Визначити градієнт функції. Векторний аналіз скалярне поле поверхні та лінії рівня похідна за напрямом похідна градієнт скалярного поля основні властивості градієнта

Якщо кожній точці простору чи частини простору визначено значення деякої величини, то кажуть, що вказано поле даної величини. Поле називається скалярним, якщо аналізована величина скалярна, тобто. цілком характеризується своїм числовим значенням. Наприклад, поле температур. Скалярне поле визначається скалярною функцією точки і = /(М). Якщо в просторі введено декартову систему координат, то є функція трьох змінних х, yt z - координат точки М: Визначення. Поверхнею рівня скалярного поля називається безліч точок, у яких функція f(M) приймає те саме значення. Зрівняння поверхні рівня Приклад 1. Знайти поверхні рівня скалярного поля ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта -4 Згідно з визначенням рівнянням поверхні рівня буде. Це рівняння сфери (з Ф 0) із центром на початку координат. Скалярне поле називається плоским, якщо у всіх площинах, паралельних до деякої площини, поле одне й те саме. Якщо зазначену площину прийняти за площину хОу, то функція поля не залежатиме від координати z, тобто буде функцією тільки аргументів х і у, Плоске поле можна характеризувати допомогою ліній рівня - множини точок площини, в яких функція / (ж, у) має одне і також значення. Рівняння лінії рівня - Приклад 2. Знайти лінії рівня скалярного поля Лінії рівня задаються рівняннями При с = 0 одержуємо пару прямих одержуємо сімейство гіпербол (рис. 1). 1.1. Похідна за напрямом Нехай є скалярне поле, яке визначається скалярною функцією і = / (Af). Візьмемо точку Afo і виберемо напрямок, що визначається вектором I. Візьмемо іншу точку М так, щоб вектор М0М був паралельний вектору 1 (рис. 2). Позначимо довжину вектора МоМ через А/, а збільшення функції /(Af) - /(Afo), відповідне переміщенню Д1, через Ді. Відношення визначає середню швидкість зміни скалярного поля на одиницю довжини поданому напрямку Нехай тепер прагне нуля так, щоб вектор М0М весь час залишався паралельним вектору I. Визначення. Якщо при Д/О існує кінцева межа відношення (5), то його називають похідною функцією в даній точці Afo поданому напрямку I і позначають символом зг! ^. Так що, за визначенням, це визначення не пов'язане з вибором системи координат, тобто носить варіантний характер. Знайдемо вираз для похідної у напрямку декартової системи координат. Нехай функція / диференційована у точці. Розглянемо значення /(Af) у точці. Тоді повне збільшення функції можна записати в наступному вигляді: а символи означають, що приватні похідні обчислені в точці Afo. Звідси Тут величини jfi, суть напрямні косинуси вектора. Так як вектори МоМ і I сонаправлены, їх напрямні косинуси однакові: Так як M Afo, осгаваясь весь час на прямий, паралельної вектору 1, то кути постійні тому Остаточно з рівностей (7) і (8) отримуємо Еамуан іс 1. Приватні похідні, є похідними функції і за напрямами координатних осей ссчлвешне нно- Приклад 3. Знайти похідну функції у напрямку до точки Вектор має довжину. Його напрямні косинуси: За формулою (9) будемо мати Той факт, що означає, що скалярне поле в точці в даному напрямку віку- Для плоского поля похідна за напрямом I в точці обчислюється за формулою де а - кут, утворений вектором I з віссю Ох. Зммчмм 2. Формула (9) для обчислення похідної за напрямом I в даній точці Afo залишається в силі і тоді, коли точка М прагне точки Мо по кривій, для якої вектор I є дотичним у точці ПРИШР 4. Обчислити похідну скалярного поля в точці Afo (l, 1). належить параболі за напрямом цієї кривої (у напрямку зростання абсциси). тим самим похідна від функції і за напрямом 1 дорівнює скалярному твору градієнта функції і(М) на орт 1° напрямку I. 2.1. Основні властивості градієнта Теорема 1. Градієнт скалярного поля перпендикулярний до рівня (або до лінії рівня, якщо поле плоске). (2) Проведемо через довільну точку М поверхню рівня і = const і виберемо на цій поверхні гладку криву L, яка проходить через точку М (рис. 4). Нехай I - векгор, дотичний до кривої L у точці М. Оскільки поверхні рівня і(М) = і(М|) для будь-якої точки Мj е L, то З іншого боку, = (gradu, 1°). Тож. Це означає, що вектори grad і і 1° ортогональні, Отже, векгор grad і ортогональний до будь-якої дотичної до поверхні рівня в точці М. Тим самим він ортогональний до поверхні рівня в точці М. Теорема 2. Градієнт спрямований у бік зростання функції поля . Визначення. Градієнт скалярного поля є вектор, спрямований нормалі до поверхні рівня у бік зростання функції поля і має довжину, рівну найбільшої похідної за напрямом (у цій точці). Нехай – одиничний вектор нормалі, спрямований у бік зростання поля. Приклад 2. Знайти градієнт відстані - деяка фіксована точка, a M (x, y, z) - поточна. 4 Маємо де – одиничний вектор напряму. Правила обчислення градієнта де с - Постійне число. Наведені формули виходять безпосередньо з визначення градієнта та властивостей похідних. скалярна функція. Тоді 4 За визначенням фадієнта маємо Застосуємо до всіх доданків правої частини правило диференціювання складної функції. Отримаємо Зокрема, Формула (6) випливає з формули Приклад 3. Майти похідну за напрямком радіус-воктора г від функції За формулою (3) а за формулою В результаті отримаємо, що Приклад 4. Нехай дано плоске скалярне поле - відстані від деякої точки площині до двох фіксованих точок цієї площини. Розглянемо довільний еліпс з фокусами Fj і F] і доведемо, що будь-який промінь своту, що вийшов з одного фокусу еліпса, після відбиття від еліпса потрапляє до іншого його фокусу. Лінії рівня функції (7) суть ВЕКТОРНИЙ АНАЛІЗ Скалярне поле Поверхні та лінії рівня Похідна за напрямом Похідна Градієнт скалярного поля Основні властивості градієнта Інваріантне визначення градієнта Правила обчислення градієнта Рівняння (8) описують сімейство еліпсів з фокусами в точках F) Відповідно до результату прикладу 2 маємо Тим самим градієнт заданого поля

