Як вирішувати нерівності з добутком логарифмів. Вирішення найпростіших логарифмічних нерівностей

Вступ

Логарифми були придумані для прискорення та спрощення обчислень. Ідея логарифму, т. е. ідея висловлювати числа як ступеня однієї й тієї ж підстави, належить Михайлу Штифелю. Але за часів Штифеля математика була настільки розвинена і ідея логарифму не знайшла свого розвитку. Логарифми були винайдені пізніше одночасно і незалежно один від одного шотландським ученим Джоном Непером (1550-1617) і швейцарцем Іобст Бюрги (1552-1632) Першим опублікував роботу Непер в 1614г. під назвою "Опис дивовижної таблиці логарифмів", теорія логарифмів Непера була дана в достатньо повному обсязі, спосіб обчислення логарифмів дано найбільш простий, тому заслуги Непера у винаході логарифмів більше, ніж у Бюрги. Бюргі працював над таблицями одночасно з Непером, але довгий час тримав їх у секреті та опублікував лише у 1620р. Ідеєю логарифму Непер опанував около1594г. хоча таблиці опублікував через 20 років. Спочатку він називав свої логарифми "штучними числами" і вже потім запропонував ці "штучні числа" називати одним словом "логарифм", який у перекладі з грецької- "співвіднесені числа", взяті одне з арифметичної прогресії, а інше зі спеціально підібраної до неї геометричної прогресу. Перші таблиці російською були видані в1703г. за участю чудового педагога 18 ст. Л. Ф. Магницького. У розвитку теорії логарифмів велике значеннямали роботи петербурзького академіка Леонарда Ейлера. Він першим став розглядати логарифмування як дію, зворотне зведенню в ступінь, він ввів у вживання терміни «основа логарифму» і «мантіса» Брігс склав таблиці логарифмів з підставою 10. . Тому десяткові логарифми іноді називають бригсовими. Термін «характеристика» запровадив Брігс.

У ті далекі часи, коли мудреці вперше почали замислюватися про рівність, що містять невідомі величини, напевно, ще не було ні монет, ні гаманців. Зате були купи, а також горщики, кошики, які чудово підходили на роль схованок-сховищ, що вміщають невідому кількість предметів. У стародавніх математичних завданняхМежиріччя, Індії, Китаю, Греції невідомі величини виражали кількість павичів у саду, кількість бугаїв у стаді, сукупність речей, що враховуються при розподілі майна. Добре навчені науці рахунки переписувачі, чиновники та посвячені в таємні знання жерці досить успішно справлялися з такими завданнями.

Джерела, що дійшли до нас, свідчать, що древні вчені володіли якимись загальними прийомамивирішення завдань із невідомими величинами. Однак в жодному папірусі, в жодній глиняній табличці не дано опису цих прийомів. Автори лише зрідка постачали свої числові викладки скупими коментарями типу: "Дивись!", "Роби так!", "Ти правильно знайшов". У цьому сенсі винятком є ​​"Арифметика" грецького математика Діофанта Олександрійського (III ст.) - Збір завдань на складання рівнянь із систематичним викладом їх рішень.

Однак першим керівництвом з вирішення завдань, що набуло широкої популярності, стала праця багдадського вченого IX ст. Мухаммеда бен Муси аль-Хорезмі. Слово "аль-джебр" з арабської назви цього трактату - "Кітаб аль-джебер валь-мукабала" ("Книга про відновлення і протиставлення") - згодом перетворилося на добре знайоме всім слово "алгебра", а сам твір аль-Хорезмі послужив відправною точкою у становленні науки про розв'язання рівнянь.

Логарифмічні рівняння та нерівності

1. Логарифмічні рівняння

Рівняння, що містить невідоме під знаком логарифму або на його підставі, називається логарифмічним рівнянням.

Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння виду

log a x = b . (1)

Твердження 1. Якщо a > 0, a≠ 1, рівняння (1) за будь-якого дійсного bмає єдине рішення x = a b .

Приклад 1. Розв'язати рівняння:

a) log 2 x= 3; b) log 3 x= -1, c)

Рішення. Використовуючи затвердження 1, отримаємо a) x= 2 3 або x= 8; b) x= 3 -1 або x= 1/3; c)

або x = 1.

