Градієнт ліній рівняння цільової функції вказує напрямок. Як знайти градієнт функції

Градієнт функції- Векторна величина, знаходження якої пов'язане з визначенням приватних похідних функції. Напрямок градієнта вказує шлях якнайшвидшого зростання функції від однієї точки скалярного поля до іншої.

Інструкція

1. Для вирішення задачі на градієнт функції застосовуються способи диференціального обчислення, А саме перебування приватних похідних першого порядку за трьома змінними. У цьому передбачається, що сама функція та її приватні похідні мають властивістю безперервності у сфері визначення функції.

2. Градієнт – це вектор, напрямок якого вказує напрямок максимально стрімкого зростання функції F. Для цього на графіку вибираються дві точки M0 і M1, які є кінцями вектора. Розмір градієнта дорівнює швидкості зростання функції від точки M0 до точки M1.

3. Функція диференційована у всіх точках цього вектора, отже, проекціями вектора на координатних осях є її приватні похідні. Тоді формула градієнта виглядає подальшим чином: grad = (? F /? x) i + (? F /? y) j + (? F/? z) k, де i, j, k - координати одиничного вектора. Інакше кажучи, градієнт функції – це вектор, координатами якого є її приватні похідні grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).

4. Приклад1.Нехай задана функція F = sin(х z?)/y. Потрібно виявити її градієнт у точці (?/6, 1/4, 1).

5. Рішення. Визначте приватні похідні за будь-якою змінною: F'_х = 1/y соs(х z?) z?; F'_y = sin(х z?) (-1) 1/(y?); 1/y соs(х z?) 2 х z.

6. Підставте знамениті значення координат точки: F'_x = 4 соs (? / 6) = 2? 3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z = 4 соs(?/6) 2?/6 = 2?/?3.

7. Застосуйте формулу градієнта функції: grad F = 2? 3 i - 8 j + 2? /? 3 k.

8. Приклад2. Виявіть координати градієнта функції F = yarctg (z/x) у точці (1, 2, 1).

9. Рішення. F'_х = 0 аrсtg (z/х) + y (аrсtg(z/х))'_х = y 1/(1 + (z/х)?) (-z/х?) = -y z/ (х? (1 + (z/х)?)) = -1; (аrсtg(z/х))'_z = y 1/(1 + (z/х)?) 1/х = y/(х (1 + (z/х)?)) = 1.grad = (- 1,? / 4, 1).

Градієнт скалярного поля є величиною векторної. Таким чином, для його знаходження потрібно визначити всі компоненти відповідного вектора, виходячи з знань про розподіл скалярного поля.

Інструкція

1. Прочитайте у підручнику з вищої математики, що є градієнтом скалярного поля. Як відомо, дана векторна величина має напрямок, що характеризується максимальною швидкістю спаду скалярної функції. Такий толк даної векторної величини обгрунтовується виразом визначення її компонент.

2. Пам'ятайте, кожен вектор визначається величинами його компонент. Компоненти вектора є реально проекціями цього вектора ту чи іншу координатну вісь. Таким чином, якщо розглядається тривимірний простір, то вектор має мати три компоненти.

3. Запишіть, як визначаються компоненти вектора, який є градієнтом певного поля. Вся координат такого вектора дорівнює похідної скалярного потенціалу по змінній, координата якої розраховується. Тобто, якщо необхідно визначити "іксову" компоненту вектора градієнта поля, то потрібно продиференціювати скалярну функцію по змінній "ікс". Зверніть увагу, що похідна має бути приватною. Це означає, що з диференціюванні інші змінні, які у ньому, треба вважати константами.

4. Напишіть вираз для скалярного поля. Як відомо, даний термінпередбачає кожного лише скалярну функцію кількох змінних, є також скалярними величинами. Число змінних скалярної функції обмежено розмірністю простору.

5. Продиференціюйте окремо скалярну функцію за будь-якою змінною. В результаті у вас вийде три нові функції. Впишіть будь-яку функцію для вектора градієнта скалярного поля. Кожна з отриманих функцій є показником при одиничному векторі даної координати. Таким чином, фінальний вектор градієнта має виглядати як багаточлен із показниками у вигляді похідних функції.

При розгляді питань, що включають уявлення градієнта, частіше кожного функції сприймають як скалярні поля. Отже слід запровадити відповідні позначення.

Вам знадобиться

• - Буман;
• - Ручка.

Інструкція

1. Нехай функція задається трьома аргументами u = f (x, y, z). Приватну похідну функції, наприклад, x, визначають як похідну з цього доводу, отриману при фіксуванні інших доводів. Для решти аргументів подібно. Позначення приватної похідної записується як: дf/дх = u’x …

2. Повний диференціал дорівнюватиме du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz.Приватні похідні можна розуміти, як похідні за напрямами координатних осей. Відтак виникає питання про знаходження похідної за напрямом заданого вектора s у точці M(x, y, z) (не забувайте, що напрямок задає одиничний вектор-орт s^o). При цьому вектор-диференціал доводів (dx, dy, dz)=(дscos(альфа), дsсоs(бета), дsсоs(гама)).

