Дискретна випадкова величина x має закон розподілу ймовірностей. Закони розподілу дискретних випадкових величин

Випадковою величиноюназивають змінну величину, яка в результаті кожного випробування набуває одного заздалегідь невідомого значення, що залежить від випадкових причин. Випадкові величини позначають великими латинськими літерами: $ X, \ Y, Z, \ dots $ За своїм типом випадкові величини можуть бути дискретнимиі безперервними.

Дискретна випадкова величина - це така випадкова величина, значення якої можуть бути не більш ніж лічильними, тобто або кінцевими, або лічильними. Під рахунком мається на увазі, що значення випадкової величини можна занумерувати.

Приклад 1 . Наведемо приклади дискретних випадкових величин:

а) число попадань у мішень при $n$ пострілах, тут можливі значення $0, 1, dots, n $.

б) число гербів, що випали при підкиданні монети, тут можливі значення $0,\ 1,\dots,\n$.

в) число кораблів, що прибули на борт (лічильна безліч значень).

г) кількість викликів, що надходять на АТС (численна кількість значень).

1. Закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини.

Дискретна випадкова величина $X$ може приймати значення $x_1,\dots,\x_n$ з ймовірностями $p\left(x_1\right),\dots,\p\left(x_n\right)$. Відповідність між цими значеннями та їх ймовірностями називається законом розподілу дискретної випадкової величини. Як правило, ця відповідність задається за допомогою таблиці, у першому рядку якої вказують значення $x_1, \ dots , \ x_n $, а в другому рядку відповідні цим значенням ймовірності $ p_1, \ dots , \ p_n $.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(array)$

Приклад 2 . Нехай випадкова величина $X$ - кількість очок, що випали при підкиданні грального кубика. Така випадкова величина $X$ може приймати наступні значення $1, 2, 3, 4, 5, 6 $. Імовірності всіх цих значень дорівнюють $1/6$. Тоді закон розподілу ймовірностей випадкової величини $X$:

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(array)$

Зауваження. Оскільки в законі розподілу дискретної випадкової величини $X$ події $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ утворюють повну групу подій, то в сумі ймовірності повинні дорівнювати одиниці, тобто $ \ sum (p_i) = 1 $.

2. Математичне очікування дискретної випадкової величини.

Математичне очікування випадкової величинизадає її "центральне" значення. Для дискретної випадкової величини математичне очікуванняобчислюється як сума творів значень $x_1,\dots ,\ x_n$ на відповідні цим значенням імовірності $p_1,\dots ,\ p_n$, тобто: $M\left(X\right)=\sum^n_(i=1 ) (p_ix_i) $. В англомовній літературі використовують інше позначення $ E \ left (X \ right) $.

Властивості математичного очікування$M\left(X\right)$:

1. $M\left(X\right)$ укладено між найменшим і найбільшим значеннямивипадкової величини $ X $.
2. Математичне очікування від константи дорівнює самій константі, тобто. $M\left(Cright)=C$.
3. Постійний множник можна виносити за знак математичного очікування: $ M \ left (CX \ right) = CM \ left (X \ right) $.
4. Математичне очікування суми випадкових величин дорівнює сумі їх математичних очікувань: $ M \ left (X + Y \ right) = M \ left (X \ right) + M \ left (Y \ right) $.
5. Математичне очікування твору незалежних випадкових величин дорівнює твору їх математичних очікувань: $ M \ left (XY \ right) = M \ left (X \ right) M \ left (Y \ right) $.

Приклад 3 . Знайдемо математичне очікування випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\over (6))+2\cdot ((1)\over (6) )+3\cdot ((1)\over (6))+4\cdot ((1)\over (6))+5\cdot ((1)\over (6))+6\cdot ((1 ) \ over (6)) = 3,5. $ $

Можемо помітити, що $M\left(X\right)$ укладено між найменшим ($1$) і найбільшим ($6$) значеннями випадкової величини $X$.

Приклад 4 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M \ left (X \ right) = 2 $. Знайти математичне очікування випадкового розміру $3X+5$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\cdot 2 +5 = 11 $.

Приклад 5 . Відомо, що математичне очікування випадкової величини $ X $ дорівнює $ M left (X right) = 4 $. Знайти математичне очікування випадкової величини $2X-9$.

Використовуючи вищевказані властивості, отримуємо $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\cdot 4 -9 = -1 $.

3. Дисперсія дискретної випадкової величини.

Можливі значення випадкових величин з рівними математичними очікуваннями можуть по-різному розсіюватись навколо своїх середніх значень. Наприклад, у двох студентських групах середній балза іспит з теорії ймовірностей виявився рівним 4, але в одній групі всі виявилися хорошистами, а в іншій групі - тільки трієчники та відмінники. Тому виникає потреба у такій числовій характеристиці випадкової величини, яка б показувала розкид значень випадкової величини навколо свого математичного очікування. Такою характеристикою є дисперсія.

Дисперсія дискретної випадкової величини$X$ дорівнює:

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2).\ $$

В англомовній літературі використовуються позначення $ V \ left (X \ right), \ Var \ left (X \ right) $. Дуже часто дисперсію $D\left(X\right)$ обчислюють за формулою $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\left(X) \right)\right))^2$.

Властивості дисперсії$D\left(X\right)$:

1. Дисперсія завжди більша чи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (X \ right) \ ge 0 $.
2. Дисперсія від константи дорівнює нулю, тобто. $ D \ left (C \ right) = 0 $.
3. Постійний множник можна виносити за знак дисперсії за умови зведення їх у квадрат, тобто. $D\left(CXright)=C^2Dleft(Xright)$.
4. Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $ D \ left (X + Y \ right) = D \ left (X \ right) + D \ left (Y \ right) $.
5. Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій, тобто. $D\left(X-Y\right)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)$.