Наведемо основні властивості логарифму.

Р1. Основна логарифмічна тотожність:

де a > 0, a≠ 1 та b > 0.

Р2. Логарифм твору позитивних співмножників дорівнює сумілогарифмів цих співмножників:

log a N 1 · N 2 = log a N 1+log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Зауваження. Якщо N 1 · N 2 > 0, тоді властивість P2 набуде вигляду

log a N 1 · N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 · N 2 > 0).

Р3. Логарифм приватного двох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів ділимого та дільника

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Зауваження. Якщо

, (що рівносильно N 1 N 2 > 0) тоді властивість P3 набуде вигляду (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Логарифм ступеня позитивного числа дорівнює добутку показника ступеня логарифм цього числа:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Зауваження. Якщо k- парне число ( k = 2s), то

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула переходу до іншої основи:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

зокрема, якщо N = b, отримаємо

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Використовуючи властивості P4 та P5, легко отримати такі властивості

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

і, якщо (5) c- парне число ( c = 2n), має місце

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перерахуємо основні властивості логарифмічної функції f (x) = log a x :

1. Область визначення логарифмічної функції є множиною позитивних чисел.

2. Область значень логарифмічної функції – безліч дійсних чисел.

3. При a> 1 логарифмічна функція строго зростає (0< x 1 < x 2 log a x 1 < loga x 2), а при 0< a < 1, - строго убывает (0 < x 1 < x 2 log a x 1 > log a x 2).

4. log a 1 = 0 та log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Якщо a> 1, то логарифмічна функція негативна при x(0;1) і позитивна при x(1;+∞), а якщо 0< a < 1, то логарифмическая функция положительна при x (0;1) і негативна при x (1;+∞).

6. Якщо a> 1, то логарифмічна функція опукла вгору, і якщо a(0;1) - опукла вниз.

Наступні твердження (див., наприклад,) використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь.

До здачі ЄДІ з математики залишається дедалі менше часу. Обстановка загострюється, нерви у школярів, батьків, вчителів та репетиторів натягуються все сильніше. Зняти нервове напруженнявам допоможуть щоденні поглиблені заняття з математики. Адже ніщо, як відомо, так не заряджає позитивом і не допомагає при складанні іспитів як впевненість у своїх силах і знаннях. Сьогодні репетитор з математики розповість вам про розв'язання систем логарифмічних та показових нерівностей, завдань, які традиційно викликають труднощі у багатьох сучасних старшокласників.

Для того, щоб навчитися вирішувати завдання C3 з ЄДІ з математики як репетитор з математики, рекомендую вам звернути увагу на наступні важливі моменти.

1. Перш ніж розпочати вирішення систем логарифмічних і показових нерівностей, необхідно навчитися вирішувати кожен із цих типів нерівностей окремо. Зокрема, розібратися з тим, як знаходиться область допустимих значень, проводяться рівносильні перетворення логарифмічних та показових виразів. Деякі пов'язані з цим таємниці ви можете осягнути, вивчивши статті « » та « ».

2. При цьому необхідно усвідомлювати, що розв'язання системи нерівностей не завжди зводиться до вирішення окремо кожної нерівності та перетину отриманих проміжків. Іноді, знаючи рішення однієї нерівності системи, рішення другої значно спрощується. Як репетитор з математики, який займається підготовкою школярів до складання випускних іспитів у форматі ЄДІ, розкрию в цій статті пару пов'язаних із цим секретів.

3. Необхідно чітко усвідомити для себе різницю між перетином та об'єднанням множин. Це одне з найважливіших математичних знань, яке досвідчений репетитор намагається дати своєму учневі вже з перших занять. Наочне уявлення про перетин та об'єднання множин дають так звані «кола Ейлера».

Перетином множин називається безліч, якій належать лише ті елементи, які є у кожної з цих множин.

