Для визначення загальної передавальної функції запишемо вираз вихідної змінної системи. Розкладання складної передавальної функції

Можна перетворити, винісши X(s) і Y(s) за дужки і поділивши один на одного:

Отримане вираз називається передавальною

(2.4)

Передатною функцією називається відношення зображення вихідного впливу Y(s) до зображення вхідного X(s) за нульових початкових умов.

Передатна функціяє дробово-раціональною функцією комплексної змінної:

Передатна функція має порядок, що визначається порядком полінома знаменника (n).

З (2.4) випливає, що зображення вихідного сигналу можна знайти як

Y(s) = W(s)*X(s).

Оскільки передатна функція системи повністю визначає її динамічні властивості, то початкова задача розрахунку АСР зводиться до визначення її передавальної функції.

Приклади типових ланок

Ланкою системи називається її елемент, що має певні властивості в динамічному відношенні. Ланки систем регулювання може мати різну фізичну природу (електричні, пневматичні, механічні та інших. ланки), але описуватися однаковими ДУ, а співвідношення вхідних і вихідних сигналів у ланках описуватися однаковими передатними функціями. У ТАУ виділяють групу найпростіших ланок, які називають типовими. Статичні та динамічні характеристики типових ланок вивчені досить повно. Типові ланки широко використовуються щодо динамічних характеристик об'єктів управління. Наприклад, знаючи перехідну характеристику, побудовану за допомогою самописного приладу, часто можна визначити, до якого типу ланок відноситься об'єкт управління, а отже, його передатну функцію, диференціальне рівнянняі т.д., тобто. модель об'єкта. Типові ланки. Будь-яка складна ланка може бути представлена ​​як поєднання найпростіших ланок.

До найпростіших типових ланок відносяться:

· Підсилювальне,

· Інерційне (аперіодичне 1-го порядку),

· Інтегруючі (реальне та ідеальне),

· диференціюючі (реальне та ідеальне),

· Аперіодичне 2-го порядку,

· коливальне,

· Запізнювальне.

1) Підсилювальна ланка.

Ланка посилює вхідний сигнал в раз. Рівняння ланки у = К * х, передатна функція W (s) = К. Параметр К називається коефіцієнтом посилення.

Вихідний сигнал такої ланки точно повторює вхідний сигнал, посилений в До раз (рис. 1.18). у = Kx.

При ступінчастому впливі h(t) = K.

Прикладами таких ланок є: механічні передачі, датчики, безінерційні підсилювачі та ін.

2) Інтегрує.

2.1) Ідеальне інтегруюче.

Вихідна величина ідеальної інтегруючої ланки пропорційна нтегралу вхідної величини:

При подачі на вхід ланки ступінчастої дії x(t) = 1 вихідний сигнал постійно зростає (рис. 1.19):

h(t) = Kt.

Це ланка астатичне, тобто. не має встановленого режиму.

Прикладом такої ланки може бути ємність, що наповнюється рідиною. Вхідний параметр- Витрата надходить рідини, вихідний - рівень. Спочатку ємність порожня і за відсутності витрати рівень дорівнює нулю, але якщо включити подачу рідини, рівень починає поступово збільшуватися.

2.2) Реальне інтегруюче.

Передатна функція цієї ланки має вигляд (рис. 1.20)

Перехідна характеристика на відміну ідеальної ланки є кривою

Прикладом інтегруючої ланки є двигун постійного струмуз незалежним збудженням, якщо як вхідний вплив прийняти напругу живлення статора, а вихідного - кут повороту ротора. Якщо напруга на двигун не подається, ротор не рухається і кут його повороту можна прийняти рівним нулю. При подачі напруги ротор починає розкручуватися, а кут повороту спочатку повільно внаслідок інерції, а потім швидше збільшуватися до досягнення певної швидкості обертання.

3) Диференціююче.

3.1) Ідеальне диференціююче.

Вихідна величина пропорційна похідній за часом від вхідної:

При ступінчастому вхідному сигналі вихідний сигнал є імпульсом (d-функцію): h(t) = Kδ(t).

3.2) Реальне диференціююче.

Ідеальні ланки, що диференціюють, фізично не реалізовані. Більшість об'єктів, які є диференціюючими ланками, відносяться до реальних диференційних ланок, передавальні функції яких мають вигляд

Перехідна характеристика (рис. 1.21):

Приклад ланки: електрогенератор. Вхідний параметр – кут повороту ротора, вихідний – напруга. Якщо ротор повернути на деякий кут, то на клемах з'явиться напруга, але якщо ротор не обертати далі, напруга знизиться до нуля. Різко впасти воно не може через наявність індуктивності у обмотки.

