Розв'язання диференціальних рівнянь у повних диференціалах. Диференціальні рівняння у повних диференціалах

Ліві частини диференціальних рівнянь виду іноді є повними диференціалами деяких функцій. Якщо відновити функцію її повному диференціалу, буде знайдено загальний інтеграл диференціального рівняння. У цій статті опишемо метод відновлення функції за її повним диференціалом, теоретичний матеріалзабезпечимо прикладами та завданнями з докладним описомрішення.

Ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0 якщо виконується умова .

Оскільки повний диференціал функції U(x, y) = 0 є , то при виконанні умови можна стверджувати, що . Отже, .

З першого рівняння системи маємо . Функцію можна знайти, використовуючи друге рівняння системи:

Так буде знайдено потрібну функцію U(x, y) = 0 .

Розглянемо приклад.

приклад.

Знайти загальне рішеннядиференціального рівняння .

Рішення.

У цьому прикладі. Умова виконується, оскільки

отже, ліва частинавихідного диференціального рівняння є повний диференціал деякої функції U(x, y) = 0 . Наше завдання зводиться до пошуку цієї функції.

Так як є повний диференціал функції U(x, y) = 0 то . Інтегруємо по x перше рівняння системи та диференціюємо по y отриманий результат . З іншого боку, з другого рівняння системи маємо . Отже,

де С – довільна стала.

Таким чином, та загальним інтегралом вихідного рівняння є .

Існує інший метод знаходження функції за її повним диференціалом. Він полягає у взятті криволінійного інтегралувід фіксованої точки (x 0 , y 0) до точки зі змінними координатами (x, y) : . І тут значення інтеграла залежить від шляху інтегрування. Зручно брати як шлях інтегрування ламану, ланки якої паралельні осям координат.

Розглянемо з прикладу.

приклад.

Знайдіть загальне рішення диференціального рівняння .

Рішення.

Перевіримо виконання умови:

Таким чином, ліва частина диференціального рівняння є повним диференціалом деякої функції U(x, y) = 0 . Знайдемо цю функцію, обчисливши криволінійний інтегралвід точки (1; 1) до (x, y). Як шлях інтегрування візьмемо ламану: першу ділянку ламаної пройдемо по прямій y = 1 від точки (1, 1) до (x, 1) , другою ділянкою шляху візьмемо відрізок прямої від точки (x, 1) до (x, y) .

Визначення 8.4.Диференціальне рівняння виду

де
називається рівнянням у повних диференціалах.

Зауважимо, що ліва частина такого рівняння є повним диференціалом деякої функції.
.

У загальному випадку рівняння (8.4) можна подати у вигляді

Замість рівняння (8.5) можна розглядати рівняння

,

розв'язання якого є загальним інтегралом рівняння (8.4). Таким чином, для вирішення рівняння (8.4) необхідно знайти функцію
. Відповідно до визначення рівняння (8.4), маємо

(8.6)

функцію
будемо знаходити, як функцію, яка задовольняє одну з цих умов (8.6):

де - довільна функція, яка залежить від .

Функція
визначається так, щоб виконувалася друга умова вираження (8.6)

(8.7)

З виразу (8.7) і визначається функція
. Підставляючи її у вираз для
і одержують загальний інтеграл вихідного рівняння.

Завдання 8.3.Проінтегрувати рівняння

Тут
.

Отже, це рівняння відноситься до типу диференціальних рівнянь в повних диференціалах. функцію
будемо шукати у вигляді

.

З іншого боку,

.

У ряді випадків умова
може виконуватися.

Тоді такі рівняння до даного типу наводяться множенням на так званий інтегруючий множник, який, загальному випадку, є функцією тільки або .

Якщо у деякого рівняння існує інтегруючий множник, що залежить тільки від , то він визначається за формулою

де ставлення має бути лише функцією .

Аналогічно, що інтегрує множник, що залежить тільки від , Визначається за формулою

де ставлення
має бути лише функцією .

Відсутність у наведених співвідношеннях, у першому випадку змінної , а у другому - змінною є ознакою існування інтегруючого множника для даного рівняння.

Завдання 8.4.Привести це рівняння до рівняння в повних диференціалах.

.

Розглянемо ставлення:

.

Тема 8.2. Лінійні диференціальні рівняння

Визначення 8.5. Диференціальне рівняння
називається лінійним, якщо воно лінійне щодо шуканої функції , її похідною і не містить твору шуканої функції та її похідної.

Загальний вид лінійного диференціального рівняння є наступним співвідношенням:

(8.8)

Якщо у співвідношенні (8.8) права частина
, то таке рівняння називається лінійним однорідним. У випадку, коли права частина
, Таке рівняння називається лінійним неоднорідним.

Покажемо, що рівняння (8.8) інтегрується у квадратурах.

На першому етапі розглянемо лінійне однорідне рівняння.

Таке рівняння є рівнянням з змінними, що розділяються. Справді,

;

/

Останнє співвідношення визначає загальне рішення лінійного однорідного рівняння.

Для пошуку загального рішення лінійного неоднорідного рівняння застосовується спосіб варіації похідної постійної. Ідея методу у тому, що загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння у тому вигляді, як і рішення відповідного однорідного рівняння, проте довільна постійна замінюється деякою функцією
, що підлягає визначенню. Отже, маємо:

(8.9)

Підставляючи у співвідношення (8.8) вирази, відповідні
і
, отримаємо

Підставляючи останній вираз у співвідношення (8.9), одержують загальний інтеграл лінійного неоднорідного рівняння.

Таким чином, загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння визначається двома квадратурами: загального рішення лінійного однорідного рівняння та окремого рішення лінійного неоднорідного рівняння.

Завдання 8.5.Проінтегрувати рівняння

Таким чином, вихідне рівняння відноситься до типу лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь.

У першому етапі знайдемо загальне рішення лінійного однорідного рівняння.

;

На другому етапі визначимо загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння, яке відшукують у вигляді-

,

де
- Функція, що підлягає визначенню.

Отже, маємо:

Підставляючи співвідношення для і у вихідне лінійне неоднорідне рівняння отримаємо:

;

;

.

Загальне рішення лінійного неоднорідного рівняння матиме вигляд:

.

Студенти ВНЗ частенько шукають інформацію "Як знайти рішення рівняння у повних диференціалах?".З цього уроку Ви отримаєте повну інструкціюплюс готові рішення. Спочатку коротке ознайомлення - що таке рівняння у повних диференціалах? Як шукати рішення рівняння повний диференціал?
Далі розбір готових прикладів, після якого можливо у Вас не залишиться питань на цю тему.

Рівняння у повних диференціалах

Визначення 1. Рівняння виду M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 називається рівнянням у повних диференціалахякщо залежність перед знаком рівності є повним диференціалом деякої функції двох змінних u(x,y) , тобто справедлива формула
du(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dx.
(1)
Таким чином, початкове рівняння за змістом означає рівність нуля повного диференціала функції
du (x, y) = 0. Інтегруючи диференціал отримаємозагальний інтеграл
ДК у вигляді
u(x,y)=З.
Перед обчисленнями завжди постає питання "Як перевірити, що задане ДК є рівнянням у повних диференціалах?"
На це запитання відповідає наступна умова.

Необхідна та достатня умова повного диференціалу

Необхідною та достатньою умовою повного диференціалу єрівність між собою приватних похідних
(3)
При розв'язанні диференціальних рівнянь його перевіряють насамперед, щоб ідентифікувати чи маємо рівняння у повних диференціалах чи можливо інше.
За змістом ця умова означає, що змішані похідні функції рівні між собою.
У формулах з огляду на залежності
(4)
необхідне та достатня умоваіснування повного диференціалуможемо записати у вигляді

Наведений критерій застосовують при перевірці рівняння на відповідність повному диференціалу, хоча при вивченні цієї теми викладачі не зададуть Вам іншого типу рівнянь.

Алгоритм розв'язання рівняння у повних диференціалах

З позначень (4) приватних похідних повного диференціала функції випливає, що u(x,y) ми можемо знайти інтегруванням

Ці формули дають вибір при обчислення, тому для інтегрування вибирають ту приватну похідну, інтеграл від якої легше знайти на практиці.
Далі другий важливий момент - невизначений інтегралє первісноютобто "+ С", яку слід визначити.
Тому, якщо інтегруємо приватну похідну M(x,y) по "ікс" то стала залежить від y і навпаки - якщо інтегруємо N(x,y) по y стала залежна від "ікс".
Далі, щоб визначити постійну беруть похідну від u(x,y) за іншою змінною ніж та, за якою виробляли інтегрування і прирівнюють до другої часткової похідної.
У формулах це буде виглядати так

Як правило, деякі доданки спрощуються і отримаємо рівняння на похідну постійної. Для першого із рівнянь отримаємо

Остаточно загальний інтеграл після визначення постійної має вигляд

У симетричній формі отримаємо відповідь для іншого рівняння.
Запис тільки на вигляд складний, насправді на практиці все виглядає значно простіше та зрозуміліше. Проаналізуйте такі завдання повні диференціали.

Готові відповіді на рівняння у повних диференціалах

приклад 1.

Рішення: Ліва частина рівняння є повним диференціаломдеякої функції , оскільки виконується умова

Звідси записуємо приватну похідну функції двох зміннихвід "ікс"

та інтегруванням знаходимо її вигляд

Щоб визначити постійну знаходимо приватну похідну функції по"y" і прирівнюємо зі значенням у рівнянні

Подібні доданки у правій та лівій частині скорочуємо, після чого постійну знаходимо інтегруванням

Тепер маємо всі величини для запису загального розв'язання диференціального рівнянняу вигляді

Як можна переконатися, схема розв'язування рівнянь у повних диференціалахне складна та її під силу вивчити кожному. Важливе значення мають множники при диференціалах, оскільки їх доводиться інтегрувати та диференціювати, щоб знайти рішення.

Приклад 2. (6.18) Знайти інтеграл диференціального рівняння

Рішення: За теорією ліва частина рівняння повинна бути повним диференціалом деякої функції двох змінних u(x,y), при цьому перевіряємо чи виконується умова

Звідси беремо приватну похідну та через інтеграл знаходимо функцію

Обчислюємо приватну похідну функції двох змінних за y і прирівнюємо до правої сторони диференціального рівняння.

Похідна виражається залежністю

З урахуванням постійної отримали у вигляді

На цьому обчислення даного прикладузавершено.

приклад 3. (6.20)Розв'язати диференціальне рівняння

Рішення: Ліва частина рівняння буде повним диференціалом деякої функції двох змінних u(x; y) , якщо виконуватиметься умова

Звідси починаємо вирішувати рівняння, а вірніше інтегрування однієї з приватних похідних

Далі знаходимо похідну від отриманої функції змінної y і прирівнюємо до правої сторони диференціальної залежності

Це дозволяє знайти константу як функцію від y . Якщо починати розкривати диференціальну залежність з правої сторони, Отримаємо що константа залежить від x . при цьому не зміниться і для заданого рівняннямає вигляд

У цьому приклад вирішено. Загальне вирішення диференціального рівнянняможемо записати формулою

Для закріплення тематики просимо самостійно перевірити, що дані рівняння є рівняннями в повних диференціалах і вирішити їх:
Тут Вам і кореневі функції, тригонометричні, експоненти, логарифми, одним словом - все, що може очікувати Вас на модулях та іспитах.
Після цього Вам стане набагато простіше вирішувати такого рівняння.
З наступної статті Ви ознайомитеся з рівняннями виду
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0
які досить подібні до рівняння в повних диференціалах, проте в них не виконується умова рівності приватних похідних. Їх обчислюють пошуком інтегруючого множника, множачи на який наведене рівняння стає рівнянням повних диференціалах.

Визначення: Зрівняння виду

P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0, (9)

де ліва частина є повним диференціалом деякої функції двох змінних, називається рівнянням в повних диференціалах.

Позначимо цю функцію двох змінних через F(x, y). Тоді рівняння (9) можна переписати як dF(x,y) = 0, але це рівняння має загальне рішення F(x,y) = C.

Нехай дано рівняння виду (9). Щоб дізнатися, чи є воно рівнянням у повних диференціалах, потрібно перевірити, чи є вираз

P(x,y)dx + Q(x,y)dy (10)

повним диференціалом деякої функції двох змінних. Для цього необхідно перевірити виконання рівності

Припустимо, що для даного виразу (10) рівність (11) виконується в деякій однозв'язковій області (S) і, отже, вираз (10) є повним диференціалом деякої функції F(x, y) (S).

Розглянемо наступний спосіб знаходження цієї первісної. Необхідно знайти таку функцію F(x,y), щоб

де функцію (у) буде визначено нижче. З формули (12) тоді випливає, що

у всіх точках області (S). Тепер підберемо функцію (у) так, щоб була рівність

Для цього перепишемо потрібну нам рівність (14), підставивши замість F(x,y) її вираз за формулою (12):

Зробимо диференціювання під знаком інтеграла (це можна робити так як P(x,y) і - безперервні функції двох змінних):

Так як по (11), то, замінюючи на під знаком інтеграла в (16), маємо:

Проінтегрувавши у, знайдемо саму функцію (у), яка побудована так, що виконується рівність (14). Використовуючи рівність (13) і (14), бачимо, що

в області (S). (18)

Приклад 5. Перевірити, чи це диференціальне рівняння рівнянням у повних диференціалах і вирішити його.

Це диференціальне рівняння у повних диференціалах. Насправді, позначаючи, переконуємось у тому, що

а це є необхідна та достатня умова того, що вираз

P(x,y)dx+Q(x,y)dy

є повним диференціалом деякої функції U(x, y). При цьому - безперервні R функції.

Отже, щоб інтегрувати дане диференціальне рівняння, потрібно знайти таку функцію, для якої ліва частина диференціального рівняння буде повним диференціалом. Нехай такою функцією буде U(x, y), тоді

Інтегруючи ліву та праву частини по x, отримаємо:

Щоб знайти ц(y), використовуємо той факт, що

Підставляючи знайдене значення ц(y) (*), остаточно отримаємо функцію U(x,y):

Загальний інтеграл вихідного рівняння має вигляд

Основні типи диференціальних рівнянь першого порядку (продовження).

Лінійні диференціальні рівняння

Визначення: Лінійним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

y" + P(x)y = f(x), (21)

де P(x) та f(x) - безперервні функції.

Назва рівняння пояснюється тим, що похідна y" - лінійна функціявід у, тобто якщо переписати рівняння (21) у вигляді y" = - P(x) +f(x), то права частина містить тільки у першому ступені.

Якщо f(x) = 0, то рівняння

yґ+ P(x) y = 0 (22)

називається лінійним однорідним рівнянням. Очевидно, що однорідне лінійне рівняння є рівнянням з змінними, що розділяються:

y" +P(x)y = 0; ,

Якщо f(x)? 0, то рівняння

yґ+ P(x) y = f(x) (23)

називається лінійним неоднорідним рівнянням.

Загалом змінні у рівнянні (21) не можна розділити.

Рівняння (21) вирішується наступним чином: шукатимемо рішення у вигляді добутку двох функцій U(x) і V(x):

Знайдемо похідну:

y" = U"V + UV" (25)

і підставимо ці вирази до рівняння (1):

U"V + UV" + P(x)UV = f(x).

Згрупуємо доданки в лівій частині:

U"V + U = f(x). (26)

Накладемо умову однією з множників (24), зокрема, припустимо, що функція V(x) така, що вона перетворює на тотожний нуль вираз, що у квадратних дужках в (26), тобто. що вона є рішенням диференціального рівняння

V" + P(x)V = 0. (27)

Це рівняння з змінними, що розділяються, знаходимо з нього V(x):

Тепер знайдемо функцію U(x) таку, щоб за вже знайденої функції V(x) твір U V був розв'язком рівняння (26). Для цього треба, щоб U(x) була розв'язком рівняння

Це рівняння з змінними, що розділяються, тому

Підставляючи знайдені функції (28) та (30) у формулу (4), отримуємо загальне рішення рівняння (21):

Таким чином, розглянутий метод (спосіб Бернуллі) зводить рішення лінійного рівняння(21) до вирішення двох рівнянь з змінними, що розділяються.

Приклад 6. Знайти загальний інтеграл рівняння.

Це рівняння не є лінійним щодо y та y", але воно виявляється лінійним, якщо вважати шуканою функцією x, а аргументом y. Дійсно, переходячи до, отримуємо

Для вирішення отриманого рівняння скористаємося способом підстановки (Бернуллі). Шукатимемо рішення рівняння у вигляді x(y)=U(y)V(y), тоді. Отримуємо рівняння:

Виберемо функцію V(y) те щоб. Тоді

Що має стандартний вигляд$P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy=0$, в якому ліва частина являє собою повний диференціал деякої функції $F\left(x,y \right)$, називається рівнянням у повних диференціалах.

Рівняння в повних диференціалах завжди можна переписати у вигляді $dF \ left (x, y \ right) = 0 $, де $ F \ left (x, y \ right) $ - така функція, що $ dF \ left (x, y\right)=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$.

Проінтегруємо обидві частини рівняння $ dF \ left (x, y \ right) = 0 $: $ \ int dF \ left (x, y \ right) = F \ left (x, y \ right) $; інтеграл від нульової правої частини дорівнює довільній постійної $C$. Таким чином, загальне рішення даного рівняння в неявній формі має вигляд $ F \ left (x, y \ right) = C $.

Для того, щоб дане диференціальне рівняння являло собою рівняння в повних диференціалах, необхідно і достатньо, щоб виконувалася умова $\frac(\partial P)(\partial y) =\frac(\partial Q)(\partial x) $. Якщо зазначена умова виконана, то існує така функція $F\left(x,y\right)$, для якої можна записати: $dF=\frac(\partial F)(\partial x) \cdot dx+\frac(\partial F)(\partial y) \cdot dy=P\left(x,y\right)\cdot dx+Q\left(x,y\right)\cdot dy$, звідки отримуємо два співвідношення: $\frac(\ partial F)(\partial x) = P\left(x,y\right)$ і $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x,y\right)$.

Інтегруємо перше співвідношення $\frac(\partial F)(\partial x) =P\left(x,y\right)$ по $x$ і отримуємо $F\left(x,y\right)=\int P\ left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$, де $U\left(y\right)$ -- довільна функція від $y$.

Підберемо її так, щоб задовольнялося друге співвідношення $\frac(\partial F)(\partial y) = Q\left(x, y\right)$. Для цього продиференціюємо отримане співвідношення для $F\left(x,y\right)$ $y$ і прирівняємо результат до $Q\left(x,y\right)$. Отримуємо: $\frac(\partial )(\partial y) \left(\int P\left(x,y\right)\cdot dx \right)+U"\left(y\right)=Q\left( x,y\right)$.

Подальше рішення таке:

• з останньої рівності знаходимо $U"\left(y\right)$;
• інтегруємо $U"\left(y\right)$ і знаходимо $U\left(y\right)$;
• підставляємо $U\left(y\right)$ у рівність $F\left(x,y\right)=\int P\left(x,y\right)\cdot dx +U\left(y\right)$ і остаточно отримуємо функцію $F\left(x,y\right)$.

\

Знаходимо різницю:

Інтегруємо $U"\left(y\right)$ по $y$ і знаходимо $U\left(y\right)=\int \left(-2\right)\cdot dy =-2\cdot y$.

Знаходимо результат: $ F \ left (x, y \ right) = V \ left (x, y \ right) + U \ left (y \ right) = 5 \ cdot x \ cdot y ^ (2) +3 \ cdot x\cdot y-2\cdot y$.

Записуємо загальне рішення у вигляді $F \ left (x, y \ right) = C $, а саме:

Знаходимо приватне рішення $F\left(x,y\right)=F\left(x_(0) ,y_(0) \right)$, де $y_(0) =3$, $x_(0) =2 $:

Приватне рішення має вигляд: $5 cdot x cdot y ^ (2) +3 cdot x cdot y-2 cdot y = 102 $.