перетином

Зображення перетину множин за допомогою «кіл Ейлера»

Пояснення на пальцях.У Діани в сумочці знаходиться «множина», що складається з ( ручки, олівець, лінійки, зошити, гребінці). У Аліси в сумочці знаходиться «множина», що складається з ( записник, олівець, дзеркальця, зошити, котлети по-київськи). Перетином цих двох "множин" буде "множина", що складається з ( олівець, зошити), оскільки обидва цих «елемента» є і Діана, і Аліса.

Важливо запам'ятати! Якщо рішенням нерівності є проміжок, а рішенням нерівності є проміжок, то рішенням систем:

є проміжок тобто перетин вихідних проміжків. Тут і далі підмається на увазі будь-який із знаків title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="93" style="vertical-align: -4px;">!} а під - Йому протилежний знак.

Об'єднанням множин називається безліч, що складається з усіх елементів вихідних множин.

Іншими словами, якщо дані дві множини і то їх об'єднанням буде безліч наступного виду:

Зображення об'єднання множин за допомогою «кіл Ейлера»

Пояснення на пальцях.Об'єднанням "множин", взятих у попередньому прикладі буде "множина", що складається з ( ручки, олівець, лінійки, зошити, гребінці, записник, дзеркальця, котлети по-київськи), оскільки воно складається з усіх елементів вихідних «множин». Одне уточнення, яке може виявитися не зайвим. Безліч не можемістити у собі однакових елементів.

Важливо запам'ятати! Якщо рішенням нерівності є проміжок, а рішенням нерівності є проміжок, то рішенням сукупності:

є проміжок тобто об'єднання вихідних проміжків.

Перейдемо безпосередньо до прикладів.

приклад 1.Розв'яжіть систему нерівностей:

Розв'язання задачі C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Використовуючи заміну переходимо до нерівності:

2. Вирішуємо тепер другу нерівність. Область його допустимих значень визначається нерівністю:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

В області допустимих значень з огляду на те, що основа логарифму title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="52" style="vertical-align: -4px;"> переходим к равносильному неравенству:!}

Виключаючи рішення, що не входять до області допустимих значень, отримуємо проміжок

3. Відповіддю до системінерівностей буде перетин

Отримані проміжки на числовій прямій. Рішення - їх перетин

приклад 2.Розв'яжіть систему нерівностей:

Розв'язання задачі C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Помножуємо обидві частини на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="55" style="vertical-align: 0px;"> и делаем замену в результате чего приходим к неравенству:!}

Переходимо до зворотної підстановки:

2.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Графічне зображення отриманих інтервалів. Рішення системи - їх перетин

приклад 3.Розв'яжіть систему нерівностей:

Розв'язання задачі C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Помножуємо обидві його частини на title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="61" style="vertical-align: -4px;"> после чего получаем неравенство:!}

Використовуючи підстановку переходимо до наступної нерівності:

Переходимо до зворотної підстановки:

2. Вирішуємо тепер другу нерівність. Визначимо спочатку область допустимих значень цієї нерівності:

ql-right-eqno">

Звертаємо увагу, що

Тоді з урахуванням області допустимих значень отримуємо:

3. Знаходимо загальне рішеннянерівностей. Порівняння отриманих ірраціональних значень вузлових точок - завдання в даному прикладіаж ніяк не тривіальна. Зробити це можна так. Так як

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

то та остаточна відповідь до системи має вигляд:

приклад 4.Розв'яжіть систему нерівностей:

Розв'язання задачі С3.

1. Вирішимо спершу другу нерівність:

2. Перша нерівність вихідної системи є логарифмічним нерівністю зі змінною основою. Зручний спосіброзв'язання подібних нерівностей описано у статті «Складні логарифмічні нерівності», в її основі лежить проста формула:

Замість знака може бути підставлений будь-який знак нерівності, головне, щоб він був той самий в обох випадках. Використання цієї формули значно полегшує розв'язання нерівності:

Визначимо тепер область допустимих значень цієї нерівності. Вона задається наступною системою:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Легко бачити, що одночасно цей проміжок буде і вирішенням нашої нерівності.

3. Остаточною відповіддю вихідної системинерівностей буде перетин отриманих проміжків, тобто

Приклад 5.Розв'яжіть систему нерівностей:

Рішення завдання C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Використовуємо підстановку Переходимо до наступної квадратної нерівності:

2. Вирішуємо тепер другу нерівність. Область його допустимих значень визначається системою:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Ця нерівність дорівнює наступній змішаній системі:

В області допустимих значень, тобто при title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="18" width="53" style="vertical-align: -4px;"> используя равносильные преобразования переходим к следующей смешанной системе:!}

З урахуванням області допустимих значень отримуємо:

3. Остаточним рішеннямвихідний системиє

Розв'язання задачі C3.

1. Вирішуємо спершу першу нерівність. Рівносильними перетвореннями наводимо його до вигляду:

2. Вирішуємо тепер другу нерівність. Область його допустимих значень визначається проміжком: title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="68" style="vertical-align: 0px;"> Используя замену переменной переходим к следующему квадратичному неравенству:!}

Ця відповідь цілком належить до області допустимих значень нерівності.

3. Перетином отриманих у попередніх пунктах проміжків отримуємо остаточну відповідь до системи нерівностей:

Сьогодні ми з вами вирішували системи логарифмічних та показових нерівностей. Завдання подібного роду пропонувалися у пробних варіантах ЄДІз математики протягом усього, що нині йде навчального року. Однак, як репетитор з математики, який має досвід підготовки до ЄДІ, можу сказати, що це зовсім не означає, що аналогічні завдання будуть в реальних варіантахЄДІ з математики у червні.

Дозволю собі висловити одну застереження, адресовану насамперед репетиторам і шкільним вчителям, що займається підготовкою старшокласників до здачі ЄДІ з математики Дуже небезпечно готувати школярів до іспиту строго за заданими темами, адже в цьому випадку виникає ризик повністю «завалити» його навіть за незначної зміни раніше заявленого формату завдань. Математичне освіту має бути повним. Шановні колеги, будь ласка, не уподібнюйте роботам своїх учнів так званим «натягуванням» на вирішення певного типу завдань. Адже немає нічого гіршого від формалізації мислення людини.

Всім удачі та творчих успіхів!

Сергій Валерійович

Якщо пробувати, тобто два варіанти: вийде чи не вийде. Якщо не пробувати — лише один.
© Народна мудрість

Серед усього різноманіття логарифмічних нерівностей окремо вивчають нерівності зі змінною основою. Вони вирішуються за спеціальною формулою, яку чомусь рідко розповідають у школі:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) - g (x)) · (k (x) - 1) ∨ 0

Замість галки «∨» можна поставити будь-який знак нерівності: більше чи менше. Головне, щоб у обох нерівностях знаки були однаковими.

Так ми позбавляємося логарифмів і зводимо завдання до раціональної нерівності. Останнє вирішується набагато простіше, але при відкиданні логарифмів може виникнути зайве коріння. Щоб їх відсікти, достатньо знайти область допустимих значень. Якщо ви забули ОДЗ логарифму, настійно рекомендую повторити – див. «Що таке логарифм».

Все, що пов'язане з областю допустимих значень, треба виписати та вирішити окремо:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Ці чотири нерівності складають систему і мають виконуватися одночасно. Коли область допустимих значень знайдено, залишається перетнути її з розв'язанням раціональної нерівності - і відповідь готова.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Для початку випишемо ОДЗ логарифму:

Перші дві нерівності виконуються автоматично, а останню доведеться розписати. Оскільки квадрат числа дорівнює нулю і тоді, коли саме число дорівнює нулю, маємо:

x 2 + 1 ≠ 1;
x 2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Виходить, що ОДЗ логарифму - усі числа, крім нуля: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Тепер вирішуємо основну нерівність:

Виконуємо перехід від логарифмічної нерівності до раціональної. У вихідній нерівності стоїть знак «менше», отже, отримана нерівність теж має бути зі знаком «менше». Маємо:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) · x 2< 0;
(3 − x ) · (3 + x ) · x 2< 0.

Нулі цього виразу: x = 3; x = -3; x = 0. Причому x = 0 - корінь другої кратності, отже, при переході через нього знак функції не змінюється. Маємо:

Отримуємо x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Ця множина повністю міститься в ОДЗ логарифму, отже це і є відповідь.

