Хтось створив негативні числа. Повідомлення «Історія чисел: виникнення та розвиток позитивних, негативних чисел. Але й тут не обійшлося без негативних чисел

Введення________________________________ стор 3

Основна частина

Що таке «число»?________________________ стор.3

Негативні числа Єгипту________________ стор.5

Негативні числа у Стародавній Азії___________ стор 5

Негативні числа у Європі_________________ стор. 6

Сучасне тлумачення негативних чисел стор.7

Заключение__________________________________ стор.8

Список літератури____________________________ стор 9

Світ чисел дуже загадковий та цікавий. Числа дуже важливі у нашому світі. Я хочу дізнатися якнайбільше про походження чисел, про їх значення в нашому житті. Як їх застосовувати і яку роль вони відіграють у нашому житті?

Цього року на уроках математики ми почали вивчати тему «Позитивні та негативні числа». У мене постало питання, коли виникли негативні числа, в якій країні, які вчені займалися цим питанням. У Вікіпедії я прочитала, що негативне число - елемент множини негативних чисел, яке (разом з нулем) з'явилося в математиці при розширенні множини натуральних чисел. Мета розширення: забезпечити виконання операції віднімання будь-яких чисел. В результаті розширення виходить безліч (кільце) цілих чисел, що складається з позитивних (натуральних) чисел, негативних чисел та нуля.

У результаті вирішила досліджувати історію виникнення негативних чисел.

МетоюДаної є вивчення історії виникнення негативних чисел.

Об'єкт дослідження -негативні числа

Визначення поняття числа

У сучасному світілюдина постійно користується числами, навіть не замислюючись про їхнє походження. Без знання минулого не можна зрозуміти сьогодення. Число одна із основних понять математики. Поняття числа розвивалося у зв'язку з вивченням величин; цей зв'язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величинита користуватися числами. Число - абстракція, що використовується для кількісної характеристикиоб'єктів. Виникнувши ще первісному суспільстві з потреб рахунку, поняття числа змінювалося і збагачувалося і перетворилося на найважливіше математичне поняття.

Існує велика кількістьтермінів поняття «число».

Перше наукове визначення числа дав Евклід у своїх «Початках», яке він, очевидно, успадкував від свого співвітчизника Евдокса Кнідського (близько 408 – близько 355 рр. до н. речей називається однією. Число є безліч, складене з одиниць». Так визначав поняття числа і російський математик Магницький у своїй «Арифметиці» (1703). Ще раніше Евкліда Аристотель дав таке визначення: «Кількість є безліч, яка вимірюється за допомогою одиниць». У своїй «Загальній арифметиці» (1707 р) великий англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон пише: «Під числом ми маємо на увазі не так багато одиниць, скільки абстрактне відношення якоїсь величини до іншої величини такого ж роду, взятої за одиницю . Число буває трьох видів: ціле, дробове та ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове – кратною частиною одиниці, ірраціональне – число, яке можна порівняти з одиницею».

Маріупольський математик С.Ф.Клюйков також зробив свій внесок у визначення поняття числа: «Числа – це математичні моделі реального світу, Придумані людиною для його пізнання ». Він же вніс у традиційну класифікацію чисел звані «функціональні числа», маючи на увазі те, що в усьому світі зазвичай називають функціями.

Натуральні числа з'явилися за рахунку предметів. Про це я дізналася у 5 класі. Потім я дізналася, що потреба людини вимірювати величини не завжди виражається цілим числом. Після розширення безлічі натуральних чисел до дробових стало можливим ділити будь-яке ціле число інше ціле число (крім розподілу на нуль). З'явились дробові числа. Віднімати ж ціле число з іншого цілого числа, коли віднімається більше зменшуваного, довгий час здавалося неможливим. Цікавим для мене виявився той факт, що довгий час багато математиків не визнавали негативних чисел, вважаючи, що їм не відповідають будь-які реальні явища.

Негативні числа у Єгипті

Однак, незважаючи на такі сумніви, правила дій з позитивними та негативними числами були запропоновані вже у III столітті в Єгипті. Введення негативних величин вперше відбулося Діофанта. Він навіть використовував спеціальний символ для них (зараз ми в цій якості використовуємо знак мінус). Щоправда, вчені сперечаються, чи символ Діофанта позначав саме негативне число або просто операцію віднімання, тому що у Діофанта негативні числа не зустрічаються ізольовано, а тільки у вигляді різниць позитивних; і як відповіді завдання він розглядає лише раціональні позитивні числа. Але в той же час Діофант вживає такі мовні звороти, як «Додамо до обох сторін негативне», і навіть формулює правило знаків: «Негативне, помножене на негативне, дає позитивне, тоді як негативне, помножене на позитивне, дає негативне» (то, що зараз зазвичай формулюють: "Мінус на мінус дає плюс, мінус на плюс дає мінус").

(–) (–) = (+), (–) (+) = (–).

Негативні числа у Стародавній Азії

Позитивні кількості в китайській математиці називали "Чен", негативні - "Фу"; їх зображували різними кольорами: "Чен" - червоним, "Фу" - чорним. Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував більш зручне позначення негативних чисел – цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали навскіс праворуч наліво. Індійські вчені, намагаючись знайти й у житті зразки такого віднімання, дійшли тлумачення його з погляду торгових розрахунків.

