Закон розподілу випадкової величини x приклади. Випадкові величини

У додатках теорії ймовірностей основне значення має кількісна характеристика експерименту. Величина, яка може бути кількісно визначена і яка в результаті експерименту може приймати залежно від випадку різні значення, називається випадковою величиною.

Приклади випадкових величин:

1. Число випадань парного числа очок при десяти киданнях гральної кістки.

2. Кількість попадань у мету стрільцем, який здійснює серію пострілів.

3. Число осколків снаряда, що розірвався.

У кожному з наведених прикладів випадкова величина може набувати лише ізольовані значення, тобто значення, які можна пронумерувати за допомогою натурального ряду чисел.

Така випадкова величина, можливі значення якої є окремі ізольовані числа, які ця величина набуває з певними ймовірностями, називається дискретний.

Число можливих значень дискретної випадкової величиниможе бути кінцевим або нескінченним (чисельним).

Законом розподілудискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних їм ймовірностей. Закон розподілу дискретної випадкової величини можна задати у вигляді таблиці (ряд розподілу ймовірностей), аналітично та графічно (багатокутник розподілу ймовірностей).

При здійсненні того чи іншого експерименту виникає необхідність оцінювати величину, що вивчається, «в середньому». Роль середнього значення випадкової величини грає числова характеристика, що називається математичним очікуванням,яка визначається формулою

де x 1 , x 2 ,.. , x n– значення випадкової величини X, а p 1 ,p 2 , ... , p n- ймовірності цих значень (зауважимо, що p 1 + p 2 +…+ p n = 1).

приклад. Здійснюється стрілянина по мішені (рис. 11).

Попадання до I дає три очки, у II – два очки, у III – одне очко. Число очок, що вибиваються при одному пострілі одним стрільцем, має закон розподілу виду

Для порівняння майстерності стрільців досить порівняти середні значення очок, що вибиваються, тобто. математичні очікування M(X) та M(Y):

M(X) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

M(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

Другий стрілець дає у середньому дещо більше очок, тобто. при багаторазовій стрільбі він даватиме найкращий результат.

Зазначимо властивості математичного очікування:

1. Математичне очікування постійної величини дорівнює самій постійній:

M(C) = C.

2. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:

M =(X 1 + X 2 +…+ X n)= M(X 1)+ M(X 2)+…+ M(X n).

3. Математичне очікування твору взаємно незалежних випадкових величин дорівнює твору математичних очікувань змножувачів

M(X 1 X 2 … X n) = M(X 1)M(X 2)… M(X n).

4. Математичне заперечення біномінального розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні (завдання 4.6).

M(X) = ін.

Для оцінки того, як випадкова величина «у середньому» ухиляється від свого математичного очікування, тобто. щоб охарактеризувати розкид значень випадкової величини теорії ймовірностей служить поняття дисперсії.

Дисперсієювипадкової величини Xназивають математичне очікуванняквадрата відхилення:

D(X) = M[(X - M(X)) 2 ].

Дисперсія є числової характеристикою розсіювання випадкової величини. З визначення видно, що менше дисперсія випадкової величини, тим купальніше розташовуються її можливі значення біля математичного очікування, тобто тим краще значенняДовільної величини характеризуються її математичним очікуванням.

З визначення випливає, що дисперсія може бути обчислена за формулою

.

Дисперсію зручно обчислювати за іншою формулою:

D(X) = M(X 2) - (M(X)) 2 .

Дисперсія має такі властивості:

1. Дисперсія постійної дорівнює нулю:

D(C) = 0.

2. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його у квадрат:

D(CX) = C 2 D(X).

3. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсії доданків:

D(X 1 + X 2 + X 3 +…+ X n)= D(X 1)+ D(X 2)+…+ D(X n)

4. Дисперсія біномного розподілу дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи та непояви події в одному випробуванні:

D(X) = npq.

Теоретично ймовірностей часто використовується числова характеристика, що дорівнює кореню квадратному з дисперсії випадкової величини. Ця числова характеристика називається середнім квадратним відхиленням та позначається символом

.

Вона характеризує приблизний розмір ухилення випадкової величини від її середнього значення та має однакову з випадковою величиною розмірність.

4.1. Стрілець проводить по мішені три постріли. Імовірність влучення в ціль при кожному пострілі дорівнює 0,3.

Побудувати низку розподілу числа попадань.

Рішення. Число влучень є дискретною випадковою величиною X. Кожному значенню x n випадкової величини Xвідповідає певна ймовірність P n .

Закон розподілу дискретної випадкової величини даному випадкуможна поставити поряд розподілу.

У цій задачі Xприймає значення 0, 1, 2, 3. За формулою Бернуллі

,

знайдемо ймовірність можливих значень випадкової величини:

Р 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

Р 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

Р 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

Р 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

Розташувавши значення випадкової величини Xу зростаючому порядку отримаємо ряд розподілу:

X n

Зауважимо, що сума

означає ймовірність того, що випадкова величина Xприйме хоча б одне значення з числа можливих, а ця подія є достовірною, тому

.