3. Розглядаючи вигляд повного диференціалу du, можна зробити висновок, що похідна по напрямку s в точці М дорівнює: (д/дs) | M = ((дf / дх) | (бета) +((дf/дz)|M) соs(гама). (Див. рис.1а).

4. Визначення похідної за напрямом, вважаючи точку М змінної, можна переписати у вигляді скалярного добутку: (дu/дs)=((дf/дх, дf/дy,дf/дz), (соs(альфа), соs(бета), соs (Гама))) = (grad u, s ^ ​​o). Цей вираз буде об'єктивним для скалярного поля. Якщо легко розглядається функція, то gradf - це вектор, що має координати, що збігаються з приватними похідними f(x, y, z). дz)=)=(дf/дх)i+(дf/дy)j +(дf/дz)k. Тут (i, j, k) – орти координатних осей у прямокутній декартовій системі координат.

5. Якщо використовувати диференціальний вектор-оператор Гамільтона набла, то gradf можна записати, як збільшення цього вектора-оператора на скаляр f (див. рис. 1б). З погляду зв'язку gradf c похідної за напрямом, рівність (gradf, s^o)=0 допустимо, якщо ці вектори ортогональні. Отже gradf найчастіше визначають, як напрямок найшвидшого метаморфози скалярного поля. А з погляду диференціальних операцій (gradf – одна з них), властивості gradf точно повторюють властивості диференціювання функцій. Зокрема, якщо f=uv, gradf=(vgradu+u gradv).

Відео на тему

Градієнтце інструмент, що у графічних редакторах виконує заливку силуету плавним переходом одного кольору в інший. Градієнтможе надати силуету результату обсягу, імітувати освітлення, відблиски світла лежить на поверхні предмета чи результат заходу на задньому плані фотографии. Цей інструмент має широке використання, Тому для обробки фотографій або створення ілюстрацій дуже значно навчиться ним користуватися.

Вам знадобиться

• Комп'ютер, графічний редактор Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net чи інший.

Інструкція

1. Відкрийте у програмі зображення чи зробіть нове. Зробіть силует або виділіть потрібну область на зображенні.

2. Увімкніть інструмент градієнта на панелі інструментів графічного редактора. Розмістіть курсор мишки на точку всередині виділеної області чи силуету, у якій розпочинатиметься 1-й колір градієнта. Натисніть та утримуйте ліву клавішу мишки. Переміщайте курсор у точку, де градієнт повинен перейти в кінцевий колір. Відпустіть ліву клавішу мишки. Виділений силует заповнить заливку градієнтом.

3. Градієнту можна встановити прозорість, кольори та їх співвідношення в певній точці заливки. Для цього відкрийте вікно редагування градієнта. Щоб відкрити вікно редагування у Photoshop – натисніть на прикладі градієнта в панелі «Параметри».

4. У вікні у вигляді прикладів відображаються доступні варіантиградієнт заливки. Щоб відредагувати один з варіантів, виберіть його клацанням мишки.

5. У нижній частині вікна відображається приклад градієнта у вигляді широкої шкали, де розташовані повзунки. Повзунки позначають точки, у яких градієнт повинен мати задані коляції, а інтервалі між повзунками колір рівномірно переходить із заданого у першій точці до кольору 2-ї точки.

6. Повзунки, які розташовані у верхній частині шкали, задають прозорість градієнта. Щоб змінити прозорість, натисніть по потрібному повзунку. Під шкалою з'явиться поле, у яке введіть необхідний рівень прозорості у відсотках.

7. Повзунки в нижній частині шкали задають кольори градієнта. Клікнувши по одному з них, ви зможете віддати перевагу потрібний колір.

8. Градієнтможе мати кілька кольорів переходу. Щоб задати ще один колір - клацніть по вільному місцюна нижній частині шкали. На ній з'явиться ще один повзунок. Встановіть для нього необхідний колір. Шкала відобразить приклад градієнта із ще однією точкою. Ви можете пересувати повзунки, утримуючи їх за допомогою лівої кнопки мишки, щоб досягти потрібного поєднання.

9. Градієнтбувають декілька типів, які можуть надати форму плоским силуетам. Скажімо, щоб надати колу форму кулі застосовується радіальний градієнт, а щоб надати форму конуса - конусоподібний. Щоб надати поверхні ілюзію опуклості можна користуватися дзеркальним градієнтом, а ромбовидний градієнт може використовуватися для створення відблисків.