Перетворення логарифмічних нерівностей

Часто вихідна нерівність відрізняється від наведеного вище. Це легко виправити по стандартним правиламроботи з логарифмами – див. «Основні властивості логарифмів». А саме:

1. Будь-яке число представимо у вигляді логарифму із заданою основою;
2. Суму та різницю логарифмів з однаковими підставами можна замінити одним логарифмом.

Окремо хочу нагадати про область допустимих значень. Оскільки у вихідній нерівності може бути кілька логарифмів, потрібно знайти ОДЗ кожного з них. Таким чином, загальна схемарозв'язання логарифмічних нерівностей наступна:

1. Знайти ОДЗ кожного логарифму, що входить у нерівність;
2. Звести нерівність до стандартного за формулами додавання та віднімання логарифмів;
3. Вирішити отриману нерівність за схемою, наведеною вище.

Завдання. Розв'яжіть нерівність:

Знайдемо область визначення (ОДЗ) першого логарифму:

Вирішуємо методом інтервалів. Знаходимо нулі чисельника:

3x − 2 = 0;
x = 2/3.

Потім – нулі знаменника:

x − 1 = 0;
x = 1.

Відзначаємо нулі та знаки на координатній стрілі:

Отримуємо x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). У другого логарифму ОДЗ буде так само. Не вірите – можете перевірити. Тепер перетворимо другий логарифм так, щоб у основі стояла двійка:

Як бачите, трійки в основі та перед логарифмом скоротилися. Отримали два логарифми з однаковою основою. Складаємо їх:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Набули стандартної логарифмічної нерівності. Позбавляємося логарифмів за формулою. Оскільки у вихідній нерівності стоїть знак «менше», отриманий раціональний вираз теж має бути меншим за нуль. Маємо:

(f (x) - g (x)) · (k (x) - 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Отримали дві множини:

1. ОДЗ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Кандидат відповідь: x ∈ (−1; 3).

Залишилося перетнути ці множини - отримаємо справжню відповідь:

Нас цікавить перетин множин, тому вибираємо інтервали, зафарбовані на обох стрілах. Отримуємо x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - усі точки виколоти.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Логарифмічні нерівності

На попередніх уроках ми з вами познайомилися з логарифмічними рівняннями і тепер знаємо, що таке і як їх вирішувати. А сьогоднішній урок буде присвячено вивченню логарифмічних нерівностей. Що ж це за такі нерівності та у чому різниця між розв'язанням логарифмічного рівняння та нерівності?

Логарифмічні нерівності - це нерівності, які мають змінну, що стоїть під знаком логарифму або на його підставі.

Або ж, можна ще сказати, що логарифмічна нерівність – це така нерівність, в якій її невідома величина, як і в логарифмічному рівнянні, стоятиме під знаком логарифму.

Найпростіші логарифмічні нерівностімають такий вигляд:

де f(x) та g(x) є деякими виразами, які залежать від x.

Давайте це розглянемо такий приклад: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Розв'язання логарифмічних нерівностей

Перед розв'язанням логарифмічних нерівностей, варто зазначити, що вони при вирішенні мають схожість з показовими нерівностями, а саме:

По-перше, при переході від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, нам також необхідно порівняти основу логарифму з одиницею;

По-друге, вирішуючи логарифмічну нерівність, використовуючи заміну змінних, нам необхідно вирішувати нерівності щодо заміни до того моменту, поки ми не отримаємо найпростішу нерівність.

Але це ми з вами розглянули подібні моменти розв'язання логарифмічних нерівностей. А зараз звернемо увагу на досить істотну відмінність. Нам з вами відомо, що логарифмічна функція має обмежену область визначення, тому переходячи від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, потрібно брати до уваги область допустимих значень (ОДЗ).

Тобто слід враховувати, що, вирішуючи логарифмічне рівняння ми з вами, можемо спочатку знаходити коріння рівняння, а потім робити перевірку цього рішення. А ось вирішити логарифмічну нерівність так не вийде, оскільки, переходячи від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, необхідно буде записувати ОДЗ нерівності.

До того ж варто запам'ятати, що теорія нерівностей складається з дійсних чисел, якими є позитивні та негативні числа, а також число 0.

Наприклад, коли число «а» є позитивним, необхідно використовувати такий запис: a >0. В цьому випадку, як сума, так і добуток таких чисел також будуть позитивними.

Основним принципом розв'язання нерівності є його заміна на простішу нерівність, але головне, щоб вона була рівносильна цьому. Далі, також ми здобули нерівність і знову її замінили на ту, яка має більш простий вигляд і т.д.

Вирішуючи нерівності зі змінною необхідно шукати всі її рішення. Якщо дві нерівності мають одну змінну х, такі нерівності рівносильні, за умови, що й рішення збігаються.

Виконуючи завдання на розв'язання логарифмічних нерівностей, слід запам'ятати, що коли a > 1, то логарифмічна функція зростає, а коли 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Способи розв'язання логарифмічних нерівностей

Зараз розглянемо деякі способи, які мають місце під час вирішення логарифмічних нерівностей. Для кращого розуміння та засвоєння, спробуємо у них розібратися на конкретних прикладах.

Нам з вами відомо, що найпростіша логарифмічна нерівність має такий вигляд:

У цій нерівності V є одним з таких знаків нерівності, як:<,>, ≤ або ≥.

Коли основа даного логарифму більше одиниці (a>1), здійснюючи перехід від логарифмів до виразів, що стоять під знаком логарифму, то в цьому варіанті знак нерівності зберігається, і нерівність матиме такий вигляд:

що рівносильно такій системі:

У разі ж, коли основа логарифму більша за нуль і менше одиниці (0

Це рівносильно даній системі:

Подивимося ще приклади вирішення найпростіших логарифмічних нерівностей, наведених на малюнку нижче:

Рішення прикладів

Завдання.Давайте спробуємо вирішити таку ось нерівність:

Вирішення області допустимих значень.

Тепер спробуємо помножити його праву частину на:

Дивимося, що в нас вийде:

Тепер, давайте з вами перейдемо до перетворення підлогарифмічних виразів. У зв'язку з тим, що основа логарифму 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x – 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А з цього випливає, що інтервал, який ми отримали, повністю належить ОДЗ і є вирішенням такої нерівності.

Ось яка відповідь у нас вийшла:

Що необхідно для вирішення логарифмічних нерівностей?

А тепер спробуємо проаналізувати, що нам необхідно для успішного вирішення логарифмічних нерівностей?

По-перше, зосередити всю свою увагу і постаратися не допускати помилок при виконанні перетворень, які дано в цій нерівності. Також слід запам'ятати, що при вирішенні таких нерівностей потрібно не допускати розширень та звужень ОДЗ нерівності, які можуть призвести до втрати або придбання сторонніх рішень.

По-друге, при вирішенні логарифмічних нерівностей необхідно навчитися мислити логічно і розуміти різницю між такими поняттями, як система нерівностей та сукупність нерівностей, щоб ви без проблем змогли здійснювати відбір розв'язків нерівності, при цьому керуючись її ОДЗ.

По-третє, для успішного вирішення таких нерівностей кожен з вас повинен добре знати всі властивості елементарних функційі чітко розуміти їхній зміст. До таких функцій відносяться не лише логарифмічні, а й раціональні, статечні, тригонометричні і т.д., одним словом, усі ті, які ви вивчали протягом шкільного навчання алгебри.

Як бачите, вивчивши тему про логарифмічні нерівності, у вирішенні цих нерівностей немає нічого складного за умови, якщо ви будете уважні та наполегливі у досягненні поставленої мети. Щоб у вирішенні нерівностей не виникало жодних проблем, потрібно якнайбільше тренуватися, вирішуючи різні завдання і при цьому запам'ятовувати основні способи вирішення таких нерівностей та їх систем. При невдалих рішеннях логарифмічних нерівностей слід уважно проаналізувати свої помилки, щоб у майбутньому не повертатися до них знову.

Домашнє завдання

Для кращого засвоєння теми та закріплення пройденого матеріалу вирішіть наступні нерівності: