Системи числення з давніх часів до наших днів. Стародавні системи числення

З найдавніших часів перед людьми стояла проблема позначення (кодування) числової інформації.

Маленькі діти показують свій вік на пальцях. Льотчик збив літак, йому за це малюють зірку, Робінзон Крузо вважав дні зарубками.

Числом позначали деякі реальні об'єкти, властивості яких були однакові. Коли щось вважаємо чи перераховуємо, ми хіба що знеособлюємо предмети, тобто. маємо на увазі, що їхні властивості однакові. Але головною властивістю числа є наявність об'єкта, тобто. одиниця та її відсутність, тобто. нуль.

Що таке цифра?

Цифри та цифри – це різні речі! Розглянемо два числа 5 2 і 2 5. Цифри одні й самі – 5 і 2.

А чим ці цифри відрізняються?

Порядком цифр? – Так! Але краще сказати – позицією цифри у числі.

Давайте подумаємо, що це таке системи числення?

Це запис чисел? Так! Але ми не можемо писати так, як нам заманеться – нас мають розуміти інші люди. Тому необхідно ще використовувати і певні правилаїх записи.

Поняття системи числення

Для запису інформації про кількість об'єктів використовуюються числа. Числа записуються з використанням спеціальних знакових систем, які називаються системами числення. Алфавіт систем числення складається із символів, які називаються цифрами. Наприклад, у десятковій системі числення числа записуються за допомогою десяти всім добре відомих цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Усі системи числення діляться на великі групи: позиційні і непозиційні системи числення. У позиційних системах числення значення цифри залежить від її становища в числі, а непозиційних — не залежить.

Непозиційні системи числення виникли раніше за позиційні, тому розглянемо спочатку різні непозиційні системи числення .

Непозиційні системи числення

До непозиційних систем належать: римська система числення, алфавітні системи числення та інші.

Спочатку люди просто розрізняли ОДИН предмет перед ними чи ні. Якщо предмет був не один, то говорили «Багато».

Першими поняттями математики були"менше", "більше", "стільки ж".

Якщо одне плем'я змінювало пійманих риб на зроблені людьми іншого племені кам'яні ножі, не треба було рахувати скільки принесли риб і скільки ножів. Достатньо було покласти поруч із кожною рибою по ножу, щоб обмін між племенами відбувся.

Рахунок виник тоді, коли людині знадобилося повідомляти своїм одноплемінникам про кількість знайдених їм предметів.

І, т оскільки багато народів у давнину не спілкувалися один одним, то у різних народів виникли різні системичислення та подання чисел та цифр.

Пальці виявилися чудовою обчислювальною машиною. З їхньою допомогою можна було рахувати до 5, а якщо взяти дві руки, то і до 10. У давнину люди ходили босоніж. Тому вони могли користуватися для рахунку пальцями як рук, так і ніг. До цих пір існують у Полінезії племена, використовующі з 20-ою системою числення. Однак відомі народи, у яких одиницями рахунку були пальці, які суглоби. Доволі широке поширення мала дванадцяткова система числення. Походження її пов'язане з рахунком на пальцях. Вважали великим пальцем руки фаланги решти чотирьох пальців: їх 12. Елементи дванадцятирічної системи числення збереглися в Англії у системі заходів (1 фут = 12 дюймів) та у грошовій системі (1 шилінг = 12 пенсів). Нерідко і ми стикаємося у побуті з дванадцятковою системою числення: чайні та столові сервізи на 12 персон, комплект носовичків — 12 штук. Числа в англійськоювід одного до дванадцяти мають свою назву, наступні числа є складовими: Для чисел від 13 до 19 - закінчення слів - teen. Наприклад, 15 - п'ятнадцять.

Пальцевий рахунок зберігся подекуди й досі.Н наприклад, на найбільшій світовій хлібній біржі в Чикаго пропозиції та запити, як і ціни оголошуються маклерами на пальцях без жодного слова.

Запам'ятовувати великі числа було важко, тому до «лічильної машини» рук та ніг стали додавати різні пристрої. З'явилася потреба у записі чисел.

Кількість предметів зображувалася нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині.

Поодинока («палична») система числення

Чим більше зерна збирали люди зі своїх полів, чим численнішими ставали їхні стада, тим більші числа ставали їм потрібні.

Одиничний запис для таких чисел був громіздким і незручним, тому люди почали шукати компактніші способи позначати великі числа.

Давньоєгипетська десяткова система числення

(2,5 тисячі років до н.е.)

Приклад1. Запишіть число 1 245 386 у давньоєгипетському записі

З операціями складання та віднімання люди мали справу задовго до того, як числа отримали імена.

Коли кілька груп збирачів коріння або рибалок складали в одне місце свій видобуток, вони виконували операцію додавання .

З операцією множення люди познайомилися, коли почали сіяти хліб і побачили, що зібраний урожай у кілька разів більший, ніж кількість посіяного насіння.

Коли видобуте м'ясо тварин чи зібрані горіхи ділили порівну між усіма " ротами " , виконувалася операціяподілу.

Як же єгиптяни рахували?

Множення та розподіл єгиптяни робили шляхом послідовного подвоєння чисел.

приклад. 19*31

Єгиптяни послідовно подвоювали число 31. У правому стовпці записували результати подвоєння, а лівому - відповідний ступінь двійки.

Римська десяткова система числення

(2 тисячі років до н.е. та до наших днів)

Найпоширенішою з непозиційних систем числення є римська система.

Головна проблемаз римськими цифрами у тому, що складно виробляти множення і розподіл. Іншим недоліком римської системи є: запис великих чисел вимагає введення нових символів. А дробові числа можна записувати лише як відношення двох чисел. Проте вони були основними до кінця середньовіччя. Але й у наш час їх використовують.

Згадайте де?

Значення цифри залежить від її становища в числе.

Наприклад, у числі XXX (30) цифра X зустрічається тричі і в кожному випадку позначає ту саму величину - число 10, три числа по 10 у сумі дають 30.

Величина числа в римській системі числення визначається як сума чи різниця цифр у числі. Якщо менша цифра стоїть ліворуч від більшої, вона віднімається, якщо справа - додається.

Запам'ятайте: 5, 50, 500 не повторюються!

А які можуть повторюватись?

Е якщо ліворуч від старшої цифри стоїть молодша, то вона забирається. Якщо молодша цифра стоїть праворуч від старшої, вона додається - I, X, C, M можуть повторюватися до 3-х раз.

Наприклад:

1) MMIV = 1000 +1000 +5-1 = 2004

2) 149 = (Сто - C, сорок - XL, а дев'ять - IX) = CXLIX

Наприклад, запис десяткового числа 1998 р. в римській системі числення буде виглядати наступним чином: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Алфавітні системи числення

Алфавітні непозиційні системи числення були поширені у давніх вірмен, грузинів, греків (альфа, бета, гамма), арабів, євреїв та інших народів Близького Сходу, і навіть у слов'ян (аз, буки, веди).

приклад. Запишемо число 444 у слов'янській системі.

Ми бачимо, що запис вийшов не довшим за наш десятковий. Це тим, що у алфавітних системах використовувалося, по крайнього заходу, 27 «цифр».

Чи потрібні алфавітні системи?

Недоліки непозиційних систем числення:

1. Існує постійна потреба запровадження нових знаків для запису великих чисел.

2. Неможливо представляти дробові та негативні числа.

3. Важко виконувати арифметичні операції, оскільки немає алгоритмів їх виконання. Зокрема, у всіх народів поряд із системами числення були способи пальцевого рахунку, а греки мали лічильну дошку абак – щось на зразок наших рахунків.

Аж до кінця середньовіччя не існувало жодної універсальної системи запису чисел. Тільки з розвитком математики, фізики, техніки, торгівлі, фінансової системи виникла потреба в єдиній універсальній системі числення, хоч і зараз багато племен, нації та народності використовують інші системи числення.

Але ми досі користуємося елементами непозиційної системи числення у повсякденному мовленні, зокрема, ми говоримо сто, а не десять десятків, тисяча, мільйон, мільярд, трильйон.

Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою.

Заснування позиційної системи числення— кількість різних цифр, що використовуються для зображення чисел у системі обчислення.

За основу можна прийняти будь-яке натуральне число — два, три, чотири, ..., утворивши нову позиційну систему: двійкову, трійкову, четвіркову та .. .

Десяткова п озиційна система числення

Індійські вчені зробили одне з найважливіших у математиці відкриттів – винайшли позиційну систему числення, якою тепер користується весь світ. Ал-Хорезмі докладно описав індійську арифметику у своїй книзі.

Через триста років (1120 р.) цю книгу переклали на Латинська мова, і вона стала першим підручником "індійської" арифметики для всіх європейських міст.

Підстави, що використовуються в наші дні:

10 у звичної десяткової системи числення (десять пальців на руках). Алфавіт: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 придумано в Стародавньому Вавилоні: розподіл години на 60 хвилин, хвилини - на 60 секунд, кута - на 360 градусів.

12 поширили англосакси: у році 12 місяців, на добу два періоди по 12 годин, у футі 12 дюймів

7 використовується для рахунку днів тижня

Домашнє завдання: - вивчити визначення "система числення" та класифікацію СС

1. Які числа записані за допомогою римських цифр: МС I Х, L Х V?

2. Запишіть рік народження:

А) у давньоєгипетській системі числення;

б) у римській системі числення;

В) у давньослов'янській системі числення.

На ранніх щаблях розвитку суспільства люди майже не вміли рахувати. Вони розрізняли сукупності двох та трьох предметів; всяка сукупність, що містила більшу кількість предметів, об'єднувалася в понятті «багато». Першими записами чисел можна вважати зарубки на дерев'яних бирках або кістках, а пізніше - рисочки. Але великі числа зображати в такий спосіб було незручно, тому почали застосовувати спеціальні знаки (цифри) для деяких сукупностей рис.

Предмети за рахунку зіставлялися зазвичай із пальцями рук і ніг. З розвитком цивілізації потреба людини у рахунку стала необхідною. Спочатку натуральні числа зображувалися за допомогою деякої кількості рисок чи паличок, потім їх зображення стали використовувати літери чи спеціальні знаки. У Стародавньому Новгороді використовувалася слов'янська система, де застосовувалися літери слов'янського алфавіту; при зображенні чисел з них ставився знак ~ (титло).

Великі числа слов'яни записували тими самими літерами, але позначення тисяч поруч із літерою зліва^ внизу ставили знак Т " , наприклад: 10ОО-*А; 3000-* Р. Число 10000 позначали тієї ж буквою, як і 1, але без титла і її обводили гуртком.Називалося це число «темрява».Звідси і вираз «темрява народу».Кількість наступного розряду-100000-називалося «легіон».Для позначення цього числа писали букву А і навколо неї ставили гурток з крапок; 10 легіонів складали нову одиницю-леодр Леодр позначали літерою А, укладеною в гурток з рисок. 1048)-«ворон», і нарешті, число 1049 називалося «колода».Для позначення воронів букву ставили в гурток з хрестиків.Для великих чисел вже назв не було.

У нас на Русі в минулому цифри позначалися буквами церковнослов'янського алфавіту:

«аз» «веди» «дієслово» тощо.

Для того, щоб літера стала числом, нагорі ставився особливий знак «титло» ([-") Наприклад, число одинадцять зображалося так: 5) , двадцять два - так: 1^6. початку XVIIIстоліття на Русі стали користуватися "арабськими цифрами", які араби запозичили в індійців. сучасне їх накреслення: О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ці позначення увійшли в перший друкований курс арифметики російською мовою, складений Л. Ф. Магницьким і опублікований в 1703 році.

Крім того, на Русі користувалися римською нумерацією. Відповідно до цієї нумерації:

"і" "ве" "ікс" "ель" "це" "де" "ем"

151050100 500 1000

Вона збереглася досі. Нею, наприклад, користуються тепер для позначення цифр на циферблаті годинника, при позначенні розділів і деяких сторінок у книгах і т.д.

У слов'янській системі нумерації для запису чисел використовувалися всі літери алфавіту, щоправда, з деяким порушенням алфавітного порядку. Різні літери означали різну кількість одиниць, десятків та сотень. Наприклад, число 231 записувалося у вигляді ~ СЛА (C - 200, Л - 30, А - 1).

Стародавні римляни користувалися нумерацією, що зберігається досі під ім'ям «римської нумерації», в якій цифри зображуються літерами латинського алфавіту. Зараз нею користуються для позначення ювілейних дат, нумерації деяких сторінок книги (наприклад, сторінок передмови), розділів у книгах, строф у віршах тощо. У пізнішому вигляді римські цифри виглядають так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; З = 100; D = 500; M = 1000.

Про походження римських цифр достовірних відомостей немає. Цифра V могла спочатку служити зображенням руки, а цифра Х могла складатися з двох п'ятірок. У римській нумерації виразно позначаються сліди п'ятирічної системи. обчислення. Всі цілі числа (до 5000) записуються за допомогою повторення наведених вище цифр. При цьому, якщо більша цифра стоїть перед меншою, то вони складаються, якщо ж менша стоїть перед бульшею (у цьому випадку вона не може повторюватися), то менша віднімається від бульшів). Наприклад, VI = 6, тобто 5 + 1, IV = 4, тобто 5 - 1, XL = 40, тобто 50 - 10, LX = 60, тобто 50 + 10. та сама цифра ставиться трохи більше трьох разів: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записується ХС (а чи не LXXXX).

Перші 12 чисел записуються в римських цифрах так:

І, ІІ, ІІІ, ІV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Інші числа записуються, наприклад, як:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Виконання арифметичних дій над багатозначними числами цього запису дуже важко. Тим не менш, римська нумерація переважала в Італії до 13 ст. , а інших країнах Західної Європи - до 16 в.

Цим системам властиві два недоліки, які призвели до їх витіснення іншими: необхідність великої кількості різних знаків, особливо зображення великих чисел, і, що важливіше незручність виконання арифметичних операцій.

Більш зручною та загальноприйнятою та найбільш поширеною є десяткова система числення, яка була винайдена в Індії, запозичена там арабами і потім через деякий час прийшла до Європи. У десятковій системі числення основою є число 10.

Необхідно також зауважити, що індійські математики вперше в історії ввели нуль як знак, що говорить про відсутність одиниць того чи іншого розряду – числа, написаного у десятковій позиційній системі числення. Індійська назва нуля – «сунья», що у дослівному перекладі означає «порожньо».

Відкриття індійців було сприйнято арабськими вченими, які в VIII столітті занесли його до Європи. «Арабська нумерація», запозичена в індійців, оскільки вона була простішою і зручнішою від усіх інших систем числення, поступово поширилася по всій Європі і витіснила повністю або частково всі інші системи нумерацій.

Існували системи числення та з іншими підставами. У Стародавньому Вавилоні, наприклад, застосовувалася шістдесяткова система числення. Залишки її ми знаходимо в діленні години або градуса, що зберігся досі, на 60 хвилин, а хвилини - на 60 секунд.

Стародавні єгиптяни користувалися десятковою системою, тоді як древні вавилоняни використовували шестидесятникову систему числення. Наприклад, число 2-60+13

ММ А МММ в позначенні вавілонян виглядало так: -у у\у у

Як єгиптяни, і вавилоняни ще володіли помісним (позиційним) значенням цифр. Секрет помісного значення цифр було відкрито індійськими математиками приблизно півтори тисячі років тому. Вони вперше у світовій науці почали користуватися позиційною десятковою нумерацією.

У Стародавньому Єгиптіблизько 5000 років тому почали позначати число 10 ієрогліфом П (можливо, це символ дуги, яку ставили над десятком рисок), число 100-знаком (це символ вимірювальної мотузки) і т. д. З таких цифр становили десятковий запис будь-якого числа, наприклад число 124 позначали так: "К ©

Народи (вавилоняни, ассирійці, шумери), що жили в Межиріччя Тигра та Євфрату в період від ІІ тисячоліття до н. е. до початку нашої ери, спочатку позначали числа за допомогою кіл і півколів різної величини, але потім стали використовувати лише два клинописні знаки-прямий клин у (1) і лежачий клин * (10). Ці народи використовували шістдесяткову систему числення, наприклад число 23 зображували так: *ч -4 У Т V Число 60 знову позначалося знаком у, наприклад число 92 записували так: Т^-ч^ТТ

Згодом вавилоняни ввели спеціальний символ 4 для позначення пропущеного шестидесятичного розряду.

Широке поширення мала у давнину і дванадцяткова система, походження якої, ймовірно, пов'язане, як і десяткової системи, з рахунком на пальцях: за одиницю рахунку приймалися фаланги (окремі суглоби) чотирьох пальців однієї руки, які за рахунку перебиралися великим пальцем тієї ж руки. Залишки цієї системи числення збереглися і до наших днів, і усного мовлення, та у звичаях. Добре відомо, наприклад, назва одиниці другого розряду – числа 12 – «дюжина». Зберігся звичай вважати багато предметів не десятками, а дюжинами, наприклад столові прилади в сервізі або стільці в меблевому гарнітурі. Назва одиниці третього розряду в дванадцятковій системі - грос - зустрічається тепер рідко, але в торговельній практиці початку століття воно ще існувало. Наприклад, у написаному в 1928 р. вірші Плюшкін В. В. Маяковський, висміюючи людей, які скуповували все поспіль, писав: «купив дванадцять гроссів диригентських паличок». У ряду африканських племен і в Стародавньому Китаїбула уживана п'ятирічна система числення. У Центральній Америці (у стародавніх ацтеків і майя) і серед тих, що населяли Західну Європустародавніх кельтів було поширено двадцятиричну систему. Усі вони також пов'язані з рахунком на пальцях. На початку нашої ери індіанці племені майя, які на півострові Юкотан у Центральній Америці, користувалися іншою системою числення-двадцятиричною. Вони позначали 1 точкою, а 5 - горизонтальною рисою, наприклад запис " " " " означала 14. У системі числення майя був знак для нуля. За своєю формою він нагадував напівзаплющене око.

У Стародавню Греціюспочатку числа 5, 10, 100, 1000, 10000 позначали літерами Г, А, Н, X, М, а число 1-рискою /. З цих знаків становили позначення р (50) ддд~(35) і т. д. Пізніше числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20, 30, 40, 50, 60 , 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000,0 00 стали позначати літерами грецької алфавіту, до якого довелося додати ще три застарілі літери. Щоб відрізнити цифри від букв, над літерами ставили рису.

Цікаво відзначити, що араби слово «сунья» переклали своєю мовою терміном «цифра» (аз з1!г). Таким чином, раніше словом цифра називався лише нуль. Саме в цьому сенсі слово цифра вживав італійський математик початку XIII століття Фібоначчі, який випустив у 1202 арифметичну книгу під назвою «Книга про абак» (абак - лічильна дошка, попередниця наших конторських рахунків). У такому ж значенні це слово вживає на початку XVIII століття перший упорядник друкованої арифметики Л. Ф. Магніцький. Проте з часом європейці під цифрами стали розуміти знаки: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а перший назвали нулем.

У Китаї та Японії для запису чисел застосовувалися ієрогліфи.

Сучасна десятковий запис натуральних чиселвперше з'явилася в Індії у VI ст. Через арабів, які завоювали в УІ-УШ ст. Великі райони Середземномор'я та Азії, індійська нумерація набула широкого поширення. Звідси і назва – арабські цифри.

У країни Європи нова, індійська нумерація була занесена арабами в Х-Х1П ст. , проте до XVIII в. в офіційних паперах дозволялося ставити лише римські цифри. Лише до початку XIXв. індійську нумерацію почали застосовувати повсюдно.

У Росії у XVII в. у всіх без винятку математичних рукописах зустрічається лише позиційна десяткова система числення.

Наймолодшою ​​системою числення по праву вважатимуться двійкову. Ця система має ряд якостей, що робить її дуже вигідною для використання в обчислювальних машинах та в сучасних комп'ютерах.

Однак найбільш уживаною виявилася індо-арабська десяткова система. Індійці першими використовували нуль для вказівки значущості позиційної величини в рядку цифр. Ця система дістала назву десяткової, тому що в ній десять цифр.

У сучасному світівідомо безліч способів представлення чисел. Число можна уявити групою символів деякого алфавіту.
Система числення – сукупність правил для позначення та найменування чисел.
Сама найпростіша системачислення - унарна, в якій використовується всього 1 символ (паличка, вузлик, зарубка, камінчик і т.д.
Найбільш досконалим принципом подання чисел є позиційний (помісний) принцип, згідно з яким один і той самий числовий знак (цифра) має різні значенняв залежності від місця, де він розташований.
Незважаючи на природність такої системи, що здається, вона стала результатом тривалого історичного розвитку. Виникнення десяткової системи числення пов'язують із рахунком пальцями. Були системи числення і з іншою основою: 5, 12 (рахунок дюжинами), 20 (сліди такої системи збереглися у французькій мові, наприклад cuatro - vingts, тобто буквально чотири - двадцять, означає 80), 40, 60 та ін. При обчислення на ЕОМ часто застосовується система числення з основою 2.

У первісних народів немає розвиненої системи числення. Ще в 19 столітті у багатьох племен Австралії та Полінезії було лише два числівники: один і два; поєднання їх утворювали числа: 3 - два - один, 4 - два - два, 5 - два - два - один і 6 - два - два - два. Про всі числа, великі 6, говорили «багато», не індивідуалізуючи їх. З розвитком суспільно – господарського життявиникла потреба у створенні систем числення, які б і позначати все більші сукупності предметів. Однією з найдавніших систем числення є єгипетська ієрогліфічна нумерація, що виникла ще за 2500 – 3000 років до зв. е. Це була десяткова непозиційна система числення, в якій для запису чисел застосовувався лише принцип додавання (числа, виражені поряд цифрами, що стоять, складаються).
Аналогічними системами числення були грецька геродіанова, римська, сирійська та ін.

Римські цифри – традиційна назва знакової системи позначення чисел, заснованої на вживанні особливих символів для десяткових розрядів:
I V X L З D M
1 5 10 50 100 500 1000
Більше досконалими системамичислення є алфавітними: іонійська, слов'янська, єврейська, арабська, а також грузинська та вірменська.
В алфавітних системах числення запис чисел набагато коротше, ніж у попередніх; крім того, над числами, записаними в алфавітній нумерації, набагато легше робити арифметичні дії. Однак в алфавітних системах числення не можна записувати скільки завгодно великі числа.
У системі числення стародавніх вавилонян, що виникла приблизно за 2000 років до н. е. всі числа записувалися за допомогою двох знаків: (для одиниці) та (для десяти). Числа до 60 записувалися як комбінації цих двох знаків із застосуванням принципу складання. Число 60 знову позначалося знаком, будучи одиницею вищого розряду. Для запису чисел від 60 до 3600 знову застосовувався принцип додавання, а число 36 000 позначалася тим самим знаком, як і одиниця, тощо. д. Число 343=5*60+4*10+3 у цій системі записувалося так:
Однак через відсутність знака для нуля, яким можна було б відзначати відсутні розряди, запис чисел у цій системі числення не був однозначним. Особливістю вавілонської системи числення було те, що абсолютне значення чисел залишалося невизначеним.

Інша система числення заснована на позиційному принципі, виникла в індіанців майя, мешканців півострова Юкатан ( Центральна Америка) у середині 1 – го тис. н. е. У майя існували дві системи числення: одна, що нагадує єгипетську, вживалася в повсякденному житті, Інша – позиційна, з основою 20 та особливим знаком для нуля, застосовувалася при календарних розрахунках. Запис у цій системі, як і в нашій сучасній, мав абсолютний характер.

Сучасна десяткова позиційна система числення виникла з урахуванням нумерації, що зародилася пізніше 5 в. в Індії. До цього Індії були системи числення, у яких застосовувався як принцип додавання, а й принцип множення (одиниця якого – небудь розряду множиться на ліворуч число). Аналогічно будувалися старокитайська система числення та деякі інші. Якщо, наприклад, умовно позначити число 3 символом III, а число 10 символом X, число 30 запишеться як IIIX (три десятки). Такі системи числення могли бути підходом до моделювання десяткової позиційної нумерації.

Десяткова позиційна система дає важливу можливість записувати скільки завгодно великі числа. Запис чисел у ній компактний і зручний для виробництва арифметичних операцій. Тому незабаром після виникнення десяткова позиційна система числення починає поширюватися з Індії на Захід та Схід. У 9 столітті з'являються рукописи на арабською мовою, в яких викладається ця система числення, в 10 столітті десяткова позиційна нумерація доходить до Іспанії, на початку 12 століття вона з'являється і в інших країнах Європи. Нова система числення отримала назву арабської, тому що в Європі з нею познайомилися вперше з латинських перекладів з арабської. Тільки в 16 столітті нова нумерація набула широкого поширення в науці та житейському побуті. У Росії вона починає поширюватися в 17 столітті і на самому початку 18 ст. витісняє алфавітну. Із введенням десяткових дробівдесяткова позиційна система числення стала універсальним засобомдля запису всіх дійсних чисел.

Первісній людині рахувати майже не доводилося. "Один", "два" і "багато" - ось усі його числа. Сучасним людямдоводиться мати справу з числами буквально на кожному кроці. Потрібно вміти правильно назвати і записати будь-яке число, хоч би велике воно не було. Якби кожне число називалося особливим ім'ям і позначалося у листі особливим знаком, то запам'ятати всі ці слова та знаки було б нікому не під силу. Як же впоратися із цим завданням? Нас рятує хороша системапозначень.

Сукупність небагатьох назв та знаків, що дозволяють записати будь-яке число і дати йому ім'я, називається системою числення чи нумерацією.

Практично на всьому земній куліалфавітом у мові чисел служать 10 цифр, від 0 до 9. Дев'ять їх використовуються позначення перших дев'яти натуральних чисел, а десятий - нуль - позначає жодного числа, він є так звану " позиційну пробку " . Ця мова називається десятковою системою числення.

Проте не завжди і скрізь люди користувалися десятковою системою. З погляду суто математичної вона має спеціальних переваг над іншими системами числення, і своїм повсюдним поширенням ця система зобов'язана зовсім не загальним законам математики, а причинам зовсім іншого характеру.

У Останнім часомз десятковою системою серйозно конкурують двійкова і, частково, трійкова системи, якими "воліють" користуватися сучасні обчислювальні машини.

Як люди вважали і як називали числа до винаходи писемності, ніхто точно не знає. Про це можна лише здогадуватись. Безперечно, одне: людство опанувало рахунком дуже повільно. Однак на час винаходу писемності люди вже вміли непогано рахувати.

Чотири тисячі років тому найбільш розвинені народи (єгиптяни, халдеї) вміли писати і користуватися не тільки цілими, а й найпростішими дробовими числами. Понад те, тоді вже існували школи, у яких навчали мистецтву рахунки.

У первісному листі букв не було. Кожна річ, кожна дія зображувалася картинкою. Поступово картинки спрощувалися. Поряд із зображенням предметів та дій з'явилися особливі постаті, що позначають різні властивостіречей, а також значки для слів, що відповідають нашим приводам та спілкам.

Так виникла писемність, звана ієрогліфами; при ієрогліфічному записі кожному значку відповідає не звук, як ми, а ціле слово.

Спеціальних знаків (цифр) для запису чисел не було. Але словами "один", "два", ... "сімнадцять" і таке інше відповідали певні ієрогліфи. Їх було не так уже й багато, бо великих чисел люди тоді не знали.

У деяких країнах (наприклад, Китаї та Японії) ієрогліфічний лист зберігся і до наших днів. Ось, наприклад (див. рис. 2), кілька ієрогліфів:

Мал. 2

У слов'ян порядок цифр при записі числа був такий самий, як у його усній назві. Кажуть, наприклад, "п'ятнадцять" (слов'янською - "п'ять на десять"), називаючи вперед цифру одиниць, потім десяток. Слов'яни так і писали, тобто попереду писали п'ятірку, а за нею десяток. Навпаки, серед "двадцять три" спочатку називають десятки, потім одиниці, у слов'ян спочатку три потім двадцять це відображалося в листі.

Щоб відрізнити числа від букв, над ними ставили особливий значок – титло. Воно ставилося лише над однією із цифр. Місце цифри, її становище у записі числа мало значення.

З допомогою цих знаків легко записувалися великі числа. Знак титло позначав тисячі. За допомогою повторення цього знака можна було записувати дуже великі числа

Числа до тисячі в Стародавню Русьназивалися майже так само, як зараз. Існувала невелика різниця у вимові (наприклад, "один" називали "єдиний" тощо). Десять тисяч називалося "темрява", і число це вважалося настільки величезним, що тим же словом позначалося всяке безліч, що не піддається обліку.

У пізніший час (XVI - XVII ст.) з'явилася своєрідна система найменування чисел, так зване "велике слов'янське число", в цій системі числа до 999 999 називалися майже так само, як тепер. Слово "темрява" означає вже мільйон. Крім того, з'являються такі назви: "темрява тем", або "легіон" (тобто мільйон мільйонів, або трильйон, що дорівнює 10); "легіон легіонів", або "модр" (септилліон, 1024); нарешті, "модр модрів", або "ворон" (тобто 1048).

Позиційна нумерація виникла, мабуть, у стародавньому Вавилоні (приблизно чотири тисячі років тому). Про неї буде сказано трохи згодом. В Індії вона набула форми позиційної десяткової нумерації із застосуванням нуля. У індусів цю систему чисел запозичували араби, які у VIII - IX ст. одним із найкультурніших народів світу. Від арабів перейняли її європейці (звідси назва – "арабські цифри").

Особливий інтерес має вавілонська математика. Вавилонська нумерація проіснувала півтори тисячі років (з XVIII до III ст. до н.е.) і користувалася широким поширеннямна всьому Близькому Сході. Вона вплинула на китайську, індійську та грецьку математику.

Вавилонці писали паличками на платівках з м'якої глини і обпікали потім свої "рукописи". Виходили міцні цегляні "документи", які частково вціліли до нашого часу, їх нерідко знаходять при розкопках у Месопотамії (тепер Ірак). Тому вивчити вавилонську історію та математику зокрема вдалося досить добре.

На рубежі XIX – XVIII ст. до нашої ери відбулося злиття двох народів: сумерійців та аккадян. Кожен із цих народів мали досить розвинену торгівлю, вагові та грошові одиниці, проте розробленої нумерації жоден із цих народів не мав.

У аккадян основна одиниця - "мекель" - була приблизно в 60 разів менше одиниці у сумерійців - "міни" (приблизно півкілограма). Грошовий одиницею служила міна срібла.

Після злиття цих народів " мали ходіння " обидві системи одиниць: мінами і мекелями користувалися оскільки тепер користуються кілограмами і грамами (рублями і копійками) з тією різницею, що більша одиниця дорівнювала не 100, а 60 дрібним одиницям. Згодом з'явилася більша одиниця - "талант": 1 талант = 60 хв, 1 міна = 60 мекелей.

Як же вавилоняни записували числа? Вони писали паличками, вдавлюючи в глину, тому основними графічними елементами були в них клини. Перший позначав одиниці, другий – десятки, дивись рис. 3.

Мал. 3

Ці знаки дуже наочні, кількість клинок впадає в око, так що перераховувати їх не доводиться. Але клинописний лист дуже незручно для оцінки величини проміжків між числами, а необхідність переписувати все від руки призводила до частих описок. Знак поділу був необхідний і він з'явився. Починаючи з деякого часу, на вавілонських цеглинах з'являється значок ^, що відповідає нашому нулю.

Проте, ввівши "позиційний затор" у середині чисел, вавилоняни так і не додумалися ставити її на кінці. І до падіння вавилонської культури числа 1, 60, 3000 записувалися однаково.

Тільки індуси, які запозичили у них позиційну нумерацію, навчилися правильно використовувати знак нуля, і, ввівши замість 60 основу 10, дали численні його сучасну форму.

Три тисячі років тому індуси вже користувалися сучасною нумерацією, хоча в пам'ятниках того часу і не згадуються числа, більші за 100000. У пізніших джерелах зустрічаються значно більші числа - до ста квадрильйонів (1017). В одній із порівняно молодих легенд про Будду говориться, що він знав назви чисел до 1054 року. Втім, індуси, мабуть, не уявляли собі нескінченності натурального ряду, вони вважали, що існує якесь найбільша кількість, відоме лише богам.

Доказ нескінченності числового ряду – заслуга давньогрецьких вчених.