Формула складання дробів із однаковими знаменниками. Складання дробів з цілими числами та різними знаменниками

Вивчення питання віднімання дробів з різними знаменникамизустрічається в шкільному предметіАлгебра у восьмому класі і воно іноді викликає у дітей складність у розумінні. Для віднімання дробів з різними знаменниками використовують таку формулу:

Процедура віднімання дробів аналогічна додавання, оскільки повністю копіює принцип дії.

По-перше, обчислюємо найменше число, яке кратне як одному, і іншому знаменнику.

По-друге, перемножуємо чисельник та знаменник кожного дробу на певне число, яке дозволить нам знаменник привести до цього мінімального спільного знаменника.

По-третє, відбувається процедура самого віднімання, як у результаті знаменник дублюється, а віднімається чисельник другого дробу з першого.

Приклад: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 цілих 1/6

Спочатку потрібно привести їх до одного знаменника, а потім уже зробити віднімання. Наприклад, 1/2 – 1/4 = 2/4 – 1/4 = 1/4. Або, складніше, 1/3 – 1/5 = 5/15 – 3/15 = 2/15. Пояснювати, як наводяться дроби до спільного знаменника?

При таких операціях як додавання або віднімання звичайних дробів з різними знаменниками діє просте правило - знаменники цих дробів наводяться до одного числа, а сама дія виконується з числами, що стоять у чисельнику. Тобто дроби одержують спільний знаменникі немовби об'єднуються в одну. Знаходження спільного знаменника для довільних дробів зазвичай зводиться до простого перемноження кожного дробу на знаменник іншого дробу. Але в більш простих випадкахможна відразу знайти співмножники, які приведуть знаменники дробів одного числа.

Приклад віднімання дробів: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21

Багато дорослих вже забули, як відняти дроби з різними знаменниками, А ця дія відноситься до елементарної математики.

Щоб відняти дроби з різними знаменниками, Треба привести їх до спільного знаменника, тобто знайти найменше загальне кратне знаменників, потім чисельники помножити на додаткові множники, рівні відношенню найменшого загального кратного і знаменника.

Знаки дробів у своїй зберігаються. Після того, як у дробів з'явилися однакові знаменники, можна робити віднімання, а потім, якщо вийде, скоротити дріб.

Олена, Ви вирішили повторити шкільний курс математики?)))

Щоб відняти дроби з різними знаменниками, їх спочатку потрібно привести до одного знаменника, а потім відняти. Найпростіший варіант: Чисельник і знаменник першого дробу помножити на знаменник другого дробу, а чисельник і знаменник другого дробу помножити на знаменник першого дробу. Отримали два дроби з однаковими знаменниками. Тепер від чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник у них однаковий.

Наприклад, три п'ятих відняти дві сьомих і двадцять одна тридцять п'ята відібрати десять тридцять п'ятих і це дорівнює одинадцять тридцять п'ятих.

Якщо знаменники великі числа, можна знайти їх найменше загальне кратне, тобто. число, яке ділитися і один і інший знаменник. І приводити обидва дроби до спільного знаменника (найменшого загального кратного)

Як вичитувати дроби з різними знаменниками завдання дуже просте - наводимо дроби до спільного знаменника і потім у чисельнику робимо віднімання.

Дуже багато хто стикається з труднощами, коли біля цих дробів стоять цілі числа, тому хотів показати, як це робити на наступному прикладі:

віднімання дробів з цілою частиною та з різними знаменниками

спочатку вичитуємо цілі частини 8-5 = 3 (трійка залишається біля першого дробу);

наводимо дроби до спільного знаменника 6 (якщо чисельник першого дробу більше за друге, робимо віднімання і записуємо біля цілої частини, у нашому випадку рухаємося далі);

цілу частину 3 розкладаємо на 2 та 1;

1 записуємо у вигляді дробу 6/6;

6/6+3/6-4/6 записуємо під загальним знаменником 6 і робимо дії в чисельнику;

записуємо знайдений результат 2 5/6.

Важливо пам'ятати, що віднімання дробів проводитися за наявності у них однакових знаменника. Тому коли у нас є різниці дробу з різними знаменниками, їх потрібно привести просто до спільного знаменника, що зробити не складно. Ми просто повинні розкласти у кожного дробу чисельник на множники та обчислити найменше загальне кратне, яке не повинно дорівнювати нулю. Не забуваємо також помножити чисельники на отримані додаткові множники, а приклад для зручності:



Якщо ви хочете відняти дроби з різними знаменниками, то спочатку вам доведеться знайти для цих двох дробів спільний знаменник. І потім відняти з чисельника першого дробу другий. Виходить новий дріб, з новим значенням.

