Особливості побудови математичних моделей. Приклад математичного моделювання прикладного завдання з математики
Для побудови математичної моделі необхідно:
- ретельно проаналізувати реальний об'єкт чи процес;
- виділити його найбільш суттєві риси та властивості;
- визначити змінні, тобто. параметри, значення яких впливають на основні риси та властивості об'єкта;
- описати залежність основних властивостей об'єкта, процесу чи системи від значення змінних за допомогою логіко-математичних співвідношень (рівняння, рівності, нерівності, логіко-математичних конструкцій);
- виділити внутрішні зв'язки об'єкта, процесу чи системи за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій;
- визначити зовнішні зв'язки та описати їх за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій.
Математичне моделювання, крім дослідження об'єкта, процесу або системи та складання їх математичного опису, також включає:
- побудова алгоритму, що моделює поведінку об'єкта, процесу чи системи;
- перевірка адекватності моделі та об'єкта, процесу чи системи на основі обчислювального та натурного експерименту;
- коригування моделі;
- використання моделі.
Математичний опис досліджуваних процесів та систем залежить від:
- природи реального процесу або системи складається на основі законів фізики, хімії, механіки, термодинаміки, гідродинаміки, електротехніки, теорії пластичності, теорії пружності і т.д.
- необхідної достовірності та точності вивчення та дослідження реальних процесів та систем.
Побудова математичної моделі зазвичай починається з побудови та аналізу найпростішої, найбільш грубої математичної моделі аналізованого об'єкта, процесу чи системи. Надалі, у разі потреби, модель уточнюється, робиться її відповідність об'єкту повнішим.
Візьмемо простий приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину та ширину, а потім перемножують отримані числа. Така елементарна процедура фактично означає таке: реальний об'єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю – прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини та ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника приблизно приймається за потрібну площу столу. Однак модель прямокутника для письмового столу – це найпростіша, груба модель. При більш серйозному підході до завдання, перш ніж скористатися визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити так: виміряти довжини протилежних сторін столу, а також довжини його діагоналей і порівняти їх між собою. Якщо з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхню столу дійсно можна розглядати як прямокутник. В іншому випадку модель прямокутника доведеться відкинути і замінити моделлю чотирикутника. загального вигляду. При більш високій вимогідо точності може виникнути потреба піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.
За допомогою цього простого прикладубуло показано, що математична модель не визначається однозначно досліджуваним об'єктом, процесом або системою.
АБО (треба завтра уточнити)
Шляхи розв'язання мат. Моделі:
1, Побудова м. на основі законів природи (аналітич. метод)
2. Формальний шлях за допомогою статистичних. Обробки та результатів вимірювання (статист. підхід)
3. Побудова м. на основі моделі елементів ( складних систем)
1, Аналітичний - використання при достатньому вивч. Загальної закономірностівив. Модель.
2. експеримент. За відсутності інформ.
3. Імітаційна м. - Досліджує св-ва об'єкта ст. В цілому.
Приклад побудови математичної моделі.
Математична модель- це математичне поданняреальності.
Математичне моделювання- це процес побудови та вивчення математичних моделей.
Всі природні та громадські науки, що використовують математичний апарат, по суті займаються математичним моделюванням: замінюють об'єкт його математичною моделлю і потім вивчають останню. Зв'язок математичної моделі з реальністю здійснюється за допомогою ланцюжка гіпотез, ідеалізацій та спрощень. За допомогою математичних методів описується зазвичай ідеальний об'єкт, побудований на етапі змістовного моделювання.
Навіщо потрібні моделі?
Найчастіше щодо будь-якого об'єкта виникають труднощі. Сам оригінал часом буває недоступним, або його використання не є доцільним, або залучення оригіналу вимагає великих витрат. Усі ці проблеми можна вирішити за допомогою моделювання. Модель у сенсі може замінити досліджуваний об'єкт.
Найпростіші приклади моделей
§ Фотографію можна назвати моделлю людини. Щоб дізнатися людину, досить бачити її фотографію.
§ Архітектор створив макет нового житлового району. Він може рухом руки перемістити висотна будівляз однієї частини до іншої. Насправді це було б неможливо.
Типи моделей
Моделі можна поділити на матеріальні"і ідеальні. Наведені вище приклади є матеріальними моделями. Ідеальні моделі часто мають знакову форму. Реальні поняття замінюються при цьому деякими знаками, які можна легко зафіксувати на папері, в пам'яті комп'ютера і т.д.
Математичне моделювання
Математичне моделювання належить до класу знакового моделювання. При цьому моделі можуть створюватися з будь-яких математичних об'єктів: чисел, функцій, рівнянь і т.д.
Побудова математичної моделі
§ Можна відзначити кілька етапів побудови математичної моделі:
1. Осмислення завдання, виділення найбільш важливих для нас якостей, властивостей, велич і параметрів.
2. Введення позначень.
3. Упорядкування системи обмежень, яким мають задовольняти введені величини.
4. Формулювання та запис умов, яким має задовольняти потрібне оптимальне рішення.
Процес моделювання не закінчується складанням моделі, атільки їм починається. Склавши модель, вибирають метод знаходження відповіді, вирішують завдання. після того, як відповідь знайдено зіставляють його з реальністю. І можливо, що відповідь не задовольняє, в цьому випадку модель видозмінюють або навіть вибирають зовсім іншу модель.
Приклад математичної моделі
Завдання
Виробниче об'єднання, до якого входять дві меблеві фабрики, потребує оновлення парку верстатів. Причому першою меблевій фабриціпотрібно замінити три верстати, а другий-сім. Замовлення можна розмістити на двох верстатобудівних заводах. Перший завод може виготовити не більше 6 верстатів, а другий завод прийме замовлення якщо їх буде не міняє трьох. Потрібно визначити, як розміщувати замовлення.
приклад 1.5.1.
Нехай деякий економічний регіон виробляє кілька (n) видів продуктів виключно самотужки і лише населення даного регіону. Передбачається, що технологічний процес відпрацьовано, а попит населення ці товари вивчений. Треба визначити річний обсяг випуску продуктів, з огляду на те, що це обсяг повинен забезпечити як кінцеве, і виробниче споживання.
Складемо математичну модель цього завдання. За її умовою дано: види продуктів, попит на них та технологічний процес; потрібно визначити обсяг випуску кожного виду товару.
Позначимо відомі величини:
c i- Попит населення на i-й продукт ( i=1,...,n); a ij– кількість i-го продукту, необхідне випуску одиниці j -го продукту з даної технології ( i=1,...,n ; j=1,...,n);
х i - Обсяг випуску i-го продукту ( i=1,...,n); сукупність з =(c 1 ,..., c n ) називається вектором попиту, числа a ij– технологічними коефіцієнтами, а сукупність х =(х 1 ,..., х n ) - Вектор випуску.
За умовою завдання вектор х розподіляється на дві частини: на кінцеве споживання (вектор з ) та на відтворення (вектор х-с ). Обчислимо ту частину вектора х яка йде на відтворення. За нашими позначеннями для виробництва х jкількості j-го товару йде a ij · х jкількості i-го товару.
Тоді сума a i1 · х 1 +...+ a in · х nпоказує ту величину i-го товару, яка потрібна для всього випуску х =(х 1 ,..., х n ).
Отже, має виконуватись рівність:
Поширюючи це міркування на всі види продуктів, приходимо до шуканої моделі:
Вирішуючи цю систему з n лінійних рівнянь щодо х 1 ,...,х nта знайдемо необхідний вектор випуску.
Для того, щоб написати цю модель у більш компактній (векторній) формі, введемо позначення:
Квадратна ( 
) -матриця Аназивається технологічною матрицею. Легко перевірити, що наша модель тепер запишеться так: х-с = Ахабо
(1.6)
Ми отримали класичну модель « Витрати – випуск », автором якої є відомий американський економіст В. Леонтьєв.
приклад 1.5.2.
Нафтопереробний завод має у своєму розпорядженні два сорти нафти: сорт Ау кількості 10 одиниць, сортом У– 15 одиниць. При переробці з нафти виходять два матеріали: бензин (позначимо Б) та мазут ( М). Є три варіанти технологічного процесу переробки:
I: 1од. А+ 2од. Удає 3од. Б+ 2од. М
II: 2од. А+ 1од. Удає 1од. Б+ 5од. М
III: 2од. А+ 2од. Удає 1од. Б+ 2од. М
Ціна бензину – 10 дол. за одиницю, мазуту – 1 дол. за одиницю.
Потрібно визначити найвигідніше поєднання технологічних процесів переробки наявної кількості нафти.
Перед моделюванням уточнимо наступні моменти. З умови завдання випливає, що «вигідність» технологічного процесу для заводу слід розуміти в сенсі отримання максимального доходу від реалізації своєї готової продукції (бензину та мазуту). У зв'язку з цим зрозуміло, що «вибір (ухвалення) рішення» заводу полягає у визначенні того, яку технологію та скільки разів застосувати. Очевидно, що таких можливих варіантів є досить багато.
Позначимо невідомі величини:
х i– кількість використання i-го технологічного процесу (i=1,2,3). Інші параметри моделі (запаси сортів нафти, ціни бензину та мазуту) відомі.
