Калькулятор онлайн.Спрощення багаточлена.Умноження багаточленів. Зведення числа в дробовий ступінь - онлайн калькулятор

Зведення в негативний ступінь – один із основних елементів математики, який часто зустрічається при вирішенні завдань алгебри. Нижче наведено докладну інструкцію.

Як зводити в негативний ступінь – теорія

Коли ми числом у звичайний ступінь, ми множимо його значення кілька разів. Наприклад, 3 3 = 3×3×3 = 27. З негативним дробом усе навпаки. Загальний виглядза формулою матиме наступний вигляд: a -n = 1/a n. Таким чином, щоб звести число в негативний ступінь, потрібно одиницю поділити на дане число, але вже позитивно.

Як зводити в негативний ступінь – приклади на звичайних числах

Тримаючи вищенаведене правило розумі, вирішимо кілька прикладів.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Відповідь: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Відповідь -4 -2 = 1/16.

Але чому відповідь у першому та другому прикладах однакова? Справа в тому, що при зведенні негативного числау парний ступінь (2, 4, 6 тощо), знак стає позитивним. Якби ступінь був парним, то мінус зберігся:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Як зводити у негативний ступінь – числа від 0 до 1

Згадаймо, що при зведенні числа в проміжку від 0 до 1 до позитивного ступеня значення зменшується зі зростанням ступеня. Так, наприклад, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Приклад 3: Обчислити 0,5 -2
Рішення: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Відповідь: 0,5 -2 = 4

Розбір (послідовність дій):

• Перекладаємо десятковий дріб 0,5 в дрібну 1/2. Так легше.
  Зводимо 1/2 в негативний ступінь. 1/(2)-2. Ділимо 1 на 1/(2) 2 , отримуємо 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Приклад 4: Обчислити 0,5 -3
Рішення: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Приклад 5: Обчислити -0,5 -3
Рішення: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Відповідь: -0,5 -3 = -8

Виходячи з 4-го та 5-го прикладів, зробимо кілька висновків:

• Для позитивного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 4), що зводиться в негативний ступінь, парність чи непарність ступеня не важлива, значення виразу буде позитивним. При цьому чим більше ступінь, тим більше значення.
• Для негативного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 5), що зводиться в негативний ступінь, парність або непарність ступеня не має значення значення виразу буде негативним. При цьому чим більше ступінь, тим менше значення.

Як зводити у негативний ступінь – ступінь у вигляді дробового числа

Вирази даного типумають такий вигляд: a -m/n, де a – звичайне число, m - чисельник ступеня, n - знаменник ступеня.

Розглянемо приклад:
Обчислити: 8 -1/3

Рішення (послідовність дій):

• Згадуємо правило зведення числа у негативний ступінь. Отримаємо: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Зауважте, у знаменнику число 8 в дрібній мірі. Загальний вид обчислення дробового ступеня такий: a m/n = n √8 m.
• Таким чином, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Отримуємо кубічний коріньз восьми, що дорівнює 2. Виходячи звідси, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Відповідь: 8 -1/3 = 2

Інженерний калькулятор онлайн

Поспішаємо представити всім охочим безкоштовний інженерний калькулятор. З його допомогою будь-який учень може швидко і, що найголовніше, легко виконувати різного родуматематичні обчислення онлайн.

Калькулятор взятий із сайту - web 2.0 scientific calculator

Простий і зручний у використанні інженерний калькулятор з ненав'язливим і зрозумілим інтерфейсом буде корисний найширшому колу користувачів мережі Інтернет. Тепер, коли вам буде необхідний калькулятор, заходьте на наш сайт та користуйтесь безкоштовним інженерним калькулятором.

Інженерному калькулятору виконати як прості арифметичні дії, так і досить складні математичні розрахунки.

Web20calc - інженерний калькулятор, який має безліч функцій, наприклад, як обчислення всіх елементарних функцій. Також калькулятор підтримує тригонометричні функції, матриці, логарифми та навіть побудова графіків.

Безперечно, Web20calc буде цікавий тій групі людей, яка у пошуку простих рішеньнабирає в пошукових системахзапит: математичний онлайн калькулятор. Безкоштовний веб-додаток допоможе миттєво порахувати результат якогось математичного виразу, наприклад, відняти, скласти, поділити, витягти корінь, звести в ступінь і т.д.

У виразі можна скористатися операціями зведення в ступінь, додавання, віднімання, множення, поділу, відсотком, константою ПІ. Для складних обчислень слід зазначати дужки.

Можливості інженерного калькулятора:

1. основні арифметичні дії;
2. робота з цифрами у стандартному вигляді;
3. обчислення тригонометричних коренів, функцій, логарифмів, зведення до ступеня;
4. статистичні розрахунки: додавання, середнє арифметичне або середньоквадратичне відхилення;
5. застосування осередку пам'яті та користувальницьких функцій 2-х змінних;
6. робота з кутами в радіанному та градусному заходах.

Інженерний калькулятор дозволяє використовувати різноманітні математичні функції:

Вилучення коренів (корінь квадратний, кубічний, а також корінь n-ого ступеня);
ex (e x ступеня), експонента;
тригонометричні функції: синус – sin, косинус – cos, тангенс – tan;
зворотні тригонометричні функції: арксинус – sin-1, арккосинус – cos-1, арктангенс – tan-1;
гіперболічні функції: синус – sinh, косинус – cosh, тангенс – tanh;
логарифми: двійковий логарифм на основі два - log2x, десятковий логарифм на підставі десять - log, натуральний логарифм- ln.

У цей інженерний калькулятор також включений калькулятор величин з можливістю конвертування фізичних величин різних системвимірювань – комп'ютерні одиниці, відстань, вага, час тощо. За допомогою цієї функції можна миттєво провести переведення миль в кілометри, фунтів в кілограми, секунди в години і т.д.

Щоб зробити математичні розрахунки, для початку введіть послідовність математичних виразів у відповідне поле, потім натисніть на знак рівності і бачте результат. Можна вводити значення прямо з клавіатури (для цього область калькулятора має бути активною, отже, не зайвим буде поставити курсор у поле введення). Крім того, дані можна вносити за допомогою кнопок самого калькулятора.

Для побудови графіків у полі введення слід записати функцію так, як зазначено в полі з прикладами або скористайтеся спеціально призначеною для цього панеллю інструментів (щоб у неї перейти натисніть кнопку з іконкою у вигляді графіка). Для конвертації величин натисніть Unit, проведення робіт з матрицями – Matrix.

Серед різних виразів, що розглядаються в алгебрі, важливе місце посідають суми одночленів. Наведемо приклади таких виразів:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Суму одночленів називають багаточленом. Доданки в многочлен називають членами многочлена. Одночлени також відносять до многочленів, вважаючи одночлен, що складається з одного члена.

Наприклад, багаточлен
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можна спростити.

Представимо всі складові у вигляді одночленів стандартного вигляду:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Наведемо в отриманому багаточлені такі члени:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Вийшов багаточлен, усі члени якого є одночленами стандартного виду, причому серед них немає подібних. Такі багаточлени називають багаточленами стандартного вигляду.

За ступінь багаточленастандартного виду приймають найбільший із ступенів його членів. Так, двочлен \(12a^2b - 7b \) має третій ступінь, а тричлен \(2b^2 -7b + 6 \) - другий.

Зазвичай члени многочленів стандартного виду, що містять одну змінну, мають у своєму розпорядженні в порядку зменшення показників її ступеня. Наприклад:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Суму кількох багаточленів можна перетворити (спростити) на багаточлен стандартного виду.

Іноді члени багаточлена потрібно розбити на групи, укладаючи кожну групу на дужки. Оскільки укладання в дужки - це перетворення, зворотне розкриття дужок, то легко сформулювати правила розкриття дужок:

Якщо перед дужками ставиться знак «+», то члени, які укладаються у дужки, записуються з тими самими знаками.

Якщо перед дужками ставиться знак «-», то члени, які укладаються в дужки, записуються протилежними знаками.

Перетворення (спрощення) твору одночлена та багаточлена

За допомогою розподільної властивості множення можна перетворити (спростити) на багаточлен добуток одночлена та багаточлена. Наприклад:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Твір одночлена та багаточлена тотожно дорівнює сумі творів цього одночлена та кожного з членів багаточлена.

Цей результат зазвичай формулюють як правила.

Щоб помножити одночлен на багаточлен, треба помножити цей одночлен на кожен із членів багаточлена.

Ми вже не раз використовували це правило для множення на суму.

Добуток багаточленів. Перетворення (спрощення) твору двох багаточленів

Взагалі, добуток двох багаточленів тотожно дорівнює сумі добутку кожного члена одного багаточлена і кожного члена іншого.

Зазвичай користуються наступним правилом.

Щоб помножити багаточлен на багаточлен, треба кожен член одного помножити на кожен член іншого і скласти отримані твори.

Формули скороченого множення. Квадрати суми, різниці та різниця квадратів

З деякими висловлюваннями в перетвореннях алгебри доводиться мати справу частіше, ніж з іншими. Мабуть, найчастіше зустрічаються вирази \((a + b)^2, \;(a - b)^2 \) і \(a^2 - b^2 \), тобто квадрат суми, квадрат різниці і різницю квадратів. Ви помітили, що назви зазначених виразів як би не закінчені, наприклад, \((a + b)^2 \) - це, звичайно, не просто квадрат суми, а квадрат суми а і b. Однак квадрат суми а і b зустрічається не так часто, як правило, замість букв а і b в ньому виявляються різні, іноді досить складні вирази.

Вирази \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) неважко перетворити (спростити) на багаточлени стандартного виду, власне, ви вже зустрічалися з таким завданням при множенні багаточленів:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Отримані тотожності корисно запам'ятати та застосовувати без проміжних викладок. Допомагають цьому короткі словесні формулювання.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - Квадрат суми дорівнює суміквадратів та подвоєного твору.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - Квадрат різниці дорівнює сумі квадратів без подвоєного добутку.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - Різниця квадратів дорівнює добутку різниці на суму.

Ці три тотожності дозволяють у перетвореннях замінювати свої ліві частини правими і назад - праві частини лівими. Найважче при цьому - побачити відповідні вирази та зрозуміти, чим у них замінені змінні а та b. Розглянемо кілька прикладів використання формул скороченого множення.

Інструкція

Примітка:π записується як pi; корінь квадратний як sqrt().

Крок 1. У комірки запишіть число та ступінь.

Крок 2. Натисніть кнопку “Звести”.

Крок 3. Отримайте результат.

Вводити можна будь-яке число. Якщо водите десятковий дріб, тоді потрібно вживати точку (2.56), а якщо звичайний дрібтоді вводиться знак “/” (2/3).

Як звести число до ступеня

Зведення числа в ступінь - це множення заданого числа саме на себе стільки разів, наскільки воно знаходиться. Розглянемо на простому прикладі. Нам треба звести на ступінь 3 цифру 7. Приклад записується так: . У прикладі цифра 7 – це основа, а 3 – ступінь. Значить множимо: 7*7*7=343.

Крім того, можна зводити числа та в негативний ступінь. І тому згадаємо правило: . Все досить просто, потрібно поділити "1" на підставу в зазначеній мірі, але без знаку мінус. Таким чином наш приклад набуде іншого виразу, якщо ступінь буде “-3”. Отже, зводимо . Виходить: = або 0,002 (1 поділили на 343).

Включає потрібну для багатьох функцію, як калькулятор ступенів. З його допомогою виконати зведення числа у ступінь простіше простого, задайте вираз – отримайте результат. Калькулятор виробляє зведення в ступінь онлайн, як і будь-які інші функції прямо на нашому сайті.

Як звести число до ступеня в калькуляторі?

Зведення в ступінь - це дія множення числа самого на себе n разів, де число x y - ступінь, x - основа ступеня, y = n - показник ступеня. Щоб підняти ступінь на калькуляторі, використовуйте відповідні кнопки на панелі керування. Якщо вам потрібна більше Детальна інформаціяВикористовуючи цифрову панель калькулятора, перейдіть на сторінку .

Функція зведення в ступінь у калькуляторі представлена ​​п'ятьма кнопками: зведення в квадрат, зведення в куб, зведення в ступінь довільного числа, зведення в ступінь підстави рівного 10-ти і зведення в ступінь експоненти.

Кнопки калькулятора, що відповідають за зведення у ступінь:

Зведення в квадрат та в куб

Першим ступенем числа є саме число. Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює 1. Зведення квадрат — другий ступінь, куб — ​​третій. Квадрат числа завжди має позитивне значення, крім квадрата комплексних чисел.

Ці кнопки калькулятора спрощують введення операції: х 2 – зведення у квадрат, х 3 – у куб. Одним натисканням у поле введення вставляється запис виду ^2 або ^3.

Приклад зведення в квадрат і куб:

Зведення в n ступінь

Наш онлайн калькулятор зведення у ступінь позначає звичайним «двоповерховим» записом на дисплеї, а ось у полі введення виразу потрібно, звичайно, використовувати циркумфлекс.

Приклад зведення чисел у ступінь:

Обчислення ступеня числа 10

Натискання цієї кнопки вставляє у полі введення запис виду: 10^(), тобто. основою ступеня записується число 10. Зручно застосовувати, коли потрібно написати зведення в якийсь ступінь саме числа 10.

Приклад, як знайти ступінь числа 10:

Експонента в мірі

Натиснувши кнопку, побачите у рядку запис exp(). Щоб порахувати число е ступеня, потрібно звести число Ейлера ступінь e x = exp(x). Кому цікаво знати, чому дорівнює число е: його значення 2.71828182845905.

Приклад, як звести її до ступеня:

Зведення в дробовий ступінь

Допустимо, нас цікавить дробовий ступінь числа x y1/y2. Так як зведення в ступінь - дія, зворотне до вилучення кореня, розрахунок зводиться до знаходження кореня ступеня y2 з числа x ступеня y1. Якщо значення y2 парне, то дробовий ступінь можна обчислити лише за позитивної підстави, оскільки корінь негативного числа не існує і калькулятор у подібній ситуації дасть вам помилку!

При зведенні в дрібний ступінь не забувайте закривати основу в дужки, інакше знаменник дробу в показнику ступеня піде в знаменник основи!

Цей приклад показує, як звести в дрібний ступінь на калькуляторі:

Наш онлайн калькулятор дозволяє звести як у позитивний, так і в негативний ступінь. При негативному значенні показника, основа має набути вигляду (1/x), іншими словами, чисельник і знаменник основи ступеня повинні помінятися місцями і тільки після цього можна починати зведення. Калькулятор дозволяє звести число в негативний рівень автоматично, опускаючи всі проміжні перетворення і видаючи відразу остаточну відповідь.

При зведенні в негативний ступінь всіляких функцій, у тому числі тригонометричних, онлайн калькулятор автоматично враховує їх парність/непарність за правилами символів.

Цей приклад показує, як побудувати негативний ступінь на калькуляторі:

Дробове число ступенем калькулятор теж розрахує.

Зведення дробу до ступеня за допомогою калькулятора:

Зведення кореня до ступеня за допомогою калькулятора:

Всі функції нашого безкоштовного калькулятора зібрані в одному розділі.

Зведення в ступінь онлайн was last modified: Березень 3rd, 2016 by Admin