Як знаходити суму геометричної прогресії. Геометрична прогресія

Початковий рівень

Геометрична прогресія. Вичерпний гідз прикладами (2019)

Числова послідовність

Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:

Писати можна будь-які числа, і може бути скільки завгодно (у разі їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке друге і так далі до останнього, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:

Числова послідовність- це безліч чисел, кожному з яких можна надати унікальний номер.

Наприклад, для нашої послідовності:

Присвоєний номер характерний лише однієї числа послідовності. Іншими словами, у послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і число) завжди одне.

Число з номером називається м'яним членом послідовності.

Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .

У нашому випадку:

Найпоширеніші види прогресії це арифметична та геометрична. У цій темі ми поговоримо про другий вид - геометричній прогресії.

Навіщо потрібна геометрична прогресія та її історія виникнення.

Ще в давнину італійський математик монах Леонардо з Пізи (відоміший під ім'ям Фібоначчі) займався вирішенням практичних потреб торгівлі. Перед ченцем стояло завдання визначити, за допомогою якої найменшої кількості гир можна зважити товар? У своїх працях Фібоначчі доводить, що оптимальною є така система гир: Це одна з перших ситуацій, в якій людям довелося зіткнутися з геометричною прогресією, про яку ти напевно чув і маєш хоча б загальне поняття. Як тільки повністю розберешся в темі, подумай, чому така система оптимальна?

В даний час, у життєвій практиці, геометрична прогресія проявляється при вкладенні коштів у банк, коли сума відсотків нараховується на суму, що накопичилася на рахунку за попередній період. Іншими словами, якщо покласти гроші на терміновий внесок у ощадний банк, то через рік вклад збільшиться від вихідної суми, тобто. нова сума дорівнюватиме вкладу, помноженому на. Ще за рік вже ця сума збільшиться, тобто. сума, що вийшла в той раз, знову помножиться на і так далі. Подібна ситуація описана у завданнях на обчислення так званих складних відсотків- відсоток береться щоразу від суми, що є на рахунку з урахуванням попередніх відсотків. Про ці завдання ми поговоримо трохи згодом.

Є ще багато простих випадків, де застосовується геометрична прогресія. Наприклад, поширення грипу: одна людина заразила людина, ті у свою чергу заразили ще по людину, і таким чином друга хвиля зараження – людина, а ті у свою чергу заразили ще … і так далі…

До речі, фінансова піраміда, та сама МММ - це простий і сухий розрахунок за властивостями геометричної прогресії. Цікаво? Давай розбиратись.

Геометрична прогресія.

Допустимо, у нас є числова послідовність:

Ти одразу відповиш, що це легко і ім'я такої послідовності - арифметична прогресія з різницею її членів. А як щодо такого:

Якщо ти будеш віднімати з наступного числа попереднє, то ти побачиш, що кожного разу виходить нова різниця (і т.д.), але послідовність безперечно існує і її неважко помітити - кожне наступне число в рази більше за попереднє!

Такий вид числової послідовності називається геометричною прогресієюта позначається.

Геометрична прогресія ( ) - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число . Це число називають знаменником геометричної прогресії.

Обмеження, що член ( ) не дорівнює і випадкові. Припустимо, що їх немає, і перший член все ж таки дорівнює, а q рівно, хм.. нехай, тоді виходить:

Погодься, що це вже ніяка не прогресія.

Як ти розумієш, ті самі результати ми отримаємо, якщо буде будь-яким числом, відмінним від нуля, а. У цих випадках прогресії просто не буде, тому що весь числовий ряд будуть або всі нулі або одне число, а всі інші нулі.

Тепер поговоримо докладніше про знаменника геометричної прогресії, тобто о.

Повторимо: - це число, у скільки разів змінюється кожен наступний членгеометричної прогресії.

Як ти гадаєш, яким може бути? Правильно, позитивним та негативним, але не нулем (ми говорили про це трохи вище).

Припустимо, що ми маємо позитивне. Нехай у нашому випадку, а. Чому дорівнює другийчлен і? Ти легко відповиш, що:

Все вірно. Відповідно, якщо всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні.

А якщо негативне? Наприклад, а. Чому дорівнює другий член і?

Це вже зовсім інша історія

Спробуй порахувати член цієї прогресії. Скільки у тебе вийшло? У мене. Отже, якщо, то знаки членів геометричної прогресії чергуються. Тобто, якщо ти побачиш прогресію, з знаками, що чергуються у її членів, значить її знаменник на негативний. Це знання може допомогти тобі перевіряти себе під час вирішення завдань на цю тему.

Тепер трохи потренуємося: спробуй визначити, які числові послідовності є геометричною прогресією, а які арифметичною:

Розібрався? Порівняємо наші відповіді:

• Геометрична прогресія – 3, 6.
• Арифметична прогресія – 2, 4.
• Не є ні арифметичною, ні геометричною прогресією – 1, 5, 7.

Повернемося до нашої останньої прогресії, а спробуємо так само як і в арифметичній знайти її член. Як ти вже здогадуєшся, є два способи його знаходження.

Послідовно множимо кожен член.

Отже, -ой член описаної геометричної прогресії дорівнює.

Як ти вже здогадуєшся, зараз ти сам виведеш формулу, яка допоможе тобі знайти будь-який член геометричної прогресії. Або ти її вже вивів для себе, розписуючи, як поетапно знаходити член? Якщо так, то перевір правильність твоїх міркувань.

Проілюструємо це з прикладу знаходження -го члена даної прогресії:

Іншими словами:

Знайди самостійно значення члена заданої геометричної прогресії.

Вийшло? Порівняємо наші відповіді:

Зверни увагу, що в тебе вийшло таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно множили на кожен попередній член геометричної прогресії.
Спробуємо «знеособити» цю формулу- Наведемо її в загальний вигляд і отримаємо:

Виведена формула правильна всім значень - як позитивних, і негативних. Перевір це самостійно, розрахувавши члени геометричної прогресії з такими умовами: , а.

Порахував? Порівняємо отримані результати:

Погодься, що знаходити член прогресії можна було б так само як і член, проте є ймовірність неправильно порахувати. А якщо ми знайшли вже член геометричної прогресії, то що може бути простіше, ніж скористатися «обрізаною» частиною формули.

Нескінченна спадна геометрична прогресія.

Нещодавно ми говорили про те, що може бути як більше, так і менше нуля, однак, є особливі значенняпри яких геометрична прогресія називається нескінченно спадаючою.

Як ти вважаєш, чому така назва?
Для початку запишемо якусь геометричну прогресію, що складається з членів.
Допустимо, а, тоді:

Ми бачимо, що кожен наступний член менший за попередній у рази, але чи буде якесь число? Ти одразу ж відповиш – «ні». Ось тому і нескінченно спадаюча - зменшується, зменшується, а банкрутом ніколи не стає.

Щоб чітко зрозуміти, як це виглядає візуально, спробуємо намалювати графік нашої прогресії. Отже, для нашого випадку формула набуває наступного вигляду:

На графіках нам звично будувати залежність від, тому:

Суть висловлювання не змінилася: у першому записі в нас була показана залежність значення члена геометричної прогресії від його порядкового номера, а у другому записі - ми просто набули значення члена геометричної прогресії за, а порядковий номер позначили не як, а як. Все, що залишилося зробити – побудувати графік.
Побачимо, що в тебе вийшло. Ось який графік вийшов у мене:

Бачиш? Функція зменшується, прагне до нуля, але ніколи його не перетне, тому вона нескінченно спадає. Зазначимо на графіку наші точки, а заразом і те, що означає координата і:

Спробуй схематично зобразити графік геометричної прогресії, якщо перший її член також дорівнює. Проаналізуй, у чому різниця з нашим попереднім графіком?

Впорався? Ось який графік вийшов у мене:

Тепер, коли ти повністю розібрався в основах теми геометричної прогресії: знаєш, що це таке, знаєш, як знайти її член, а також знаєш, що таке геометрична прогресія, що нескінченно убуває, перейдемо до її основної властивості.

Властивість геометричної прогресії.

Пам'ятаєш властивість членів арифметичної прогресії? Так, так, як визначити значення певної кількості прогресії, коли є попереднє і наступне значення членів цієї прогресії. Згадав? Ось це:

Тепер перед нами стоїть таке саме питання для членів геометричної прогресії. Щоб вивести подібну формулу, давай почнемо малювати та міркувати. Ось побачиш, це дуже легко, і якщо ти забудеш, зможеш вивести її самостійно.

Візьмемо ще одну просту геометричну прогресію, в якій нам відомі та. Як знайти? За арифметичної прогресії це легко і просто, а як тут? Насправді в геометричній теж немає нічого складного – необхідно просто розписати за формулою кожне дане нам значення.

Ти спитаєш, і що тепер нам із цим робити? Так, дуже просто. Для початку зобразимо дані формули малюнку, і спробуємо зробити із нею різні маніпуляції, щоб дійти значення.

Абстрагуємося від чисел, які ми маємо, зосередимося лише з їхньому вираженні через формулу. Нам необхідно знайти значення, виділене помаранчевим кольоромзнаючи сусідні з ним члени. Спробуємо зробити з ними різні дії, внаслідок яких ми зможемо отримати.

Додавання.
Спробуємо скласти два вирази і ми отримаємо:

З цього виразу, як ти бачиш, ми ніяк не зможемо висловити, отже, пробуватимемо інший варіант - віднімання.

Віднімання.

Як ти бачиш, з цього ми теж не можемо висловити, отже спробуємо помножити дані вирази один на одного.

множення.

А тепер подивися уважно, що ми маємо, перемножуючи дані нам члени геометричної прогресії порівняно з тим, що необхідно знайти:

Здогадався про що я говорю? Правильно, щоб знайти нам необхідно взяти квадратний коріньвід перемножених один на одного сусідніх із шуканим чисел геометричної прогресії:

Ну ось. Ти сам вивів властивість геометричної прогресії. Спробуй записати цю формулу в загальному вигляді. Вийшло?

Забув умову за? Подумай, чому воно важливо, наприклад, спробуй самостійно прорахувати, коли. Що вийде у цьому випадку? Правильно, повна дурість оскільки формула виглядає так:

Відповідно, не забувай це обмеження.

Тепер порахуємо, чому ж одно

Правильну відповідь - ! Якщо ти при розрахунку не забув друге можливе значення, то ти великий молодець і одразу можеш переходити до тренування, а якщо забув - прочитай те, що розібрано далі і зверни увагу, чому у відповіді необхідно записувати обидва корені.

Намалюємо обидві наші геометричні прогресії - одну зі значенням, а іншу зі значенням і перевіримо, чи обидві з них мають право на існування:

Щоб перевірити, чи існує така геометрична прогресія чи ні, необхідно подивитися, чи однакове між усіма її заданими членами? Розрахуй q для першого та другого випадку.

Бачиш, чому ми маємо писати дві відповіді? Тому що знак у члена, що шукається, залежить від того, який - позитивний або негативний! Оскільки ми не знаємо, який він, нам необхідно писати обидві відповіді і з плюсом, і з мінусом.

Тепер, коли ти засвоїв основні моменти та вивів формулу на властивість геометричної прогресії, знайди, знаючи та

Порівняй отримані відповіді з правильними:

Як ти думаєш, а якби нам були дані не сусідні з шуканим числом значення членів геометричної прогресії, а рівновіддалені від нього. Наприклад, нам необхідно знайти, а дані і. Чи можемо ми використовувати виведену нами формулу? Спробуй так само підтвердити або спростувати цю можливість, розписуючи з чого складається кожне значення, як ти робив, виводячи спочатку формулу, при.
Що в тебе вийшло?

Тепер знову поглянь уважно.
і відповідно:

З цього ми можемо зробити висновок, що формула працює не тільки при сусідніхз шуканими членами геометричної прогресії, але й рівновіддаленимивід шуканого членами.

Таким чином, наша первісна формула набуває вигляду:

Тобто, якщо в першому випадку ми говорили, що, то зараз ми говоримо, що може дорівнювати будь-якому натуральному числу, яке менше. Головне, щоб був однаковим для обох заданих чисел.

Потренуйся на конкретні прикладиТільки будь гранично уважний!

1. , . Знайти.
2. , . Знайти.
3. , . Знайти.

Вирішив? Сподіваюся, ти був дуже уважний і помітив невелику каверзу.

Порівнюємо результати.

У перших двох випадках ми спокійно застосовуємо вищеописану формулу та отримуємо наступні значення:

У третьому випадку при уважному розгляді порядкових номерівданих нам чисел, ми розуміємо, що вони не рівновіддалені від шуканого нами числа: є попереднім числом, а видалена на позиції, таким чином застосувати формулу не надається можливим.

Як її вирішувати? Насправді, це не так складно, як здається! Давай з тобою розпишемо, з чого складається кожне дане нам і шукане число.

Отже, у нас є в. Побачимо, що з ними можна зробити? Пропоную поділити на. Отримуємо:

Підставляємо у формулу наші дані:

Наступним кроком ми можемо знайти – для цього нам необхідно взяти кубічний коріньз одержаного числа.

А тепер дивимося ще раз, що у нас є. У нас є, а знайти нам необхідно, а він, у свою чергу, дорівнює:

Усі необхідні дані для підрахунку ми знайшли. Підставляємо у формулу:

Наша відповідь: .

Спробуй вирішити ще одне таке завдання самостійно:
Дано: ,
Знайти:

Скільки у тебе вийшло? У мене - .

Як ти бачиш, по суті, тобі потрібно запам'ятати лише одну формулу- . Всі інші ти без будь-якої праці можеш вивести самостійно будь-якої миті. Для цього просто напиши на листку найпростішу геометричну прогресію і розпиши, чому згідно з вищеописаною формулою дорівнює кожне її число.

Сума членів геометричної прогресії.

Тепер розглянемо формули, які дозволяють швидко порахувати суму членів геометричної прогресії в заданому проміжку:

Щоб вивести формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії, помножимо всі частини вищого рівняння. Отримаємо:

Подивися уважно: що спільного в останніх двох формулах? Правильно, спільні члени, наприклад, і так далі, крім першого та останнього члена. Давай спробуємо відняти з 2-го рівняння перше. Що в тебе вийшло?

Тепер вирази через формулу члена геометричної прогресії і підстави отриманий вираз у нашу останню формулу:

Згрупуй вираз. У тебе має вийти:

Все, що залишилося зробити – висловити:

Відповідно, у цьому випадку.

А що якщо? Яка формула працює тоді? Уяви собі геометричну прогресію при. Що вона собою являє? Правильно ряд однакових чисел, відповідно формула виглядатиме так:

Як і за арифметичною, так і за геометричною прогресією існує безліч легенд. Одна з них - легенда про Сет, творця шахів.

Багато хто знає, що шахова гра була придумана в Індії. Коли індуський цар познайомився з нею, він був захоплений її дотепністю та різноманітністю можливих у ній положень. Дізнавшись, що вона винайдена одним із його підданих, цар вирішив особисто нагородити його. Він викликав винахідника до себе і наказав просити у нього все, що він забажає, пообіцявши виконати навіть найвправніше бажання.

Сета попросив час на роздуми, а коли другого дня Сета з'явився до царя, він здивував царя безприкладною скромністю свого прохання. Він попросив видати за першу клітку шахівниці пшеничне зерно, за другу пшеничні зерна, за третю, за четверту і т.д.

Цар розгнівався і прогнав Сета, сказавши, що прохання слуги недостойне царської щедрості, але пообіцяв, що слуга отримає свої зерна за всі клітини дошки.

А тепер питання: використовуючи формулу суми членів геометричної прогресії, вважай, скільки зерен має отримати Сета?

Почнемо міркувати. Оскільки за умовою за першу клітинку шахівниці Сета попросив пшеничне зерно, за другу, за третю, за четверту і т.д., то ми бачимо, що в задачі йдеться про геометричну прогресію. Чому одно в цьому випадку?
Правильно.

Усього клітин шахівниці. Відповідно, . Всі дані у нас є, залишилося лише підставити у формулу та порахувати.

Щоб уявити хоча б приблизно «масштаби» даного числа, перетворюємо, використовуючи властивості ступеня:

Звичайно, якщо ти хочеш, то можеш взяти калькулятор і порахувати, що за число в результаті в тебе вийде, а якщо ні, доведеться повірити мені на слово: підсумковим значенням виразу буде.
Тобто:

квінтильйонів квадрильйонів трильйона мільярда мільйонів тисяч.

Фух) Якщо хочете уявити собі величезність цього числа, то прикиньте, якої величини комору знадобився б для вміщення всієї кількості зерна.
При висоті комори м і ширині м довжина його мала б простягатися на км, - тобто. удвічі далі, ніж від Землі до Сонця.

Якби цар був би сильний у математиці, то він міг би запропонувати самому вченому відраховувати зерна, адже щоб відрахувати мільйон зерен, йому знадобилося б не менше доби невпинного рахунку, а враховуючи, що необхідно відрахувати квінтильйонів, зерна довелося б відраховувати все життя.

А тепер вирішимо просте завдання на суму членів геометричної прогресії.
Учень 5 А класу Вася, захворів на грип, але продовжує ходити до школи. Щодня Вася заражає двох людей, які, своєю чергою, заражають ще двох і так далі. Загалом у класі людина. Через скільки днів на грип хворітиме весь клас?

Отже, перший член геометричної прогресії – це Вася, тобто людина. -ой член геометричної прогресії, це ті дві людини, яких він заразив у перший день свого приходу. Загальна сума членів прогресії дорівнює кількості учнів 5А. Відповідно, ми говоримо про прогресію, в якій:

Підставимо наші дані у формулу суми членів геометричної прогресії:

Весь клас занедужає за дні. Не віриш формулам та числам? Спробуй зобразити зараження учнів самостійно. Вийшло? Дивись, як це виглядає у мене:

Порахуй самостійно, за скільки днів учні захворіли б на грип, якби кожен заражав по людині, а в класі навчалася людина.

Яке значення в тебе вийшло? У мене вийшло, що всі почали хворіти через день.

Як ти бачиш, подібне завдання та малюнок до неї нагадує піраміду, в якій кожен наступний «наводить» нових людей. Однак рано чи пізно настає такий момент, коли останні не можуть нікого залучити. У нашому випадку, якщо уявити, що клас ізольований, людина замикає ланцюжок (). Таким чином, якби люди були залучені до фінансової піраміди, в якій гроші давалися у випадку, якщо ти приведеш двох інших учасників, то людина (або в загальному випадку) не привели б нікого, відповідно, втратили б усе, що вклали у цю фінансову аферу.

Все, що було сказано вище, відноситься до спадної або зростаючої геометричної прогресії, але, як ти пам'ятаєш, у нас є особливий вид - нескінченно спадна геометрична прогресія. Як же рахувати суму її членів? І чому цей вид прогресії має певні особливості? Давай розбиратись разом.

Отже, для початку подивимося ще раз на цей малюнок нескінченно спадної геометричної прогресії з нашого прикладу:

А тепер подивимося на формулу суми геометричної прогресії, виведену трохи раніше:
або

Чого в нас прагне? Правильно, на графіку видно, що воно прагне нуля. Тобто при майже рівному, відповідно, при обчисленні виразу ми отримаємо майже. У зв'язку з цим, ми вважаємо, що при підрахунку суми нескінченно спадної геометричної прогресії, даної дужкою можна знехтувати, оскільки вона дорівнюватиме.

- формула - сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії.

ВАЖЛИВО!Формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії ми використовуємо тільки в тому випадку, якщо в умові в явному вигляді зазначено, що потрібно знайти суму нескінченногочисла членів.

Якщо зазначено конкретне число n, то користуємося формулою суми n членів, навіть якщо.

А тепер потренуємось.

1. Знайди суму перших членів геометричної прогресії з в.
2. Знайди суму членів нескінченно спадної геометричної прогресії з в.

Сподіваюся, ти був дуже уважний. Порівняємо наші відповіді:

Тепер ти знаєш про геометричну прогресію все, і настав час переходити від теорії до практики. Найпоширеніші завдання на геометричну прогресію, що зустрічаються на іспиті – це завдання на обчислення складних відсотків. Саме про них і йтиметься.

Завдання на обчислення складних процентів.

Ти, напевно, чув про так звану формулу складних відсотків. Чи ти розумієш, що вона означає? Якщо ні, давай розбиратися, тому що усвідомивши сам процес, ти одразу зрозумієш, причому тут геометрична прогресія.

Усі ми ходимо до банку і знаємо, що існують різні умовиза вкладами: це і термін, і додаткове обслуговування, і відсоток із двома у різний спосібйого нарахування - простим та складним.

З простими відсоткамивсе більш менш зрозуміло: відсотки нараховуються один раз наприкінці терміну вкладу. Тобто, якщо ми говоримо про те, що ми кладемо 100 рублів на рік під, то зарахуються лише наприкінці року. Відповідно, до закінчення вкладу ми отримаємо карбованців.

Складні відсотки— це такий варіант, за якого відбувається капіталізація відсотків, тобто. їх зарахування до суми вкладу та подальший розрахунок доходу немає від початкової, як від накопиченої суми вкладу. Капіталізація відбувається який завжди, і з деякою періодичністю. Як правило, такі періоди рівні і найчастіше банки використовують місяць, квартал чи рік.

Припустимо, що ми кладемо ті самі рублі по річних, але з щомісячною капіталізацією вкладу. Що в нас виходить?

Чи все тобі тут зрозуміло? Якщо ні, то давай розбиратися поетапно.

Ми принесли до банку карбованців. До кінця місяця у нас на рахунку має з'явитися сума, що складається з наших рублів плюс відсотків за ними, тобто:

Згоден?

Ми можемо винести за дужку, і тоді ми отримаємо:

Погодься, ця формула вже більше схожа на написану нами на початку. Залишилося розібратися з відсотками

За умови завдання нам сказано про річних. Як ти знаєш, ми не множимо на - ми переводимо відсотки в десяткові дроби, тобто:

Правильно? Зараз ти спитаєш, а звідки взялося число? Дуже просто!
Повторюся: за умови завдання сказано про РІЧНІвідсотки, нарахування яких відбувається Щомісячно. Як ти знаєш, у році місяців, відповідно, банк нараховуватиме нам на місяць частину від річних відсотків:

Зрозумів? А тепер спробуй написати, як виглядатиме ця частина формули, якщо я скажу, що відсотки нараховуються щодня.
Впорався? Давай порівняємо результати:

Молодець! Повернімося до нашого завдання: напиши скільки буде нараховано на наш рахунок на другий місяць, з урахуванням, що відсотки нараховуються на накопичену суму вкладу.
Ось що вийшло у мене:

Або, іншими словами:

Я думаю, що ти вже помітив закономірність і побачив у цьому геометричну прогресію. Напиши, чому дорівнюватиме її член, або, іншими словами, яку суму коштів ми отримаємо наприкінці місяця.
Зробив? Перевіряємо!

Як ти бачиш, якщо ти кладеш гроші у банк на рік під простий відсоток, то ти отримаєш карбованців, а якщо під складний – карбованців. Вигода невелика, але так відбувається тільки протягом року, а ось на більш тривалий період капіталізація набагато вигідніша:

Розглянемо ще один тип завдань на складні відсотки. Після того, в чому ти розібрався, це буде для тебе просто. Отже, завдання:

Компанія «Зірка» почала інвестувати у галузь 2000 року, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2001 року, вона отримує прибуток, який складає від капіталу попереднього року. Скільки прибутку отримає компанія «Зірка» після закінчення 2003 року, якщо прибуток з обороту не вилучався?

Капітал компанії «Зірка» у 2000 році.
- капітал компанії «Зірка» у 2001 році.
- капітал компанії «Зірка» у 2002 році.
- капітал компанії «Зірка» у 2003 році.

Або ми можемо написати коротко:

Для нашого випадку:

2000 рік, 2001 рік, 2002 рік та 2003 рік.

Відповідно:
рублів
Зауваж, у цьому задачі ми не маємо поділу ні на, ні на, тому що відсоток дано ЩОРІЧНИЙ і нараховується він ЩОРІЧНО. Тобто, читаючи завдання на складні відсотки, зверни увагу, який відсоток дано, і в який період він нараховується, і лише потім приступай до обчислень.
Тепер ти знаєш про геометричну прогресію все.

Тренування.

1. Знайдіть член геометричної прогресії, якщо відомо, що,
2. Знайдіть суму перших членів геометричної прогресії, якщо відомо, що, а
3. Компанія «МДМ Капітал» почала інвестувати у галузь 2003 року, маючи капітал доларів. Щороку, починаючи з 2004 року, вона отримує прибуток, який складає від капіталу попереднього року. Компанія «МСК Грошові потоки» почала інвестувати в галузь у 2005 році у розмірі 10000 доларів, починаючи отримувати прибуток з 2006 року у розмірі. На скільки доларів капітал однієї компанії більше за іншу після закінчення 2007 року, якщо прибуток з обороту не вилучався?

Відповіді:

1. Так як за умови завдання не сказано, що прогресія нескінченна і потрібно знайти суму конкретної кількості її членів, то розрахунок йде за формулою:
2. 
   Компанія «МДМ Капітал»:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007 року.
   - Збільшується на 100%, тобто у 2 рази.
   Відповідно:
   рублів
   Компанія «МСК Грошові потоки»:

   2005, 2006, 2007 року.
   - Збільшується на, тобто в рази.
   Відповідно:
   рублів
   рублів

Підведемо підсумки.

1) Геометрична прогресія ( ) - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

2) Рівняння членів геометричної прогресії - .

3) може набувати будь-яких значень, крім і.

• якщо всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні;
• якщо, то всі наступні члени прогресії чергують знаки;
• при - прогресія називається нескінченно спадаючою.

4) , при - властивість геометричної прогресії (сусідні члени)

або
, при (рівновіддалені члени)

При знаходженні не варто забувати про те, що відповіді має бути дві.

Наприклад,

5) Сума членів геометричної прогресії обчислюється за такою формулою:
або

Якщо прогресія є нескінченно спадною, то:
або

ВАЖЛИВО!Формулу суми членів нескінченно спадаючою геометричної прогресії ми використовуємо лише тому випадку, якщо в умові явно зазначено, що необхідно знайти суму нескінченного числа членів.

6) Завдання на складні відсотки також обчислюються за формулою -го члена геометричної прогресії, за умови, що грошові коштиз обороту не вилучалися:

ГЕОМЕТРИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Геометрична прогресія( ) - це числова послідовність, перший член якої відмінний від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число. Це число називають знаменником геометричної прогресії.

Знаменник геометричної прогресіїможе приймати будь-які значення, крім в.

• Якщо всі наступні члени прогресії мають однаковий знак - вони позитивні;
• якщо, то наступні члени прогресії чергують знаки;
• при - прогресія називається нескінченно спадаючою.

Рівняння членів геометричної прогресії - .

Сума членів геометричної прогресіїобчислюється за такою формулою:
або

>>Математика: Геометрична прогресія

Для зручності читача цей параграф будується точно за тим самим планом, якого ми дотримувались у попередньому параграфі.

1. Основні поняття.

Визначення.Числову послідовність, всі члени якої відмінні від 0 і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням його на одне і те число називають геометричною прогресією . У цьому число 5 називають знаменником геометричної прогресії.

Таким чином, геометрична прогресія - це числова послідовність (b n), задана рекурентними співвідношеннями

Чи можна, дивлячись на числову послідовність, визначити, чи є геометричною прогресією? Можна, можливо. Якщо ви переконалися в тому, що відношення будь-якого члена послідовності до попереднього члена постійно перед вами - геометрична прогресія.
приклад 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.

приклад 2.

Це геометрична прогресія, у якої
приклад 3.

Це геометрична прогресія, у якої
приклад 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Це геометрична прогресія, яка має b 1 - 8, q = 1.

Зауважимо, що ця послідовність є і арифметичною прогресією (див. приклад 3 § 15).

Приклад 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Це геометрична прогресія, яка має b 1 = 2, q = -1.

Очевидно, що геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q > 1 (див. приклад 1), і спадною, якщо b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Для позначення того, що послідовність (b n) є геометричною прогресією, іноді буває зручним наступний запис:

Значок замінює словосполучення геометрична прогресія.
Зазначимо одну цікаву і водночас досить очевидну властивість геометричної прогресії:
Якщо послідовність є геометричною прогресією, те й послідовність квадратів, тобто. є геометричною прогресією.
У другій геометричній прогресії перший член дорівнює q 2 .
Якщо в геометричній прогресії відкинути всі члени, які йдуть за b n , то вийде кінцева геометрична прогресія
У подальших пунктах цього параграфа ми розглянемо найважливіші властивості геометричної прогресії.

2. Формула п-го члена геометричної прогресії.

Розглянемо геометричну прогресію знаменником q. Маємо:

Неважко здогадатися, що для будь-якого номера n справедлива рівність

Це – формула n-го члена геометричної прогресії.

Зауваження.

Якщо ви прочитали важливе зауваження з попереднього параграфа і зрозуміли його, спробуйте довести формулу (1) методом математичної індукціїподібно до того, як це було зроблено для формули n-го члена арифметичної прогресії.

Перепишемо формулу n-го члена геометричної прогресії

і введемо позначення: Отримаємо у = mq 2 або, докладніше,
Аргумент х міститься у показнику ступеня, тому таку функцію називають показовою функцією. Отже, геометричну прогресію можна як показову функцію, задану на безлічі N натуральних чисел . На рис. 96а зображено графік функції рис. 966 - графік функції В обох випадках маємо ізольовані точки(з абсцисами х = 1, х = 2, х = 3 і т.д.), що лежать на деякій кривій (на обох малюнках представлена ​​та сама крива, тільки по-різному розташована і зображена в різних масштабах). Цю криву називають експонентою. Докладніше про показової функціїта її графіку мова піде в курсі алгебри 11-го класу.

Повернемося до прикладів 1-5 із попереднього пункту.

1) 1, 3, 9, 27, 81, ... . Це геометрична прогресія, яка має Ь 1 = 1, q = 3. Складемо формулу n-го члена
2) Це геометрична прогресія, у якої складемо формулу n-го члена

Це геометрична прогресія, у якої Складемо формулу n-го члена
4) 8, 8, 8, …, 8, …. Це геометрична прогресія, у якої b 1 = 8, q = 1. Складемо формулу n-го члена
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2, .... Це геометрична прогресія, у якої b 1 = 2, q = -1. Складемо формулу n-го члена

Приклад 6.

Дано геометричну прогресію

У всіх випадках в основі рішення лежить формула n-го члена геометричної прогресії

а) Поклавши у формулі n-го члена геометричної прогресії n = 6, отримаємо

б) Маємо

Так як 512 = 29, то отримуємо п - 1 = 9, п = 10.

г) Маємо

Приклад 7.

Різниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 48, сума п'ятого та шостого членів прогресії також дорівнює 48. Знайти дванадцятий член цієї прогресії.

Перший етап.Складання математичної моделі.

Умови завдання можна коротко записати так:

Скориставшись формулою n-го члена геометричної прогресії, отримаємо:
Тоді другу умову задачі (b 7 - b 5 = 48) можна записати у вигляді

Третє умова завдання (b 5 +b 6 = 48) можна записати як

У результаті отримуємо систему двох рівнянь із двома змінними b 1 і q:

яка в поєднанні із записаною вище умовою 1) і являє собою математичну модельзавдання.

Другий етап.

Робота із складеною моделлю. Прирівнявши ліві частини обох рівнянь системи, отримаємо:

(Ми розділили обидві частини рівняння на вираз b 1 q 4 відмінне від нуля).

З рівняння q 2 - q - 2 = 0 знаходимо q 1 = 2, q 2 = -1. Підставивши значення q = 2 у друге рівняння системи, отримаємо
Підставивши значення q = -1 у друге рівняння системи отримаємо b 1 1 0 = 48; це рівняння немає рішень.

Отже, b 1 =1, q = 2 – ця пара є рішенням складеної системи рівнянь.

Тепер ми можемо записати геометричну прогресію, про яку йдеться у завданні: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Третій етап.

Відповідь питанням завдання. Потрібно обчислити b12. Маємо

Відповідь: b 12 = 2048.

3. Формула суми членів кінцевої геометричної прогресії.

Нехай дана кінцева геометрична прогресія

Позначимо через S n суму її членів, тобто.

Виведемо формулу для відшукання цієї суми.

Почнемо з самого простого випадкуколи q = 1. Тоді геометрична прогресія b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn складається з n чисел, рівних b 1 , тобто. прогресія має вигляд b1, b2, b3, ..., b4. Сума цих чисел дорівнює nb1.

Нехай тепер q = 1 Для відшукання S n застосуємо штучний прийом: виконаємо деякі перетворення виразу S n q. Маємо:

Виконуючи перетворення, ми, по-перше, користувалися визначенням геометричної прогресії, згідно з яким (див. третій рядок міркувань); по-друге, додали і відняли від чого значення висловлювання, зрозуміло, не змінилося (див. четвертий рядок міркувань); по-третє, скористалися формулою n-го члена геометричної прогресії:

З формули (1) знаходимо:

Це формула суми n членів геометричної прогресії (для випадку, коли q = 1).

Приклад 8.

Дано кінцеву геометричну прогресію

а) суму членів прогресії; б) суму квадратів її членів.

б) Вище (див. с. 132) ми вже зазначали, що якщо всі члени геометричної прогресії звести в квадрат, то вийде геометрична прогресія з першим членом Ь2 і знаменником q2. Тоді сума шести членів нової прогресії буде обчислюватися за

Приклад 9.

Знайти 8-й член геометричної прогресії, у якої

Фактично ми довели таку теорему.

Числова, послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого Теорема (і останнього, у разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього та наступного членів (характеристичне властивість геометричної прогресії).

Урок та презентація на тему: "Числові послідовності. Геометрична прогресія"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Ступені та коріння Функції та графіки

Діти, сьогодні ми познайомимося з ще одним видом прогресії.
Тема сьогоднішнього заняття – геометрична прогресія.

Геометрична прогресія

Визначення. Числова послідовність, у якій кожен член, починаючи з другого, дорівнює добутку попереднього та деякого фіксованого числа, називається геометричною прогресією.
Задамо нашу послідовність рекурентно: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
де b та q – певні задані числа. Число q називається знаменником прогресії.

приклад. 1,2,4,8,16… Геометрична прогресія, яка має перший член дорівнює одиниці, а $q=2$.

приклад. 8,8,8,8 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює восьми,
а $ q = 1 $.

приклад. 3,-3,3,-3,3… Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює трьом,
а $ q = -1 $.