4.2 .В урні є чотири кулі з номерами від 1 до 4. Вийняли дві кулі. Випадкова величина X- Сума номерів куль. Побудувати низку розподілу випадкової величини X.

Рішення.Значеннями випадкової величини Xє 3, 4, 5, 6, 7. Знайдемо відповідні ймовірності. Значення 3 випадкової величини Xможе приймати в одному випадку, коли одна з обраних куль має номер 1, а інший 2. Число всіляких результатів випробування дорівнює числу поєднань з чотирьох (число можливих пар куль) по два.

За класичною формулою ймовірності отримаємо

Аналогічно,

Р(Х= 4) =Р(Х= 6) =Р(Х= 7) = 1/6.

Сума 5 може з'явитися у двох випадках: 1 + 4 та 2 + 3, тому

.

Хмає вигляд:

Знайти функцію розподілу F(x) випадкової величини Xта побудувати її графік. Обчислити для Xїї математичне очікування та дисперсію.

Рішення. Закон розподілу випадкової величини може бути заданий функцією розподілу

F(x) = P(X x).

Функція розподілу F(x) - Незменшуюча, безперервна зліва функція, визначена на всій числовій осі, при цьому

F (- )= 0,F (+ )= 1.

Для дискретної випадкової величини ця функція виражається формулою

.

Тому в даному випадку

Графік функції розподілу F(x) являє собою ступінчасту лінію (рис. 12)

	F(x)

Математичне очікуванняМ(Х) є зваженою середньої арифметичної значень х 1 х 2 ,……х nвипадкової величини Хпри вагах ρ 1, ρ 2, …… , ρ n і називається середнім значенням випадкової величини Х. За формулою

М(Х)= х 1 ρ 1 + х 2 ρ 2 + ……+ х n ρ n

М(Х) = 3 · 0,14 +5 · 0,2 +7 · 0,49 +11 · 0,17 = 6,72.

Дисперсіяхарактеризує ступінь розсіювання значень випадкової величини від свого середнього значення та позначається D(Х):

D(Х)=М[(Х-М(Х)) 2 ]= М(Х 2) –[М(Х)] 2 .

Для дискретної випадкової величини дисперсія має вигляд

або вона може бути обчислена за формулою

Підставляючи числові дані завдання у формулу, отримаємо:

М(Х 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(Х) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. Дві гральні кістки одночасно кидають двічі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х- Числа випадань парного сумарного числа очок на двох гральних кістках.

Рішення. Введемо до розгляду випадкову подію

А= (На двох кістках при одному киданні випало в сумі парне число очок).

Використовуючи класичне визначення ймовірності, знайдемо

Р(А)= ,

де n - Число всіляких результатів випробування знаходимо за правилом

множення:

n = 6∙6 =36,

m - кількість сприятливих подій Арезультатів - одно

m= 3∙6=18.

Таким чином, ймовірність успіху в одному випробуванні дорівнює

ρ = Р(А)= 1/2.

Завдання вирішується із застосуванням схеми випробувань Бернуллі. Одним випробуванням тут буде кидання двох гральних кісток один раз. Число таких випробувань n = 2. Випадкова величина Хприймає значення 0, 1, 2 з ймовірностями

Р 2 (0) =,Р 2 (1) =∙,Р 2 (2) =

Шуканий біномінальний розподіл випадкової величини Хможна подати у вигляді ряду розподілу:

х n
ρ n

4.5 . У партії із шести деталей є чотири стандартні. Навмання відібрано три деталі. Скласти розподіл ймовірностей дискретної випадкової величини Х– числа стандартних деталей серед відібраних та знайти її математичне очікування.

Рішення.Значеннями випадкової величини Хє числа 0,1,2,3. Зрозуміло, що Р(Х=0)=0, оскільки нестандартних деталей лише дві.

Р(Х=1) =
=1/5,

Р(Х = 2) =
= 3/5,

Р(Х=3) =
= 1/5.

Закон розподілу випадкової величини Хпредставимо у вигляді ряду розподілу:

х n
ρ n

Математичне очікування

М(Х)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . Довести, що математичне очікування дискретної випадкової величини Х- Число появи події Ав nнезалежних випробуваннях, у кожному з яких ймовірність появи події дорівнює ρ - Так само твору числа випробувань на ймовірність появи події в одному випробуванні, тобто довести, що математичне очікування біномінального розподілу

М(Х) =n . ρ ,

а дисперсія

D(X) =np .

Рішення.Випадкова величина Хможе набувати значень 0, 1, 2…, n. Ймовірність Р(Х= к) знаходиться за формулою Бернуллі:

Р(Х= до) = Р n(к)= ρ до (1-ρ ) n-до

Ряд розподілу випадкової величини Хмає вигляд:

х n
ρ n	q n	ρq n- 1	ρq n- 2		ρ n

де q= 1- ρ .

Для математичного очікування маємо вираз:

М(Х)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

У разі одного випробування, тобто при n = 1для випадкової величини Х 1-числа появи події А- Ряд розподілу має вигляд:

х n
ρ n

M(X 1)= 0 ∙ q + 1 ∙ p = p

D(X 1) = p – p 2 = p(1- p) = pq.

