Приведення дробів до найменшого спільного знаменника, як правило, приклади, рішення. Приведення дробів до спільного знаменника (Москаленко М.В)

Щоб привести дроби до найменшого спільному знаменнику, Треба: 1) визначити найменше загальне кратне знаменників цих дробів, воно і буде найменшим загальним знаменником. 2) знайти для кожної з дробів додатковий множник, навіщо ділити новий знаменник на знаменник кожної дроби. 3) помножити чисельник і знаменник кожного дробу на його додатковий множник.

приклади. Привести такі дроби до найменшого спільного знаменника.

Знаходимо найменше загальне кратне знаменників: НОК (5; 4) = 20, тому що 20 - найменше число, яке ділиться і на 5 і на 4. Знаходимо для 1-го дробу додатковий множник 4 (20 : 5 = 4). Для 2-го дробу додатковий множник дорівнює 5 (20 : 4 = 5). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 4, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 5. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 20 ).

Найменший загальний знаменник цих дробів — число 8, оскільки 8 ділиться на 4 і саме себе. Додаткового множника до 1-го дробу не буде (або можна сказати, що він дорівнює одиниці), до 2-го дробу додатковий множник дорівнює 2 (8 : 4 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 2-го дробу на 2. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 8 ).

Дані дроби є нескоротними.

Скоротимо 1-й дріб на 4, а 2-й дріб скоротимо на 2. ( див. приклади скорочення звичайних дробів: Мапа сайту → 5.4.2. Приклади скорочення звичайних дробів). Знаходимо НОК(16) ; 20)=2 4 · 5=16· 5 = 80. Додатковий множник для 1-го дробу дорівнює 5 (80 : 16 = 5). Додатковий множник для 2-го дробу дорівнює 4 (80 : 20 = 4). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 5, а чисельник і знаменник 2-го дробу на 4. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 80 ).

Знаходимо найменший спільний знаменник НОЗ(5 ; 6 і 15) = НОК (5 ; 6 та 15) = 30. Додатковий множник до 1-го дробу дорівнює 6 (30 : 5=6), додатковий множник до 2-го дробу дорівнює 5 (30 : 6=5), додатковий множник до 3-го дробу дорівнює 2 (30 : 15 = 2). Помножуємо чисельник і знаменник 1-го дробу на 6, чисельник і знаменник 2-го дробу на 5, чисельник і знаменник 3-го дробу на 2. Ми привели ці дроби до найменшого спільного знаменника ( 30 ).

Сторінка 1 з 1 1

У даному матеріаліми розберемо, як правильно приводити дроби до нового знаменника, що таке додатковий множник та як його знайти. Після цього сформулюємо основне правило приведення дробів до нових знаменників та проілюструємо його прикладами завдань.

Поняття приведення дробу до іншого знаменника

Згадаймо основну властивість дробу. Згідно з ним, звичайний дріб a b (де a і b – будь-які числа) має нескінченну кількість дробів, які дорівнюють їй. Такі дроби можна отримати, помноживши чисельник та знаменник на однакове число m (натуральне). Іншими словами, все звичайні дробиможуть бути замінені іншими видами a · m b · m . Це і є приведення вихідного значення до дробу з необхідним знаменником.

Привести дріб до іншого знаменника можна, помноживши його чисельник та знаменник на будь-яке натуральне число. Головна умова – множник має бути однаковим для обох частин дробу. У результаті вийде дріб, що дорівнює вихідному.

Проілюструємо це прикладом.

Приклад 1

Привести дріб 11 25 до нового знаменника.

Рішення

Візьмемо довільне натуральне число 4 і помножимо обидві частини вихідного дробу нього. Вважаємо: 11 · 4 = 44 та 25 · 4 = 100 . У результаті вийшов дріб 44100 .

Усі підрахунки можна записати у такому вигляді: 11 25 = 11 · 4 25 · 4 = 44 100

Виходить, будь-який дріб можна привести до величезної кількості різних знаменників. Замість четвірки ми могли б взяти інше натуральне число і отримати ще один дріб, еквівалентний вихідному.

Але не будь-яке число може стати знаменником нового дробу. Так, для a b у знаменнику можуть стояти тільки числа b · m, кратні числу b. Згадайте основні поняття поділу – кратні числа та дільники. Якщо число не кратне b, але дільником нового дробу воно не може бути. Пояснимо нашу думку прикладом розв'язання задачі.

Приклад 2

Обчислити, чи можливе приведення дробу 5 9 до знаменників 54 та 21 .

Рішення

54 кратно дев'ятці, яка стоїть у знаменнику нового дробу (тобто 54 можна поділити на 9). Отже, таке приведення можливе. А 21 ми розділити на 9 не можемо, тому таку дію для цього дробу виконати не можна.

Поняття додаткового множника

Сформулюємо, що таке додатковий множник.

Визначення 1

Додатковий множникє таке натуральне число, на яке множать обидві частини дробу для приведення його до нового знаменника.

