Показові рівняння та нерівності

На канал на youtube нашого сайту сайт, щоб бути в курсі всіх нових уроків відео.

Для початку згадаємо основні формули ступенів та їх властивості.

Добуток числа aсаме на себе відбувається n разів, цей вираз ми можемо записати як a a … a = a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n m = an + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

Ступінні або показові рівняння – це рівняння у яких змінні перебувають у ступенях (чи показниках), а основою є число.

Приклади показових рівнянь:

У даному прикладічисло 6 є основою воно завжди стоїть унизу, а змінна xступенем чи показником.

Наведемо приклади показових рівнянь.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6 = 0

Тепер розберемо, як вирішуються показові рівняння?

Візьмемо просте рівняння:

2 х = 2 3

Такий приклад можна вирішити навіть у думці. Видно, що x = 3. Адже щоб ліва і права частинадорівнювали потрібно замість x поставити число 3.
А тепер подивимося як потрібно це рішення оформити:

2 х = 2 3
х = 3

Для того щоб вирішити таке рівняння, ми прибрали однакові підстави(тобто двійки) і записали те, що залишилося, це ступеня. Отримали відповідь.

Тепер підіб'ємо підсумки нашого рішення.

Алгоритм розв'язання показового рівняння:
1. Потрібно перевірити однаковічи підстави у рівняння праворуч і ліворуч. Якщо підстави не однакові, шукаємо варіанти для вирішення даного прикладу.
2. Після того, як підстави стануть однаковими, прирівнюємоступеня і вирішуємо отримане нове рівняння.

Тепер вирішуємо кілька прикладів:

Почнемо із простого.

Підстави в лівій і правій частині дорівнюють числу 2, отже ми можемо підставу відкинути і прирівняти їх ступеня.

x+2=4 Вийшло найпростіше рівняння.
x = 4 - 2
x=2
Відповідь: x=2

У прикладі видно, що підстави різні це 3 і 9.

3 3х - 9 х +8 = 0

Для початку переносимо дев'ятку праворуч, отримуємо:

Тепер потрібно зробити однакові підстави. Ми знаємо що 9 = 3 2 . Скористаємося формулою ступенів (a n) m = a nm.

3 3х = (3 2) х+8

Отримаємо 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 тепер видно що в лівій та правій стороніпідстави однакові й рівні трійці, отже ми можемо їх відкинути і прирівняти ступеня.

3x=2x+16 отримали найпростіше рівняння
3x - 2x = 16
x=16
Відповідь: x = 16.

Дивимося такий приклад:

2 2х + 4 - 10 4 х = 2 4

Насамперед дивимося на підстави, підстави різні два та чотири. А нам треба, щоб були однакові. Перетворюємо четвірку за формулою (a n) m = a nm.

4 х = (2 2) х = 2 2х

І ще використовуємо одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Додаємо до рівняння:

2 2х 2 4 - 10 2 2х = 24

Ми навели приклад до однакових підстав. Але нам заважають інші числа 10 та 24. Що з ними робити? Якщо придивитися видно, що в лівій частині у нас повторюється 2 2х, ось і відповідь - 2 2х ми можемо винести за дужки:

2 2х (2 4 - 10) = 24

Порахуємо вираз у дужках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Усі рівняння ділимо на 6:

Представимо 4 = 2 2:

2 2х = 2 2 основи однакові, відкидаємо їх і прирівнюємо ступеня.
2х = 2 вийшло найпростіше рівняння. Ділимо його на 2 отримуємо
х = 1
Відповідь: х = 1.

Розв'яжемо рівняння:

9 х - 12 * 3 х +27 = 0

Перетворюємо:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Отримуємо рівняння:
3 2х - 12 3 х +27 = 0

Підстави у нас однакові рівні трьом. У даному прикладі видно, що у першої трійки ступінь у два рази (2x) більший, ніж у другої (просто x). У такому випадку можна вирішити методом заміни. Число з найменшим ступенем замінюємо:

Тоді 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Замінюємо в рівнянні всі ступені з іксами на t:

t 2 - 12t + 27 = 0
Отримуємо квадратне рівняння. Вирішуємо через дискримінант, отримуємо:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Повертаємось до змінної x.

Беремо t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало бути,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корінь знайшли. Шукаємо другий, з t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Відповідь: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайті Ви можете в розділі ДОПОМОЖІТЕ ВИРІШИТИ ставити запитання, які ми цікавимо, ми Вам обов'язково відповімо.

Вступайте до групи

На етапі підготовки до заключного тестування учням старших класів необхідно підтягнути знання на тему «Показові рівняння». Досвід минулих років свідчить про те, що подібні завдання викликають у школярів певні труднощі. Тому старшокласникам, незалежно від рівня їх підготовки, необхідно ретельно засвоїти теорію, запам'ятати формули та зрозуміти принцип розв'язання таких рівнянь. Навчившись справлятися з цим видом завдань, випускники зможуть розраховувати на високі бали під час здачі ЄДІ з математики.

Готуйтеся до екзаменаційного тестування разом із «Шкілковим»!

При повторенні пройдених матеріалів багато учнів стикаються з проблемою пошуку необхідних вирішення рівнянь формул. Шкільний підручник не завжди знаходиться під рукою, а відбір необхідної інформації на тему в Інтернеті займає довгий час.

Освітній портал «Школкове» пропонує учням скористатися нашою базою знань. Ми реалізуємо абсолютно новий методпідготовки до підсумкового тестування Займаючись на нашому сайті, ви зможете виявити прогалини у знаннях та приділити увагу саме тим завданням, які викликають найбільші труднощі.

Викладачі «Школково» зібрали, систематизували та виклали весь необхідний для успішної здачіЄДІ матеріал у максимально простій та доступній формі.

Основні визначення та формули представлені у розділі «Теоретична довідка».

Для кращого засвоєння матеріалу рекомендуємо попрактикуватися у виконанні завдань. Уважно перегляньте наведені на цій сторінці приклади показових рівнянь із рішенням, щоб зрозуміти алгоритм обчислення. Після цього починайте виконання завдань у розділі «Каталоги». Ви можете почати з найлегших завдань або одразу перейти до розв'язання складних показових рівнянь із кількома невідомими або . База вправ на нашому сайті постійно доповнюється та оновлюється.

Ті приклади з показниками, які викликали у вас складнощі, можна додати до «Вибраного». Так ви можете швидко знайти їх та обговорити рішення з викладачем.

Щоб успішно здати ЄДІ, займайтеся на порталі «Школкове» щодня!

Показова функція- це узагальнення добутку n чисел, рівних a :
y (n) = a n = a·a·a···a,
на безліч дійсних чисел x :
y (x) = a x.
Тут a – фіксоване дійсне число, яке називають основою показової функції .
Показову функцію з основою a також називають експонентою на підставі a.

Узагальнення виконується в такий спосіб.
При натуральному x = 1, 2, 3,... , показова функція є твором x множників:
.
При цьому вона має властивості (1.5-8) (), які випливають із правил множення чисел. При нульовому та негативних значенняхцілих чисел, показову функцію визначають за формулами (1.9-10). При дробових значеннях x = m/n раціональних чисел, її визначають за формулою (1.11). Для дійсних , показову функцію визначають як межа послідовності:
,
де - довільна послідовність раціональних чисел, що сходить до x: .
При такому визначенні, показова функція визначена всім , і задовольняє властивостям (1.5-8), як й у натуральних x .

Суворе математичне формулювання визначення показової функції та доказ її властивостей наводиться на сторінці «Визначення та доказ властивостей показової функції».

Властивості показової функції

Показова функція y = a x має такі властивостіна безлічі дійсних чисел () :
(1.1) визначена і безперервна, при , всім ;
(1.2) при a ≠ 1 має безліч значень;
(1.3) строго зростає при , суворо зменшується при ,
є постійною при ;
(1.4) при;
при;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Інші корисні формули.
.
Формула перетворення до показової функції з іншою основою ступеня:

При b = e отримуємо вираз показової функції через експоненту:

Приватні значення

, , , , .

На малюнку представлені графіки показової функції
y (x) = a x
для чотирьох значень підстави ступеня: a = 2 , a = 8 , a = 1/2 та a = 1/8 . Видно, що за a > 1 показова функція монотонно зростає. Чим більша підстава ступеня a тим більше сильне зростання. При 0 < a < 1 показова функція монотонно зменшується. Чим менший показник ступеня a тим більше сильне спадання.

Зростання, спадання

Показова функція, є суворо монотонною, тому екстремумів не має. Основні її властивості представлені у таблиці.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область визначення	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значень	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонність	монотонно зростає	монотонно зменшується
Нулі, y = 0	ні	ні
Точки перетину з віссю ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Зворотня функція

Зворотною для показової функції з основою ступеня a є логарифм з основи a .

Якщо то
.
Якщо то
.

Диференціювання показової функції

Для диференціювання показової функції, її основу потрібно привести до e , застосувати таблицю похідних і правило диференціювання складної функції.

Для цього потрібно використовувати властивість логарифмів
і формулу з таблиці похідних:
.

Нехай задана показова функція:
.
Приводимо її до основи e:

Застосуємо правило диференціювання складної функції. Для цього вводимо змінну

Тоді

З таблиці похідних маємо (замінимо змінну x на z):
.
Оскільки - це постійна, то похідна z x дорівнює
.
За правилом диференціювання складної функції:
.

Похідна показової функції

.
Похідна n-го порядку:
.
Висновок формул > > >

Приклад диференціювання показової функції

Знайти похідну функції
y = 3 5 x

Рішення

Виразимо основу показової функції через число e.
3 = e ln 3
Тоді
.
Вводимо змінну
.
Тоді

З таблиці похідних знаходимо:
.
Оскільки 5ln 3- це постійна, то похідна z x дорівнює:
.
За правилом диференціювання складної функції маємо:
.

Відповідь

Інтеграл

Вирази через комплексні числа

Розглянемо функцію комплексного числа z:
f (z) = a z
де z = x + iy; i 2 = - 1 .
Виразимо комплексну постійну через модуль r і аргумент φ :
a = r e i φ
Тоді


.
Аргумент φ визначено неоднозначно. У загальному вигляді
φ = φ 0 + 2 πn,
де n – ціле. Тому функція f (z)також не однозначна. Часто розглядають її головне значення
.

Розкладання в ряд

.

Використана література:
І.М. Бронштейн, К.А. Семендяєв, Довідник з математики для інженерів та учнів втузів, «Лань», 2009.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальних пропозиціях, акціях та інших заходах та найближчих подіях.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних дослідженьз метою покращення послуг наданих нами та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судового порядку, в судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.