Як визначити знаменник геометричної прогресії формула q. Геометрична прогресія. Вичерпний гід із прикладами (2019)

Формула n-го члена геометричної прогресії – річ дуже проста. Як за змістом, так і за загальним виглядом. Але завдання формулу n-го члена зустрічаються всякі – від дуже примітивних до цілком серйозних. І в процесі нашого знайомства ми обов'язково розглянемо ті й інші. Ну що, знайомимося?)

Отже, спершу власне сама формулаn

Ось вона:

b n = b 1 · q n -1

Формула як формула, нічого надприродного. Виглядає навіть простіше та компактніше, ніж аналогічна формула для . Сенс формули теж простий, як валянок.

Ця формула дозволяє знаходити БУДЬ-ЯКИЙ член геометричної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n".

Як бачите, за змістом повна аналогія з арифметичною прогресією. Знаємо номер n – можемо порахувати і член, який стоїть під цим номером. Який хочемо. Не помножуючи послідовно на "q" багато разів. Ось і весь сенс.)

Я розумію, що на даному рівні роботи з прогресіями всі величини, що входять у формулу, вам вже повинні бути зрозумілі, але вважаю своїм обов'язком все-таки розшифрувати кожну. На всякий випадок.

Отже, поїхали:

b 1 – першийчлен геометричної прогресії;

q – ;

n- Номер члена;

b n – енний (n-й)член геометричної прогресії.

Ця формулка пов'язує чотири основні параметри будь-якої геометричної прогресії – bn, b 1 , qі n. І навколо цих чотирьох ключовихфігур і крутяться всі завдання по прогресії.

"А як вона виводиться?"– чую цікаве запитання… Елементарно! Дивіться!

Чому дорівнює другийчлен прогресії? Не питання! Прямо за пишемо:

b 2 = b 1 ·q

А третій член? Теж не проблема! Другий член помножуємо ще раз наq.

Ось так:

B 3 = b 2 ·q

Згадаймо тепер, що другий член, у свою чергу, у нас дорівнює b 1 ·q і підставимо цей вираз у нашу рівність:

B 3 = b 2 · q = (b 1 · q) · q = b 1 · q · q = b 1 · q 2

Отримуємо:

B 3 = b 1 ·q 2

А тепер прочитаємо наш запис російською мовою: третійчлен дорівнює першому члену, помноженому на q другийступеня. Уловлюєте? Поки немає? Добре ще один крок.

Чому дорівнює четвертий член? Все теж саме! Примножуємо попередній(тобто третій член) на q:

B 4 = b 3 · q = (b 1 · q 2) · q = b 1 · q 2 · q = b 1 · q 3

Разом:

B 4 = b 1 ·q 3

І знову перекладаємо російською мовою: четвертийчлен дорівнює першому члену, помноженому на q в третьоюступеня.

І так далі. Ну і як? Вловили закономірність? Так! Для будь-якого члена з будь-яким номером кількість однакових множників q (тобто ступінь знаменника) завжди буде на один менше, ніж номер шуканого членаn.

Отже, наша формула буде, без варіантів:

b n =b 1 · q n -1

Ось і всі справи.)

Ну що, вирішуємо завдання, напевно?)

Розв'язання задач на формулуn-го члена геометричної прогресії

Почнемо, як завжди, із прямого застосування формули. Ось своєрідне завдання:

У геометричній прогресії відомо, що b 1 = 512 та q = -1/2. Знайдіть десятий член прогресії.

Звичайно, це завдання можна взагалі без будь-яких формул вирішити. Прямо за змістом геометричної прогресії. Але нам з формулою n-го члена розім'ятися потрібно, правда? От і розминаємось.

Наші дані для застосування формули є наступними.

Відомий перший член. Це 512.

b 1 = 512.

Відомий також знаменник прогресії: q = -1/2.

Залишається тільки збагнути, чому дорівнює номер члена n. Не питання! Нас цікавить десятий член? Ось і підставляємо в загальну формулудесятку замість n.

І акуратно вважаємо арифметику:

Відповідь: -1

Як бачимо, десятий член прогресії виявився з мінусом. Нічого дивного: знаменник прогресії ми -1/2, тобто. негативнечисло. А це говорить нам про те, що знаки у нашій прогресії чергуються, так.

Тут все просто. А ось схоже завдання, але трохи складніше щодо обчислень.

У геометричній прогресії відомо, що:

b 1 = 3

Знайдіть тринадцятий член прогресії.

Все те саме, тільки цього разу знаменник прогресії – ірраціональний. Корінь із двох. Та й нічого страшного. Формула - штука універсальна, з будь-якими числами справляється.

Працюємо прямо за формулою:

Формула, звичайно, спрацювала як слід, але… ось тут деякі й зависнуть. Що далі робити з коренем? Як звести корінь у дванадцятий ступінь?

Як-то ... Треба розуміти, що будь-яка формула, звичайно, справа хороша, але знання всієї попередньої математики при цьому не скасовується! Як звести? Та властивості ступенів згадати! Перетворимо корінь на ступінь із дробовим показникомі – за формулою зведення ступеня до ступеня.

Ось так:

Відповідь: 192

І всі справи.)

У чому полягає основна складність при прямому застосуванні формули n-го члена? Так! Основні труднощі – це робота зі ступенями!А саме – зведення у ступінь негативних чисел, дробів, коренів та подібних конструкцій. Так що ті, у кого з цим проблеми, наполегливе прохання повторити ступеня та їхні властивості! Інакше і в цій темі гальмуватимете, так…)

А тепер вирішуємо типові завдання на пошук одного з елементів формулиякщо дані всі інші. Для успішного вирішення таких завдань рецепт єдиний і простий жах - пишемо формулуn-го члена в загальному вигляді! Прямо в зошиту поруч із умовою. А потім з умови розуміємо, що нам дано, а чого не вистачає. І висловлюємо з формули потрібну величину. Всі!

Наприклад, така нешкідлива задача.