Приклад 6 . Обчислимо дисперсію випадкової величини $X$ із прикладу $2$.

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=((1)\over (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\over (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\over (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\over (12))\approx 2,92.$$

Приклад 7 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 2 $. Знайти дисперсію випадкової величини $4X+1$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=16D\ left (X right) = 16 cdot 2 = 32 $.

Приклад 8 . Відомо, що дисперсія випадкової величини $ X $ дорівнює $ D \ left (X \ right) = 3 $. Знайти дисперсію випадкової величини $3-2X$.

Використовуючи вищевказані властивості, знаходимо $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=4D\ left (X \ right) = 4 \ cdot 3 = 12 $.

4. Функція розподілу дискретної випадкової величини.

Спосіб подання дискретної випадкової величини у вигляді ряду розподілу не єдиний, а головне він не є універсальним, оскільки безперервну випадкову величину не можна задати за допомогою ряду розподілу. Існує ще один спосіб подання випадкової величини – функція розподілу.

Функцією розподілувипадкової величини $X$ називається функція $F\left(x\right)$, яка визначає ймовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення, менше деякого фіксованого значення $x$, тобто $F\left(x\right )=P\left(X< x\right)$

Властивості функції розподілу:

1. $0\le F\left(x\right)\le 1$.
2. Імовірність того, що випадкова величина $X$ прийме значення з інтервалу $\left(\alpha ;\ \beta \right)$, дорівнює різниці значень функції розподілу на кінцях цього інтервалу: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F \ left (x \ right) $ - Незменшується.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right) = 1 \) $.

Приклад 9 . Знайдемо функцію розподілу $F\left(xright)$ для закону розподілу дискретної випадкової величини $X$ з прикладу $2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(array)$

Якщо $x\le 1$, то, очевидно, $F\left(x\right)=0$ (у тому числі і при $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).

Якщо $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Якщо $2< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Якщо $3< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Якщо $4< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Якщо $5< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Якщо $ x > 6 $, то $ F \ left (x \ right) = P \ left (X = 1 \ right) + P \ left (X = 2 \ right) + P \ left (X = 3 \ right) +P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)+P\left(X=6\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Отже, $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ при\ x\le 1,\\
1/6, при 1< x\le 2,\\
1/3, \ при 2< x\le 3,\\
1/2, при 3< x\le 4,\\
2/3,\ при 4< x\le 5,\\
5/6,\ при\ 4< x\le 5,\\
1, \ при x > 6.
\end(matrix)\right.$

На цій сторінці ми зібрали приклади рішення навчальних задач про дискретні випадкові величини. Це досить широкий розділ: вивчаються різні закони розподілу (біноміальний, геометричний, гіпергеометричний, Пуассон та інші), властивості та числові характеристики, для кожного ряду розподілу можна будувати графічні уявлення: полігон (багатокутник) ймовірностей, функцію розподілу.

Нижче ви знайдете приклади рішень про дискретні випадкові величини, в яких потрібно застосувати знання з попередніх розділів теорії ймовірностей для складання закону розподілу, а потім обчислити математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, побудувати функцію розподілу, дати відповіді питання про ДСВ тощо.

Приклади для популярних законів розподілу ймовірностей:

Калькулятори на характеристики ДСВ

• Обчислення математичного очікування, дисперсії та середнього квадратичного відхилення ДСВ.

Вирішені завдання про ДСВ

Розподіли, близькі до геометричного

Завдання 1.На шляху руху автомашини 4 світлофори, кожен із яких забороняє подальший рух автомашини з ймовірністю 0,5. Знайти низку розподілу числа світлофорів, пройдених машиною до першої зупинки. Чому рівні математичне очікування та дисперсія цієї випадкової величини?

Завдання 2.Мисливець стріляє по дичині до першого влучення, але встигає зробити не більше чотирьох пострілів. Скласти закон розподілу числа промахів, якщо ймовірність влучення в ціль за одного пострілу дорівнює 0,7. Знайти дисперсію цієї випадкової величини.

Завдання 3.Стрілець, маючи 3 патрони, стріляє в ціль до першого влучення. Імовірності влучення при першому, другому та третьому пострілах відповідно 0,6, 0,5, 0,4. С.В. $\xi$ - кількість патронів, що залишилися. Скласти ряд розподілу випадкової величини, знайти математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхиленняс.в., побудувати функцію розподілу с.в., знайти $P(|\xi-m| \le\sigma$).

Завдання 4.У ящику міститься 7 стандартних та 3 бракованих деталі. Виймають деталі послідовно до стандартної, не повертаючи їх назад. $\xi$ - кількість вилучених бракованих деталей.
Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини $xi, обчислити її математичне очікування, дисперсію, середнє квадратичне відхилення, накреслити багатокутник розподілу та графік функції розподілу.

Завдання з незалежними подіями

Завдання 5.На переекзаменування з теорії ймовірностей з'явилися 3 студенти. Імовірність того, що перший складе іспит, дорівнює 0,8, другий - 0,7, третій - 0,9. Знайдіть ряд розподілу випадкової величини $\xi$ числа студентів, які склали іспит, побудуйте графік функції розподілу, знайдіть $М(\xi), D(\xi)$.

Завдання 6.Імовірність влучення в ціль при одному пострілі дорівнює 0,8 і зменшується з кожним пострілом на 0,1. Скласти закон розподілу числа влучень у ціль, якщо зроблено три постріли. Знайти математичне очікування, дисперсію та С.К.О. цієї випадкової величини. Побудувати графік функції розподілу.

Завдання 7.За метою виконується 4 постріли. Імовірність влучення при цьому зростає так: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Знайти закон розподілу випадкової величини $X$ - числа влучень. Знайти ймовірність, що $X \ge 1$.