4) Аперіодичне (інерційне).

Зображення ступінчастої дії: X(s) = Хо / s Тоді зображення вихідної величини:

Розкладемо дріб на прості:

Оригінал першого дробу за таблицею:

Постійна Т називається постійного часу. Більшість теплових об'єктів є аперіодичними ланками. Наприклад, при подачі на вхід електричної печінапруги її температура змінюватиметься за аналогічним законом (рис. 1.22).

5) Ланки другого порядку (рис. 1.23)

Ланки мають ДУ та ПФ виду.

При подачі на вхід ступінчастої дії амплітудою Хо перехідна крива матиме один із двох видів: аперіодичний (при Т1 ≥ 2Т2) або коливальний (при Т1< 2Т2).

У зв'язку з цим виділяють ланки другого порядку:

· Аперіодичне 2-го порядку (Т1 ≥ 2Т2),

· Інерційне (Т1< 2Т2),

· Консервативне (Т1 = 0).

6) Запізнювальне.

Якщо при подачі на вхід об'єкта деякого сигналу він реагує на цей сигнал не моментально, а через деякий час, то кажуть, що об'єкт має запізнення.

Запізнення– це інтервал часу з моменту зміни вхідного сигналу до початку зміни вихідного.

Запізнювальна ланка- Це ланка, у якого вихідна величина у точності повторює вхідну величину х з деяким запізненням t.

Вважатимемо, що процеси, які у САР, описуються лінійними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами. Отже, ми обмежимося розглядом лінійних САР із постійними параметрами, тобто. параметрами, які залежать ні від часу, ні стану системи.

Нехай динамічної системи (див. рис.)

диференціальне рівняння записано в операторній формі

де D(P) та M(P) – багаточлени від P.

P – оператор диференціювання;

x(t) – вихідна координата системи;

g(t) – вхідний вплив.

Перетворимо (1) за Лапласом, припустивши нульові початкові умови.

Введемо позначення

;
,

отримаємо, враховуючи, що

Використовуємо позначення

, (5)

тоді рівняння (3) набуде вигляду:

. (6)

Рівняння (6) пов'язує зображення Х (S) вихідної координати системи із зображенням G(S) вхідного впливу. Функція Ф(S)характеризує динамічні властивості системи. Як випливає з (4) і (5), ця функція залежить від впливу, прикладеного до системи, а залежить від параметрів системи. Враховуючи (6) функцію Ф(S) можна записати так

Функція Ф(S)називається передавальною функцією системи. З (7) видно, що передатна функція являє собою відношення зображення Лапласу вхідної координати системи до зображення Лапласу вхідного впливу при нульових початкових умовах.

Знаючи передатну функцію системи Ф(S)визначивши зображення G(S) впливу g(t), прикладеного до системи можна знайти по (6) зображення Х(S) вихідної координати системи х(t), потім, переходячи від зображення Х(S) до оригіналу х(t) отримати процес зміни вихідної координати системи при додатку до системи вхідного впливу.

Багаточлен у знаменнику передавальної функції називається характеристичним поліномом, а рівняння

характеристичним рівнянням.

Для системи, що описується рівнянням n-го порядку, характеристичне рівняння є алгебраїчним рівнянням n-ого ступеня і має n коренів, S 1 S 2… S n , серед яких можуть бути як речові, так і комплексно - пов'язані.

Корінь многочлена передавальної функції, що стоїть у знаменнику, називаються полюсами цієї передавальної функції, а в чисельнику – нулями.

Представимо багаточлени у вигляді:

Тому передатна функція

. (11)

Звідси випливає, що завдання нулів та полюсів визначає передатну функцію з точністю до постійного множника .

У разі, коли речові частини всіх полюсів передавальної функції негативні, тобто.

, k = 1,2 ... n, система називається стійкою. У ній перехідна складова вихідний величини (власного руху) з часом згасає.

Частотні характеристики системи

Перетворення лінійної системи гармонійного вхідного сигналу

Передатна функція автоматичної системипо відношенню до керуючого впливу g(t) є

(1)

Нехай вплив

g(t) = A 1 sin ω 1 t,

І потрібно визначити зміна X(t) у процесі, тобто. Знайти окреме рішення рівняння (1), розглянуте раніше.

Зауважимо, що в результаті застосування впливу в системі виникає перехідний процес, який з часом прагне до 0, т.к. система передбачається стійкою. Його ми не розглядаємо. Подібний перехід дозволяє вважати вплив g(t) заданим на всій осі часу (не розглядається початковий момент додатку до системи впливу, що управляє) і використовувати отримане раніше вираз для спектральної характеристики синусоїди.