Якщо Хдо – кількість появи події Ав до-му випробуванні, то Р(Х до)= ρ і

Х = Х 1 +Х 2 +….+Х n .

Звідси отримуємо

М(Х)=М(Х 1 )+М(Х 2)+ … +М(Х n)= nρ,

D(X)=D(X 1)+D(X 2)+ ... +D(X n)= npq.

4.7. ВТК перевіряє вироби на стандартність. Імовірність того, що виріб стандартний, дорівнює 0,9. Кожна партія містить 5 виробів. Знайти математичне очікування дискретної випадкової величини Х- числа партій, у кожній з яких виявиться одно 4 стандартні вироби – якщо перевірці підлягає 50 партій.

Рішення. Імовірність того, що в кожній довільно обраній партії виявиться 4 стандартні вироби, постійна; позначимо її через ρ . Тоді математичне очікування випадкової величини Ходно М(Х)= 50∙ρ.

Знайдемо ймовірність ρ за формулою Бернуллі:

ρ=Р 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

М(Х)= 50∙0,32=16.

4.8 . Впадають три гральні кістки. Знайти математичне очікування суми очок, що випали.

Рішення.Можна знайти розподіл випадкової величини Х- суми очок, що випали, а потім її математичне очікування. Однак такий шлях надто громіздкий. Простіше використовувати інший прийом, представляючи випадкову величину Х, математичне очікування якої потрібно обчислити, як суми кількох більш простих випадкових величин, математичне очікування яких обчислити легше. Якщо випадкова величина Х i- Це число очок, що випали на i- й кістки ( i= 1, 2, 3), то сума очок Хвисловиться у вигляді

Х = Х 1 + Х 2 + Х 3 .

Для обчислення математичного очікування вихідної випадкової величини залишиться лише скористатися властивістю математичного очікування

М(Х 1 + Х 2 + Х 3 )= М(Х 1 )+ М(Х 2)+ М(Х 3 ).

Очевидно, що

Р(Х i = До)= 1/6, К= 1, 2, 3, 4, 5, 6, i= 1, 2, 3.

Отже, математичне очікування випадкової величини Х iмає вигляд

М(Х i) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

М(Х) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. Визначити математичне очікування кількості приладів, які відмовили в роботі за час випробувань, якщо:

а) ймовірність відмови для всіх приладів одна і та ж дорівнює р, а кількість випробуваних приладів дорівнює n;

б) ймовірність відмови для i – го приладу дорівнює p i , i= 1, 2, … , n.

Рішення.Нехай випадкова величина Х– кількість приладів, що відмовили, тоді

Х = Х 1 + Х 2 + … + Х n ,

X i =

Зрозуміло, що

Р(Х i = 1)= Р i , Р(Х i = 0)= 1– Р i ,i= 1, 2, … ,n.

М(Х i)= 1∙Р i + 0∙(1-Р i)=Р i ,

М(Х)=М(Х 1)+М(Х 2)+ … +М(Х n)=Р 1 +Р 2 + … +Р n .

У разі «а» ймовірність відмови приладів одна й та сама, тобто

Р i =p,i= 1, 2, … ,n.

М(Х)= np.

Цю відповідь можна було отримати відразу, якщо помітити, що випадкова величина Хмає біномний розподілз параметрами ( n, p).

4.10. Дві гральні кістки кидають одночасно двічі. Написати біноміальний закон розподілу дискретної випадкової величини Х -числа випадання парного числа очок на двох гральних кістках

Рішення. Нехай

А= (Випадання парного числа на першій кістці),

В =(Випадання парного числа на другий кістки).

Випадання парного числа на обох кістках при одному киданні висловиться твором АВ.Тоді

Р (АВ) = Р(А)∙Р(У) =
.

Результат другого кидання двох гральних кісток не залежить від першого, тому застосовна формула Бернуллі при

n = 2,р = 1/4, q = 1- р = 3/4.

Випадкова величина Хможе приймати значення 0, 1, 2 , ймовірність яких знайдемо за формулою Бернуллі:

Р(Х = 0)= Р 2 (0) = q 2 = 9/16,

Р(Х = 1)= Р 2 (1)= З ,р∙q = 6/16,

Р(Х = 2)= Р 2 (2)= З , р 2 = 1/16.

Ряд розподілу випадкової величини Х:

4.11. Пристрій складається з великої кількості незалежно працюючих елементів з однаковою дуже малою ймовірністю відмови кожного елемента за час t. Знайти середню кількість тих, хто відмовився за час tелементів, якщо ймовірність того, що за цей час відмовить хоч один елемент, дорівнює 0,98.

Рішення. Кількість тих, хто відмовив за час tелементів – випадкова величина Х, Яка розподілена за законом Пуассона, оскільки число елементів велике, елементи працюють незалежно і можливість відмови кожного елемента мала. Середня кількість появи події в nвипробуваннях одно

М(Х) = np.

Оскільки ймовірність відмови Доелементів з nвиражається формулою

Р n (До)
,

де  = np, то ймовірність того, що не відмовить жоден елемент за час t отримаємо при К = 0:

Р n (0)= е -  .

