадку, однак, такий метод є малопридатним, тому потрібно введення нового алгоритму.

Метод множників Лагранжа для функцій двох змінних.

Метод множників Лагранжа полягає в тому, що для відшукання умовного екстремуму складають функцію Лагранжа: $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$ (параметр $lambda$ називають множником Лагранжа ). Необхідні умови екстремуму задаються системою рівнянь, з якої визначаються стаціонарні точки:

$$ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x, y) = 0. \end(aligned) \right.$$

Достатньою умовою, з якої можна з'ясувати характер екстремуму, є знак $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Якщо стаціонарної точці $d^2F > 0$, то функція $z=f(x,y)$ має у цій точці умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, то условный максимум.

Є й інший спосіб визначення характеру екстремуму. З рівняння зв'язку отримуємо: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_ (y)^("))dx$, тому в будь-якій стаціонарній точці маємо:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("") \right)$$

Другий помножувач (розташований у дужці) можна представити у такій формі:

Червоним кольором виділено елементи визначника $ \ left | \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$, який є гесіаном функції Лагранжа. Якщо $H > 0$, то $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >0 $, тобто. маємо умовний мінімум функції $ z = f (x, y) $.

Примітка щодо форми запису визначника $H$. показати\сховати

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

У цій ситуації сформульоване вище правило зміниться так: якщо $H > 0$, то функція має умовний мінімум, а при $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Алгоритм дослідження функції двох змінних на умовний екстремум

1. Скласти функцію Лагранжа $F(x,y)=f(x,y)+lambda\varphi(x,y)$
2. Вирішити систему $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi (x, y) = 0. \end (aligned) \right.$
3. Визначити характер екстремуму у кожній із знайдених у попередньому пункті стаціонарних точок. Для цього застосувати будь-який із зазначених способів:
   • Скласти визначник $H$ та з'ясувати його знак
   • З урахуванням рівняння зв'язку обчислити знак $d^2F$

Метод множників Лагранжа для функцій n змінних

Допустимо, ми маємо функцію $n$ змінних $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ і $m$ рівнянь зв'язку ($n > m$):

$ $ \ Varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Позначивши множники Лагранжа як $lambda_1, lambda_2, ldots, lambda_m $, складемо функцію Лагранжа:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

Необхідні умови наявності умовного екстремуму задаються системою рівнянь, з якої знаходяться координати стаціонарних точок та значення множників Лагранжа:

$$\left\(\begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(aligned) \right.$$

З'ясувати, умовний мінімум чи умовний максимум має функція у знайденій точці, можна, як і раніше, за допомогою символу $d^2F$. Якщо знайденої точці $d^2F > 0$, то функція має умовний мінімум, якщо $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Визначник матриці $ \ left | \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$, виділеної в матриці $L$ червоним, є гессиан функції Лагранжа. Використовуємо таке правило:

• Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ матриці $L$ збігаються зі знаком $(-1)^m$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного мінімуму функції $z=f(x_1,x_2 , x_3, \ ldots, x_n) $.
• Якщо символи кутових мінорів $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ чергуються, причому знак мінору $H_(2m+1)$ збігається зі знаком числа $(-1)^(m+1)$, то досліджувана стаціонарна точка є точкою умовного максимуму функції $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.

Приклад №1

Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=x+3y$ за умови $x^2+y^2=10$.

Геометрична інтерпретація цього завдання така: потрібно знайти найбільше і найменше значенняаплікати площини $z=x+3y$ для точок її перетину з циліндром $x^2+y^2=10$.

Виразити одну змінну через іншу з рівняння зв'язку і підставити її у функцію $z(x,y)=x+3y$ трохи важко, тому будемо використовувати метод Лагранжа.

Позначивши $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$, складемо функцію Лагранжа:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Запишемо систему рівнянь визначення стаціонарних точок функції Лагранжа:

$$ \left \( \begin(aligned) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (aligned) \right.$$

Якщо припустити $\lambda=0$, перше рівняння стане таким: $1=0$. Отримане протиріччя свідчить, що $lambdaneq 0$. За умови $\lambda\neq 0$ з першого та другого рівнянь маємо: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda)$. Підставляючи отримані значення третє рівняння, отримаємо:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1) (4 lambda ^ 2) + frac (9) (4 lambda ^ 2) = 10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(aligned) \right.\\ \begin(aligned) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(aligned) $$

Отже, система має два рішення: $ x_1 = 1; \; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ і $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці: $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$. І тому обчислимо визначник $H$ у кожному з точок.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2y;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda. \ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

У точці $ M_1 (1; 3) $ отримаємо: $ H = 8 \ cdot \ left | \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, тому в точці $M_1(1;3)$ функція $z(x,y)=x+3y$ має умовний максимум, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Аналогічно, у точці $M_2(-1;-3)$ знайдемо: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. Оскільки $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Зазначу, що замість обчислення значення визначника $H$ у кожній точці набагато зручніше розкрити його в загальному вигляді. Щоб не захаращувати текст подробицями, цей спосіб приховую під примітку.