На скільки я пам'ятаю з курсу математики 3-го класу, то для відрахування дробів з різними знаменниками спочатку потрібно обчислити загальний знаменник і привести до нього, а потім просто відраховуються чисельники між собою а знаменник залишається той загальний.

Щоб відняти дроби з різними знаменниками, нам спочатку доведеться знайти найменший загальний знаменник цих дробів.

Розглянемо з прикладу:



Ділимо більше 25 на менше 20. Не ділиться. Значить множимо знаменник 25 на таке число, що одержала сума, щоб могла ділитися на 20. Таким числом буде 4. 25х4=100. 100: 20 = 5. Таким чином ми знайшли найменший спільний знаменник – 100.

Тепер нам необхідно знайти додатковий множник для кожного дробу. Для цього ділимо новий знаменник на старий.

Помножуємо 9 на 4 = 36. Помножуємо 7 на 5 = 35.

Маючи спільний знаменник, ми проводимо віднімання, як показано в прикладі і отримуємо результат.

На даному уроці буде розглянуто додавання та віднімання алгебраїчних дробівз різними знаменниками. Ми вже знаємо, як складати та віднімати звичайні дробиз різними знаменниками. Для цього дробу необхідно привести до спільного знаменника. Виявляється, що алгебраїчні дроби підкоряються тим самим правилам. При цьому ми вже вміємо приводити дроби алгебри до спільного знаменника. Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками - один з найбільш важливих і складних тему курсі 8 класу. При цьому дана темабуде зустрічатися в багатьох темах курсу алгебри, які ви вивчатимете надалі. У рамках уроку ми вивчимо правила складання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, а також розберемо цілий рядтипових прикладів.

Розглянемо найпростіший прикладдля звичайних дробів.

приклад 1.Скласти дроби: .

Рішення:

Згадаймо правило додавання дробів. Для початку дробу необхідно привести до спільного знаменника. У ролі спільного знаменника для звичайних дробів виступає найменше загальне кратне(НОК) вихідних знаменників.

Визначення

Найменше натуральне число, Що ділиться одночасно на числа і.

Для знаходження НОК необхідно розкласти знаменники на прості множники, а потім вибрати всі прості множники, які входять до розкладання обох знаменників.

; . Тоді до НОК чисел повинні входити дві двійки та дві трійки: .

Після знаходження спільного знаменника, необхідно для кожного з дробів знайти додатковий множник (фактично поділити спільний знаменник на знаменник відповідного дробу).

Потім кожен дріб множиться на отриманий додатковий множник. Виходять дроби з однаковими знаменниками, складати та віднімати які ми навчилися на минулих уроках.

Отримуємо: .

Відповідь:.

Розглянемо тепер додавання алгебраїчних дробів із різними знаменниками. Спочатку розглянемо дроби, знаменники яких числами.

приклад 2.Скласти дроби: .

Рішення:

Алгоритм рішення абсолютно аналогічний до попереднього прикладу. Легко підібрати загальний знаменник цих дробів: і додаткові множники кожної з них.

.

Відповідь:.

Отже, сформулюємо алгоритм складання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками:

1. Знайти найменший загальний знаменник дробів.

2. Знайти додаткові множники для кожного дробу (поділивши спільний знаменник на знаменник даного дробу).

3. Примножити чисельники на відповідні додаткові множники.

4. Скласти або відняти дроби, користуючись правилами додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Розглянемо тепер приклад із дробами, у знаменнику яких є буквені вирази.

приклад 3.Скласти дроби: .

Рішення:

Оскільки буквені вирази в обох знаменниках однакові, слід знайти загальний знаменник для чисел . Підсумковий загальний знаменник матиме вид: . Таким чином, рішення даного прикладумає вигляд:.

Відповідь:.

приклад 4.Відняти дроби: .

Рішення:

Якщо «схитрувати» при підборі спільного знаменника не вдається (не можна розкласти на множники або скористатися формулами скороченого множення), то як спільний знаменник доводиться брати добуток знаменників обох дробів.

Відповідь:.

Загалом, при вирішенні подібних прикладів, найскладнішим завданням є знаходження спільного знаменника.

Розглянемо складніший приклад.

Приклад 5.Спростити: .

Рішення:

При знаходженні спільного знаменника необхідно насамперед спробувати розкласти знаменники вихідних дробів на множники (щоб спростити спільний знаменник).

У даному конкретному випадку:

Тоді легко визначити спільний знаменник: .

Визначаємо додаткові множники та вирішуємо даний приклад:

Відповідь:.

Тепер закріпимо правила складання та віднімання дробів з різними знаменниками.

Приклад 6.Спростити: .

Рішення:

Відповідь:.

Приклад 7.Спростити: .

Рішення:

.

Відповідь:.

Розглянемо тепер приклад, у якому складаються не два, а три дроби (адже правила додавання та віднімання для більшої кількості дробів залишаються такими ж).

Приклад 8.Спростити: .

Дроби - це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні більше складні правила, ніж для цілих чисел

Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другий, а знаменник знову ж таки залишити без змін.

Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:

Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники — і все.

Але навіть у таких простих діяхлюди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.

Позбавитися від шкідливої ​​звичкискладати знаменники досить легко. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.

Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!

Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина зі знаками: де ставити мінус, а де плюс.

Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник — і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:

1. Плюс мінус дає мінус;
2. Мінус на мінус дає плюс.

Розберемо все це на конкретних прикладах:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:

Що робити, якщо знаменники різні

Безпосередньо складати дроби з різними знаменниками не можна. Принаймні мені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.

Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці «Приведення дробів до спільного знаменника», тому тут ми не зупинятимемося на них. Краще подивимося на приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-навхрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

Що робити, якщо у дробу є ціла частина

Можу вас втішити: різні знаменники у дробів — це ще не найбільше зло. Набагато більше помилоквиникає тоді, коли в дробах-доданків виділено цілу частину.

Безумовно, для таких дробів існують власні алгоритми складання та віднімання, але вони досить складні та потребують тривалого вивчення. Краще використовуйте просту схему, наведену нижче:

1. Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (нехай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
2. Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
3. Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.

Правила переходу до неправильних дробів та виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дроб». Якщо не пам'ятаєте, обов'язково повторіть. Приклади:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:

Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.

Невелике зауваження до двох останнім прикладамде віднімаються дроби з виділеною цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки його ціла частина.

Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади і задумайтеся. Саме тут початківці припускаються величезної кількості помилок. Такі завдання люблять давати на контрольні роботи. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.

Резюме: загальна схема обчислень

На закінчення наведу загальний алгоритм, Який допоможе знайти суму або різницю двох і більше дробів:

1. Якщо в одному або кількох дробах виділено цілу частину, переведіть ці дроби в неправильні;
2. Приведіть усі дроби до спільного знаменника будь-яким зручним для вас способом (якщо, звичайно, цього не зробили упорядники завдань);
3. Складіть або відніміть отримані числа за правилами складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками;
4. Якщо можливо, зменшіть отриманий результат. Якщо дріб виявився неправильним, виділіть цілу частину.

Пам'ятайте, що виділяти цілу частину краще в кінці завдання, безпосередньо перед записом відповіді.

Зверніть увагу!Перед тим як написати остаточну відповідь, подивіться, чи можна скоротити дріб, який ви отримали.

Віднімання дробів з однаковими знаменниками, приклади:

,

,

Віднімання правильного дробу з одиниці.

Якщо необхідно відняти від одиниці дріб, який є правильним , одиницю переводять до виду неправильного дробу , у неї знаменник дорівнює знаменнику дробу, що віднімається.

Приклад віднімання правильного дробу з одиниці:

Знаменник відрахованого дробу = 7 , тобто одиницю представляємо у вигляді неправильного дробу 7/7 і віднімаємо за правилом віднімання дробів з однаковими знаменниками.

Віднімання правильного дробу з цілого числа.

Правила віднімання дробів -правильної з цілого числа (натурального числа):

• Перекладаємо задані дроби, які містять цілу частину, неправильні. Отримуємо нормальні доданки (не важливо якщо вони з різними знаменниками), які рахуємо за правилами, наведеними вище;
• Далі обчислюємо різницю дробів, які ми отримали. У результаті майже знайдемо відповідь;
• Виконуємо зворотне перетворення, тобто позбавляємося від неправильного дробу - виділяємо в дроби цілу частину.

Віднімемо з цілого числа правильний дріб: представляємо натуральне число у вигляді змішаного числа Тобто. займаємо одиницю в натуральному числі і переводимо її до виду неправильного дробу, знаменник при цьому такий же, як у дробу, що віднімається.

Приклад віднімання дробів:

У прикладі одиницю ми замінили неправильним дробом 7/7 і замість 3 записали змішане числоі від дробової частини відібрали дріб.

Віднімання дробів з різними знаменниками.

Або, якщо сказати іншими словами, віднімання різних дробів.

Правило віднімання дробів із різними знаменниками.Для того, щоб зробити віднімання дробів з різними знаменниками, необхідно, для початку, привести ці дроби до найменшого загального знаменника (НОЗ), і тільки після цього зробити віднімання як з дробами з однаковими знаменниками.

Загальний знаменник кількох дробів – це НОК (найменше загальне кратне)натуральних чисел, які є знаменниками цих дробів.

Увага!Якщо в кінцевому дробі чисельник і знаменник мають спільні множники , то дріб необхідно скоротити. Неправильний дріб краще подати у вигляді змішаного дробу. Залишити результат віднімання, не скоротивши дріб, де є можливість, це незакінчене рішення прикладу!

Порядок дій при відніманні дробів з різними знаменниками.

• знайти НОК для всіх знаменників;
• поставити всім дробів додаткові множники;
• помножити всі чисельники на додатковий множник;
• одержані твори записуємо в чисельник, підписуючи під усіма дробами спільний знаменник;
• зробити віднімання чисельників дробів, підписуючи під різницею загальний знаменник.

Так само проводиться додавання і віднімання дробів за наявності в чисельнику букв.

Віднімання дробів, приклади:

Віднімання змішаних дробів.

При віднімання змішаних дробів (чисел)окремо з цілої частини віднімають цілу частину, а з дробової частини віднімають дробову частину.

Перший варіант віднімання змішаних дробів.

Якщо у дробових частин однаковізнаменники і чисельник дробової частини зменшуваного (з нього віднімаємо) ≥ чисельнику дробової частини віднімається (його віднімаємо).

Наприклад:

Другий варіант віднімання змішаних дробів.

Коли у дробових частин різнізнаменники. Для початку приводимо до спільного знаменника дробові частини, а після цього виконуємо віднімання цілої частини з цілої, а дробової з дробової.

Наприклад:

Третій варіант віднімання змішаних дробів.

Дробна частина меншого дробу, що зменшується, віднімається.

Приклад:

Т.к. у дробових елементів різні знаменники, отже, як і за другому варіанті, спочатку наводимо прості дроби до спільного знаменника.

Чисельник дробової частини меншого числа чисельника дробової частини віднімається.3 < 14. Отже, займаємо одиницю з цілої частини та наводимо цю одиницю до виду неправильного дробу з однаковим знаменником та чисельником = 18.

У чисельнику від правої частини пишемо суму чисельників, далі розкриваємо дужки у чисельнику від правої частини, тобто множимо все і наводимо подібні. У знаменнику дужки не розкриваємо. У знаменниках заведено залишати твір. Отримуємо:

Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками
Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками
Поняття про НОК
Приведення дробів до одного знаменника
Як скласти ціле число та дріб

1 Додавання та віднімання дробів з однаковими знаменниками

Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той самий, наприклад:

Щоб скласти змішані дроби, треба окремо скласти цілі частини, а потім скласти їх дробові частини, і записати результат змішаним дробом,

Якщо при складанні дробових частин вийшов неправильний дріб, виділяємо з нього цілу частину і додаємо її до цілої частини, наприклад:

2 Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками

Щоб скласти або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно спочатку привести їх до одного знаменника, а далі діяти, як зазначено на початку цієї статті. Загальний знаменник кількох дробів – це НОК (найменше загальне кратне). Для чисельника кожного з дробів знаходяться додаткові множники за допомогою поділу НОК на знаменник цього дробу. Ми розглянемо приклад пізніше, після того, як розберемося, що таке НОК.

3 Найменше загальне кратне (НОК)

Найменше загальне кратне двох чисел (НОК) – це найменше натуральне число, яке ділиться на обидва ці числа без залишку. Іноді НОК можна підібрати усно, але частіше, особливо під час роботи з великими числами, доводиться знаходити НОК письмово, за допомогою наступного алгоритму:

Щоб знайти НОК кількох чисел, потрібно:

1. Розкласти ці числа на прості множники
2. Взяти найбільше розкладання, і записати ці числа у вигляді твору
3. Виділити в інших розкладах числа, які не зустрічаються у найбільшому розкладанні (або зустрічаються в ньому менше разів), і додати їх до твору.
4. Перемножити всі числа у творі, це буде НОК.

Наприклад, знайдемо НОК чисел 28 та 21:

4Приведення дробів до одного знаменника

Повернемося до складання дробів із різними знаменниками.

Коли ми наводимо дроби до однакового знаменника, що дорівнює НОК обох знаменників, ми повинні помножити чисельники цих дробів на додаткові множники. Знайти їх можна, розділивши НОК на знаменник відповідного дробу, наприклад:

Таким чином, щоб привести дроби до одного показника, потрібно спочатку знайти НОК (тобто найменше число, Яке ділиться на обидва знаменники) знаменників цих дробів, потім поставити додаткові множники до чисельників дробів. Знайти їх можна, розділивши спільний знаменник (НОК) на знаменник відповідного дробу. Потім потрібно помножити чисельник кожного дробу додатковий множник, а знаменником поставити НОК.

5Як скласти ціле число і дріб

Для того, щоб скласти ціле число та дріб, потрібно просто додати це число перед дробом, при цьому вийде змішаний дріб, наприклад.