Тому ймовірність протилежної події – за час t відмовить хоча б один елемент - 1 - е -  . За умовою завдання ця ймовірність дорівнює 0,98. З рівняння

1 - е -  = 0,98,

е -  = 1 – 0,98 = 0,02,

звідси  = -ln 0,02  4.

Отже, за час tроботи пристрою відмовить у середньому 4 елементи.

4.12 . Гральна кістка кидається до того часу, поки не випаде «двійка». Знайти середню кількість кидань.

Рішення. Введемо випадкову величину Х- Число випробувань, яке треба зробити, поки що цікавить нас подія не настане. Імовірність того, що Х= 1 дорівнює ймовірності те, що з одному киданні кістки випаде «двійка», тобто.

Р(Х = 1) = 1/6.

Подія Х= 2 означає, що з першому випробуванні «двійка» не випала, а за другому випала. Ймовірність події Х= 2 знаходимо за правилом множення ймовірностей незалежних подій:

Р(Х = 2) = (5/6)∙(1/6)

Аналогічно,

Р(Х = 3) = (5/6) 2 ∙1/6, Р(Х = 4) = (5/6) 2 ∙1/6

і т.д. Отримаємо низку розподілу ймовірностей:

					(5/6) до ∙1/6

Середня кількість кидань (випробувань) є математичне очікування

М(Х) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + До (5/6) До -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + До (5/6) До -1 + …)

Знайдемо суму ряду:

Доg До -1 = (g До) g 
.

Отже,

М(Х) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

Таким чином, потрібно здійснити в середньому 6 кидань гральної кістки доти, доки не випаде «двійка».

4.13. Виробляються незалежні випробування з однаковою ймовірністю появи події Ау кожному випробуванні. Знайти ймовірність появи події А, якщо дисперсія числа події у трьох незалежних випробуваннях дорівнює 0,63 .

Рішення.Число появи події у трьох випробуваннях є випадковою величиною Х, розподіленою за біноміальним законом. Дисперсія числа події у незалежних випробуваннях (з однаковою ймовірністю появи події у кожному випробуванні) дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи та непояви події (завдання 4.6)

D(Х) = npq.

За умовою n = 3, D(Х) = 0,63, тому можна рзнайти з рівняння

0,63 = 3∙р(1-р),

яке має два рішення р 1 = 0,7 та р 2 = 0,3.

Дискретними випадковимивеличинами називаються випадкові величини, які приймають лише віддалені друг від друга значення, які можна заздалегідь перерахувати.
Закон розподілу
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.
Поруч розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних їм ймовірностей.
Функцією розподілу дискретної випадкової величини називають функцію:
,
визначальну для кожного значення аргументу x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше цього x.

Математичне очікування дискретної випадкової величини
,
де – значення дискретної випадкової величини; - Імовірності прийняття випадковою величиною X значень.
Якщо випадкова величина набуває лічильна безліч можливих значень, то:
.
Математичне очікування числа настань події у n незалежних випробуваннях:
,

Дисперсія та середньо квадратичне відхиленнядискретної випадкової величини
Дисперсія дискретної випадкової величини:
або .
Дисперсія числа настань події у n незалежних випробуваннях
,
де p – ймовірність настання події.
Середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини:
.

Приклад 1
Складіть закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини (д.с.в.) X – числа k випадень хоча б однієї «шістки» у n = 8 киданнях пари гральних кубиків. Побудуйте багатокутник розподілу. Знайдіть числові характеристики розподілу (моду розподілу, математичне очікування M(X), дисперсію D(X), середнє відхилення квадратне s(X)). Рішення:Введемо позначення: подія A – «при киданні пари гральних кубиків шістка з'явилася хоча б один раз». Для знаходження ймовірності P(A) = p події A зручніше спочатку знайти ймовірність P(Ā) = q протилежної події - «при киданні пари гральних кубиків шістка не з'явилася жодного разу».
Оскільки ймовірність непояви «шістки» при киданні одного кубика дорівнює 5/6, то теорема множення ймовірностей
P(?) = q = = .
Відповідно,
P(A) = p = 1 – P(A) = .
Випробування завдання проходять за схемою Бернуллі, тому д.с.в. величина X- Число kвипадень хоча б однієї шістки при киданні двох кубиків підпорядковується біноміальному закону розподілу ймовірностей:

де = - Число поєднань з nпо k.

Проведені для цього завдання розрахунки зручно оформити у вигляді таблиці:
Розподіл імовірностей д.с. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
Pn(k)

Полігон (багатокутник) розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Xпредставлений на рис.

Рис. Полігон розподілу ймовірностей д.р. X=k.
Вертикальною лінією показано математичне очікування розподілу M(X).

Знайдемо числові показники розподілу ймовірностей д.с.в. X. Мода розподілу дорівнює 2 (тут P 8 (2) = 0,2932 максимально). Математичне очікування за визначенням дорівнює:
M(X) = = 2,4444,
де xk = k- Значення, що приймається д.с.в. X. Дисперсію D(X) розподілу знайдемо за формулою:
D(X) = = 4,8097.
Середнє квадратичне відхилення (СКО):
s( X) = = 2,1931.

Приклад2
Дискретна випадкова величина Xзадана законом розподілу

Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік.

Рішення.Якщо , то (третя властивість).
Якщо то . Справді, Xможе прийняти значення 1 із ймовірністю 0,3.
Якщо то . Справді, якщо задовольняє нерівність
, то дорівнює ймовірності події , яка може бути здійснена, коли Xнабере значення 1 (імовірність цієї події дорівнює 0,3) або значення 4 (імовірність цієї події дорівнює 0,1). Оскільки ці дві події несумісні, то теорема складання ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей 0,3 + 0,1 = 0,4. Якщо то . Справді, подія достовірно, отже, її ймовірність дорівнює одиниці. Отже, функція розподілу може бути аналітично записана так:

Графік цієї функції:
Знайдемо ймовірності, що відповідають цим значенням. За умови, ймовірності виходу з ладу приладів рівні: тоді ймовірності того, що прилади будуть робітниками протягом гарантійного термінурівні:




Закон розподілу має вигляд:

На цій сторінці ми зібрали коротку теорію та приклади вирішення навчальних завдань, у яких дискретна випадкова величина вже задана своїм рядом розподілу (табличний вигляд) та потрібно її дослідити: знайти числові характеристики, побудувати графіки тощо. Приклади на відомі видирозподілу ви можете знайти за посиланнями:

Коротка теорія про ДСВ

Дискретна випадкова величина визначається своїм рядом розподілу: переліком значень $x_i$, які вона може приймати, і відповідних ймовірностей $p_i=P(X=x_i)$. Кількість значень випадкової величини може бути кінцевою або лічильною. Для визначеності розглядатимемо випадок $i=\overline(1,n)$. Тоді табличне подання дискретної випадкової величини має вигляд:

$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ hline \end(array) $ $

При цьому виконується умова нормування: сума всіх ймовірностей повинна дорівнювати одиниці

$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$

Графічно ряд розподілу можна уявити полігоном розподілу(або багатокутником розподілу). І тому на площині відкладаються точки з координатами $(x_i,p_i)$ і з'єднуються по порядку ламаною лінією. Докладні прикладиви знайдете .

Числові характеристики ДСВ

Математичне очікування:

$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$

Дисперсія:

$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $

Середнє квадратичне відхилення:

$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$

Коефіцієнт варіації:

$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.

Мода: значення $Mo=x_k$ з найбільшою ймовірністю $p_k=\max_i(p_i)$.

Ви можете використовувати онлайн-калькулятори для обчислення математичного очікування, дисперсії та середнього квадратичного відхилення ДСВ.

Функція розподілу ДСВ

По ряду розподілу можна скласти функцію розподілудискретної випадкової величини $ F (x) = P (X \ x x) $. Ця функція задає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення менше деякого числа $x$. Приклади побудови з докладними обчисленнямита графіками ви знайдете в прикладах нижче.

Приклади вирішених завдань

Завдання 1.Дискретна випадкова величина задана поруч розподілу:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Побудувати багатокутник розподілу та функцію розподілу $F(x)$. Обчислити: $M[X], D[X], \sigma[X]$, а також коефіцієнт варіації, асиметрії, ексцесу, моду та медіану.

Завдання 2.Даний закон розподілу дискретної випадкової величини Х. Потрібно:
а) визначити математичне очікування М(х), дисперсію D(х) та середнє квадратичне відхилення (х) випадкової величини Х; б) побудувати графік цього розподілу.
хi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02

Завдання 3.Для випадкової величини Х з цим рядом розподілу
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
А) знайдіть $р_1$ і $р_2$ те щоб $М(Х)=0,5$
Б) після цього обчисліть математичне очікування та дисперсію випадкової величини $Х$ та побудуйте графік її функції розподілу

Завдання 4.Дискретна СВ $X$ може набувати лише двох значень: $x_1$ і $x_2$, причому $x_1 \lt x_2$. Відомі ймовірність $P$ можливого значення, математичне очікування $M(x)$ та дисперсія $D(x)$. Знайти: 1) Закон розподілу цієї випадкової величини; 2) Функцію розподілу СВ $ X $; 3) Побудувати графік $F(x)$.
$ P = 0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$

Завдання 5.Випадкова величина Х приймає три значення: 2, 4 і 6. Знайти ймовірності цих значень, якщо $ M (X) = 4,2 $, $ D (X) = 1,96 $.

Завдання 6.Дано ряд розподілу дискретної с.в. $Х$. Знайти числові характеристики положення та розсіювання с.в. $Х$. Знайти в.о. та дисперсію с.в. $Y=X/2-2$, не записуючи низки розподілу с.в. $Y$, перевірити результат за допомогою функції, що виробляє.
Побудувати функцію розподілу С.В. $Х$.
x 8 12 18 24 30 30
p 0,3 0,1 0,3 0,2 0,1 0

Завдання 7.Розподіл дискретної випадкової величини $Х$ задан наступною таблицею (рядом розподілу):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Визначити недостатнє значення у таблиці розподілу. Обчислити основні числові характеристики розподілу $M_x, D_x, \sigma_x$. Знайти та побудувати функцію розподілу $F(x)$. Визначити ймовірність того, що випадкова величина $Х$ прийме значення:
А) більше ніж 6,
Б) менше ніж 12,
В) не більше ніж 9.