П'ятий член геометричної прогресії зі знаменником 3 дорівнює 567. Знайдіть перший член цієї прогресії.

Нічого складного. Працюємо прямо за заклинанням.

Пишемо формулу n-го члена!

b n = b 1 · q n -1

Що нам дано? По-перше, дано знаменник прогресії: q = 3.

Крім того, нам дано п'ятий член: b 5 = 567 .

Всі? Ні! Ще нам дано номер n! Це п'ятірка: n = 5.

Сподіваюся, ви вже розумієте, що у записі b 5 = 567 приховані відразу два параметри - це сам п'ятий член (567) та його номер (5). В аналогічному уроці я про це вже говорив, але і тут вважаю не зайвим нагадати.)

Ось тепер підставляємо наші дані у формулу:

567 = b 1 ·3 5-1

Вважаємо арифметику, спрощуємо і отримуємо просте лінійне рівняння:

81 b 1 = 567

Вирішуємо та отримуємо:

b 1 = 7

Як ви бачите, з пошуком першого члена проблем жодних. А ось при пошуку знаменника qта номери nможуть траплятися і сюрпризи. І до них (до сюрпризів) теж треба бути готовим, так.

Наприклад, таке завдання:

П'ятий член геометричної прогресії з позитивним знаменником дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.

На цей раз нам дано перший і п'ятий члени, а знайти просять знаменник прогресії. Ось і приступаємо.

Пишемо формулуn-го члена!

b n = b 1 · q n -1

Наші вихідні дані будуть наступними:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Не вистачає значення q. Не питання! Зараз знайдемо.) Підставляємо у формулу все, що нам відомо.

Отримуємо:

162 = 2 ·q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Просте рівняння четвертого ступеня. А ось зараз – акуратно!На даному етапі рішення багато учнів відразу ж радісно витягують корінь (четвертого ступеня) та отримують відповідь q=3 .

Ось так:

q 4 = 81

q = 3

Але взагалі це недороблена відповідь. Точніше, неповний. Чому? Справа в тому, що відповідь q = -3 теж підходить: (-3) 4 теж буде 81!

Все через те, що статечне рівняння x n = aзавжди має два протилежні кореніпри парномуn . З плюсом та з мінусом:

Обидва підходять.

Наприклад, вирішуючи (тобто. другийступеня)

x 2 = 9

Ви ж чомусь не дивуєтесь появи двохкоріння x=±3? Ось і тут те саме. І з будь-якою іншою парноїступенем (четвертим, шостим, десятим і т.д.) буде так само. Подробиці – у темі про

Тому правильне рішеннябуде таким:

q 4 = 81

q= ±3

Добре, зі знаками розібралися. Який із них правильний – плюс чи мінус? Що ж, читаємо ще раз умову задачі у пошуках додаткової інформації. Її, звичайно, може і не бути, але в даному завданні така інформація є.У нас за умови прямим текстом сказано, що дана прогресія з позитивним знаменником.

Тому відповідь очевидна:

q = 3

Тут все просто. А як ви думаєте, що було б, якби формулювання завдання було б таким:

П'ятий член геометричної прогресії дорівнює 162, а перший член цієї прогресії дорівнює 2. Знайдіть знаменник прогресії.

В чому різниця? Так! В умові нічогоне сказано про знак знаменника. Ні прямо, ні побічно. І ось тут завдання вже мало б два рішення!

q = 3 і q = -3

Так Так! І з плюсом і з мінусом.) Математично цей факт означав би, що існують дві прогресії, що підходять під умову завдання. І для кожної – свій знаменник. Заради інтересу, потренуйтеся та випишіть перші п'ять членів кожної з них.)

А тепер потренуємося номер члена знаходити. Це завдання найскладніше, так. Зате і творчіша.)

Дана геометрична прогресія:

3; 6; 12; 24; …

Під яким номером у цій прогресії стоїть число 768?

Перший крок все той же: пишемо формулуn-го члена!

b n = b 1 · q n -1

А тепер, як завжди, підставляємо до неї відомі нам дані. Гм… не підставляється! Де перший член, де знаменник, де все інше?

Де-де… А вічка нам навіщо? Віями плескати? На цей раз прогресія задана нам безпосередньо у вигляді послідовності.Перший член бачимо? Бачимо! Це трійка (b 1 = 3). А знаменник? Поки що не бачимо, але він дуже легко вважається. Якщо, звичайно, розуміти, .

Ось і рахуємо. Прямо за змістом геометричної прогресії: беремо будь-який її член (крім першого) і поділяємо на попередній.

Хоча б ось так:

q = 24/12 = 2

Що нам ще відомо? Нам ще відомий деякий член цієї прогресії, що дорівнює 768. Під якимось номером n:

b n = 768

Номер його нам невідомий, але наше завдання якраз і полягає в тому, щоб його відшукати.) От і шукаємо. Усі необхідні дані для підстановки у формулу ми вже завантажили. Непомітно для себе.)

Ось і підставляємо:

768 = 3 · 2n -1

Робимо елементарні – ділимо обидві частини на трійку та переписуємо рівняння у звичному вигляді: невідоме зліва, відоме – праворуч.

Отримуємо:

2 n -1 = 256

Ось таке цікаве рівняння. Потрібно знайти "n". Що, незвично? Так, я не сперечаюся. Взагалі, це найпростіше. Воно так називається через те, що невідоме (у даному випадкуце – номер n) стоїть у показникуступеня.

На етапі ознайомлення з геометричною прогресією (це дев'ятий клас) показові рівняннявирішувати не вчать, так… Це тема старших класів. Але ж страшного нічого немає. Навіть якщо ви не в курсі, як вирішуються такі рівняння, спробуємо знайти наше n, керуючись простою логікою та здоровим глуздом.

Починаємо міркувати. Зліва у нас стоїть двійка в якійсь мірі. Ми поки що не знаємо, що це за ступінь, але це й не страшно. Зате ми твердо знаємо, що цей ступінь дорівнює 256! Ось і згадуємо, якою ж мірою двійка дає нам 256. Згадали? Так! У восьмийступеня!

