Обчислення меж функції теорія. Межа послідовності та функції. Теореми про межі

Основних елементарних функційрозібралися.

При переході до функцій більше складного виглядуми обов'язково зіткнемося з появою виразів, значення яких не визначено. Такі вирази називають невизначеності.

Перерахуємо все основні види невизначеностей: нуль ділити на нуль (0 на 0 ), нескінченність ділити на нескінченність , нуль помножити на нескінченність , нескінченність мінус нескінченність , одиниця в ступеня нескінченність , нуль в ступеня нуль , нескінченність у ступеня нуль .

ВСІ ІНШІ ВИРАЗИ НЕВИЗНАЧЕННЯМИ НЕ Є Й ПРИЙМАЮТЬ ЦІЛКОМ КОНКРЕТНЕ КІНЦЕВЕ АБО БЕЗКІНЦЕВЕ ЗНАЧЕННЯ.

Розкривати невизначеностідозволяє:

спрощення виду функції (перетворення виразу з використанням формул скороченого множення, тригонометричних формул, домноженням на сполучені вирази з наступним скороченням тощо);
використання чудових меж;
застосування правила Лопіталя;
використання заміни нескінченно малого виразу йому еквівалентним (використання таблиці еквівалентних нескінченно малих).

Згрупуємо невизначеності в таблицю невизначеностей. Кожному виду невизначеності поставимо у відповідність метод її розкриття (метод знаходження межі).

Ця таблиця разом із таблицею меж основних елементарних функцій будуть Вашими головними інструментами під час перебування будь-яких меж.

Наведемо кілька прикладів, коли все відразу виходить після підстановки значення і невизначеності не виникають.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

І одразу отримали відповідь.

Відповідь:

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення х=0 в основу нашої показово статечної функції:

Тобто межу можна переписати у вигляді

Тепер займемося показником. Це є статечна функція. Звернемося до таблиці меж для статечних функційіз негативним показником. Звідти маємо і , отже, можна записати .

Виходячи з цього, наша межа запишеться у вигляді:

Знову звертаємось до таблиці меж, але вже для показових функційз основою великої одиниці, звідки маємо:

Відповідь:

Розберемо на прикладах з докладними рішеннями розкриття невизначеностей перетворенням виразів.

Дуже часто вираз під знаком межі потрібно трохи перетворити, щоб позбавитися невизначеностей.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу розв'язання. Пробуємо спростити вираз.

Відповідь:

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності (0 на 0). Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення і намагаємося спростити вираз. Домножимо і чисельник і знаменник на вираз, пов'язаний з знаменником.

Для знаменника сполученим виразом буде

Знаменник ми примножували для того, щоб можна було застосувати формулу скороченого множення - різницю квадратів і потім скоротити отриманий вираз.

Після низки перетворень невизначеність зникла.

Відповідь:

ЗАУВАЖЕННЯ:Для меж подібного виду спосіб примноження на сполучені вирази є типовим, так що сміливо користуйтеся.

приклад.

Обчислити межу

Рішення.

Підставляємо значення:

Прийшли до невизначеності. Дивимося в таблицю невизначеностей для вибору способу вирішення і намагаємося спростити вираз. Так як і чисельник і знаменник звертаються в нуль при х = 1, якщо ці вирази, можна буде скоротити (х-1) і невизначеність зникне.

Розкладемо чисельник на множники:

Розкладемо знаменник на множники:

Наша межа набуде вигляду:

Після перетворення невизначеність розкрилася.

Відповідь:

Розглянемо межі на нескінченності від статечних виразів. Якщо показники статечного вираження позитивні, то межа на нескінченності нескінченна. Причому основне значення має найбільший рівень, інші можна відкидати.

приклад.

Якщо вираз під знаком межі є дріб, причому і чисельник і знаменник є статечні вирази (m - ступінь чисельника, а n - ступінь знаменника), то при виникає невизначеність виду нескінченність на нескінченність , в цьому випадку невизначеність розкриваєтьсярозподілом і чисельник і знаменник на

приклад.

Обчислити межу

Межа функції- Число aбуде межею деякої величини, що змінюється, якщо в процесі своєї зміни ця змінна величина необмежено наближається до a.

