Однорідні рівняння 1-го порядку. Однорідні рівняння. Вичерпний гід (2019)

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку - це рівняння виду
де f - функція.

Як визначити однорідне диференціальне рівняння

Для того щоб визначити, чи є диференціальне рівняння першого порядку однорідним, потрібно ввести постійну t і замінити y на ty і x на tx : y → ty , x → tx . Якщо t скоротиться, то це однорідне диференціальне рівняння. Похідна y′ за такого перетворення не змінюється.
.

приклад

Визначити, чи є дане рівняння однорідним

Рішення

Робимо заміну y → ty, x → tx.


Ділимо на t 2 .

.
Рівняння не містить t. Отже, це однорідне рівняння.

Метод вирішення однорідного диференціального рівняння

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку приводиться до рівняння з змінними, що розділяються, за допомогою підстановки y = ux . Покажемо це. Розглянемо рівняння:
(i)
Робимо підстановку:
y = ux,
де u - функція від x. Диференціюємо по x:
y′ =
Підставляємо у вихідне рівняння (i).
,
,
(ii) .
Розділяємо змінні. Помножуємо на dx та ділимо на x (f(u) - u).

При f (u) - u ≠ 0та x ≠ 0 отримуємо:

Інтегруємо:

Таким чином, ми отримали загальний інтеграл рівняння (i)у квадратурах:

Замінимо постійну інтегрування C на ln Cтоді

Опустимо знак модуля, оскільки потрібний знаквизначається вибором знака постійної C. Тоді загальний інтеграл набуде вигляду:

Далі слід розглянути випадок f (u) - u = 0.
Якщо це рівняння має коріння, то вони є рішенням рівняння (ii). Оскільки рівняння (ii)не збігається з вихідним рівнянням, слід переконатися, що додаткові рішеннязадовольняють вихідне рівняння (i).

Щоразу, коли ми, у процесі перетворень, ділимо якесь рівняння на деяку функцію, яку позначимо як g (x, y), то подальші перетворення справедливі при g (x, y) ≠ 0. Тому слід окремо розглядати випадок g (x, y) = 0.

Приклад розв'язання однорідного диференціального рівняння першого порядку

Вирішити рівняння

Рішення

Перевіримо, чи є дане рівняння однорідним. Робимо заміну y → ty, x → tx. У цьому y′ → y′ .
,
,
.
Скорочуємо на t.

Постійна t скоротилася. Тому рівняння є однорідним.

Робимо підстановку y = ux, де u - функція від x.
y′ = (ux) ′ = u′ x + u (x) ′ = u′ x + u
Підставляємо у вихідне рівняння.
,
,
,
.
При x ≥ 0 , | X | = x. При x ≤ 0 , | X | = - x. Ми пишемо | x | = x маючи на увазі, що верхній знак відноситься до значень x ≥ 0 , а нижній - до значень x ≤ 0 .
,
Множимо на dx і ділимо на .

У u 2 - 1 ≠ 0 маємо:

Інтегруємо:

Інтеграли табличні,
.

Застосуємо формулу:
(a + b) (a - b) = a 2 - b 2.
Покладемо a = u , .
.
Візьмемо обидві частини за модулем і логарифмуємо,
.
Звідси
.

Таким чином маємо:
,
.
Опускаємо знак модуля, оскільки потрібний знак забезпечується вибором постійного знака C .

Помножуємо на x і підставляємо ux = y.
,
.
Зводимо у квадрат.
,
,
.

Тепер розглянемо випадок, u 2 - 1 = 0 .
Коріння цього рівняння
.
Легко переконатися, що функції y = x задовольняють вихідне рівняння.

Відповідь

,
,
.

Використана література:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмін, Збірник завдань з вищої математики, "Лань", 2003.

Наприклад, функція
- однорідна функція першого виміру, оскільки

- однорідна функція третього виміру, оскільки

- однорідна функція нульового виміру, оскільки

, тобто.
.