256 = 2 8

Якщо не згадали або з розпізнаванням ступенів проблеми, то теж нічого страшного: просто послідовно зводимо двійку в квадрат, куб, четвертий ступінь, п'яту і так далі. Підбір, власне, але на цьому рівні - цілком прокотить.

Так чи інакше, ми отримаємо:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Отже, 768 – це дев'ятийчлен нашої прогресії. Все, завдання вирішено.)

Відповідь: 9

Що? Нудно? Набридла елементарщина? Згоден. І мені теж. Крокуємо на наступний рівень.)

Більш складні завдання.

А тепер вирішуємо завдання крутіше. Не те щоб зовсім надкруті, але над якими доведеться трохи попрацювати, щоб дістатися до відповіді.

Наприклад, така.

Знайдіть другий член геометричної прогресії, якщо четвертий її член дорівнює -24, а сьомий член дорівнює 192.

Це класика жанру. Відомі якісь два різних члени прогресії, а знайти треба ще якийсь член. Причому всі члени не сусідні. Що й бентежить спочатку, так…

Як і в , Для вирішення таких завдань розглянемо два способи. Перший спосіб – універсальний. Алгебраїчний. Працює безвідмовно та з будь-якими вихідними даними. Тому саме з нього і почнемо.)

Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!

Все точнісінько як з арифметичною прогресією. Тільки цього разу працюємо з іншийзагальною формулою. Ось і все.) Але суть та сама: беремо і по черзіпідставляємо у формулу n-го члена наші вихідні дані. Для кожного члена – свої.

Для четвертого члена записуємо:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Є. Одне рівняння готове.

Для сьомого члена пишемо:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Разом отримали два рівняння для однієї і тієї ж прогресії .

Збираємо з них систему:

Незважаючи на її грізний вигляд, система дуже проста. Самий очевидний спосібрішення – нормальна підстановка. Висловлюємо b 1 з верхнього рівняння та підставляємо в нижнє:

Трохи повозившись з нижнім рівнянням (зменшивши ступеня і поділивши на -24), отримаємо:

q 3 = -8

До цього ж рівняння, між іншим, можна дійти і простіше! Яким? Зараз я вам продемонструю ще один секретний, але дуже красивий, потужний і корисний спосібвирішення подібних систем. Таких систем, у рівняннях яких сидять лише твори.Хоч би в одному. Називається метод почленного поділуодного рівняння інше.

Отже, перед нами система:

В обох рівняннях зліва – твір, а праворуч – просто число. Це дуже добрий знак.) Давайте візьмемо і… поділимо, скажімо, нижнє рівняння на верхнє! Що означає, поділимо одне рівняння на інше?Дуже просто. Беремо ліву частинуодного рівняння (нижнього) та ділимоїї на ліву частинуіншого рівняння (верхнього). З правою частиноюаналогічно: праву частину одного рівняння ділимона праву частинуіншого.

Весь процес поділу виглядає так:

Тепер, скоротивши все, що скорочується, отримаємо:

q 3 = -8

Чим добрий цей спосіб? Та тим, що в процесі такого поділу все погане і незручне може швидко скоротитися і залишитися цілком невинне рівняння! Саме тому так важлива наявність тільки множенняхоч би в одному з рівнянь системи. Нема множення – нічого і скорочувати, так…

А взагалі, цей спосіб (як і багато інших нетривіальних способів вирішення систем) навіть заслуговує на окремий урок. Обов'язково його розберу детальніше. Колись…

Втім, неважливо, як саме ви вирішуєте систему, в будь-якому випадку тепер нам треба вирішити рівняння, що вийшло:

q 3 = -8

Жодних проблем: витягаємо корінь (кубічний) і – готово!

Прошу помітити, що тут, коли виймаєте, ставити плюс/мінус не потрібно. Непарного (третього) ступеня у нас корінь. І відповідь – теж одна, так.)

Отже, знаменника прогресії знайдено. Мінус два. Чудово! Процес іде.)

Для першого члена (скажімо, з верхнього рівняння) ми отримаємо:

Чудово! Знаємо перший член, знаємо знаменник. І тепер у нас з'явилася можливість знайти будь-якого члена прогресії. В тому числі і другий.)

Для другого члена все дуже просто:

b 2 = b 1 · q= 3 · (-2) = -6

Відповідь: -6

Отже, алгебраїчний спосібРозв'язання задачі ми з вами розклали по поличках. Важко? Не дуже, згоден. Довго та нудно? Так, безумовно. Але іноді можна суттєво скоротити обсяг роботи. Для цього є графічний метод.Старий добрий і знайомий нам з .)

Малюємо завдання!

Так! Саме так. Знову зображаємо нашу прогресію на числовій осі. Не обов'язково по лінійці, не обов'язково витримувати рівні інтервалиміж членами (які, до речі, і не будуть однаковими, тому що прогресія – геометрична!), а просто схематичномалюємо нашу послідовність.

У мене вийшло ось так:

А тепер дивимося на картинку та розуміємо. Скільки однакових множників "q" поділяють четвертийі сьомийчлени? Мабуть, три!

Отже, маємо повне правозаписати:

-24 ·q 3 = 192

Звідси тепер легко шукається q:

q 3 = -8

q = -2

От і добре, знаменник у нас уже в кишені. А тепер знову дивимося на картинку: скільки таких знаменників сидить між другимі четвертимчленами? Два! Отже, для запису зв'язку між цими членами знаменник будемо зводити у квадрат.

Ось і пишемо:

b 2 · q 2 = -24 , звідки b 2 = -24/ q 2

Підставляємо наш знайдений знаменник у вираз для b 2 , рахуємо та отримуємо:

Відповідь: -6

Як бачимо, все набагато простіше та швидше, ніж через систему. Більше того, тут нам взагалі навіть не потрібно було вважати перший член! Зовсім.)

Ось такий простий та наочний спосіб-лайт. Але є в нього й серйозна вада. Здогадалися? Так! Він підходить лише для дуже коротких шматочків прогресії. Таких, де відстані між членами, які нас цікавлять, не дуже великі. А от у всіх інших випадках картинку малювати вже важко, так… Тоді вирішуємо завдання аналітично, через систему. А системи – штука універсальна. З будь-якими числами справляються.

Ще одне епічне завдання:

Другий член геометричної прогресії на 10 більший за перший, а третій член на 30 більше за друге. Знайдіть знаменник прогресії.

Що, круто? Зовсім ні! Все теж саме. Знову переводимо умову завдання до чистої алгебри.

1) Розписуємо кожен член за формулою n-го члена!

Другий член: b 2 = b 1 ·q

Третій член: b 3 = b 1 · q 2

2) Записуємо зв'язок між членами з умови завдання.

Читаємо умову: "Другий член геометричної прогресії на 10 більше за перший".Стоп це цінно!

Так і пишемо:

b 2 = b 1 +10

І цю фразу перекладаємо у чисту математику:

b 3 = b 2 +30

Здобули два рівняння. Об'єднуємо їх у систему:

Система на вигляд простенька. Але щось вже багато різних індексів у літер. Підставимо замість другого і третього членів їх вираження через перший член і знаменник! Даремно, чи ми їх розписували?

Отримаємо:

А ось така система – вже не подарунок, так… Як таке вирішувати? На жаль, універсального секретного заклинання на вирішення складних нелінійнихсистем у математиці немає і не може. Це фантастика! Але перше що має приходити вам в голову при спробі розгризти подібний міцний горішок - це прикинути, а чи не зводиться одне з рівнянь системи до гарного вигляду, Що дозволяє, наприклад, легко висловити одну із змінних через іншу?

От і прикинемо. Перше рівняння системи явно простіше за друге. Його і піддамо тортурам.) А чи не спробувати з першого рівняння щосьвиразити через щось?Якщо ми хочемо знайти знаменник q, то найвигідніше нам було б висловити b 1 через q.

Ось і спробуємо виконати цю процедуру з першим рівнянням, застосовуючи старі добрі :

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Всі! Ось ми й висловили непотрібнунам змінну (b 1) через потрібну(q). Так, не найпростіший вираз отримали. Дроби якусь… Але й система у нас пристойного рівня, так.)

Типове. Що робити – знаємо.

Пишемо ОДЗ (обов'язково!) :

q ≠ 1

Помножуємо все на знаменник (q-1) і скорочуємо всі дроби:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Ділимо все на десятку, розкриваємо дужки, збираємо все зліва:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Вирішуємо отримане і отримуємо два корені:

q 1 = 1

q 2 = 3

Остаточна відповідь одна: q = 3 .

Відповідь: 3

Як ви бачите, шлях вирішення більшості завдань на формулу n-го члена геометричної прогресії завжди єдиний: читаємо уважноумова задачі та за допомогою формули n-го члена перекладаємо всю корисну інформаціюу чисту алгебру.

А саме:

1) Розписуємо окремо кожен даний у завданні член за формулоюn-го члена.

2) З умови завдання перекладаємо зв'язок між членами математичну форму. Складаємо рівняння чи систему рівнянь.

3) Вирішуємо отримане рівняння чи систему рівнянь, знаходимо невідомі параметри прогресії.

4) У разі неоднозначної відповіді читаємо уважно умову завдання у пошуках додаткової інформації (якщо така є). Також звіряємо отриману відповідь з умовами ОДЗ (якщо є).

А тепер перерахуємо основні проблеми, що найчастіше призводять до помилок у процесі вирішення задач на геометричну прогресію.

1. Елементарна арифметика. Дії з дробами та негативними числами.

2. Якщо хоча б з одним із цих трьох пунктів проблеми, то неминуче помилятиметеся і в цій темі. На жаль ... Так що не лінуйтеся і повторіть те, про що згадано вище. І за посиланнями – сходіть. Іноді допомагає.)

Видозмінені та рекурентні формули.

А тепер розглянемо кілька типових екзаменаційних завдань з менш звичною подачею умови. Так-так, ви вгадали! Це видозміненіі рекурентніформули n-го члена З такими формулами ми вже з вами стикалися і працювали в арифметичної прогресії. Тут все аналогічно. Суть та сама.

Наприклад, таке завдання з ОДЕ:

Геометрична прогресіязадана формулою b n = 3 · 2 n . Знайдіть суму першого та четвертого її членів.

На цей раз прогресія нам задана не зовсім звично. У вигляді формули. Ну і що? Ця формула – теж формулаn-го члена!Ми ж з вами знаємо, що формулу n-го члена можна записати як у загальному вигляді, через літери, так і для конкретної прогресії. З конкретнимипершим членом та знаменником.

У нашому випадку нам насправді задана формула загального члена для геометричної прогресії ось з такими параметрами:

b 1 = 6

q = 2

Перевіримо?) Запишемо формулу n-го члена у загальному вигляді та підставимо до неї b 1 і q. Отримаємо:

b n = b 1 · q n -1

b n= 6 · 2n -1

Спрощуємо, використовуючи розкладання на множники та властивості ступенів, і отримуємо:

b n= 6 · 2n -1 = 3 · 2 · 2n -1 = 3 · 2n -1+1 = 3 · 2n

Як бачите, все чесно. Але наша мета – не продемонструвати виведення конкретної формули. Це так, ліричний відступ. Чисто для розуміння.) Наша мета – вирішити завдання за тією формулою, що дана нам за умови. Уловлюєте?) Ось і працюємо з видозміненою формулою безпосередньо.

Вважаємо перший член. Підставляємо n=1 у загальну формулу:

b 1 = 3 · 2 1 = 3 · 2 = 6

Ось так. До речі, не полінуся і ще раз зверну вашу увагу на типовий ляп з підрахунком першого члена. НЕ ТРЕБА, дивлячись на формулу b n= 3 · 2n, Зразу кидатися писати, що перший член - трійка! Це – груба помилка, так…)

Продовжуємо. Підставляємо n=4 і вважаємо четвертий член:

b 4 = 3 · 2 4 = 3 · 16 = 48

Ну і нарешті, вважаємо потрібну суму:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Відповідь: 54

Ще завдання.

Геометрична прогресія задана умовами:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Знайдіть четвертий член прогресії.

Тут прогрес задано рекурентною формулою. Ну і добре.) Як працювати з такою формулою – теж знаємо.

Ось і діємо. За кроками.

1) Вважаємо два послідовнихчлена прогресії.

Перший член нам уже заданий. Мінус сім. А ось наступний, другий член, легко можна порахувати за рекурентною формулою. Якщо розуміти принцип її роботи, звичайно.

Ось і вважаємо другий член за відомим першим:

b 2 = 3 b 1 = 3 · (-7) = -21

2) Вважаємо знаменник прогресії

Теж ніяких проблем. Прямо, ділимо другийчлен на перший.

Отримуємо:

q = -21/(-7) = 3

3) Пишемо формулуn-го члена у звичному вигляді та вважаємо потрібний член.

Отже, перший член знаємо, знаменник – також. Ось і пишемо:

b n= -7 · 3n -1

b 4 = -7 · 3 3 = -7 · 27 = -189

Відповідь: -189

Як ви бачите, робота з такими формулами для геометричної прогресії нічим за своєю суттю не відрізняється від такої для арифметичної прогресії. Важливо лише розуміти загальну сутьта зміст цих формул. Та й сенс геометричної прогресії теж треба розуміти, так.) І тоді дурних помилок не буде.

Ну що, вирішуємо самостійно?)

Дуже елементарні завдання, для розминки:

1. Дана геометрична прогресія, в якій b 1 = 243, а q = -2/3. Знайдіть шостий член прогресії.

2. Загальний член геометричної прогресії заданий формулою b n = 5∙2 n +1 . Знайдіть номер останнього тризначного члена цієї прогресії.

3. Геометрична прогресія задана умовами:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Знайдіть п'ятий член прогресії.

Трохи складніше:

4. Дана геометрична прогресія:

b 1 =2048; q =-0,5

Чому дорівнює шостий негативний її член?

Що, здається, суперскладно? Зовсім ні. Врятує логіка та розуміння сенсу геометричної прогресії. Та й формула n-го члена, само собою.

5. Третій член геометричної прогресії дорівнює -14, а восьмий член дорівнює 112. Знайдіть знаменник прогресії.

6. Сума першого та другого членів геометричної прогресії дорівнює 75, а сума другого та третього членів дорівнює 150. Знайдіть шостий член прогресії.

Відповіді (безладно): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Ось майже все. Залишилося лише навчитися нам рахувати суму n перших членів геометричної прогресіїтак відкрити для себе нескінченно спадаючу геометричну прогресіюта її суму. Дуже цікаву та незвичайну штуку, між іншим! Про це – у наступних уроках.)

Математика – це те, за допомогою чоголюди керують природою та собою.

Радянський математик, академік О.М. Колмогоров

Геометрична прогресія.

Поряд із завданнями на арифметичні прогресії також поширеними на вступних випробуваннях з математики є завдання, пов'язані з поняттям геометричної прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно знати властивості геометричної прогресії та мати гарні навички їх використання.

Ця стаття присвячена викладу основних властивостей геометричної прогресії. Тут також наводяться приклади вирішення типових завдань, запозичених із завдань вступних випробувань з математики.

Попередньо відзначимо основні властивості геометричної прогресії та нагадаємо найбільш важливі формули та затвердження, пов'язані з цим поняттям.

Визначення.Числова послідовність називається геометричною прогресією, якщо кожне її число, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число . Число називається знаменником геометричної прогресії.

Для геометричної прогресіїсправедливі формули

, (1)

де. Формула (1) називається формулою загального члена геометричної прогресії, а формула (2) є основною властивістю геометричної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім геометричним своїх сусідніх членів і .

Зазначимо, що саме через цю властивість розглянута прогресія називається «геометричною».

Наведені вище формули (1) та (2) узагальнюються наступним чином:

, (3)

Для обчислення сумиперших членів геометричної прогресіїзастосовується формула

Якщо позначити, то

де. Оскільки формула (6) є узагальненням формули (5).

У тому випадку, коли і , геометрична прогресіяє нескінченно спадаючою. Для обчислення сумивсіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії використовується формула

. (7)

Наприклад, за допомогою формули (7) можна показати, що

де. Дані рівності отримані з формули (7) за умови, що , (перша рівність) і (друга рівність).

Теорема.Якщо то

Доведення. Якщо то ,

Теорему доведено.

Перейдемо до розгляду прикладів розв'язання задач на тему «Геометрична прогресія».

приклад 1.Дано: , і . Знайти.

Рішення.Якщо застосувати формулу (5), то

Відповідь: .

приклад 2.Нехай і. Знайти.

Рішення.Так як і , то скористаємося формулами (5), (6) і отримаємо систему рівнянь

Якщо друге рівняння системи (9) поділити на перше, або . Звідси випливає і . Розглянемо два випадки.

1. Якщо , то з першого рівняння системи (9) маємо.

2. Якщо, то.

приклад 3.Нехай, і. Знайти.

Рішення.З формули (2) випливає, що або . Так як , то чи .

За умовою . Однак, тому. Оскільки і , то тут маємо систему рівнянь

Якщо друге рівняння системи поділити на перше, то або .

Так як, то рівняння має єдиний відповідний корінь. У такому разі з першого рівняння системи випливає.

Зважаючи на формулу (7), отримуємо.

Відповідь: .

приклад 4.Дано: і . Знайти.

Рішення.Так як, то.

Оскільки , то чи

Відповідно до формули (2) маємо . У цьому зв'язку з рівності (10) отримуємо або .

Однак за умовою, тому.

Приклад 5.Відомо що . Знайти.

Рішення. Відповідно до теореми маємо дві рівності

Так як , то чи . Оскільки, то.

Відповідь: .

Приклад 6.Дано: і . Знайти.

Рішення.Беручи до уваги формулу (5), отримуємо

Так як, то. Оскільки, і, то.

Приклад 7.Нехай і. Знайти.

Рішення.Згідно з формулою (1) можна записати

Отже, маємо або . Відомо, що , тому і .

Відповідь: .

Приклад 8.Знайти знаменник нескінченної спадної геометричної прогресії, якщо

та .

Рішення. З формули (7) випливаєі . Звідси і з умови завдання отримуємо систему рівнянь

Якщо перше рівняння системи звести у квадрат, а потім отримане рівняння розділити на друге рівняння, то отримаємо

Або.

Відповідь: .

Приклад 9.Знайти всі значення , у яких послідовність , , є геометричної прогресією.

Рішення.Нехай, і. Згідно з формулою (2), яка задає основну властивість геометричній прогресії, можна записати або .

Звідси отримуємо квадратне рівняння, корінням якого єта .

Виконаємо перевірку: якщо, то , та ; якщо, то, і.

У першому випадку маємоі , а в другому - і .

Відповідь: , .

приклад 10.Вирішити рівняння

, (11)

де і .

Рішення. Ліва частинарівняння (11) являє собою суму нескінченної спадної геометричної прогресії, в якій і за умови: і .

З формули (7) випливає, що . У зв'язку з цим рівняння (11) набуває виглядуабо . Відповідним коренем квадратного рівнянняє

Відповідь: .

Приклад 11.П послідовність позитивних чиселутворює арифметичну прогресію, а – геометричну прогресію, причому тут . Знайти.

Рішення.Так як арифметична послідовність, то (Основна властивість арифметичної прогресії). Оскільки, або . Звідси випливає , що геометрична прогресія має вигляд. Згідно з формулою (2)далі запишемо, що.

Так як і , то . У такому разі виразнабуває вигляду або . За умовою , тому з рівнянняотримуємо єдине рішення розглянутої задачі, тобто. .

Відповідь: .

приклад 12.Обчислити суму

. (12)

Рішення. Помножимо на 5 обидві частини рівності (12) та отримаємо

Якщо від отриманого виразу відняти (12), то

або .

Для обчислення підставимо у формулу (7) значення і отримаємо . Так як, то.

Відповідь: .

Наведені тут приклади вирішення завдань будуть корисні абітурієнтам під час підготовки до вступних випробувань. Для більш глибокого вивчення методів розв'язання задач, пов'язаних з геометричною прогресією, можно використовувати навчальні посібникизі списку літератури, що рекомендується.

1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.

3. Мединський М.М. Повний курселементарної математики у завданнях та вправах. Книга 2: Числові послідовностіта прогресії. - М.: Едітус, 2015. - 208 с.

Залишились питання?

Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Геометрична прогресіяне менш важлива в математиці порівняно з арифметичною. Геометричною прогресією називають таку послідовність чисел b1, b2,..., b[n] кожен наступний член якої виходить множенням попереднього на постійне число. Це число, яке також характеризує швидкість зростання або спадання прогресії називають знаменником геометричної прогресіїі позначають

Для повного завдання геометричної прогресії крім знаменника необхідно знати чи визначити її перший член. Для позитивного значеннязнаменника прогресія є монотонною послідовністю, причому якщо ця послідовність чисел є монотонно спадною і при монотонно зростаючою. Випадок, коли знаменник дорівнює одиниці на практиці не розглядається, оскільки маємо послідовність однакових чисел, а їхнє підсумовування не викликає практичного інтересу

Загальний член геометричної прогресіїобчислюють за формулою

Сума n перших членів геометричної прогресіївизначають за формулою

Розглянемо розв'язання класичних завдань на геометричну прогресію. Почнемо для розуміння з найпростіших.

Приклад 1. Перший член геометричної прогресії дорівнює 27 а її знаменник дорівнює 1/3. Знайти шість перших членів геометричної прогресії.

Рішення: Запишемо умову завдання у вигляді

Для обчислень використовуємо формулу n-го члена геометричної прогресії

На її основі знаходимо невідомі члени прогресії

Як можна переконатися, обчислення членів геометричної прогресії нескладні. Сама прогресія буде виглядати так

Приклад 2. Дано три перших члени геометричної прогресії: 6; -12; 24. Знайти знаменник та сьомий її член.

Рішення: Обчислюємо знаменник геомітричної прогресії, виходячи з його визначення

Отримали знакозмінну геометричну прогресію знаменник якої дорівнює -2. Сьомий член обчислюємо за формулою

На цьому завдання вирішено.

Приклад 3. Геометрична прогресія задана двома її членами . Знайти десятий член прогресії.

Рішення:

Запишемо задані значення через формули

За правилами потрібно було знайти знаменник, а потім шукати потрібне значення, але для десятого члена маємо

Таку ж формулу можна отримати на основі нехитрих маніпуляцій із вхідними даними. Розділимо шостий член ряду на інший, в результаті отримаємо

Якщо отримане значення помножити на шостий член, отримаємо десятий

Таким чином, для подібних завдань за допомогою нескладних перетворень у швидкий спосібможна знайти правильне рішення.

Приклад 4. Геометрична прогресія задано рекурентними формулами

Знайти знаменник геометричної прогресії та суму перших шести членів.

Рішення:

Запишемо дані у вигляді системи рівнянь

Виразимо знаменник розділивши друге рівняння на перше

Знайдемо перший член прогресії з першого рівняння

Обчислимо наступні п'ять членів для знаходження суми геометричної прогресії

Геометрична прогресія, поряд з арифметичною, є важливим числовим рядом, який вивчається у шкільному алгебри курсі в 9 класі. У статті розглянемо знаменник геометричної прогресії, і те, як його значення впливає її властивості.

Визначення прогресії геометричної

Для початку наведемо визначення цього числового ряду. Прогресією геометричної називають такий ряд раціональних чисел, який формується шляхом послідовного множення першого елемента на постійне число, що носить назву знаменника.

Наприклад, числа у рядку 3, 6, 12, 24, ... - це прогресія геометрична, оскільки якщо помножити 3 (перший елемент) на 2, то отримаємо 6. Якщо 6 помножити на 2, то отримаємо 12 і так далі.

Члени послідовності прийнято позначати символом ai, де i - це ціле число, що вказує на номер елемента в ряду.

Наведене вище визначення прогресії можна записати мовою математики так: an = bn-1 * a1, де b - знаменник. Перевірити цю формулу легко: якщо n = 1, b1-1 = 1, і ми отримуємо a1 = a1. Якщо n = 2, тоді an = b * a1, і ми знову приходимо до визначення ряду чисел, що розглядається. Аналогічні міркування можна продовжити великих значень n.

Знаменник прогресії геометричної

Число b повністю визначає, який характер матиме весь числовий ряд. Знаменник b може бути позитивним, негативним, а також мати значення більше одиниці або менше. Усі перелічені варіанти призводять до різних послідовностей:

• b > 1. Наявний зростаючий ряд раціональних чисел. Наприклад, 1, 2, 4, 8, ... Якщо елемент a1 буде негативним, тоді вся послідовність зростатиме лише за модулем, але зменшуватиметься з урахуванням знака чисел.
• b = 1. Часто такий випадок не називають прогресією, оскільки має місце звичайний ряд однакових раціональних чисел. Наприклад, -4, -4, -4.

Формула для суми

Перед тим як перейти до розгляду конкретних завдань з використанням знаменника виду прогресії, що розглядається, слід навести важливу формулу для суми її перших n елементів. Формула має вигляд: Sn = (bn – 1) * a1 / (b – 1).

Отримати цей вислів можна самостійно, якщо розглянути рекурсивну послідовність членів прогресії. Також зауважимо, що у наведеній формулі достатньо знати лише перший елемент та знаменник, щоб знайти суму довільного числа членів.

Нескінченна спадна послідовність

Вище було дано пояснення, що вона є. Тепер, знаючи формулу для Sn, застосуємо її до цього числового ряду. Оскільки будь-яке число, модуль якого не перевищує 1, при зведенні більшою мірою прагне нуля, тобто b∞ => 0, якщо -1

Оскільки різниця (1 - b) завжди буде позитивною, незалежно від значення знаменника, то знак суми прогресу, що нескінченно прогресує, геометричної S∞ однозначно визначається знаком її першого елемента a1.

Тепер розглянемо кілька завдань, де покажемо, як застосовувати набуті знання на конкретних числах.

Завдання № 1. Обчислення невідомих елементів прогресії та суми

Дана прогресія геометрична, знаменник прогресії 2, а її перший елемент 3. Чому дорівнюватимуть її 7-й і 10-й члени, і яка сума її семи початкових елементів?

Умова завдання складена досить просто і передбачає безпосереднє використання вищезгаданих формул. Отже, обчислення елемента з номером n використовуємо вираз an = bn-1 * a1. Для 7-го елемента маємо: a7 = b6 * a1, підставляючи відомі дані, отримуємо: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогічно надаємо для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.

Скористаємося відомою формулою для суми та визначимо цю величину для 7 перших елементів ряду. Маємо: S7 = (27 – 1) * 3 / (2 – 1) = 381.

Завдання № 2. Визначення суми довільних елементів прогресії

Нехай -2 дорівнює знаменник прогресії в геометричній прогресії bn-1 * 4 де n - ціле число. Необхідно визначити суму з 5 по 10 елемент цього ряду включно.

Поставлена ​​проблема не може бути вирішена безпосередньо з використанням відомих формул. Вирішити її можна двома різними методами. Для повноти викладу теми наведемо обидва.

Метод 1. Ідея його проста: необхідно розрахувати дві відповідні суми перших членів, а потім відняти від однієї іншу. Обчислюємо меншу суму: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Тепер обчислюємо велику суму: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Зазначимо, що в останньому виразі підсумовувалися лише 4 доданки, оскільки 5-те вже входить у суму, яку потрібно обчислити за умовою завдання. Нарешті беремо різницю: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Метод 2. Перед тим, як підставляти цифри і рахувати, можна отримати формулу для суми між членами m і n ряду, що розглядається. Поступаємо так само, як у методі 1, тільки працюємо спочатку з символьним поданням суми. Маємо: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В отриманий вираз можна підставляти відомі числа та обчислювати кінцевий результат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Завдання № 3. Чому дорівнює знаменник?

Нехай a1 = 2, знайдіть знаменник прогресії геометричної, за умови, що її нескінченна сума становить 3, і відомо, що це менший ряд чисел.

За умовою завдання неважко здогадатися, якою формулою слід скористатися для її вирішення. Звичайно ж, для суми прогресії нескінченно спадаючою. Маємо: S∞ = a1/(1 - b). Звідки виражаємо знаменник: b = 1 - a1/S∞. Залишилося підставити відомі значенняі одержати необхідне число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 або -0,333 (3). Можна якісно перевірити цей результат, якщо згадати, що для цього типу послідовності модуль b не повинен виходити за межі 1. Як бачимо, |-1/3|

Завдання № 4. Відновлення ряду чисел

Нехай дані 2 елементи числового ряду, наприклад, 5-й дорівнює 30 і 10-й дорівнює 60. Необхідно за цими даними відновити весь ряд, знаючи, що він задовольняє властивості прогресії геометричної.

Щоб вирішити завдання, необхідно спочатку записати для кожного відомого члена відповідний вираз. Маємо: a5 = b4 * a1 та a10 = b9 * a1. Тепер розділимо другий вираз на перше, отримаємо: a10/a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Звідси визначаємо знаменник, взявши корінь п'ятого ступеня від відношення відомих із умови завдання членів, b = 1,148698. Отримане число підставляємо в один із виразів для відомого елемента, отримуємо: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Отже, ми виявили, чому дорівнює знаменник прогресії bn, і геометричну прогресію bn-1 * 17,2304966 = an, де b = 1,148698.

Де застосовуються прогресії геометричні?