Або іншими словами, число Aє межею функції y = f(x)у точці x 0, якщо для будь - якої послідовності точок з області визначення функції , не рівних x 0, і яка сходиться до точки x 0 (lim x n = x0), послідовність відповідних значень функції сходиться до A.

Графік функції, межа якої при аргументі, що прагне нескінченності, дорівнює L:

Значення Ає межею (граничним значенням) функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якої послідовності точок , яка сходиться до x 0, але яка не містить x 0як один із своїх елементів (тобто в проколотій околиці x 0), послідовність значень функції сходиться до A.

Межа функції по Коші.

Значення Aбуде межею функції f(x)у точці x 0у разі, якщо для будь-якого вперед взятого невід'ємного числа ε буде знайдено відповідне йому невід'ємне число δ = δ(ε) таке, що для кожного аргументу x, що задовольняє умову 0 < | x - x0 | < δ , буде виконано нерівність | f(x) A |< ε .

Буде дуже просто, якщо ви розумієте суть межі та основні правила знаходження його. Те, що межа функції f (x)при xщо прагне до aдорівнює A, записується таким чином:

Причому значення, якого прагне змінна x, може бути не лише числом, а й нескінченністю (∞), іноді +∞ або -∞, або межі може взагалі не бути.

Щоб зрозуміти, як знаходити межі функціїнайкраще подивитися приклади рішення.

Необхідно знайти межі функції f (x) = 1/xпри:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Знайдемо рішення першої межі. Для цього можна просто підставити замість xчисло, якого вона прагне, тобто. 2, отримаємо:

Знайдемо другу межу функції. Тут підставляти в чистому вигляді 0 замість xне можна, т.к. ділити на 0 не можна. Але ми можемо брати значення, наближені до нуля, наприклад, 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 і так далі, причому значення функції f (x)збільшуватиметься: 100; 1000; 10000; 100000 і так далі. В.о., можна зрозуміти, що за x→ 0 значення функції, що стоїть під знаком межі, необмежено зростатиме, тобто. прагнути до нескінченності. А значить:

Стосовно третьої межі. Така ж ситуація, як і в минулому випадку, неможливо підставити ∞ В чистому вигляді. Потрібно розглянути випадок необмеженого зростання x. По черзі підставляємо 1000; 10000; 100000 і так далі маємо значення функції f (x) = 1/xбуде спадати: 0,001; 0,0001; 0,00001; і так далі, прагнучи нуля. Тому:

Необхідно обчислити межу функції

Приступаючи до вирішення другого прикладу, бачимо невизначеність. Звідси знаходимо старший ступінь чисельника та знаменника - це x 3, Виносимо в чисельнику та знаменнику його за дужки і далі скорочуємо на нього:

Відповідь

Першим кроком у знаходження цієї межі, підставимо значення 1 замість x, у результаті маємо невизначеність . Для її вирішення розкладемо чисельник на множники, зробимо це методом знаходження коріння квадратного рівняння x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 +12 = 16→ √ D =√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Таким чином, чисельник буде таким:

Відповідь

Це визначення його конкретного значення чи певної області, куди потрапляє функція, обмежена межею.

Щоб вирішити межі, дотримуйтесь правил:

Розібравшись у суті та основних правилах вирішення межі, ви отримаєте базове поняттяпро те, як їх вирішувати.

Теорія меж – це один із розділів математичного аналізу. Питання вирішення меж є досить широким, оскільки існують десятки прийомів рішень меж різних видів. Існують десятки нюансів і хитрощів, що дозволяють вирішити ту чи іншу межу. Тим не менш, ми все-таки спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично.

Почнемо з поняття межі. Але спершу коротка історична довідка. Жив-був у 19 столітті француз Огюстен Луї Коші, який заклав основи математичного аналізу та дав суворі визначення, визначення межі, зокрема. Треба сказати, цей самий Коші снився, сниться і буде снитися в кошмарних снах всім студентам фізико-математичних факультетів, оскільки довів величезну кількість теорем математичного аналізу, причому одна теорема огидніша за іншу. У цьому зв'язку ми розглядатимемо суворе визначення межі, а спробуємо зробити дві речі:

1. Зрозуміти, що таке межа.
2. Навчитися вирішувати основні типи меж.

