Правила складання та віднімання дробових чисел. Як складати дроби з різними знаменниками
Різні діїз дробами можна виконувати, наприклад, додавання дробів. Додавання дробів можна розділити на кілька видів. У кожному вигляді складання дробів свої правила та алгоритм дій. Розглянемо докладно кожен вид складання.
Додавання дробів з однаковими знаменниками.
На прикладі подивимося, як складати дроби із спільним знаменником.
Туристи пішли в похід з точки A до точки E. У перший день вони пройшли від точки A до B або \(\frac(1)(5)\) від усього шляху. На другий день вони пройшли від точки B до D або \(\frac(2)(5)\) від усього шляху. Яку відстань вони пройшли від початку до точки D?
Щоб знайти відстань від точки A до точки D, потрібно скласти дроби \(\frac(1)(5) + \frac(2)(5)\).
Складання дробів з однаковими знаменникамиу тому, що треба чисельники цих дробів скласти, а знаменник залишиться колишній.
\(\frac(1)(5) + \frac(2)(5) = \frac(1 + 2)(5) = \frac(3)(5)\)
У буквеному вигляді сума дробів з однаковими знаменниками виглядатиме так:
\(\bf \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a + b)(c)\)
Відповідь: туристи пройшли \(\frac(3)(5)\) всього шляху.
Додавання дробів з різними знаменниками.
Розглянемо приклад:
Потрібно скласти два дроби \(\frac(3)(4)\) і \(\frac(2)(7)\).
Щоб скласти дроби з різними знаменникамипотрібно спочатку знайтиа потім скористатися правилом складання дробів з однаковими знаменниками.
Для знаменників 4 і 7 загальним знаменником буде число 28. Перший дріб \(\frac(3)(4)\) потрібно помножити на 7. Другий дріб \(\frac(2)(7)\) потрібно помножити на 4.
\(\frac(3)(4) + \frac(2)(7) = \frac(3 \times \color(red) (7) + 2 \times \color(red) (4))(4 \ times \color(red) (7)) = \frac(21 + 8)(28) = \frac(29)(28) = 1\frac(1)(28)\)
У буквеному вигляді одержуємо таку формулу:
\(\bf \frac(a)(b) + \frac(c)(d) = \frac(a \times d + c \times b)(b \times d)\)
Додавання змішаних чисел або змішаних дробів.
Додавання відбувається за законом додавання.
У змішаних дробів складаємо цілі частини з цілими та дробові частини з дробовими.
Якщо дробові частини змішаних чисел мають однакові знаменники, то чисельники складаємо, а знаменник залишається той самий.
Складемо змішані числа\(3\frac(6)(11)\) і \(1\frac(3)(11)\).
\(3\frac(6)(11) + 1\frac(3)(11) = (\color(red) (3) + \color(blue) (\frac(6)(11))) + ( \color(red) (1) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = (\color(red) (3) + \color(red) (1)) + (\color( blue) (\frac(6)(11)) + \color(blue) (\frac(3)(11))) = \color(red)(4) + (\color(blue) (\frac(6) + 3)(11))) = \color(red)(4) + \color(blue) (\frac(9)(11)) = \color(red)(4) \color(blue) (\frac (9)(11))\)
Якщо дрібні частини змішаних чисел маю різні знаменники, то знаходимо спільний знаменник.
Виконаємо додавання змішаних чисел \(7\frac(1)(8)\) і \(2\frac(1)(6)\).
Знаменник різний, тому потрібно знайти спільний знаменник, він дорівнює 24. Помножимо перший дріб \(7\frac(1)(8)\) на додатковий множник 3, а другий дріб \(2\frac(1)(6)\) на 4.
\(7\frac(1)(8) + 2\frac(1)(6) = 7\frac(1 \times \color(red) (3))(8 \times \color(red) (3) ) = 2\frac(1 \times \color(red) (4))(6 \times \color(red) (4)) =7\frac(3)(24) + 2\frac(4)(24 ) = 9\frac(7)(24)\)
Питання на тему:
Як складати дроби?
Відповідь: спочатку треба визначитися до якого типу ставитися вираз: у дробів однакові знаменники, різні знаменники чи змішані дроби. Залежно від типу виразу переходимо до алгоритму розв'язання.
Як вирішувати дроби з різними знаменниками?
Відповідь: необхідно знайти спільний знаменник, а далі за правилом складання дробів з однаковими знаменниками.
Як вирішувати змішані дроби?
Відповідь: складаємо цілі частини з цілими та дробові частини з дробовими.
Приклад №1:
Чи може сума двох у результаті отримати правильний дріб? Неправильний дріб? Наведіть приклади.
\(\frac(2)(7) + \frac(3)(7) = \frac(2 + 3)(7) = \frac(5)(7)\)
Дроб \(\frac(5)(7)\) це правильний дріб, він є результатом суми двох правильних дробів \(\frac(2)(7)\) і \(\frac(3)(7)\).
\(\frac(2)(5) + \frac(8)(9) = \frac(2 \times 9 + 8 \times 5)(5 \times 9) =\frac(18 + 40)(45) = \frac(58)(45)\)
Дроб \(\frac(58)(45)\) є неправильним дробом, він вийшов у результаті суми правильних дробів \(\frac(2)(5)\) і \(\frac(8)(9)\).
Відповідь: на обидва запитання відповідь так.
Приклад №2:
Складіть дроби: а) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11)\) б) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9)\).
а) \(\frac(3)(11) + \frac(5)(11) = \frac(3 + 5)(11) = \frac(8)(11)\)
б) \(\frac(1)(3) + \frac(2)(9) = \frac(1 \times \color(red) (3))(3 \times \color(red) (3)) + \frac(2)(9) = \frac(3)(9) + \frac(2)(9) = \frac(5)(9)\)
Приклад №3:
Запишіть змішаний дріб у вигляді суми натурального числаі правильного дробу: а) \(1\frac(9)(47)\) б) \(5\frac(1)(3)\)
а) \(1\frac(9)(47) = 1 + \frac(9)(47)\)
б) \(5\frac(1)(3) = 5 + \frac(1)(3)\)
Приклад №4:
Обчисліть суму: а) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7)\) б) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) в) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15)\)
а) \(8\frac(5)(7) + 2\frac(1)(7) = (8 + 2) + (\frac(5)(7) + \frac(1)(7)) = 10 + \frac(6)(7) = 10\frac(6)(7)\)
б) \(2\frac(9)(13) + \frac(2)(13) = 2 + (\frac(9)(13) + \frac(2)(13)) = 2\frac(11) )(13) \)
в) \(7\frac(2)(5) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(2 \times 3)(5 \times 3) + 3\frac(4)(15) = 7\frac(6)(15) + 3\frac(4)(15) = (7 + 3)+(\frac(6)(15) + \frac(4)(15)) = 10 + \frac (10)(15) = 10\frac(10)(15) = 10\frac(2)(3)\)
Завдання №1:
За обідом з'їли \(\frac(8)(11)\) від торта, а ввечері за вечерею з'їли \(\frac(3)(11)\). Як ви думаєте, торт повністю з'їли чи ні?