Відео на тему

Відео на тему

Якщо кожній точці простору чи частини простору визначено значення деякої величини, то кажуть, що вказано поле даної величини. Поле називається скалярним, якщо аналізована величина скалярна, тобто. цілком характеризується своїм числовим значенням. Наприклад, поле температур. Скалярне поле визначається скалярною функцією точки і = /(М). Якщо в просторі введено декартову систему координат, то є функція трьох змінних х, yt z - координат точки М: Визначення. Поверхнею рівня скалярного поля називається безліч точок, у яких функція f(M) приймає те саме значення. Зрівняння поверхні рівня Приклад 1. Знайти поверхні рівня скалярного поля ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта -4 Згідно з визначенням рівнянням поверхні рівня буде. Це рівняння сфери (з Ф 0) із центром на початку координат. Скалярне поле називається плоским, якщо у всіх площинах, паралельних до деякої площини, поле одне й те саме. Якщо зазначену площину прийняти за площину хОу, то функція поля не залежатиме від координати z, тобто буде функцією тільки аргументів х і у, Плоске поле можна характеризувати допомогою ліній рівня - множини точок площини, в яких функція / (ж, у) має одне і також значення. Рівняння лінії рівня - Приклад 2. Знайти лінії рівня скалярного поля Лінії рівня задаються рівняннями При с = 0 одержуємо пару прямих одержуємо сімейство гіпербол (рис. 1). 1.1. Похідна за напрямом Нехай є скалярне поле, яке визначається скалярною функцією і = / (Af). Візьмемо точку Afo і виберемо напрямок, що визначається вектором I. Візьмемо іншу точку М так, щоб вектор М0М був паралельний вектору 1 (рис. 2). Позначимо довжину вектора МоМ через А/, а збільшення функції /(Af) - /(Afo), відповідне переміщенню Д1, через Ді. Відношення визначає середню швидкість зміни скалярного поля на одиницю довжини поданому напрямку Нехай тепер прагне нуля так, щоб вектор М0М весь час залишався паралельним вектору I. Визначення. Якщо при Д/О існує кінцева межа відношення (5), то його називають похідною функцією в даній точці Afo поданому напрямку I і позначають символом зг! ^. Так що, за визначенням, це визначення не пов'язане з вибором системи координат, тобто носить ** варіантний характер. Знайдемо вираз для похідної у напрямку декартової системи координат. Нехай функція / диференційована у точці. Розглянемо значення /(Af) у точці. Тоді повне збільшення функції можна записати в наступному вигляді: а символи означають, що приватні похідні обчислені в точці Afo. Звідси Тут величини jfi, суть напрямні косинуси вектора. Так як вектори МоМ і I сонаправлены, їх напрямні косинуси однакові: Так як M Afo, осгаваясь весь час на прямий, паралельної вектору 1, то кути постійні тому Остаточно з рівностей (7) і (8) отримуємо Еамуан іс 1. Приватні похідні, є похідними функції і за напрямами координатних осей ссчлвешне нно- Приклад 3. Знайти похідну функції у напрямку до точки Вектор має довжину. Його напрямні косинуси: За формулою (9) будемо мати Той факт, що означає, що скалярне поле в точці в даному напрямку віку- Для плоского поля похідна за напрямом I в точці обчислюється за формулою де а - кут, утворений вектором I з віссю Ох. Зммчмм 2. Формула (9) для обчислення похідної за напрямом I в даній точці Afo залишається в силі і тоді, коли точка М прагне точки Мо по кривій, для якої вектор I є дотичним у точці ПРИШР 4. Обчислити похідну скалярного поля в точці Afo(l, 1). належить параболі за напрямом цієї кривої (у напрямку зростання абсциси). тим самим похідна від функції і за напрямом 1 дорівнює скалярному творуградієнта функції і(М) на орт 1° напрямку I. 2.1. Основні властивості градієнта Теорема 1. Градієнт скалярного поля перпендикулярний до рівня (або до лінії рівня, якщо поле плоске). (2) Проведемо через довільну точку М поверхню рівня і = const і виберемо на цій поверхні гладку криву L, яка проходить через точку М (рис. 4). Нехай I - векгор, дотичний до кривої L у точці М. Оскільки поверхні рівня і(М) = і(М|) для будь-якої точки Мj е L, то З іншого боку, = (gradu, 1°). Тож. Це означає, що вектори grad і і 1° ортогональні, Отже, векгор grad і ортогональний до будь-якої дотичної до поверхні рівня в точці М. Тим самим він ортогональний до поверхні рівня в точці М. Теорема 2. Градієнт спрямований у бік зростання функції поля . інваріантне визначенняградієнт. Визначення. Градієнт скалярного поля є вектор, спрямований нормалі до поверхні рівня у бік зростання функції поля і має довжину, рівну найбільшої похідної за напрямом (у цій точці). Нехай – одиничний вектор нормалі, спрямований у бік зростання поля. Приклад 2. Знайти градієнт відстані - деяка фіксована точка, a M (x, y, z) - поточна. 4 Маємо де – одиничний вектор напряму. Правила обчислення градієнта де з - постійне число. Наведені формули виходять безпосередньо з визначення градієнта та властивостей похідних. За правилом диференціювання твору Доказ аналогічний доказу властивості Нехай F(і) - диференційованаскалярна функція . Тоді 4 За визначенням фадієнта маємо Застосуємо до всіх доданків правої частини правило диференціюванняскладної функції

. Отримаємо Зокрема, Формула (6) випливає з формули Приклад 3. Майти похідну за напрямком радіус-воктора г від функції За формулою (3) а за формулою В результаті отримаємо, що Приклад 4. Нехай дано плоске скалярне поле - відстані від деякої точки площині до двох фіксованих точок цієї площини. Розглянемо довільний еліпс з фокусами Fj і F] і доведемо, що будь-який промінь своту, що вийшов з одного фокусу еліпса, після відбиття від еліпса потрапляє до іншого його фокусу. Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.= Нехай(Z) F M- функція, визначена в деякій околиці точки={ М(у; х);; L} Cos  , 2= ); - функція, визначена в деякій околиці точки- Спрямована пряма, що проходить через точку М; М1(х1; у1), де х1=х+х та у1=у+у– точка на прямій - функція, визначена в деякій околиці точки;  - функція, визначена в деякій околиці точки- Величина відрізка ММ1;  Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.= Нехай(х+х, у+у)-Нехай(X, Y) - Збільшення функції Нехай(Z) у точці М(х; у).

Визначення. Межа відносини, якщо вона існує, називається Похідної функції Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса. = Нехай ( Z ) у точці Z ( X ; Y ) за напрямом вектора - функція, визначена в деякій околиці точки .

Позначення.

Якщо функція Нехай(Z) диференційована в точці М(х; у), то в точці М(х; у)існує похідна за будь-яким напрямом - функція, визначена в деякій околиці точки, що виходить з М; обчислюється вона за такою формулою:

(8)

Де М(у; х); І L- напрямні косинуси вектора - функція, визначена в деякій околиці точки.

Приклад 46. Обчислити похідну функції Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.= X2 + Y2 Xу точці М(1; 2)за напрямом вектора ММ1, де М1– точка з координатами (3; 0).

. Знайдемо одиничний вектор - функція, визначена в деякій околиці точки, має цей напрямок:

Звідки М(у; х);= ; L=- .

Обчислимо приватні похідні функції у точці М(1; 2):

За формулою (8) отримаємо

Приклад 47. Знайти похідну функції U = Xy2 Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.3 у точці М(3; 2; 1)У напрямку вектора MN, де N(5; 4; 2) .

. Знайдемо вектор та його напрямні косинуси:

Обчислимо значення приватних похідних у точці М:

Отже,

Визначення. Градієнтом ФункціїЛінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.= Нехай(Z) у точці М(х; у) називається вектор, координати якого рівні відповідним приватним похідним і взятим у точці М(х; у).

Позначення.

Приклад 48. Знайти градієнт функції Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.= X2 +2 Y2 -5 у точці М(2; -1).

Рішення. Знаходимо приватні похідні: та їх значення у точці М(2; -1):

Приклад 49. Знайти величину та напрямок градієнта функції у точці

Рішення.Знайдемо приватні похідні та обчислимо їх значення у точці М:

Отже,

Аналогічно визначається похідна за напрямком для функції трьох змінних U= Нехай(X, Y, Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.) , виводяться формули

Вводиться поняття градієнта

Підкреслимо, що Основні властивості градієнта функції важливіше для аналізу економічних оптимізаційних: у напрямку градієнта функція зростає. У економічні завданнязнаходять застосування такі властивостіградієнта:

1) Нехай задана функція Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.= Нехай(X, Y) має приватні похідні в області визначення. Розглянемо деяку точку М0(х0, у0)з галузі визначення. Значення функції у цій точці нехай дорівнює Нехай(X0 , Y0 ) . Розглянемо графік функції. Через точку (X0 , Y0 , Нехай(X0 , Y0 )) тривимірного простору проведемо площину, що стосується поверхні графіка функції. Тоді градієнт функції, обчислений у точці (х0, у0), що розглядається геометрично як вектор, прикладений у точці (X0 , Y0 , Нехай(X0 , Y0 )) , буде перпендикулярний дотичній площині. Геометричну ілюстрацію наведено на рис. 34.

2) Градієнт функції Нехай(X, Y) у точці М0(х0, у0)вказує напрямок найбільш швидкого зростання функції в точці М0. Крім того, будь-який напрямок, що становить з градієнтом гострий кут, є напрямом зростання функції у точці М0. Іншими словами, малий рух з точки (х0, у0)за напрямом градієнта функції у цій точці веде до зростання функції, причому у найбільшою мірою.

Розглянемо вектор, протилежний градієнту. Він називається Антиградієнтом . Координати цього вектора дорівнюють:

Антиградієнт функції Нехай(X, Y) у точці М0(х0, у0)вказує напрямок найбільш швидкого зменшення функції в точці М0. Будь-який напрям, що утворює гострий кут з антиградієнтом, є напрямом зменшення функції в цій точці.

