Графік густини ймовірності рівномірного розподілу. Математика та інформатика. Навчальний посібник з усього курсу
Функція розподілу в цьому випадку згідно (5.7), набуде вигляду:
де: m - математичне очікування, s-середньо квадратичне відхилення.
Нормальний розподіл називають ще гауссівським на ім'я німецького математика Гаусса. Той факт, що випадкова величинамає нормальний розподілз параметрами: m, позначають так: N (m,s), де: m = a = M ;
Досить часто у формулах математичне очікування позначають через а . Якщо випадкова величина розподілена згідно із законом N(0,1), то вона називається нормованою або стандартизованою нормальною величиною. Функція розподілу для неї має вигляд:
|
|
.Графік щільності нормального розподілу, який називають нормальною кривою або кривою Гауса, зображено на рис.5.4.
Мал. 5.4. Щільність нормального розподілу
Визначення числових показників випадкової величини з її щільності розглядається з прикладу.
Приклад 6.
Безперервна випадкова величина задана щільністю розподілу: 
.
Визначити вид розподілу, знайти математичне очікування M(X) та дисперсію D(X).
Порівнюючи задану щільність розподілу з (5.16) можна дійти невтішного висновку, що заданий нормальний закон розподілу з m =4. Отже, математичне очікування M(X)=4, дисперсія D(X)=9.
Середнє квадратичне відхилення s=3.
Функція Лапласа, що має вигляд:
|
|
,пов'язана з функцією нормального розподілу (5.17), співвідношенням:
F0(x) = Ф(х) + 0,5.
Функції Лапласа непарна.
Ф(-x) = -Ф(x).
Значення функції Лапласа Ф(х) табульовані та беруться з таблиці за значенням х (див. Додаток 1).
Нормальний розподіл безперервної випадкової величини грає важливу рольв теорії ймовірностей і при описі реальності, має дуже широке поширенняу випадкових явищах природи. На практиці дуже часто зустрічаються випадкові величини, що утворюються саме в результаті підсумовування багатьох випадкових доданків. Зокрема, аналіз помилок виміру показує, що вони є сумою різного родупомилок. Практика показує, що розподіл ймовірностей помилок виміру близький до нормального закону.
За допомогою функції Лапласа можна вирішувати завдання обчислення ймовірності попадання в заданий інтервал та заданого відхилення нормальної випадкової величини.
За допомогою якого моделюється багато реальних процесів. І найпоширеніший приклад – це графік руху громадського транспорту. Припустимо, що якийсь автобус (тролейбус/трамвай)ходить із інтервалом у 10 хвилин, і ви у випадковий момент часу підійшли до зупинки. Яка ймовірність тогоЩо автобус підійде протягом 1 хвилини? Очевидно, 1/10-та. А ймовірність того, що доведеться чекати 4-5 хвилин? Теж. А ймовірність того, що автобус доведеться чекати понад 9 хвилин? Одна десята!
Розглянемо деякий кінцевийпроміжок, нехай для певності це буде відрізок . Якщо випадкова величинамає постійною щільністю розподілу ймовірностейна даному відрізку і нульовою щільністю поза ним, то кажуть, що вона розподілена рівномірно. При цьому функція щільності буде чітко визначеною: 
І справді, якщо довжина відрізка (Див. креслення)становить , то значення неминуче одно – щоб вийшла окрема площа прямокутника, і було дотримано відома властивість:
Перевіримо його формально:
, Ч.т.п. З ймовірнісної точки зору це означає, що випадкова величина достовірноприйме одне із значень відрізка …, ех, стаю потихеньку занудним старим =)
Суть рівномірності полягає в тому, що який би внутрішній проміжок фіксованої довжиними не розглянули (Згадуємо «автобусні» хвилини)- Імовірність того, що випадкова величина прийме значення з цього проміжку буде однією і тією ж. На кресленні я заштрихував трієчку таких ймовірностей - ще раз загострюю увагу, що вони визначаються площами, а чи не значеннями функції !
Розглянемо типове завдання:
Приклад 1
Безперервна випадкова величина задана своєю щільністю розподілу: 
Знайти константу , обчислити та скласти функцію розподілу. Побудувати графіки. Знайти
Іншими словами, все, про що тільки можна було мріяти:)
Рішення: тому що на інтервалі (кінцевому проміжку) 
, то випадкова величина має рівномірний розподіл, і значення «це» можна знайти за прямою формулою 
. Але краще загальним способом- За допомогою властивості:
…чому краще? Щоб не було зайвих питань;)
Таким чином, функція щільності: 
Виконаємо креслення. Значення неможливі
, і тому жирні крапки ставляться внизу: 
Як експрес-перевірку обчислимо площу прямокутника: 
, Ч.т.п.
Знайдемо математичне очікування, і, напевно, ви вже здогадуєтеся, чому воно рівне. Згадуємо «10-хвилинний» автобус: якщо випадковим чиномпідходити до зупинки багато днів боронь, то в середньомуйого доведеться чекати 5 хвилин.
Так, саме так - маточування має знаходитися рівно посередині «подійного» проміжку:
, Як і передбачалося.
Дисперсію обчислимо за формулі 
. І ось тут потрібне око та око при обчисленні інтеграла:
Таким чином, дисперсія: 
Складемо функцію розподілу 
. Тут нічого нового:
1) якщо , то і 
;
2) якщо , то і:
3) і, нарешті, при 
тому:
В результаті: 
Виконаємо креслення: 
На «живому» проміжку функція розподілу зростає лінійно, і це ще одна ознака, що маємо рівномірно розподілена випадкова величина. Ну, ще б пак, адже похідна лінійної функції- Є константа.
Необхідну ймовірність можна обчислити двома способами за допомогою знайденої функції розподілу:
або за допомогою певного інтегралувід щільності: 
Кому як до вподоби.
І тут ще можна записати відповідь: ,
, графіки побудовані в процесі рішення.
…«можна», тому що за його відсутність зазвичай не карають. Зазвичай;)
Для обчислення та рівномірної випадкової величини існують спеціальні формули, які я пропоную вам вивести самостійно:
Приклад 2
Безперервна випадкова величина задана щільністю 
.
Обчислити математичне очікування та дисперсію. Результати максимально спростити (формули скороченого множенняна допомогу).
Отримані формули зручно використовувати для перевірки, зокрема, перевірте щойно вирішене завдання, підставивши в них конкретні значення "а" і "б". Коротке рішення унизу сторінки.
І на закінчення уроку ми розберемо кілька «текстових» завдань:
Приклад 3
Ціна розподілу шкали вимірювального приладудорівнює 0,2. Показання приладу округляються до цілого поділу. Вважаючи, що похибки округлень розподілені поступово, визначити можливість, що з черговому вимірі вона перевищить 0,04.
Для кращого розуміння рішенняуявімо, що це який-небудь механічний приладзі стрілкою, наприклад, ваги з ціною розподілу 0,2 кг, і ми маємо зважити кота в мішку. Але не з метою з'ясувати його вгодованість – зараз буде важливо, ДЕ між двома сусідніми поділами зупиниться стрілка.
Розглянемо випадкову величину – відстаньстрілки від найближчоголівого поділу. Або від найближчого правого, це не є принциповим.
Складемо функцію щільності розподілу ймовірностей:
1) Оскільки відстань може бути негативним, то інтервалі . Логічно.
2) З умови випливає, що стрілка ваг з рівною ймовірністюможе зупинитися в будь-якому місці між поділками *
, включаючи самі розподіли, і тому на проміжку: 
* Це суттєва умова. Так, наприклад, при зважуванні шматків вати або кілограмових пачок солі рівномірність буде дотримуватися на значно вужчих проміжках.
3) І оскільки відстань від НАЙБЛИЖЧОГО лівого поділу не може бути більше, ніж 0,2, то при теж дорівнює нулю.
Таким чином: 
Слід зазначити, що про функцію щільності нас ніхто не питав, і її повну побудову я навів виключно в пізнавальних ланцюгах. При чистове оформленнязавдання достатньо записати лише 2-й пункт.
Тепер дамо відповідь на запитання завдання. Коли похибка округлення до найближчого поділу не перевищить 0,04? Це станеться тоді, коли стрілка зупиниться не далі ніж на 0,04 від лівого поділу справа абоне далі ніж на 0,04 від правого поділу зліва. На кресленні я заштрихував відповідні площі: 
Залишилось знайти ці площі за допомогою інтегралів. В принципі, їх можна вирахувати і «по-шкільному» (як площі прямокутників), але простота не завжди знаходить розуміння;)
за теореми складання ймовірностей несумісних подій:
- Імовірність того, що помилка округлення не перевищить 0,04 (40 грам для нашого прикладу)
Легко бачити, що максимально можлива похибкаокруглення становить 0,1 (100 грам) і тому ймовірність того, що помилка округлення не перевищить 0,1дорівнює одиниці.
Відповідь: 0,4
В інших джерелах інформації зустрічаються альтернативні пояснення/оформлення цього завдання, і я вибрав варіант, який видався мені найбільш зрозумілим. Особлива увага Потрібно звернути на те, що в умові може йтися про похибки не округлень, а про випадковихпохибки вимірювань, які, як правило (але не завжди), розподілені за нормальному закону. Таким чином, лише одне слово може докорінно змінити рішення!Будьте напоготові і вникайте у сенс.
І якщо все йде по колу, то ноги нас приносять на ту ж автобусну зупинку:
Приклад 4
Автобуси деякого маршруту йдуть строго за розкладом та інтервалом 7 хвилин. Скласти функцію щільності випадкової величини – часу чекання чергового автобуса пасажиром, який навмання підійшов до зупинки. Знайти ймовірність того, що він чекатиме на автобус не більше трьох хвилин. Знайти функцію розподілу та пояснити її змістовний зміст.
Як приклад безперервної випадкової величини розглянемо випадкову величину X, рівномірно розподілену на інтервалі (a; b). Говорять, що випадкова величина X рівномірно розподілено на проміжку (a; b), якщо її щільність розподілу непостійна на цьому проміжку:
З умови нормування визначимо значення константи c. Площа під кривою щільності розподілу повинна дорівнювати одиниці, але в нашому випадку - це площа прямокутника з основою (b - α) і висотою c (рис. 1). 
Мал. 1 Щільність рівномірного розподілу
Звідси знаходимо значення постійної з: 
Отже, щільність рівномірно розподіленої випадкової величини дорівнює 
Знайдемо тепер функцію розподілу за такою формулою:
1) для 
2) для
3) для 0+1+0=1.
Таким чином, 
Функція розподілу безперервна і зменшується (рис. 2). 
Мал. 2 Функція розподілу рівномірно розподіленої випадкової величини
Знайдемо математичне очікування рівномірно розподіленої випадкової величиниза формулою:
Дисперсія рівномірного розподілурозраховується за формулою і дорівнює
Приклад №1. Ціна поділу шкали вимірювального приладу дорівнює 0.2. Показання приладу округляють до найближчого поділу. Знайти ймовірність того, що при відліку буде зроблено помилку: а) менша 0.04; б) велика 0.02
Рішення. Помилка округлення є випадковою величиною, рівномірно розподіленою на проміжку між сусідніми цілими поділами. Розглянемо як такий поділ інтервал (0; 0,2) (рис. а). Округлення може проводитися як у бік лівої межі - 0, так і в бік правої - 0,2, отже, помилка, менша або рівна 0,04, може бути зроблена двічі, що необхідно врахувати при підрахунку ймовірності: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Для другого випадку величина помилки може перевищувати 0,02 також з обох меж поділу, тобто вона може бути більшою за 0,02, або меншою за 0,18. 
Тоді ймовірність появи такої помилки:
Приклад №2. Передбачалося, що про стабільність економічної обстановки в країні (відсутність воєн, стихійних лихі т. д.) за останні 50 років можна судити за характером розподілу населення за віком: при спокійній обстановці воно має бути рівномірним. В результаті проведеного дослідження для однієї з країн були отримані такі дані.
Чи є підстави вважати, що у країні була нестабільна обстановка?Рішення проводимо за допомогою калькулятора Перевірка гіпотез. Таблиця до розрахунку показників.
| Групи | Середина інтервалу, x i | Кількість, f i | x i * f i | Накопичена частота, S | | x - x ср | * f | (x - x ср) 2 * f | Частота, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
Середня виважена
Показники варіації.
Абсолютні показники варіації.
Розмах варіації - різниця між максимальним та мінімальним значеннями ознаки первинного ряду.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Дисперсія- характеризує міру розкиду біля її середнього значення (заходи розсіювання, тобто відхилення від середнього).
Середнє квадратичне відхилення.
Кожне значення ряду відрізняється від середнього значення 43 трохи більше, ніж 23.92
Перевірка гіпотез про вид розподілу.
4. Перевірка гіпотези про рівномірному розподілігенеральної сукупності.
Щоб перевірити гіпотезу про рівномірному розподілі X, тобто. згідно із законом: f(x) = 1/(b-a) в інтервалі (a,b)
треба:
1. Оцінити параметри a та b - кінці інтервалу, в якому спостерігалися можливі значення X, за формулами (через знак * позначені оцінки параметрів):
2. Знайти густину ймовірності передбачуваного розподілу f(x) = 1/(b * - a *)
3. Знайти теоретичні частоти:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(xi - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. Порівняти емпіричні та теоретичні частоти за допомогою критерію Пірсона, прийнявши число ступенів свободи k = s-3, де s – число початкових інтервалів вибірки; якщо ж було здійснено об'єднання нечисленних частот, отже, і самих інтервалів, то s - кількість інтервалів, що залишилися після об'єднання.
Рішення:
1. Знайдемо оцінки параметрів a* та b* рівномірного розподілу за формулами:
2. Знайдемо щільність передбачуваного рівномірного розподілу:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Знайдемо теоретичні частоти:
n 1 = n * f (x) (x 1 - a *) = 1 * 0.0121 (10-1.58) = 0.1
n 8 = n * f (x) (b * - x 7) = 1 * 0.0121 (84.42-70) = 0.17
Інші n s дорівнюватимуть:
n s = n * f (x) (xi - xi-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n * i) 2 | (n i - n * i) 2 / n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Разом | 1 | 0.0532 |
Тому критична область для цієї статистики завжди є правосторонньою: )