Запис визначника $H$ у загальному вигляді. показати\сховати

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\x&\lambda&0\y&0&lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

У принципі, очевидно, який знак має $H$. Оскільки жодна з точок $M_1$ або $M_2$ не збігається з початком координат, $y^2+x^2>0$. Отже, знак $H$ протилежний символу $\lambda$. Можна і довести обчислення до кінця:

$$ \begin(aligned) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(aligned) $$

Питання характер екстремуму в стаціонарних точках $M_1(1;3)$ і $M_2(-1;-3)$ можна вирішити без використання визначника $H$. Знайдемо знак $d^2F$ у кожній стаціонарній точці:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Зазначу, що запис $dx^2$ означає саме $dx$, зведений на другий ступінь, тобто. $ \ left (dx \ right) ^ 2 $. Звідси маємо: $dx^2+dy^2>0$, тому при $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ отримаємо $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Відповідь: у точці $(-1;-3)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=-10$. У точці $(1;3)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=10$

Приклад №2

Знайти умовний екстремум функції $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ за умови $x+y=0$.

Перший спосіб (метод множників Лагранжа)

Позначивши $\varphi(x,y)=x+y$ складемо функцію Лагранжа: $F(x,y)=z(x,y)+lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y) = 9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(aligned) 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda = 0; \ \ & x + y = 0. \end (aligned) \right.

Вирішивши систему, отримаємо: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ і $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9)$ , $ \ lambda_2 = -10 $. Маємо дві стаціонарні точки: $M_1(0;0)$ і $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. З'ясуємо характер екстремуму у кожній стаціонарній точці з використанням визначника $H$.

$ $ H = \ left | \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

У точці $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, тому у цій точці функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Досліджуємо характер екстремуму в кожній з точок іншим способом, ґрунтуючись на знаку $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy^2 $$

З рівняння зв'язку $x+y=0$ маємо: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Оскільки $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, то $M_1(0;0)$ є точкою умовного мінімуму функції $z(x,y)=3y^3+4x^ 2-xy $. Аналогічно $d^2F \Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Другий спосіб

З рівняння зв'язку $x+y=0$ отримаємо $y=-x$. Підставивши $y=-x$ у функцію $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, отримаємо деяку функцію змінної $x$. Позначимо цю функцію як $u(x)$:

$$u(x)=z(x,-x)=3cdot(-x)^3+4x^2-xcdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Таким чином, задачу про знаходження умовного екстремуму функції двох змінних ми звели до завдання визначення екстремуму функції однієї змінної.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\ -9x^2+10x=0; \;x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \\ y_1=-x_1=0;\\x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).

Отримали точки $M_1(0;0)$ і $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Подальше дослідження відоме з курсу диференціального обчисленняфункцій однією зміною. Досліджуючи знак $u_(xx)^("")$ у кожній стаціонарній точці або перевіряючи зміну знака $u_(x)^(")$ у знайдених точках, отримаємо ті самі висновки, що і при вирішенні першим способом. Наприклад, перевіримо знак $u_(xx)^("")$:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Оскільки $u_(xx)^("")(M_1)>0$, то $M_1$ - точка мінімуму функції $u(x)$, у своїй $u_(\min)=u(0)=0$ . Оскільки $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Значення функції $u(x)$ за заданої умови зв'язку збігаються зі значеннями функції $z(x,y)$, тобто. знайдені екстремуми функції $u(x)$ і є умовні екстремуми функції $z(x,y)$, що шукаються.

Відповідь: у точці $(0;0)$ функція має умовний мінімум, $z_(\min)=0$. У точці $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

Розглянемо ще один приклад, у якому характер екстремуму з'ясуємо у вигляді визначення знака $d^2F$.

Приклад №3

Знайти найбільше та найменше значення функції $z=5xy-4$, якщо змінні $x$ і $y$ позитивні та задовольняють рівняння зв'язку $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2) -1 = 0 $.

Складемо функцію Лагранжа: $ F = 5xy-4 + lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. Знайдемо стаціонарні точки функції Лагранжа:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(aligned) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1 = 0; \ \ & x > 0; \;y > 0. \end(aligned) \right.$$

Усі подальші перетворення здійснюються з урахуванням $x>0; \; y > 0$ (це обумовлено за умови завдання). З другого рівняння виразимо $\lambda=-\frac(5x)(y)$ і підставимо знайдене значення у перше рівняння: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)(4)=0$ , $4y^2-x^2=0$, $x=2y$. Підставляючи $x=2y$ у третє рівняння, отримаємо: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $y = 1 $.