Якщо купець має 5000 грн. та закуповує товару на 3000 р., у нього залишається 5000 - 3000 = 2000, нар. Якщо він має 3000 р., а закуповує на 5000 р., він залишається у боргу на 2000 р. Відповідно до цього вважали, що тут відбувається віднімання 3000 - 5000, результатом є число 2000 з точкою вгорі, що означає «дві тисячі боргу».

Тлумачення це мало штучний характер, купець ніколи не знаходив суму боргу відніманням 3000 - 5000, а завжди виконував віднімання 5000 - 3000. Крім того, на цій основі можна було з натяжкою пояснити лише правила складання та віднімання «чисел з точками», але ніяк не можна було пояснити правила множення чи розподілу.

У V-VI століттях негативні числа виникають і дуже широко поширюються в індійській математиці. В Індії негативні числа систематично використовували переважно так, як це ми робимо зараз. Індійські математики використовують негативні числа із VII ст. н. е..: Брахмагупта сформулював правила арифметичних дій з ними. У його творі ми читаємо: «майно та майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна та нуля є майно; сума двох нулів є нуль… Борг, який забирають від нуля, стає майном, а майно – боргом. Якщо потрібно відібрати майно від боргу, а борг від майна, то беруть їхню суму».

Індійці називали позитивні числа "дхана" або "сва" (майно), а негативні - "рина" або "кшайя" (борг). Втім, і в Індії з розумінням та прийняттям негативних чисел були проблеми.

Негативні числа у Європі

Не схвалювали їх довго й європейські математики, бо тлумачення «майно-борг» викликало здивування та сумніви. Справді, як можна «складати» чи «вичитати» майна та борги, який реальний сенс може мати «множення» чи «розподіл» майна на борг? (Г.І. Глейзер, Історія математики в школі IV-VI класи. Москва, Просвітництво, 1981)

Ось чому насилу завоювали собі місце в математиці негативні числа. У Європі до ідеї негативної кількості досить близько підійшов на початку XIII століттяЛеонардо Фібоначчі Пізанський, однак у явному вигляді негативні числа застосував уперше наприкінці XV століття французький математик Шюке. Автор рукописного трактату з арифметики та алгебри «Наука про числа в трьох частинах». Символіка Шюке наближається до сучасної (Математичний енциклопедичний словник. М., Рад. енциклопедія, 1988)

Сучасне тлумачення негативних чисел

У 1544 році німецький математик Михайло Штіфель вперше розглядає негативні числа як числа, менші за нуль (тобто «менші, ніж ніщо»). З цього моменту негативні числа розглядаються не як борг, а зовсім по-новому. Сам Штіфель писав: «Нуль знаходиться між істинними та абсурдними числами ...» (Г.І. Глейзер, Історія математики в школі IV-VI класи. Москва, Просвітництво, 1981)

Після цього Штіфель повністю присвячує свою роботу математиці, в якій він був геніальним самоуком. Один із перших у Європі після Миколи Шюке почав оперувати негативними числами.

Знаменитий французький математик Рене Декарт у «Геометрії» (1637) описує геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел; позитивні числа зображуються на числовій осі точками, що лежать праворуч від початку 0, негативні - вліво. Геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел призвело до чіткішого розуміння природи негативних чисел, сприяло їхньому визнанню.

Майже одночасно зі Штіфелем захищав ідею негативних чисел Р. Бомбеллі Раффаеле (близько 1530-1572), італійський математик та інженер, який перетворив твір Діофанта.

Бомбеллі і Жирар, навпаки, вважали негативні числа цілком допустимими та корисними, зокрема, для позначення нестачі чогось. Сучасне позначення позитивних і негативних чисел зі знаками "+" і "-" застосував німецький математик Відман.

Вираз «нижче, ніж нічого» показує, що Штіфель та деякі інші подумки уявляли позитивні та негативні числа точками на вертикальній шкалі (на зразок шкали термометра). Розвинене потім математиком А. Жираром уявлення про негативні числа як про точки на деякій прямій, що розташовуються по інший бік від нуля, ніж позитивні, виявилося вирішальним у забезпеченні цим числам прав громадянства, особливо в результаті розвитку методу координат у П. Ферма і Р. Декарта .

Висновок

У своїй роботі досліджувала історію виникнення негативних чисел. У ході дослідження я зробила висновок:

Сучасна науказустрічається з величинами такої складної природи, що з їх вивчення доводиться винаходити дедалі нові види чисел.

При введенні нових чисел велике значеннямають дві обставини:

а) правила дій над ними мають бути повністю визначені та не вели до суперечностей;

б) нові системи чисел повинні сприяти або розв'язанню нових завдань, або вдосконалити вже відомі рішення.

До теперішнього часу існує сім загальноприйнятих рівнів узагальнення чисел: натуральні, раціональні, дійсні, комплексні, векторні, матричні та трансфінітні числа.Окремими вченими пропонується вважати функції функціональними числамита розширити ступінь узагальнення чисел до дванадцяти рівнів.

Всі ці множини чисел я постараюся вивчити.

Список літератури

Велика математична енциклопедія. Якушева Г.М. та ін.

М: Філол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕС, 2005.

Виникнення та розвитку математичної науки: Кн. Для вчителя. - М.: Просвітництво, 1987.

Енциклопедія для дітей Т.11. Математика

Глав. ред. М. Д. Аксьонова. - М.: Аванта +, 1998.

Історія математики у школі, IV-VI класи. Г.І. Глейзер, Москва, Просвітництво, 1981.

Вікіпедія. Вільна енциклопедія

Математичний енциклопедичний словник. М., Рад. енциклопедія, 1988.

Історія виникнення негативних чисел дуже давня та довга. Оскільки негативні числа є чимось ефемерним, несправжнім, люди тривалий час не визнавали їхнього існування.

Все почалося в Китаї, приблизно у II столітті до н. Можливо, в Китаї їх знали і раніше, але перша згадка стосується саме того часу. Там стали застосовувати негативні числа та вважали їх «боргами», причому позитивні називали «майном». Того запису, який існує зараз, тоді не було, і негативні числа записували чорним кольором, а позитивні червоним.

Першу згадку про негативні числа ми знаходимо в книзі «Математика в дев'яти розділах» китайського вченого Чжан Цань.

Далі, в V-VI століттяхнегативні числа стали використовуватися досить широко у Китаї та Індії. Щоправда, у Китаї до них, все-таки ставилися обережно, намагалися їх застосування мінімізувати, а Індії, навпаки, вони використовувалися дуже широко. Там з ними проводилися обчислення та негативні числа не здавалися чимось незрозумілим.

Відомі індійські вчені Брахмагупта Бхаскара (VII-VIII століття), які у своїх навчаннях залишили докладні пояснення щодо роботи з негативними числами.

А в Стародавності, наприклад, у Вавилоні та в Стародавньому Єгипті, Негативні числа не використовували зовсім. Якщо ж при обчисленні виходило негативне число, вважалося, що рішення немає.

Так, і в Європі негативні числа не визнавали дуже довго. Їх вважали «уявними» та «абсурдними». Жодних дій з ними не робили, а просто відкидали, якщо відповідь виходила негативною. Вважали, що, якщо від 0 відняти будь-яке число, то відповіддю буде 0, тому що ніщо не може бути менше нуля — порожнечі.

Вперше у Європі свою увагу на негативні числа звернув Леонардо Пізанський (Фібоначчі). І описав їх у своєму творі «Книга Абака» у 1202 році.

Леонардо Фібоначчі Леонардо Фібоначчі
Пізніше, 1544 року Михайло Штіфель у книзі «Повна арифметика» вперше запровадив поняття негативних чисел і докладно описав дії з ними. «Нуль знаходиться між абсурдними та істинними числами».

А в XVII столітті математик Рене Декарт запропонував відкладати негативні числа на цифровій осі зліва від нуля.

Рене Декарт Рене Декарт
З цього часу негативні числа почали використовувати і визнавати, хоча ще довгий час багато вчених заперечували їх.

У 1831 році Гаус називав негативні числа абсолютно рівнозначними з позитивними. А те, що не всі дії з ними можна робити не вважав чимось страшним, з дробами, наприклад, теж не всі дії можна робити.

На XIX столітті Вільман Гамільтон і Герман Грассман створили повну закінчену теорію негативних чисел. З цього часу негативні числа здобули свої права і зараз уже ніхто не сумнівається у їхній реальності.

Міністерство освіти і науки РФ Муніципальна загальноосвітня установа Леботерська основна загальноосвітня школа Чаїнський район Томська область РЕФЕРАТ на тему: «Історія створення негативних чисел» Виконали: учениці 6 класу Григорівська Ксенія, Захарова Тетяна Керівник: Стасенко В.К., учитель0. 1. Вступ…………………………………..……………………………3 2. Історія створення негативних чисел ……………………………..4 3. Негативні числа в Китаї ……………………………………… ..5 4. Негативні числа в Індії ………………………………………..6 5. Список літератури ……………………………………………………. 7 2 Вступ Наочно уявити собі дріб може кожен; для цього достатньо подивитися на кавун, що розрізає, пиріг або на город, розділений на грядки. Але уявити число – 5 важче. Адже не можна відміряти -5м тканини чи відрізати –500г хліба. Навіщо ж потрібні такі дивні числаіз ще дивнішими правилами дій над ними? Справа в тому, що існує багато речей, які можуть як збільшуватись, так і зменшуватись. Позитивні та негативні числа служать для опису змін величин. Якщо величина зростає, то кажуть, що її зміна позитивна, а якщо вона зменшується, то зміну називають негативною. «Якщо я стою на вершині гори, то я починаю спуск з її вершини з висоти 2000м. Я йду вниз, і висота, на якій я перебуваю, стає все менше і менше. Ось я спустилася з висоти 1000м, тепер я на висоті 500м, ось я вже на висоті 200м, і ось нарешті я спустилася до самого моря. Я стою біля води, і хвилі лижуть підошви моїх черевиків. Отже, я на висоті 0м над рівнем моря. Тут я одягаю водолазний скафандр і, ступаючи дном моря, продовжую спускатися вниз. Я йду вниз, отже, висота, на якій я перебуваю, стає ще меншою, меншою за нуль. А я знаю, що числа менше нуля – це негативні числа! Отже, тут на дні моря висота негативна. Зараз я спустилася на 100м вниз від кромки води, і можу сказати, що на висоті -100м. А якби я не користувалася негативними числами, то мені довелося б сказати, що я на глибині 100м.» Негативні числа відповідають точкам, що знаходяться під поверхнею моря. Так, вершина гори може відповідати числу 2000м, а кораблю, що затонув, відповідає число -2000м, але не як не навпаки. З негативними числами ми стикаємося щоразу, говорячи про температуру повітря. Якщо надворі тепло, то температура повітря виражається позитивним числом, і якщо мороз, то негативним числом. Або коли кажуть, що температура повітря змінилася на -8°, це означає, що вона знизилася на 8°, а якщо змінилася на 8°, значить підвищилася на 8°. 3 Так при вимірі часу щодо деякого моменту, прийнятого за початок відліку, прийнято вважати позитивний часподій, що відбулися після початку відліку, та негативним – час подій, що відбулися до початку відліку. При вимірі сил, що діють на пружину, прийнято вважати позитивними сили, що розтягують пружину, і негативними - сили, що стискають пружину, і т. д. Таким чином, негативні числа поряд з позитивними числами і з числом нуль служать для вимірювання величин, що можуть змінюватися двох протилежних напрямках від деякого значення, прийнятого за початок відліку. З виникнення негативних чисел Негативні числа з'явилися значно пізніше натуральних чисел і звичайних дробів, які були знайомі єгиптянам і вавилонянам багато тисяч років тому. Але ні єгиптяни, ні вавилоняни, ні стародавні греки негативні числа не використовували, а якщо виходили негативні корені рівнянь (при відніманні), вони відкидалися як неможливі. Перші ж відомості про негативні числа відносяться приблизно до II століття до н.е. Рішення багатьох рівнянь зводиться до негативного коріння. Наприклад, у завданні: батько старший за сина на 18 років. Нині синові 25 років. Через скільки років батько буде в 2 рази старшим за сина? Склавши рівняння і вирішивши його, отримаємо, що корінь дорівнює -7. Значить, 7 років тому батько був удвічі старший за сина. Такі рівняння в давнину просто не розглядалися, негативні числа не визнавалися, негативні корені рівнянь вважали неправдивими. Так у 2 столітті до н. китайський вчений Чжан Цань у книзі «Арифметика в дев'яти розділах» наводить правила дій з негативними числами, які він розуміє як обов'язок, а позитивні як майно. Негативні числа він записував за допомогою чорнила іншого кольору, на відміну від позитивних. У Стародавню Індію і Китаї здогадалися замість слів "борг у 10 юанів" писати просто "10 юанів", але малювати ці ієрогліфи чорною тушшю. А знаків "+" і "-", у давнину не було ні для чисел, ні для дій. Греки теж спочатку знаків не використовували, поки у III столітті Діофант Олександрійський не став позначати віднімання знаком. В Італії лихварі, даючи гроші в борг, ставили перед ім'ям боржника суму боргу і рису, на зразок нашого мінуса, а коли боржник повертав гроші, закреслювали її, виходило щось на зразок нашого плюса. Можна плюс вважати закресленим мінусом. Корисність та законність негативних чисел затверджувалися поступово. Індійський математик Брахмагупта (VII століття) вже розглядав їх нарівні із позитивними. 4 У Європі визнання настало на тисячу років пізніше, та й довгий час негативні числа називали «хибними», «уявними» чи «абсурдними». Навіть знаменитий математик Блез Паскаль стверджував, що 0 − 4 = 0, оскільки ніщо може бути менше, ніж ніщо. Визнанню негативних чисел сприяли роботи французького математика, фізика та філософа Рене Декарта (1596–1650). Він запропонував геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел – запровадив координатну пряму (1637). Остаточне і загальне визнання як справді існуючі негативні числа отримали лише першій половині 18 століття. Тоді ж утвердилося сучасне позначення для негативних чисел. Тільки на початку 19 століття негативні числа отримали загальне визнання та сучасну форму позначення. Негативні числа з великими труднощами вибороли собі місце в математиці. Негативні числа у стародавньому Китаї Ми ​​вважаємо негативні числа чимось природним, але так було далеко не завжди. Вперше негативні числа були узаконені у Китаї, але використовувалися лише виняткових випадків, оскільки вважалися, загалом, безглуздими. Китайські вчені зіткнулися з негативними числами приблизно у II столітті до н. під час вирішення рівнянь. Більш точно сказати важко, оскільки імператор Ши Хуан Ді, розгнівавшись на вчених, наказав усі наукові книги спалити, а їх авторів та читачів стратити. Зміст цих книг дійшло до нас лише у уривках, звідки відомо, що китайці вміли лише складати негативні і позитивні числа і знали правила знаків при множенні позитивних і негативних чисел. Позитивні числа трактували як "прибуток", "майно", а негативні - як "борг", "збиток". 5 Негативні числа у давній Індії Індійські математики зіткнулися з негативними числами під час вирішення рівнянь. Індійський математик Брахмагупта (VII століття) вже розглядав їх нарівні з позитивними, він сформулював правила дій над позитивними та негативними числами у такому вигляді: «Сума двох майнов є майно». (+х) + (+у) = +(х + у) «Сума двох боргів є борг». (-х) + (-у) = - (х + у) «Сума майна та боргу дорівнює їх різниці» (-х) + (+у) = - (х - у) або (-х) + (+у ) = +(у - х) «Борг, що віднімається з нуля, стає майном». 0 - (-х) = + х «Майно, віднімається з нуля, стає боргом». 0 – (+х) = -х Індійські математики застосовували до негативним числам всі правила чотирьох дій, але не матимуть належного теоретичного обгрунтування. Однак, незважаючи на широке використаннянегативних чисел під час вирішення завдань з допомогою рівнянь, в Індії належали до негативним числам з деякою недовірою, вважаючи їх своєрідними, не зовсім реальними. Індійський математик Бхаскара (XII в.) прямо писав: “Люди не схвалюють абстрактних негативних чисел…” 6 Література: 1. І. Я. Депман, Н.Я. Віленкін, За сторінками підручника математики. Посібник для учнів 5 – 6 класів середньої школи. - М.: Просвітництво, 1989р. 2. Л.М. Фрідман, Вивчаємо математику: Книга для учнів 5 – 6 класів загальноосвітніх закладів. - М.: Просвітництво, 1995 3. Е.Г. Гельфман та ін., Позитивні та негативні числа в театрі Буратіно. Навчальний посібникз математики для 6 класу. 3-е видання, випр. - Томськ: Видавництво Томського університету, 1998р. 4. http://otvet.mail.ru/guestion/7639501/ 5. http://ru.wikipedia.org/wiki 7

Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF

Вступ

Світ чисел дуже загадковий та цікавий. Числа дуже важливі у нашому світі. Я хочу дізнатися якнайбільше про походження чисел, про їх значення в нашому житті. Як їх застосовувати і яку роль вони відіграють у нашому житті?

Минулого року на уроках математики ми почали вивчати тему «Позитивні та негативні числа». У мене постало питання, коли виникли негативні числа, в якій країні, які вчені займалися цим питанням. У Вікіпедії я прочитав, що негативне число — елемент множини негативних чисел, яке (разом із нулем) з'явилося в математиці при розширенні множини натуральних чисел. Мета розширення: забезпечити виконання операції віднімання будь-яких чисел. В результаті розширення виходить безліч (кільце) цілих чисел, що складається з позитивних (натуральних) чисел, негативних чисел та нуля.

У результаті вирішив досліджувати історію виникнення негативних чисел.

Метою даної є дослідження історії виникнення негативних і позитивних чисел.

Об'єкт дослідження - негативні числа та позитивні числа

Історія позитивних та негативних чисел

Люди довго не могли звикнути до негативних чисел. Негативні числа здавались незрозумілими, ними не користувалися, просто не бачили в них особливого сенсу. Ці числа з'явилися значно пізніше від натуральних чисел і звичайних дробів.

Перші відомості про негативні числа зустрічаються у китайських математиків у II ст. до зв. е. і те, були відомі лише правила складання та віднімання позитивних і негативних чисел; правила множення та поділу не застосовувалися.

Позитивні кількості у китайській математиці називали «чен», негативні – «фу»; їх зображували різними кольорами: "Чен" - червоним, "Фу" - чорним. Це можна побачити у книзі «Арифметика у дев'яти главах» (Автор Чжан Цань). Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував зручніше позначення негативних чисел - цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали навскіс праворуч наліво.

Лише у VII ст. індійські математики почали широко використовувати негативні числа, але належали до них із деякою недовірою. Бхасхар прямо писав: "Люди не схвалюють абстрактних негативних чисел ...". Ось як індійський математик Брахмагупта викладав правила додавання та віднімання: «майно та майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна та нуля є майно; сума двох нулів є нуль ... Борг, який забирають від нуля, стає майном, а майно - боргом. Якщо потрібно відібрати майно від боргу, а борг від майна, то беруть їхню суму». "Сума двох майн є майно".

(+х) + (+у) = +(х + у)‏ (-х) + (-у) = - (х + у)‏

(-х) + (+у) = - (х - у)‏ (-х) + (+у) = + (у - х)‏

0 - (-х) = +х 0 - (+х) = -х

Індійці називали позитивні числа "дхана" або "сва" (майно), а негативні - "рина" або "кшайя" (борг). Індійські вчені, намагаючись знайти й у житті зразки такого віднімання, дійшли тлумачення його з погляду торгових розрахунків. Якщо купець має 5000 грн. та закуповує товару на 3000 р., у нього залишається 5000 - 3000 = 2000, нар. Якщо він має 3000 р., а закуповує на 5000 р., він залишається у боргу на 2000 р. Відповідно до цього вважали, що тут відбувається віднімання 3000 - 5000, результатом є число 2000 з точкою вгорі, що означає «дві тисячі боргу». Тлумачення це мало штучний характер, купець будь-коли знаходив суму боргу відніманням 3000 - 5000, а завжди виконував віднімання 5000 - 3000.

Трохи згодом у Стародавній Індії та Китаї здогадалися замість слів "борг у 10 юанів" писати просто "10 юанів", але малювати ці ієрогліфи чорною тушшю. А знаків "+" і "-" у давнину не було ні для чисел, ні для дій.

Греки також спочатку знаків не використовували. Давньогрецький вчений Діофант взагалі не визнавав негативні числа, і якщо при вирішенні рівняння виходив негативний корінь, то він відкидав його як "недоступний". І Діофант намагався так сформулювати завдання і складати рівняння, щоб уникнути негативного коріння, але незабаром Діофант Олександрійський став позначати віднімання знаком.

Правила дій з позитивними та негативними числами було запропоновано вже у III столітті у Єгипті. Введення негативних величин вперше відбулося Діофанта. Він навіть використав спеціальний символ для них. У той самий час Діофант використовує такі мовні звороти, як «Додамо до обох сторін негативне», і навіть формулює правило символів: «Негативне, помножене на негативне, дає позитивне, тоді як негативне, помножене на позитивне, дає негативне».

У Європі негативними числами почали скористатися з XII-XIII ст., але до XVI в. більшість учених вважали їх «хибними», «уявними» чи «абсурдними», на відміну позитивних чисел - “істинних”. Позитивні числа як і тлумачилися як «майно», а негативні - як «борг», «недостача». Навіть знаменитий математик Блез Паскаль стверджував, що 0 − 4 = 0, тому що ніщо не може бути меншим, ніж ніщо. У Європі до ідеї негативної кількості досить близько підійшов на початку XIII століття Леонардо Фібоначчі Пізанський. На змаганні у вирішенні завдань із придворними математиками Фрідріха II Леонардо Пізанського було запропоновано вирішити задачу: потрібно знайти капітал кількох осіб. Фібоначчі отримав від'ємне значення. "Цей випадок, - сказав Фібоначчі, - неможливий, хіба що прийняти, що один мав не капітал, а борг". Однак у явному вигляді негативні числа застосував уперше наприкінці XV століття французький математик Шюке. Автор рукописного трактату з арифметики та алгебри «Наука про числа в трьох частинах». Символіка Шюке наближається до сучасної.

Визнанню негативних чисел сприяли роботи французького математика, фізика та філософа Рене Декарта. Він запропонував геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел – запровадив координатну пряму. (1637).

Позитивні числа зображуються на числовій осі точками, що лежать праворуч від початку 0, негативні - вліво. Геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел сприяло їх визнання.

У 1544 році німецький математик Михайло Штіфель вперше розглядає негативні числа як числа, менші за нуль (тобто «менші, ніж ніщо»). З цього моменту негативні числа розглядаються не як борг, а зовсім по-новому. Сам Штіфель писав: «Нуль знаходиться між істинними та абсурдними числами…»

Майже одночасно зі Штіфелем захищав ідею негативних чисел Бомбеллі Раффаеле (близько 1530—1572), італійський математик та інженер, який перетворив твір Діофанта.

Так само і Жирар вважав негативні числа цілком допустимими та корисними, зокрема, для позначення недостачі чогось.

Кожен фізик має справу з числами: він завжди щось вимірює, обчислює, розраховує. Скрізь у його паперах - числа, числа та числа. Якщо придивитися до записів фізика, то виявиться, що при записі чисел він часто використовує знаки "+" та "-". (Наприклад: термометр, шкала глибин та висот)

Тільки в початку XIXв. теорія негативних чисел закінчила свій розвиток, і "абсурдні числа" отримали загальне визнання.

Визначення поняття числа

У сучасному світі людина постійно користується числами, навіть не замислюючись про їхнє походження. Без знання минулого не можна зрозуміти сьогодення. Число одна із основних понять математики. Поняття числа розвивалося у зв'язку з вивченням величин; цей зв'язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величини та користуватися числами. Число - абстракція, що використовується для кількісної характеристики об'єктів. Виникнувши ще первісному суспільстві з потреб рахунку, поняття числа змінювалося і збагачувалося і перетворилося на найважливіше математичне поняття.

Існує велика кількість визначень поняття «число».

Перше наукове визначення числа дав Евклід у своїх «Початках», яке він, очевидно, успадкував від свого співвітчизника Евдокса Кнідського (близько 408 – близько 355 рр. до н. е.): «Одиниця є те, відповідно до кожної з існуючих речей називається однією. Число є безліч, складене з одиниць». Так визначав поняття числа і російський математик Магницький у своїй «Арифметиці» (1703). Ще раніше Евкліда Аристотель дав таке визначення: «Кількість є безліч, яка вимірюється за допомогою одиниць». У своїй «Загальній арифметиці» (1707 р) великий англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон пише: «Під числом ми маємо на увазі не так багато одиниць, скільки абстрактне відношення якоїсь величини до іншої величини такого ж роду, взятої за одиницю . Число буває трьох видів: ціле, дробове та ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове - кратною частиною одиниці, ірраціональне - число, яке не можна порівняти з одиницею».

Маріупольський математик С.Ф.Клюйков також зробив свій внесок у визначення поняття числа: «Числа - це математичні моделі реального світу, вигадані людиною для його пізнання». Він же вніс у традиційну класифікацію чисел звані «функціональні числа», маючи на увазі те, що в усьому світі зазвичай називають функціями.

Натуральні числа з'явилися за рахунку предметів. Про це я дізналася у 5 класі. Потім я дізналася, що потреба людини вимірювати величини не завжди виражається цілим числом. Після розширення безлічі натуральних чисел до дробових стало можливим ділити будь-яке ціле число інше ціле число (крім розподілу на нуль). З'явилися дробові числа. Віднімати ж ціле число з іншого цілого числа, коли віднімається більше зменшуваного, довгий час здавалося неможливим. Цікавим для мене виявився той факт, що довгий час багато математиків не визнавали негативних чисел, вважаючи, що їм не відповідають будь-які реальні явища.

Походження слів «плюс» та «мінус»

Терміни походять від слів plus – «більше», minus – «менше». Спочатку дії позначали першими літерами p; m. Багато математиків віддавали перевагу або виникненню сучасних знаків «+», «-» не зовсім ясно. Знак «+», мабуть, походить від скороченого запису et, тобто. "і". Втім, можливо він виник із торгової практики: продані заходи вина відзначалися на бочці «-», а при відновленні запасу їх перекреслювали, виходив знак «+».

Італії лихварі, даючи гроші в борг, ставили перед ім'ям боржника суму боргу і рису, на зразок нашого мінуса, а коли боржник повертав гроші, закреслювали її, виходило щось на зразок нашого плюса.

Сучасні знаки "+" і з'явилися в Німеччині в останнє десятиліття XV ст. у книзі Відмана, яка була керівництвом по рахунку для купців (1489). Чех Ян Відман вже писав «+» і «-» для складання та віднімання.

Трохи пізніше німецький вчений Міхель Штіфель написав «Повну Арифметику», що була надрукована у 1544 році. У ньому зустрічаються такі записи для чисел: 0-2; 0+2; 0-5; 0+7. Числа першого виду він назвав «меншим, ніж нічого» або «нижчим, ніж нічого». Числа другого виду назвав «більше, ніж нічого» або «вище, ніж нічого». Вам, звісно, ​​зрозумілі ці назви, тому що «нічого» – це 0.

Негативні числа у Єгипті

Однак, незважаючи на такі сумніви, правила дій з позитивними та негативними числами були запропоновані вже у III столітті в Єгипті. Введення негативних величин вперше відбулося Діофанта. Він навіть використовував спеціальний символ для них (зараз ми в цій якості використовуємо знак мінус). Щоправда, вчені сперечаються, чи символ Діофанта позначав саме негативне число або просто операцію віднімання, тому що у Діофанта негативні числа не зустрічаються ізольовано, а тільки у вигляді різниць позитивних; і як відповіді завдання він розглядає лише раціональні позитивні числа. Але в той же час Діофант вживає такі мовні звороти, як «Додамо до обох сторін негативне», і навіть формулює правило знаків: «Негативне, помножене на негативне, дає позитивне, тоді як негативне, помножене на позитивне, дає негативне» (то, що зараз зазвичай формулюють: "Мінус на мінус дає плюс, мінус на плюс дає мінус").

(-) (-) = (+), (-) (+) = (-).

Негативні числа у Стародавній Азії

Позитивні кількості у китайській математиці називали «чен», негативні – «фу»; їх зображували різними кольорами: "Чен" - червоним, "Фу" - чорним. Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував зручніше позначення негативних чисел - цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали навскіс праворуч наліво. Індійські вчені, намагаючись знайти й у житті зразки такого віднімання, дійшли тлумачення його з погляду торгових розрахунків.

Якщо купець має 5000 грн. та закуповує товару на 3000 р., у нього залишається 5000 - 3000 = 2000, нар. Якщо він має 3000 р., а закуповує на 5000 р., він залишається у боргу на 2000 р. Відповідно до цього вважали, що тут відбувається віднімання 3000 - 5000, результатом є число 2000 з точкою вгорі, що означає «дві тисячі боргу».

Тлумачення це мало штучний характер, купець ніколи не знаходив суму боргу відніманням 3000 - 5000, а завжди виконував віднімання 5000 - 3000. Крім того, на цій основі можна було з натяжкою пояснити лише правила складання та віднімання «чисел з точками», але ніяк не можна було пояснити правила множення чи розподілу.

У V-VI століттях негативні числа виникають і дуже широко поширюються в індійській математиці. В Індії негативні числа систематично використовували переважно так, як це ми робимо зараз. Індійські математики використовують негативні числа із VII ст. н. е..: Брахмагупта сформулював правила арифметичних дій з ними. У його творі ми читаємо: «майно та майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна та нуля є майно; сума двох нулів є нуль ... Борг, який забирають від нуля, стає майном, а майно - боргом. Якщо потрібно відібрати майно від боргу, а борг від майна, то беруть їхню суму».

Індійці називали позитивні числа "дхана" або "сва" (майно), а негативні - "рина" або "кшайя" (борг). Втім, і в Індії з розумінням та прийняттям негативних чисел були проблеми.

Негативні числа у Європі

Не схвалювали їх довго й європейські математики, бо тлумачення «майно-борг» викликало здивування та сумніви. Справді, як можна «складати» чи «вичитати» майна та борги, який реальний сенс може мати «множення» чи «розподіл» майна на борг? (Г.І. Глейзер, Історія математики в школі IV-VI класи. Москва, Просвітництво, 1981)

Ось чому насилу завоювали собі місце в математиці негативні числа. У Європі до ідеї негативної кількості досить близько підійшов на початку XIII століття Леонардо Фібоначчі Пізанський, проте у явному вигляді негативні числа застосував уперше наприкінці XV століття французький математик Шюке. Автор рукописного трактату з арифметики та алгебри «Наука про числа в трьох частинах». Символіка Шюке наближається до сучасної (Математичний енциклопедичний словник. М., Рад. енциклопедія, 1988)

Сучасне тлумачення негативних чисел

У 1544 році німецький математик Михайло Штіфель вперше розглядає негативні числа як числа, менші за нуль (тобто «менші, ніж ніщо»). З цього моменту негативні числа розглядаються не як борг, а зовсім по-новому. Сам Штіфель писав: «Нуль знаходиться між істинними та абсурдними числами ...» (Г.І. Глейзер, Історія математики в школі IV-VI класи. Москва, Просвітництво, 1981)

Після цього Штіфель повністю присвячує свою роботу математиці, в якій він був геніальним самоуком. Один із перших у Європі після Миколи Шюке почав оперувати негативними числами.

Знаменитий французький математик Рене Декарт у «Геометрії» (1637) описує геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел; позитивні числа зображуються на числовій осі точками, що лежать праворуч від початку 0, негативні - вліво. Геометричне тлумачення позитивних і негативних чисел призвело до чіткішого розуміння природи негативних чисел, сприяло їхньому визнанню.

Майже одночасно зі Штіфелем захищав ідею негативних чисел Р. Бомбеллі Раффаеле (близько 1530-1572), італійський математик та інженер, який перетворює твір Діофанта.

Бомбеллі і Жирар, навпаки, вважали негативні числа цілком допустимими та корисними, зокрема, для позначення нестачі чогось. Сучасне позначення позитивних і негативних чисел зі знаками "+" і "-" застосував німецький математик Відман. Вираз «нижче, ніж нічого» показує, що Штіфель та деякі інші подумки уявляли позитивні та негативні числа точками на вертикальній шкалі (на зразок шкали термометра). Розвинене потім математиком А. Жираром уявлення про негативні числа як про точки на деякій прямій, що розташовуються по інший бік від нуля, ніж позитивні, виявилося вирішальним у забезпеченні цим числам прав громадянства, особливо в результаті розвитку методу координат у П. Ферма і Р. Декарта .

Висновок

У роботі я досліджував історію виникнення негативних чисел. У ході дослідження я зробив висновок:

Сучасна наука зустрічається з величинами такої складної природи, що з вивчення доводиться винаходити дедалі нові види чисел.

При введенні нових чисел велике значення мають дві обставини:

а) правила дій над ними мають бути повністю визначені та не вели до суперечностей;

б) нові системи чисел повинні сприяти або розв'язанню нових завдань, або вдосконалити вже відомі рішення.

До теперішнього часу існує сім загальноприйнятих рівнів узагальнення чисел: натуральні, раціональні, дійсні, комплексні, векторні, матричні та трансфінітні числа. Окремими вченими пропонується вважати функції функціональними числами та розширити ступінь узагальнення чисел до дванадцяти рівнів.

Всі ці множини чисел я постараюся вивчити.

додаток

Вірш

«Складання негативних чисел і чисел з різними знаками»

Якщо вже захочеться вам скласти

Числа негативні, нема чого тужити:

Треба суму модулів швиденько дізнатися,

До неї потім знак «мінус» взяти та приписати.

Якщо числа з різними знаками дадуть,

Щоб визначити їхню суму, всі ми тут як тут.

Більший модуль швидко дуже вибираємо.

З нього ми менший віднімаємо.

Найголовніше ж - знак не забути!

Ви який поставите? - ми хочемо спитати

Вам секрет відкриємо, простіше немає,

Знак, де модуль більший, запиши у відповідь.

Правила складання позитивних та негативних чисел

Мінус з мінусом скласти,

Можна отримати мінус.

Якщо складеш мінус, плюс,

То вийде конфуз?!

Знак числа ти вибирай

Що сильніше, не позіхай!

Модулі їх забери,

Та всі числа помири!

Правила множення можна витлумачити і таким чином:

«Друг мого друга - мій друг»: + ∙ + = + .

«Ворог мого ворога – мій друг»: ─ ∙ ─ = +.

«Друг мого ворога – мій ворог»: + ∙ ─ = ─.

«Ворог мого друга - мій ворог»: ─ ∙ + = ─.

Знак множення є крапка, у ній три знаки:

Прикрий із них два, третій дасть відповідь.

Наприклад.

Як визначити знак твору 2∙(-3)?

Закриємо руками знаки «плюс» та «мінус». Залишається знак "мінус"

Список літератури

«Історія стародавнього світу", 5 клас. Ковпаков, Селунська.

"Історія математики в давнину", Е. Кольман.

"Довідник школяра". ВД «ВЕСЬ», Санкт-Петербург. 2003 р.

Велика математична енциклопедія. Якушева Г.М. та ін.

Вігасін А.А,.Годер Г.І., "Історія древнього світу" підручник 5 класу, 2001р.

Вікіпедія. Вільна енциклопедія

Виникнення та розвитку математичної науки: Кн. Для вчителя. - М: Просвітництво, 1987.

Гельфман Е.Г. "Позитивні та негативні числа", навчальний посібник з математики для 6-го класу, 2001.

Глав. ред. М. Д. Аксьонова. - М: Аванта +, 1998.

Глейзер Г. І. "Історія математики в школі", Москва, "Освіта", 1981

Дитяча енциклопедія "Я пізнаю світ", Москва, "Освіта", 1995р.

Історія математики у школі, IV-VI класи. Г.І. Глейзер, Москва, Просвітництво, 1981.

М: Філол. О-во «СЛОВО»: ОЛМА-ПРЕС, 2005.

Малигін К.А.

Математичний енциклопедичний словник. М., Рад. енциклопедія, 1988.

Нурк Е.Р., Тельгмаа А.Е. "Математика 6 клас", Москва, "Освіта", 1989г

Підручник 5 клас. Віленкін, Жохов, Чесноков, Шварцбурд.

Фрідман Л. М.. "Вивчаємо математику", навчальне видання, 1994

Е.Г. Гельфман та ін., Позитивні та негативні числа в театрі Буратіно. Навчальний посібник із математики для 6 класу. 3-тє видання, испр., - Томськ: Видавництво Томського університету, 1998р.

Енциклопедія для дітей Т.11. Математика