Завдання 8.Підкидаються дві симетричні монети, підраховується кількість гербів на обох верхніх сторонах монет. Розглядається дискретна випадкова величина $ X $ - число випадань гербів обох монетах. Записати закон розподілу випадкової величини $X$, знайти її математичне очікування.

Інші завдання та закони розподілу ДСВ

Завдання 9.Два баскетболісти роблять по три кидки в кошик. Імовірність влучення для першого баскетболіста дорівнює 0,6, для другого – 0,7. Нехай $X$ - різниця між числом вдалих кидків першого та другого баскетболістів. Знайти ряд розподілу, моду та функцію розподілу випадкової величини $X$. Побудувати багатокутник розподілу та графік функції розподілу. Обчислити математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення. Знайти ймовірність події $(-2 \lt X \le 1)$.

Завдання 10.Число іногородніх суден, що прибувають щодня під навантаження у певний порт – випадкова величина $X$, задана так:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
А) переконайтеся, що заданий ряд розподілу,
Б) знайдіть функцію розподілу випадкової величини $X$,
В) якщо в даний день прибуває більше трьох суден, то порт бере на себе відповідальність за витрати внаслідок необхідності наймати додаткових водіїв та вантажників. Чому дорівнює можливість того, що порт понесе додаткові витрати?
Г) знайдіть математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини $X$.

Завдання 11.Кидають 4 гральні кубики. Знайти математичне очікування на суму очок, які випадуть на всіх гранях.

Завдання 12.Двоє по черзі кидають монету до першої появи герба. Гравець, у якого випав герб, отримує від іншого гравця 1 карбованець. Знайти математичне очікування на виграш кожного гравця.

Глава 1. Дискретна випадкова величина

§ 1. Поняття випадкової величини.

Закон розподілу дискретної випадкової величини.

Визначення : Випадковою називається величина, яка в результаті випробування приймає тільки одне значення з можливої ​​безлічі своїх значення, наперед невідоме і залежить від випадкових причин.

Розрізняють два види випадкових величин: дискретні та безперервні.

Визначення : Випадкова величина Х називається дискретний (перервний), якщо безліч її значень кінцеве чи нескінченне, але лічильне.

Іншими словами, можливі значення дискретної випадкової величини можна перенумерувати.

Описати випадкову величину можна з її закону розподілу.

Визначення : Законом розподілу дискретної випадкової величини називають відповідність між можливими значеннями випадкової величини та їх ймовірностями.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х може бути заданий у вигляді таблиці, у першому рядку якої вказані в порядку зростання всі можливі значення випадкової величини, а в другому рядку відповідні ймовірності цих значень, тобто.

де р1 + р2 + ... + рn = 1

Така таблиця називається рядом розподілу дискретної випадкової величини.

Якщо безліч можливих значень випадкової величини нескінченно, ряд р1+ р2+…+ рn+… сходиться та її сума дорівнює 1.

Закон розподілу дискретної випадкової величини Х можна зобразити графічно, для чого прямокутної системикоординат будують ламану, що з'єднує послідовно точки з координатами (xi; pi), i = 1,2, ... n. Отриману лінію називають багатокутником розподілу (Рис.1).

Органічна хімія органічної хімії відповідно дорівнюють 0,7 і 0,8. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - числа іспитів, які здасть студент.

Рішення. Розглянута випадкова величина X в результаті іспиту може прийняти одне з наступних значень: x1 = 0, x2 = 1, х3 = 2.

Знайдемо ймовірність цих значень. Позначимо події:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Отже, закон розподілу випадкової величини Х визначається таблицею:

Контроль: 0,6 +0,38 +0,56 = 1.

§ 2. Функція розподілу

Повний опис випадкової величини також дає функція розподілу.

Визначення: Функцією розподілу дискретної випадкової величини Х називається функція F(x), що визначає для кожного значення х ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення менше х:

F(x)=Р(Х<х)

Геометрично функція розподілу інтерпретується як ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, яке зображується на числовій прямій точці, що лежить ліворуч від точки х.

1)0≤ F(x) ≤1;

2) F(x)- незнижена функція на (-∞; + ∞);

3) F(x)- безперервна ліворуч у точках х= xi (i=1,2,…n) і безперервна переважають у всіх інших точках;

4) F(-∞)=Р (Х<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=Р(Х<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Якщо закон розподілу дискретної випадкової величини Х заданий у вигляді таблиці:

то функція розподілу F(x) визначається формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 при х≤ x1,

р1 при x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 при x2< х≤ х3

1 при х>хn.

Її графік зображено на рис.2:

§ 3. Числові характеристики дискретної випадкової величини.

До важливих числових характеристик належить математичне очікування.

Визначення: Математичним очікуванням М(Х) дискретної випадкової величини Х називається сума творів всіх її значень відповідні їм ймовірності:

М(Х) = ∑ xiрі = x1р1 + x2р2 + ... + xnрn

Математичне очікування є характеристикою середнього значення випадкової величини.

Властивості математичного очікування:

1) M(C)=C, де З-постійна величина;

2) М (З Х) = З М (Х),

3)М(Х±Y)=М(Х)±M(Y);

4) M (X Y) = M (X) M (Y), де X, Y - незалежні випадкові величини;

5) M(X±C)=M(X)±C, де З-постійна величина;

Для характеристики ступеня розсіювання можливих значень дискретної випадкової величини навколо середнього значення служить дисперсія.

Визначення: Дисперсією D ( X ) випадкової величини Х називається математичне очікування квадрата відхилення випадкової величини від її математичного очікування:

Властивості дисперсії:

1)D(C)=0, де З-постійна величина;

2) D(X)>0, де Х - випадкова величина;

3)D(C X)=C2 D(X), де З-постійна величина;

4) D (X + Y) = D (X) + D (Y), де X, Y - незалежні випадкові величини;

Для обчислення дисперсії часто буває зручно користуватися формулою:

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

де М(Х) = ∑ xi2рi = x12р1 + x22р2 + ... + xn2рn

Дисперсія D(X) має розмірність квадрата випадкової величини, що завжди зручно. Тому як показник розсіювання можливих значень випадкової величини використовують також величину D(X).

Визначення: Середнім квадратичним відхиленням σ(Х) випадкової величини Х називається квадратний корінь з дисперсії:

Завдання №2.Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти Р2, функцію розподілу F(x) та побудувати її графік, а також M(X),D(X), σ(Х).

Рішення: Оскільки сума ймовірностей можливих значень випадкової величини Х дорівнює 1, то

Р2 = 1 - (0,1 +0,3 +0,2 +0,3) = 0,1

Знайдемо функцію розподілу F(х)=P(X

Геометрично цю рівність можна витлумачити так: F(х) є ймовірність того, що випадкова величина прийме значення, яке зображується на числовій осі точкою, що лежить ліворуч від точки х.

Якщо х≤-1, то F(х)=0, тому що на (-∞;х) немає жодного значення даної випадкової величини;

Якщо -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Якщо 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;х) потрапляють два значення x1=-1 і x2=0;

Якщо 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Якщо 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Якщо х>3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)+Р(Х=3)= 0,1 +0,1+0,3+0,2+0,3=1, тому що в проміжок (-∞;х) потрапляють чотири значення x1=-1, x2=0,x3=1,х4=2 та х5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 при х≤-1,

0,1 при -1<х≤0,

0,2 при 0<х≤1,

F(x)= 0,5 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

Зобразимо функцію F(x)графічно (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845.

§ 4. Біноміальний закон розподілу

дискретна випадкова величина, закон Пуассона.

Визначення: Біноміальним називається закон розподілу дискретної випадкової величини Х - числа події А в n незалежних повторних випробуваннях, в кожному з яких події А може наступити з ймовірністю p або не наступити з ймовірністю q=1-p. Тоді Р(Х=m)-імовірність появи події А рівно m разів у n випробуваннях обчислюється за формулою Бернуллі:

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

Математичне очікування, дисперсію та середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х, розподіленої за бінарним законом, знаходять відповідно за формулами:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Імовірність події А - «випадання п'ятірки» в кожному випробуванні одна і та ж і дорівнює 1/6, тобто . Р(А)=р=1/6, тоді Р(А)=1-p=q=5/6, де

- «Випадання не п'ятірки».

Випадкова величина Х може набувати значень: 0;1;2;3.

Імовірність кожного з можливих значень Х знайдемо за формулою Бернуллі:

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Т. о. закон розподілу випадкової величини Х має вигляд:

Контроль: 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Знайдемо числові характеристики випадкової величини Х:

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Завдання №4.Верстат-автомат штампує деталі. Імовірність того, що виготовлена ​​деталь виявиться бракованою, дорівнює 0,002. Знайти ймовірність того, що серед 1000 відібраних деталей виявиться:

а) 5 бракованих;

б) хоч би одна бракована.

Рішення: Число n=1000 велике, ймовірність виготовлення бракованої деталі р=0,002 мала, і події, що розглядаються (деталь виявиться бракованою) незалежні, тому має місце формула Пуассона:

Рn(m)= e- λ λm

Знайдемо λ=np=1000 0,002=2.

а)Знайдемо ймовірність того, що буде 5 бракованих деталей (m=5):

Р1000 (5) = e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

б)Знайдемо ймовірність того, що буде хоча б одна бракована деталь.

Подія А - «хоча б одна з відібраних деталей бракована» є протилежною події - «усі відібрані деталі не браковані». Отже, Р(А)=1-Р(). Звідси шукана ймовірність дорівнює: Р(А)=1-Р1000(0)=1- e-2 20 = 1- e-2 = 1-0,13534 ≈ 0,865.

Завдання для самостійної роботи.

1.1

1.2. Дисперсна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти р4, функцію розподілу F(X) та побудувати її графік, а також M(X),D(X), σ(Х).

1.3. У коробці 9 фломастерів, з яких 2 фломастери вже не пишуть. Навмання беруть 3 фломастери. Випадкова величина Х - число друкарських фломастерів серед взятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

1.4. На стелажі бібліотеки у випадковому порядку розставлено 6 підручників, причому 4 з них у палітурці. Бібліотекар бере навмання 4 підручники. Випадкова величина Х-число підручників у палітурці серед взятих. Скласти закон розподілу випадкової величини.

1.5. У квитку два завдання. Ймовірність правильного рішенняпершого завдання дорівнює 0,9, другий-0,7. Випадкова величина Х - число правильно вирішених завдань у квитку. Скласти закон розподілу, обчислити математичне очікування та дисперсію цієї випадкової величини, а також знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік.

1.6. Три стрілки стріляють по мішені. Імовірність попадання в ціль при одному пострілі для першого стрілка дорівнює 0,5, для другого-0,8, для третього -0,7. Випадкова величина Х - число попадань у ціль, якщо стрілки роблять по одному пострілу. Знайти закон розподілу, M(X), D(X).

1.7. Баскетболіст кидає м'яч у кошик із ймовірністю влучення при кожному кидку 0,8. За кожне влучення він отримує 10 очок, а у разі промаху очки йому не нараховують. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа очок, отриманих баскетболістом за 3 кидки. Знайти M(X),D(X), а також можливість того, що він отримає більше 10 очок.

1.8. На картках написані літери, всього 5 голосних та 3 приголосних. Навмання вибирають 3 картки, причому щоразу взяту картку повертають назад. Випадкова величина Х-число гласних букв серед взятих. Скласти закон розподілу та знайти M(X),D(X),σ(Х).

1.9. У середньому по 60% договорів страхова компаніявиплачує страхові суми у зв'язку із настанням страхового випадку. Скласти закон розподілу випадкової величини Х - числа договорів, за якими було виплачено страхову суму серед навмання відібраних чотирьох договорів. Знайти числові характеристики цієї величини.

1.10. Радіостанція через певні проміжки часу надсилає позивні сигнали (не більше чотирьох) до встановлення двостороннього зв'язку. Імовірність отримання відповіді на позивний сигнал дорівнює 0,3. Випадкова величина Х-число надісланих позивних сигналів. Скласти закон розподілу та знайти F(x).

1.11. Є 3 ключі, з яких лише один підходить до замку. Скласти закон розподілу випадкової величини Х-числа спроб відкриття замку, якщо випробуваний ключ у наступних спробах не бере участі. Знайти M(X),D(X).

1.12. Виготовляються послідовні незалежні випробування трьох приладів на надійність. Кожен наступний приладвипробовується лише у тому випадку, якщо попередній виявився надійним. Імовірність витримати випробування для кожного приладу дорівнює 0,9. Скласти закон розподілу випадкової величини Х числа випробуваних приладів.

1.13 .Дискретна випадкова величина Х має три можливі значення: х1 = 1, х2, х3, причому х1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Блок електронного пристрою має 100 однакових елементів. Імовірність відмови кожного елемента протягом часу Т дорівнює 0,002. Елементи працюють незалежно. Знайти ймовірність те, що за час Т відмовить не більше двох елементів.

1.15. Підручник видано тиражем 50000 екземплярів. Імовірність того, що підручник зброшурований неправильно, дорівнює 0,0002. Знайти ймовірність того, що тираж містить:

а) чотири браковані книги,

б) менше двох бракованих книг.

1 .16. Число дзвінків, що надходять на АТС щохвилини, розподілено за законом Пуассона з параметром =1,5. Знайдіть ймовірність того, що за хвилину надійде:

а) два виклики;

б) хоча б один виклик.

1.17.

Знайти M(Z),D(Z), якщо Z=3X+Y.

1.18. Наведено закони розподілу двох незалежних випадкових величин:

Знайти M(Z),D(Z), якщо Z=X+2Y.

Відповіді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. р3 = 0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5

1.2. р4 = 0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 при х≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2

M(Х)=2; D(Х)=0,62

M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2 ≈ 0,999

1.15. а) 0,0189; б) 0,00049

1.16. а) 0,0702; б) 0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Розділ 2. Безперервна випадкова величина

Визначення: Безперервний називають величину, всі можливі значення якої повністю заповнюють кінцевий чи нескінченний проміжок числової осі.

Очевидно, кількість можливих значень безперервної випадкової величини нескінченна.

Безперервну випадкову величину можна ставити за допомогою функції розподілу.

Визначення:Ф ункцією розподілу безперервної випадкової величини Х називається функція F(х), що визначає для кожного значення x width="14"

Функцію розподілу іноді називають інтегральною функцією розподілу.

Властивості функції розподілу:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У безперервної випадкової величини функція розподілу безперервна у будь-якій точці і диференційована всюди, крім, можливо, окремих точок.

3) Імовірність потрапляння випадкової величини Х до одного з проміжків (а;b), [а;b), [а;b], дорівнює різниці значень функції F(х) у точках а і b, тобто. Р(а<Х

4) Імовірність того, що безперервна випадкова величина Х набуде одного окремого значення дорівнює 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Завдання безперервної випадкової величини з допомогою функції розподілу є єдиним. Введемо поняття густини розподілу ймовірностей (щільність розподілу).

Визначення : Щільністю розподілу ймовірностей f ( x ) безперервної випадкової величини Х називається похідна від її функції розподілу, тобто:

Щільність розподілу ймовірностей іноді називають диференціальною функцією розподілу чи диференціальним законом розподілу.

Графік щільності розподілу ймовірностей f(x) називається кривою розподілу ймовірностей .

Властивості густини розподілу ймовірностей:

1)f(x) ≥0,при хhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

0 при х>6.

Знайти: а) значення с; б) функцію розподілу F(х) та побудувати її графік; в) Р(3≤х<5)

Рішення:

+ ∞

а) Значення знайдемо з умови нормування: f(x)dx=1.

Отже, -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 х

якщо 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 при х≤2,

F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

Графік функції F(х) зображено на рис.3

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 при х≤0,

F(х)= (3 arctg х)/π при 0<х≤√3,

1 при х>√3.

Знайти диференціальну функцію розподілу f(х)

Рішення: Т. к.f(х) = F'(x), то

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Усі властивості математичного очікування і дисперсії, розглянуті раніше дисперсних випадкових величин, справедливі й у безперервних.

Завдання №3.Випадкова величина Х задана диференціальною функцією f(x):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ х2 f(x)dx-(М(х))2=∫ х2 х/3 dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Завдання для самостійного вирішення.

2.1. Безперервна випадкова величина Х задана функцією розподілу:

0 при х≤0,

F(х)= 0 при х≤ π/6, 0 при х≤ π/6,

F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 при х> π/3.

Знайти диференціальну функцію розподілу f(x), а також

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 при х≤2,

f(х)= з х при 2<х≤4,

0 при х>4.

2.4. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу:

0 при х≤0,

f(х)= з √х при 0<х≤1,

0 при х>1.

Знайти: а) число с; б) М(Х), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> при х,

0 при х.

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ(Х); в) ймовірність того, що у чотирьох незалежних випробуванняхвеличина Х прийме рівно 2 рази значення, що належить інтервалу (1; 4).

2.6. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

f(х)= 2(х-2) при х,

0 при х.

Знайти: а) F(х) та побудувати її графік; б) M(X), D(X), σ(Х); в) ймовірність того, що у трьох незалежних випробуваннях величина Х прийме рівно 2 рази значення, що належить відрізку .

2.7. Функція f(х) задана у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2].

2.8. Функція f(x) задана у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4; π /4].

Знайти: а) значення постійної с, коли він функція буде щільністю ймовірності деякої випадкової величини Х; б) функцію розподілу F(x).

2.9. Випадкова величина Х, зосереджена інтервалі (3;7), задана функцією розподілу F(х)= . Знайти ймовірність того, що

випадкова величина Х набуде значення: а) менше 5; б) не менше 7.

2.10. Випадкова величина Х, зосереджена на інтервалі (-1; 4),

задана функцією розподілу F(х) = . Знайти ймовірність того, що

випадкова величина Х набуде значення: а) менше 2; б) не менше 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Знайти: а) число с; б) М(Х); в) ймовірність Р(Х> М(Х)).

2.12. Випадкова величина задана диференціальною функцією розподілу:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Знайти: а) М(Х); б) ймовірність Р(Х≤М(Х))

2.13. Розподіл Рем'я задається щільністю ймовірності:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> при х ≥0.

Довести, що f(x) дійсно є густиною розподілу ймовірностей.

2.14. Задано щільність розподілу ймовірностей безперервної випадкової величини Х:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(рис.4) (Рис.5)

2.16. Випадкова величина Х розподілена згідно із законом « прямокутного трикутника»в інтервалі (0; 4) (рис.5). Знайти аналітичний вираз для густини ймовірності f(x) на всій числовій осі.

Відповіді

0 при х≤0,

f(х)= 0 при х≤ π/6, 0 при х≤ π/6,

F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,

0 при х> π/3. Безперервна випадкова величина Х має рівномірний законрозподілу на деякому інтервалі (а;b), якому належать всі можливі значення Х, якщо щільність розподілу ймовірностей f(x) постійна цьому інтервалі і дорівнює 0 поза ним, тобто.

0 при х≤а,

f(х)= при a<х

0 при х≥b.

Графік функції f(x) зображено на рис. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 при х≤а,

F(х) = width="30", D(X)=, σ(Х)=.

Завдання №1.Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку. Знайти:

а) щільність розподілу ймовірностей f(x) та побудувати її графік;

б) функцію розподілу F(x) та побудувати її графік;

в) M(X), D(X), σ(Х).

Рішення: Скориставшись формулами, розглянутими вище, а=3, b=7, знаходимо:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> при 3≤х≤7,

0 при х>7

Побудуємо її графік (рис.3):

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 при х≤3,

F(х)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">рис.4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 при х<0,

f(х)= λе-λх при х≥0.

Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за показовим законом, задається формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">рис..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ(Х)=

Таким чином, математичне очікування та середнє квадратичне відхилення показового розподілу рівні між собою.

Імовірність потрапляння Х до інтервалу (a;b) обчислюється за формулою:

Р(a<Х

Завдання №2.Середній час безвідмовної роботи приладу дорівнює 100 год. Вважаючи, що час безвідмовної роботи приладу має показовий закон розподілу, знайти:

а) густина розподілу ймовірностей;

б) функцію розподілу;

в) ймовірність, що час безвідмовної роботи приладу перевищить 120 год.

Рішення: За умовою математичний розподіл M(X) = 0 при х<0,

а) f(х)= 0,01-0,01х при х≥0.

б) F(x)= 0 при х<0,

1-е -0,01х при х≥0.

в) Шукану ймовірність знайдемо, використовуючи функцію розподілу:

Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2 ≈0,3.

§ 3.Нормальний закон розподілу

Визначення: Безперервна випадкова величина Х має нормальний закон розподілу (закон Гауса), якщо її щільність розподілу має вигляд:

,

де m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

Криву нормального закону розподілу називають нормальної або гаусової кривої (Мал.7)

Нормальна крива симетрична щодо прямої х=m, має максимум т. х=а, рівний .

Функція розподілу випадкової величини Х, розподіленої за нормальним законом, виражається через функцію Лапласа Ф(х) за формулою:

,

де – функція Лапласа.

Примітка: Функція Ф(х) є непарною (Ф(-х)=-Ф(х)), крім того, при х>5 вважатимуться Ф(х) ≈1/2.

Графік функції розподілу F(x) зображено на рис. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

Імовірність того, що абсолютна величинавідхилення менше позитивного числаδ обчислюється за формулою:

Зокрема, при m=0 справедлива рівність:

«Правило трьох сигм»

Якщо випадкова величина Х має нормальний закон розподілу з параметрами m і σ то практично достовірно, що її значення укладені в інтервалі (a-3σ; a+3σ), т. до.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">а)

б) Скористаємося формулою:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

По таблиці значень функції Ф(х) знаходимо Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Отже, шукана ймовірність:

P(28)

Завдання для самостійної роботи

3.1. Випадкова величина Х рівномірно розподілена в інтервалі (-3; 5). Знайдіть:

б) функції розподілу F(x);

в) числові показники;

г) ймовірність Р(4<х<6).

3.2. Випадкова величина Х рівномірно розподілена на відрізку. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) функції розподілу F(x);

в) числові показники;

г) ймовірність Р(3?х?6).

3.3. На шосе встановлено автоматичний світлофор, в якому 2 хвилини для транспорту горить зелене світло, 3 секунди жовте і 30 секунд червоне і т. д. Машина проїжджає шосе у випадковий момент часу. Знайти ймовірність того, що машина проїде повз світлофор, не зупиняючись.

3.4. Поїзди метрополітену йдуть регулярно з інтервалом 2 хвилини. Пасажир виходить на платформу у довільний момент часу. Яка ймовірність того, що чекати на поїзд пасажиру доведеться більше 50 секунд. Знайти математичне очікування випадкової величини Х – час очікування поїзда.