Тепер одне конкретне рішення заводу зводиться до вибору одного вектора х =(х 1 ,х 2 ,х 3 ) , для якого виручка заводу дорівнює (32х 1 +15х 2 +12х 3 ) дол. Тут 32 дол. - це дохід, отриманий від одного застосування першого технологічного процесу (10 дол. · 3од. Б+ 1 дол. · 2од. М= 32 дол.). Аналогічний сенс мають коефіцієнти 15 та 12 для другого та третього технологічних процесів відповідно. Облік запасу нафти призводить до таких умов:
для сорту А:
для сорту У:,
де у першій нерівності коефіцієнти 1, 2, 2 – це норми витрати нафти сорту А для одноразового застосування технологічних процесів I,II,IIIвідповідно. Коефіцієнти другої нерівності мають аналогічний зміст для нафти сорту.
Математична модель загалом має вигляд:
Знайти такий вектор х = (х 1 ,х 2 ,х 3 ) , щоб максимізувати
f(x) = 32х 1 +15х 2 +12х 3
при виконанні умов:
Скорочена форма цього запису така:
при обмеженнях
(1.7)
Ми отримали так зване завдання лінійного програмування.
Модель (1.7) є прикладом оптимізаційної моделі детермінованого типу (з цілком певними елементами).
Приклад1.5.3.
Інвесторові потрібно визначити найкращий набір з акцій, облігацій та інших цінних паперів для придбання їх на деяку суму з метою отримання певного прибутку з мінімальним ризиком для себе. Прибуток на кожен долар, вкладений у цінний папір j- го виду, характеризується двома показниками: очікуваною прибутком та фактичною прибутком. Для інвестора бажано, щоб очікуваний прибуток на один долар вкладень був для всього набору цінних паперів не нижчим від заданої величини b.
Зауважимо, що для правильного моделювання цього завдання від математика потрібні певні базові знанняу сфері портфельної теорії цінних паперів.
Позначимо відомі параметри задачі:
n- Число різновидів цінних паперів; а j- Фактичний прибуток (випадкове число) від j-го виду цінного паперу; 
- Очікуваний прибуток від j-го виду цінних паперів.
Позначимо невідомі величини :
y j - кошти, виділені на придбання цінних паперів виду j.
За нашими позначеннями вся інвестована сума виражається як 
. Для спрощення моделі введемо нові величини
.
Таким чином, х i- це частка від усіх коштів, що виділяється на придбання цінних паперів виду j.
Зрозуміло, що 
З умови завдання видно, що ціль інвестора - досягнення певного рівня прибутку з мінімальним ризиком. Змістовно ризик - це міра відхилення фактичного прибутку від очікуваного. Тому його можна ототожнити з підступністю прибутку для цінних паперів виду i та виду j. Тут М – позначення математичного очікування.
Математична модель вихідного завдання має вигляд:
при обмеженнях
,
,
,
. (1.8)
Ми отримали відому модель Марковиця для оптимізації структури портфеля цінних паперів.
Модель (1.8.) є прикладами оптимізаційної моделі стохастичного типу (з елементами випадковості).
Приклад1.5.4.
За підсумками організації є n типів однієї з товарів асортиментного мінімуму. У магазин має бути завезений лише один із типів даного товару. Потрібно вибрати той тип товару, який доцільно завести магазин. Якщо товар типу jбуде мати попит, то магазин від його реалізації отримає прибуток р j, якщо ж він не матиме попиту - збиток q j .
Перед моделюванням обговоримо деякі важливі моменти. У цій задачі особою, яка приймає рішення (ЛПР), є магазин. Однак результат (отримання максимального прибутку) залежить не тільки від його рішення, а й від того, чи буде завезений товар користуватися попитом, тобто буде викуплений населенням (передбачається, що з якоїсь причини магазин не має можливості вивчити попит населення. ). Тому населення може розглядатися як друге ЛПР, яке обирає тип товару відповідно до своєї переваги. Найгіршим для магазину «рішенням» населення є: «завезений товар не має попиту». Отже, для врахування різноманітних ситуацій, магазину потрібно вважати населення своїм «противником» (умовно), який має протилежну мету – мінімізувати прибуток магазину.
Отже, маємо завдання ухвалення рішення з двома учасниками, які мають протилежні цілі. Уточнимо, що магазин вибирає один із типів товарів для продажу (всього n варіантів рішень), а населення - один із типів товарів, який користується найбільшим попитом ( nваріантів розв'язків).
Для складання математичної моделі намалюємо таблицю з nрядками та nстовпцями (всього n 2 клітин) і умовимося, що рядки відповідають вибору магазину, а стовпчики – вибору населення. Тоді клітка (i, j)відповідає тій ситуації, коли магазин обирає i-й тип товару ( i-ю рядок), а населення обирає j-й тип товару ( j-ю стовпчик). У кожну клітинку запишемо числову оцінку (прибуток чи збиток) відповідної ситуації з точки зору магазину:
Числа q iнаписані з мінусом для відображення збитків магазину; у кожній ситуації «виграш» населення (умовно) дорівнює «виграшу» магазину, взятому зі зворотним знаком.
Скорочений вигляд цієї моделі такий:
(1.9)
Ми отримали так звану матричну гру. Модель (1.9.) є прикладом ігрових моделей ухвалення рішення.
Анотація: У лекції описано процес побудови математичної моделі. Наведено словесний алгоритм процесу.
Для використання ЕОМ при вирішенні прикладних завдань насамперед прикладна задача має бути "перекладена" формальною математичною мовою, тобто. для реального об'єкта, процесу або системи має бути побудована його математична модель.
Математичні моделі в кількісній формі, за допомогою логіко-математичних конструкцій, описують основні властивості об'єкта, процесу або системи, його параметри, внутрішні та зовнішні зв'язки.
Для побудови математичної моделінеобхідно:
- ретельно проаналізувати реальний об'єкт чи процес;
- виділити його найбільш суттєві риси та властивості;
- визначити змінні, тобто. параметри, значення яких впливають на основні риси та властивості об'єкта;
- описати залежність основних властивостей об'єкта, процесу чи системи від значення змінних за допомогою логіко-математичних співвідношень (рівняння, рівності, нерівності, логіко-математичних конструкцій);
- виділити внутрішні зв'язкиоб'єкта, процесу чи системи за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій;
- визначити зовнішні зв'язки та описати їх за допомогою обмежень, рівнянь, рівностей, нерівностей, логіко-математичних конструкцій.
Математичне моделювання, крім дослідження об'єкта, процесу або системи та складання їх математичного опису, також включає:
- побудова алгоритму, що моделює поведінку об'єкта, процесу чи системи;
- перевірка адекватності моделіта об'єкта, процесу або системи на основі обчислювального та натурного експерименту;
- коригування моделі;
- використання моделі.
Математичний опис досліджуваних процесів та систем залежить від:
- природи реального процесу або системи складається на основі законів фізики, хімії, механіки, термодинаміки, гідродинаміки, електротехніки, теорії пластичності, теорії пружності і т.д.
- необхідної достовірності та точності вивчення та дослідження реальних процесів та систем.
На етапі вибору математичної моделі встановлюються: лінійність та нелінійність об'єкта, процесу чи системи, динамічність чи статичність, стаціонарність чи нестаціонарність, а також ступінь детермінованості досліджуваного об'єкта чи процесу. При математичному моделюванні свідомо відволікаються від конкретної фізичної природи об'єктів, процесів чи систем і переважно зосереджуються на вивченні кількісних залежностей між величинами, що описують ці процеси.
Математична модельніколи не буває повністю тотожною об'єкту, процесу або системі, що розглядається. Заснована на спрощенні, ідеалізації, вона є наближеним описом об'єкта. Тому результати, отримані під час аналізу моделі, мають наближений характер. Їхня точність визначається ступенем адекватності (відповідності) моделі та об'єкта.
Зазвичай починається з побудови та аналізу найпростішої, найбільш грубої математичної моделі об'єкта, що розглядається, процесу або системи. Надалі, у разі потреби, модель уточнюється, робиться її відповідність об'єкту повнішим.
Візьмемо простий приклад. Потрібно визначити площу поверхні письмового столу. Зазвичай для цього вимірюють його довжину та ширину, а потім перемножують отримані числа. Така елементарна процедура фактично означає таке: реальний об'єкт (поверхня столу) замінюється абстрактною математичною моделлю – прямокутником. Прямокутнику приписуються розміри, отримані в результаті вимірювання довжини та ширини поверхні столу, і площа такого прямокутника приблизно приймається за потрібну площу столу.
Однак модель прямокутника для письмового столу – це найпростіша, груба модель. При більш серйозному підході до завдання, перш ніж скористатися визначення площі столу моделлю прямокутника, цю модель потрібно перевірити. Перевірки можна здійснити так: виміряти довжини протилежних сторін столу, а також довжини його діагоналей і порівняти їх між собою. Якщо з необхідним ступенем точності, довжини протилежних сторін і довжини діагоналей попарно рівні між собою, то поверхню столу дійсно можна розглядати як прямокутник . В іншому випадку модель прямокутника доведеться відкинути та замінити моделлю чотирикутника загального вигляду. При більш високій вимогі до точності може виникнути потреба піти в уточненні моделі ще далі, наприклад, врахувати закруглення кутів столу.
