Поступово розподіл теорія ймовірності. Математика та інформатика. Навчальний посібник з усього курсу
Функція розподілу в цьому випадку згідно (5.7), набуде вигляду:
де: m - математичне очікування, s-середньо квадратичне відхилення.
Нормальний розподіл називають ще гауссівським на ім'я німецького математика Гаусса. Той факт, що випадкова величинамає нормальний розподілз параметрами: m, позначають так: N (m,s), де: m = a = M ;
Досить часто у формулах математичне очікування позначають через а . Якщо випадкова величина розподілена згідно із законом N(0,1), то вона називається нормованою або стандартизованою нормальною величиною. Функція розподілу для неї має вигляд:
|
|
.Графік щільності нормального розподілу, який називають нормальною кривою або кривою Гауса, зображено на рис.5.4.
Рис. 5.4. Щільність нормального розподілу
Визначення числових показників випадкової величини з її щільності розглядається з прикладу.
Приклад 6.
Безперервна випадкова величина задана щільністю розподілу: 
.
Визначити вид розподілу, знайти математичне очікування M(X) та дисперсію D(X).
Порівнюючи задану щільність розподілу з (5.16) можна дійти невтішного висновку, що заданий нормальний закон розподілу з m =4. Отже, математичне очікування M(X)=4, дисперсія D(X)=9.
Середнє квадратичне відхилення s=3.
Функція Лапласа, що має вигляд:
|
|
,пов'язана з функцією нормального розподілу (5.17), співвідношенням:
F0(x) = Ф(х) + 0,5.
Функції Лапласа непарна.
Ф(-x) = -Ф(x).
Значення функції Лапласа Ф(х) табульовані та беруться з таблиці за значенням х (див. Додаток 1).
Нормальний розподіл безперервної випадкової величини грає важливу рольв теорії ймовірностей і при описі реальності, має дуже широке розповсюдженняу випадкових явищах природи. На практиці дуже часто зустрічаються випадкові величини, що утворюються саме в результаті підсумовування багатьох випадкових доданків. Зокрема, аналіз помилок виміру показує, що вони є сумою різного родупомилок. Практика показує, що розподіл ймовірностей помилок виміру близький до нормального закону.
За допомогою функції Лапласа можна вирішувати завдання обчислення ймовірності попадання в заданий інтервал та заданого відхилення нормальної випадкової величини.
Рівномірним вважається розподіл, при якому всі значення випадкової величини (в області її існування, наприклад, в інтервалі) рівноймовірні. Функція розподілу для такої випадкової величини має вигляд:
Щільність розподілу: 
1
Рис. Графіки функції розподілу (ліворуч) та щільності розподілу (праворуч).
Рівномірний розподіл - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Рівномірний розподіл" 2017, 2018.
Основні дискретні розподіливипадкових величин Визначення 1. Випадкова величина Х, що набуває значення 1, 2, …, n, має рівномірний розподілякщо Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n. Очевидно, що. Розглянемо таку задачу.В урні є N куль, їх M куль білого... .
Закони розподілу безперервних випадкових величин Визначення 5. Безперервна випадкова величина Х, що приймає значення на відрізку, має рівномірний розподіл, якщо щільність розподілу має вигляд. (1) Неважко переконатися, що . Якщо випадкова величина... .
Рівномірним вважається розподіл, при якому всі значення випадкової величини (в області її існування, наприклад, в інтервалі) рівноймовірні. Функція розподілу для такої випадкової величини має вигляд: Щільність розподілу: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Нормальний закони розподілу Рівномірний, показовий та Функція щільності ймовірності рівномірного закону така: (10.17) де a та b – дані числа, a< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Поступово розподіл ймовірностей є найпростішим і може бути як дискретним, так і безперервним. Дискретний рівномірний розподіл - це такий розподіл, для якого ймовірність кожного зі значень СВ одна і та ж, тобто де N - кількість ... .
Визначення 16. Безперервна випадкова величина має рівномірний розподіл на відрізку , якщо на цьому відрізку щільність розподілу даної випадкової величини постійна, а поза ним дорівнює нулю, тобто (45) Графік щільності для рівномірного розподілу зображений...
Розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини X, що приймає всі значення з відрізка , називається рівномірним, Якщо її щільність ймовірності цьому відрізку постійна, а поза його дорівнює нулю. Таким чином, щільність ймовірності безперервної випадкової величини X, розподіленою рівномірно на відрізку , має вигляд:
Визначимо математичне очікування, дисперсіюі випадкової величини з рівномірним розподілом.
, 
, 
.
приклад.Усі значення рівномірно розподіленої випадкової величини лежать на відрізку . Знайти ймовірність влучення випадкової величини в проміжок (3;5) .
a=2, b=8, 
.
Нехай проводиться nвипробувань, причому ймовірність появи події Aу кожному випробуванні дорівнює pі не залежить від результату інших випробувань ( незалежні випробування). Тому що ймовірність настання події Aв одному випробуванні дорівнює p, то ймовірність його ненаступу дорівнює q=1-p.