3.5. Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення показового розподілу, заданого функцією розподілу:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-8х при х≥0.

3.6. Безперервна випадкова величина Х задана щільністю розподілу ймовірностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,7 е-0,7х при х≥0.

а) Назвіть закон розподілу випадкової величини, що розглядається.

б) Знайдіть функцію розподілу F(X) та числові характеристики випадкової величини Х.

3.7. Випадкова величина Х розподілена за показовим законом, заданим щільністю розподілу ймовірностей:

f(x)= 0 при х<0,

0,4 е-0,4 х при х≥0.

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення інтервалу (2,5;5).

3.8. Безперервна випадкова величина Х розподілена за показовим законом, заданим функцією розподілу:

F(x)= 0 при х<0,

1-е-0,6х при х≥0

Знайти ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення відрізка .

3.9. Математичне очікування та середнє квадратичне відхилення нормально розподіленої випадкової величини відповідно дорівнюють 8 і 2. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення з інтервалу (10; 14).

3.10. Випадкова величина Х розподілена нормально з математичним очікуванням 3,5 та дисперсією 0,04. Знайдіть:

а) густина розподілу f(x);

б) ймовірність того, що в результаті випробування Х набуде значення відрізка .

3.11. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 та D(X)=1. Яка з подій: |Х|≤0,6 або |Х|≥0,6 має більшу ймовірність?

3.12. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 і D(X)=1.З якого інтервалу (-0,5;-0,1) або (1;2) при одному випробуванні вона набуде значення з більшою ймовірністю?

3.13. Поточна ціна за одну акцію може бути змодельована за допомогою нормального закону розподілу з M(X)=10ден. од. і σ (Х) = 0,3 ден. од. Знайти:

а) ймовірність того, що поточна ціна акції буде від 9,8 грош. од. до 10,4 грош. од.;

б) за допомогою «правила трьох сигм» знайти межі, в яких буде перебувати поточна ціна акції.

3.14. Здійснюється зважування речовини без систематичних помилок. Випадкові помилки зважування підпорядковані нормальному закону із середнім квадратичним ставленням =5г. Знайти ймовірність того, що у чотирьох незалежних дослідах помилка при трьох зважуваннях не відбудеться за абсолютною величиною 3г.

3.15. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=12,6. Імовірність потрапляння випадкової величини до інтервалу (11,4;13,8) дорівнює 0,6826. Знайдіть середнє квадратичне відхилення σ.

3.16. Випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=12 і D(X)=36. Знайти інтервал, який з ймовірністю 0,9973 потрапить в результаті випробування випадкова величина Х.

3.17. Деталь, виготовлена ​​автоматично, вважається бракованою, якщо відхилення Х контрольованого параметра від номіналу перевищує по модулю 2 одиниці вимірювання . Передбачається, що випадкова величина Х розподілена нормально з M(X)=0 та σ(Х)=0,7. Скільки відсотків бракованих деталей видає автомат?

3.18. Параметр Х деталі розподілено нормально з математичним очікуванням 2 рівним номіналу і середнім квадратичним відхиленням 0,014. Знайти ймовірність, що відхилення Х від номіналу по модулю не перевищить 1% номіналу.

Відповіді

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

б) 0 при х≤-3,

F(х) = left">

3.10. а) f (x) = ,

б) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. а) Р(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ=1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

Одним із найважливіших понять теорії ймовірностей є поняття випадкової величини.

Випадковийназивають величину, що приймає в результаті випробувань ті чи інші можливі значення, наперед невідомі та залежать від випадкових причин, які заздалегідь не можуть бути враховані.

Випадкові величини позначаються великими літерами латинського алфавіту X, Y, Zі т. д. або великими літерами латинського алфавіту з правим нижнім індексом , а значення, які можуть набувати випадкові величини - відповідними малими літерами латинського алфавіту x, y, zі т.д.

Поняття випадкової величини тісно пов'язане із поняттям випадкової події. Зв'язок із випадковою подієюполягає в тому, що прийняття випадковою величиною деякого числового значення є випадковою подією, що характеризується ймовірністю .

Насправді зустрічаються два основних типи випадкових величин:

1. Дискретні випадкові величини;

2. Безперервні випадкові величини.

Випадковою величиною називається числова функція випадкових подій.

Наприклад, випадковою величиною є кількість очок, що випали під час кидання гральної кістки, або зростання випадково обраного з навчальної групи студента.

Дискретними випадковими величинаминазиваються випадкові величини, що приймають лише віддалені один від одного значення, які можна заздалегідь перерахувати.

Закон розподілу(функція розподілу та ряд розподілу чи щільність ймовірності) повністю описують поведінку випадкової величини. Але в ряді завдань достатньо знати деякі числові характеристики досліджуваної величини (наприклад, її середнє значення та можливе відхилення від нього), щоб відповісти на поставлене запитання. Розглянемо основні числові характеристики дискретних випадкових величин.

Законом розподілу дискретної випадкової величининазивається всяке співвідношення , встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини відповідними їм ймовірностями .

Закон розподілу випадкової величини може бути поданий у вигляді таблиці:

			…	…
			…	…

Сума ймовірностей всіх можливих значень випадкової величини дорівнює одиниці, тобто.

Закон розподілу можна зобразити графічно: по осі абсцис відкладають можливі значення випадкової величини, а по осі ординат - ймовірність цих значень; отримані точки з'єднують відрізками. Побудована ламана називається багатокутником розподілу.

приклад. Мисливець, що має 4 патрони, стріляє по дичині до першого влучення або витрачання всіх патронів. Імовірність влучення при першому пострілі дорівнює 0,7, при кожному наступному пострілі зменшується на 0,1. Скласти закон розподілу числа набоїв, витрачених мисливцем.

Рішення.Оскільки мисливець, маючи 4 патрони, може зробити чотири постріли, то випадкова величина X- число патронів, витрачених мисливцем, може набувати значень 1, 2, 3, 4. Для знаходження відповідних їм ймовірностей введемо події:

- “попадання при i -ом пострілі”, ;

- “Промах при i -ом пострілі”, причому події і - попарно незалежні.

Відповідно до умови завдання маємо:

,

По теоремі множення для незалежних подій та теоремі складання для несумісних подій знаходимо:

(Мисливець потрапив у ціль з першого пострілу);

(Мисливець потрапив у ціль з другого пострілу);

(Мисливець потрапив у ціль з третього пострілу);

(Мисливець потрапив у ціль з четвертого пострілу або промахнувся всі чотири рази).

Перевірка: - Правильно.

Таким чином, закон розподілу випадкової величини Xмає вигляд:

	0,7	0,18	0,06	0,06

приклад.Робочий обслуговує три верстати. Імовірність того, що протягом години перший верстат не потребуватиме регулювання – 0,9, другий – 0,8, третій – 0,7. Скласти закон розподілу числа верстатів, які протягом години вимагатимуть регулювання.

Рішення.Випадкова величина X- Число верстатів, які протягом години вимагають регулювання, може приймати значення 0,1, 2, 3. Для знаходження відповідних їм ймовірностей введемо події:

- “i- ий верстат протягом години вимагатиме регулювання”, ;

- “i- ий верстат протягом години не вимагатиме регулювання”, .

За умовою завдання маємо:

, .

Дискретними випадковимивеличинами називаються випадкові величини, які приймають лише віддалені друг від друга значення, які можна заздалегідь перерахувати.
Закон розподілу
Законом розподілу випадкової величини називається співвідношення, що встановлює зв'язок між можливими значеннями випадкової величини та відповідними ймовірностями.
Поруч розподілу дискретної випадкової величини називають перелік її можливих значень та відповідних їм ймовірностей.
Функцією розподілу дискретної випадкової величини називають функцію:
,
визначальну для кожного значення аргументу x ймовірність того, що випадкова величина X прийме значення менше цього x.

Математичне очікування дискретної випадкової величини
,
де – значення дискретної випадкової величини; - Імовірності прийняття випадковою величиною X значень.
Якщо випадкова величина набуває лічильна безліч можливих значень, то:
.
Математичне очікування числа настань події у n незалежних випробуваннях:
,

Дисперсія та середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини
Дисперсія дискретної випадкової величини:
або .
Дисперсія числа настань події у n незалежних випробуваннях
,
де p – ймовірність настання події.
Середньоквадратичне відхилення дискретної випадкової величини:
.

Приклад 1
Складіть закон розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини (д.с.в.) X – числа k випадень хоча б однієї «шістки» у n = 8 киданнях пари гральних кубиків. Побудуйте багатокутник розподілу. Знайдіть числові характеристики розподілу (моду розподілу, математичне очікування M(X), дисперсію D(X), середнє відхилення квадратне s(X)). Рішення:Введемо позначення: подія A – «при киданні пари гральних кубиків шістка з'явилася хоча б один раз». Для знаходження ймовірності P(A) = p події A зручніше спочатку знайти ймовірність P(Ā) = q протилежної події - «при киданні пари гральних кубиків шістка не з'явилася жодного разу».
Оскільки ймовірність непояви «шістки» при киданні одного кубика дорівнює 5/6, то теорема множення ймовірностей
P(?) = q = = .
Відповідно,
P(A) = p = 1 – P(A) = .
Випробування завдання проходять за схемою Бернуллі, тому д.с.в. величина X- Число kвипадень хоча б однієї шістки при киданні двох кубиків підпорядковується біноміальному закону розподілу ймовірностей:

де = - Число поєднань з nпо k.

Проведені для цього завдання розрахунки зручно оформити у вигляді таблиці:
Розподіл імовірностей д.с. X º k (n = 8; p = ; q = )

k
Pn(k)

Полігон (багатокутник) розподілу ймовірностей дискретної випадкової величини Xпредставлений на рис.

Мал. Полігон розподілу ймовірностей д.р. X=k.
Вертикальною лінією показано математичне очікування розподілу M(X).

Знайдемо числові показники розподілу ймовірностей д.с.в. X. Мода розподілу дорівнює 2 (тут P 8 (2) = 0,2932 максимально). Математичне очікування за визначенням дорівнює:
M(X) = = 2,4444,
де xk = k- Значення, що приймається д.с.в. X. Дисперсію D(X) розподілу знайдемо за формулою:
D(X) = = 4,8097.
Середнє квадратичне відхилення (СКО):
s( X) = = 2,1931.

Приклад2
Дискретна випадкова величина Xзадана законом розподілу

Знайти функцію розподілу F(x) та побудувати її графік.

Рішення.Якщо , то (третя властивість).
Якщо то . Справді, Xможе прийняти значення 1 із ймовірністю 0,3.
Якщо то . Справді, якщо задовольняє нерівність
, то дорівнює ймовірності події , яка може бути здійснена, коли Xприйме значення 1 (імовірність цієї події дорівнює 0,3) або значення 4 (імовірність цієї події дорівнює 0,1). Оскільки ці дві події несумісні, то теорема складання ймовірність події дорівнює сумі ймовірностей 0,3 + 0,1 = 0,4. Якщо то . Справді, подія достовірно, отже, її ймовірність дорівнює одиниці. Отже, функція розподілу може бути аналітично записана так:

Графік цієї функції:
Знайдемо ймовірності, що відповідають цим значенням. За умови, ймовірності виходу з ладу приладів рівні: тоді ймовірність того, що прилади будуть робітниками протягом гарантійного терміну рівні:




Закон розподілу має вигляд: