Найменше загальне кратне 14 11. Номінок чисел - найбільший загальний дільник і найменше загальне кратне кількох чисел

Безліч дільників

Розглянемо таке завдання: знайти дільник числа 140. Вочевидь, що з числа 140 не один дільник, а кілька. У таких випадках кажуть, що завдання має безлічрішень. Знайдемо їх усі. Насамперед розкладемо дане число на прості множники:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

Тепер ми легко можемо виписати всі дільники. Почнемо з простих дільників, тобто тих, які присутні у розкладанні, наведеному вище:

Потім випишемо ті, які виходять попарним множенням простих дільників:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

Потім - ті, які містять у собі три простих дільника:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

Нарешті, не забудемо одиницю і саме число, що розкладається:

Усі знайдені нами дільники утворюють безлічдільників числа 140, що записується за допомогою фігурних дужок:

Безліч дільників числа 140 =

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

Для зручності сприйняття ми виписали тут дільники ( елементи множини) у порядку зростання, але, взагалі кажучи, це робити необов'язково. Крім того, запровадимо скорочення запису. Замість «Більшість дільників числа 140» писатимемо «Д(140)». Таким чином,

Так само можна знайти безліч дільників для будь-якого іншого натурального числа. Наприклад, з розкладання

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

ми отримуємо:

Д(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105).

Від багатьох дільників слід відрізняти безліч простих дільників, які для чисел 140 і 105 рівні відповідно:

ПД(140) = (2, 5, 7).

ПД(105) = (3, 5, 7).

Слід особливо підкреслити, що у розкладанні числа 140 на прості множники двійка є двічі, тоді як у безлічі ПД(140) - лише один. Безліч ПД(140) - це, по суті, всі відповіді завдання: «Знайти простий множник числа 140». Зрозуміло, що одну й ту саму відповідь не слід повторювати більше одного разу.

Скорочення дробів. Найбільший спільний дільник

Розглянемо дріб

Ми знаємо, що цей дріб можна скоротити на таке число, яке одночасно є і дільником чисельника (105) і дільником знаменника (140). Погляньмо на безліч Д(105) і Д(140) і випишемо їх загальні елементи.

Д(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

Д(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140).

Загальні елементи множин Д(105) та Д(140) =

Остання рівність можна записати коротше, а саме:

Д(105) ∩ Д(140) = (1, 5, 7, 35).

Тут спеціальний значок «∩» («мішок отвором вниз») якраз і вказує на те, що з двох множин, записаних по різні боки від нього, треба вибрати лише загальні елементи. Запис «Д(105) ∩ Д(140)» читається « перетинмножин Де від 105 і Де від 140».

[Зауважимо по ходу справи, що з множинами можна проводити різні бінарні операції, майже як із числами. Іншою поширеною бінарною операцією є об'єднання, що позначається «∪» («мішок отвором вгору»). У об'єднання двох множин входять усі елементи як тієї, так і іншої множини:

ПД(105) = (3, 5, 7);

ПД(140) = (2, 5, 7);

ПД(105) ∪ ПД(140) = (2, 3, 5, 7). ]

Отже, ми з'ясували, що дріб

можна скоротити на будь-яке з чисел, що належать безлічі

Д(105) ∩ Д(140) = (1, 5, 7, 35)

і не можна скоротити ні на яке інше натуральне число. Ось все можливі способискорочення (за винятком нецікавого скорочення на одиницю):

Очевидно, що найпрактичніше скорочувати дріб на число, по можливості більше. У даному випадкуце число 35, про яке говорять, що воно є найбільшим спільним дільником (НІД) чисел 105 та 140. Це записується як

НОД(105, 140) = 35.

Втім, на практиці, якщо нам дано два числа і потрібно знайти їх найбільший спільний дільник, ми зовсім не повинні будувати якісь множини. Достатньо просто розкласти обидва числа на прості множники та підкреслити ті з цих множників, які є спільними для обох розкладів, наприклад:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

Перемножуючи підкреслені числа (у будь-якому з розкладів), отримуємо:

НОД(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

Зрозуміло, можливий випадок, коли підкреслених множників буде більше двох:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

Звідси видно, що

НОД(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

На особливу згадку заслуговує ситуація, коли спільних множників зовсім немає і підкреслювати нічого, наприклад:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

В цьому випадку,

НОД(42, 55) = 1.

Два натуральні числа, для яких НОД дорівнює одиниці, називаються взаємно простими. Якщо з таких чисел скласти дріб, наприклад,

то такий дріб є нескоротною.

Взагалі, правило скорочення дробів можна записати в такому вигляді:

		a/ НОД( a, b)
		b/ НОД( a, b)

Тут передбачається, що aі b- натуральні числа, а весь дріб позитивний. Якщо ми тепер припишемо знак мінус до обох частин цієї рівності, то отримаємо відповідне правило для негативних дробів.

Складання та віднімання дробів. Найменше загальне кратне

Нехай потрібно обчислити суму двох дробів:

Ми вже знаємо, як розкладаються на прості множники знаменники:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

З цього розкладання відразу випливає, що для того, щоб привести дроби до спільного знаменника, достатньо чисельник і знаменник першого дробу помножити на 2 ∙ 2 (твір непідкреслених простих множників другого знаменника), а чисельник і знаменник другого дробу - на 3 («твір» непідкреслених простих множників першого знаменника). В результаті знаменники обох дробів стануть рівними числу, яке можна представити так:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

Неважко бачити, що обидва вихідні знаменники (як 105, так і 140) є дільниками числа 420, а число 420, у свою чергу, кратно обом знаменникам, - і не просто кратно, воно є найменшим загальним кратним (НОК) чисел 105 і 140. Це записується так:

НОК(105, 140) = 420.

Придивившись уважніше до розкладання чисел 105 і 140, бачимо, що

105 ∙ 140 = НОК(105, 140) ∙ НОД(105, 140).

Так само, для довільних натуральних чисел bі d:

b ∙ d= НОК ( b, d) ∙ НОД( b, d).

Тепер давайте доведемо до кінця підсумовування наших дробів:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Примітка.Для вирішення деяких завдань потрібно знати, що таке квадрат числа. Квадратом числа aназивається число a, помножене саме на себе, тобто a∙a. (Як неважко бачити, воно дорівнює площі квадрата зі стороною a).

Визначення.Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа а і b, називають найбільшим спільним дільником (НДД)цих чисел.

Знайдемо найбільший спільний дільник чисел 24 та 35.
Дільниками 24 будуть числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а дільниками 35 будуть числа 1, 5, 7, 35.
Бачимо, що числа 24 і 35 мають лише один спільний дільник – число 1. Такі числа називають взаємно простими.

Визначення.Натуральні числа називають взаємно простимиякщо їх найбільший спільний дільник (НОД) дорівнює 1.

Найбільший спільний дільник (НДД)можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.

Розкладемо на множники числа 48 і 36, отримаємо:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
З множників, що входять до розкладання першого з цих чисел, викреслимо ті, які не входять до розкладання другого числа (тобто дві двійки).
Залишаються множники 2 * 2 * 3. Їх добуток дорівнює 12. Це число і є найбільшим спільним дільником чисел 48 і 36. Також знаходять найбільший спільний дільник трьох і більше чисел.

Щоб знайти найбільший спільний дільник

2) з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел;
3) знайти виробництво множників, що залишилися.

Якщо всі дані числа діляться одне з них, це число і є найбільшим спільним дільникомданих чисел.
Наприклад, найбільшим загальним дільником чисел 15, 45, 75 і 180 буде число 15, тому що на нього діляться всі інші числа: 45, 75 та 180.

Найменше загальне кратне (НОК)

Визначення. Найменшим загальним кратним (НОК)натуральних чисел а та Ь називають найменше натуральне число, яке кратне і a, і b. Найменше загальне кратне (НОК) чисел 75 і 60 можна знайти і не виписуючи кратні поспіль цих чисел. Для цього розкладемо 75 і 60 на прості множники: 75 = 3*5*5, а 60 = 2*2*3*5.
Випишемо множники, що входять у розкладання першого з цих чисел, і додамо до них множники 2 і 2, що відсутні, з розкладання другого числа (тобто об'єднуємо множники).
Отримуємо п'ять множників 2*2*3*5*5, добуток яких дорівнює 300. Це число є найменшим загальним кратним чисел 75 та 60.

Також знаходять найменше загальне кратне для трьох і більше чисел.

Щоб знайти найменше загальне кратнекількох натуральних чисел, треба:
1) розкласти їх у прості множники;
2) виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
3) додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел;
4) знайти добуток множників, що вийшли.

Зауважимо, що й одне з даних чисел ділиться попри всі інші числа, це число і є найменшим загальним кратним даних чисел.
Наприклад, найменшим загальним кратним чисел 12, 15, 20 і 60 буде число 60, оскільки воно поділяється на всі ці числа.

Піфагор (VI ст. до н. е.) та його учні вивчали питання про подільність чисел. Число, рівну сумівсіх його дільників (без числа), вони називали досконалим числом. Наприклад, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) вчинені. Наступні досконалі числа - 496, 8128, 33550336. Піфагорійці знали тільки перші три досконалих числа. Четверте – 8128 – стало відомо в I ст. н. е. П'яте - 33550336 - було знайдено в XV ст. До 1983 було відомо вже 27 досконалих чисел. Але досі вчені не знають, чи є непарні досконалі числа, чи є найбільше досконале число.
Інтерес древніх математиків до простим числам пов'язані з тим, що будь-яке число або просте, чи то, можливо представлено як твори простих чисел, т. е. прості числа - це хіба що цеглинки, у тому числі будуються інші натуральні числа.
Ви, напевно, звернули увагу, що прості числа у ряді натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, в інших – менше. Але що далі ми просуваємося по числовому ряду, то рідше зустрічаються прості числа. Виникає питання: чи існує останнє (найбільше) просте число? Давньогрецький математик Евклід (III ст. до н. е.) у своїй книзі «початку», яка була протягом двох тисяч років основним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом є ще більше просте число.
Для віднайдення простих чисел інший грецький математик того ж часу Ератосфен придумав такий спосіб. Він записував усі числа від 1 до якогось числа, а потім викреслював одиницю, яка не є ні простим, ні складовим числом, потім викреслював через одне усі числа, що йдуть після 2 (числа, кратні 2, тобто 4, 6 , 8 і т. д.). Першим числом, що залишилося після 2 було 3. Далі викреслювалися через два всі числа, що йдуть після 3 (числа, кратні 3, тобто 6, 9, 12 і т. д.). зрештою залишалися невикресленими лише прості числа.

Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.

Наприклад:

Число 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Число 36 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Числа, на які число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 та 12) називаються дільниками числа. Дільник натурального числа a- це таке натуральне число, яке ділить це число aбез залишку. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим .

Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел – 12. Загальний дільник двох даних чисел aі b- це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа aі b.

Загальним кратнимкількох чисел називається число, яке поділяється на кожне із цих чисел. Наприклад, Числа 9, 18 і 45 мають загальне кратне 180. Але 90 і 360 - теж їх загальні кратні. Серед усіх jбщих кратних завжди є найменше, в даному випадку це 90. Це число називається найменшимзагальним кратним (НОК).

НОК завжди натуральне число, яке має бути більшим за найбільший з чисел, для яких воно визначається.

Найменше загальне кратне (НОК). Властивості.

Комутативність:

Асоціативність:

Зокрема, якщо і взаємно-прості числа, то:

Найменше загальне кратне двох цілих чисел mі nє дільником всіх інших загальних кратних mі n. Більш того, безліч спільних кратних m, nзбігається з безліччю кратних для НОК( m, n).

Асимптотики можуть бути виражені через деякі теоретико-числові функції.

Так, функція Чебишева. А також:

Це випливає з визначення та властивостей функції Ландау g(n).

Що випливає із закону розподілу простих чисел.

Знаходження найменшого загального кратного (НОК).

НОК( a, b) можна обчислити декількома способами:

1. Якщо відомий найбільший спільний дільник, можна використовувати його зв'язок із НОК:

2. Нехай відоме канонічне розкладання обох чисел на прості множники:

де p 1 ,...,p k- Різні прості числа, а d 1 ,...,d kі e 1 ,...,e k- Невід'ємні цілі числа (вони можуть бути нулями, якщо відповідне просте відсутнє у розкладанні).

Тоді НОК ( a,b) обчислюється за формулою:

Іншими словами, розкладання НОК містить усі прості множники, що входять хоча б в одне з розкладів чисел a, b, причому із двох показників ступеня цього множника береться найбільший.

приклад:

Обчислення найменшого загального кратного кількох чисел може бути зведено до кількох послідовних обчислень НОК від двох чисел:

Правило.Щоб знайти НОК ряду чисел, потрібно:

- Розкласти числа на прості множники;

— перенести у множники шуканого твору найбільше розкладання (твір множників найбільшої кількості із заданих), та був додати множники з розкладання інших чисел, які зустрічаються у першому числі чи стоять у ньому менше разів;

- отриманий добуток простих множників буде НОК заданих чисел.

Будь-які два чи більше натуральних чисел мають своє НОК. Якщо числа не кратні один одному або не мають однакових множників у розкладанні, то їх НОК дорівнює добутку цих чисел.

Прості множники числа 28 (2, 2, 7) доповнили множником 3 (числа 21), отриманий добуток (84) буде найменшим числом, яке поділяється на 21 та 28 .

Прості множники найбільшого числа 30 доповнили множником 5 числа 25, отриманий добуток 150 більший за найбільше число 30 і ділиться на всі задані числа без залишку. Це найменший твіріз можливих (150, 250, 300...), якому кратні всі задані числа.

Числа 2,3,11,37 - прості, тому їх НОК дорівнює добутку заданих чисел.

Правило. Щоб обчислити НОК простих чисел, всі ці числа потрібно перемножити між собою.

Ще один варіант:

Щоб знайти найменше загальне кратне (НОК) кількох чисел потрібно:

1) уявити кожне число як добуток його простих множників, наприклад:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,

2) записати ступені всіх простих множників:

504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,

3) виписати всі прості дільники (множники) кожного із цих чисел;

4) вибрати найбільший ступінь кожного з них, що зустрівся у всіх розкладах цих чисел;

5) перемножити ці ступені.

приклад. Знайти НОК чисел: 168, 180 та 3024.

Рішення. 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,

180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,

3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .

Виписуємо найбільші ступені всіх простих дільників і перемножуємо їх:

НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

З поняттями найбільшого спільного дільника (НОД) та найменшого загального кратного (НОК) учні середньої школи зустрічаються в шостому класі. Ця тема завжди важка для засвоєння. Діти часто плутають ці поняття, не розуміють, навіщо їх треба вивчати. У Останнім часомй у науково-популярної літературі зустрічаються окремі висловлювання у тому, що цей матеріал треба виключити зі шкільної програми. Думаю, що це не зовсім правильно, і вивчати його потрібно якщо не на уроках, то у позаурочний час на заняттях шкільного компонента обов'язково, тому що це сприяє розвитку логічного мислення школярів, підвищенню швидкості обчислювальних операцій, уміння вирішувати завдання красивими методами.

При вивченні теми "Складання та віднімання дробів з різними знаменникамими вчимо дітей знаходити спільний знаменникдвох чи більше чисел. Наприклад, потрібно скласти дроби 1/3 та 1/5. Учні легко знаходять число, що ділиться без залишку на 3 і 5 . Це число 15. Справді, якщо числа невеликі, їх загальний знаменник знайти легко, знаючи добре таблицю множення. Хтось із хлопців зауважує, що це число є добутком чисел 3 та 5. У дітей складається думка, що завжди таким чином можна знайти спільний знаменник для чисел. Наприклад віднімаємо дроби 7/18 і 5/24. Знайдемо добуток чисел 18 та 24 . Воно дорівнює 432. Отримали вже велике число, а якщо далі потрібно робити якісь обчислення (особливо це стосується прикладів на всі дії), то ймовірність помилки зростає. А ось знайдене найменше загальне кратне чисел (НОК), що в цьому випадку рівнозначно найменшому загальному знаменнику (НОЗ)-число 72 -значно полегшить обчислення і призведе до більш швидкого вирішення прикладу, а тим самим заощадить час, відведений на виконання даного завдання, що відіграє важливу роль при виконанні підсумкових тестових, контрольних робітособливо під час підсумкової атестації.

При вивченні теми "Скорочення дробів" можна рухатися послідовно ділячи чисельник і знаменник дробу на те саме натуральне число, використовуючи при цьому ознаки ділимості чисел, отримавши в кінцевому підсумку нескоротний дріб. Наприклад, потрібно скоротити дріб 128/344. Розділимо спочатку чисельник та знаменник дробу на число 2, отримаємо дріб 64/172. Ще раз поділимо чисельник та знаменник отриманого дробу на 2, отримаємо дріб 32/86. Поділити ще раз чисельник і знаменник дробу на 2 отримаємо нескоротний дріб 16/43. Але скорочення дробу можна виконати набагато простіше, якщо ми знайдемо найбільший загальний дільник чисел 128 і 344. НОД(128, 344) = 8. Розділивши чисельник і знаменник дробу на це число, отримаємо відразу нескоротний дріб.

Потрібно показати дітям різні способизнаходження найбільшого загального дільника (НОД) та найменшого загального кратного (НОК) чисел. У простих випадках зручно знаходити найбільший спільний дільник (НДД) та найменше загальне кратне (НОК) чисел шляхом простого перебору. Коли числа стають більшими, можна використовувати розкладання чисел на прості множники. У підручнику шостого класу (автор Н.Я.Віленкін) показаний наступний спосіб знаходження найбільшого загального дільника (НДД) чисел. Розкладемо числа на прості множники:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Потім з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслюємо ті, які не входять до розкладання іншого числа. Твір множників, що залишилися, і буде найбільшим загальним дільником цих чисел. В даному випадку це число 8. На своєму досвіді переконалася в тому, що дітям більш зрозуміло, якщо ми підкреслюємо однакові множники у розкладах чисел, а потім в одному з розкладів знаходимо твір підкреслених множників. Це і є найбільший спільний дільник цих чисел. У шостому класі діти активні та допитливі. Можна поставити перед ними таку задачу: спробуйте описаним способом знайти найбільший спільний дільник чисел 343 і 287. Відразу не видно, як їх розкласти на прості множники. І ось тут можна розповісти їм про чудовий спосіб, вигаданий древніми греками, що дозволяє шукати найбільший спільний дільник (НДД) без розкладання на прості множники. Цей спосіб відшукання найбільшого спільного дільника вперше описаний у книзі Евкліда " Початки " . Його називають алгоритмом Евкліда. Полягає він у наступному: Спочатку ділять більше на менше. Якщо виходить залишок, то ділять менше на залишок. Якщо знову виходить залишок, ділять перший залишок на другий. Так продовжують ділити доти, доки в залишку не вийде нуль. Останній дільник і є найбільшим спільним дільником (НОД) даних чисел.

Повернемося до нашого прикладу та для наочності запишемо рішення у вигляді таблиці.

Подільне	Дільник	Приватне	Залишок
343	287	1	56
287	56	5	7
56	7	8	0

Отже, НОД(344,287) = 7

А як знайти найменше загальне кратне (НОК) тих же чисел? Чи немає і для цього якогось способу, який не вимагає попереднього розкладання цих чисел на прості множники? Виявляється, є, і до того ж дуже простий. Потрібно перемножити ці числа та розділити твір на знайдений нами найбільший спільний дільник (НДД). У даному прикладідобуток чисел дорівнює 98441. Ділимо його на 7 і отримуємо число 14063. НОК(343,287) = 14063.

Однією із важких тем у математиці є вирішення текстових завдань. Потрібно показати учням, як з допомогою понять " Найбільший спільний дільник (НОД) " і " Найменше загальне кратне (НОК) " можна вирішувати завдання, які важко вирішити звичайним способом. Тут доречно розглянути з учнями поряд із завданнями, запропонованими авторами шкільного підручника, старовинні та цікаві завдання, що розвивають допитливість дітей та підвищують інтерес до вивчення цієї теми. Вміле володіння цими поняттями дозволяє учням побачити гарне рішення нестандартного завдання. А якщо у дитини після вирішення гарного завдання піднімається настрій – це ознака успішної роботи.

Таким чином, вивчення в школі таких понять, як "Найбільший спільний дільник (НДД)" та "Найменше загальне кратне (НОК)" чисел

Дозволяє економити час, що відводиться виконання роботи, що призводить до значного збільшення обсягу виконаних завдань;

Підвищує швидкість і точність виконання арифметичних операцій, що веде до значного зменшення кількості обчислювальних помилок, що допускаються;

Дозволяє знаходити красиві способивирішення нестандартних текстових завдань;

Розвиває допитливість учнів, розширює їхній кругозір;

Створює передумови виховання різнобічної творчої особистості.

Розглянемо рішення наступного завдання. Крок хлопчика становить 75 см, а крок дівчинки 60 см. Необхідно знайти найменшу відстань, на якій вони обидва зроблять за кількістю кроків.

Рішення.Весь шлях що пройдуть guys, повинен ділитися без залишку на 60 та на 70, тому що вони повинні зробити кожну цілу кількість кроків. Інакше кажучи, у відповіді має бути число, кратне як 75 і 60.

Спочатку виписуватимемо всі кратні числа, для числа 75. Отримуємо:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Тепер випишемо числа, які будуть кратні 60. Отримуємо:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Тепер знаходимо числа, які є в обох рядах.

• Загальними кратними чисел будуть числа, 300, 600 і т.д.

Найменше їх, це число 300. Воно у разі буде називатися найменшим загальним кратним чисел 75 і 60.

Повертаючись до умови завдання, найменша відстань, на якій хлопці зроблять цілу кількість кроків, буде 300 см. Хлопчик пройде цей шлях за 4 кроки, а дівчинці потрібно зробити 5 кроків.

Визначення найменшого загального кратного

• Найменшим загальним кратним двох натуральних чисел a та b називається найменше натуральне число, яке кратне як a, так і b.

Для того, щоб знайти найменше загальне кратне двох чисел, не обов'язково виписати підряд всі кратні для цих чисел.

Можна скористатися таким методом.

Як знайти найменше загальне кратне

Спочатку необхідно розкласти ці числа на прості множники.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Тепер випишемо всі множники які є в розкладанні першого числа (2,2,3,5) і додамо до нього всі множники, що відсутні, з розкладання другого числа (5).

Отримаємо у результаті ряд простих чисел: 2,2,3,5,5. Добуток цих чисел і буде найменшим загальним співмножником для цих чисел. 2 * 2 * 3 * 5 * 5 = 300.

Загальна схема знаходження найменшого загального кратного

• 1. Розкласти числа на прості множники.
• 2. Виписати прості множники, які входять до складу одного з них.
• 3. Додати до цих множників усі ті, які є в розкладанні інших, але немає у вибраному.
• 4. Знайти добуток усіх виписаних співмножників.

Цей спосіб універсальний. З його допомогою можна знайти найменшу загальну кратність будь-якої кількості натуральних чисел.