Якби не існувало застосування цього числового ряду на практиці, його вивчення зводилося б до суто теоретичного інтересу. Але таке застосування існує.

Нижче наведено 3 найвідоміші приклади:

• Парадокс Зенона, в якому спритний Ахіллес не може наздогнати повільну черепаху, вирішується з використанням поняття спадної нескінченно послідовності чисел.
• Якщо на кожну клітину шахової дошки класти зерна пшениці так, що на 1-у клітинку покласти 1 зерно, на 2-у - 2, на 3-ю - 3 і так далі, то щоб заповнити всі клітини дошки знадобиться 18446744073709551615
• У грі "Вежа Ханоя", щоб переставити диски з одного стрижня на інший, необхідно виконати 2n - 1 операцій, тобто їх число зростає в геометричній прогресії від кількості дисків, що використовуються n.

Інструкція

10, 30, 90, 270...

Потрібно знайти знаменник геометричної прогресії.
Рішення:

1 варіант. Візьмемо довільний член прогресії (наприклад, 90) та розділимо його на попередній (30): 90/30=3.

Якщо відома сума кількох членів геометричної прогресії або сума всіх членів спадної геометричної прогресії, то для знаходження знаменника прогресії скористайтеся відповідними формулами:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), де Sn – сума n перших членів геометричної прогресії та
S = b1/(1-q), де S - сума нескінченно спадної геометричної прогресії (сума всіх членів прогресії зі знаменником меншим одиниці).
приклад.

Перший член спадної геометричної прогресії дорівнює одиниці, а сума всіх її членів дорівнює двом.

Потрібно визначити знаменник цієї прогресії.
Рішення:

Підставте дані із завдання у формулу. Вийде:
2=1/(1-q), звідки – q=1/2.

Прогресія є послідовністю чисел. У геометричній прогресії кожен наступний член виходить множенням попереднього на кілька q, зване знаменником прогресії.

Інструкція

Якщо відомо два сусідніх члени геометричної b(n+1) і b(n), щоб отримати знаменник, треба число з більшим розділити на попереднє: q=b(n+1)/b(n). Це випливає з визначення прогресії та її знаменника. Важливою умовоює нерівність нулю першого члена та знаменника прогресії, інакше вважається невизначеною.

Так, між членами прогресії встановлюються такі співвідношення: b2=b1 q, b3=b2 q, … b(n)=b(n-1) q. За формулою b(n)=b1 q^(n-1) може бути обчислений будь-який член геометричної прогресії, у якій відомий знаменник q і член b1. Також кожен із прогресії за модулем дорівнює середньому своїх сусідніх членів: |b(n)|=√, звідси прогресія і отримала своє .

Аналогом геометричної прогресії є найпростіша показова функція y=a^x, де x стоїть у показнику ступеня, a – деяке число. У цьому випадку знаменник прогресії збігається з першим членом і дорівнює числу a. Під значенням функції y можна розуміти n-й членпрогресії, якщо аргумент x прийняти за натуральне число n (лічильник).

Існує суми перших n членів геометричної прогресії: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Ця формуласправедлива за q≠1. Якщо q=1, то сума перших членів n обчислюється формулою S(n)=n b1. До речі, прогресія буде називатися зростаючою при більшому q одиниці і позитивному b1. При знаменнику прогресії, що за модулем не перевищує одиниці, прогресія називатиметься спадною.

Окремий випадокгеометричної прогресії - нескінченно спадна геометрична прогресія (б.у.г.п.). Справа в тому, що члени спадної геометричної прогресії щоразу зменшуватимуться, але ніколи не досягнуть нуля. Попри це можна знайти суму всіх членів такої прогресії. Вона визначається формулою S=b1/(1-q). Загальна кількістьчленів n нескінченно.

Щоб наочно уявити, як можна скласти нескінченну кількість чисел і не отримати при цьому нескінченність, випікайте торт. Відріжте половину цього. Потім відріжте 1/2 половини, і так далі. Шматочки, які у вас будуть виходити, являють собою не що інше, як члени геометричної прогресії, що нескінченно убуває, зі знаменником 1/2. Якщо скласти усі ці шматочки, ви отримаєте вихідний торт.

Завдання з геометрії – це особливий різновидвправ, що потребують просторового мислення. Якщо у вас не виходить вирішити геометричну завдання, спробуйте дотримуватися наведених нижче правил.

Інструкція

Прочитайте дуже уважно умову завдання, якщо щось не запам'ятали чи не зрозуміли, перечитайте ще раз.

Постарайтеся визначити, до якого виду геометричних завдань вона , так, наприклад: обчислювальні, коли потрібно дізнатися якусь величину, завдання на , що вимагають логічного ланцюжка міркувань, завдання на побудову за допомогою циркуля та лінійки. Ще завдання змішаного типу. Коли ви з'ясували тип завдання, постарайтеся логічно міркувати.

Застосуйте необхідну теорему для даної задачі, якщо є сумніви або взагалі відсутні варіанти, то постарайтеся згадати теорію, яку ви проходили за відповідною темою.

Оформіть рішення задачі також на чернетці. Спробуйте застосувати відомі методи перевірки вірності вашого рішення.

Оформіть розв'язання задачі акуратно в зошиті, без помарок і закреслень, а головне - .Можливо, на вирішення перших геометричних завдань піде сил і часу. Однак, як тільки ви освоїте цей процес - почнете клацати завдання по , як горішки, отримуючи від цього задоволення!

Геометрична прогресія - це така послідовність чисел b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n), що b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Іншими словами, кожен член прогресії виходить із попереднього множенням його на деякий ненульовий знаменник прогресії q.

Інструкція

Завдання на прогресії найчастіше вирішуються упорядкуванням і наступним системи щодо першого члена прогресії b1 і знаменника прогресії q. Для складання рівнянь корисно пам'ятати деякі формули.

Як виразити n-й член прогресії через перший член прогресії і знаменник прогресії: b (n) = b1 * q (n-1).

Розглянемо окремо випадок | q |<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии