Як просто множити двоцифрові числа. Як швидко множити двозначні числа в думці

Деякі способи швидкого усного множеннями вже з Вами розібрали, тепер давайте докладніше розберемося, як швидко множити числа в умі, використовуючи різні допоміжні способи. Ви, можливо, вже знаєте, а деякі з них досить екзотичні, наприклад, китайський спосіб множення чисел.

Розкладка за розрядами

Є самим простим прийомомшвидкого множення двоцифрових чисел. Обидва множники потрібно розбити на десятки та одиниці, а потім усі ці нові числа перемножити один на одного.

Даний спосіб вимагає вміння утримувати в пам'яті одночасно до чотирьох чисел і робити з цими числами обчислення.

Наприклад, необхідно перемножити числа 38 і 56 . Робимо це так:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Ще простіше робитиме усне множення двозначних чисел на три дії. Спочатку потрібно перемножити десятки, потім додати два твори одиниць на десятки, а потім додати добуток одиниць на одиниці. Виглядає це так: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Для того, щоб успішно користуватися цим способом, потрібно добре знати таблицю множення, вміти швидко складати двоцифрові і трицифрові числа , і перемикатися між математичними діями, не забуваючи проміжних результатів. Останнє вміння досягається за допомогою та візуалізації.

Даний спосіб не найшвидший та ефективніший, тому варто вивчити ще й інші способи усного множення.

Припасування чисел

Можна спробувати привести арифметичне обчислення до більш зручному вигляду. Наприклад, добуток чисел 35 і 49 можна собі уявити таким чином: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 - 35 = 1715
Цей спосіб може бути ефективнішим, ніж попередній, але він не універсальний, і підходить не до всіх випадків. Не завжди можна знайти потрібний алгоритм для спрощення завдання.

На цю тему згадався анекдот про те, як математик пропливав річкою повз ферму, і заявив співрозмовникам, що йому вдалося швидко підрахувати кількість овець у загоні, 1358 овець. Коли його запитали, як йому це вдалося, він сказав, що все просто – потрібно підрахувати кількість ніг, та розділити на 4.

Візуалізація множення у стовпчик

Цей один із найбільш універсальних способів усного множення чисел, що розвиває просторову уяву та пам'ять. Для початку слід навчитися множити в стовпчик в думці двоцифрові числа на однозначні. Після цього Ви легко зможете множити двоцифрові числа в три дії. Спочатку двоцифрове число потрібно помножити на десятки іншого числа, потім помножити на одиниці іншого числа, і після цього підсумувати отримані числа.

Виглядає це так: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Візуалізація з розміщенням чисел

Дуже цікавий спосібперемноження двоцифрових чисел наступний. Потрібно послідовно перемножити цифри у числах, щоб вийшли сотні, одиниці та десятки.

Допустимо, Вам потрібно помножити 35 на 49 .

Спочатку перемножуєте 3 на 4 , отримуєте 12 , потім 5 і 9 , отримуєте 45 . Записуєте 12 і 5 , з пробілом між ними, а 4 запам'ятовуєте.

Отримуєте: 12 __ 5 (Запам'ятаєте 4 ).

Тепер множите 3 на 9 , і 5 на 4 , і сумуєте: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Тепер потрібно до 47 додати 4 , яку ми запам'ятали. Отримуємо 51 .

Пишемо 1 у середині, а 5 додаємо до 12 , отримуємо 17 .

Отже, число, яке ми шукали, 1715 , Воно є відповіддю:

35 * 49 = 1715
Спробуйте так само перемножити в розумі: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Китайське, або японське, множення

У азіатських країнах прийнято множити числа над стовпчик, а малюючи лінії. Для східних культур важливе прагнення до споглядання та візуалізації, тому, напевно, вони і придумали такий гарний метод, що дозволяє перемножувати будь-які числа. Складний цей спосіб лише з погляду. Насправді велика наочність дозволяє використовувати цей спосіб набагато ефективніше, ніж множення в стовпчик.

Крім того, знання цього давнього східного етоду підвищує Вашу ерудицію. Погодьтеся, не кожен може похвалитися тим, що знає давню системумноження, яким китайці користувалися ще 3000 років тому.

Відео про те, як китайці перемножують числа

Докладніші відомості Ви можете отримати у розділах "Всі курси" та "Корисності", в які можна перейти через верхнє меню сайту. У цих розділах статті згруповані за тематиками блоки, що містять максимально розгорнуту (наскільки це було можливо) інформацію з різних тем.

Також Ви можете підписатися на блог, і дізнаватися про всі нові статті.
Це не займе багато часу. Просто натисніть на посилання нижче:

Існують три загальних способу: пряме множення, метод опорного числа та метод Трахтенберга.