За допомогою цього простого прикладу було показано, що математична модельне визначається однозначно досліджуваним об'єктом, процесом чи системою. Для того самого столу ми можемо прийняти або модель прямокутника, або більше складну модельчотирикутника загального виду, або чотирикутника з закругленими кутами. Вибір тієї чи іншої моделі визначається вимогою до точності. З підвищенням точності модель доводиться ускладнювати, враховуючи нові та нові особливості об'єкта, що вивчається, процесу або системи.
Розглянемо інший приклад: дослідження руху кривошипно-шатунного механізму (рис. 2.1).
Рис. 2.1.
Для кінематичного аналізу цього механізму насамперед необхідно побудувати його кінематичну модель. Для цього:
- Замінюємо механізм його кінематичною схемою, де всі ланки замінені жорсткими зв'язками;
- Використовуючи цю схему, ми виводимо рівняння руху механізму;
- Диференціюючи останнє, отримуємо рівняння швидкостей і прискорення, які є диференціальні рівняння 1-го і 2-го порядку.
Запишемо ці рівняння:
де С 0 - крайнє праве положення повзуна С:
r – радіус кривошипу AB;
l - Довжина шатуна BC;
- Кут повороту кривошипа;
Отримані трансцендентні рівнянняпредставляють математичну модель руху плоского аксіального кривошипно-шатунного механізму, засновану на наступних припущеннях, що спрощують:
- нас не цікавили конструктивні форми та розташування мас, що входять до механізму тіл, і всі тіла механізму ми замінили відрізками прямих. Насправді, всі ланки механізму мають масу і досить складну форму. Наприклад, шатун – це складне збірне з'єднання, форма та розміри якого, звичайно, впливатимуть на рух механізму;
- при руху аналізованого механізму ми також враховували пружність які входять у механізм тіл, тобто. всі ланки розглядали як абстрактні абсолютно тверді тіла. Насправді ж, всі ті тіла, що входять у механізм – пружні тіла. Вони під час руху механізму якось деформуватися, у яких можуть виникнути навіть пружні коливання. Це все, звичайно, також впливатиме на рух механізму;
- ми не зважали на похибку виготовлення ланок, зазори в кінематичних парах A, B, C і т.д.
Таким чином, важливо ще раз підкреслити, що чим вищі вимоги до точності результатів розв'язання задачі, тим більша необхідність враховувати при побудову математичної моделіособливості досліджуваного об'єкта, процесу чи системи. Однак, тут важливо під час зупинитися, бо складна математична модельможе перетворитися на важко вирішуване завдання.
Найбільш просто будується модель, коли добре відомі закони, що визначають поведінку та властивості об'єкта, процесу чи системи, і є великий практичний досвідїх застосування.
Більш складна ситуація виникає тоді, коли наші знання про об'єкт, що вивчається, процес або систему недостатні. У цьому випадку при побудову математичної моделідоводиться робити додаткові припущення, які мають характер гіпотез, така модель називається гіпотетичною. Висновки, отримані в результаті дослідження такої гіпотетичної моделі, мають умовний характер. Для перевірки висновків потрібно зіставити результати дослідження моделі на ЕОМ з натурного експерименту. Таким чином, питання застосування деякої математичної моделі до вивчення об'єкта, процесу або системи, що розглядається, не є математичним питанням і не може бути вирішене математичними методами.
Основним критерієм істинності є експеримент, практика у самому широкому значенніцього слова.
Побудова математичної моделіу прикладних завданнях – один із найбільш складних та відповідальних етапів роботи. Досвід показує, що у багатьох випадках правильно вибрати модель - значить вирішити проблему більш ніж наполовину. Складність цього етапу у тому, що він вимагає з'єднання математичних і спеціальних знань. Тому дуже важливо, щоб при вирішенні прикладних завдань математики володіли спеціальними знаннями про об'єкт, а їх партнери, фахівці – певною математичною культурою, досвідом дослідження у своїй галузі, знанням ЕОМ та програмування.
Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче
Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.
Подібні документи
Значення математики у нашому житті. Історія виникнення рахунку. Розвиток методів обчислювальної математики нині. Використання математики інших наук, роль математичного моделювання. Стан математичної освіти у Росії.
стаття, доданий 05.01.2010
Основні поняття математичного моделювання, характеристика етапів створення моделей завдань планування виробництва та транспортних завдань; аналітичний та програмний підходи до їх вирішення. Симплекс-метод розв'язання задач лінійного програмування.
курсова робота , доданий 11.12.2011
Процес вибору чи побудови моделі на дослідження певних властивостей оригіналу за певних умов. Стадія процесу моделювання. Математичні моделі та їх види. Адекватність математичних моделей. Розузгодження між оригіналом та моделлю.
контрольна робота , доданий 09.10.2016
Сутність математичного моделювання. Аналітичні та імітаційні математичні моделі. Геометричний, кінематичний та силовий аналізи механізмів підйомно-навісних пристроїв. Розрахунок на стабільність мобільного сільськогосподарського агрегату.
курсова робота , доданий 18.12.2015
Математичне моделювання завдань комерційної діяльності з прикладу моделювання процесу вибору товару. Методи та моделі лінійного програмування (визначення щоденного плану виробництва продукції, що забезпечує максимальний дохід від продажу).
контрольна робота , доданий 16.02.2011
Математика як надзвичайно потужний та гнучкий інструментщодо навколишнього світу. Роль математики у промисловій сфері, будівництві, медицині та житті людини. Місце математичного моделювання у створенні різноманітних архітектурних моделей.
презентація , доданий 31.03.2015
Основні етапи математичного моделювання - наближеного опису класу явищ чи об'єктів реального світумовою математики. Методи кодування інформації. Побудова пристрою, що дозволяє переводити код азбуки Морзе в машинний код.
курсова робота , доданий 28.06.2011
Застосування системи MathCAD під час вирішення прикладних завдань технічного характеру. Основні засоби математичного моделювання. Рішення диференціальних рівнянь. Використання системи MathCad для реалізації математичних моделей електричних схем.
курсова робота , доданий 17.11.2016
При побудові математичної моделі системи можна назвати кілька етапів.
1-й етап.Постановка задачі. Етапу передує виникнення ситуацій чи проблем, усвідомлення яких призводить до думки їх узагальнення чи вирішення подальшого досягнення будь-якого ефекту. Виходячи з цього, об'єкт описується, наголошуються питання, що підлягають вирішенню, і ставиться мета дослідження. Тут потрібно усвідомити, що ми хочемо отримати в результаті досліджень. Попередньо слід оцінити, чи не можна отримати ці результати іншим, дешевшим або доступним шляхом.
2-й етап.Визначення задачі. Дослідник намагається визначити, якого виду належить об'єкт, визначає параметри стану об'єкта, змінні, характеристики, чинники довкілля. Потрібно пізнати закономірності внутрішньої організації об'єкта, окреслити межі об'єкта, побудувати його структуру. Ця робота називається ідентифікацією системи. Звідси вибирається завдання дослідження, яке може вирішувати питання: оптимізації, порівняння, оцінки, прогнозу, аналізу чутливості, виявлення функціональних співвідношеньі т.п.
Концептуальна модель дозволяє оцінити становище системи у зовнішньому середовищі, виявити необхідні ресурсидля її функціонування, вплив факторів зовнішнього середовища та те, що ми очікуємо на виході.
Необхідність проведення дослідження виникає з реальних ситуацій, що складаються в процесі роботи системи, коли вони у чомусь починають не задовольняти будь-яким старим чи новим вимогам. Якщо недоліки очевидні та відомі методи їх усунення, то немає потреби в дослідженнях.
Виходячи із завдання дослідження, можна визначити призначення математичної моделі, яка має бути побудована для дослідження. Такі моделі можуть вирішувати завдання:
· Виявлення функціональних співвідношень, що полягають у визначенні кількісних залежностей між вхідними факторами моделі і вихідними характеристиками досліджуваного об'єкта;
· Аналізу чутливості, що полягає у встановленні факторів, які більшою мірою впливають на цікаві дослідника вихідні характеристики системи;
· Прогнозу - оцінки поведінки системи при деякому передбачуваному поєднанні зовнішніх умов;
· Оцінки - визначення, наскільки добре досліджуваний об'єкт відповідатиме деяким критеріям;
· Порівняння, що полягає в зіставленні обмеженого числа альтернативних варіантівсистем або в порівнянні декількох запропонованих принципів або методів дії;
· Оптимізації, що полягає в точному визначеннітакого поєднання змінних керування, при яких забезпечується екстремальне значення цільової функції.
Вибір завдання визначає процес створення та експериментальної перевірки моделі.
Будь-яке дослідження має починатися з побудови плану, що включає обстеження системи та аналіз її функціонування. У плані мають бути передбачені:
· Опис функцій, що реалізуються об'єктом;
· Визначення взаємодій всіх систем та елементів об'єкта;
· Визначення залежності між вхідними та вихідними змінними та вплив змінних управляючих впливів на ці залежності;
· Визначення економічних показниківфункціонування системи.
Результати обстеження системи та довкіллявидаються ввигляді опису процесу функціонування, що використовується для ідентифікації системи. Ідентифікувати систему - значить виявити та вивчити її, а також:
Отримати більше повну характеристикусистеми та її поведінки;
пізнати об'єктивні закономірності її внутрішньої організації;
Окреслити її межі;
Вказати на вхід, процес та вихід;
Визначити обмеження на них;
Побудувати її структурну та математичну моделі;
Описати її якоюсь формальною абстрактною мовою;
Визначити цілі, що примушують зв'язки, критерії дії системи.
Після ідентифікації системи будується концептуальна модель, що є «ідеологічною» основою майбутньої математичної моделі. Саме в ній відображається склад критеріїв оптимальності та обмежень, що визначають цільову спрямованість моделі.Переклад на етапі формалізації якісних залежностей у кількісні перетворює критерій оптимальності на цільову функцію, обмеження - на рівняння зв'язку, концептуальну модель - на математичну.
На основі концептуальної моделі можна збудувати факторнумодель, яка встановлює логічний зв'язок між параметрами об'єкта, вхідними та вихідними змінними, факторами зовнішнього середовища та параметрами управління, а також враховувати зворотні зв'язкив системі.
3-й етап. Складання математичної моделі.Вигляд математичної моделі значною мірою залежить від мети дослідження. Математична модель може бути у вигляді математичного виразу, що представляє собою алгебраїчне рівняння, або нерівність, що не має розгалуження обчислювального процесу при визначенні будь-яких змінних стану моделі, цільової функції та рівнянь зв'язку.
Для побудови такої моделі формулюються такі поняття:
· критерій оптимальності- показник, вибраний дослідником, що має, як правило, екологічний зміст, який служить для формалізації конкретної мети управління об'єктом дослідження та виражається за допомогою цільової функції;
· цільова функція - характеристика об'єкта, встановлена з умови подальшого пошуку критерію оптимальності, що математично зв'язує між собою ті чи інші фактори об'єкта дослідження. Цільова функція та критерій оптимальності - різні поняття. Вони можуть бути описані функціями одного і того ж виду або різними функціями;
· обмеження- межі, що звужують область здійсненних, прийнятних або допустимих рішень та фіксують основні внутрішні та зовнішні властивостіоб'єкт. Обмеження визначають область дослідження, перебігу процесів, межі зміни параметрів та факторів об'єкта.
Наступним етапомпобудови системи є формування математичної моделі, що включає кілька видів робіт: математичну формалізацію, чисельне уявлення, аналіз моделі і вибір методу її вирішення.
Математична формалізаціяздійснюється за концептуальною моделлю. При формалізації розглядають три основні ситуації:
1) відомі рівняння, що описують поведінку об'єкта. У цьому випадку рішенням прямої задачі можна знайти реакцію об'єкта на вхідний сигнал;
2) зворотне завдання, коли за заданим математичним описом і відомою реакції необхідно знайти вхідний сигнал, що викликає цей відгук;
3) математичний опис об'єкта невідомий, але є чи можуть бути задані сукупності вхідних та відповідних їм вихідних сигналів. У цьому випадку маємо справу із завданням ідентифікації об'єкта.
При моделюванні виробничо-екологічних об'єктів у третій ситуації під час вирішення завдання ідентифікації використовується підхід, запропонований М. Вінером, і відомий як метод «чорної скриньки». Як «чорний ящик» розглядається об'єкт загалом, внаслідок його складності. Так як внутрішній пристрійоб'єкта невідомо, чи можемо вивчити «чорну скриньку», знайшовши входи та виходи. Зіставляючи входи та виходи, можна написати співвідношення
Y = АХ,
де X -вектор вхідних параметрів; Y -вектор вихідних параметрів; А- Оператор об'єкта, що перетворює Хв Y.Для опису об'єкта як математичної залежності у завданнях ідентифікації використовуються методи регресивного аналізу. При цьому можливий опис об'єкта безліччю математичних моделей, оскільки не можна винести обґрунтованого судження про його внутрішній устрій.
Основою вибору методу математичного опису є знання фізичної природи функціонування описуваного об'єкта досить широкого кола еколого-математичних методів, можливостей та особливостей ЕОМ, де планується проведення моделювання. Для багатьох розглянутих явищ є досить багато відомих математичних описів та типових математичних моделей. При розвиненій системі математичного забезпечення ЕОМ цілий рядпроцедур моделювання можна здійснити за допомогою стандартних програм.
Оригінальні математичні моделі можна написати на основі проведених досліджень систем та апробованих у реальній обстановці. Для нових досліджень такі моделі коригуються під нові умови.
Математичні моделі елементарних процесів, фізична природа яких відома, записуються у вигляді тих формул і залежностей, які встановлені для цих процесів. Як правило, статичні завдання виражаються у вигляді алгебраїчних виразів, динамічні - у вигляді диференціальних або звичайно різницевих рівнянь.
Чисельне уявленнямоделі проводиться для підготовки її до реалізації на ЕОМ. Завдання числових значень труднощів не представляє. Ускладнення зустрічаються при компактному поданні великої статистичної інформації та результатів експериментів.
Основними методами перетворення табличних значеньдо аналітичного виду є: інтерполяція, апроксимація та екстраполяція.
Інтерполяція -наближене або точне знаходження будь-якої величини за відомими окремими значеннями цієї або інших величин, пов'язаних з нею.
Апроксимація- Заміна одних математичних об'єктів іншими, в тому чи іншому сенсі близькими до вихідних. Апроксимація дозволяє досліджувати числові характеристики та якісні властивості об'єкта, зводячи завдання до вивчення більш простих чи зручніших об'єктів.
Екстраполяція -продовження функції межі її області визначення, у якому продовжена функція належить заданому класу. Екстраполяція функції зазвичай проводиться за допомогою формул, в яких використана інформація про поведінку функцій у деякому кінцевому наборі точок, які називаються вузлами екстраполяції, що належать до області визначення.
Наступним етапом побудови є аналіз отриманої моделіі вибір методуїї вирішення. Основою обчислення значень вихідних показників моделі служить складений з її основі алгоритм розв'язання завдання ЕОМ. Розробка та програмування такого алгоритму, як правило, не зустрічають важливих труднощів.
Більш складною є організація обчислювального процесу для визначення вихідних характеристик, що лежать у допустимих областяхособливо для багатофакторних моделей. Ще складніше - пошук рішень щодо оптимізаційних моделей. Найдосконаліша і найадекватніша описуваному об'єкту математична модель без знаходження оптимального значеннямарна, вона може бути використана.
Основну роль при розробці алгоритму пошуку оптимальних рішень відіграють характер факторів математичної моделі, чисуї критеріїв оптимальності, вид цільової функції та рівнянь зв'язку. Вид цільової функції та обмежень визначає вибір одного та трьох основних методів вирішення еколого-математичних моделей:
· Дослідження за допомогою чисельних методів;
· Дослідження алгоритмічних моделей за допомогою методів експериментальної оптимізації на ЕОМ.
Аналітичні методивідрізняються тим, що крім точного значенняшуканих змінних можуть давати оптимальне рішення як готової формули, куди входять характеристики довкілля і початкові умови, які дослідник може змінювати у межах, не змінюючи самої формули.
Чисельні методидають можливість отримати рішення шляхом багаторазового обчислення за певним алгоритмом, що реалізує той чи інший чисельний метод. Як вихідні дані для обчислення використовуються числові значення параметра об'єкта, зовнішнього середовища та початкових умов. Чисельні методи є ітеративними процедурами: щодо наступного кроку розрахунків (при новому значенні керованих змінних) користуються результати попередніх розрахунків, що дозволяє отримувати процесі обчислень поліпшені результати і цим знаходити оптимальне рішення.
Властивості конкретної алгоритмічної моделі,на якій базується алгоритм пошуку оптимального рішення, наприклад її лінійність або опуклість, можуть бути визначені тільки в процесі експериментування з нею, у зв'язку з чим рішення моделей цього класу використовуються звані методи експериментальної оптимізації на ЕОМ. При використанні цих методів проводиться покрокове наближення до оптимального рішення на основі результатів розрахунку за алгоритмом, що моделює роботу досліджуваної системи. Методи базуються на засадах пошуку оптимальних рішеньв чисельних методів, але на відміну від них всі дії з розробки алгоритму та програми оптимізації виконує розробник моделі.
Імітаційне моделюваннязадач, що містять випадкові параметри, прийнято називати статистичним моделюванням.
Заключним кроком створення моделі є складання її опису, що містить відомості, необхідні вивчення моделі, її подальшого використання, і навіть всі обмеження і припущення. Ретельний та повний облік факторів при побудові моделі та формулюванні припущень дозволяє оцінити точність моделі, уникнути помилок під час інтерпретації її результатів.
· 4-й етап. Обчислення.При розв'язанні задачі необхідно ретельно розібратися з розмірністю всіх величин, що входять в математичну модель, і визначити межі (межі), в яких лежатиме цільова функція, а також необхідну точність обчислень. Якщо можливо, то обчислення проводяться за незмінних умов кілька разів, щоб переконатися, що цільова функція не змінюється.
· 5-й етап. Видача результатів.Результати дослідження об'єкта можуть видаватися в усній чи письмовій формі. Вони повинні включати в себе короткий описоб'єкта дослідження, цілі дослідження, математичну модель, припущення, прийняті під час виборів математичної моделі, основні результати обчислень, узагальнення та висновки.