дорівнює вектору PQ діагоналі ромба, збудованого на ортах г? та радіус-векторів. проведених до точки Р(х, у) із фокусів F| і Fj, і, отже, лежить на бісектрисі кута можду цими радіус-векторами (рис. 6). По тооромо 1 градієнт PQ перпендикулярний до еліпсу (8) у точці. Слід- Рис.6 тельно. нормаль до еліпсу (8) у будь-якому точці ділить навпіл кут між радіус-векторами, проведеними в цю точку. Звідси і з того, що кут падіння дорівнює куту відображення, отримуємо: промінь світла, що вийшов з одного фокусу еліпса, відбившись від нього, неодмінно потрапляє в інший фокус цього еліпса.

Зі шкільного курсу математики відомо, що вектор на площині є спрямованим відрізком. Його початок та кінець мають по дві координати. Координати вектора розраховуються шляхом віднімання координат координат координат координат початку.

Поняття вектора може бути поширене і на n-мірний простір (замість двох координат буде nкоординат). gradzфункцииz=f(х 1 , х 2 , …х n) називається вектор приватних похідних функції у точці, тобто. вектор з координат.

Можна довести, що градієнт функції характеризує напрямок якнайшвидшого зростання рівня функції у точці.

Наприклад, для функції z = 2х 1 + х 2 (див. малюнок 5.8) градієнт у будь-якій точці матиме координати (2; 1). Побудувати його на площині можна різними способами, взявши як початок вектора будь-яку точку. Наприклад, можна з'єднати точку (0; 0) з точкою (2; 1), або точку (1; 0) з точкою (3; 1), або точку (0; 3) з точкою (2; 4), або т .п. (Див. малюнок 5.8). Всі побудовані таким чином вектори матимуть координати (2 – 0; 1 – 0) = = (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

З малюнка 5.8 добре видно, що рівень функції зростає у напрямку градієнта, оскільки побудовані лінії рівня відповідають значенням рівня 4>3>2.

Малюнок 5.8 - Градієнт функції z = 2x1 + x2

Розглянемо інший приклад - функцію z = 1/(х 1 х 2). Градієнт цієї функції вже завжди буде однаковим у різних точках, оскільки його координати визначаються формулами (-1/(х 1 2 х 2); -1/(х 1 х 2 2)).

На рис. лінією).