Для визначення x(t) в режимі, що встановився, перетворимо обидві частини диференціального рівняння (1) по Фур'є. При цьому маємо на увазі, що

;

,

Зауважимо, що

передатна функція, в якій S

Крім того

Тоді спектральна характеристика вимушених коливань регульованої величини визначається (3) у вигляді

У (4) функціональний множник Ф(jω)враховує зміну спектральної характеристики під час проходження впливу g(t) через лінійну динамічну систему.

Представимо комплексну функцію Ф(jω)у показовій формі

і знайдемо х(t) за формулою зворотного перетворення Фур'є:

використовуючи фільтруючі властивості дельта-функції, і враховуючи (5), матимемо

Т.к.
,,

(6)

Звідси випливає, що в режимі реакція х(t) лінійної автоматичної системи на синусоїдальні впливи є також синусоїдою. Кутові частоти вхідного та вихідного сигналу збігаються. Амплітуда на виході системи дорівнює А 1 │ Ф(jω)│, а початкова фаза дорівнює arg Ф(jω).

Якщо на вхід лінійної системи надходить періодичний вплив у вигляді

,

то, використовуючи принцип суперпозиції, справедливий для лінійної системи, знайдемо, що в цьому випадку вимушений рух системи, що встановився

(7)

Причому величині тут слід надавати дискретні значення, тобто. вважати ω=kω 1

Знаючи частотні діапазони сигналу на вході, можна просто визначити частотні діапазони сигналу на вході системи. Якщо, наприклад, відомий частотний амплітудний спектр А k вхідного сигналу g(t), то амплітудний частотний спектр вихідного сигналу є А k │ Ф(jkω 1 ) │.

У аналізованих виразах функція Ф(jω)характеризує динамічні властивості самої автоматичної системи та залежить від характеру прикладених до системи впливів. Вона легко може бути отримана з передавальної функції формальною заміною S на jω

Функція Ф(jω)від безперервного аргументу називається амплітудно-фазовою характеристикою системи АФХ по відношенню до керуючого впливу g(t), прикладеного до системи.

Виходячи з (3) АФХ ​​може бути визначена також як відношення спектральної характеристики сигналу на її вході. Модуль АФХ  Ф(j )  характеризує зміну амплітуди гармонійного сигналу при проходженні останнього через систему, а аргумент її фазовий зсув сигналу.

Функція  Ф(j )  отримала назву амплітудно-частотної характеристики (АЧХ), а функція arg Ф(j ) - Фазо-частотної характеристики (ФЧХ).

Нехай вплив g(t), прикладений до автоматичної системи, є комплексною гармонікою з частотою 1 , тобто.

Реакція системи на подібну дію в режимі, що встановився, визначається рівністю

Або використовуючи формулу Ейлера

а також те, що

;

Інтеграл у правій частині рівності знайдемо, використовуючи властивості дельта-функції, що фільтрують.

визначає в комплексній формі реакцію системи на дію у вигляді комплексної гармоніки з частотою 1.

АФХ може бути використана не тільки для аналізу встановлених коливань на виході автоматичної системи, але і для визначення процесу регулювання загалом. В останньому випадку момент часу t 0 додатки до системи впливу, що управляє, зручно вважати нульовим моментом часу і скористатися формулами одностороннього перетворення Фур'є. Визначивши спектральну характеристику
і знайшовши спектральну характеристику регульованої величини за формулою

Зміна регульованої величини x(t) після застосування впливу g(t) знаходиться за формулою зворотного перетворення Фур'є.

ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ

АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ

Видавництво ОмДТУ

Міністерство освіти та науки Російської Федерації

Державне освітня установа

вищого професійної освіти

«Омський державний технічний університет»

ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ

АВТОМАТИЧНОГО УПРАВЛІННЯ

Методичні вказівки до практичних робіт

Видавництво ОмДТУ

Упорядник Є. В. Шендалева, канд. техн. наук

Видання містить методичні вказівкидля проведення практичних робіт з теорії автоматичного управління.

Призначено для студентів спеціальності 200503 «Стандартизація та сертифікація», які вивчають дисципліну «Основи автоматичного управління».

Друкується за рішенням редакційно-видавничої ради

Омського державного технічного університету

© ГОУ ВПО «Омський державний

технічний університет», 2011

Необхідність використання методології теорії управління для фахівців зі стандартизації та сертифікації виникає при визначенні:

1) кількісних та (або) якісних характеристиквластивостей об'єкта випробувань як результату впливу на нього при його функціонуванні, при моделюванні об'єкта та (або) впливів, закон зміни яких необхідно забезпечити за допомогою системи автоматичного керування;

2) динамічних властивостей об'єкта вимірювань та випробувань;

3) впливу динамічних властивостей засобів вимірювань на результати вимірювань та випробувань об'єкта.

