2 чудова межа. Перша чудова межа: теорія та приклади

Доказ:

Доведемо спочатку теорему для випадку послідовності

За формулою бінома Ньютона:

Вважаючи отримаємо

З цієї рівності (1) випливає, що зі збільшенням n число позитивних доданків у правій частині збільшується. Крім того, при збільшенні n число зменшується, тому величини зростають. Тому послідовність зростаюча, при цьому (2)*Покажемо, що вона обмежена. Замінимо кожну дужку у правій частині рівності на одиницю, права частиназбільшиться, отримаємо нерівність

Посилимо отриману нерівність, замінимо 3,4,5, …, що стоять у знаменниках дробів, числом 2: Суму в дужці знайдемо за формулою суми членів геометричній прогресії: Тому (3)*

Отже, послідовність обмежена зверху, при цьому виконуються нерівності (2) та (3): Отже, виходячи з теореми Вейерштрасса (критерій збіжності послідовності) послідовність монотонно зростає і обмежена, отже має межу, що позначається буквою e. Тобто.

Знаючи, що другий чудова межавірний для натуральних значень x, доведемо другу чудову межу для речових x, тобто доведемо, що . Розглянемо два випадки:

1. Нехай Кожне значення x укладено між двома позитивними цілими числами: де - це ціла частина x. => =>

Якщо , то Тому, відповідно до межі Маємо

За ознакою (про межу проміжної функції) існування меж

2. Нехай. Зробимо підстановку − x = t, тоді

Із двох цих випадків випливає, що для речового x.

Наслідки:

9 .) Порівняння нескінченно малих. Теорема про заміну нескінченно малих на еквівалентні в межі та теорема про головну частину нескінченно малих.

Нехай функції a ( x) та b( x) – б.м. при x ® x 0 .

ВИЗНАЧЕННЯ.

1) a( x) називається нескінченно малої більше високого порядкучим b (x) якщо

Записують: a ( x) = o(b( x)) .

2) a( x) і b( x)називаються нескінченно малими одного порядку, якщо

де СÎℝ та C¹ 0 .

Записують: a ( x) = O(b( x)) .

3) a( x) і b( x) називаються еквівалентними , якщо

Записують: a ( x) ~ b ( x).

4) a( x) називається нескінченно малою порядку k відноси-
дуже нескінченно малої b( x), якщо нескінченно малі a( x)і(b( x)) k мають одне порядок, тобто. якщо

де СÎℝ та C¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (про заміну нескінченно малих на еквівалентні).

Нехай a( x), b( x), a 1 ( x), b 1 ( x)- Б.М. при x ® x 0 . Якщо a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x),

то

Доказ: Нехай a( x) ~ a 1 ( x), b( x) ~ b 1 ( x)тоді

ТЕОРЕМА 7 (про головну частину нескінченно малої).

Нехай a( x)і b( x)- Б.М. при x ® x 0 , причому b( x)- Б.М. вищого порядку ніж a( x).

= , a оскільки b( x) - вищого порядку ніж a ( x), то, тобто. з ясно, що a( x) + b( x) ~ a( x)

10) Безперервність функції у точці (мовою меж эпсилон-дельта, геометричне) Одностороння безперервність. Безперервність на інтервалі, відрізку. Властивості безперервних функцій.

1. Основні визначення

Нехай f(x) визначена в деякій околиці точки x 0 .

ВИЗНАЧЕННЯ 1. Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо справедлива рівність

Зауваження.

1) У силу теореми 5 §3 рівність (1) можна записати у вигляді

Умова (2) – визначення безперервності функції у точці мовою односторонніх меж.

2) Рівність (1) можна також записати у вигляді:

Кажуть: «якщо функція безперервна у точці x 0 то знак межі і функцію можна поміняти місцями ».

ВИЗНАЧЕННЯ 2 (мовою e-d).

Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 якщо"e>0 $d>0 таке, що

якщо xÎU( x 0, d) (тобто. | x – x 0 | < d),

то f(x)ÎU( f(x 0), e) (тобто | | f(x) – f(x 0) | < e).

Нехай x, x 0 Î D(f) (x 0 – фіксована, x –довільна)

Позначимо: D x= x – x 0 – приріст аргументу

D f(x 0) = f(x) – f(x 0) – збільшення функції в точціx 0

ВИЗНАЧЕННЯ 3 (геометричне).

Функція f(x) на зується безперервний у точці x 0 якщо в цій точці нескінченно малому прирощенню аргументу відповідає нескінченно мале збільшення функції, тобто.

Нехай функція f(x) визначено на проміжку [ x 0 ; x 0 + d) (на проміжку ( x 0 – d; x 0 ]).

ВИЗНАЧЕННЯ. Функція f(x) називається безперервний у точці x 0 справа (зліва ), якщо справедлива рівність

Очевидно, що f(x) безперервна в точці x 0 Û f(x) безперервна в точці x 0 праворуч та ліворуч.

ВИЗНАЧЕННЯ. Функція f(x) називається безперервний на інтервал е ( a; b) якщо вона безперервна в кожній точці цього інтервалу.

Функція f(x) називається безперервною на відрізку [a; b] якщо вона безперервна на інтервалі (a; b) і має односторонню безперервність у граничних точках(Тобто безперервна в точці aправоруч, у точці b- Зліва).

11) Точки розриву, їхня класифікація

ВИЗНАЧЕННЯ. Якщо функція f(x) визначена в деякій околиці точки x 0 , але не є безперервною в цій точці, то f(x) називають розривною в точці x 0 , а саму точку x 0 називають точкою розриву функції f(x) .

Зауваження.

1) f(x) може бути визначена в неповній околиці точки x 0 .

Тоді розглядають відповідну односторонню безперервність функції.

2) З визначення Þ точка x 0 є точкою розриву функції f(x) у двох випадках:

а) U( x 0 , d)Î D(f) , але для f(x) не виконується рівність

б) U * ( x 0 , d)Î D(f) .

Для елементарних функційможливий лише випадок б).

Нехай x 0 – точка розриву функції f(x) .

ВИЗНАЧЕННЯ. Крапка x 0 називається точкою розриву I роду якщо функція f(x)має в цій точці кінцеві межі зліва та справа.

Якщо при цьому ці межі дорівнюють, то точка x 0 називається точкою усуненого розриву , інакше – точкою стрибка .

ВИЗНАЧЕННЯ. Крапка x 0 називається точкою розриву II роду якщо хоча б одна з односторонніх меж функції f(x)у цій точці дорівнює¥ чи не існує.

12) Властивості функцій, безперервних на відрізку (теореми Вейєрштрасса (без док-ва) та Коші

Теорема Вейєрштраса

Нехай функція f(x) безперервна на відрізку тоді

1)f(x)обмежена на

2)f(x) приймає на проміжку своє найменше і найбільше значення

Визначення: Значення функції m=f називається найменшим, якщо m≤f(x) для будь-якого x€ D(f).

Значення функції m=f називається найбільшим, якщо m≥f(x) для будь-якого x€ D(f).

Найменше\найбільше значення функція може приймати у кількох точках відрізка.

f(x 3)=f(x 4)=max

Теорема Коші.

Нехай функція f(x) безперервна на відрізку і х – число, укладене між f(a) та f(b), тоді існує хоча б одна точка х 0 € така, що f(x 0) = g

Цей математичний калькуляторонлайн допоможе вам якщо потрібно обчислити межу функції. Програма вирішення межне просто дає відповідь задачі, вона наводить докладне рішенняз поясненнями, тобто. відображає процес обчислення межі.

Ця програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.

Таким чином ви можете проводити своє власне навчання та/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.

Введіть вираз функції

Обчислити межу

Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.

У браузері вимкнено виконання JavaScript.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.

Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Зачекайте, будь ласка сік...

Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.

Наші ігри, головоломки, емулятори:

Трохи теорії.

Межа функції при х->х 0

Нехай функція f(x) визначена на деякій множині X і нехай точка \(x_0 \in X \) або \(x_0 \notin X \)

Візьмемо з X послідовність точок, відмінних від х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
що сходить до х *. Значення функції у точках цієї послідовності також утворюють числову послідовність
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
і можна порушувати питання про існування її межі.

Визначення. Число А називається межею функції f(х) у точці х = х 0 (або при х -> x 0), якщо для будь-якої послідовності, що сходить до x 0 (1), значень аргументу x, відмінних від x 0 відповідна послідовність (2) значень функції сходиться до A.

$$ \lim_(x\to x_0)( f(x)) = A $$

Функція f(x) може мати у точці x 0 лише одну межу. Це випливає з того, що послідовність
(f(x n)) має лише одну межу.

Існує інше визначення межі функції.

ВизначенняЧисло А називається межею функції f(x) у точці х = x 0 якщо для будь-якого числа \(\varepsilon > 0 \) існує число \(\delta > 0 \) таке, що для всіх \(x \in X, \; x \neq x_0 \), що задовольняють нерівності \(|x-x_0| Використовуючи логічні символи, це визначення можна записати у вигляді
((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Зазначимо, що нерівності \(x \neq x_0 , \; | x-x_0 | Перше визначення ґрунтується на понятті межі числової послідовностітому його часто називають визначенням «мовою послідовностей». Друге визначення називають визначенням «мовою \(\varepsilon - \delta\)».
Ці два визначення межі функції еквівалентні і можна використовувати будь-яке з них залежно від того, яке зручніше при вирішенні того чи іншого завдання.

Зауважимо, що визначення межі функції «мовою послідовностей» називають також визначенням межі функції за Гейном, а визначення межі функції «мовою \(\varepsilon - \delta \)» - визначенням межі функції по Коші.

Межа функції при x-> x 0 - і при x-> x 0 +

Надалі будуть використані поняття односторонніх меж функції, які визначаються в такий спосіб.

ВизначенняЧисло А називається правою (лівою) межею функції f(x) у точці x 0 якщо для будь-якої послідовності (1), що сходить до x 0, елементи x n якої більше (менше) x 0 , відповідна послідовність (2) сходиться до А.

Символічно це записується так:
$$ \lim_(x \to x_0+) f(x) = A \; \left(\lim_(x \to x_0-) f(x) = A \right) $$

Можна дати рівносильне визначення односторонніх меж функції «мовою \(\varepsilon - \delta \)»:

Визначеннячисло А називається правою (лівою) межею функції f(х) у точці x 0 якщо для будь-якого \(\varepsilon > 0 \) існує \(\delta > 0 \) таке, що для всіх x, що задовольняють нерівностям \(x_0 Символічні записи:

\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x, \; x_0

У цій темі ми розберемо ті формули, які можна отримати, використовуючи другу чудову межу (тема, присвячена безпосередньо другій чудовій межі, знаходиться ). Нагадаю дві формулювання другої чудової межі, які знадобляться в цьому розділі: $\lim_(x\to\infty)\left(1+\frac(1)(x)\right)^x=e$ і $\lim_(x \to\ 0)\left(1+x\right)^\frac(1)(x)=e$.

Зазвичай формули я наводжу без доказів, але для цієї сторінки, гадаю, зроблю виняток. Справа в тому, що доказ наслідків з другої чудової межі містить деякі прийоми, які бувають корисними при безпосередньому вирішенні завдань. Ну, і взагалі кажучи, бажано знати, як доводиться та чи інша формула. Це дозволяє краще розуміти її внутрішню структуру, а також межі застосування. Але оскільки докази можуть бути цікаві не всім читачам, то приховую їх під примітки, які після кожного слідства.

Наслідок №1

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=1\end(equation)

Доказ слідства №1: показати/сховати

Так як при $ x \ to 0 $ маємо $ \ ln (1 + x) \ to 0 $, то в межах, що розглядається, є невизначеність виду $ \ frac (0) (0) $. Для розкриття цієї невизначеності представимо вираз $\frac(\ln(1+x))(x)$ у такому вигляді: $\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)$. Тепер внесемо множник $\frac(1)(x)$ у ступінь виразу $(1+x)$ і застосуємо другу чудову межу:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln(1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(1)(x)\cdot\ln(1+x)\right)=\lim_(x\ to\ 0)\ln(1+x)^(\frac(1)(x))=\ln e=1. $$

Знову маємо невизначеність виду $ frac (0) (0) $. Спиратимемося на вже доведену нами формулу. Так як $ log_a t = frac (l t) (l a) $, то $ log_a (1 + x) = frac (l (1 + x)) (l a) $.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\log_a (1+x))(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x \ln a)=\frac(1)(\ln a)\ lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))( x)=\frac(1)(\ln a)\cdot 1=\frac(1)(\ln a). $$

Слідство №2

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=1\end(equation)

Доказ слідства №2: показати/сховати

Оскільки при $x\to 0$ маємо $e^x-1\to 0$, то розглянутому межі є невизначеність виду $\frac(0)(0)$. Для розкриття цієї невизначеності здійснимо заміну змінної, позначивши $t=e^x-1$. Оскільки $x\to 0$, то $t\to 0$. Далі, з формули $t=e^x-1$ отримаємо: $e^x=1+t$, $x=\ln(1+t)$.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^x-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\left | \begin(aligned) & t=e^x-1;\; t\to 0. \\ x =\ln(1+t).\end (aligned) \right|= \lim_(t\to 0)\frac(t)(\ln(1+t))= \lim_(t\to 0)\frac(1)(\frac(\ln(1+t))(t))=\frac(1)(1)=1. $$

Знову маємо невизначеність виду $ frac (0) (0) $. Будемо спиратися на вже доведену нами формулу. Оскільки $a^x=e^(x\ln a)$, то:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(a^(x)-1)(x)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to 0)\frac(e^(x\ln a)-1)(x)=\ln a\cdot \lim_(x\to 0 )\frac(e^(x\ln a)-1)(x \ln a)=\ln a \cdot 1=\ln a. $$

Слідство №3

\begin(equation) \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)=\alpha \end(equation)

Доказ слідства №3: ​​показати/сховати

Знову маємо справу з невизначеністю виду $\frac(0)(0)$. Оскільки $(1+x)^\alpha=e^(\alpha\ln(1+x))$, то отримаємо:

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac((1+x)^\alpha-1)(x)= \left| \frac(0)(0) \right|= \lim_(x\to\ 0)\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(x)= \lim_(x\to \ 0)\left(\frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x))\cdot \frac(\alpha\ln(1+x) )(x) \right)=\\ =\alpha\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(\alpha\ln(1+x))-1)(\alpha\ln(1+x ))\cdot \lim_(x\to\ 0)\frac(\ln(1+x))(x)=\alpha\cdot 1\cdot 1=\alpha. $$

Приклад №1

Обчислити межу $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)$.

Маємо невизначеність виду $ frac (0) (0) $. Для розкриття цієї невизначеності використовуватимемо формулу . Щоб підігнати нашу межу під цю формулуслід пам'ятати, що вирази у ступеня числа $e$ й у знаменнику мають збігатися. Іншими словами, синусу у знаменнику не місце. У знаменнику має бути $9x$. Крім того, при вирішенні цього прикладу буде використано першу чудову межу .

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\left|\frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\) 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(9x)(\sin 5x) \right) =\frac(9)(5)\cdot\lim_(x\ to\ 0) \left(\frac(e^(9x)-1)(9x)\cdot\frac(1)(\frac(\sin 5x)(5x)) \right)=\frac(9)( 5) cdot 1 cdot 1 = frac (9) (5). $$

Відповідь: $\lim_(x\to\ 0) \frac(e^(9x)-1)(\sin 5x)=\frac(9)(5)$.

Приклад №2

Обчислити межу $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)$.

Маємо невизначеність виду $ frac (0) (0) $ (нагадаю, що $ ln cos 0 = ln 1 = 0 $). Для розкриття цієї невизначеності використовуватимемо формулу . Спочатку врахуємо, що $\cos x=1-2\sin^2 \frac(x)(2)$ (див. роздрук за тригонометричними функціями). Тепер $\ln\cos x=\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right)$, тому в знаменнику слід отримати вираз $-2\sin^2 \frac(x )(2)$ (щоб підігнати наш приклад під формулу). У подальшому рішенні буде використано першу чудову межу.

$$ \lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=\left| \frac(0)(0) \right|=\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(x ^2)= \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x)(2))\cdot\frac(-2\sin^2 \frac(x)(2))(x^2) \right)=\\ =-\frac(1)(2) \lim_(x\to\ 0) \left(\frac(\ln\left(1-2\sin^2 \frac(x)(2)\right))(-2\sin^2 \frac(x) )(2))\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)(2))\right)^2 \right)=-\frac(1)( 2) cdot 1 cdot 1^2=-frac(1)(2). $$

Відповідь: $\lim_(x\to\ 0) \frac(\ln\cos x)(x^2)=-\frac(1)(2)$.

Тепер зі спокійною душею переходимо до розгляду чудових меж.
має вигляд.

Замість змінної х можуть бути різні функції, головне, щоб вони прагнули до 0.

Необхідно обчислити межу

Як видно, ця межадуже схожий на перший чудовий, але це не зовсім так. Взагалі, якщо Ви помічаєте в межі sin, то треба відразу подумати про те, чи можливе застосування першої чудової межі.

Згідно з нашим правилом №1 підставимо замість хнуль:

Отримуємо невизначеність.

Тепер спробуємо самостійно організувати першу чудову межу. Для цього проведемо нехитру комбінацію:

Таким чином ми організовуємо чисельник та знаменник так, щоб виділити 7х. Ось уже і виявилася знайома чудова межа. Бажано при рішенні виділяти його:

Підставимо рішення першого чудового прикладуі отримуємо:

Спрощуємо дріб:

Відповідь: 7/3.

Як бачите, все дуже просто.

Має вигляд , де e = 2,718281828 ... - Це ірраціональне число.

Замість змінної х можуть бути різні функції, головне, щоб вони прагнули до .

Необхідно обчислити межу

Тут ми бачимо наявність ступеня під знаком межі, отже можливе застосування другої чудової межі.

Як завжди скористаємося правилом №1 – підставимо замість х:

Видно, що з х основу ступеня , а показник – 4x > , тобто. отримуємо невизначеність виду:

Скористаємося другою чудовою межею для розкриття нашої невизначеності, але спочатку треба її організувати. Як видно - треба домогтися присутності в показнику, для чого зведемо основу в ступінь 3х, і одночасно в ступінь 1/3x, щоб вираз не змінювався:

Не забуваємо виділяти нашу чудову межу:

Ось такі справді чудові межі!
Якщо у вас залишилися якісь питання щодо першому та другому чудовим межам, то сміливо задавайте їх у коментарях.
Всім наскільки можна відповімо.

Також ви можете порозумітися з педагогом з цієї теми.
Ми раді запропонувати Вам послуги підбору кваліфікованого репетитора у Вашому місті. Наші партнери оперативно підберуть для вас хорошого викладача на вигідних для вас умовах.

Мало інформації? - Ви можете!

Можна писати математичні обчислення у блокнотах. У блокноти з логотипом (http://www.blocnot.ru) індивідуальним писати набагато приємніше.

Чудових меж існує кілька, але найвідомішими є перший і другий чудові межі. Чудовість цих меж у тому, що вони мають широке застосуванняі з їхньою допомогою можна знайти й інші межі, що зустрічаються в численних завданнях. Цим ми і займатимемося в практичній частині цього уроку. Для вирішення завдань шляхом приведення до першої або другої чудової межі не потрібно розкривати невизначеності, що містяться в них, оскільки значення цих меж вже давно вивели великі математики.

Першою чудовою межеюназивається межа відношення синуса нескінченно малої дуги до тієї ж дуги, вираженої в радіанній мірі:

Переходимо до вирішення завдань на першу чудову межу. Зауважимо: якщо під знаком межі знаходиться тригонометрична функція, це майже вірна ознака того, що цей вираз можна привести до першої чудової межі.

приклад 1.Знайти межу.

Рішення. Підстановка замість xнуля призводить до невизначеності:

.

У знаменнику - синус, отже, вираз можна призвести до першої чудової межі. Починаємо перетворення:

.

У знаменнику - синус трьох ікс, а в чисельнику лише один ікс, значить, потрібно отримати три ікс і в чисельнику. Навіщо? Щоб уявити 3 x = aі отримати вираз.

І приходимо до різновиду першої чудової межі:

тому що не має значення, яка літера (змінна) у цій формулі стоїть замість ікса.

Помножуємо ікс на три і відразу ділимо:

.

Відповідно до поміченої першої чудової межі виконуємо заміну дробового виразу:

Тепер можемо остаточно вирішити цю межу:

.

приклад 2.Знайти межу.

Рішення. Безпосередня підстановка знову призводить до невизначеності "нуль ділити на нуль":

.

Щоб отримати першу чудову межу, потрібно, щоб ікс під знаком синуса в чисельнику і просто ікс у знаменнику були з тим самим коефіцієнтом. Нехай цей коефіцієнт дорівнюватиме 2. Для цього представимо нинішній коефіцієнт при іксі як і далі, роблячи дії з дробами, отримуємо:

.

приклад 3.Знайти межу.

Рішення. При підстановці знову отримуємо невизначеність "нуль ділити на нуль":

.

Напевно, вам уже зрозуміло, що з вихідного виразу можна отримати першу чудову межу, помножену на першу чудову межу. Для цього розкладаємо квадрати ікса в чисельнику і синуса в знаменнику на однакові множники, а щоб отримати у іксів і синуса однакові коефіцієнти, ікси в чисельникі ділимо на 3 і відразу множимо на 3. Отримуємо:

.

приклад 4.Знайти межу.

Рішення. Знову отримуємо невизначеність "нуль ділити на нуль":

.

Можемо отримати відношення двох перших чудових меж. Ділимо і чисельник, і знаменник на ікс. Потім, щоб коефіцієнти при синусах і при іксах збігалися, верхній ікс множимо на 2 і відразу ділимо на 2, а нижній ікс множимо на 3 і відразу ділимо на 3. Отримуємо:

Приклад 5.Знайти межу.

Рішення. І знову невизначеність "нуль ділити на нуль":

Пам'ятаємо з тригонометрії, що тангенс - це ставлення синуса до косінус, а косинус нуля дорівнює одиниці. Виробляємо перетворення та отримуємо:

.

Приклад 6.Знайти межу.

Рішення. Тригонометрична функціяпід знаком межі знову наштовхує на думку про застосування першої чудової межі. Представляємо його як ставлення синуса до косінус.