Оскільки $y=1$, то $x=2$, $\lambda=-10$. Характер екстремуму у точці $(2;1)$ визначимо, з знаку $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Оскільки $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, то:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

В принципі, тут можна відразу підставити координати стаціонарної точки $x=2$, $y=1$ та параметра $\lambda=-10$, отримавши при цьому:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Однак в інших завданнях на умовний екстремум стаціонарних точок може бути декілька. У таких випадках краще $d^2F$ подати у загальному вигляді, а потім підставляти в отриманий вираз координати кожної зі знайдених стаціонарних точок:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\=\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda) )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Підставляючи $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$, отримаємо:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Оскільки $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Відповідь: у точці $(2;1)$ функція має умовний максимум, $z_(\max)=6$.

У наступній частині розглянемо застосування методу Лагранжа для функцій більшої кількості змінних.

Нехай функція z - / (х, у) визначена в деякій ділянці D і нехай Мо (хо, Уо) - внутрішня точка цієї області. Визначення. Якщо існує таке число, що для всіх, що задовольняють умовам, вірна нерівність то точка Мо(хо, уо) називається точкою локального максимумуфункції /(х, у); якщо для всіх Дх, Ду, що задовольняють умовам | то точка Мо(хо,уо) називається тонкою локального мінімуму. Іншими словами, точка М0(х0, у0) є точка максимуму або мінімуму функції /(х, у), якщо існує 6-околиця точки А/о(хо,уо) така, що у всіх точках М(х, у) цієї околиці збільшення функції зберігає знак. приклади. 1. Для функції точка – точка мінімуму (рис. 17). 2. Для функції точка 0(0,0) є точкою максимуму (рис.18). 3. Для функції точка 0(0,0) є точкою локального максимуму. 4 Насправді, існує околиця точки 0(0, 0), наприклад, коло радіусу j (див. рис. 19), у будь-якій точці якого, відмінної відточки 0(0,0), значення функції /(х,у) менше 1 = Ми будемо розглядати тільки точки строгдго максимуму і мінімуму функцій, коли сувора нерівність або сувора нерівність виконується для всіх точок М(х) у) з деякою проколотою 6-околиці точки Mq. Значення функції у точці максимуму називається максимумом, а значення функції у точці мінімуму - мінімумом цієї функції. Точки максимуму та точки мінімуму функції називаються точками екстремуму функції, а самі максимуми та мінімуми функції – її екстремумами. Теорема 11 (необхідна умова екстремуму). Якщо функція Екстремум функції кількох змінних Поняттяекстремуму функції кількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму Умовний екстремум Найбільше та найменше значення безперервних функцій має екстремум у точці то в цій точці кожна приватна похідна і або звертається в нуль, або не існує. Нехай у точці М0(х0, уо) Функція z = f(x) у) має екстремум. Дамо змінної значення уо. Тоді функція z = / (х, у) буде функцією однієї змінної х \ Так як при х = хо вона має екстремум (максимум або мінімум, рис. 20), то її похідна при х = «о, | (*о,л>)" дорівнює нулю, або не існує. Аналогічно переконуємося в тому, що) або дорівнює нулю, або не існує. Точки, в яких = 0 і щ = 0 або не існують, називаються критичними точками функції z = Дх, у) Точки, в яких $ £ = щ = 0, називаються також стаціонарними точками функції.Теорема 11 виражає лише необхідні умови екстремуму, які не є достатніми. Але ця функція а тонка на імват "страмума. Дійсно, функція дорівнює нулю в точці 0(0,0) і приймає в точках М(х,у), як завгодно близьких до точки 0(0,0), позитивні квк, так і від'ємні значення. Для неї так що в точках у точках (0, у) при скільки завгодно малих Точку 0(0,0) зазначеного типу називають точкою міні-максу (рис. 21). Достатні умови екстремуму функції двох змінних виражаються наступною теоремою. Теоремі 12 (достатні умови екстремуму фужцім д§ух змінних). Нехай точка Мо(хо» Уо) є стаціонарною точкою функції f(x, у), і в деякій околиці точки / включаючи саму точку Мо, функція / (г, у) має безперервні похідні приватні до другого порядку включно. Тоді". 1) у точці Mq(xq, Уо) функція /(ж, у) має максимум, якщо в цій точці визначник 2) у точці Мо(я0, Уо) функція /(ж, у) має мінімум, якщо в точці Мо(го, Уо) функція /(ж, у) не має екстремуму, якщо D(xо, уо)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Уо) екстремум функції f(x, у) лягає бути, може і не бути. І тут потрібно подальше дослідження. м Обмежимося доказом тверджень 1) та 2) теореми. Напишемо формулу Тейлора другого порядку для функції/(я, у): де. За умовою звідки видно, що знак збільшення Д/ визначається знаком тричлена в правій частині (1), тобто знаком другого диференціала d2f. Позначимо для стислості. Тоді рівність (l) можна записати так: Нехай у точці MQ(so, Уо) маємо. околиці точки M0 (s0, yo). Якщо виконано умову (у точці Л/0, і через безперервність похідна /,z(s,y) зберігатиме знак у певній околиці точки Af0. В області,де А Ф 0, маємо Звідси видно, що й ЛС - В2 > 0 в деякій околиці точки М0(х0) у0), то знак тричлена ААх2 -I- 2ВАхАу + СДу2 збігається зі знаком А в точці (so, Уо) (а також і зі знаком С, оскільки при АС - В2 > 0 А і Не можуть мати різні знаки). Так як знак суми AAs2 + 2ВАхАу + САу2 у точці (s0 + $ Ах, уо + 0 Ду) визначає знак різниці, то ми приходимо до наступного висновку: якщо для функції /(s,y) у стаціонарній точці (s0, Уо) виконано умова, то досить малих || виконуватиметься нерівність. Тим самим у точці (sq, Уо) функція /(s, у) має максимум. Якщо ж стаціонарної точці (s0, уо) виконано умова), то всім досить малих |Дг| та |Ду| Правильно нерівність, отже, у точці (so,yo) функція /(s, у) має мінімум. приклади. 1. Дослідити на екстремум функцію 4 Користуючись необхідними умовами екстремуму, розшукуємо стаціонарні точки функції. Для цього знаходимо приватні похідні, що прирівнюємо їх нулю. Отримуємо систему рівнянь, звідки - стаціонарна точка. Скористаємося тепер теоремою 12. Маємо Значить, у точці Мл екстремум є. Оскільки, то це – мінімум. Якщо перетворити функцію г на вигляд то неважко помітити, що права частина («) буде мінімальною, коли - абсолютний мінімум цієї функції. 2. Дослідити на екстремум функцію Знаходимо стаціонарні точки функції, для чого складаємо систему рівнянь Звідси так що точці – стаціонарна. Так як і через теорему 12 в точці М екстремуму немає. * 3. Дослідити на екстремум функцію Знаходимо стаціонарні точки функції. З системи рівнянь отримуємо, що, так що стаціонарною є точка. Далі маємо так що і теорема 12 не дає відповіді на питання про наявність чи відсутність екстремуму. Вчинимо тому так. Для функції про всі точки, відмінні відточки так що, за визначенням, а точці Л/о(0,0) функція г має абсолютний мінімум. Аналогічними розважаннями встановлюємо, що функція має в точці) максимум, а функція в точці екстремуму не має. Нехай функція п незалежних змінних диференційована в точці Точка Мо називається стаціонарною точкою функції якщо Теорема 13 (досить умовам екстремуму). Нехай функція визначена і має безперервні приватні похідні другого порядку в деякій околиці тонкі Мц(хі..., яка є стаціонарною тонкою функцією, якщо квадратинна форма (другий диференціал функції f у тонку є позитивно визначеною (негативно визначеною), точкою мінімуму (відповідно) максимуму) функції f є тонка Якщо ж квадратинна форма (4) є знакозмінною, то в тонкі ЛГ0 екстремуму немає.Для того щоб встановити, чи буде квадратична форма (4) положггельноили негативно визначеної, можна скористатися, наприклад, критерієм Сильвестра позитивної (негативної) ) визначеності квадратичної форми 15.2 Умовний екстремум До цих пір ми займалися відшуканням локальних екстремумів функції у всій області її визначення, коли аргументи функції не пов'язані ніякими додатковими умовами.Такі екстремуми називаються безумовними. може бути сформульована так: знайти екстремуми функції х = /(я, у) в області D за умови, що Таким чином, при знаходженні умовних екстремумів функції z = у) аргументи гну вже не можна розглядати як незалежні змінні: вони пов'язані між собою співвідношенням у ) = 0, яке називають рівнянням зв'язку. Щоб пояснити розрізнивши м«*Д у безумовним і умовним екстремумом, розглянемо такий приклад, безумовний максимум функції (рис.23) рвеен одиниці і досягається в точці (0,0). Йому відповідає точів М - вершині пврвбо-лоїда, приєднаємо рівняння зв'язку у = j. Тоді умовний максимум буде, очевидно, він досягається а точці (о, |), і йому відверне вершині Afj пврвболи, що є лінією перетину пврвболоїда з площиною у = j . У разі безумовного мвксимумв ми маємо мвксимвальну аплікату серед усіх впліквт поверхні * = 1 - л;2 ~ у1; слумвв умовного - тільки серед влліквт точок пpабололоїдв, відвчввющих точці * прямий у = j не площині хОу. Один з способів пошуку умовного екстремуму функції при наявності і зв'язку полягає в наступному. Нехай рівняння зв'язку у)- Про визначає як однозначну диференційовану функцію аргументу х: Підставляючи в функцію замість функцію, отримуємо функцію одного аргументу в якій умова зв'язку вже враховано. Екстремум (безумовний) функції є умовним екстремумом. приклад. Знайти екстремум функції за умови Екстремум функції кількох змінних Поняття екстремуму функції кількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму Умовний екстремум Найбільше та найменше значення безперервних функцій А З рівняння зв'язку (2") знаходимо у = 1-х. Підставляючи це значення у (V), отримаємо функцію одного аргументу х: Досліджуємо її на екстремум: звідки х = 1 - критична точка ; , Отже доставляє умовний мінімум функції р (рис.24). Вкажемо інший спосіб вирішення задачі про умовний екстремум, званий методом множитимей Лагран-жа. Нехай є точка умовного екстремуму функції за наявності зв'язку Припустимо, що рівняння зв'язку визначає єдину функцію, що безперервно диференціюється, в деякій околиці точки хй. Вважаючи, що отримуємо, що похідна по ж від функції / (г, ip(x)) в точці xq повинна дорівнювати нулю або, що рівносильно цьому, повинен дорівнювати нулю диференціал від f (x, у) в точці Мо" ) З рівняння зв'язку маємо (5) Помножуючи останню рівність на невизначений поки числовий множник А і складаючи почленно з рівністю (4), матимемо (вважаємо, що). умови безумовного екстремуму в точці функції яка називається функцією Лагранжа.Таким чином, точка умовного екстремуму функції /(х, у), якщо, є обов'язково стаціонарна точка функції Лагранжа де А - деякий числовий коефіцієнт.Звідси отримуємо правило для відшукання умовних екстремумів: щоб знайти точки, які можуть бути точками усювного екстремуму функції за наявності зв'язку 1) складаємо функцію Лагранжа; ній з якої знаходимо значення А і координати х, у можливих точок екстремуму. Питання про існування та характер умовного екстремуму вирішується на підставі вивчення знака другого диференціалу функції Лагранжа для аналізованої системи значень x0, Уо, А, отриманої з (8) за умови, що Якщо, то в точці (х0, Уо) функція /(х,у ) має умовний максимум; якщо d2F > 0 – то умовний мінімум. Зокрема, якщо в стаціонарній точці (хо, J/o) визначник D для функції F(x, у) позитивний, то в точці (®о, Уо) є умовний максимум функції /(х, у), якщо і умовний мінімум функції /(ж, у), якщо Приклад. Знову звернемося до умов попереднього прикладу: знайти екстремум функції за умови, що х + у = 1. Розв'язуватимемо завдання методом множників Лагранжа. Функція Лагранжа у разі має вид Для відшукання стаціонарних точок складаємо систему З перших двох рівнянь системи отримуємо, що х = у. Потім із третього рівняння системи (рівняння зв'язку) знаходимо, що х – у = j – координати точки можливого екстремуму. При цьому (вказується, що А = -1. Таким чином, функція Лагранжа є точка умовного мінімуму функції * = х2 + у2 за умови Відсутність безумовного екстремуму для функції Лагранжа. Р(х, у) ще означає відсутність умовного экстремумадля функції /(ж, у) за наявності зв'язку Приклад. Знайти екстремум функції за умови у 4 Складаємо функцію Лагранжа і виписуємо систему для визначення А та координат можливих точок екстремуму: З перших двох рівнянь отримуємо х + у = 0 і приходимо до системи, звідки х = у = А = 0. Таким чином, відповідна функція Лагранжа має вигляд У точці (0,0) функція F(x, у; 0) не має безумовного екстремуму, проте умовний екстремум функції г = ху. коли у = х є. Справді, у разі г = х2. Звідси видно, що у точці (0,0) є умовний мінімум. » Метод множників Лагранжа переноситься на випадок функцій будь-якого числа аргументів/ Нехай шукається екстремум функції за наявності рівнянь зв'язку. Прирівнюючи нулю всі окремі похідні першого порядку від функції F і приєднуючи до отриманих рівнянь рівняння зв'язку (9), отримаємо систему n + m рівнянь, з яких визначаємо Аь А3|... Ат і координати х\) х2) . »хп можливих точок умовного екстремуму. Питання, чи є знайдені за методом Лагранжа точки справді точками умовного екстремуму найчастіше може бути вирішено виходячи з міркувань фізичного чи геометричного характеру. 15.3. Найбільше і найменше значення безперервних функцій Нехай потрібно знайти найбільше (найменше) значення функції z = /(х, у), безперервної в деякій обмеженій області D. За теоремою 3 в цій області знайдеться точка (хо, Уо), в якій функція приймає найбільше (найменше) значення. Якщо точка (хо, у0) лежить всередині області D, то в ній функція / має максимум (мінімум), так що в цьому випадку точка, що цікавить нас, міститься серед критичних точок функції / (х, у). Проте свого найбільшого (найменшого) значення функція /(х, у) може досягати і межі області. Тому, щоб знайти найбільше (найменше) значення, що приймається функцією z = /(х, у) в обмеженій замкнутій області 2), потрібно знайти всі максимуми (мінімуми) функції, що досягаються всередині цієї області, а також найбільше (найменше) значення функції на межі цієї галузі. Найбільше (найменше) з усіх цих чисел і буде шуканим найбільшим (найменшим) значенням функції z = /(х,у) в області 27. Покажемо, як це робиться у випадку функції, що диференціюється. Прммр. Знайти найбільше та найменше значення функції області 4 Знаходимо критичні точки функції усередині області D. Для цього складаємо систему рівнянь Звідси одержуємо х = у «0, так що точка 0(0,0) – критична точка функції х. Так як знайдемо тепер найбільше і найменше значення функції на межі Г області D. На частині кордону маємо так що у = 0 - критична точка, і тому що = то в цій точці функція z = 1 + у2 має мінімум, що дорівнює одиниці. На кінцях відрізка Г», в точках (, маємо. Користуючись міркуваннями симетрії, ті ж результати отримуємо для інших частин кордону. Остаточно отримуємо: найменше значення функції z = х2+у2 в області "Б дорівнює нулю і досягається воно у внутрішній точці 0( 0, 0) області, а найбільше значення цієї функції, що дорівнює двом, досягається в чотирьох точках кордону (рис.25) Рис.25 Вправи Знайдіть область визначення функцій: Побудуйте лінії рівня функцій: 9 Знайдіть поверхні рівня функцій трьох незалежних змінних: Обчисліть межі функцій: Знайдіть приватні похідні функцій та їх повні диференціали: Знайдіть похідні складних функцій: 3 Знайдіть J. Екстремум функції кількох змінних Поняття екстремуму функції кількох змінних. Необхідні та достатні умови екстремуму Умовний екстремум Найбільше та найменше значення безперервних функцій 34. Використовуючи формулу похідної складної функціїдвох змінних, знайдіть функцій: 35. Використовуючи формулу похідної складної функції двох змінних, знайдіть |J і функцій: Знайдіть jj функцій, заданих неявно: 40. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної кривої в точці перетину її з прямою х = 3. 41. Знайдіть точки, в яких дотична крива х паралельна осі Ох. . У наступних задачах знайдіть і Ц: Напишіть рівняння дотичної площини та нормалі поверхні: 49. Складіть рівняння дотичних площин поверхні х2 + 2у2 + Зг2 = 21, паралельних площині х + 4у + 6z = 0. Знайдіть три-чотири перші члени розкладання за формулою : 50. у околиці точки (0, 0). Використовуючи визначення екстремуму функції, досліджуйте на екстремум такі функції:). Використовуючи достатні умови екстремуму функції двох змінних, досліджуйте на екстремум функції: 84. Знайдіть найбільше та найменше значення функції z = х2 - у2 у замкнутому колі 85. 0, у = 0, х + у = б. 88. Визначте розміри прямокутного відкритого басейну, що має найменшу поверхню, за умови, що його об'єм дорівнює V. 87. Знайдіть розміри прямокутного паралелепіпеда, що має придану повної поверхні 5 максимальний об'єм. Відповіді 1. та | Квадрат, утворений відрізками прямих x включаючи його сторони. 3. Сімейство концентричних кілець 2 = 0,1,2,....4. Вся площина крім точок прямих у. Частина площини, розташована вуше параболи у = -х? 8. Точки кола х. Вся площина за винятком прямих х Підкорене вираз невід'ємний у двох випадках j * ^ або j х ^ ^ що рівносильно нескінченній серії нерівностей відповідна Область визначення - заштриховані квадрати (рис.26); л що рівносильно нескінченної серії Функція визначена в точках. а) Прямі, паралельні прямий х б) концентричні кола з центром на початку координат. 10. а) параболи у) параболи у а) параболи б) гіперболи | .Плоскості xc. 13.Прим-одно-порожнинні гіперболоїди обертання навколо осі Oz; при і - двопорожнинні гіперболоїди обертання навколо осі Oz, обидва сімейства поверхонь розділяє конус; Межі не існує, б) 0. 18. Покладемо у = kxt тоді z lim z = -2 так що за дана функціяу точці (0,0) межі немає. 19. а) Крапка (0,0); б) точка (0,0). 20. а) Лінія розриву - коло х2 + у2 = 1; б) лінія розриву – пряма у = х. 21. а) Лінії розриву – координатні осі Ох та Оу; б) 0 (порожня множина). 22. Усі точки (т, п), де і п -цілі числа

Необхідні й достатні умови екстремуму функцій двох змінних.Точка називається точкою мінімуму (максимуму) функції якщо у певній околиці точки функція визначена і задовольняє нерівності (відповідно Точки максимуму та мінімуму називаються точками екстремуму функції).

Необхідна умова екстремуму. Якщо точці екстремуму функція має перші приватні похідні, всі вони звертаються у цій точці нанівець. Звідси випливає, що для відшукання точок екстремуму такої функції слід вирішити систему рівнянь точки, координати яких задовольняють цій системі, називаються критичними точками функції. Серед них можуть бути точки максимуму, точки мінімуму, а також точки, які не є точками екстремуму.

Достатні умови екстремуму використовуються виділення точок екстремуму з безлічі критичних точок і наведені нижче.

Нехай функція має у критичній точці безперервні другі приватні похідні. Якщо у цій точці виконується

умова то вона є точкою мінімуму при і точкою максимуму при Якщо в критичній точці вона не є точкою екстремуму. У разі потрібно більш тонке дослідження характеру критичної точки, яка у цьому випадку може бути точкою екстремуму, а може і не бути такою.

Екстремуми функцій трьох змінних.У разі функції трьох змінних визначення точок екстремуму дослівно повторюють відповідні визначення функції двох змінних. Обмежимося викладом порядку вивчення функції на екстремум. Вирішуючи систему рівнянь слід знайти критичні точки функції, а потім у кожній із критичних точок обчислити величини

Якщо всі три величини позитивні, то критична точка, що розглядається, є точкою мінімуму; якщо дана критична точка є точкою максимуму.

Умовний екстремум функції двох змінних.Точка називається точкою умовного мінімуму (максимуму) функції за умови якщо існує околиця точки в якій функція визначена і в якій (відповідно) для всіх точок координати яких задовольняють рівняння

Для знаходження точок умовного екстремуму використовують функцію Лагранжа

де число називається множником Лагранжа. Вирішуючи систему трьох рівнянь

знаходять критичні точки функції Лагранжа (і навіть значення допоміжного множника Л). У цих критичних точках може бути умовний екстремум. Наведена система дає лише необхідні умови екстремуму, але не достатні: їй можуть задовольняти координати точок, які не є точками умовного екстремуму. Проте, з суті завдання, часто вдається встановити характер критичної точки.

Умовний екстремум функції багатьох змінних.Розглянемо функцію змінних за умови, що пов'язані рівняннями

Умовний екстремум.

Екстремуми функції кількох змінних

Метод найменших квадратів.

Локальний екстремумФНП

Нехай дана функція і= f(Р), РÎDÌR nі нехай точка Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., а п) –внутрішняточка множини D.

Визначення 9.4.

1) Точка Р 0 називається точкою максимуму функції і= f(Р), якщо існує околиця цієї точки U(P 0) Ì D така, що для будь-якої точки Р( х 1 , х 2 , ..., х п)Î U(P 0) , Р¹Р 0 виконується умова f(P) £ f(P 0). Значення f(P 0) функції в точці максимуму називається максимумом функції і позначається f(P 0) = max f(P).

2) Точка Р 0 називається точкою мінімуму функції і= f(Р), якщо існує околиця цієї точки U(P 0)Ì D така, що для будь-якої точки Р( х 1 , х 2 , ..., х п)ÎU(P 0), Р¹Р 0 виконується умова f(P) ³ f(P 0). Значення f(P 0) функції в точці мінімуму називається мінімумом функції і позначається f(P 0) = min f(P).

Точки мінімуму та максимуму функції називаються точками екстремумівзначення функції в точках екстремумів називаються екстремумами функції.

Як випливає з визначення, нерівності f(P) £ f(P 0), f(P) ³ f(P 0) повинні виконуватися тільки в деякій околиці точки Р 0 , а не у всій області визначення функції, отже, функція може мати кілька однотипних екстремумів (кілька мінімумів, кілька максимумів). Тому певні вище екстремуми називають локальними(місцевими) екстремумами.

Теорема 9.1. (необхідна умова екстремуму ФНП)

Якщо функція і= f(х 1 , х 2 , ..., х п) має екстремум у точці Р 0 то її приватні похідні першого порядку в цій точці або рівні нулю, або не існують.

Доведення.Нехай у точці Р 0 ( а 1 , а 2 , ..., а п) функція і= f(P) має екстремум, наприклад, максимум. Зафіксуємо аргументи х 2 , ..., х п, поклавши х 2 =а 2 ,..., х п = а п. Тоді і= f(P) = f 1 ((х 1 , а 2 , ..., а п) є функція однієї змінної х 1 . Так як ця функція має при х 1 = а 1 екстремум (максимум), то f 1 ¢=0або не існує при х 1 =а 1 (необхідна умова існування екстремуму функції однієї змінної). Але , отже чи існує у точці Р 0 – точці екстремуму. Аналогічно можна розглянути приватні похідні щодо інших змінних. ЧТД.

Точки області визначення функції, в яких приватні похідні першого порядку дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними точками цієї функції.

Як випливає з теореми 9.1 точки екстремуму ФНП слід шукати серед критичних точок функції. Але, як і функції однієї змінної, не всяка критична точка є точкою екстремуму.

Теорема 9.2. (достатня умова екстремуму ФНП)

Нехай Р 0 – критична точка функції і= f(P) та - Диференціал другого порядку цієї функції. Тоді

а якщо d 2 u(P 0) > 0 при , то Р 0 – точка мінімумуфункції і= f(P);

б) якщо d 2 u(P 0)< 0 при , то Р 0 – точка максимумуфункції і= f(P);

в) якщо d 2 u(P 0) не визначено за знаком, то Р 0 не є точкою екстремуму;

Цю теорему розглянемо без підтвердження.

Зауважимо, що в теоремі не розглянуто випадок, коли d 2 u(P 0) = 0 чи немає. Це означає, що питання про наявність екстремуму в точці Р 0 за таких умов залишається відкритим – потрібні додаткові дослідження, наприклад дослідження збільшення функції в цій точці.

У докладніших курсах математики доводиться, що зокрема функції z = f(x,y) двох змінних, диференціал другого порядку якої є сумою виду

Вивчення наявності екстремуму в критичній точці Р 0 можна спростити.

Позначимо , , . Складемо визначник

.

Виявляється:

d 2 z> 0 точці Р 0 , тобто. Р 0 – точка мінімуму, якщо A(P 0) > 0 та D(Р 0) > 0;

d 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если A(P 0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

якщо D(Р 0)< 0, то d 2 zв околиці точки Р 0 змінює знак та екстремуму в точці Р 0 немає;

якщо ж D(Р 0) = 0, то також потрібні додаткові дослідження функції на околиці критичної точки Р 0 .

Таким чином, для функції z = f(x,y) двох змінних маємо наступний алгоритм (назвемо його «алгоритмом D») відшукання екстремуму:

1) Знайти область визначення D( f) функції.

2) Знайти критичні точки, тобто. точки з D( f), для яких і дорівнюють нулю або не існують.

3) У кожній критичній точці Р0 перевірити достатні умови екстремуму. Для цього знайти де , , і обчислити D(Р 0) і А(Р 0).

якщо D(Р 0) >0 , то точці Р 0 є екстремум, причому, якщо А(Р 0) > 0 – це мінімум, і якщо А(Р 0)< 0 – максимум;

якщо D(Р 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Якщо D(Р 0) = 0, потрібні додаткові дослідження.

4) У знайдених точках екстремуму обчислити значення функції.

Приклад1.

Знайти екстремум функції z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Рішення.Область визначення цієї функції – вся координатна площина. Знайдемо критичні точки.

, , Р 0 (0,0) , .

Перевіримо виконання достатніх умов екстремуму. Знайдемо

6х, = -3, = 48уі = 288ху – 9.

Тоді D(Р 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – у точці Р 1 є екстремум, оскільки А(Р 1) = 3 >0, цей екстремум – мінімум. Значить, min z=z(P 1) = .

приклад 2.

Знайти екстремум функції .

Рішення: D( f) = R 2 . Критичні точки: ; не існує при у= 0, отже Р 0 (0,0) – критична точка цієї функції.

2, = 0, = , = , але D(Р 0) не визначено, тому дослідження його символу неможливе.

З цієї причини неможливо застосувати теорему 9.2 безпосередньо – d 2 zу цій точці не існує.

Розглянемо збільшення функції f(x, y) у точці Р 0 . Якщо D f =f(P) - f(P 0)>0 " Р, то Р 0 точка мінімуму, якщо ж D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

Маємо у нашому випадку

D f = f(x, y) – f(0, 0) = f(0+D x,0+D y) – f(0, 0) = .

При D x= 0,1 та D y= -0,008 отримаємо D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0,1 та D y= 0,001 D f= 0,01 + 0,1> 0, тобто. в околиці точки Р 0 не виконуються жодна умова D f <0 (т.е. f(x, y) < f(0, 0) і отже, Р 0 – не точка максимуму), ні умова D f>0 (тобто. f(x, y) > f(0, 0) і тоді Р0 – не точка мінімуму). Отже, за визначенням екстремуму, ця функція екстремумів немає.

Умовний екстремум.

Розглянутий екстремум функції називають безумовним, оскільки аргументи функції не накладаються ніякі обмеження (умови).

Визначення 9.2.Екстремум функції і = f(х 1 , х 2 , ... , х п), знайдений за умови, що її аргументи х 1 , х 2 , ... , х пзадовольняють рівнянням j 1 ( х 1 , х 2 , ... , х п) = 0, …, j т(х 1 , х 2 , ... , х п) = 0, де P ( х 1 , х 2 , ... , х п) Î D( f), називається умовним екстремумом .

Рівняння j k(х 1 , х 2 , ... , х п) = 0 , k = 1, 2,..., m, називаються рівняннями зв'язку.

Розглянемо функції z = f(x,y) двох змінних. Якщо рівняння зв'язку одне, тобто. , то відшукання умовного екстремуму означає, що екстремум шукається не у всій області визначення функції, а на деякій кривій , що лежить в D( f) (тобто. шукаються не найвищі або найнижчі точки поверхні z = f(x,y), а найвищі або найнижчі точки серед точок перетину цієї поверхні з циліндром , рис 5).

Умовний екстремум функції z = f(x,y) двох змінних можна знайти наступним способом( метод виключення). З рівняння виразити одну із змінних як функцію іншої (наприклад, записати ) і, підставивши це значення змінної у функцію , записати останню як функцію однієї змінної (у розглянутому випадку ). Знайти екстремум отриманої функції однієї змінної.