Нехай подія Aнастало в nвипробуваннях mразів. Цю складну подію можна записати у вигляді твору:
.
Тоді ймовірність того, що за nвипробуваннях подія Aнастане mраз , обчислюється за такою формулою:
або 
(1)
Формула (1) називається формулою Бернуллі.
Нехай X– випадкова величина, рівна числу події Aв nвипробуваннях, яка набуває значення з ймовірностями:
Отриманий закон розподілу випадкової величини називається законом біномного розподілу.
| X | m | n | ||||
| P |
Математичне очікування, дисперсіяі середнє квадратичне відхиленнявипадкових величин, розподілених за біноміальним законом, визначаються за формулами:
, , .
приклад.По мішені виконуються три постріли, причому ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,8. Розглядається випадкова величина X- Число попадань в ціль. Знайти її закон розподілу, математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
p=0,8, q=0,2, n=3, 
, , 
.
- ймовірність 0 влучень;
Ймовірність одного влучення;
Ймовірність двох влучень;
- Імовірність трьох попадань.
Отримуємо закон розподілу:
| X | ||||
| P | 0,008 | 0,096 | 0,384 | 0,512 |
Завдання
1. Монету кидають 7 разів. Знайти ймовірність того, що чотири рази вона впаде гербом вгору.
2. Монету кидають 8 разів. Знайти ймовірність того, що герб випаде не більше трьох разів.
3. Імовірність влучення в ціль при стрільбі з гармати p = 0,6. Знайти математичне очікування загальної кількостіпопадань, якщо буде зроблено 10 пострілів.
4. Знайти математичне очікування числа лотерейних квитків, на які випадуть виграші, якщо придбано 20 квитків, причому можливість виграшу по одному квитку дорівнює 0,3.
Як було сказано раніше, прикладами розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х є:
- рівномірний розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини;
- показовий розподілймовірностей безперервної випадкової величини;
- нормальний розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини
Дамо поняття рівномірного та показового законів розподілу, формули ймовірності та числові характеристики функцій, що розглядаються.
| Показник | Раномірний закон розподілу | Показовий закон розподілу |
|---|---|---|
| Визначення | Рівномірним називається розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини X, щільність якого зберігає постійне значення на відрізку та має вигляд | Показовим (експоненційним) називається розподіл ймовірностей безперервної випадкової величини X, який описується щільністю, що має вигляд |
 де λ – постійна позитивна величина |
||
| Функція розподілу |  |
 |
| Ймовірність попадання в інтервал |  |
 |
| Математичне очікування |  |
|
| Дисперсія |  |
|
| Середнє квадратичне відхилення |  |
Приклади вирішення завдань на тему «Рівномірний та показовий закони розподілу»
Завдання 1.
Автобуси йдуть за розкладом. Інтервал руху 7 хв. Знайти: а) ймовірність того, що пасажир, який підійшов до зупинки, чекатиме на черговий автобус менше двох хвилин; б) ймовірність того, що пасажир, який підійшов до зупинки, чекатиме на черговий автобус не менше трьох хвилин; в) математичне очікування та середнє квадратичне відхилення випадкової величини X – часу очікування пасажира.
Рішення. 1. За умовою завдання безперервна випадкова величина X = (час очікування пасажира) рівномірно розподілено між парафіями двох автобусів. Довжина інтервалу розподілу випадкової величини Х дорівнює b-a=7 де a=0, b=7.
2. Час очікування буде меншим за дві хвилини, якщо випадкова величина X потрапляє в інтервал (5;7). Імовірність попадання в заданий інтервал знайдемо за формулою: Р(х 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
Р(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Час очікування буде не менше трьох хвилин (тобто від трьох до семи хв.), Якщо випадкова величина Х потрапляє в інтервал (0; 4). Імовірність попадання в заданий інтервал знайдемо за формулою: Р(х 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
Р(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Математичне очікування безперервної, рівномірно розподіленої випадкової величини X – часу очікування пасажира, знайдемо за формулою: М(Х)=(a+b)/2. М(Х) = (0 +7) / 2 = 7 / 2 = 3,5.
5. Середнє квадратичне відхилення безперервної, рівномірно розподіленої випадкової величини X – часу очікування пасажира, знайдемо за такою формулою: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.
Завдання 2.
Показовий розподіл встановлено при x ≥ 0 щільністю f(x) = 5e – 5x. Потрібно: а) записати вираз для функції розподілу; б) знайти ймовірність того, що в результаті випробування X потрапляє до інтервалу (1;4); в) знайти ймовірність того, що в результаті випробування X ≥ 2; г) обчислити M(X), D(X), σ(X).
Рішення. 1. Оскільки за умовою поставлено показовий розподіл , то з формули щільності розподілу ймовірностей випадкової величини X отримуємо λ = 5. Тоді функція розподілу матиме вигляд:
2. Імовірність того, що в результаті випробування X потрапляє в інтервал (1; 4) знаходимо за формулою:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Імовірність того, що в результаті випробування X ≥ 2 знаходимо за формулою: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Знаходимо для показового розподілу:
- математичне очікування за формулою M(X) = 1/λ = 1/5 = 0,2;
- дисперсію за формулою D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
- середнє квадратичне відхилення за формулою σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.
Як приклад безперервної випадкової величини розглянемо випадкову величину X, рівномірно розподілену на інтервалі (a; b). Говорять, що випадкова величина X рівномірно розподілено на проміжку (a; b), якщо її щільність розподілу непостійна на цьому проміжку:
З умови нормування визначимо значення константи c. Площа під кривою щільності розподілу повинна дорівнювати одиниці, але в нашому випадку - це площа прямокутника з основою (b - α) і висотою c (рис. 1). 
Рис. 1 Щільність рівномірного розподілу
Звідси знаходимо значення постійної з: 
Отже, щільність рівномірно розподіленої випадкової величини дорівнює 
Знайдемо тепер функцію розподілу за такою формулою:
1) для 
2) для
3) для 0+1+0=1.
Таким чином, 
Функція розподілу безперервна і зменшується (рис. 2). 
Рис. 2 Функція розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини
Знайдемо математичне очікування рівномірно розподіленої випадкової величиниза формулою:
Дисперсія рівномірного розподілурозраховується за формулою і дорівнює
Приклад №1. Ціна поділу шкали вимірювального приладу дорівнює 0.2. Показання приладу округляють до найближчого поділу. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблено помилку: а) менша 0.04; б) велика 0.02
Рішення. Помилка округлення є випадковою величиною, рівномірно розподіленою на проміжку між сусідніми цілими поділами. Розглянемо як такий поділ інтервал (0; 0,2) (рис. а). Округлення може проводитися як у бік лівої межі - 0, так і в бік правої - 0,2, отже, помилка, менша або рівна 0,04, може бути зроблена двічі, що необхідно врахувати при підрахунку ймовірності: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Для другого випадку величина помилки може перевищувати 0,02 також з обох меж поділу, тобто вона може бути більшою за 0,02, або меншою за 0,18. 
Тоді ймовірність появи такої помилки:
Приклад №2. Передбачалося, що про стабільність економічної обстановки в країні (відсутність воєн, стихійних лих тощо) за останні 50 років можна судити за характером розподілу населення за віком: при спокійній обстановці воно має бути рівномірним. В результаті проведеного дослідження для однієї з країн були отримані такі дані.
Чи є підстави вважати, що у країні була нестабільна обстановка?Рішення проводимо за допомогою калькулятора Перевірка гіпотез. Таблиця до розрахунку показників.
| Групи | Середина інтервалу, x i | Кількість, f i | x i * f i | Накопичена частота, S | | x - x ср | * f | (x - x ср) 2 * f | Частота, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
Середня виважена
Показники варіації.
Абсолютні показники варіації.
Розмах варіації - різниця між максимальним та мінімальним значеннями ознаки первинного ряду.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Дисперсія- характеризує міру розкиду біля її середнього значення (заходи розсіювання, тобто відхилення від середнього).
Середнє квадратичне відхилення.
Кожне значення ряду відрізняється від середнього значення 43 трохи більше, ніж 23.92
Перевірка гіпотез про вид розподілу.
4. Перевірка гіпотези про рівномірному розподілігенеральної сукупності.
Щоб перевірити гіпотезу про рівномірному розподілі X, тобто. згідно із законом: f(x) = 1/(b-a) в інтервалі (a,b)
треба:
1. Оцінити параметри a та b - кінці інтервалу, в якому спостерігалися можливі значення X, за формулами (через знак * позначені оцінки параметрів):
2. Знайти густину ймовірності передбачуваного розподілу f(x) = 1/(b * - a *)
3. Знайти теоретичні частоти:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(xi - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Порівняти емпіричні та теоретичні частоти за допомогою критерію Пірсона, прийнявши число ступенів свободи k = s-3, де s – число початкових інтервалів вибірки; якщо ж було здійснено об'єднання нечисленних частот, отже, і самих інтервалів, то s - кількість інтервалів, що залишилися після об'єднання.
Рішення:
1. Знайдемо оцінки параметрів a* та b* рівномірного розподілу за формулами:
2. Знайдемо щільність передбачуваного рівномірного розподілу:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Знайдемо теоретичні частоти:
n 1 = n * f (x) (x 1 - a *) = 1 * 0.0121 (10-1.58) = 0.1
n 8 = n * f (x) (b * - x 7) = 1 * 0.0121 (84.42-70) = 0.17
Інші n s дорівнюватимуть:
n s = n * f (x) (xi - xi-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n * i) 2 | (n i - n * i) 2 / n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Разом | 1 | 0.0532 |
Тому критична область для цієї статистики завжди є правосторонньою: )