Тобто. коли ми виконуємо цю дію з дробом, ми беремо додатковий множник. Наприклад, для приведення дробу 7 10 до виду 21 30 нам знадобиться додатковий множник 3 . А отримати дріб 15 40 із 3 8 можна за допомогою множника 5 .

Відповідно, якщо знаємо знаменник, якого необхідно привести дріб, ми можемо обчислити нею і додатковий множник. Розберемо, як це зробити.

У нас є дріб a b, який можна привести до деякого знаменника c; обчислимо додатковий множник m. Нам треба зробити множення знаменника вихідного дробу на m. У нас вийде b · m, а за умовою завдання b · m = c. Згадаймо, як пов'язані між собою множення та поділ. Цей зв'язок підкаже нам наступний висновок: додатковий множник є не що інше, як приватне від поділу c на b, інакше кажучи, m = c: b.

Отже, знаходження додаткового множника нам потрібно розділити необхідний знаменник на вихідний.

Приклад 3

Знайдіть додатковий множник, за допомогою якого дріб 17 4 був приведений до знаменника 124 .

Рішення

Використовуючи правило вище, ми просто розділимо 124 на знаменник початкового дробу – четвірку.

Вважаємо: 124: 4 = 31 .

Виконувати розрахунки такого типу часто потрібно під час приведення дробів до спільного знаменника.

Правило приведення дробів до вказаного знаменника

Перейдемо до визначення основного правила, за допомогою якого можна привести дроби до вказаного знаменника. Отже,

Визначення 2

Для приведення дробу до зазначеного знаменника потрібно:

1. визначити додатковий множник;
2. помножити нею і чисельник, і знаменник вихідного дробу.

Як застосувати це правило практично? Наведемо приклад розв'язання задачі.

Приклад 4

Виконайте приведення дробу 7 16 до знаменника 336 .

Рішення

Почнемо з обчислення додаткового множника. Розділимо: 336: 16 = 21 .

Отриману відповідь множимо на обидві частини вихідного дробу: 7 16 = 7 · 21 16 · 21 = 147 336 . Так ми привели вихідний дріб до потрібного знаменника 336 .

Відповідь: 7 16 = 147 336 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Матеріал цієї статті пояснює, як знайти найменший спільний знаменникі як привести дроби до спільного знаменника. Спочатку дано визначення спільного знаменника дробів та найменшого спільного знаменника, а також показано, як знайти спільний знаменник дробів. Далі наведено правило приведення дробів до спільного знаменника та розглянуто приклади застосування цього правила. На закінчення розібрано приклади приведення трьох і більшої кількості дробів до спільного знаменника.

Навігація на сторінці.

Що називають приведенням дробів до спільного знаменника?

Тепер ми можемо сказати, що таке приведення дробів до спільного знаменника. Приведення дробів до спільного знаменника– це множення чисельників та знаменників даних дробів на такі додаткові множники, що в результаті виходять дроби з однаковими знаменниками.

Загальний знаменник, визначення, приклади

Тепер настав час дати визначення спільного знаменника дробів.

Іншими словами, загальним знаменником деякого набору звичайних дробів є будь-яке натуральне число, яке ділиться на всі знаменники цих дробів.

З озвученого визначення випливає, що даний набір дробів має нескінченно багато спільних знаменників, оскільки існує безліч спільних кратних всіх знаменників вихідного набору дробів.

Визначення спільного знаменника дробів дозволяє знаходити спільні знаменники цих дробів. Нехай, наприклад, дано дроби 1/4 і 5/6 їх знаменники рівні 4 і 6 відповідно. Позитивними загальними кратними чисел 4 та 6 є числа 12, 24, 36, 48, … Будь-яке з цих чисел є спільним знаменником дробів 1/4 та 5/6.

Для закріплення матеріалу розглянемо рішення наступного прикладу.

приклад.

Чи можна дроби 2/3, 23/6 та 7/12 привести до спільного знаменника 150?

Рішення.

Для відповіді на поставлене запитання нам потрібно з'ясувати, чи є число 150 загальним кратним знаменників 3 , 6 та 12 . Для цього перевіримо, чи ділиться 150 націло на кожне з цих чисел (при необхідності дивіться правила та приклади поділу натуральних чисел, а також правила та приклади поділу натуральних чисел із залишком): 150:3=50, 150:6=25, 150: 12 = 12 (зуп. 6) .

Отже, 150 не ділиться націло на 12, отже, 150 не є загальним кратним чисел 3, 6 та 12 . Отже, число 150 може бути загальним знаменником вихідних дробів.

Відповідь:

Не можна.

Найменший спільний знаменник, як його знайти?

У багатьох чисел, що є загальними знаменниками даних дробів, існує найменше натуральне число , яке називають найменшим загальним знаменником. Сформулюємо визначення найменшого спільного знаменника цих дробів.

Визначення.

Найменший спільний знаменник– це найменше числоз усіх спільних знаменників цих дробів.

Залишилося розібратися із питанням, як знайти найменший спільний дільник.

Оскільки є найменшим позитивним загальним дільником даного набору чисел, то НОК знаменників даних дробів є найменшим загальним знаменником даних дробів.

Таким чином, знаходження найменшого спільного знаменника дробів зводиться до знаменників цих дробів. Розберемо рішення прикладу.

приклад.

Знайдіть найменший загальний знаменник дробів 3/10 та 277/28.

Рішення.

Знаменники даних дробів дорівнюють 10 і 28 . Найменший загальний знаменник, що шукається, знаходиться як НОК чисел 10 і 28 . У нашому випадку легко : оскільки 10 = 2 · 5, а 28 = 2 · 2 · 7 , то НОК (15, 28) = 2 · 2 · 5 · 7 = 140 .

Відповідь:

140 .

Як привести дроби до спільного знаменника? Правило, приклади, рішення

Зазвичай прості дроби призводять до найменшого спільного знаменника. Зараз ми запишемо правило, яке пояснює, як привести дроби до найменшого спільного знаменника.

Правило приведення дробів до найменшого спільного знаменникаскладається з трьох кроків:

• По-перше, є найменший загальний знаменник дробів.
• По-друге, кожному дробу обчислюється додатковий множник, навіщо найменший загальний знаменник ділиться на знаменник кожної дроби.
• По-третє, чисельник та знаменник кожного дробу множиться на його додатковий множник.

Застосуємо озвучене правило для вирішення наступного прикладу.

приклад.

Приведіть дроби 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника.

Рішення.

Виконаємо всі кроки алгоритму приведення дробів до найменшого спільного знаменника.

Спочатку знаходимо найменший загальний знаменник, який дорівнює найменшому загальному кратному чисел 14 та 18 . Оскільки 14=2·7 і 18=2·3·3 , то НОК(14, 18)=2·3·3·7=126 .

Тепер обчислюємо додаткові множники, за допомогою яких дроби 5/14 та 7/18 будуть приведені до знаменника 126 . Для дробу 5/14 додатковий множник дорівнює 126:14=9, а для дробу 7/18 додатковий множник дорівнює 126:18=7.

Залишилося помножити чисельники та знаменники дробів 5/14 та 7/18 на додаткові множники 9 та 7 відповідно. Маємо і .

Отже, приведення дробів 5/14 та 7/18 до найменшого спільного знаменника завершено. У результаті вийшли дроби 45/126 та 49/126.

При складанні та відніманні алгебраїчних дробів з різними знаменникамиспочатку дроби призводять до спільному знаменнику. Це означає, знаходять такий один знаменник, який ділиться на вихідний знаменник кожного дробу алгебри, що входить до складу даного виразу.

Як відомо, якщо чисельник і знаменник дробу помножити (або розділити) на те саме число, відмінне від нуля, то значення дробу не зміниться. Це є основною властивістю дробу. Тому, коли дроби приводять до спільного знаменника, по суті множать вихідний знаменник кожного дробу на множник, що бракує, до загального знаменника. При цьому треба помножити на цей множник та чисельник дробу (для кожного дробу він свій).

Наприклад, дана така сума алгебраїчних дробів:

Потрібно спростити вираз, тобто скласти два алгебраїчні дроби. Для цього в першу чергу треба привести доданки до спільного знаменника. Насамперед слід знайти одночлен, який ділиться і на 3x і на 2y. При цьому бажано, щоб він був найменшим, тобто знайти найменше загальне кратне (НОК) для 3x і 2y.

Для числових коефіцієнтів та змінних НОК шукається окремо. НОК(3, 2) = 6, а НОК(x, y) = xy. Далі виявлені значення перемножуються: 6xy.

Тепер треба визначити, на який множник треба помножити 3x, щоб отримати 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Отже, при наведенні першого алгебраїчного дробу до спільного знаменника її чисельник треба помножити на 2y (знаменник вже був помножений при приведенні до спільного знаменника). Аналогічно шукається множник для чисельника другого дробу. Він дорівнюватиме 3x.

Таким чином, отримуємо:

Далі вже можна діяти як з дробами з однаковими знаменниками: складаються чисельники, а знаменнику пишеться один загальний:

Після перетворень виходить спрощений вираз, що є одним алгебраїчний дріб, Що є сумою двох вихідних:

Алгебраїчні дроби у вихідному вираженні можуть містити знаменники, що є багаточленами, а не одночленами (як у наведеному вище прикладі). У такому разі перед пошуком спільного знаменника слід розкласти знаменники на множники (якщо це можливо). Далі загальний знаменник збирається із різних множників. Якщо множник є у кількох вихідних знаменниках, його беруть один раз. Якщо множник має різні ступені у вихідних знаменниках, його беруть з більшою. Наприклад:

Тут многочлен a 2 – b 2 можна як твір (a – b)(a + b). Множник 2a – 2b розкладається як 2(a – b). Таким чином, загальний знаменник дорівнюватиме 2(a – b)(a + b).