Освойте їх усі, тому що кожен може бути кращим у тій чи іншій ситуації.

Відпрацьовувати отримані навички можна за допомогою тренувальної таблиці.

Пряме множення

Цей метод зручний, коли один із множників знаходиться в діапазоні 12-18 або закінчується на 1, а інший значно від нього відрізняється.

Один із множників подумки розбивають на десятки та одиниці. Потім множать інший множник на десятки, потім одиниці і складають.

Наприклад, 62х13 = 62х10 + 62х3 = 620 + 186 = 806.

Іноді зручно розбивати на десятки та одиниці більший множник: 42×17 = 17×40 + 17×2 = 714.

Метод опорного числа

Для освоєння методу потрібна невелика практика, проте він дуже зручний, коли два множники – близькі числа. Зокрема, це основний спосіб для зведення двоцифрових чисел у квадрат.

Опорне число - це ціле число, близьке до обох множників. Воно може бути менше обох множників, більше обох множників або між ними.

Як опорне число слід вибирати числа, на які легко множити. Наприклад, 50 або 100, якщо вони близькі до двох множників.

Залежно від цього, як співвідносяться опорне число і множники, техніка множення трохи відрізняється.

а. Опорне число менше двох множників.Наприклад, потрібно помножити 32 на 36.

Опорне число - 30. Множники більше за опорне число на 2 і 6.
Додайте до першого множника 6 та помножте на опорне число: 38 × 30 = 1140.
Додайте добуток 2 та 6: 1140 + 2×6 = 1152.

б. Опорне число більше двох множників.Наприклад, потрібно помножити 43 на 48.

Опорне число - 50. Множники менші від опорного числа на 7 і 2.
Відніміть з першого множника 2 та помножте на опорне число: 41 × 50 = 2050.
Додайте добуток 7 та 2: 2050 + 7×2 = 2064.

в. Опорне число – між множниками.Наприклад, потрібно помножити 37 на 42.

Опорне число – 40. Перший множник менше на 3, другий – більше на 2.
Додайте до меншого множника 2 та помножте на опорне число: 39 × 40 = 1560.
Відніміть добуток 3 і 2: 1440 − 3×2 = 1554.

Метод Трахтенбергу

Оскільки метод Трахтенберга не зовсім звичний, за його освоєння краще мати множники перед очима. Надалі практикуйтеся без запису вихідних чисел.

Розберемо метод з прикладу множення 87 на 32.

Подайте числа послідовно: 8732. Перемножте два внутрішні числа (7 і 3), два зовнішні числа (8 і 2) і складіть. Виходить 37.
Перемножте десятки: 80х30 = 2400. Додайте 37х10. Виходить 2770.
Додайте добуток одиниць (7 та 2). Разом 2784.

З усіх наук математика користується особливою повагою, тому що її теореми абсолютно вірні та незаперечні, тоді як закони інших наук певною мірою спірні і завжди існує небезпека їхнього спростування новими відкриттями.

Школярі початкових класів повинні вміти робити в думці нескладні арифметичні обчислення. Наприклад, діти повинні вміти складати і віднімати в думці двоцифрові і трицифрові числа.

У дорослих складання і віднімання двозначних і тризначних чисел не викликає труднощів, оскільки доросла людина самостійно виробив собі способи елементарного усного рахунки.

80 - 67 = 80 - 60 - 7 = 20 - 7 = 13 (відділення розряду одиниць при відніманні)

Комбінації різних способів

79 - 50 (додаток до чисел одиниці)

70 - 50 + 9 = 20 + 9 = 29 (відділення розряду одиниць)

80 + 67 (перенесення одиниці з числа 68 на число 79)

80 + 67 = 80 + 20 + 47 = 100 + 47 = 147

Аналогічними способами легко складаються і віднімаються в думці і тризначні числа.

300 + 57 (+3) + 38(-3) (перенесення трійки з 38 на 57)

287 (+1) - 29 (+1) (додавання одиниці до зменшуваного та до віднімання)

419-297(400-200), 219 (+3) - 97 (+3) (додавання трійки до зменшуваного і віднімається).

Одним із прийомів прискореного множення є прийом перехресного множення, дуже зручний при дії з двоцифровими числами. Спосіб не новий; він сходить до греків та індусів і за старих часів називався "способом блискавки" або "множенням хрестиком".

"Умноженням хрестиком".

Нехай потрібно перемножити 2432. Подумки розташовуємо числа за наступною схемою, одне під іншим:

Тепер послідовно робимо такі дії:

1) 42=8-це остання цифра результату;

2) 22 = 4; 43 = 12; 4+12=16; 6-середня цифра результату; одиницю запам'ятовуємо;

3) 23 = 6 та ще утримана в умі одиниця, маємо 7-це перша цифра результату.