3) При дослідженні функції часто виникає необхідність знаходження таких пар (х, у)з області визначення функції, у яких функція приймає однакові значення. Розглянемо безліч точок (X, Y) з області визначення функції Нехай(X, Y) , таких, що Нехай(X, Y)= Const, де запис “ Const” означає, що значення функції зафіксовано і дорівнює деякому числу з області значень функції.

Визначення. Лінією рівня функції U = Нехай ( X , Y ) називається лініяНехай(X, Y)=С на площиніXOy, у точках якої функція зберігає постійне значенняU= C.

Лінії рівня геометрично зображуються на площині зміни незалежних змінних у вигляді кривих ліній. Отримання ліній рівня можна уявити наступним чином. Розглянемо безліч З, Що складається з точок тривимірного простору з координатами (X, Y, Нехай(X, Y)= Const), які, з одного боку, належать графіку функції Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.= Нехай(X, Y), з іншого - лежать у площині, паралельній координатній площині ХОУі віддаленої від неї на величину, рівну заданій константі. Тоді для побудови лінії рівня достатньо поверхню графіка функції перетнути площиною Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.= Constта лінію перетину спроектувати на площину ХОУ. Проведена міркування є обґрунтуванням можливості безпосередньо будувати лінії рівня на площині. ХОУ.

Визначення. Безліч ліній рівня називають Картою ліній рівня.

Добре відомі приклади ліній рівня – рівні однакових висот топографічної картита лінії однакового барометричного тиску на карті погоди.

Визначення. Напрямок, вздовж якого швидкість збільшення функції максимальна, називається «переважним» напрямком, або Напрямом якнайшвидшого зростання.

«Переважний» напрямок задається вектором-градієнтом функції. На рис. 35 зображені максимум, мінімум і сідлова точка задачі оптимізації функції двох змінних за відсутності обмежень. У нижній частині малюнка зображені лінії рівня та напрямки якнайшвидшого зростання.

Приклад 50. Знайти лінії рівня функції U= X2 + Y2 .

Рішення.Рівняння сімейства ліній рівня має вигляд X2 + Y2 = C (C>0) . Надаючи Зрізні дійсні значення, отримаємо концентричні кола з центром на початку координат.

Побудова ліній рівня. Їх аналіз знаходить широке застосуванняв економічних завданнях мікро- та макрорівня, теорії рівноваги та ефективних рішень. Ізокости, ізокванти, криві байдужості – це всі лінії рівня, побудовані для різних економічних функцій.

Приклад 51. Розглянемо таку економічну ситуацію. Нехай виробництво продукції описується Функцією Кобба-Дугласа Нехай(X, Y)=10х1/3у2/3, де Х– кількість праці, У- Кількість капіталу. На придбання ресурсів виділено 30 грн. од., вартість праці становить 5 у. од., капіталу – 10 у. од. Поставимо питання: який найбільший випуск можна отримати в даних умовах? Тут під «даними умовами» маю на увазі задані технології, ціни ресурси, вид виробничої функції. Як зазначалося, функція Кобба-Дугласає монотонно зростаючою щодо кожної змінної, т. е. збільшення кожного виду ресурсу веде до зростання випуску. У цих умовах ясно, що збільшувати придбання ресурсів можна доти, доки не вистачає грошей. Набори ресурсів вартість яких становить 30 у. од., задовольняють умові:

5х + 10у = 30,

Т. е. визначають лінію рівня функції:

G(X, Y) = 5х + 10у.

З іншого боку, за допомогою ліній рівня Функції Кобба-Дугласа (Рис. 36) можна показати зростання функції: у будь-якій точці лінії рівня напрям градієнта - це напрям найбільшого зростання, а для побудови градієнта в точці досить провести дотичну до лінії рівня в цій точці, побудувати перпендикуляр до дотичної і вказати напрям градієнта. З рис. 36 видно, що рух лінії рівня функції Кобба-Дугласа вздовж градієнта слід проводити доти, доки вона не стане дотичною до лінії рівня 5х + 10у = 30. Таким чином, за допомогою понять лінії рівня, градієнта, властивостей градієнта можна виробити підходи до найкраще використанняресурсів з погляду збільшення обсягів своєї продукції.

Визначення. Поверхня рівня функції U = Нехай ( X , Y , Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса. ) називається поверхняНехай(X, Y, Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.)=С, у точках якої функція зберігає постійне значенняU= C.

Приклад 52. Знайти поверхні рівня функції U= X2 + Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.2 - Y2 .

Рішення.Рівняння сімейства поверхонь рівня має вигляд X2 + Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.2 - Y2 =С. Якщо З=0, то отримуємо X2 + Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.2 - Y2 =0 - Конус; якщо C<0 , то X2 + Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо. Тим самим градієнт заданого поля дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, побудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.2 - Y2 =С -Сімейство двопорожнинних гіперболоїдів.