Малюнок 5.9 - Градієнти функції z = 1/(х 1 х 2) у різних точках

Візьмемо, наприклад, точку (0,5; 1) і обчислимо градієнт у цій точці: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; - 2). Зауважимо, що точка (0,5; 1) лежить лінії рівня 1/(х 1 х 2) = 2, боz=f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Щоб зобразити вектор (-4; -2) малюнку 5.9, з'єднаємо точку (0,5; 1) з точкою (-3,5; -1), бо (-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Візьмемо іншу точку тієї ж лінії рівня, наприклад, точку (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Обчислимо градієнт у цій точці (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Щоб зобразити його на малюнку 5.9, з'єднаємо точку (1; 0,5) з точкою (-1; -3,5), бо (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).

Візьмемо ще одну точку на тій самій лінії рівня, але тільки тепер у непозитивній координатній чверті. Наприклад, точку (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градієнт у цій точці дорівнюватиме (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Зобразимо його малюнку 5.9, з'єднавши точку (-0,5; -1) з точкою (3,5; 1), бо (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

Слід звернути увагу, що у всіх трьох розглянутих випадках градієнт показує напрямок зростання рівня функції (у бік лінії рівня 1/(х 1 х 2) = 10 > 2).

Можна довести, що градієнт завжди перпендикулярний лінії рівня (поверхні рівня), що проходить через цю точку.

Екстремуми функції багатьох змінних

Визначимо поняття екстремумудля багатьох змінних.

Функція багатьох змінних f(X) має у точці Х(0) максимум (мінімум),якщо знайдеться така околиця цієї точки, що для всіх точок Х з цієї околиці виконуються нерівності f(X)f(X(0)) ().

Якщо ці нерівності виконуються як суворі, то екстремум називається сильним, а якщо ні, то слабким.

Зауважимо, що певний таким чином екстремум носить локальнийхарактер, оскільки ці нерівності виконуються лише з деякою околиці точки екстремуму.

Необхідною умовою локального екстремуму диференційованої функції z=f(х 1 , . . ., х n) у точці є рівність нулю всіх похідних приватних першого порядку в цій точці:
.

Крапки, у яких виконуються ці рівності, називаються стаціонарними.

Інакше необхідну умову екстремуму можна сформулювати так: у точці екстремуму градієнт дорівнює нулю. Можна довести і загальне твердження - у точці екстремуму звертаються у нуль похідні функції у всіх напрямах.

Стаціонарні точки мають бути піддані додатковим дослідженням - чи достатні умови існування локального екстремуму. І тому визначають знак диференціалу другого порядку. Якщо за будь-яких , не рівних одночасно нулю, він завжди негативний (позитивний), то функція має максимум (мінімум). Якщо може звертатися в нуль не тільки при нульових збільшеннях, то питання про екстремум залишається відкритим. Якщо може набувати як позитивних, так і негативних значень, то екстремуму в стаціонарній точці немає.

У загальному випадку визначення знака диференціала є досить складною проблемою, яку тут розглядати не будемо. Для функції двох змінних можна довести, що якщо у стаціонарній точці
, то екстремум є. При цьому знак другого диференціалу збігається зі знаком
, тобто. якщо
, то це максимум, а якщо
, то це мінімум. Якщо
, то екстремуму в цій точці немає, а якщо
, то питання про екстремум залишається відкритим.

Приклад 1. Знайти екстремуми функції
.

Знайдемо приватні похідні методом логарифмічного диференціювання.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) - ln (1 + x 2) - ln (1 + y 2)

Аналогічно
.

Знайдемо стаціонарні точки із системи рівнянь:

Таким чином, знайдено чотири стаціонарні точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) та (-1; -1).

Знайдемо приватні похідні другого порядку:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Аналогічно
;
.

Так як
, знак виразу
залежить тільки від
. Зазначимо, що в обох цих похідних знаменник завжди позитивний, тому можна розглядати тільки знак чисельника, або навіть знак виразів х (х 2 - 3) і y (y 2 - 3). Визначимо його у кожній критичній точці та перевіримо виконання достатньої умови екстремуму.

Для точки (1; 1) отримаємо 1 * (1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух негативних чисел
> 0, а
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Для точки (1; -1) отримаємо 1 * (1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Т.к. добуток цих чисел
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Для точки (-1; -1) отримаємо (-1) * ((-1) 2 - 3) = 2> 0. Т.к. добуток двох позитивних чисел
> 0, а
> 0, у точці (-1; -1) можна знайти мінімум. Він дорівнює 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Знайти глобальниймаксимум чи мінімум (найбільше чи найменше значення функції) дещо складніше, ніж локальний екстремум, оскільки ці значення можуть досягатися у стаціонарних точках, а й у межах області визначення. Дослідити поведінку функції на межі цієї галузі не завжди легко.

Нехай Z= F(M) - функція, визначена в деякій околиці точки М(у; х);L={ Cos; Cos} – одиничний вектор (на рис. 33 1=  , 2= ); L- Спрямована пряма, що проходить через точку М; М1(х1; у1), де х1=х+х та у1=у+у– точка на прямій L;  L- Величина відрізка ММ1;  Z= F(х+х, у+у)-F(X, Y) - Збільшення функції F(M) у точці М(х; у).

Визначення. Межа відносини, якщо вона існує, називається Похідної функції Z = F ( M ) у точці M ( X ; Y ) за напрямом вектора L .

Позначення.

Якщо функція F(M) диференційована в точці М(х; у), то в точці М(х; у)існує похідна за будь-яким напрямом L, що виходить з М; обчислюється вона за такою формулою:

(8)

Де Cos І Cos- напрямні косинуси вектора L.

Приклад 46. Обчислити похідну функції Z= X2 + Y2 Xу точці М(1; 2)за напрямом вектора ММ1, де М1– точка з координатами (3; 0).

. Знайдемо одиничний вектор L, має цей напрямок:

Звідки Cos= ; Cos=- .

Обчислимо приватні похідні функції у точці М(1; 2):

За формулою (8) отримаємо

Приклад 47. Знайти похідну функції U = Xy2 Z3 у точці М(3; 2; 1)У напрямку вектора MN, де N(5; 4; 2) .

. Знайдемо вектор та його напрямні косинуси:

Обчислимо значення приватних похідних у точці М:

Отже,

Визначення. Поняття вектора може бути поширене і на n-мірний простір (замість двох координат буде nкоординат). ФункціїZ= F(M) у точці М(х; у) називається вектор, координати якого рівні відповідним приватним похідним і взятим у точці М(х; у).

Позначення.

Приклад 48. Знайти градієнт функції Z= X2 +2 Y2 -5 у точці М(2; -1).

Рішення. Знаходимо приватні похідні: та їх значення у точці М(2; -1):

Приклад 49. Знайти величину та напрямок градієнта функції у точці

Рішення.Знайдемо приватні похідні та обчислимо їх значення у точці М:

Отже,

Аналогічно визначається похідна за напрямком для функції трьох змінних U= F(X, Y, Z) , виводяться формули

Вводиться поняття градієнта

Підкреслимо, що Основні властивості градієнта функції важливіше для аналізу економічних оптимізаційних: у напрямку градієнта функція зростає. У економічні завданнязнаходять застосування такі властивостіградієнта:

1) Нехай задана функція Z= F(X, Y) , що має приватні похідні в області визначення Розглянемо деяку точку М0(х0, у0)з галузі визначення. Значення функції у цій точці нехай дорівнює F(X0 , Y0 ) . Розглянемо графік функції. Через точку (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) тривимірного простору проведемо площину, що стосується поверхні графіка функції. Тоді градієнт функції, обчислений у точці (х0, у0), що розглядається геометрично як вектор, прикладений у точці (X0 , Y0 , F(X0 , Y0 )) , буде перпендикулярний дотичній площині. Геометричну ілюстрацію наведено на рис. 34.

2) Градієнт функції F(X, Y) у точці М0(х0, у0)вказує напрямок найбільш швидкого зростання функції в точці М0. Крім того, будь-який напрямок, що становить з градієнтом гострий кут, є напрямом зростання функції у точці М0. Іншими словами, малий рух з точки (х0, у0)за напрямом градієнта функції у цій точці веде до зростання функції, причому у найбільшою мірою.

Розглянемо вектор, протилежний градієнту. Він називається Антиградієнтом . Координати цього вектора дорівнюють:

Антиградієнт функції F(X, Y) у точці М0(х0, у0)вказує напрямок найбільш швидкого зменшення функції в точці М0. Будь-який напрям, що утворює гострий кут з антиградієнтом, є напрямом зменшення функції в цій точці.

3) При дослідженні функції часто виникає необхідність знаходження таких пар (х, у)з області визначення функції, у яких функція приймає однакові значення. Розглянемо безліч точок (X, Y) з області визначення функції F(X, Y) , таких, що F(X, Y)= Const, де запис “ Const” означає, що значення функції зафіксовано і дорівнює деякому числу з області значень функції.

Визначення. Лінією рівня функції U = F ( X , Y ) називається лініяF(X, Y)=С на площиніXOy, у точках якої функція зберігає постійне значенняU= C.

Лінії рівня геометрично зображуються на поверхні зміни незалежних змінних у вигляді кривих ліній. Отримання ліній рівня можна уявити наступним чином. Розглянемо безліч З, Що складається з точок тривимірного простору з координатами (X, Y, F(X, Y)= Const), які, з одного боку, належать графіку функції Z= F(X, Y), з іншого - лежать у площині, паралельній координатній площині ХОУі віддаленої від неї на величину, рівну заданій константі. Тоді для побудови лінії рівня достатньо поверхню графіка функції перетнути площиною Z= Constта лінію перетину спроектувати на площину ХОУ. Проведена міркування є обґрунтуванням можливості безпосередньо будувати лінії рівня на площині. ХОУ.

Визначення. Безліч ліній рівня називають Картою ліній рівня.

Добре відомі приклади ліній рівня – рівні однакових висот топографічної картита лінії однакового барометричного тиску на карті погоди.

Визначення. Напрямок, вздовж якого швидкість збільшення функції максимальна, називається «переважним» напрямком, або Напрямом якнайшвидшого зростання.

«Переважний» напрямок задається вектором-градієнтом функції. На рис. 35 зображені максимум, мінімум і сідлова точка задачі оптимізації функції двох змінних за відсутності обмежень. У нижній частині малюнка зображені лінії рівня та напрямки якнайшвидшого зростання.

Приклад 50. Знайти лінії рівня функції U= X2 + Y2 .

Рішення.Рівняння сімейства ліній рівня має вигляд X2 + Y2 = C (C>0) . Надаючи Зрізні дійсні значення, отримаємо концентричні кола з центром на початку координат.

Побудова ліній рівня. Їх аналіз знаходить широке застосуванняв економічних завданнях мікро- та макрорівня, теорії рівноваги та ефективних рішень. Ізокости, ізокванти, криві байдужості – це всі лінії рівня, побудовані для різних економічних функцій.

Приклад 51. Розглянемо таку економічну ситуацію. Нехай виробництво продукції описується Функцією Кобба-Дугласа F(X, Y)=10х1/3у2/3, де Х– кількість праці, У- Кількість капіталу. На придбання ресурсів виділено 30 грн. од., вартість праці становить 5 у. од., капіталу – 10 у. од. Поставимо питання: який найбільший випуск можна отримати в даних умовах? Тут під «даними умовами» маю на увазі задані технології, ціни ресурси, вид виробничої функції. Як зазначалося, функція Кобба-Дугласає монотонно зростаючою щодо кожної змінної, т. е. збільшення кожного виду ресурсу веде до зростання випуску. У цих умовах ясно, що збільшувати придбання ресурсів можна доти, доки не вистачає грошей. Набори ресурсів вартість яких становить 30 у. од., задовольняють умові:

5х + 10у = 30,

Т. е. визначають лінію рівня функції:

G(X, Y) = 5х + 10у.

З іншого боку, за допомогою ліній рівня Функції Кобба-Дугласа (Рис. 36) можна показати зростання функції: у будь-якій точці лінії рівня напрям градієнта - це напрям найбільшого зростання, а для побудови градієнта в точці досить провести дотичну до лінії рівня в цій точці, побудувати перпендикуляр до дотичної і вказати напрям градієнта. З рис. 36 видно, що рух лінії рівня функції Кобба-Дугласа вздовж градієнта слід проводити доти, доки вона не стане дотичною до лінії рівня 5х + 10у = 30. Таким чином, за допомогою понять лінії рівня, градієнта, властивостей градієнта можна виробити підходи до найкращому використаннюресурсів з погляду збільшення обсягів своєї продукції.

Визначення. Поверхня рівня функції U = F ( X , Y , Z ) називається поверхняF(X, Y, Z)=С, у точках якої функція зберігає постійне значенняU= C.

Приклад 52. Знайти поверхні рівня функції U= X2 + Z2 - Y2 .

Рішення.Рівняння сімейства поверхонь рівня має вигляд X2 + Z2 - Y2 =С. Якщо З=0, то отримуємо X2 + Z2 - Y2 =0 - Конус; якщо C<0 , то X2 + Z2 - Y2 =С -Сімейство двопорожнинних гіперболоїдів.

1 0 Градієнт спрямований нормалі до поверхні рівня (або до лінії рівня, якщо поле плоске).

2 0 Градієнт спрямований у бік зростання функції поля.

3 0 Модуль градієнта дорівнює найбільшій похідній за напрямком в даній точці поля:

Ці властивості дають інваріантну характеристику градієнта. Вони свідчать, що вектор gradU вказує напрям і величину найбільшої зміни скалярного поля у цій точці.

Зауваження 2.1.Якщо функція U(x,y) є функція двох змінних, то вектор

(2.3)

лежить у площині oxy.

Нехай U=U(x,y,z) та V=V(x,y,z) диференційованих у точці М 0 (x,y,z) функції. Тоді має місце такі рівності:

а) grad()=; б) grad(UV)=VgradU+UgradV;

в) grad(UV) = gradU gradV; г) г) grad = , V;

д) gradU( = gradU, де , U=U() має похідну .

приклад 2.1.Дано функцію U = x 2 + y 2 + z 2 . Визначити градієнт функції у точці М(-2;3;4).

Рішення.Згідно з формулою (2.2) маємо

.

Поверхнями рівня даного скалярного поля є сімейство сфер x 2 +y 2 +z 2 вектор gradU=(-4;6;8) є нормальний вектор площин.

приклад 2.2.Знайти градієнт скалярного поля U = x-2y + 3z.

Рішення.Згідно з формулою (2.2) маємо

Поверхнями рівня даного скалярного поля є площини

x-2y+3z=З; вектор gradU=(1;-2;3) є нормальним вектором площин цього сімейства.

приклад 2.3.Знайти найбільшу крутість підйому поверхні U=x y у точці М(2;2;4).

Рішення.Маємо:

Приклад 2.4.Знайти одиничний вектор нормалі до поверхні рівня скалярного поля U = x2 + y2 + z2.

Рішення.Поверхні рівня даного скалярного поля-сфера x 2 +y 2 +z 2 =С (С>0).

Градієнт спрямований нормалі до поверхні рівня, так що

Визначає вектор нормалі до рівня в точці М(x,y,z). Для одиничного вектора нормалі отримуємо вираз

, де

.

приклад 2.5.Знайти градієнт поля U= де і постійні вектори, r –радіус вектор точки.

Рішення.Нехай

Тоді:
. За правилом диференціювання визначника отримуємо

Отже,

приклад 2.6.Знайти градієнт відстані , де P(x,y,z) - точка поля, що вивчається, P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) - деяка фіксована точка.

Рішення.Маємо - одиничний вектор напряму.

приклад 2.7.Знайти кут між градієнтами функцій у точці М0 (1,1).

Рішення.Знаходимо градієнти даних функцій у точці М 0 (1,1), маємо

; Кут між gradU та gradV у точці М 0 визначається з рівності

Звідси =0.

приклад 2.8.Знайти похідну за напрямком, радіус- вектор дорівнює

(2.4)

Рішення.Знаходимо градієнт цієї функції:

Підставляючи (2.5) у (2.4), отримаємо

Приклад 2.9.Знайти в точці М 0 (1; 1; 1) напрямок найбільшої зміни скалярного поля U = xy + yz + xz і величину цієї найбільшої зміни в цій точці.

Рішення.Напрям найбільшої зміни поля вказується вектором grad U(M). Знаходимо його:

І, отже, . Цей вектор визначає напрямок найбільшого зростання даного поля в точці М 0 (1; 1; 1). Величина найбільшої зміни поля у цій точці дорівнює

.

Приклад 3.1.Знайти векторні лінії векторного поля де постійний вектор.

Рішення.Маємо так що

(3.3)

Помножимо чисельник і знаменник першого дробу на х, другий на у, третій на z і складемо почленно. Використовуючи властивість пропорцій, отримаємо

Звідси xdx+ydy+zdz=0, отже

x 2 +y 2 +z 2 = A1, A1-const>0. Помноживши тепер чисельник і знаменник першого дробу (3.3) на с 1 , другий на с 2 , третій на с 3 і склавши почленно, отримаємо

Звідки з 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

І, отже, з 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . A 2 -const.

Шукані рівняння векторних ліній

Ці рівняння показують, що векторні лінії виходять в результаті перетину сфер, що мають загальний центр на початку координат, з площинами перпендикулярними вектору . Звідси випливає, що векторні лінії є колами, центри яких знаходяться на прямій, яка проходить через початок координат у напрямку вектора. Площини кіл перпендикулярні зазначеній прямій.

Приклад 3.2.Знайти векторну лінію поля проходить через точку (1,0,0).

Рішення. Диференційне рівняннявекторних ліній

звідси маємо . Вирішуючи перше рівняння. Або якщо ввести параметр t, то матимемо У цьому випадку рівняння набуває вигляду або dz=bdt, звідки z=bt+c 2 .

Деякі поняття та терміни використовуються суто у вузьких рамках. Інші ж визначення зустрічаються в областях, різко протилежних. Так, наприклад, поняттям "градієнт" користується і фізик, і математик, і фахівець з манікюру або "Фотошопа". Що таке градієнт як поняття? Давайте розумітися.

Що кажуть словники?

Що таке "градієнт", спеціальні тематичні словники трактують у співвідношенні зі своєю специфікою. У перекладі з латинської мовице слово означає - "той, що йде, росте". А "Вікіпедія" визначає це поняття як "вектор, що вказує напрям зростання величини". У тлумачних словникахбачимо значення цього терміну як " зміна будь-якої величини однією значення " . Поняття може нести як кількісне, і якісне значення.

Якщо коротко, це плавний поступовий перехід будь-якої величини одне значення, прогресивне і безперервне зміна у кількості чи напрямі. Вектор обчислюють математики, метеорологи. Це поняття застосовують в астрономії, медицині, мистецтві, комп'ютерній графіці. Під подібним терміном визначаються зовсім подібні види діяльності.

Математичні функції

Що таке градієнт функції математики? Це вказує напрям зростання функції в скалярному полі від одного значення до іншого. Розмір градієнта розраховується з допомогою визначення приватних похідних. Для з'ясування максимально швидкого напряму зростання функції графіку вибираються дві точки. Вони визначають початок та кінець вектора. Швидкість зростання значення від однієї точки до іншої – це величина градієнта. Математичні функції, що ґрунтуються на розрахунках цього показника, використовуються у векторній комп'ютерній графіці, об'єктами якої є графічні зображенняматематичних об'єктів.

Що таке градієнт у фізиці?

Поняття градієнта поширене у багатьох галузях фізики: градієнт оптики, температури, швидкості, тиску тощо. буд. У цій галузі поняття означає міру зростання чи спадання величини на одиницю. Обчислюється розрахунками як різниця між двома показниками. Розглянемо деякі з величин докладніше.

Що таке градієнт потенціалу? У роботі з електростатичним полем визначаються дві характеристики: напруженість (силова) та потенціал (енергетична). Ці різні величинипов'язані із середовищем. І хоч вони і визначають різні характеристики, все ж таки мають зв'язок між собою.

Для визначення напруженості силового поля використовується градієнт потенціалу - величина, яка визначає швидкість зміни потенціалу за напрямом силової лінії. Як розрахувати? Різниця потенціалів двох точок електричного поля обчислюється по відомому напрузі за допомогою вектора напруженості, який дорівнює градієнту потенціалу.

Терміни метеорологів та географів

Вперше поняття градієнта було застосовано саме метеорологами для визначення зміни величини та напряму різних метеорологічних показників: температури, тиску, швидкості та сили вітру. Він є мірою кількісної зміни різних величин. У математику термін ввів Максвел вже значно пізніше. У визначенні погодних умовіснують поняття вертикального та горизонтального градієнтів. Розглянемо їх докладніше.

Що таке вертикальний градієнт температури? Це величина, яка показує зміну показників, обчислену на висот в 100 м. Може бути як позитивного напрямку, так і негативного, на відміну від горизонтального, який завжди позитивний.

Градієнт вказує біля величину чи кут ухилу. Обчислюється як відношення висоти до довжини проекції колії на певній ділянці. Виражається у відсотках.

Медичні показники

Визначення "температурний градієнт" можна зустріти також серед медичних термінів. Він показує різницю у відповідних показниках внутрішніх органівта поверхні тіла. У біології фізіологічний градієнт фіксує зміну у фізіології будь-якого органу або організму в цілому на будь-якій стадії його розвитку. У медицині показник метаболічний – інтенсивність обміну речовин.

Не лише фізики, а й медики використовують цей термін у роботі. Що таке градієнт тиску у кардіології? Таке поняття визначає різницю кров'яного тиску в будь-яких зв'язаних між собою відділах серцево-судинної системи.

Зменшуючий градієнт автоматії - це показник зменшення частоти збуджень серця в напрямку від його основи до верху, що виникають автоматично. Крім того, кардіологи місце ураження артерії та його ступінь виявляють завдяки контролю за різницею амплітуд систолічних хвиль. Іншими словами, за допомогою амплітудного градієнта пульсу.

Що таке градієнт швидкості?

Коли говорять про швидкість зміни певної величини, то мають на увазі під цим швидкість зміни за часом і простором. Тобто градієнт швидкості визначає зміна просторових координат у співвідношенні з часовими показниками. Цей показник обчислюють метеорологи, астрономи, хіміки. Градієнт швидкості зсуву шарів рідини визначають у нафтогазовій промисловості для обчислення швидкості підйому рідини по трубі. Такий показник тектонічних рухів- Це область розрахунків сейсмологів.

Економічні функції

Для обґрунтування важливих теоретичних висновків поняття градієнта широко користуються економісти. При вирішенні завдань споживача використовується функція корисності, яка допомагає уявити переваги з багатьох альтернатив. "Функція бюджетних обмежень" - термін, що використовується для позначення множини споживчих наборів. Градієнти у цій галузі використовують із обчислення оптимальних споживань.

Градієнт кольору

Термін "градієнт" знайомий творчим особистостям. Хоч вони й далекі від точних наук. Що таке градієнт для дизайнера? Так як в точних науках - це поступове збільшення величини на одиницю, так і в кольорі цей показник позначає плавний, розтягнутий перехід відтінків одного кольору від світлішого до темного, або навпаки. Художники так і називають цей процес – «розтяжка». Можливий перехід і до різних супутніх кольорів в одній гамі.

Градієнтні розтяжки відтінків у фарбуванні приміщень зайняли міцну позицію серед методик дизайну. Новомодний стиль омбре - плавне перетікання відтінку від світлого до темного, від яскравого до блідого - ефектно перетворює будь-які приміщення в будинку та офісі.

Оптики використовують спеціальні лінзи у сонцезахисних окулярах. Що таке градієнт у окулярах? Це виготовлення лінзи особливим способом, коли зверху вниз колір переходить від темнішого до світлішого відтінку. Вироби, виготовлені за такою технологією, захищають очі від сонячного випромінювання і дозволяють розглядати предмети навіть за дуже яскравого світла.

Колір у веб-дизайні

Тим, хто займається веб-дизайном та комп'ютерною графікою, добре знайомий універсальний інструмент"градієнт", за допомогою якого створюється безліч найрізноманітніших ефектів. Переходи кольору перетворюються на відблиски, химерне тло, тривимірність. Маніпуляції з відтінками, створення світла та тіні надає обсяг векторним об'єктам. З цією метою використовуються кілька видів градієнтів:

• Лінійний.
• Радіальний.
• Конусоподібний.
• Дзеркальний.
• Ромбоподібний.
• Градієнт шуму.

Градієнтна краса

Для відвідувачок салонів краси питання про те, що таке градієнт, не стане несподіваним. Щоправда, і в цьому випадку знання математичних законівта основ фізики не обов'язково. Йдеться так само про колірні переходи. Об'єктом градієнта стає волосся і нігті. Техніка омбре, що в перекладі з французької означає "тон", прийшла в моду від спортивних любительок серфінгу та інших. пляжних розваг. Природно вигоріле і знову відросло волосся стало хітом. Модниці стали спеціально фарбувати волосся з ледь помітним переходом відтінків.

Техніка омбре не пройшла повз манікюрні салони. Градієнт на нігтях створює забарвлення із поступовим освітленням пластини від кореня до краю. Майстри пропонують горизонтальний, вертикальний, з переходом та інші різновиди.

Рукоділля

Керівницям поняття "градієнт" знайоме ще з одного боку. Техніка такого плану використовується у створенні речей ручної роботиу стилі декупаж. У такий спосіб створюють нові речі під старовину, або реставрують старі: комоди, стільці, скрині та інше. Декупаж має на увазі візерунок за допомогою трафарету, основою для якого служить градієнт кольору, як фон.

Художники по тканинах взяли на озброєння забарвлення в такий спосіб нових моделей. Сукні з забарвленням градієнт підкорили подіуми. Моду підхопили майстрині - в'язальниці. Трикотажні речі з плавним переходом кольору мають успіх.

Підсумовуючи визначенню " градієнт " , можна сказати дуже широкій області людської діяльності, у якій перебуває місце цьому терміну. Не завжди заміна синонімом "вектор" виявляється придатною, оскільки вектор - це поняття функціональне, просторове. У чому визначається спільність поняття – це поступова зміна певної величини, субстанції, фізичного параметра на одиницю за певний період. У кольорі – це плавний перехід тону.