Отримуємо всі цифри твору: 7, 6, 8 = 768

Інший спосіб, що полягає у вживанні так званих "доповнень". Зручно застосовується в тих випадках. коли числа, що перемножуються, близькі до 100. Отриманий результат вірний, наочно видно з наступних перетворень;

8896=88(100-4)=88100-884

496= 4(88+8)= 48+884

929 =8832+0

Таблиця множення на "9".

Існує безліч прийомів прискореного виконання арифметичних процесів-прийомів, призначених для повсякденних обчислень.

Зведення у квадрат чисел, що закінчуються на "5".

Щоб звести до квадрата число, наприклад 65, треба до розряду десятків додати 1(т. е.6+1=7) і помножити 6*7=42, а 5*5=25. Отже, =4225

35*35

=1225 3*4=12

всі відповіді закінчуються числом 25. Але як виходять перші дві цифри відповіді? Вони виходять множенням цифри десятків на наступне за нею натуральне число. Щоб звести до квадрата число, наприклад 65, треба до розряду десятків додати 1(т. е.6+1=7) і помножити 6*7=42, а 5*5=25. Отже =4225.

Запам'ятовування таблиці значень Sin, Cos, tg для гострих кутів.

Бачите, пальці лівої руки утворюють кути:

мізинець-0 (нульовий палець)

безіменний-30 (перший палець)

середній-45 (другий палець)

вказівний-60 (третій палець)

великий-90 (четвертий палець)

Знаючи синуси, можна заповнити косинуси (навпаки), тангенси та котангенси гострих кутів.

Спосіб множення чисел близьких до 100

Приклад: 95*93

Щоб отримати 2 останні цифри відповіді (десятки та одиниці), потрібно

Щоб отримати перші 2 цифри відповіді (тисячі та сотні), треба

4) 93 – 5 = 88 або (95 – 7 = 88)

Отримаємо 8835

Приклад 2: 98*92

Отримаємо 9016

Припустимо, що потрібно перемножити 92 * 96. Додаток для 92 до 100 буде 8, а для 86-4. Дія здійснюють за такою схемою:

Множителі: 92 та 96.

Доповнення: 8 та 4.

Перші дві цифри результату виходять простим відніманням з множника "доповнення" множного чи навпаки: тобто. з 92 віднімають 4 або з 96-8. У тому й іншому випадку маємо 88; до цього числа приписують твір "доповнень": 8?4 = 32.

Ще приклад - потрібно перемножити 78 на 77:

Множителі: 78 і 77.

Доповнення: 22 та 23.

Числа 1, 5 та 6

Ймовірно, всі знають, що від перемноження ряду чисел, що закінчуються на 1, 5 або 6, виходить число, яке закінчує тією самою цифрою.

46 = 2116; 46 = 97 336

Вилучення з-під кореня

1). Щоб витягти число з-під кореня, наприклад, розділимо це число по два розряди праворуч наліво так: = 568

1. Розбиваємо число (5963364) на пари праворуч наліво (5`96`33`64)

2. Виймаємо квадратний коріньз першої зліва групи (число 2). Так ми одержуємо першу цифру числа.

3. Знаходимо квадрат першої цифри (2 2 = 4).

4. Знаходимо різницю першої групи та квадрата першої цифри (5-4=1).

5. Зносимо дві цифри (отримали число 196).

6. Подвоюємо першу, знайдену нами цифру, записуємо зліва за межею (2*2=4).

7. Тепер необхідно знайти другу цифру числа: подвоєна перша цифра, знайдена нами, стає цифрою десятків числа, при множенні якого число одиниць, необхідно отримати число менше 196 (це цифра 4, 44*4=176). 4 – друга цифра числа.

8. Знаходимо різницю (196-176=20).

9. Зносимо наступну групу (отримуємо число 2033).

10. Подвоює число 24, отримуємо 48.

11. 48 десятків у числі, при множенні якого на число одиниць, ми повинні отримати число менше 2033 (484 * 4 = 1936). Знайдена нами цифра одиниць (4) і є третьою цифрою числа.

Числа 10, 11, 12, 13 і 14 мають дивовижну особливість. Хто б міг подумати що

10 2 + 11 2 + 12 2 = 13 2 + 14 2 . Доведемо це: 100 + 121 +144 = 169 + 196

Додавання чисел, близьких один до одного за величиною.

У практиці технічних і торгових обчислень трапляються випадки, коли доводиться складати стовпці чисел, близьких друг до друга за величиною. Наприклад;

Для складання таких чисел застосовується наступний прийом

40*7=280, 3-2-1+5+1-1+2=7, 280+7=287.

Так само знаходимо суму:

750*6+1=4501

Середнє арифметичне чиселблизьких між собою за величиною

руб.
465
473
475
467
478
474
468
472

Подібним чином надходять, коли знаходять середнє арифметичне чисел, близьких між собою за величиною. Знайдемо, наприклад, середню з наступних цін:

Намічаємо в очі круглу ціну, близьку до середньої, тобто. 470 рублів. Записуємо відхилення всіх цін від середньої: надлишки зі знаком плюс+, недоліки зі знаком -.

Отримуємо: -5+3+5-3+8+4-2+2=12. Ділячи суму відхилень з їхньої кількість. Маємо: 12: 8 = 1,5.

Звідси шукана Середня ціна 470 +1,5 = 471,5 (471 рублів 50 копійок).

Множення на числа 5, 25, 125

Перейдемо до множення.

Тут, перш за все, зазначимо, що множення на числа 5, 25, 125 значно прискорюється, якщо мати на увазі таке:

Тому, наприклад,

Розмноження на 15.

При множенні на 15 можна скористатися тим, що

Тому легко проводити в розумі обчислення на кшталт таких:

36*15=360*1=360+180=540,

Або простіше: 36 * 1 * 10 = 540;

Розмноження на 11.

При множенні на 11 немає потреби писати п'ять рядків:

Достатньо лише під помноженим числом підписати його ще раз, відсунувши на одну цифру:

4213 або 4213 і зробити додавання.

Корисно запам'ятати результати множення перших дев'яти чисел на 12, 13, 14, 15. Тоді множення багатозначних чисел такі множники значно прискорюється. Нехай потрібно помножити

Вчиняємо так. Кожну цифру множення множимо в думці відразу на 13:

7 * 13 = 91; 1 пишемо, 9 запам'ятовуємо;

8 * 13 = 104; 104 +9 = 113; 3 пишемо, 11 запам'ятовуємо;

5 * 13 = 65; 65 + 11 = 76; 6 пишемо; 7 запам'ятовуємо;

4*13=52; 52+7=59.

Разом 59631.

Після кількох вправ цей прийом легко запам'ятовується.

Дуже зручний прийом існує для множення двоцифрових чисел на 11: треба розсунути цифри і вписати між ними їх суму:

Якщо ж сума цифр двозначна, то число її десятків додають до першої цифри:

48 * 11 = 4 (12) 8, тобто 528.

Розподіл на 5; 25; 125.

Вкажемо деякі прийоми прискореного поділу.

При розподілі на 5 множать ділене і дільник на 2:

3471:5=6942:10=694,2

При розподілі на 25 множать обидва числа на 4:

3471; 25 = 13884: 100 = 138,84. Аналогічним чином надходять при розподілі на 1(=1,5) та на 2(=2,5); 3471: 1 = 6942: 3 = 2314; 3471: 2,5 = 13884: 10 = 1388,4

Російський спосіб винесення.

Ось приклад:

32*13; 16*26; 8*52; 4*104; 2*208; 1*416

Розподіл навпіл продовжують до того часу, поки у приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Останнє подвоєне число і дає результат.

Як вчинити, якщо при цьому доводиться ділити навпіл число непарне? У разі непарного числа відкинути одиницю та ділити залишок навпіл; зате до останньому числуправого стовпця потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде шуканим твором.19 * 17; 9*34; 4*68; 2*136; 1*272. Склавши незакреслені числа, отримуємо правильний результат: 17+34+272=323.

Множення чисел, що закінчуються на 5.

При множенні пари чисел, у яких цифри десятків були парні чи непарні, а цифра одиниць 5, треба перемножити цифри десятків і до твору додати напівсуму цих цифр. Отримаємо кількість сотень. До сотень треба додати добуток 5*5=25.

Наприклад:

85*45=(8*4+(8+4)/2)сот+5*5=38*100+25=3825

35*55=(3*5+(3+5)/2)сот+5*5=19*100+25=1925

Візьмемо приклад, який нам знайомий із 5 класу.

Знайдіть суму перших ста натуральних чисел:

1+2+3+4+5+6+ : +94+95+96+97+98+99+100=?

А як простіше обчислити такий приклад:

34*48+18*12+23*24=34*2*24+9*24+23*24=24*(68+9+23)=24*100=2400

Самостійно можна скласти приклади на кожне правило та відпрацювати усні обчислення. Складаючи приклади, виконуючи завдання, хлопці не мають труднощів.

Література:

Енциклопедія для дітей Математика. М., Аванта,2002.
Я.І.Перельман, Цікава арифметика. М., 1954.
Журнал "Практичний журнал для вчителя та адміністрації школи". №9, 2004.
Ж. "Математика", №4,1994.

Давайте розглянемо, як можна множити двоцифрові числа, використовуючи традиційні методи, яким нас навчають у школі Деякі з цих методів можуть дозволити вам швидко перемножувати в думці двоцифрові числа при достатньому тренуванні. Знати ці способи корисно. Однак важливо розуміти, що це лише вершина айсбергу. У цьому уроці розглянуто найбільш популярні прийоми множення двоцифрових чисел.

Перший спосіб - розкладка на десятки та одиниці

Найпростішим для розуміння способом множення двоцифрових чисел є той, якому нас навчили у школі. Він полягає в розбитті обох множників на десятки і одиниці з наступним перемноженням чотирьох чисел, що виходять. Цей метод досить простий, але вимагає вміння утримувати в пам'яті одночасно до трьох чисел і паралельно робити арифметичні дії.

Наприклад: 63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 + 3*5=4800+300+240+15=5355

Простіше такі приклади вирішуються на 3 дії. Спочатку множаться десятки один на одного. Потім складаються 2 твори одиниць на десятки. Потім додається добуток одиниць. Схематично це можна описати так:

Перша дія: 60 * 80 = 4800 - запам'ятовуємо
Друга дія: 60*5+3*80 = 540 - запам'ятовуємо
Третя дія: (4800 +540) +3 * 5 = 5355 - відповідь

Для максимально швидкого ефектузнадобиться добре знання таблиці множення чисел до 10, уміння складати числа (до тризначних), а також здатність швидко перемикати увагу з однієї дії на іншу, тримаючи попередній результат в умі. Остання навичка зручно тренувати шляхом візуалізації арифметичних операцій, що здійснюються, коли ви повинні уявляти собі картинку вашого рішення, а також проміжні результати.

Висновок.Не важко переконатися, що цей спосіб не є найефективнішим, тобто дозволяє при найменших діях отримати правильний результат. Слід враховувати інші методи.

Другий спосіб - арифметичні припасування

Приведення прикладу до зручного вигляду є досить поширеним способом рахунку на думці. Підганяти приклад зручно, коли вам потрібно швидко знайти приблизну або точну відповідь. Бажання підганяти приклади під певні математичні закономірності часто виховується на математичних кафедрах університетах чи школах у класах з математичним ухилом. Людей вчать знаходити прості та зручні алгоритми вирішення різних завдань. Ось деякі приклади припасування:

Приклад 49*49 може вирішуватися так: (49*100)/2-49. Спочатку вважається 49 на сто - 4900. Потім 4900 ділиться на 2, що дорівнює 2450, потім віднімається 49. Разом 2401.

Добуток 56*92 вирішується так: 56*100-56*2*2*2. Виходить: 56 * 2 = 112 * 2 = 224 * 2 = 448. З 5600 віднімаємо 448, отримуємо 5152.

Цей спосіб може виявитися ефективнішим за попередній тільки у випадку, якщо ви володієте усним рахунком на базі перемноження двозначних чисел на однозначні і можете тримати в умі одночасно кілька результатів. До того ж доводиться витрачати час на пошук алгоритму рішення, а також йде багато уваги за дотриманням цього алгоритму.

Висновок.Спосіб, коли ви намагаєтеся помножити 2 числа, розкладаючи їх на простіші арифметичні процедури, відмінно тренує ваші мізки, але пов'язаний з великими уявними витратами, а ризик отримати неправильний результат вище, ніж при першому методі.

Третій спосіб - уявна візуалізація множення у стовпчик

56 * 67 - порахуємо в стовпчик.

Напевно, рахунок стовпчиком містить максимальна кількістьдій і вимагає постійно пам'ятати допоміжні числа. Але його можна спростити. У другому уроці розповідалося, що важливо вміти швидко множити однозначні числа двозначні. Якщо ви вже вмієте це робити на автоматі, то рахунок у стовпчик для вас буде не таким вже й важким. Алгоритм такий

Перша дія: 56 * 7 = 350 + 42 = 392 - запам'ятайте і не забувайте до третьої дії.

Друга дія: 56 * 6 = 300 + 36 = 336 (ну або 392-56)

Третя дія: 336 * 10 + 392 = 3360 + 392 = 3 752 - тут складніше, але ви можете починати називати перше число, в якому впевнені - "три тисячі ...", а поки кажете, складайте 360 і 392.

Висновок:рахунок у стовпчик прямо складний, але ви можете, за наявності навички швидкого множеннядвоцифрових чисел на однозначні, його впросити. Додайте до свого арсеналу і цей метод. У спрощеному вигляді рахунок у стовпчик є деякою модифікацією першого методу. Що краще – питання на любителя.

Як можна помітити, жоден із описаних вище способів не дозволяє вважати в умі досить швидко і точно всі приклади множення двоцифрових чисел. Потрібно розуміти, що використання традиційних способівмноження для рахунку в розумі не завжди є раціональним, тобто що дозволяє при найменших зусиллях досягати максимального результату.

Усний рахунок– заняття, яким у наш час себе турбує дедалі менша кількість людей. Набагато простіше дістати калькулятор на телефоні та обчислити будь-який приклад.

Але чи це так насправді? У цій статті ми представимо математичні лайфхаки, які допоможуть навчитися швидко складати, віднімати, множити та ділити числа в умі. Причому оперуючи не одиницями та десятками, а мінімум двоцифровими і трицифровими числами.

Після освоєння методів цієї статті ідея лізти в телефон за калькулятором вже не здасться такою гарною. Адже можна не витрачати час і порахувати все в голові набагато швидше, а заразом розім'яти мізки і справити враження на оточуючих (протилежної статі).

Попереджаємо!Якщо ви звичайна людина, а не вундеркінд, то для розвитку навички рахунку в розумі знадобляться тренування та практика, концентрація уваги та терпіння. Спочатку все може виходити повільно, але потім справа піде на лад, і ви зможете швидко рахувати в умі будь-які числа.

Гаус і усний рахунок

Одним із математиків із феноменальною швидкістю усного рахунку був знаменитий Карл Фрідріх Гаусс (1777-1855). Так-так, той самий Гаус, який вигадав нормальний розподіл.

За його власним словамВін навчився вважати раніше, ніж говорити. Коли Гауссу було 3 роки, хлопчик глянув на платіжну відомість батька і заявив: «Підрахунки невірні». Після того як дорослі всі перевіряли ще раз, з'ясувалося, що маленький Гаусс мав рацію.

Надалі цей математик досяг неабияких висот, яке праці досі активно використовуються в теоретичних і прикладних науках. До самої смерті більшу частину обчислень Гаус виробляв в умі.

Тут ми не займатимемося складними розрахунками, а почнемо з найпростішого.

Додавання чисел в розумі

Щоб навчитися складати в умі великі числа, потрібно вміти безпомилково складати числа до 10 . Зрештою, будь-яке складне завдання зводиться до виконання кількох тривіальних дій.

Найчастіше проблеми та помилки виникають при додаванні чисел з «переходом через 10 ». При складанні (та й при відніманні) зручно застосовувати техніку «опори на десяток». Що це? Спочатку ми подумки питаємо себе, скільки одному із доданків не вистачає до 10 , а потім додаємо до 10 різницю, що залишилася до другого складового.

Наприклад, складемо числа 8 і 6 . Щоб із 8 отримати 10 , не вистачає 2 . Потім до 10 залишиться додати 4=6-2 . У результаті отримуємо: 8+6=(8+2)+4=10+4=14

Основна хитрість із додаванням великих чисел – розбити їх на розрядні частини, а потім скласти ці частини між собою.

Нехай нам потрібно скласти два числа: 356 і 728 . Число 356 можна уявити як 300+50+6 . Аналогічно, 728 матиме вигляд 700+20+8 . Тепер складаємо:

356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084

Віднімання чисел в розумі

Віднімання чисел теж даватиметься легко. Але на відміну від додавання, де кожне число розбивається на розрядні частини, при відніманні «розбити» потрібно тільки те число, яке ми забираємо.

Наприклад, скільки буде 528-321 ? Розбиваємо число 321 на розрядні частини та отримуємо: 321=300+20+1 .

Тепер вважаємо: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207

Спробуйте візуалізувати процеси складання та віднімання. У школі всіх навчали рахувати в стовпчик, тобто зверху вниз. Один із способів перебудувати мислення та прискорити рахунок – рахувати не зверху вниз, а зліва направо, розбиваючи числа на розрядні частини.

Розмноження чисел в розумі

Множення – це багаторазове повторення числа. Якщо потрібно помножити 8 на 4 , це означає, що число 8 потрібно повторити 4 рази.

8*4=8+8+8+8=32

Бо всі складні завданнязводяться до простіших, потрібно вміти множити всі однозначні числа. Для цього існує відмінний інструмент – Таблиця множення . Якщо ви не знаєте цю таблицю на зубок, то ми рекомендуємо насамперед вивчити її і тільки потім прийматися за практику усного рахунку. До того ж вчити там, насправді, нічого.

Множення багатозначних чисел на однозначні

Спочатку потренуйтесь у множенні багатозначних чисел на однозначні. Нехай треба помножити 528 на 6 . Розбиваємо число 528 на розряди і йдемо від старшого до молодшого. Спочатку множимо, а потім складаємо результати.

528=500+20+8

528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168

До речі! Для наших читачів зараз діє знижка 10% на

Розмноження двоцифрових чисел

Тут теж немає нічого складного, лише навантаження на короткострокову пам'ять трохи більше.

Перемножимо 28 і 32 . І тому зведемо всю операцію до множення на однозначні числа. Уявимо 32 як 30+2

28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896

Ще один приклад. Помножимо 79 на 57 . Це означає, що потрібно взяти число « 79 » 57 разів. Розіб'ємо всю операцію на етапи. Спочатку помножимо 79 на 50 , а потім - 79 на 7 .

79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
79*7=(70+9)*7=490+63=553
3950+553=4503

Розмноження на 11

Ось хитрий прийом швидкого усного рахунку, який допоможе помножити будь-яке двозначне числона 11 із феноменальною швидкістю.

Щоб помножити двозначне число на 11 , дві цифри числа складаємо один з одним, і суму, що вийшла, вписуємо між цифрами вихідного числа. Те, що вийшло в результаті тризначне число- результат множення вихідного числа на 11 .

Перевіримо та помножимо 54 на 11 .

5+4=9
54*11=594

Візьміть будь-яке двоцифрове число, помножте його на 11 і переконайтеся самі – ця хитрість працює!

Зведення у квадрат

За допомогою іншого цікавого прийомуусного рахунку можна легко і швидко зводити двоцифрові числа в квадрат. Особливо просто це робити з числами, які закінчуються на 5 .

Результат починається з добутку першої цифри числа на наступну за нею за ієрархією. Тобто, якщо цю цифру позначити через n , то наступною за нею за ієрархією цифрою буде n+1 . Результат закінчується квадрат останньої цифри, тобто квадрат 5 .

Перевіримо! Зведемо у квадрат число 75 .

7*8=56
5*5=25
75*75=5625

Розподіл чисел в голові

Залишилося розібратися з поділом. По суті, це операція, обернена до множення. З поділом чисел до 100 ніяких проблем взагалі виникати не повинно - є таблиця множення, яку ви знаєте на зубок.

Розподіл на однозначне число

При розподілі багатозначних чисел на однозначне необхідно виділити якомога більшу частину, яку можна розділити з допомогою таблиці множення.

Наприклад, є число 6144 , яке потрібно розділити на 8 . Згадуємо таблицю множення та розуміємо, що на 8 буде ділитися число 5600 . Подаємо приклад у вигляді:

6144:8=(5600+544):8=700+544:8

544:8=(480+64):8=60+64:8

Залишилося розділити 64 на 8 і отримати результат, склавши всі результати поділу

64:8=8

6144:8=700+60+8=768

Поділ на двозначне число

При розподілі на двозначне число потрібно скористатися правилом останньої цифри результату при множенні двох чисел.

При множенні двох багатоцифрових чисел остання цифра результату множення завжди збігається з останньою цифрою результату множення останніх цифр цих чисел.

Наприклад, помножимо 1325 на 656 . За правилом, остання цифра в числі буде 0 , так як 5*6=30 . Справді, 1325*656=869200 .

Тепер, озброївшись цією цінною інформацією, розглянемо поділ на двозначне число.

Скільки буде 4424:56 ?

Спочатку користуватимемося методом «підгону» і знайдемо межі, в яких лежить результат. Нам потрібно знайти число, яке при множенні на 56 дасть 4424 . Інтуїтивно спробуємо число 80.

56*80=4480

Отже, число, яке шукає менше 80 і явно більше 70 . Визначимо його останню цифру. Її твір на 6 має закінчуватися цифрою 4 . Згідно з таблицею множення, нам підходять результати 4 і 9 . Логічно припустити, що результатом поділу може бути чи число 74 , або 79 . Перевіряємо:

79*56=4424

Готово, рішення знайдено! Якби не підійшло число 79 , Другий варіант обов'язково виявився б вірним.

На закінчення наведемо кілька корисних порад, які допоможуть швидко навчитися усному рахунку:

Не забувайте тренуватись щодня;
не кидайте тренування, якщо результат не приходить так швидко, як хотілося б;
скачайте мобільний додатокдля усного рахунку: так вам не доведеться самостійно вигадувати собі приклади;
почитайте книги з методик швидкого усного рахунку. Існують різні техніки усного рахунку, і ви зможете опанувати ту, яка найкраще підходить саме вам.

Користь усного рахунку незаперечна. Тренуйтеся, і з кожним днем ви вважатимете все швидше і швидше. А якщо вам знадобиться допомога у вирішенні складніших та багаторівневих завдань, звертайтесь до спеціалістів студентського сервісу за швидкою та кваліфікованою допомогою!

З найкращою безкоштовною гроюнавчається дуже швидко. Перевірте це!

Вчити таблицю множення – гра

Спробуйте нашу навчальну електронну гру. Використовуючи її, ви вже завтра зможете вирішувати математичні задачіу класі біля дошки без відповідей, не вдаючись до табличці, щоб помножити числа. Варто тільки почати грати і вже хвилин через 40 буде відмінний результат. А для закріплення результату тренуйтеся кілька разів, не забуваючи про перерви. В ідеалі – щодня (збережіть сторінку, щоби не втратити). Ігрова формаТренажер підходить як для хлопчиків, так і для дівчаток.

Результат: 0 очк.

· =

Дивіться нижче шпаргалки в повній формі.

Розмноження прямо на сайті (онлайн)

*
Таблиця множення (числа від 1 до 20)

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Як множити числа стовпчиком (відео з математики)

Щоб потренуватися і швидко вивчити, можна спробувати множити числа стовпчиком.

Розкладка за розрядами

Є найпростішим прийомом швидкого множення двоцифрових чисел. Обидва множники потрібно розбити на десятки та одиниці, а потім усі ці нові числа перемножити один на одного.

Наприклад, необхідно перемножити числа 38 і 56 . Робимо це так:

38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + 8 * 50 + 30 * 6 + 8 * 6 = 1500 + 400 + 180 + 48 = 2128 Ще простіше робитиме усне множення двозначних чисел на три дії. Спочатку потрібно перемножити десятки, потім додати два твори одиниць на десятки, а потім додати добуток одиниць на одиниці. Виглядає це так: 38 * 56 = (30 + 8) * (50 + 6) = 30 * 50 + (8 * 50 + 30 * 6) + 8 * 6 = 1500 + 580 + 48 = 2128 Для того, щоб успішно користуватися цим способом, потрібно добре знати таблицю множення, вміти швидко складати двоцифрові і трицифрові числа, і перемикатися між математичними діями, не забуваючи проміжні результати. Останнє вміння досягається за допомогою та візуалізації.

Даний спосіб не найшвидший та ефективніший, тому варто вивчити ще й інші способи усного множення.

Припасування чисел

Можна спробувати привести арифметичне обчислення до зручнішого вигляду. Наприклад, добуток чисел 35 і 49 можна собі уявити таким чином: 35 * 49 = (35 * 100) / 2 — 35 = 1715
Цей спосіб може бути ефективнішим, ніж попередній, але він не універсальний, і підходить не до всіх випадків. Не завжди можна знайти потрібний алгоритм для спрощення завдання.

На цю тему згадався анекдот про те, як математик пропливав річкою повз ферму, і заявив співрозмовникам, що йому вдалося швидко підрахувати кількість овець у загоні, 1358 овець. Коли його спитали, як йому це вдалося, він сказав, що все просто — треба підрахувати кількість ніг і розділити на 4.

Візуалізація множення у стовпчик

Виглядає це так: 38 * 56 = (38 * 5) * 10 + 38 * 6 = 1900 + 228 = 2128

Візуалізація з розміщенням чисел

Дуже цікавий спосіб перемноження двоцифрових чисел наступний. Потрібно послідовно перемножити цифри у числах, щоб вийшли сотні, одиниці та десятки.

Допустимо, Вам потрібно помножити 35 на 49 .

Отримуєте: 12 __ 5 (Запам'ятаєте 4 ).

Тепер множите 3 на 9 , і 5 на 4 , і сумуєте: 3 * 9 + 5 * 4 = 27 + 20 = 47 .

Тепер потрібно до 47 додати 4 , яку ми запам'ятали. Отримуємо 51 .

Пишемо 1 у середині, а 5 додаємо до 12 , отримуємо 17 .

Отже, число, яке ми шукали, 1715 , Воно є відповіддю:

35 * 49 = 1715
Спробуйте так само перемножити в розумі: 18 * 34, 45 * 91, 31 * 52 .

Китайське, або японське, множення

Крім того, знання цього давнього східного етоду підвищує Вашу ерудицію. Погодьтеся, не кожен може похвалитися тим, що знає давню систему множення, якою китайці користувалися ще 3000 років тому.

Відео про те, як китайці перемножують числа

Схожі статті

Обговорюють:

Простий і надійний металошукач своїми руками Металошукач на одній мікросхемі к561ла7:Нескладний металошукач схема Щас починається весна.
Чи можливе встановлення лічильника тепла в квартиру?:Наприкінці минулого року Мінбуд запропонував внести відповідні поправки до...
Шпигунати за користувачем Вконтакте Дізнатися все про людину вконтакті:Пошук будь-якого користувача та інформації про нього є досить...
Що таке «Сторінку видалено»?:Багато користувачів соціальної мережі ВКонтакте з вини тих чи інших...