Рішення:
Знаменник дробу дорівнює 11, він вказує, скільки частин розділили торт. В обід з'їли 8 шматочків торта з 11. За вечерею з'їли 3 шматочки торта з 11. Додаємо 8 + 3 = 11, з'їли шматочків торта з 11, тобто весь торт.
\(\frac(8)(11) + \frac(3)(11) = \frac(11)(11) = 1\)
Відповідь: весь торт з'їли.
Вивчення питання віднімання дробів з різними знаменниками зустрічається в шкільному предметіАлгебра у восьмому класі і воно іноді викликає у дітей складність у розумінні. Для віднімання дробів з різними знаменниками використовують таку формулу:
Процедура віднімання дробів аналогічна додавання, оскільки повністю копіює принцип дії.
По-перше, обчислюємо саме невелике число, Яке кратно як одному, так і іншому знаменнику.
По-друге, перемножуємо чисельник і знаменник кожного дробу на певне число, яке дозволить нам знаменник привести до цього мінімального спільному знаменнику.
По-третє, відбувається процедура самого віднімання, як у результаті знаменник дублюється, а віднімається чисельник другого дробу з першого.
Приклад: 8/3 2/4 = 8/3 1/2 = 16/6 3/6 = 13/6 = 2 цілих 1/6
Спочатку потрібно привести їх до одного знаменника, а потім уже зробити віднімання. Наприклад, 1/2 – 1/4 = 2/4 – 1/4 = 1/4. Або, складніше, 1/3 – 1/5 = 5/15 – 3/15 = 2/15. Пояснювати, як наводяться дроби до спільного знаменника?
При таких операціях як додавання або віднімання звичайних дробівз різними знаменниками діє просте правило - знаменники цих дробів наводяться до одного числу, а сама дія виконується з числами, що стоять у чисельнику. Тобто дроби отримують спільний знаменник і немовби об'єднуються в одну. Знаходження спільного знаменника для довільних дробів зазвичай зводиться до простого перемноження кожного дробу на знаменник іншого дробу. Але в більш простих випадкахможна відразу знайти співмножники, які приведуть знаменники дробів одного числа.
Приклад віднімання дробів: 2/3 - 1/7 = 2*7/3*7 - 1*3/7*3 = 14/21 - 3/21 = (14-3)/21 = 11/21
Багато дорослих вже забули, як відняти дроби з різними знаменниками, А ця дія відноситься до елементарної математики.
Щоб відняти дроби з різними знаменниками, Треба привести їх до спільного знаменника, тобто знайти найменше загальне кратне знаменників, потім чисельники помножити на додаткові множники, рівні відношенню найменшого загального кратного і знаменника.
Знаки дробів у своїй зберігаються. Після того, як у дробів з'явилися однакові знаменники, можна робити віднімання, а потім, якщо вийде, скоротити дріб.
Олена, Ви вирішили повторити шкільний курс математики?)))
Щоб відняти дроби з різними знаменниками, їх спочатку потрібно привести до одного знаменника, а потім відняти. Найпростіший варіант: Чисельник і знаменник першого дробу помножити на знаменник другого дробу, а чисельник і знаменник другого дробу помножити на знаменник першого дробу. Отримали два дроби з однаковими знаменниками. Тепер від чисельника першого дробу віднімаємо чисельник другого дробу, а знаменник у них однаковий.
Наприклад, три п'ятих відняти дві сьомих і двадцять одна тридцять п'ята відібрати десять тридцять п'ятих і це дорівнює одинадцять тридцять п'ятих.
Якщо знаменники великі числа, можна знайти їх найменше загальне кратне, тобто. число, яке ділитися і один і інший знаменник. І приводити обидва дроби до спільного знаменника (найменшого загального кратного)
Як вичитувати дроби з різними знаменниками завдання дуже просте - наводимо дроби до спільного знаменника і потім у чисельнику робимо віднімання.
Дуже багато хто стикається з труднощами, коли біля цих дробів стоять цілі числа, тому хотів показати, як це робити на наступному прикладі:
віднімання дробів з цілою частиною та з різними знаменниками
спочатку вичитуємо цілі частини 8-5 = 3 (трійка залишається біля першого дробу);
наводимо дроби до спільного знаменника 6 (якщо чисельник першого дробу більше за друге, робимо віднімання і записуємо біля цілої частини, у нашому випадку рухаємося далі);
цілу частину 3 розкладаємо на 2 та 1;
1 записуємо у вигляді дробу 6/6;
6/6+3/6-4/6 записуємо під загальним знаменником 6 і робимо дії в чисельнику;
записуємо знайдений результат 2 5/6.
Важливо пам'ятати, що віднімання дробів проводитися за наявності у них однакових знаменника. Тому коли у нас є різниці дробу з різними знаменниками, їх потрібно привести просто до спільного знаменника, що зробити не складно. Ми просто повинні розкласти у кожного дробу чисельник на множники та обчислити найменше загальне кратне, яке не повинно дорівнювати нулю. Не забуваємо також помножити чисельники на отримані додаткові множники, а приклад для зручності:
Якщо ви хочете відняти дроби з різними знаменниками, то спочатку вам доведеться знайти для цих двох дробів спільний знаменник. І потім відняти з чисельника першого дробу другий. Виходить новий дріб, з новим значенням.
На скільки я пам'ятаю з курсу математики 3-го класу, то для відрахування дробів з різними знаменниками спочатку потрібно обчислити загальний знаменник і привести до нього, а потім просто відраховуються чисельники між собою а знаменник залишається той загальний.
Щоб відняти дроби з різними знаменниками, нам спочатку доведеться знайти найменший загальний знаменник цих дробів.
Розглянемо з прикладу:
Ділимо більше 25 на менше 20. Не ділиться. Значить множимо знаменник 25 на таке число, що одержала сума, щоб могла ділитися на 20. Таким числом буде 4. 25х4=100. 100: 20 = 5. Таким чином ми знайшли найменший спільний знаменник – 100.
Тепер нам необхідно знайти додатковий множник для кожного дробу. Для цього ділимо новий знаменник на старий.
Помножуємо 9 на 4 = 36. Помножуємо 7 на 5 = 35.
Маючи спільний знаменник, ми проводимо віднімання, як показано в прикладі і отримуємо результат.
Правила складання дробів із різними знаменниками дуже прості.
Розглянемо правила складання дробів із різними знаменниками по кроках:
1. Знайти НОК (найменше загальне кратне) знаменників. Отриманий НОК буде спільним знаменником дробів;
2. Привести дроби до спільного знаменника;
3. Скласти дроби, наведені до спільного знаменника.
на простому прикладінавчимося застосовувати правила складання дробів із різними знаменниками.
приклад
Приклад додавання дробів з різними знаменниками.
Скласти дроби з різними знаменниками:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Вирішуватимемо по кроках.
1. Знайти НОК (найменше загальне кратне) знаменників.
Число 12 ділиться на 6.
Звідси робимо висновок, що 12 є найменшим загальним кратним чисел 6 і 12.
Відповідь: нок чисел 6 і 12 дорівнює 12:
НОК(6, 12) = 12
Отриманий НОК і буде спільним знаменником двох дробів 1/6 та 5/12.
2. Привести дроби до спільного знаменника.
У нашому прикладі привести до спільного знаменника 12 потрібно тільки перший дріб, адже другий дроб знаменник вже дорівнює 12.
Розділимо загальний знаменник 12 на знаменник першого дробу:
2 є додатковий множник.
Помножимо чисельник і знаменник першого дробу (1/6) на додатковий множник 2.
Ваша дитина принесла домашнє завданнязі школи, і ви не знаєте, як його вирішити? Тоді цей міні-урок для вас!
Як складати десяткові дроби
Десяткові дроби зручніше складати у стовпчик. Щоб виконати додавання десяткових дробів, Треба дотримуватися одного простого правила:
- Розряд повинен знаходитися під розрядом, кома під комою.
Як ви бачите на прикладі, цілі одиниці знаходяться один під одним, розряд десятих і сотих знаходиться один під одним. Тепер складаємо числа, не звертаючи уваги на кому. Що ж робити з комою? Кома переноситься на те місце, де стояла в розряді цілих.
Додавання дробів з рівними знаменниками
Щоб виконати складання із загальним знаменником, треба зберегти знаменник без зміни, знайти суму чисельників і отримаємо дріб, який буде загальною сумою.
Додавання дробів з різними знаменниками методом знаходження загального кратного
Перше, на що треба звернути увагу – це знаменники. Знаменники різні, чи не діляться одне на інше, чи є простими числами. Для початку треба привести до одного спільного знаменника, для цього існує кілька способів:
- 1/3 + 3/4 = 13/12, для розв'язання цього прикладу треба знайти найменше загальне кратне число (НОК), яке ділитися на 2 знаменника. Для позначення найменшого кратного чисел a та b – НОК (а; b). У даному прикладіНОК (3; 4) = 12. Перевіряємо: 12: 3 = 4; 12: 4 = 3.
- Перемножуємо множники та виконуємо складання отриманих чисел, отримуємо 13/12 – неправильний дріб.
- Для того щоб перевести неправильний дріб у правильний, розділимо чисельник на знаменник, отримаємо ціле число 1, залишок 1 – чисельник та 12 – знаменник.
Додавання дробів методом множення хрест на хрест
Для складання дробів із різними знаменниками існує ще один спосіб за формулою “хрест на хрест”. Це гарантований спосіб вирівняти знаменники, для цього вам треба чисельники перемножити зі знаменником одного дробу і назад. Якщо ви тільки на початковому етапівивчення дробів, цей спосіб найпростіший і точний, як отримати правильний результат при складанні дробів з різними знаменниками.
§ 87. Додавання дробів.
Додавання дробів має багато подібності зі складанням цілих чисел. Додавання дробів є дія, що полягає в тому, що декілька даних чисел (доданків) з'єднуються в одне число (суму), що містить у собі всі одиниці та частки одиниць доданків.
Ми послідовно розглянемо три випадки:
1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.
2. Додавання дробів з різними знаменниками.
3. Додавання змішаних чисел.
1. Додавання дробів з однаковими знаменниками.
Розглянемо приклад: 1/5 + 2/5.
Візьмемо відрізок АВ (рис. 17), приймемо його за одиницю і розділимо на 5 рівних частин, тоді частина АС цього відрізка дорівнюватиме 1 / 5 відрізка АВ, а частина того ж відрізка CD дорівнюватиме 2 / 5 АВ.
З креслення видно, що й узяти відрізок AD, він дорівнюватиме 3 / 5 АВ; Проте відрізок AD таки є сума відрізків АС і CD. Отже, можна записати:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Розглядаючи дані доданку та отриману суму, бачимо, що чисельник суми вийшов від складання чисельників доданків, а знаменник залишився без зміни.
Звідси отримуємо наступне правило: щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх чисельники та залишити той самий знаменник.
Розглянемо приклад:
2. Додавання дробів з різними знаменниками.
Складемо дроби: 3/4 + 3/8 Попередньо їх потрібно привести до найменшого спільного знаменника:
Проміжне ланка 6/8 + 3/8 можна було б і не писати; ми написали його тут для більшої ясності.
Таким чином, щоб скласти дроби з різними знаменниками, потрібно заздалегідь привести їх до найменшого спільного знаменника, скласти їх чисельники та підписати спільний знаменник.
Розглянемо приклад (додаткові множники писатимемо над відповідними дробами):
3. Додавання змішаних чисел.
Складемо числа: 2 3/8 + 3 5/6 .
Наведемо спочатку дрібні частини наших чисел до спільного знаменника і знову їх перепишемо:
Тепер складемо послідовно цілі та дробові частини:
§ 88. Віднімання дробів.
Віднімання дробів визначається так само, як і віднімання цілих чисел. Це є дію, з допомогою якого з цієї сумі двох доданків і одному їх перебуває інше доданок. Розглянемо послідовно три випадки:
1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.
2. Віднімання дробів із різними знаменниками.
3. Віднімання змішаних чисел.
1. Віднімання дробів з однаковими знаменниками.
Розглянемо приклад:
13 / 15 - 4 / 15
Візьмемо відрізок АВ (рис. 18), приймемо його за одиницю та розділимо на 15 рівних частин; тоді частина АС цього відрізка буде 1/15 від АВ, а частина AD того ж відрізка буде відповідати 13/15 AB. Відкладемо ще відрізок ED, що дорівнює 4/15 АВ.
Нам потрібно відняти з 13/15 дріб 4/15. На кресленні це означає, що від відрізка AD потрібно відібрати відрізок ED. В результаті залишиться відрізок AЕ, який становить 9/15 відрізка АВ. Отже, ми можемо написати:
Зроблений нами приклад показує, що чисельник різниці вийшов від віднімання чисельників, а знаменник залишився той самий.
Отже, щоб зробити віднімання дробів з однаковими знаменниками, потрібно відняти чисельник віднімається з чисельника зменшуваного і залишити колишній знаменник.
2. Віднімання дробів із різними знаменниками.
приклад. 3/4 - 5/8
Попередньо приведемо ці дроби до найменшого спільного знаменника:
Проміжна ланка 6/8 - 5/8 написана тут для більшої ясності, але її можна надалі пропускати.
Таким чином, щоб відняти дріб з дробу, потрібно попередньо привести їх до найменшого спільного знаменника, потім від чисельника зменшуваного відняти чисельник віднімається і під їх різницею підписати спільний знаменник.
Розглянемо приклад:
3. Віднімання змішаних чисел.
приклад. 10 3/4-7 2/3.
Наведемо дробові частини зменшуваного і віднімається до найменшого спільного знаменника:
Ми відняли ціле з цілого та дріб із дробу. Але бувають випадки, коли дробова частина віднімається більше дробової частини зменшуваного. У разі треба взяти одну одиницю з цілої частини зменшуваного, роздробити їх у ті частки, у яких виражена дробова частина, і додати до дробової частини зменшуваного. А потім віднімання виконуватиметься так само, як і в попередньому прикладі:
§ 89. Множення дробів.
При вивченні множення дробів ми розглядатимемо наступні питання:
1. Розмноження дробу на ціле число.
2. Знаходження дробу цього числа.
3. Множення цілого числа на дріб.
4. Розмноження дробу на дріб.
5. Збільшення змішаних чисел.
6. Поняття про відсоток.
7. Знаходження відсотків цього числа. Розглянемо їх послідовно.
1. Розмноження дробу на ціле число.
Множення дробу на ціле число має той самий сенс, що й множення цілого числа на ціле. Помножити дріб (множинне) на ціле число (множник) - означає скласти суму однакових доданків, в якій кожен доданок дорівнює множині, а число доданків дорівнює множнику.
Значить, якщо потрібно 1/9 помножити на 7, то це можна виконати так:
Ми легко отримали результат, оскільки дія звелася до додавання дробів з однаковими знаменниками. Отже,
Розгляд цієї дії показує, що множення дробу на ціле число рівносильне збільшенню цього дробу в стільки разів, скільки одиниць міститься в цілому. Оскільки збільшення дробу досягається або шляхом збільшення її чисельника
або шляхом зменшення її знаменника 
,то ми можемо або помножити чисельник ціле, або розділити нею знаменник, якщо таке розподіл можливо.
Звідси отримуємо правило:
Щоб помножити дріб на ціле число, потрібно помножити на це ціле число чисельник і залишити той самий знаменник або, якщо можливо, розділити на це число знаменник, залишивши без змін чисельник.
При множенні можливі скорочення, наприклад:
2. Знаходження дробу цього числа.Існує безліч завдань, при вирішенні яких доводиться знаходити або обчислювати частину даного числа. Відмінність цих завдань від інших полягає в тому, що в них дається кількість яких-небудь предметів або одиниць виміру і потрібно знайти частину цього числа, яка тут же вказується певним дробом. Для полегшення розуміння ми спочатку наведемо приклади таких завдань, а потім познайомимо із способом їх вирішення.
Завдання 1.У мене було 60 руб.; 1/3 цих грошей я витратив на купівлю книг. Скільки коштували книжки?
Завдання 2.Поїзд має пройти відстань між містами А та В, що дорівнює 300 км. Він уже пройшов 2/3 цієї відстані. Скільки це кілометрів?
Завдання 3.У селі 400 будинків, з них 3/4 цегляних, решта дерев'яних. Скільки всього цегляних будинків?
Ось деякі з тих численних завдань на знаходження частини від цієї кількості, з якими нам доводиться зустрічатися. Їх зазвичай називають завданнями знаходження дробу даного числа.
Розв'язання задачі 1.З 60 руб. я витратив на книги 1/3; Отже, для знаходження вартості книг потрібно число 60 розділити на 3:
Розв'язання задачі 2.Сенс завдання полягає в тому, що потрібно знайти 2/3 від 300 км. Обчислимо спочатку 1/3 від 300; це досягається за допомогою розподілу 300 км на 3:
300: 3 = 100 (це 1/3 від 300).
Для знаходження двох третин від 300 потрібно отримане приватне збільшити вдвічі, тобто помножити на 2:
100 х 2 = 200 (це 2/3 від 300).
Розв'язання задачі 3.Тут потрібно визначити кількість цегляних будинків, які становлять 3/4 від 400. Знайдемо спочатку 1/4 від 400,
400: 4 = 100 (це 1/4 від 400).
Для обчислення трьох чвертей від 400 отримане приватне потрібно збільшити втричі, тобто помножити на 3:
100 х 3 = 300 (це 3/4 від 400).
З вирішення цих завдань ми можемо вивести таке правило:
Щоб знайти величину дробу від даного числа, потрібно розділити це число на знаменник дробу та отримане приватне помножити на його чисельник.
3. Множення цілого числа на дріб.
Раніше (§ 26) було встановлено, що множення цілих чисел потрібно розуміти як додавання однакових доданків (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). У цьому параграфі (пункт 1) було встановлено, що помножити дріб на ціле число - це означає знайти суму однакових доданків, що дорівнює цьому дробу.
В обох випадках множення полягало у знаходженні суми однакових доданків.
Тепер ми переходимо до множення цілого числа на дріб. Тут ми зустрінемося з таким, наприклад, множенням: 9 2/3 . Цілком очевидно, що колишнє визначення множення не підходить до цієї нагоди. Це видно з того, що ми не можемо таке множення замінити додаванням рівних між собою чисел.
Через це нам доведеться дати нове визначення множення, тобто, іншими словами, відповісти на питання, що слід розуміти під множенням на дріб, як треба розуміти цю дію.
Сенс множення цілого числа на дріб з'ясовується з наступного визначення: помножити ціле число (множинне) на дріб (множник) - значить знайти цей дріб множимого.
Саме, помножити 9 на 2/3 – значить знайти 2/3 від дев'яти одиниць. У попередньому пункті вирішувалися такі завдання; тому легко збагнути, що в нас в результаті вийде 6.
Але тепер виникає цікавий і важливе питання: чому такі на перший погляд різні діїЯк знаходження суми рівних чисел і знаходження дробу числа, в арифметиці називаються одним і тим же словом «множення»?
Відбувається це тому, що колишня дія (повторення числа доданків кілька разів) та нова дія (знаходження дробу числа) дають відповідь на однорідні питання. Отже, ми виходимо з тих міркувань, що однорідні питання чи завдання вирішуються однією й тією ж дією.
Щоб це зрозуміти, розглянемо таке завдання: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 4 м такого сукна?
Це завдання вирішується множенням числа рублів (50) на число метрів (4), тобто 50 х 4 = 200 (руб.).
Візьмемо таке саме завдання, але в ній кількість сукна буде виражена дробовим числом: «1 м сукна коштує 50 руб. Скільки буде коштувати 3/4 м такого сукна?
Це завдання теж потрібно вирішувати множенням числа рублів (50) на число метрів (3/4).
Можна ще кілька разів, не змінюючи сенсу завдання, змінити у ній числа, наприклад взяти 9 / 10 м або 2 3 / 10 м тощо.
Так як ці завдання мають один і той же зміст і відрізняються тільки числами, то ми називаємо дії, які застосовуються при їх вирішенні, одним і тим самим словом - множення.
Як виконується множення цілого числа на дріб?
Візьмемо числа, що зустрілися в останній задачі:
Відповідно до визначення ми повинні знайти 3/4 від 50. Знайдемо спочатку 1/4 від 50, а потім 3/4.
1/4 числа 50 становить 50/4;
3/4 числа 50 становлять.
Отже.
Розглянемо ще один приклад: 12 5/8 = ?
1/8 числа 12 становить 12/8,
5/8 числа 12 становлять.
Отже,
Звідси отримуємо правило:
Щоб помножити ціле число на дріб, треба помножити ціле число на чисельник дробу і цей твір зробити чисельником, а знаменником підписати знаменник даного дробу.
Запишемо це правило за допомогою букв:
Щоб це правило стало зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватне. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом множення числа на приватне, викладене в § 38
Необхідно пам'ятати, що перш ніж виконувати множення, слід робити (якщо можливо) скорочення, наприклад:
4. Розмноження дробу на дріб.Множення дробу на дріб має той самий сенс, що і множення цілого числа на дріб, тобто при множенні дробу на дріб потрібно від першого дробу (множини) знайти дріб, що стоїть у множнику.
Саме, помножити 3/4 на 1/2 (половину) – це означає знайти половину від 3/4.
Як виконується множення дробу на дріб?
Візьмемо приклад: 3/4 помножити на 5/7. Це означає, що потрібно знайти 5/7 від 3/4. Знайдемо спочатку 1/7 від 3/4, а потім 5/7
1/7 числа 3/4 висловиться так:
5/7 числа 3/4 виразиться так:
Таким чином,
Ще приклад: 5/8 помножити на 4/9.
1/9 числа 5/8 складає,
4/9 числа 5/8 становлять.
Таким чином, 
З розгляду цих прикладів можна вивести таке правило:
Щоб помножити дріб на дріб, потрібно помножити чисельник на чисельник, а знаменник – на знаменник і перший твір зробити чисельником, а другий – знаменником твору.
Це правило в загальному виглядіможна записати так:
При множенні необхідно робити (якщо можливо) скорочення. Розглянемо приклади:
5. Збільшення змішаних чисел.Оскільки змішані числа можуть бути замінені неправильними дробами, то цією обставиною зазвичай користуються при множенні змішаних чисел. Це означає, що у випадках, коли множимое, чи множник, чи обидва сомножителя виражені змішаними числами, їх замінюють неправильними дробами. Перемножимо, наприклад, змішані числа: 2 1/2 та 3 1/5 . Звернімо кожне з них у неправильний дріб і потім перемножуватимемо отримані дроби за правилом множення дробу на дріб:
Правило.Щоб перемножити змішані числа, потрібно попередньо звернути їх у неправильні дроби і потім перемножити за правилом множення дробу на дріб.
Примітка.Якщо один із співмножників - ціле число, то множення може бути виконане на підставі розподільчого закону так:
6. Поняття про відсоток.При вирішенні завдань та при виконанні різних практичних розрахунків ми користуємось різноманітними дробами. Але треба мати на увазі, що багато величин допускають не будь-які, а природні для них підрозділи. Наприклад, можна взяти одну соту (1/100) рубля, це буде копійка, дві сотих – це 2 коп., три сотих – 3 коп. Можна взяти 1/10 рубля, це буде "10 коп., або гривеньник. Можна взяти чверть рубля, тобто 25 коп., половину рубля, тобто 50 коп. (полтинник). Але практично не беруть, наприклад 2 / 7 рубля тому, що рубль на сьомі частки не ділиться.
Одиниця виміру ваги, тобто кілограм, допускає насамперед десяткові підрозділи, наприклад 1/10 кг, або 100 г. А такі частки кілограма, як 1/6, 1/11, 1/13 невживані.
Загалом наші (метричні) заходи є десятковими та допускають десяткові підрозділи.
Однак треба зауважити, що вкрай корисно та зручно у найрізноманітніших випадках користуватися однаковим (одноманітним) способом підрозділу величин. Багаторічний досвід показав, що таким поділом, що добре виправдав себе, є «сотенний» поділ. Розглянемо кілька прикладів, що стосуються найрізноманітніших галузей людської практики.
1. Ціна на книги знизилася на 12/100 колишньої ціни.
приклад. Колишня ціна книги 10 руб. Вона знизилася на 1 карбованець. 20 коп.
2. Ощадні каси виплачують протягом року вкладникам 2/100 суми, яка покладена на заощадження.
приклад. У касу належить 500 крб., дохід із цієї суми протягом року становить 10 крб.
3. Число випускників однієї школи становило 5/100 від загальної кількості учнів.
П р і м е р. У школі навчалося всього 1200 учнів, з них закінчили школу 60 осіб.
Сота частина числа називається відсотком.
Слово «відсоток» запозичене з латинської мовита його корінь «цент» означає сто. Разом із прийменником (pro centum) це слово означає «за сотню». Сенс такого висловлювання випливає з тієї обставини, що спочатку в стародавньому Римівідсотками називалися гроші, які платив боржник позикодавцю «за сотню». Слово «цент» чується у таких усім знайомих словах: центнер (сто кілограмів), центиметр (говориться сантиметр).
Наприклад, замість того, щоб говорити, що завод за місяць, що минув, дав шлюбу 1/100 від усієї виробленої ним продукції, ми говоритимемо так: завод за минулий місяць дав один відсоток шлюбу. Замість того, щоб говорити: завод виробив продукції на 4/100 більше встановленого плану, ми говоритимемо: завод перевиконав план на 4 відсотки.
Викладені вище приклади можна висловити інакше:
1. Ціна на книги знизилася на 12 відсотків колишньої ціни.
2. Ощадні каси виплачують вкладникам протягом року 2 відсотки із суми, покладеної заощадження.
3. Кількість випускників однієї школи становила 5 відсотків числа всіх учнів школи.
Для скорочення листа прийнято замість слова відсоток писати значок %.
Однак слід пам'ятати, що у обчисленнях значок % зазвичай не пишеться, він може бути записаний в умові завдання та в остаточному результаті. При виконанні обчислень потрібно писати дріб зі знаменником 100 замість цілого числа з цим значком.
Потрібно вміти замінювати ціле число із зазначеним значком дробом із знаменником 100:
Назад, потрібно звикнути замість дробу зі знаменником 100 писати ціле число із зазначеним значком:
7. Знаходження відсотків цього числа.
Завдання 1.Школа здобула 200 куб. м дров, причому березові дровастановили 30%. Скільки було березових дров?
Сенс цього завдання полягає в тому, що березові дрова становили лише частину тих дров, які були доставлені до школи, і ця частина виражається дробом 30/100. Отже, маємо завдання знаходження дробу від числа. Для її вирішення ми повинні 200 помножити на 30/100 (завдання на знаходження дробу числа вирішуються множенням числа на дріб.).
Отже, 30% від 200 дорівнюють 60.
Дроб 30 / 100 , що зустрічалася у цій задачі, допускає скорочення на 10. Можна було б від початку виконати це скорочення; розв'язання завдання від цього не змінилося б.
Завдання 2.У таборі було 300 дітей різного віку. Діти 11 років становили 21%, діти 12 років становили 61% та, нарешті, 13-річних дітей було 18%. Скільки було дітей кожного віку у таборі?
У цьому вся завдання потрібно виконати три обчислення, т. е. послідовно знайти число дітей 11 років, потім 12 років і, нарешті, 13 років.
Отже, тут потрібно буде тричі знайти дріб від числа. Зробимо це:
1) Скільки було дітей 11-річного віку?
2) Скільки було дітей 12-річного віку?
3) Скільки було дітей 13-річного віку?
Після розв'язання задачі корисно скласти знайдені числа; сума їх має становити 300:
63 + 183 + 54 = 300
Слід також звернути увагу, що сума відсотків, даних за умови завдання, становить 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Це говорить про те, що загальна кількістьдітей, які перебували у таборі, було прийнято за 100%.
3 а да ч а 3.Робітник отримав протягом місяця 1 200 крб. З них 65% він витратив на харчування, 6% - на квартиру та опалення, 4% - на газ, електрику та радіо, 10% - на культурні потреби та 15% - зберіг. Скільки грошей витрачено на потреби, що вказані в задачі?
Для вирішення цього завдання потрібно 5 разів знайти дріб від числа 1200. Зробимо це.
1) Скільки грошей витрачено на харчування? У задачі сказано, що ця витрата становить 65% від усього заробітку, тобто 65/100 від числа 1200. Зробимо обчислення:
2) Скільки грошей сплачено за квартиру з опаленням? Розмірковуючи подібно до попереднього, ми прийдемо до наступного обчислення:
3) Скільки грошей сплатили за газ, електрику та радіо?
4) Скільки грошей витрачено на культурні потреби?
5) Скільки грошей робітник зберіг?
Для перевірки корисно скласти числа, знайдені у цих 5 питаннях. Сума має становити 1 200 руб. Весь заробіток прийнято за 100%, що легко перевірити, склавши числа відсотків, дані за умови завдання.
Ми вирішили три завдання. Незважаючи на те, що в цих завданнях йшлося про різні речі (доставка дров для школи, кількість дітей різного віку, витрати робітника), вони вирішувалися одним і тим же способом. Це сталося тому, що у всіх завданнях потрібно було знайти кілька відсотків даних чисел.
§ 90. Розподіл дробів.
При вивченні поділу дробів ми розглядатимемо такі питання:
1. Розподіл цілого числа на ціле.
2. Розподіл дробу на ціле число
3. Розподіл цілого числа на дріб.
4. Розподіл дробу на дріб.
5. Розподіл змішаних чисел.
6. Знаходження числа з даного його дробу.
7. Знаходження числа за його відсотками.
Розглянемо їх послідовно.
1. Розподіл цілого числа на ціле.
Як було зазначено у відділі цілих чисел, розподілом називається дія, яка полягає в тому, що за даним твором двох співмножників (ділимому) та одному з цих співмножників (ділителю) знаходиться інший співмножник.
Розподіл цілого числа на ціле ми розглядали у відділі цілих чисел. Ми зустріли там два випадки поділу: поділ без залишку, або «націло» (150: 10 = 15), і поділ із залишком (100: 9 = 11 і 1 у залишку). Ми можемо, отже, сказати, що у області цілих чисел точне розподіл який завжди можливе, оскільки ділене який завжди є твором дільника ціле число. Після введення множення на дріб ми можемо всякий випадок поділу цілих чисел вважати за можливе (виключається тільки поділ на нуль).
Наприклад, розділити 7 на 12 - це означає знайти таке число, добуток якого на 12 було б 7. Таким числом є дріб 7/12 тому що 7/12 12 =7. Ще приклад: 14: 25 = 14/25, тому що 14/25 25 = 14.
Таким чином, щоб розділити ціле число на ціле, потрібно скласти дріб, чисельник якого дорівнює ділимому, а знаменник - дільнику.
2. Розподіл дробу на ціле число.
Розділити дріб 6/7 на 3. Відповідно до цього вище визначення розподілу ми маємо тут добуток (6/7) та один із співмножників (3); потрібно знайти такий другий співмножник, який від множення на 3 дав би цей твір 6/7. Очевидно, він має бути втричі меншим від цього твору. Отже, поставлене перед нами завдання полягало в тому, щоб дріб 6/7 зменшити у 3 рази.
Ми вже знаємо, що зменшення дробу можна виконати або шляхом зменшення його чисельника, або шляхом збільшення його знаменника. Тому можна написати:
У даному випадкучисельник 6 ділиться на 3, тому слід зменшити у 3 рази чисельник.
Візьмемо інший приклад: 5/8 розділити на 2. Тут чисельник 5 не ділиться націло на 2, отже, на це число доведеться помножити знаменник:
На підставі цього можна висловити правило: щоб розділити дріб на ціле число, потрібно розділити на це ціле число чисельник дробу(якщо це можливо), залишивши той же знаменник, або помножити на це число знаменник дробу, залишивши той самий чисельник.
3. Розподіл цілого числа на дріб.
Нехай потрібно розділити 5 на 1/2, тобто знайти таке число, яке після множення на 1/2 дасть твір 5. Очевидно, це число має бути більше 5, тому що 1/2 є правильний дріб, а при множенні числа на правильний дріб твір має бути меншим від множиного. Щоб це було зрозуміліше, запишемо наші дії так: 5: 1 / 2 = х , Отже, х 1 / 2 = 5.
Ми повинні знайти таке число х , Яке, будучи помножено на 1/2 дало б 5. Так як помножити деяке число на 1/2 - це означає знайти 1/2 цього числа, то, отже, 1/2 невідомого числа х дорівнює 5, а все число х удвічі більше, тобто 52 = 10.
Таким чином, 5: 1/2 = 5 2 = 10
Перевіримо: 
Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 6 на 2/3. Спробуємо спочатку знайти потрібний результат за допомогою креслення (рис. 19).
Рис.19
Зобразимо відрізок АВ, рівний 6 якимось одиницям, і розділимо кожну одиницю на 3 рівні частини. У кожній одиниці три третини (3/3) у всьому відрізку АВ у 6 разів більше,т. е. 18/3. З'єднаємо за допомогою маленьких дужок 18 отриманих відрізків по 2; вийде лише 9 відрізків. Значить дріб 2/3 міститься в б одиницях 9 разів, або, іншими словами, дріб 2/3 у 9 разів менший за 6 цілих одиниць. Отже,
Як отримати цей результат без креслення за допомогою одних лише обчислень? Будемо міркувати так: потрібно 6 розділити на 2/3, тобто потрібно відповісти на запитання, скільки разів 2/3 містяться у 6. Дізнаємося спочатку: скільки разів 1/3 міститься у 6? У цілій одиниці - 3 третини, а у 6 одиницях - у 6 разів більше, тобто 18 третин; для знаходження цього числа ми повинні 6 помножити на 3. Значить, 1 / 3 міститься в б одиницях 18 разів, а 2 / 3 містяться в б не 18 разів, а вдвічі менше разів, тобто 18: 2 = 9. Отже , при розподілі 6 на 2/3 ми виконали такі дії:
Звідси отримуємо правило розподілу цілого числа на дріб. Щоб розділити ціле число на дріб, треба це ціле число помножити на знаменник даного дробу і, зробивши цей добуток чисельником, розділити його на чисельник цього дробу.
Запишемо правило за допомогою букв:
Щоб це правило стало зрозумілим, слід пам'ятати, що дріб можна розглядати як приватне. Тому знайдене правило корисно порівняти з правилом розподілу числа на приватне, що було викладено у § 38. Зверніть увагу на те, що там була отримана така сама формула.
При розподілі можливі скорочення, наприклад:
4. Розподіл дробу на дріб.
Нехай потрібно розділити 3/4 на 3/8. Що позначатиме число, яке вийде в результаті розподілу? Воно даватиме відповідь на запитання, скільки разів дроб 3/8 міститься в дробі 3/4. Щоб розібратися у цьому питанні, зробимо креслення (рис. 20).
Візьмемо відрізок АВ, приймемо його за одиницю, розділимо на 4 рівні частини та відзначимо 3 такі частини. Відрізок АС дорівнюватиме 3/4 відрізка АВ. Розділимо тепер кожен із чотирьох початкових відрізків навпіл, тоді відрізок АВ розділиться на 8 рівних частин і кожна така частина дорівнюватиме 1/8 відрізка АВ. З'єднаємо дугами по 3 таких відрізки, тоді кожен з відрізків AD і DC дорівнюватиме 3/8 відрізка АВ. Креслення показує, що відрізок, рівний 3 / 8 міститься у відрізку, рівному 3 / 4 , рівно 2 рази; значить, результат поділу можна записати так:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Розглянемо ще один приклад. Нехай потрібно розділити 15/16 на 3/32:
Ми можемо міркувати так: потрібно знайти таке число, яке після множення на 3/32 дасть твір, що дорівнює 15/16 . Запишемо обчислення так:
15 / 16: 3 / 32 = х
3 / 32 х = 15 / 16
3 / 32 невідомого числа х становлять 15 / 16
1/32 невідомого числа х складає ,
32 / 32 числа х складають.
Отже,
Таким чином, щоб розділити дріб на дріб, потрібно чисельник першого дробу помножити на знаменник другого, а знаменник першого дробу помножити на чисельник другий і перший добуток чисельником, а другий - знаменником.
Запишемо правило за допомогою букв:
При розподілі можливі скорочення, наприклад:
5. Розподіл змішаних чисел.
При розподілі змішаних чисел їх потрібно попередньо звертати в неправильні дроби, а потім проводити розподіл отриманих дробів за правилами розподілу дробових чисел. Розглянемо приклад:
Обернемо змішані числа в неправильні дроби:
Тепер розділимо:
Таким чином, щоб розділити змішані числа, потрібно звернути їх до неправильних дробів і потім розділити за правилом поділу дробів.
6. Знаходження числа з даного його дробу.
Серед різних завдань на дроби іноді зустрічаються такі, в яких дається величина якогось дробу невідомого числа і потрібно знайти це число. Цього типу завдання будуть оберненими по відношенню до завдань на знаходження дробу даного числа; там давалося число і потрібно знайти деяку дріб від цього числа, тут дається дріб від числа і потрібно знайти саме це число. Ця думка стане ще зрозумілішою, якщо ми звернемося до вирішення такого типу завдань.
Завдання 1.У перший день шибки склали 50 вікон, що складає 1/3 всіх вікон збудованого будинку. Скільки всього вікон у цьому будинку?
Рішення.У задачі сказано, що засклені 50 вікон становлять 1/3 всіх вікон будинку, отже, всього вікон у 3 рази більше, тобто.
У будинку було 150 вікон.
Завдання 2.Магазин продав 1500 кг борошна, що становить 3/8 всього запасу борошна, що був у магазині. Яким був початковий запас борошна у магазині?
Рішення.З умови завдання видно, що продані 1500 кг борошна складають 3/8 всього запасу; значить, 1/8 цього запасу буде в 3 рази менше, тобто для її обчислення потрібно 1500 зменшити у 3 рази:
1500: 3 = 500 (це 1/8 запасу).
Очевидно, весь запас буде у 8 разів більшим. Отже,
500 8 = 4000 (кг).
Початковий запас борошна в магазині дорівнював 4 000 кг.
З розгляду цього завдання можна вивести таке правило.
Щоб знайти число за даною величиною його дробу, достатньо розділити цю величину на чисельник дробу і результат помножити на знаменник дробу.
Ми вирішили дві задачі на знаходження числа з даного дробу. Такі завдання, як це особливо добре видно з останньої, вирішуються двома діями: розподілом (коли знаходять одну частину) та множенням (коли знаходять все число).
Однак після того, як ми вивчили поділ дробів, зазначені вище завдання можна вирішувати однією дією, а саме: поділом на дріб.
Наприклад, остання задача може бути вирішена однією дією так:
Надалі завдання на перебування числа з його дробу ми вирішуватимемо однією дією - поділом.
7. Знаходження числа за його відсотками.
У цих завданнях потрібно буде знайти число, знаючи кілька відсотків цього числа.
Завдання 1.На початку поточного року я отримав у ощадній касі 60 руб. доходу із суми, покладеної мною на заощадження рік тому. Скільки грошей я поклав до ощадної каси? (Каси дають вкладникам 2% доходу на рік.)
Сенс завдання полягає в тому, що деяка сума грошей була покладена мною до ощадної каси і пролежала там рік. Через рік я отримав з неї 60 руб. доходу, що становить 2/100 тих грошей, які я поклав. Скільки грошей я поклав?
Отже, знаючи частину цих грошей, виражену двома способами (у рублях і дробом), ми повинні знайти всю поки що невідому суму. Це звичайне завдання на знаходження числа з даного його дробу. Вирішуються такі завдання розподілом:
Отже, в ощадну касу було покладено 3000 крб.
Завдання 2.Рибалки за два тижні виконали місячний план на 64%, заготовивши 512 т риби. Який мали план?
З умови завдання відомо, що рибалки виконали частину плану. Ця частина дорівнює 512 т, що становить 64% від плану. Скільки тонн риби потрібно заготовити за планом, нам невідомо. У знаходженні цього числа і полягатиме розв'язання задачі.
Такі завдання вирішуються поділом:
Отже, за планом потрібно заготовити 800 тонн риби.
Завдання 3.Потяг йшов із Риги до Москви. Коли він пройшов 276-й кілометр, один із пасажирів запитав кондуктора, який проходить, яку частину шляху вони вже проїхали. На це кондуктор відповів: «Проїхали вже 30% усього шляху». Яка відстань від Риги до Москви?
З умови завдання видно, що 30% шляху від Риги до Москви становлять 276 км. Нам потрібно знайти всю відстань між цими містами, тобто по цій частині знайти ціле:
§ 91. Взаємно обернені числа. Заміна поділу множенням.
Візьмемо дріб 2/3 і переставимо чисельник на місце знаменника, вийде 3/2. Ми отримали дріб, протилежний даній.
Щоб отримати дріб, зворотний даної, потрібно її чисельник поставити місце знаменника, а знаменник - місце чисельника. Цим способом ми можемо отримати дріб, зворотний до будь-якого дробу. Наприклад:
3/4, зворотна 4/3; 5/6, зворотна 6/5
Два дроби, що володіють тією властивістю, що чисельник першої є знаменником другої, а знаменник першої є чисельником другої, називаються взаємно оберненими.
Тепер подумаємо, який дріб буде зворотним для 1/2 . Очевидно, це буде 2 / 1, або просто 2. Знаходячи дріб, зворотний даної, ми отримали ціле число. І цей випадок непоодинокий; навпаки, для всіх дробів з чисельником 1 (одиниця) оберненими будуть цілі числа, наприклад:
1/3, зворотна 3; 1 / 5 , зворотна 5
Так як при відшуканні зворотних дробів ми зустрілися і з цілими числами, то надалі ми говоритимемо не про зворотні дроби, а про зворотні числа.
З'ясуємо, як написати число, обернене до цілого числа. Для дробів це вирішується просто: потрібно знаменник поставити на місце чисельника. Цим самим способом можна отримати зворотне число і для цілого числа, тому що у будь-якого цілого числа можна мати на увазі знаменник 1. Значить, число, зворотне 7, буде 1/7, тому що 7 = 7/1; для числа 10 зворотне буде 1/10, тому що 10 = 10/1
Цю думку можна висловити інакше: число, зворотне даному числу, виходить від поділу одиниці на дане число. Таке твердження справедливе як цілих чисел, але й дробів. Справді, якщо потрібно написати число, обернене дробу 5/9, то ми можемо взяти 1 і розділити її на 5/9, тобто.
Тепер вкажемо одне властивістьвзаємно зворотних чисел, яке буде нам корисним: добуток взаємно зворотних чисел дорівнює одиниці.Справді:
Користуючись цією властивістю, ми можемо знаходити обернені числа наступним шляхом. Нехай потрібно знайти число, яке зворотне 8.
Позначимо його літерою х тоді 8 х = 1, звідси х = 1/8. Знайдемо ще число, зворотне 7 / 12 позначимо його буквою х , тоді 7 / 12 х = 1, звідси х = 1: 7 / 12 або х = 12 / 7 .
Ми ввели тут поняття про взаємно зворотні числа для того, щоб трохи доповнити відомості про поділ дробів.
Коли ми ділимо число 6 на 3/5, то ми виконуємо такі дії:
Зверніть особлива увагана вираз і порівняйте його із заданим: .
Якщо взяти вираз окремо, без зв'язку з попереднім, то не можна вирішити питання, звідки воно виникло: від поділу 6 на 3/5 або від множення 6 на 5/3. В обох випадках виходить те саме. Тому ми можемо сказати, що розподіл одного числа інше можна замінити множенням поділеного на число, зворотне дільнику.
Приклади, що ми даємо нижче, цілком підтверджують цей висновок.