Визначення 2. Диференціальне рівняння першого порядку y" = f(x, y) називається однорідним, якщо функція f(x, y) є однорідна функція нульового виміру щодо x і y, або, як кажуть, f(x, y) - однорідна функція ступеня нуль.

Його можна уявити у вигляді

що дозволяє визначити однорідне рівняння як таке диференціальне, яке можна перетворити на вигляд (3.3).

Заміна
приводить однорідне рівняння до рівняння з змінними, що розділяються. Справді, після підстановки у =xzотримаємо
,
Розділяючи змінні та інтегруючи, знайдемо:

,

Приклад 1. Розв'язати рівняння.

Δ Вважаємо у =zx,
Підставляємо ці висловлювання y і dyна дане рівняння:
або
Розділяємо змінні:
та інтегруємо:
,

Замінюючи zна , отримаємо
.

приклад 2. Знайти спільне рішеннярівняння.

Δ У даному рівнянні P (x,y) =x 2 -2y 2 ,Q(x,y) =2xy– однорідні функції другого виміру, отже, це рівняння є однорідним. Його можна уявити у вигляді
і вирішувати так само, як і подане вище. Але використовуємо іншу форму запису. Покладемо y = zx, звідки dy = zdx + xdz. Підставляючи ці вирази у вихідне рівняння, матимемо

dx+2 zxdz = 0 .

Розділяємо змінні, вважаючи

.

Інтегруємо почленно це рівняння

, звідки

тобто
. Повертаючись до колишньої функції
знаходимо загальне рішення


Приклад 3 . Знайти загальне рішення рівняння
.

Δ Ланцюжок перетворень: ,y = zx,
,
,
,
,
,
,
,
, ,
. 

лекція 8.

4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку Лінійне диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

Тут - вільний член, званий також правою частиною рівняння. У цьому вигляді розглядатимемо лінійне рівняння надалі.

Якщо
0, то рівняння (4.1а) називається лінійним неоднорідним. Якщо ж
0, то рівняння набуває вигляду

і називається лінійним однорідним.

Назва рівняння (4.1а) пояснюється тим, що невідома функція y та її похідна входять до нього лінійно, тобто. у першому ступені.

У лінійному однорідному рівнянні змінні поділяються. Переписавши його у вигляді
звідки
та інтегруючи, отримуємо:
,Тобто.

При розподілі на втрачаємо рішення
. Однак воно може бути включене до знайденого сімейства рішень (4.3), якщо вважати, що Зможе приймати значення 0.

Існує кілька методів розв'язання рівняння (4.1а). Згідно методом Бернуллі, рішення шукається у вигляді виконання двох функцій від х:

Одна з цих функцій може бути обрана довільно, оскільки лише твір uv має задовольняти вихідне рівняння, інша визначається на підставі рівняння (4.1а).

Диференціюючи обидві частини рівності (4.4), знаходимо
.

Підставляючи отриманий вираз похідної , а також значення у на рівняння (4.1а), отримуємо
, або

тобто. як функція vвізьмемо рішення однорідного лінійного рівняння (4.6):

(Тут Cписати обов'язково, інакше вийде не загальне, а часткове рішення).

Таким чином, бачимо, що в результаті використовуваної підстановки (4.4) рівняння (4.1а) зводиться до двох рівнянь з змінними (4.6) і (4.7), що розділяються.

Підставляючи
і v(x) у формулу (4.4), остаточно отримуємо

,

.

приклад 1. Знайти загальне рішення рівняння

 Покладемо
тоді
. Підставляючи вирази і у вихідне рівняння, отримаємо
або
(*)

Прирівняємо нулю коефіцієнт при :

Розділяючи змінні в отриманому рівнянні, маємо


(довільну постійну C не пишемо), звідси v= x. Знайдене значення vпідставляємо в рівняння (*):

,
,
.

Отже,
загальне рішення вихідного рівняння.