Деякі поняття та терміни використовуються суто у вузьких рамках. Інші ж визначення зустрічаються в областях, різко протилежних. Так, наприклад, поняттям "градієнт" користується і фізик, і математик, і фахівець з манікюру або "Фотошопа". Що таке градієнт як поняття? Давайте розумітися.

Що кажуть словники?

Що таке "градієнт", спеціальні тематичні словники трактують у співвідношенні зі своєю специфікою. У перекладі з латинської мови це слово означає - "той, що йде, росте". А "Вікіпедія" визначає це поняття як "вектор, що вказує напрям зростання величини". У тлумачних словниках бачимо значення цього як " зміна будь-якої величини однією значення " . Поняття може нести як кількісне, і якісне значення.

Якщо коротко, це плавний поступовий перехід будь-якої величини одне значення, прогресивне і безперервне зміна у кількості чи напрямі. Вектор обчислюють математики, метеорологи. Це поняття застосовують в астрономії, медицині, мистецтві, комп'ютерній графіці. Під подібним терміном визначаються зовсім подібні види діяльності.

Математичні функції

Що таке градієнт функції математики? Це вказує напрям зростання функції в скалярному полі від значення до іншого. Розмір градієнта розраховується з допомогою визначення приватних похідних. Для з'ясування максимально швидкого напряму зростання функції графіку вибираються дві точки. Вони визначають початок та кінець вектора. Швидкість зростання значення від однієї точки до іншої – це величина градієнта. Математичні функції, що ґрунтуються на розрахунках цього показника, використовуються у векторній комп'ютерній графіці, об'єктами якої є графічні зображення математичних об'єктів.

Що таке градієнт у фізиці?

Поняття градієнта поширене у багатьох галузях фізики: градієнт оптики, температури, швидкості, тиску тощо. буд. У цій галузі поняття означає міру зростання чи спадання величини на одиницю. Обчислюється розрахунками як різниця між двома показниками. Розглянемо деякі з величин докладніше.

Що таке градієнт потенціалу? У роботі з електростатичним полем визначаються дві характеристики: напруженість (силова) та потенціал (енергетична). Ці різні величини пов'язані із середовищем. І хоча вони і визначають різні характеристики, все ж таки мають зв'язок між собою.

Для визначення напруженості силового поля використовується градієнт потенціалу – величина, яка визначає швидкість зміни потенціалу за напрямом силової лінії. Як розрахувати? Різниця потенціалів двох точок електричного поля обчислюється по відомому напрузі за допомогою вектора напруженості, який дорівнює градієнту потенціалу.

Терміни метеорологів та географів

Вперше поняття градієнта було застосовано саме метеорологами для визначення зміни величини та напряму різних метеорологічних показників: температури, тиску, швидкості та сили вітру. Він є мірою кількісної зміни різних величин. У математику термін ввів Максвел вже значно пізніше. У визначенні погодних умов існують поняття вертикального та горизонтального градієнтів. Розглянемо їх докладніше.

Що таке вертикальний градієнт температури? Це величина, яка показує зміну показників, обчислену на висот в 100 м. Може бути як позитивного напрямку, так і негативного, на відміну від горизонтального, який завжди позитивний.

Градієнт вказує біля величину чи кут ухилу. Обчислюється як відношення висоти до довжини проекції колії на певній ділянці. Виражається у відсотках.

Медичні показники

Визначення "температурний градієнт" можна зустріти також серед медичних термінів. Він показує різницю у відповідних показниках внутрішніх органів та поверхні тіла. У біології фізіологічний градієнт фіксує зміну у фізіології будь-якого органу або організму в цілому на будь-якій стадії його розвитку. У медицині показник метаболічний – інтенсивність обміну речовин.

Не лише фізики, а й медики використовують цей термін у роботі. Що таке градієнт тиску у кардіології? Таке поняття визначає різницю кров'яного тиску в будь-яких зв'язаних між собою відділах серцево-судинної системи.

Зменшуючий градієнт автоматії - це показник зменшення частоти збуджень серця в напрямку від його основи до верху, що виникають автоматично. Крім того, кардіологи місце ураження артерії та його ступінь виявляють завдяки контролю за різницею амплітуд систолічних хвиль. Іншими словами, за допомогою амплітудного градієнта пульсу.

Що таке градієнт швидкості?

Коли говорять про швидкість зміни певної величини, то мають на увазі під цим швидкість зміни за часом і простором. Тобто градієнт швидкості визначає зміна просторових координат у співвідношенні з часовими показниками. Цей показник обчислюють метеорологи, астрономи, хіміки. Градієнт швидкості зсуву шарів рідини визначають у нафтогазовій промисловості для обчислення швидкості підйому рідини по трубі. Такий показник тектонічних рухів – це сфера розрахунків сейсмологів.

Економічні функції

Для обґрунтування важливих теоретичних висновків поняття градієнта широко користуються економісти. При вирішенні завдань споживача використовується функція корисності, яка допомагає уявити переваги з багатьох альтернатив. "Функція бюджетних обмежень" - термін, що використовується для позначення множини споживчих наборів. Градієнти у цій галузі використовують із обчислення оптимальних споживань.