Завдання 8.У задачі потрібно знайти: а) математичне очікування; б) дисперсію; в) середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини X за заданим законом її розподілу, заданим таблично (у першому рядку таблиці вказані можливі значення, у другому рядку – ймовірність можливих значень).

Завдання 9.Встановлено закон розподілу дискретної випадкової величини $X$ (у першому рядку вказані можливі значення $x_i$, у другому рядку – ймовірності можливих значень $p_i$).
Знайти:
А) математичне очікування $M(X)$, дисперсію $D(X)$ та середнє квадратичне відхилення $\sigma(X)$;
Б) скласти функцію розподілу випадкової величини $F(x)$ та побудувати її графік;
В) обчислити ймовірність потрапляння випадкової величини $X$ в інтервал $x_2 \lt X \lt x_4$, користуючись складеною функцією розподілу $F(x)$;
Г) скласти закон розподілу величини $ Y = 100-2X $;
Д) обчислити математичне очікування та дисперсію складеної випадкової величини $Y$ двома способами, тобто. користуючись
властивістю математичного очікування та дисперсії, а також безпосередньо за законом розподілу випадкової величини $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4

Завдання 10.Дискретна випадкова величина задана в таблиці. Обчислити її початкові та центральні моменти до 4 порядку включно. Знайти ймовірності подій $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi$.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1

Можна виділити закони розподілу дискретних випадкових величин, що найчастіше зустрічаються:

• Біноміальний закон розподілу
• Пуасонівський закон розподілу
• Геометричний закон розподілу
• Гіпергеометричний закон розподілу

Для даних розподілів дискретних випадкових величин розрахунок ймовірностей їх значень, а також числових характеристик (математичне очікування, дисперсія тощо) здійснюється за певними формулами. Тому дуже важливо знати ці типи розподілів та їх основні властивості.

1. Біноміальний закон розподілу.

Дискретна випадкова величина $X$ підпорядкована біноміальному закону розподілу ймовірностей, якщо вона набуває значення $0,\ 1,\ 2,\ dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. Фактично, випадкова величина $X$ - це кількість появи події $A$ у $n$ незалежних випробувань. Закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(array)$

Для такої випадкової величини математичне очікування $ M \ left (X \ right) = np $, дисперсія $ D \ left (X \ right) = np \ left (1-p \ right) $.

приклад . У сім'ї двоє дітей. Вважаючи ймовірність народження хлопчика і дівчинки рівними $0,5$, знайти закон розподілу випадкової величини $xi $ - числа хлопчиків у сім'ї.

Нехай випадкова величина $ xi $ - число хлопчиків у сім'ї. Значення, які може приймати $ xi: 0, 1, 2 $. Імовірності цих значень можна знайти за формулою $P\left(\xi =k\right) = C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$, де $n =2$ - кількість незалежних випробувань, $p=0,5$ - ймовірність появи події у серії з $n$ випробувань. Отримуємо:

$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5) ^ 2 = 0,25;

$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5 = 0,5;

$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5) ^ 2 = 0,25.

Тоді закон розподілу випадкової величини $\xi$ є відповідністю між значеннями $0,\1,\2$ та їх ймовірностями, тобто:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(array)$

Сума ймовірностей у законі розподілу має дорівнювати $1$, тобто $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((rm i)))=0,25+0,5+0, 25 = 1 $.

Математичне очікування $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, дисперсія $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\cdot 0,5=0,5$, середнє квадратичне відхилення $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 ) \ approx 0,707 $.

2. Закон розподілу Пуассона.

Якщо дискретна випадкова величина $X$ може набувати лише цілі невід'ємні значення $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Зауваження. Особливість цього розподілу полягає в тому, що ми на підставі досвідчених даних знаходимо оцінки $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, якщо отримані оцінки близькі між собою, то у нас є підстави стверджувати, що випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона.

приклад . Прикладами випадкових величин, підпорядкованих закону розподілу Пуассона, може бути: кількість автомашин, які будуть обслужені завтра автозаправною станцією; число бракованих виробів у виробленій продукції.

приклад . Завод відправив на базу $500 $ виробів. Імовірність пошкодження виробу на шляху дорівнює $0,002$. Знайти закон розподілу випадкової величини $X$, що дорівнює кількості пошкоджених виробів; чому дорівнює $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right) $.

Нехай дискретна випадкова величина $X$ – кількість пошкоджених виробів. Така випадкова величина підпорядкована закону розподілу Пуассона з параметром $ lambda = np = 500 cdot 0,002 = 1 $. Імовірності значень дорівнюють $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\right)=((1^0)\over (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\right)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\right)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\right)=((1^3)\over (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P\left(X=4\right)=((1^4)\over (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\right)=((1^5)\over (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\right)=((1^6)\over (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$!}

Закон розподілу випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(array)$

Для такої випадкової величини математичне очікування і дисперсія рівним між собою і рівні параметру $ lambda $, тобто $ M left (X right) = D left (X right) = lambda = 1 $.

3. Геометричний закон розподілу.

Якщо дискретна випадкова величина $X$ може приймати тільки натуральні значення $1,\2,\dots,\n$ з ймовірностями $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\right)) ^ (k-1), k = 1, 2, 3, dots $, то кажуть, що така випадкова величина $ X $ підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Фактично, геометричне розподілу є випробування Бернуллі до першого успіху.

приклад . Прикладами випадкових величин, що мають геометричний розподіл, можуть бути: число пострілів до першого влучення в ціль; кількість випробувань приладу до першої відмови; число кидань монети до першого випадання орла тощо.

Математичне очікування і дисперсія випадкової величини, підпорядкованої геометричному розподілу, відповідно дорівнюють $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right)/p^ 2 $.

приклад . На шляху руху риби до місця нересту знаходиться $4$ шлюзу. Можливість проходу риби через кожен шлюз $p=3/5$. Побудувати низку розподілу випадкової величини $X$ - число шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Знайти $ M \ left (X \ right), \ D \ left (X \ right), \ \ sigma \ left (X \ right) $.

Нехай випадкова величина $X$ - кількість шлюзів, пройдених рибою до першого затримання біля шлюзу. Така випадкова величина підпорядкована геометричному закону розподілу ймовірностей. Значення, які може набувати випадкова величина $X:$ 1, 2, 3, 4. Імовірності цих значень обчислюються за формулою: $P\left(X=k\right)=pq^(k-1)$, де: $ p=2/5$ - можливість затримання риби через шлюз, $q=1-p=3/5$ - можливість проходу риби через шлюз, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.

$P\left(X=1\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^0=((2)\ over (5)) = 0,4;

$ P \ left (X = 2 \ right) = ((2) \ over (5)) \ cdot ((3) \ over (5)) = ((6) \ over (25)) = 0,24; $

$P\left(X=3\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^2=((2)\ over (5)) \ cdot ((9) \ over (25)) = ((18) \ over (125)) = 0,144;

$P\left(X=4\right)=((2)\over (5))\cdot (\left(((3)\over (5))\right))^3+(\left(( (3) \ over (5)) \ right)) ^ 4 = ((27) \ over (125)) = 0,216.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\left(X_i\right) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(array)$

Математичне очікування:

$M\left(Xright)=sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1cdot 0,4+2cdot 0,24+3cdot 0,144+4cdot 0,216=2,176.$

Дисперсія:

$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0,4\cdot (\ left(1-2,176\right))^2+0,24\cdot (\left(2-2,176\right))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\right))^2+$

$ + \ 0,216 \ cdot ( \ left (4-2,176 \ right)) ^ 2 \ approx 1,377. $

Середнє квадратичне відхилення:

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1,377)\approx 1,173.$

4. Гіпергеометричний закон розподілу.

Якщо $N$ об'єктів, серед яких $m$ об'єктів мають задану властивість. Випадковим чином без повернення витягують $n$ об'єктів, серед яких виявилося $k$ об'єктів, що мають задану властивість. Гіпергеометричний розподіл дає можливість оцінити ймовірність того, що рівно $k$ об'єктів у вибірці мають задану властивість. Нехай випадкова величина $X$ - кількість об'єктів у вибірці, що мають задану властивість. Тоді ймовірність значень випадкової величини $X$:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Зауваження. Статистична функція Гіпергеомет майстра функцій $f_x$ пакета Excel дає можливість визначити ймовірність того, що певна кількість випробувань буде успішною.

$f_x\to $ статистичні$\to $ ГІПЕРГЕОМЕТ$\to $ ОК. Відобразиться діалогове вікно, яке потрібно заповнити. В графі Число_успіхів_у_вибірцівказуємо значення $k$. Розмір_вибіркидорівнює $n$. В графі Число_успіхів_в_сукупностівказуємо значення $m$. Розмір_сукупностідорівнює $N$.

Математичне очікування і дисперсія дискретної випадкової величини $X$, підпорядкованої геометричному закону розподілу, відповідно дорівнюють $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)=((nm\left(1) -((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right))\over (N-1))$.

приклад . У кредитному відділі банку працюють 5 спеціалістів з вищою фінансовою освітою та 3 спеціалісти з вищою юридичною освітою. Керівництво банку вирішило направити трьох фахівців Для підвищення кваліфікації, відбираючи їх у випадковому порядку.

а) Складіть ряд розподілу числа фахівців із вищою фінансовою освітою, які можуть бути спрямовані на підвищення кваліфікації;

б) Знайдіть числові показники цього розподілу.

Нехай випадкова величина $X$ - кількість фахівців із вищою фінансовою освітою серед трьох відібраних. Значення, які може набувати $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$. Дана випадкова величина $X$ розподілена за гіпергеометричним розподілом з параметрами: $N=8$ - розмір сукупності, $m=5$ - кількість успіхів у сукупності, $n=3$ - розмір вибірки, $k=0,\ 1, \ 2, \ 3 $ - кількість успіхів у вибірці. Тоді ймовірності $P\left(X=k\right)$ можна розрахувати за формулою: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \over C_( N) ^ (n)) $. Маємо:

$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\approx 0,018;$

$P\left(X=1\right)=((C^1_5\cdot C^2_3)\over (C^3_8))=((15)\over (56))\approx 0,268;$

$P\left(X=2\right)=((C^2_5\cdot C^1_3)\over (C^3_8))=((15)\over (28))\approx 0,536;$

$P\left(X=3\right)=((C^3_5\cdot C^0_3)\over (C^3_8))=((5)\over (28))\approx 0,179.$

Тоді ряд розподілу випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(array)$

Розрахуємо числові характеристики випадкової величини $X$ за загальним формуламгіпергеометричного розподілу.