Методи дослідження об'єктів розглянуто у практичних роботах.

Практична робота 1

Динамічні функції

Завдання 1.1

Знайти вагову функцію w(t) за відомою перехідною функцією

h(t) = 2 (1-e -0,2 t).

Рішення

w(t)=h¢( t), тому при диференціюванні вихідного виразу

w(t) = 0,4e -0,2 t .

Завдання 1.2

Знайти передатну функцію системи з диференціального рівняння 4 y¢¢( t) + 2y¢( t) + 10y(t) = 5x(t). Початкові умови – нульові.

Рішення

Диференціальне рівняння перетворять на стандартну формурозподілом на коефіцієнт при доданку y(t)

0,4y¢¢( t) + 0,2y¢( t) + y(t) = 0,5x(t).

Отримане рівняння перетворять за Лапласом

0,4s 2 y(s) + 0,2sy(s) + y(s) = 0,5x(s)

і потім записують у вигляді передавальної функції:

де s= a + i w – оператор Лапласа.

Завдання 1.3

Знайти передавальну функцію W(s) системи за відомою ваговою функцією w(t)=5–t.

Рішення

Перетворення Лапласа

. (1.1)

Використовуючи зв'язок між передавальною функцією та ваговою функцією W(s) = w(s), отримаємо

.

Перетворення Лапласу можна отримати розрахунковим шляхом (1.1), за допомогою таблиць перетворення Лапласу або за допомогою пакета програмного забезпечення Matlab. Програма Matlab наведена нижче.

syms s t

x=5-t% тимчасова функція

y=laplace(x)% функція, перетворена за Лапласом.

Завдання 1.4

За передатною функцією системи знайти її реакцію на одиничний ступінчастий вплив (перехідну функцію)

.

Рішення

Зворотне перетворення Лапласа

, (1.2)

де с – абсциса збіжності x(s).

За принципом суперпозиції, справедливим для лінійних систем

h(t)=h 1 (t)+h 2 (t),

де h(t) - перехідна функція всієї системи;

h 1 (t) – перехідна функція інтегруючої ланки

;

h 2 (t) – перехідна функція підсилювальної ланки

.

Відомо що h 1 (t)=k 1 × t, h 2 (t)=k 2 ×δ( t), тоді h(t)=k 1 × t+k 2 ×δ( t).

Зворотне перетворення Лапласа можна отримати розрахунковим шляхом (1.2), за допомогою таблиць перетворення Лапласа або пакету програмного забезпечення Matlab. Програма Matlab наведена нижче.

syms s k1 k2% позначення символьних змінних

y=k1/s+k2% функція, перетворена за Лапласом

x=ilaplace(y)% тимчасова функція.

Завдання 1.5

Знайти амплітудно-частотну та фазочастотну характеристику за відомою передатною функцією системи

.

Рішення

Для визначення амплітудно-частотної (АЧХ) та фазочастотної характеристики (ФЧХ) необхідно перейти від передавальної функції до амплітудно-фазової характеристики W(i w), для чого змінити аргумент s → i w

.

Потім подати АФХ у вигляді W(i w)= P(w)+ iQ(w), де P(w) – дійсна частина, Q(w) – уявна частина АФГ. Для отримання дійсної та уявної частини АФХ необхідно помножити чисельник і знаменник на комплексне число, пов'язане з виразом у знаменнику:

АЧХ та ФЧХ визначають відповідно за формулами

, ;

,

Амплітудно-фазову характеристику W(j w) можна подати у вигляді

.

Завдання 1.6

Визначити сигнал y(t) на виході системи за відомим вхідним сигналом і передавальною функцією системи

x(t)=2sin10 t; .

Відомо, що при дії вхідного сигналу x(t)=B sinw tна систему вихідний сигнал y(t) також буде гармонійним, але відрізнятиметься від вхідного амплітудою та фазою

y(t) = B× A(w) sin,

де A(w) - АЧХ системи; j(w) - ФЧХ системи.

По передавальній функції визначимо АЧХ та ФЧХ

j(w)=-arctg0,1w.

На частоті w = 10с -1 A(10) = 4/ = 2 і j(10) = -arctg1 = -0,25p.

Тоді y(t) = 2×2 sin(10 t-0,25p) = 4 sin(10 t-0,25 p).

Контрольні питання :

1. Визначте поняття вагової функції.

2. Визначте поняття перехідної функції.

3. З якою метою використовують перетворення Лапласа в описах динамічних ланок?

4. Які рівняння називають лінійними диференціальними?

5. З якою метою при переході до рівняння в операторному вигляді вихідне диференціальне рівняння перетворять на стандартну форму?

6. Яким чином із знаменника амплітудно-фазової характеристики усувають вираз із уявним числом?

7. Вкажіть команду прямого перетворення Лапласа у програмному пакеті Matlab.

8. Вкажіть команду зворотного перетворення Лапласа у програмному пакеті Matlab.

Практична робота 2

Передавальні функції

Завдання 2.1

Знайти передатну функцію системи за її структурною схемою.

Рішення

Основними способами з'єднання ланок у структурних схемах є: паралельне, послідовне та з'єднання ланок зі зворотним зв'язком (типові ділянки ланок).

Передатна функція системи паралельно з'єднаних ланок дорівнює сумі передатних функцій окремих ланок (рис. 2.1)

. (2.1)

Рис. 2.1. Паралельне з'єднання ланок

Передатна функція системи послідовно з'єднаних ланок дорівнює добутку передатних функцій окремих ланок (рис. 2.2)

(2.2)

Рис. 2.2. Послідовне з'єднання ланок

Зворотним зв'язком називають передачу сигналу з виходу ланки на його вхід, де сигнал зворотного зв'язку алгебраїчно підсумовується зовнішнім сигналом (рис. 2.3).

Рис. 2.3 З'єднання зі зворотним зв'язком: а) позитивним, б) негативним

Передаточна функція з'єднання з позитивним зворотним зв'язком

, (2.3)

передатна функція з'єднання з негативним зворотним зв'язком

. (2.4)

Визначення передавальної функції складної системиуправління виробляють поетапно. Для цього виділяють ділянки, що містять послідовні, паралельні сполуки та з'єднання зі зворотним зв'язком (типові ділянки ланок) (рис. 2.4)

W 34 (s)=W 3 (s)+W 4 (s); .

Рис. 2.4. Структурна схема системи керування

Потім обрану типову ділянку ланок замінюють однією ланкою з розрахованою передатною функцією та повторюють процедуру розрахунку (рис. 2.5 – 2.7).

Рис. 2.5. Заміна паралельного з'єднання та з'єднання зі зворотним зв'язком однією ланкою

Рис. 2.6. Заміна з'єднання зі зворотним зв'язком однією ланкою

Рис. 2.7. Заміна послідовного з'єднання однією ланкою

(2.5)

Завдання 2.2

Визначити передатну функцію, якщо передавальні функції ланок, що входять до її складу:

Рішення

При підстановці (2.5) передавальних функцій ланок

Перетворення структурної схеми щодо вхідної керуючої дії (рис. 2.7, 2.11) можна отримати розрахунковим шляхом (2.5) або за допомогою пакета програмного забезпечення Matlab. Програма Matlab наведена нижче.

W1=tf(,)% передавальна функція W 1

W2=tf(,)% передавальна функція W 2

W3=tf(,)% передавальна функція W 3

W4=tf(,)% передавальна функція W 4

W5=tf(,)% передавальна функція W 5

W34 = parallel (W3, W4)% паралельне з'єднання (W 3 + W 4)

W25 = feedback (W2, W5)

W134 = feedback (W1, W34)% негативна Зворотній зв'язок

W12345 = series (W134, W25)% послідовне з'єднання ( W 134 × W 25)

W=feedback(W12345,1)

Завдання 2.3.

Знайти передавальну функцію замкнутої системипо впливу, що обурює

Рішення

Для того, щоб визначити передатну функцію складної системи по впливу, що обурює, необхідно спростити її і розглянути щодо обурюючого вхідного впливу (рис. 2.8 – 2.12).

Рис.2.8. Вихідна структурна схема автоматичної системи

Рис. 2.9. Спрощення структурної схеми

Рис. 2.10. Спрощена структурна схема

Рис. 2.11. Структурна схема щодо вхідного керуючого впливу

Рис. 2.12. Структурна схема системи щодо впливу, що обурює

Після приведення структурної схеми до одноконтурної передатна функція по впливу, що обурює. f(t)

(2.6)

Перетворення структурної схеми щодо впливу, що обурює (рис. 2.12) можна отримати розрахунковим шляхом (2.6) або за допомогою пакета програмного забезпечення Matlab.

W1=tf(,)% передавальна функція W 1

W2=tf(,)% передавальна функція W 2

W3=tf(,)% передавальна функція W 3

W4=tf(,)% передавальна функція W 4

W5=tf(,)% передавальна функція W 5

W34 = parallel (W3, W4)% паралельне з'єднання

W25 = feedback (W2, W5)% негативний зворотний зв'язок

W134 = feedback (W1, W34)% негативний зворотний зв'язок

Wf = feedback (W25, W134)% негативний зворотний зв'язок.

Завдання 2. 4

Визначити передатну функцію замкнутої системи для помилки.

Рішення

Структурна схема визначення передавальної функції замкнутої системи для помилки управління зображено на рис. 2.13.

Рис. 2.13. Структурна схема системи щодо помилки управління

Передатна функція замкнутої системи для помилки

(2.7)

При підстановці числових значень

Перетворення структурної схеми щодо сигналу помилки керування (рис. 2.13) можна отримати розрахунковим шляхом (2.7) або за допомогою пакета програмного забезпечення Matlab.

W1=tf(,)% передавальна функція W 1

W2=tf(,)% передавальна функція W 2

W3=tf(,)% передавальна функція W 3

W4=tf(,)% передавальна функція W 4

W5=tf(,)% передавальна функція W 5

W34 = parallel (W3, W4)% паралельне з'єднання)

W25 = feedback (W2, W5)% негативний зворотний зв'язок

W134 = feedback (W1, W34)% негативний зворотний зв'язок

We = feedback (1, W134 * W25)% негативний зворотний зв'язок

Контрольні питання:

1. Перерахуйте основні способи з'єднання ланок у структурних схемах.

2. Визначте передатну функцію системи паралельно з'єднаних ланок.

3. Визначте передатну функцію системи послідовно з'єднаних ланок.

4. Визначте передатну функцію з позитивним зворотним зв'язком.

5. Визначте передатну функцію з негативним зворотним зв'язком.

6. Визначте передатну функцію лінії зв'язку.

7. За допомогою якої команди Matlab визначається передатна функція двох паралельно з'єднаних ланок?

8. За допомогою якої команди Matlab визначається передатна функція двох послідовно з'єднаних ланок?

9. За допомогою якої команди Matlab визначається передатна функція ланки, охопленої зворотним зв'язком?

10. Зобразіть структурну схемусистеми визначення передавальної функції по управляючому впливу.

11. Напишіть передатну функцію з керуючої дії.

12. Зобразіть структурну схему системи для визначення передавальної функції за параметром, що обурює.

13. Напишіть передатну функцію за параметром, що обурює.

14. Зобразіть структурну схему системи визначення передавальної функції помилки управління.

15. Напишіть передатну функцію для помилки керування.

Практична робота 3

Розкладання складної передавальної функції

Кінцевою метою аналізу САР є рішення (якщо це можливо) чи дослідження диференціального рівняння системи загалом. Зазвичай відомі рівняння окремих ланок, що входять до складу САР, і виникає проміжне завдання отримання диференціального рівняння системи відомих ДУ її ланок. При класичній форміуявлення ДУ це завдання пов'язане зі значними труднощами. Використання поняття передавальної функції значно спрощує її.

Нехай деяка система описується ДУ виду.

Ввівши позначення = p, де p називають оператором, або символом, диференціювання, і звертаючись тепер з цим символом як зі звичайним числом алгебри, після винесення x вих і x вх за дужки, отримують диференціальне рівняння цієї системи в операторній формі:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p +a 0)x вих = (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x вх. (3.38)

Багаточлен від p, що стоїть при вихідній величині,

D(p)=a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0 (3.39)

називається власним оператором, а багаточлен при вхідній величині – оператором впливу

K(p) = b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0 . (3.40)

Передаточною функцією називається відношення оператора впливу до власного оператора:

W(p) = K(p)/D(p) = xвих/xвх. (3.41)

Надалі ми практично всюди використовуватимемо саме операторну форму запису диференціальних рівнянь.

Види з'єднань ланок та алгебра передавальних функцій.

Отримання передавальної функції САР вимагає знання правил знаходження передавальних функцій груп ланок, у яких ланки з'єднані між собою певним чином. Є три типи з'єднань.

1.Послідовне, при якому вихід попередньої ланки є входом для наступного (рис.3.12):

x вих

Рис. 3.14. Зустріч – паралельне з'єднання.

Залежно від цього, складається сигнал зворотний зв'язок х із вхідним сигналом х вх чи віднімається від нього, розрізняють позитивні і негативні зворотні зв'язку.

Як і раніше, базуючись на властивості передавальної функції, можемо написати

W 1 (p) = x вих / (x вх ± х); W 2 (p) = x/x вих; W c = x вих / x вх. (3.44)

Виключивши з перших двох рівнянь внутрішню координату х отримаємо передатну функцію для такого з'єднання:

W c (p) = W 1 (p) / . (3.45)

Слід пам'ятати, що у останньому виразі знак плюс відповідає негативноюзворотнього зв'язку.