Градієнт кольору

Термін "градієнт" знайомий творчим особистостям. Хоч вони й далекі від точних наук. Що таке градієнт для дизайнера? Так як в точних науках - це поступове збільшення величини на одиницю, так і в кольорі цей показник позначає плавний, розтягнутий перехід відтінків одного кольору від світлішого до темного, або навпаки. Художники так і називають цей процес – «розтяжка». Можливий перехід і до різних супутніх кольорів в одній гамі.

Градієнтні розтяжки відтінків у фарбуванні приміщень зайняли міцну позицію серед методик дизайну. Новомодний стиль омбре - плавне перетікання відтінку від світлого до темного, від яскравого до блідого - ефектно перетворює будь-які приміщення в будинку та офісі.

Оптики використовують спеціальні лінзи у сонцезахисних окулярах. Що таке градієнт у окулярах? Це виготовлення лінзи особливим способом, коли зверху вниз колір переходить від темнішого до світлішого відтінку. Вироби, виготовлені за такою технологією, захищають очі від сонячного випромінювання і дозволяють розглядати предмети навіть за дуже яскравого світла.

Колір у веб-дизайні

Тим, хто займається веб-дизайном і комп'ютерною графікою, добре знайомий універсальний інструмент "градієнт", за допомогою якого створюється безліч найрізноманітніших ефектів. Переходи кольору перетворюються на відблиски, химерне тло, тривимірність. Маніпуляції з відтінками, створення світла та тіні надає обсяг векторним об'єктам. З цією метою використовуються кілька видів градієнтів:

• Лінійний.
• Радіальний.
• Конусоподібний.
• Дзеркальний.
• Ромбоподібний.
• Градієнт шуму.

Градієнтна краса

Для відвідувачок салонів краси питання про те, що таке градієнт, не стане несподіваним. Щоправда, й у разі знання математичних законів і основ фізики необов'язково. Йдеться так само про колірні переходи. Об'єктом градієнта стає волосся і нігті. Техніка омбре, що в перекладі з французької означає "тон", прийшла в моду від спортивних любительок серфінгу та інших пляжних розваг. Природно вигоріле і знову відросло волосся стало хітом. Модниці стали спеціально фарбувати волосся з ледь помітним переходом відтінків.

Техніка омбре не пройшла повз манікюрні салони. Градієнт на нігтях створює забарвлення із поступовим освітленням пластини від кореня до краю. Майстри пропонують горизонтальний, вертикальний, з переходом та інші різновиди.

Рукоділля

Керівницям поняття "градієнт" знайоме ще з одного боку. Техніка подібного плану використовується у створенні речей ручної роботи у стилі декупажу. У такий спосіб створюють нові речі під старовину, або реставрують старі: комоди, стільці, скрині та інше. Декупаж має на увазі візерунок за допомогою трафарету, основою для якого служить градієнт кольору, як фон.

Художники по тканинах взяли на озброєння забарвлення в такий спосіб нових моделей. Сукні з забарвленням градієнт підкорили подіуми. Моду підхопили майстрині - в'язальниці. Трикотажні речі з плавним переходом кольору мають успіх.

Підводячи підсумок визначенню " градієнт " , можна сказати дуже обширної області людської діяльності, у якій перебуває місце цьому терміну. Не завжди заміна синонімом "вектор" виявляється придатною, оскільки вектор - це поняття функціональне, просторове. У чому визначається спільність поняття – це поступова зміна певної величини, субстанції, фізичного параметра на одиницю за певний період. У кольорі – це плавний перехід тону.

Зі шкільного курсу математики відомо, що вектор на площині є спрямованим відрізком. Його початок та кінець мають по дві координати. Координати вектора розраховуються шляхом віднімання координат координат координат координат початку.

Поняття вектора може бути поширене і на n-мірний простір (замість двох координат буде nкоординат).

Градієнтом gradzфункцииz=f(х 1 , х 2 , …х n) називається вектор приватних похідних функції у точці, тобто. вектор з координат.

Можна довести, що градієнт функції характеризує напрямок якнайшвидшого зростання рівня функції у точці.

Наприклад, для функції z = 2х 1 + х 2 (див. малюнок 5.8) градієнт у будь-якій точці матиме координати (2; 1). Побудувати його на площині можна різними способами, взявши як початок вектора будь-яку точку. Наприклад, можна з'єднати точку (0; 0) з точкою (2; 1), або точку (1; 0) з точкою (3; 1), або точку (0; 3) з точкою (2; 4), або т .п. (Див. малюнок 5.8). Всі побудовані таким чином вектори матимуть координати (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

З малюнка 5.8 добре видно, що рівень функції зростає у напрямку градієнта, оскільки побудовані лінії рівня відповідають значенням рівня 4>3>2.

Малюнок 5.8 - Градієнт функції z = 2x1 + x2

Розглянемо інший приклад - функцію z = 1/(х 1 х 2). Градієнт цієї функції вже завжди буде однаковим у різних точках, оскільки його координати визначаються формулами (-1/(х 1 2 х 2); -1/(х 1 х 2 2)).

На рис. лінією).

Малюнок 5.9 - Градієнти функції z = 1/(х 1 х 2) у різних точках

Візьмемо, наприклад, точку (0,5; 1) і обчислимо градієнт у цій точці: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Зауважимо, що точка (0,5; 1) лежить лінії рівня 1/(х 1 х 2) = 2, боz=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Щоб зобразити вектор (-4; -2) малюнку 5.9, з'єднаємо точку (0,5; 1) з точкою (-3,5; -1), бо (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Візьмемо іншу точку тієї ж лінії рівня, наприклад, точку (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Обчислимо градієнт у цій точці (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Щоб зобразити його на малюнку 5.9, з'єднаємо точку (1; 0,5) з точкою (-1; -3,5), бо (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Візьмемо ще одну точку на тій самій лінії рівня, але тільки тепер у непозитивній координатній чверті. Наприклад, точку (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градієнт у цій точці дорівнюватиме (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Зобразимо його малюнку 5.9, з'єднавши точку (-0,5; -1) з точкою (3,5; 1), бо (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Слід звернути увагу, що у всіх трьох розглянутих випадках градієнт показує напрямок зростання рівня функції (у бік лінії рівня 1/(х 1 х 2) = 10 > 2).

Можна довести, що градієнт завжди перпендикулярний лінії рівня (поверхні рівня), що проходить через цю точку.

Екстремуми функції багатьох змінних

Визначимо поняття екстремумудля багатьох змінних.

Функція багатьох змінних f(X) має у точці Х(0) максимум (мінімум),якщо знайдеться така околиця цієї точки, що для всіх точок Х з цієї околиці виконуються нерівності f(X)f(X(0)) ().

Якщо ці нерівності виконуються, як суворі, то екстремум називається сильним, а якщо ні, то слабким.

Зауважимо, що певний таким чином екстремум носить локальнийхарактер, оскільки ці нерівності виконуються лише з деякою околиці точки екстремуму.

Необхідною умовою локального екстремуму диференційованої функції z=f(х 1 , . . ., х n) у точці є рівність нулю всіх похідних приватних першого порядку в цій точці:
.

Крапки, у яких виконуються ці рівності, називаються стаціонарними.

Інакше необхідну умову екстремуму можна сформулювати так: у точці екстремуму градієнт дорівнює нулю. Можна довести і загальне твердження - у точці екстремуму звертаються у нуль похідні функції у всіх напрямах.

Стаціонарні точки мають бути піддані додатковим дослідженням - чи достатні умови існування локального екстремуму. І тому визначають знак диференціалу другого порядку. Якщо за будь-яких , не рівних одночасно нулю, він завжди негативний (позитивний), то функція має максимум (мінімум). Якщо може звертатися в нуль не тільки при нульових збільшеннях, то питання про екстремум залишається відкритим. Якщо може набувати як позитивних, так і негативних значень, то екстремуму в стаціонарній точці немає.

У загальному випадку визначення знака диференціала є досить складною проблемою, яку тут розглядати не будемо. Для функції двох змінних можна довести, що якщо у стаціонарній точці
, то екстремум є. При цьому знак другого диференціалу збігається зі знаком
, тобто. якщо
, то це максимум, а якщо
, то це мінімум. Якщо
, то екстремуму в цій точці немає, а якщо
, то питання про екстремум залишається відкритим.

Приклад 1. Знайти екстремуми функції
.

Знайдемо приватні похідні методом логарифмічного диференціювання.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

Аналогічно
.

Знайдемо стаціонарні точки із системи рівнянь:

Таким чином, знайдено чотири стаціонарні точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) та (-1; -1).

Знайдемо приватні похідні другого порядку:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Аналогічно
;
.

Так як
, знак виразу
залежить тільки від
. Зазначимо, що в обох цих похідних знаменник завжди позитивний, тому можна розглядати тільки знак чисельника, або навіть знак виразів х (х 2 - 3) і y (y 2 - 3). Визначимо його у кожній критичній точці та перевіримо виконання достатньої умови екстремуму.

Для точки (1; 1) отримаємо 1 * (1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0, а
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Для точки (1; -1) отримаємо 1 * (1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Т.к. добуток цих чисел
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Для точки (-1; -1) отримаємо (-1) * ((-1) 2 - 3) = 2> 0. Т.к. добуток двох позитивних чисел
> 0, а
> 0, у точці (-1; -1) можна знайти мінімум. Він дорівнює 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Знайти глобальниймаксимум або мінімум (найбільше чи найменше значення функції) дещо складніше, ніж локальний екстремум, оскільки ці значення можуть досягатися у стаціонарних точках, а й у межах області визначення. Дослідити поведінку функції на межі цієї галузі не завжди легко.