Перепрошую за деяку ненауковість пояснень, важливо щоб матеріал був зрозумілий навіть чайнику, що, власне, і є завданням проекту.

Отже, що таке межа?

А одразу приклад, чого бабусю кудлатити….

Будь-яка межа складається з трьох частин:

1) Всім відомого значка межі.
2) Записи під значком межі, в даному випадку. Запис читається «ікс прагне одиниці». Найчастіше саме , хоча замість «ікса» на практиці зустрічаються й інші змінні. У практичних завданнях дома одиниці може бути абсолютно будь-яке число, і навіть нескінченність ().
3) Функції під знаком межі, у разі .

Сам запис читається так: «межа функції при ікс, що прагне до одиниці».

Розберемо наступний важливе питання– а що означає вираз «ікс прагнедо одиниці»? І що взагалі таке «прагне»?
Поняття межі - це поняття, якщо так можна сказати, динамічний. Побудуємо послідовність: спочатку , потім , , …, , ….
Тобто вираз «ікс прагнедо одиниці» слід розуміти так – «ікс» послідовно набуває значень, які нескінченно близько наближаються до одиниці та практично з нею збігаються.

Як вирішити вищезгаданий приклад? Виходячи з вищесказаного, потрібно просто підставити одиницю у функцію, що стоїть під знаком межі:

Отже, перше правило: Коли дана будь-яка межа, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

Ми розглянули найпростішу межу, але й такі зустрічаються на практиці, причому, не так вже й рідко!

Приклад із нескінченністю:

Розбираємось, що таке? Це той випадок, коли необмежено зростає, тобто: спочатку, потім, потім, потім і так далі до безкінечності.

А що в цей час відбувається з функцією?
, , , …

Отже: якщо , то функція прагне мінус нескінченності:

Грубо кажучи, згідно з нашим першим правилом, ми замість «ікса» підставляємо в функцію нескінченність і отримуємо відповідь.

Ще один приклад із нескінченністю:

Знову починаємо збільшувати до нескінченності, і дивимося на поведінку функції:

Висновок: при функція необмежено зростає:

І ще серія прикладів:

Будь ласка, спробуйте самостійно проаналізувати нижченаведене і запам'ятайте найпростіші види меж:

, , , , , , , , ,
Якщо де-небудь є сумніви, можете взяти в руки калькулятор і трохи потренуватися.
У разі, якщо , спробуйте побудувати послідовність , , . Якщо то , , .

Примітка: строго кажучи, такий підхід із побудовою послідовностей із кількох чисел некоректний, але для розуміння найпростіших прикладів цілком підійде.

Також зверніть увагу на таку річ. Навіть якщо дана межа з великим числом вгорі, та хоч із мільйоном: , то все одно , оскільки рано чи пізно «ікс» прийме такі гігантські значення, що мільйон в порівнянні з ними буде справжнісіньким мікробом.

Що потрібно запам'ятати та зрозуміти з вищесказаного?

1) Коли дано будь-яку межу, спочатку просто намагаємося підставити число у функцію.

2) Ви повинні розуміти і відразу вирішувати найпростіші межі, такі як , , і т.д.

Зараз ми розглянемо групу меж, коли , а функція є дріб, в чисельнику і знаменнику якого знаходяться багаточлени

Приклад:

Обчислити межу

Згідно з нашим правилом, спробуємо підставити нескінченність у функцію. Що в нас виходить вгорі? Нескінченність. А що виходить унизу? Теж нескінченність. Таким чином, у нас є так звана невизначеність виду. Можна було б подумати, що і відповідь готова, але в загальному випадкуце зовсім не так, і потрібно застосувати певний прийом рішення, яке ми зараз і розглянемо.

Як вирішувати межі цього типу?

Спочатку ми дивимося на чисельник і знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь у чисельнику дорівнює двом.

Тепер дивимося на знаменник і теж знаходимо у старшому ступені:

Старший ступінь знаменника дорівнює двом.

Потім ми вибираємо найстарший ступінь чисельника та знаменника: в даному прикладівони збігаються і дорівнюють двійці.

Отже, метод вирішення наступний: для того, щоб розкрити невизначеність необхідно розділити чисельник і знаменник на старшому ступені.

Ось воно як відповідь, а зовсім не нескінченність.

Що важливо в оформленні рішення?

По-перше, вказуємо невизначеність, якщо вона є.

По-друге, бажано перервати рішення для проміжних пояснень. Я зазвичай використовую знак , він не несе ніякого математичного сенсу, а означає, що рішення перервано для проміжного пояснення.

По-третє, межі бажано помічати, що й куди прагне. Коли робота оформляється від руки, зручніше це зробити так:

Для позначок краще використовувати простий олівець.

Звичайно, можна нічого цього не робити, але тоді, мабуть, викладач відзначить недоліки у вирішенні або почне ставити додаткові питання по завданню. А воно Вам потрібне?

Приклад 2

Знайти межу
Знову в чисельнику та знаменнику знаходимо у старшому ступені:

Максимальний ступінь у чисельнику: 3
Максимальний ступінь у знаменнику: 4
Вибираємо найбільшезначення, у разі четвірку.
Відповідно до нашого алгоритму, для розкриття невизначеності ділимо чисельник та знаменник на .
Повне оформленнязавдання може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 3

Знайти межу
Максимальний ступінь «ікса» у чисельнику: 2
Максимальний ступінь «ікса» у знаменнику: 1 (можна записати як)
Для розкриття невизначеності необхідно розділити чисельник та знаменник на . Чистовий варіант рішення може виглядати так:

Розділимо чисельник та знаменник на

Під записом мається на увазі не розподіл на нуль (ділити на нуль не можна), а розподіл на нескінченно мале число.

Таким чином, при розкритті невизначеності виду у нас може вийти кінцеве числонуль або нескінченність.

Межі з невизначеністю виду та метод їх вирішення

Наступна група меж чимось схожа на щойно розглянуті межі: у чисельнику та знаменнику знаходяться багаточлени, але «ікс» прагне вже не до нескінченності, а до кінцевого числа.

Приклад 4

Вирішити межу
Спочатку спробуємо підставити -1 в дріб:

В даному випадку отримана так звана невизначеність.

Загальне правило : якщо в чисельнику і знаменнику знаходяться багаточлени, і є невизначеності виду, то для її розкриття потрібно розкласти чисельник та знаменник на множники.

Для цього найчастіше потрібно вирішити квадратне рівняннята (або) використовувати формули скороченого множення. Якщо ці речі забулися, тоді відвідайте сторінку Математичні формули та таблиціі ознайомтеся з методичним матеріалом Гарячі формули шкільного курсу математики. До речі, його найкраще роздрукувати, потрібно дуже часто, та й інформація з паперу засвоюється краще.

Отже, вирішуємо нашу межу

Розкладемо чисельник і знаменник на множники

Для того, щоб розкласти чисельник на множники, потрібно розв'язати квадратне рівняння:

Спочатку знаходимо дискримінант:

І квадратний корінь із нього: .

Якщо дискримінант великий, наприклад 361, використовуємо калькулятор, функція вилучення квадратного кореняє на найпростішому калькуляторі.

! Якщо корінь не витягується націло (виходить дробове числоз комою), цілком імовірно, що дискримінант обчислений неправильно чи завдання друку.

Далі знаходимо коріння:

Таким чином:

Всі. Чисельник на множники розкладено.

Знаменник. Знаменник вже є найпростішим множником, і спростити його неможливо.

Очевидно, що можна скоротити на :

Тепер і підставляємо -1 у вираз, який залишився під знаком межі:

Звичайно, в контрольної роботи, на заліку, іспит так детально рішення ніколи не розписують. У чистовому варіанті оформлення має виглядати приблизно так:

Розкладемо чисельник на множники.

Приклад 5

Обчислити межу

Спочатку «чистовий» варіант рішення

Розкладемо чисельник і знаменник на множники.

Чисельник:
Знаменник:

,

Що важливого у цьому прикладі?
По-перше, Ви повинні добре розуміти, як розкритий чисельник, спочатку ми винесли за дужку 2, а потім використали формулу різниці квадратів. Вже цю формулу треба знати і бачити.

Методи розв'язання меж. Невизначеності.
Порядок зростання функції. Метод заміни

Приклад 4

Знайти межу

Це більш простий приклад для самостійного рішення. У запропонованому прикладі знову невизначеність (більше високого порядкузростання, ніж корінь).

Якщо "ікс" прагне до "мінус нескінченності"

Примара «мінус нескінченності» вже давно витала у цій статті. Розглянемо межі з многочленами, у яких . Принципи та методи вирішення будуть такими ж, що й у першій частині уроку, за винятком низки нюансів.

Розглянемо 4 фішки, які будуть потрібні для вирішення практичних завдань:

1) Обчислимо межу

Значення межі залежить лише від доданку , оскільки він має найвищим порядком зростання. Якщо то нескінченно велике за модулем від'ємне числоу ЧЕТНІЙ ступені, у разі – в четвертої, і «плюс нескінченності»: . Константа («двійка») позитивнатому:

2) Обчислимо межу

Тут старший ступінь знову парна, Тому: . Але перед розташувався «мінус» ( негативнаконстанта –1), отже:

3) Обчислимо межу

Значення межі залежить лише від . Як ви пам'ятаєте зі школи, мінус вискакує з-під непарного ступеня, тому нескінченно велике за модулемвід'ємне число в непарному ступеніі «мінус нескінченності», у разі: .
Константа («четвірка») позитивна, значить:

4) Обчислимо межу

Перший хлопець на селі знову має непарнийступенем, крім того, за пазухою негативнаконстанта, а значить: Таким чином:
.

Приклад 5

Знайти межу

Використовуючи викладені вище пункти, приходимо до висновку, що тут невизначеність . Чисельник і знаменник одного порядку зростання, отже, межі вийде кінцеве число. Дізнаємося відповідь, відкинувши всіх мальків:

Рішення тривіальне:

Приклад 6

Знайти межу

Це приклад самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку.

А зараз, мабуть, найтонший із випадків:

Приклад 7

Знайти межу

Розглядаючи старші доданки, приходимо до висновку, що тут невизначеність. Чисельник вищого порядку зростання, ніж знаменник, тому відразу можна сказати, що межа дорівнює нескінченності. Але який нескінченності, «плюс» чи «мінус»? Прийом той же - у чисельнику і знаменнику позбудемося дрібниці:

Вирішуємо:

Розділимо чисельник та знаменник на

Приклад 15

Знайти межу

Це приклад самостійного рішення. Зразковий зразок чистового оформленнянаприкінці уроку.

Ще пара цікавих прикладів на тему заміни змінної:

Приклад 16

Знайти межу

При підстановці одиниці у межу виходить невизначеність. Заміна змінної вже напрошується, але спочатку перетворимо тангенс за формулою . Справді, навіщо нам тангенс?

Зауважте, що , Тому . Якщо не зовсім зрозуміло, подивіться значення синуса в тригонометричної таблиці. Таким чином, ми відразу позбавляємося множника, крім того, отримуємо звичнішу невизначеність 0:0. Добре б ще й межа у нас прагнула нуля.

Проведемо заміну:

Якщо то

Під косінусом у нас знаходиться «ікс», який теж необхідно виразити через «те».
Із заміни висловлюємо: .

Завершуємо рішення:

(1) Проводимо підстановку

(2) Розкриваємо дужки під косинусом.

(4) Щоб організувати перша чудова межа, штучно домножуємо чисельник і зворотне число .

Завдання для самостійного вирішення:

Приклад 17

Знайти межу

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Це були нескладні завдання у своєму класі, на практиці все буває гіршим, і, крім формул приведення, доводиться використовувати різні тригонометричні формули, а також інші хитрощі. Складні межі я розібрав пару справжніх прикладів =)

Напередодні свята остаточно прояснимо ситуацію ще з однією поширеною невизначеністю:

Усунення невизначеності «одиниця ступеня нескінченність»

Цю невизначеність «обслуговує» друга чудова межа, і в другій частині того уроку ми докладно розглянули стандартні прикладирішень, які найчастіше зустрічаються практично. Зараз картину з експонентами буде завершено, крім того, заключні завдання уроку будуть присвячені межам-«обманкам», в яких ЗДАЄТЬСЯ, що необхідно застосувати 2-у чудову межу, хоча це зовсім не так.

Недолік двох робочих формул 2-го чудового краю у тому, що аргумент має прагнути «плюс нескінченності» чи нулю. Але що робити, якщо аргумент прагне іншого числа?

На допомогу приходить універсальна формула (яка насправді є наслідком другої чудової межі):

Невизначеність можна усунути за такою формулою:

Десь начебто вже пояснював, що позначають квадратні дужки. Нічого особливого, дужки як дужки. Зазвичай їх використовують, щоб чіткіше виділити математичний запис.

Виділимо суттєві моменти формули:

1) Мова йде тільки про невизначеність і жодну іншу.

2) Аргумент «ікс» може прагнути до довільному значенню(а не тільки до нуля або ), зокрема, до «мінус нескінченності» або до будь-комукінцевого числа.

За допомогою цієї формули можна вирішити усі приклади уроку Чудові межі, які відносяться до 2-го чудовій межі. Наприклад, обчислимо межу:

В даному випадку , і за формулою :

Щоправда, робити так не раджу, у традиціях таки застосовувати «звичайне» оформлення рішення, якщо його можна застосувати. Однак за допомогою формули дуже зручно виконувати перевірку«класичних» прикладів на 2-й чудовий ліміт.

Теорія меж- один із розділів математичного аналізу, який одним під силу освоїти, інші важко обчислюють межі. Питання знаходження меж є досить загальним, оскільки існують десятки прийомів вирішення межрізних видів. Одні й самі межі можна знайти як за правилом Лопіталя, і без нього. Буває, що розклад у ряд нескінченно малих функцій дозволяє швидко отримати потрібний результат. Існують набір прийомів та хитрощів, що дозволяють знайти межу функції будь-якої складності. У цій статті спробуємо розібратися в основних типах меж, які найчастіше зустрічаються практично. Теорію та визначення межі ми тут давати не будемо, в інтернеті безліч ресурсів, де це розжовано. Тому займемося практичними обчисленнями, саме тут у Вас і починається "не знаю! Не вмію! Нас не вчили!"

Обчислення меж методом підстановки

приклад 1. Знайти межу функції
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Рішення: Такого сорту приклади з теорії обчислюють звичайною підстановкою

Межа дорівнює 18/11.
Нічого складного і мудрого в таких межах немає – підставили значення, вирахували, записали межу у відповідь. Однак на базі таких меж всіх привчають, що перш за все потрібно підставити значення функції. Далі межі ускладнюють, вводять поняття нескінченності, невизначеності тощо.

Межу з невизначеністю типу нескінченність розділити на нескінченність. Методи розкриття невизначеності

приклад 2. Знайти межу функції
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinity).
Рішення: Задано межу виду поліном розділити на поліном, причому змінна прагне нескінченності

Проста підстановка значення якого слід змінна знайти меж не допоможе, отримуємо невизначеність виду нескінченність розділити на нескінченність.
Пот теорії меж алгоритм обчислення межі полягає у знаходженні найбільшого ступеня "ікс" у чисельнику чи знаменнику. Далі на нього спрощують чисельник та знаменник і знаходять межу функції

Оскільки значення прагнуть до нуля при змінній до нескінченності, то ними нехтують, або записують у кінцевий вираз у вигляді нулів.

Відразу з практики можна отримати два висновки, які є підказкою у обчисленнях. Якщо змінна прагне нескінченності і ступінь чисельника більше від ступеня знаменника то межа дорівнює нескінченності. В іншому випадку, якщо поліном у знаменнику старшого порядку ніж у чисельнику межа дорівнює нулю.
Формулами межу можна записати так

Якщо маємо функцію виду звичайний поліном без дробів, то її межа дорівнює нескінченності.

Наступний тип меж стосується поведінки функцій біля нуля.

приклад 3. Знайти межу функції
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Рішення: Тут виносити старший множник полінома не потрібно. З точністю до навпаки, необхідно знайти найменший ступінь чисельника та знаменника та обчислити межу

Значення x^2; x прагнуть до нуля коли змінна прагне до нуля Тому ними нехтують, таким чином отримаємо

що межа дорівнює 2,5.

Тепер Ви знаєте як знайти межу функціївиду поліном розділити на поліном якщо змінна прагне нескінченності або 0. Але це лише невелика і легка частина прикладів. З наступного матеріалуВи навчитеся як розкривати невизначеність меж функції.

Межа з невизначеністю типу 0/0 та методи її обчислень

Відразу всі згадують правило, згідно з яким ділити на нуль не можна. Однак теорія меж у цьому контексті маємо на увазі нескінченно малі функції.
Розглянемо кілька прикладів для наочності.

приклад 4. Знайти межу функції
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Рішення: При підстановці знаменник значення змінної x = -1 отримаємо нуль, те саме отримаємо в чисельнику. Отже маємо невизначеність виду 0/0.
Боротися з такою невизначеністю просто: потрібно розкласти поліном на множники, а точніше виділити множник, який перетворює функцію на нуль.

Після розкладання межу функції можна записати у вигляді

Ось і вся методика обчислення межі функції. Також чинимо якщо є межа виду многочлен розділити на многочлен.

Приклад 5. Знайти межу функції
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Рішення: Пряма підстановка показує
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
що маємо невизначеність типу 0/0.
Розділимо поліноми на множник, який вносить особливість.

Є викладачі, які вчать, що поліноми 2 порядку тобто виду "квадратні рівняння" слід вирішувати через дискримінант. Але реальна практика показує, що це довше і заплутаніше, тому позбавляйтеся особливостей в межах за вказаним алгоритмом. Таким чином записуємо функцію у вигляді простих множників і лічимо у межу

Як бачите, нічого складного в обчисленні таких меж немає. Розділяти багаточлени Ви на момент вивчення меж умієте, принаймні згідно з програмою повинні вже пройти.
Серед завдань на невизначеність типу 0/0зустрічаються такі, у яких потрібно застосовувати формули скороченого множення. Але якщо Ви їх не знаєте, то розподілом багаточлена на одночлен можна отримати необхідну формулу.

Приклад 6. Знайти межу функції
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Рішення: Маємо невизначеність типу 0/0. У чисельникі застосовуємо формулу скороченого множення

і обчислюємо потрібну межу

Метод розкриття невизначеності множенням на сполучене

Метод застосовують до меж у яких невизначеність породжують ірраціональні функції. Чисельник чи знаменник перетворюється на точці обчислення на нуль і невідомо як знайти кордон.

Приклад 7. Знайти межу функції
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Рішення:Подаємо змінну у формулу межі

При підстановці отримаємо невизначеність типу 0/0.
Відповідно до теорії меж схема обходу цієї особливості полягає у множенні ірраціонального вираження на сполучене. Щоб вираз не змінилося знаменник, потрібно розділити на таке ж значення

За правилом різниці квадратів спрощуємо чисельник та обчислюємо межу функції

Спрощуємо доданки, що створюють особливість у межі та виконуємо підстановку

Приклад 8. Знайти межу функції
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Рішення: Пряма підстановка показує, що межа має особливість виду 0/0.

Для розкриття множимо і ділимо на сполучене до чисельника

Записуємо різницю квадратів

Спрощуємо доданки які вносять особливість та знаходимо межу функції

Приклад 9. Знайти межу функції
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Рішення: Підставимо двійку у формулу

Отримаємо невизначеність 0/0.
Знаменник потрібно помножити на сполучений вираз, а в чисельнику розв'язати квадратне рівняння або розкласти на множники з огляду на особливість. Оскільки відомо, що 2 є коренем, то другий корінь знаходимо за теоремою Вієта

Таким чином чисельник запишемо у вигляді

і підставимо в межу

Звівши різницю квадратів позбавляємося особливостей у чисельнику та знаменнику

Наведеним чином можна позбутися особливостей у багатьох прикладах, а застосування треба помічати скрізь де задана різниця коренів перетворюється на нуль при підстановці. Інші типи меж стосуються показових функцій, нескінченно малих функцій, логарифмів, особливих меж та інших методик. Але про це Ви зможете прочитати в наведених нижче статтях про межі.