$M\left(Xright)=((nm)\over (N))=((3\cdot 5)\over (8))=((15)\over (8))=1,875.$

$D\left(X\right)=((nm\left(1-((m)\over (N))\right)\left(1-((n)\over (N))\right)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\right))\over (8-1))=((225)\over (448))\approx 0,502.$

$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\approx 0,7085.$

Визначення 1

Випадкова величина $Х$ називається дискретною (перервною), якщо безліч її значень нескінченне чи кінцеве, але лічильне.

Іншими словами, величина називається дискретною, якщо її значення можна занумерувати.

Описати випадкову величину можна за допомогою закону розподілу.

Закон розподілу дискретної випадкової величини $Х$ може бути заданий у вигляді таблиці, у першому рядку якої вказані всі можливі значення випадкової величини в порядку зростання, а у другому рядку відповідні ймовірності цих значень:

Малюнок 1.

де $ р1 + р2 + ... + Рn = 1 $.

Дана таблиця є поряд розподілу дискретної випадкової величини.

Якщо безліч можливих значень випадкової величини нескінченно, то ряд $р1+ р2+ ... + рn+ ...$ сходиться і його сума дорівнюватиме $1$.

Закон розподілу дискретної випадкової величини $Х$ можна уявити графічно, для чого в системі координат (прямокутної) будують ламану лінію, яка послідовно з'єднує точки з координатами $ (xi; pi), i = 1,2, ... n $. Лінію, яку отримали багатокутником розподілу.

Малюнок 2.

Закон розподілу дискретної випадкової величини $Х$ може бути представлений аналітично (за допомогою формули):

$ P (X = xi) = \ varphi (xi), i = 1,2,3 ... n $.

Дії над дискретними ймовірностями

При вирішенні багатьох завдань теорії ймовірності необхідно проводити операції множення дискретної випадкової величини на константу, додавання двох випадкових величин, їх множення, піднесення до ступеня. У цих випадках необхідно дотримуватись таких правил над випадковими дискретними величинами:

Визначення 3

множеннямдискретної випадкової величини $X$ на константу $K$ називається дискретна випадкова величина $Y=KX,$ яка обумовлена ​​рівностями: $y_i=Kx_i, \ p\left(y_i\right)=p\left(x_i\right)= p_i, \ \ i = \ overline (1, \ n).

Визначення 4

Дві випадкові величини $x$ і $y$ називаються незалежнимиякщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, які можливі значення набула друга величина.

Визначення 5

Сумоюдвох незалежних дискретних випадкових величин $X$ і $Y$ називають випадкову величину $Z=X+Y,$ обумовлена ​​рівностями: $z_(ij)=x_i+y_j$, $P\left(z_(ij)\right)= P\left(x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\left (x_i\right)=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Визначення 6

множеннямдвох незалежних дискретних випадкових величин $X$ і $Y$ називають випадкову величину $Z=XY,$ обумовлена ​​рівностями: $z_(ij)=x_iy_j$, $P\left(z_(ij)\right)=P\left( x_i\right)P\left(y_j\right)=p_ip"_j$, $i=\overline(1,n)$, $j=\overline(1,m)$, $P\left(x_i\right )=p_i$, $P\left(y_j\right)=p"_j$.

Візьмемо до уваги, що деякі твори $x_(i\\\\)y_j$ можуть бути рівними між собою. У такому разі ймовірність додавання твору дорівнює сумі відповідних ймовірностей.

Наприклад, якщо $x_2\y_3=x_5\y_7,\$то ймовірність $x_2y_3$ (або теж саме $x_5y_7$) дорівнюватиме $p_2\cdot p"_3+p_5\cdot p"_7.$

Сказане вище стосується також суми. Якщо $x_1+\ y_2=x_4+\ \ y_6,$ то ймовірність $x_1+\ y_2$ (або теж саме $x_4+\ y_6$) дорівнюватиме $p_1\cdot p"_2+p_4\cdot p"_6.$

Пусні випадкові величини $X$ і $Y$ задані законами розподілу:

Малюнок 3.

Де $p_1+p_2+p_3=1, \ \ p"_1+p"_2=1.$ Тоді закон розподілу суми $X+Y$ матиме вигляд

Малюнок 4.

А закон розподілу твору $XY$ матиме вигляд

Малюнок 5.

Фунція розподілу

Повний опис випадкової величини також дає функція розподілу.

Геометрично функція розподілу пояснюється як ймовірність того, що випадкова величина $Х$ набуває значення, яке на числовій прямій зображується точкою, що лежить зліва від точки $х$.