Зазначимо, що рівняння (*) можна було записати в еквівалентному вигляді:

.

Довільно вибираючи функцію u, а не v, ми могли вважати
. Цей шлях рішення відрізняється від розглянутого лише заміною vна u(і, отже, uна v), так що остаточне значення увиявляється тим самим.

З викладеного вище отримуємо алгоритм рішення лінійного диференціального рівняння першого порядку.

Зазначимо далі, що іноді рівняння першого порядку стає лінійним, якщо увважати незалежною змінною, а x- Залежної, тобто. поміняти ролі x і y. Це можна зробити за умови, що xі dxвходять до рівняння лінійно.

Приклад 2 . Вирішити рівняння
.

На вигляд це рівняння не є лінійним щодо функції у.

Однак якщо розглядати xяк функцію від у, то, враховуючи, що
,його можна привести до вигляду

(4.1 б)

Замінивши на ,отримаємо
або
. Розділивши обидві частини останнього рівняння на твір ydy, приведемо його до вигляду

, або
. (**)

Тут P(y)=,
. Це лінійне рівняння щодо x. Вважаємо
,
. Підставляючи ці вирази в (**), отримуємо

або
.

Виберемо так, щоб
,
, звідки
;
. Далі маємо
,
,
.

Т.к.
, то приходимо до загального рішення даного рівняння у вигляді

.

Зазначимо, що рівняння (4.1а) P(x) та Q (x) можуть входити не тільки у вигляді функцій від x, а й констант: P= a,Q= b. Лінійне рівняння

можна вирішувати і за допомогою підстановки y= uv та поділом змінних:

;
.

Звідси
;
;
; де
. Звільняючись від логарифму, отримуємо загальне рішення рівняння

(тут
).

При b= 0 приходимо до вирішення рівняння

(Див. рівняння показового зростання (2.4) при
).

Спочатку інтегруємо відповідне однорідне рівняння (4.2). Як зазначено вище, його рішення має вигляд (4.3). Вважатимемо співмножник Зв (4.3) функцією від х, тобто. по суті робимо заміну змінною

звідки, інтегруючи, знаходимо

Зазначимо, що згідно з (4.14) (див. також (4.9)), загальне рішення неоднорідного лінійного рівняння дорівнює сумі загального рішення відповідного однорідного рівняння (4.3) та окремого рішення неоднорідного рівняння, що визначається другим складником, що входить до (4.14) (і 4.9)).

При вирішенні конкретних рівнянь слід повторювати наведені вище викладки, а не використовувати громіздку формулу (4.14).

Застосуємо метод Лагранжа до рівняння, розглянутого в приклад 1 :

.

Інтегруємо відповідне однорідне рівняння
.

Розділяючи змінні, отримуємо
і далі
. Рішення виразу формулою y = Cx. Рішення вихідного рівняння шукаємо у вигляді y = C(x)x. Підставивши цей вираз у задане рівняння, отримаємо
;
;
,
. Загальне рішення вихідного рівняння має вигляд

.

Насамкінець зазначимо, що до лінійного рівняння наводиться рівняння Бернуллі

, ( )

яке можна записати у вигляді

.

Заміною
воно наводиться до лінійного рівняння:

,
,
.

Рівняння Бернуллі також вирішуються наведеними вище методами.

Приклад 3 . Знайти загальне рішення рівняння
.

 Ланцюжок перетворень:
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,


Функція f(x,y) називається однорідною функцієюсвоїх аргументів виміру n , якщо справедливо тотожність f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Наприклад, функція f(x,y)=x^2+y^2-xy є однорідною функцією другого виміру, оскільки

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

При n=0 маємо функцію нульового виміру. Наприклад, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)є однорідна функція нульового виміру, оскільки

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^) 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Диференціальне рівняння виду \frac(dy)(dx)=f(x,y)називається однорідним щодо x і y якщо f(x,y) є однорідна функція своїх аргументів нульового вимірювання. Однорідне рівняння завжди можна подати у вигляді

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Вводячи нову функцію u=\frac(y)(x) , рівняння (1) можна привести до рівняння з роздільними змінними:

X\frac(du)(dx)=varphi(u)-u.

Якщо u=u_0 є корінь рівняння \varphi(u)-u=0, то рішення однорідного рівняння буде u=u_0 або y=u_0x (пряма, яка проходить через початок координат).

Зауваження.При вирішенні однорідних рівнянь необов'язково наводити їх до виду (1). Можна відразу робити підстановку y = ux.

приклад 1.Розв'язати однорідне рівняння xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Рішення.Запишемо рівняння у вигляді y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\)^2}+\frac{y}{x} !}так що дане рівняння виявляється однорідним щодо x та y . Покладемо u = frac (y) (x), або y = ux. Тоді y"=xu"+u. Підставляючи в рівняння вирази для y та y", отримуємо x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Розділяємо змінні: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Звідси знаходимо інтегрування

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), або \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Оскільки C_1|x|=\pm(C_1x) , то, позначаючи \pm(C_1)=C отримуємо \arcsin(u)=\ln(Cx), де |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2)або e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Замінюючи u на \frac(y)(x) , матимемо загальний інтеграл \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Звідси загальне рішення: y = x \ sin \ ln (Cx) .

При поділі змінних ми ділили обидві частини рівняння на твір x\sqrt(1-u^2) , тому могли втратити рішення, які звертають у нуль цей твір.

Покладемо тепер x = 0 і \ sqrt (1-u ^ 2) = 0 . Але x\ne0 з підстановки u=\frac(y)(x) , та якщо з співвідношення \sqrt(1-u^2)=0 отримуємо, що 1-\frac(y^2)(x^2)=0, Звідки y = \ pm (x) . Безпосередньою перевіркою переконуємося, що функції y=-x та y=x також є рішеннями даного рівняння.

приклад 2.Розглянути сімейство інтегральних кривих C_alfa однорідного рівняння y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Показати, що дотичні у відповідних точках до кривих, що визначаються цим однорідним диференціальним рівнянням, паралельні між собою.

Примітка:Будемо називати відповіднимиті точки на кривих C_alpha , які лежать на одному промені, що виходить з початку координат.

Рішення.За визначенням відповідних точок маємо \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), Так що в силу самого рівняння y"=y"_1 де y" і y"_1 - кутові коефіцієнти дотичних до інтегральних кривих C_alpha і C_(alpha_1) , в точках M і M_1 відповідно (рис. 12).

Рівняння, що призводять до однорідних

А.Розглянемо диференціальне рівняння виду

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

де a, b, c, a_1, b_1, c_1 - постійні, а f(u) - безперервна функціясвого аргументу u.

Якщо c=c_1=0 то рівняння (3) є однорідним і воно інтегрується, як зазначено вище.

Якщо хоча б одне з чисел c,c_1 відмінно від нуля, слід розрізняти два випадки.

1) Визначник \Delta=\begin(vmatrix)a&b\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Вводячи нові змінні \xi та \eta за формулами x=\xi+h,~y=\eta+k , де h і k - поки невизначені постійні, наведемо рівняння (3) до виду

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(axi+b\eta+ah+bk+c) ) Right).

Вибираючи h і k як рішення системи лінійних рівнянь

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

отримуємо однорідне рівняння \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). Знайшовши його загальний інтеграл і замінивши в ньому xi на x-h, a eta на y-k, отримуємо загальний інтеграл рівняння (3).

2) Визначник \Delta=\begin(vmatrix)a&b\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Система (4) загальному випадкунемає рішень і викладений вище метод неприменим; в цьому випадку \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, і, отже, рівняння (3) має вигляд \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). Підстановка z=ax+by приводить його до рівняння з змінними, що розділяються.

приклад 3.Вирішити рівняння (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Рішення.Розглянемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь \begin(cases)x+y-2=0,\x-y+4=0.\end(cases)

Визначник цієї системи \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&hfill1\hfill1&hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Система має єдине рішення x_0=-1,~y_0=3. Робимо заміну x = xi-1, yy = eta +3 . Тоді рівняння (5) набуде вигляду

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Це рівняння є однорідним рівнянням. Вважаючи \eta=u\xi , отримуємо

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, звідки (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Розділяємо змінні \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Інтегруючи, знайдемо \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C)або \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Повертаємося до змінних x,~y:

(x+1)^2\left=C_1або x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

приклад 4.Вирішити рівняння (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Рішення.Система лінійних рівнянь алгебри \begin(cases)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(cases)несумісна. В цьому випадку метод, застосований у попередньому прикладі, не підходить. Для інтегрування рівняння застосовуємо підстановку x + y = z, dy = dz-dx. Рівняння набуде вигляду

(2-z) \, dx + (2z-1) \, dz = 0.

Розділяючи змінні, отримуємо

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0звідси x-2z-3\ln|z-2|=C.

Повертаючись до змінних x, ~ y, отримуємо загальний інтеграл даного рівняння

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

Б.Іноді рівняння можна призвести до однорідної заміни змінного y=z^\alpha . Це має місце в тому випадку, коли в рівнянні всі члени виявляються однакового виміру, якщо змінному x приписати вимір 1, змінному y - вимір \alpha і похідної \frac(dy)(dx) - вимір \alpha-1 .

Приклад 5.Вирішити рівняння (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Рішення.Робимо підстановку y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, де \alpha поки що довільне число, яке ми виберемо пізніше. Підставляючи в рівняння вирази для y і dy отримаємо

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0або \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Зауважимо, що x^2z^(3\alpha-1) має вимір 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) має вимір \alpha-1 , xz^(3\alpha) має вимір 1+3\alpha . Отримане рівняння буде однорідним, якщо виміру всіх членів однакові, тобто. якщо виконується умова 3\alpha+1=\alpha-1, або \alpha-1.

Покладемо y=\frac(1)(z); вихідне рівняння набуває вигляду

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0або (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Покладемо тепер z = ux, ~ dz = u, dx + x \, du. Тоді це рівняння набуде вигляду (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, звідки u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Розділяємо змінні у цьому рівнянні \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Інтегруючи, знайдемо

\ln|x|+\ln(u^2+1)-ln|u|=\ln(C)або \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Замінюючи u через frac(1)(xy) , отримуємо загальний інтеграл даного рівняння 1+x^2y^2=Cy.

Рівняння має ще очевидне рішення y=0 , що виходить із загального інтеграла при C\to\infty , якщо інтеграл записати як y=\frac(1+x^2y^2)(C)а потім перейти до межі при C\to\infty . Таким чином, функція y=0 є частковим рішенням вихідного рівняння.

У вашому браузері вимкнено Javascript.
Щоб розрахувати, необхідно дозволити елементи ActiveX!

Щоб вирішити однорідне диференціальне рівняння 1-го порядку, використовують підстановку u=y/x, тобто u - нова невідома функція, яка залежить від іксу. Звідси y=ux. Похідну y' знаходимо за допомогою правила диференціювання твору:y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u (оскільки x'=1). Для іншої форми запису: dy = udx + xdu. Після підстановки рівняння спрощуємо і приходимо до рівняння з змінними, що розділяються.

Приклади розв'язання однорідних диференціальних рівнянь 1-го порядку.

1) Розв'язати рівняння

Перевіряємо, що це рівняння однорідне (див. Як визначити однорідне рівняння). Переконавшись, робимо заміну u=y/x, звідки y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u. Підставляємо: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Тому що логарифм твору дорівнює сумілогарифмів, ln(ux)=lnu+lnx. Звідси

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Після приведення подібних доданків: u'x+u=u(1+lnu). Тепер розкриваємо дужки

u'x+u=u+u·lnu. В обох частинах стоїть u, звідси u x = u lnu. Оскільки u - функція від іксу, u = du/dx. Підставляємо,

Отримали рівняння з змінними, що розділяються. Розділяємо змінні, навіщо обидві частини множимо на dx і ділимо на x·u·lnu, за умови, що твір x·u·lnu≠0

Інтегруємо:

У лівій частині – табличний інтеграл. У правій - робимо заміну t=lnu, звідки dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Але ми вже обговорювали, що у таких рівняннях замість З зручніше взяти ln│C│. Тоді

ln│t│=ln│x│+ln│C│. За властивістю логарифмів: ln│t│=ln│Сx│. Звідси t = Cx. (За умовою, x> 0). Час робити зворотну заміну: lnu = Cx. І ще одна зворотна заміна:

За якістю логарифмів:

Це загальний інтеграл рівняння.

Згадуємо умову твір x·u·lnu≠0 (а отже, x≠0,u≠0, lnu≠0, звідки u≠1). Але x≠0 із умови, залишається u≠1, звідки x≠y. Вочевидь, що y=x (x>0) входять у загальне рішення.

2) Знайти приватний інтеграл рівняння y=x/y+y/x, що задовольняє початковим умовам y(1)=2.

Спочатку перевіряємо, що це рівняння є однорідним (хоча наявність доданків y/x та x/y вже побічно вказує на це). Потім робимо заміну u=y/x, звідки y=ux, y'=(ux)'=u'x+x'u=u'x+u. Підставляємо отримані вирази до рівняння:

u'x+u=1/u+u. Спрощуємо:

u'x=1/u. Так як u - функція від іксу, u = du/dx:

Отримали рівняння з змінними, що розділяються. Щоб розділити змінні, множимо обидві частини на dx і u і ділимо на x (x≠0 за умовою, звідси u≠0 теж, отже, втрати рішень при цьому немає).

Інтегруємо:

і оскільки в обох частинах стоять табличні інтеграли, одразу отримуємо

Виконуємо зворотну заміну:

Це загальний інтеграл рівняння. Використовуємо початкову умову y(1)=2, тобто підставляємо отримане рішення y=2, x=1:

3) Знайти загальний інтеграл однорідного рівняння:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Заміна u=y/x, звідки y=ux, dy=xdu+udx. Підставляємо:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Виносимо x² за дужки та ділимо на нього обидві частини (за умови x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Розкриваємо дужки та спрощуємо:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Групуємо складові з du та dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Виносимо спільні множники за дужки:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Розділяємо змінні:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Для цього обидві частини рівняння ділимо на xu(u²+1)≠0 (відповідно додаємо вимоги x≠0 (вже зазначили), u≠0):

Інтегруємо:

У правій частині рівняння - табличний інтеграл, раціональний дрібу лівій частині розкладаємо на прості множники:

(або у другому інтегралі можна було замість підведення під знак диференціала зробити заміну t=1+u², dt=2udu — кому якийсь спосіб більше подобається). Отримуємо:

За властивостями логарифмів:

Зворотна заміна

Згадуємо умову u≠0. Звідси y≠0. При С=0 y=0, отже, втрати рішень немає, і y=0 входить у загальний інтеграл.

Зауваження

Можна отримати запис рішення в іншому вигляді, якщо зліва залишити доданок з x:

Геометричний сенс інтегральної кривої у разі — сімейство кіл з центрами на осі Oy і проходять через початок координат.

Завдання для самоперевірки:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Перевіряємо, що рівняння є однорідним, після чого виконуємо заміну u=y/x, звідки y=ux, dy=xdu+udx. Підставляємо за умови: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Розділивши обидві частини рівняння на x²≠0 одержуємо: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Звідси dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Спростивши, маємо: dx-xudu=0. Звідси xudu = dx, udu = dx / x. Інтегруємо обидві частини:

Стоп! Давай спробуємо розібратися в цій громіздкій формулі.

На першому місці має йти перша змінна у ступеня з деяким коефіцієнтом. У нашому випадку це

У нашому випадку це. Як ми з'ясували, значить тут ступінь за першої змінної - сходиться. І друга змінна в першому ступені – на місці. Коефіцієнт.

В нас це.

Перша змінна у ступені, і друга змінна у квадраті, з коефіцієнтом. Це останній член рівняння.

Як бачиш, наше рівняння підходить для визначення у вигляді формули.

Давай розглянемо другу (словесну) частину визначення.

У нас дві невідомі в. Тут сходиться.

Розглянемо всі доданки. У них сума ступенів невідомих має бути однаковою.

Сума ступенів дорівнює.

Сума ступенів дорівнює (при та при).

Сума ступенів дорівнює.

Як бачиш, все сходиться!

Тепер давай потренуємось у визначенні однорідних рівнянь.

Визнач, які з рівнянь однорідні:

Однорідні рівняння- Рівняння під номерами:

Розглянемо окремо рівняння.

Якщо ми розділимо кожну доданок на розкладемо кожну доданок, то отримаємо

А це рівняння повністю підпадає під визначення однорідних рівнянь.

Як розв'язувати однорідні рівняння?

приклад 2.

Розділимо рівняння на.

У нас за умовою y не може дорівнювати. Тому ми можемо сміливо ділити на

Зробивши заміну, ми отримаємо просте квадратне рівняння:

Так як це наведене квадратне рівняння, скористаємося теоремою Вієта:

Зробивши зворотну заміну, отримуємо відповідь

Відповідь:

приклад 3.

Розділимо рівняння на (за умовою).

Відповідь:

приклад 4.

Знайдіть, якщо.

Тут треба не ділити, а множити. Помножимо всі рівняння на:

Зробимо заміну і розв'яжемо квадратне рівняння:

Зробивши зворотну заміну, отримаємо відповідь:

Відповідь:

Вирішення однорідних тригонометричних рівнянь.

Вирішення однорідних тригонометричних рівнянь нічим не відрізняється від способів розв'язання, описаних вище. Тільки тут, крім іншого, потрібно трохи знати тригонометрію. І вміти вирішувати тригонометричні рівняння(Для цього можеш прочитати розділ ).

Розглянемо такі рівняння на прикладах.

Приклад 5.

Розв'яжіть рівняння.

Ми бачимо типове однорідне рівняння: і – це невідомі, а сума їх ступенів у кожному доданку дорівнює.

Подібні однорідні рівняння вирішуються не складно, але перед тим, як розділити рівняння на, розглянемо випадок, коли

У цьому випадку рівняння набуде вигляду: , значить. Але синус і косинус не можуть одночасно бути рівними, адже по основному тригонометричній тотожності. Тому і на нього можна сміливо ділити:

Оскільки наведене рівняння, то за теоремою Вієта:

Відповідь:

Приклад 6.

Розв'яжіть рівняння.

Як і прикладі, потрібно розділити рівняння на. Розглянемо випадок, коли:

Але синус і косинус не можуть одночасно бути рівними, адже за основною тригонометричною тотожністю. Тож.

Зробимо заміну і розв'яжемо квадратне рівняння:

Зробимо зворотну заміну та знайдемо і:

Відповідь:

Вирішення однорідних показових рівнянь.

Однорідні рівняння вирішуються як і, як розглянутих вище. Якщо ти забув, як вирішувати показові рівняння- Подивися відповідний розділ ()!

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 7.

Розв'яжіть рівняння

Уявимо як:

Ми бачимо типове однорідне рівняння, з двома змінними та сумою ступенів. Розділимо рівняння на:

Як можна помітити, зробивши заміну, ми отримаємо наведене квадратне рівняння (при цьому не потрібно побоюватися поділу на нуль - завжди строго більше за нуль):

За теоремою Вієта:

Відповідь: .

Приклад 8.

Розв'яжіть рівняння

Уявимо як:

Розділимо рівняння на:

Зробимо заміну і розв'яжемо квадратне рівняння:

Корінь не задовольняє умову. Зробимо зворотну заміну і знайдемо:

Відповідь:

ОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ

Спочатку на прикладі одного завдання нагадаю що таке однорідні рівняння і що являє собою рішення однорідних рівнянь.

Розв'яжіть завдання:

Знайдіть, якщо.

Тут можна помітити цікаву річ: якщо поділити кожне доданок на, отримаємо:

Тобто тепер немає окремих і, тепер змінної в рівнянні є шукана величина. І це звичайне квадратне рівняння, яке легко вирішити за допомогою теореми Вієта: добуток коренів рівний, а сума - це числа і.

Відповідь:

Рівняння виду

називається однорідним. Тобто це рівняння з двома невідомими, у кожному доданку якого однакова сума ступенів цих невідомих. Наприклад, у прикладі вище ця сума дорівнює. Розв'язання однорідних рівнянь здійснюється розподілом на одну з невідомих у цій мірі:

І наступною заміною змінних: . Таким чином отримуємо рівняння ступеня з одним невідомим:

Найчастіше нам зустрічатимуться рівняння другого ступеня (тобто квадратні), а їх вирішувати ми вміємо:

Зазначимо, що ділити (і множити) все рівняння на змінну можна тільки якщо ми переконані, що ця змінна не може дорівнювати нулю! Наприклад, якщо нас просять знайти, відразу розуміємо, що оскільки на ділити не можна. У випадках, коли це не так очевидно, необхідно окремо перевіряти випадок, коли ця змінна дорівнює нулю. Наприклад:

Розв'яжіть рівняння.

Рішення:

Бачимо тут типове однорідне рівняння: і - це невідомі, а сума їх ступенів у кожному доданку дорівнює.

Але, перш ніж поділити на і отримати квадратне рівняння щодо, ми повинні розглянути випадок, коли. І тут рівняння набуде вигляду: , отже, . Але синус і косинус не можуть бути одночасно нульовими, адже по основному тригонометричному тотожності: . Тому і на нього можна сміливо ділити:

Сподіваюся, це рішення цілком зрозуміле? Якщо ні, прочитай розділ . Якщо ж незрозуміло, звідки взялося, тобі треба повернутися ще раніше – до розділу.

Виріши сам:

1. Знайдіть, якщо.
2. Знайдіть, якщо.
3. Розв'яжіть рівняння.

Тут я коротко напишу безпосередньо розв'язання однорідних рівнянь:

Рішення:

Відповідь: .

А тут треба не ділити, а множити:

Відповідь:

Якщо тригонометричні рівняння ще ти не проходив, цей приклад можна пропустити.

Так як тут нам потрібно ділити на, переконаємося спершу, сто він не дорівнює нулю:

А це неможливо.

Відповідь: .

ОДНОРІДНІ РІВНЯННЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Рішення всіх однорідних рівнянь зводиться до поділу однією з невідомих ступеня і подальшої заміною змінних.

Алгоритм:

Ну ось, тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, значить ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Тепер найголовніше.

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторюся, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для чого?

Для успішної здачіЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ…

Люди, які отримали хороша освіта, заробляють набагато більше, ніж ті, хто не отримав. Це – статистика.

Але й це – не головне.

Головне те, що вони БІЛЬШЕ ЩАСЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей і життя стає яскравішим? Не знаю...

Але, думай сам...

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… більш щасливим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на якийсь час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов'язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоби виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов'язково з рішеннями, докладним розбором і вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов'язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

Як? Є два варіанта:

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті 299 руб.
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. 499 руб.

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

І на закінчення...

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

"Зрозумів" і "Вмію вирішувати" - це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!