У тому випадку, коли якась ланка має декілька входів (як, наприклад, об'єкт регулювання), розглядаються кілька передатних функцій цієї ланки, що відповідають кожному з входів, наприклад, якщо рівняння ланки має вигляд

D(p)y = Kx(p)x + Kz(p)z(3.46)

де K x (p) і K z (p) - оператори впливів відповідно до входів x і z, то ця ланка має передавальні функції по входах х та z:

W x (p) = K x (p) / D (p); Wz(p) = Kz(p)/D(p). (3.47)

Надалі з метою скорочення записів у виразах передавальних функцій та відповідних операторів опускатимемо аргумент «p».

Зі спільного розгляду виразів (3.46) і (3.47) випливає, що

y = W x x + W z z (3.48)

тобто в загальному випадкувихідна величина будь-якої ланки з кількома входами дорівнює сумі творів вхідних величин на передавальні функції за відповідними входами.

Передатна функція САР для обурення.

Звичайний виглядструктури САР, що працює за відхиленням регульованої величини, такий:

W o z = K z / D об'єкт W o x = K x / D

W p y

z

y

-x

Рис.3.15. Замкнена САР.

Звернімо увагу на ту обставину, що регулюючий вплив надходить на об'єкт із зміненим знаком. Зв'язок між виходом об'єкта та його входом через регулятор називається головним зворотним зв'язком (на відміну від можливих додаткових зворотних зв'язків у самому регуляторі). За самим філософським змістом регулювання дія регулятора спрямована на зменшення відхиленнярегульованої величини, і тому головна зворотний зв'язок завжди негативна.На рис. 3.15:

W o z - передавальна функція об'єкта з обурення;

W o x - передавальна функція об'єкта з регулюючої дії;

W p y - Передатна функція регулятора з відхилення у.

Диференціальні рівняння об'єкта та регулятора виглядають так:

y = W o x x + W o z

x = - W p у y. (3.49)

Підставивши х із другого рівняння до першого і виконавши угруповання, отримуємо рівняння САР:

(1+ W o x W p у) y = W o z z. (3.50)

Звідси передатна функція САР для обурення

W c z = y / z = W o z / (1 + W o x W p у). (3.51)

Подібним шляхом можна отримати і передатну функцію САР з керуючого впливу:

W c u = W o x W p u /(1+W o x W p y) , (3.52)

де W p u -Передавальна функція регулятора з керуючого впливу.

3.4 Вимушені коливання та частотні характеристики САР.

У реальних умовахексплуатації САР нерідко піддається дії періодичних збурювальних сил, що супроводжується періодичними змінами регульованих величин та регулюючих впливів. Такі, наприклад, коливання судна при ході на хвилюванні, коливання частоти обертання гребного гвинтата інших величин. У ряді випадків амплітуди коливань вихідних величин системи можуть досягати неприпустимо великих значень, і це відповідає явищу резонансу. Наслідки резонансу часто згубні для системи, що його випробовує, наприклад, перекидання судна, руйнування двигуна. У системах регулювання такі явища можливі зміні властивостей елементів, викликаному зносами, заміною, перенастроюванням, відмовими. Тоді виникає необхідність або визначення безпечних діапазонів експлуатаційних умов, або належного налаштування САР. Тут будуть розглянуті ці питання у додатку до лінійних систем.

Нехай деяка система має нижченаведену структуру:

x=A x sinωt

y=A y sin(ωt+φ)

Рис.3.16. САР як вимушених коливань.

Якщо систему діє періодичний вплив х з амплітудою А х і кругової частотою w, то після закінчення перехідного процесу на виході встановляться коливання тієї ж частоти з амплітудою А у і зміщені щодо вхідних коливань на фазовий кут j. Параметри вихідних коливань (амплітуда і фазовий зсув) залежать від частоти сили, що змушує. Завдання полягає у визначенні параметрів вихідних коливань за відомими параметрами коливань на вході.

Відповідно до передавальної функції САР, показаної на рис.3.14, диференціальне рівняння її має вигляд

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)y=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)x. (3.53)

Підставимо в (3.53) вирази для х і у, наведені на рис. 3.14:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y sin(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x sinwt. (3.54)

Якщо розглядати картину коливань, зміщену на чверть періоду, то в рівнянні (3.54) функції синусів зміняться функціями косінусів:

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y cos(wt+j)=

=(b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x coswt. (3.55)

Помножимо рівняння (3.54) на i = і складемо отримане з (3.55):

(a n p n +a n -1 p n -1 +…+a 1 p+a 0)A y =

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x (coswt+isinwt). (3.56)

Застосовуючи формулу Ейлера

exp(±ibt)=cosbt ± isinbt,

наведемо рівняння (3.56) до виду

(a n p n +a n-1 p n-1 +…+a 1 p+a 0)A y exp=

= (b m p m +b m-1 p m-1 +…+b 1 p+b 0)A x exp(iwt). (3.57)

Виконаємо операцію диференціювання за часом, передбачену оператором р=d/dt:

A y exp=

A x exp (iwt). (3.58)

Після простих перетворень, пов'язаних із скороченням на exp(iwt), отримуємо

Права частинавирази (3.59) схожа вираз передавальної функції САР і може бути отримана з нього заміною p=iw. За аналогією вона називається комплексною передатною функцією W(iw), або амплітудно-фазовою характеристикою (АФХ). Часто використовують також термін частотна характеристика. Зрозуміло, що цей дріб є функцією комплексного аргументу і може бути представлений ще й у такому вигляді:

W(iw) = M(w) + iN(w), (3.60)

де M(w) і N(w) – відповідно речова та уявна частотні характеристики.

Відношення А у /А х є модуль АФХ і є функцією частоти:

А у / А х = R (w)

і називається амплітудно-частотною характеристикою (АЧХ). Фазовий

зсув j = j (w) - також функція частоти і називається фазовою частотною характеристикою (ФЧХ). Обчислюючи R(w) та j(w) для діапазону частот (0…¥), можна побудувати на комплексній площині в координатах M(w) та iN(w) графік АФХ (рис.3.17).

ω

R(ω)

ω cp

ω рез

Рис.3.18. Амплітудно-частотні характеристики.

На АЧХ системи 1 видно резонансний пік, що відповідає найбільшій амплітуді вимушених коливань. Робота в зоні біля резонансної частоти може виявитися згубною і часто взагалі неприпустима правил експлуатації конкретного об'єкта регулювання. АЧХ виду 2 не має резонансного піку та для механічних систембільш краща. Видно також, що зі збільшенням частоти амплітуда вихідних коливань зменшується. Фізично це легко пояснюється: будь-яка система з властивих їй інерційних властивостей легше підпорядковується розгойдування низькими частотами, ніж високими. Починаючи з деякої частоти, коливання на виході стають незначними, і цю частоту називають частотою зрізу, а діапазон частот нижче частоти зрізу називають смугою пропускання частот. В теорії автоматичного регулюванняза частоту зрізу приймають таку, за якої значення АЧХ у 10 разів менше, ніж за нульової частоти. Властивість системи гасити високочастотні коливання називається властивістю фільтра низьких частот.

Розглянемо методику розрахунку АЧХ з прикладу ланки другого порядку, диференціальне рівняння якого

(T 2 2 p 2 + T 1 p + 1) y = kx. (3.62)

У завданнях вимушених коливань часто використовують наочну формурівняння

(p 2 +2xw 0 p + w 0 2)y = kw 0 2 x, (3.63)

де називається власною частотою коливань за відсутності згасання, x = T 1 w 0 /2 - коефіцієнт загасання.

Передатна функція виглядає так:

Заміною p = iw отримуємо амплітудно-фазову характеристику

Використовуючи правило розподілу комплексних чисел, отримуємо вираз для АЧХ:

Визначимо резонансну частоту, коли АЧХ має максимум. Це відповідає мінімуму знаменника виразу (3.66). Прирівнюючи нулю похідну знаменника за частотою w, маємо:

2(w 0 2 - w 2)(-2w) +4x 2 w 0 2 *2w = 0, (3.67)

звідки отримуємо значення резонансної частоти, що не дорівнює нулю:

w рез = w 0 Ö 1 - 2x 2 . (3.68)

Проаналізуємо цей вислів, навіщо розглянемо окремі випадки, яким відповідають різні значеннякоефіцієнта згасання.

1. x = 0. Резонансна частота дорівнює власної, і модуль АЧХ при цьому перетворюється на нескінченність. Це випадок так званого математичного резонансу.

2. . Оскільки частота виражається позитивним числом, а з (68) при цьому випадку виходить або нуль, або уявне число, слідує висновок, що при таких значеннях коефіцієнта загасання АЧХ не має резонансного піку (крива 2 на рис.3.18).

3. . АЧХ має резонансний пік, причому зі зменшенням коефіцієнта згасання резонансна частота наближається до власної та резонансний пік стає вищим і гострішим.