Геометрична прогресія має властивості монотонності.
Якщо $b_(1)>0$, $q>1$,
то послідовність зростаюча.
Якщо $b_(1)>0$, $0 Послідовність прийнято позначати як $b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n), ...$.

Так само як і в арифметичній прогресії, якщо в геометричній прогресії кількість елементів звичайно, то прогресія називається кінцевою геометричною прогресією.

$b_(1), b_(2), b_(3), ..., b_(n-2), b_(n-1), b_(n)$.
Зазначимо, якщо послідовність є геометричною прогресією, то й послідовність квадратів членів також є геометричною прогресією. У другий послідовність перший член дорівнює $b_(1)^2$, а знаменник дорівнює $q^2$.

Формула n-ого члена геометричної прогресії

Геометричну прогресію можна ставити і в аналітичній формі. Давайте подивимося, як це зробити:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
Ми легко помічаємо закономірність: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
Наша формула називається "формулою n-ого члена геометричної прогресії".

Повернемося до наших прикладів.

приклад. 1,2,4,8,16 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює одиниці,
а $ q = 2 $.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

приклад. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрична прогресія, яка має перший член дорівнює шістнадцяти, а $q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

приклад. 8,8,8,8… Геометрична прогресія, яка має перший член дорівнює восьми, а $q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

приклад. 3,-3,3,-3,3 ... Геометрична прогресія, у якої перший член дорівнює трьом, а $ q = -1 $.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

приклад. Дано геометричну прогресію $b_(1), b_(2), …, b_(n), … $.
а) Відомо, що $ b_ (1) = 6, q = 3 $. Знайти $b_(5)$.
б) Відомо, що $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. Знайти n.
в) Відомо, що $q=-2, b_(6)=96$. Знайти $b_(1)$.
р) Відомо,що $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. Знайти q.

Рішення.
а) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$,оскільки $2^7=128 => n-1=7; n = 8 $.
в) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
р) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

приклад. Різниця між сьомим і п'ятим членами геометричної прогресії дорівнює 192, сума п'ятого та шостого члена прогресії дорівнює 192. Знайти десятий член цієї прогресії.

Рішення.
Нам відомо, що $b_(7)-b_(5)=192$ і $b_(5)+b_(6)=192$.
Ми також знаємо: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
Тоді:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
Отримали систему рівнянь:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
Прирівнявши, наші рівняння отримаємо:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Отримали два рішення q: $q_(1)=2, q_(2)=-1$.
Послідовно підставимо на друге рівняння:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ немає рішень.
Отримали що $b_(1)=4, q=2$.
Знайдемо десятий член: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

Сума кінцевої геометричної прогресії

Нехай ми маємо кінцеву геометричну прогресію. Давайте, як і для арифметичної прогресії, порахуємо суму її членів.

Нехай дано кінцеву геометричну прогресію: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
Введемо позначення суми її членів: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
Якщо $q=1$. Усі члени геометричної прогресії дорівнюють першому члену, тоді очевидно, що $S_(n)=n*b_(1)$.
Розглянемо тепер випадок $q≠1$.
Помножимо зазначену вище суму на q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
Зауважимо:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

Ми отримали формулу суми кінцевої геометричної прогресії.

приклад.
Знайти суму перших семи членів геометричної прогресії, яка має перший член дорівнює 4, а знаменник 3.

Рішення.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

приклад.
Знайти п'ятий член геометричної прогресії, яку відомо: $b_(1)=-3$; $ b_ (n) = -3072 $; $ S_ (n) = -4095 $.

Рішення.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$ q ^ (n-1) = 1024 $.
$q^(n)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095 (q-1) = -3 * (1024q-1) $.
$1365q-1365=1024q-1$.
$ 341q = 1364 $.
$ q = 4 $.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Характеристична властивість геометричної прогресії

Хлопці, дано геометрична прогресія. Давайте розглянемо три послідовні її члени: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
Ми знаємо, що:
$ \ frac (b_ (n)) (q) = b_ (n-1) $.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
Тоді:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Якщо прогресія кінцева, це рівність виконується всім членів, крім першого і останнього.
Якщо заздалегідь невідомо, який вид у послідовності, але відомо що $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
Тоді можна сміливо казати, що це геометрична прогресія.

Числова послідовність є геометричною прогресією, коли квадрат кожного її члена дорівнює добутку двох сусідніх із нею членів прогресії. Не забуваймо, що для кінцевої прогресії ця умова не виконується для першого та останнього члена.

Давайте подивимося на це тотожність: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ називається середнім геометричним чисел a та b.

Модуль будь-якого члена геометричної прогресії дорівнює середньому геометричному двох сусідніх із ним членів.

приклад.
Знайти такі х, щоб $х+2; 2x+2; 3x+3$ були трьома послідовними членами геометричної прогресії.

Рішення.
Скористаємося характеристичною властивістю:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ і $x_(2)=-1$.
Підставимо послідовно у вихідні вирази, наші рішення:
При $x=2$, отримали послідовність: 4;6;9 – геометрична прогресія, яка $q=1,5$.
При $х=-1$ отримали послідовність: 1;0;0.
Відповідь: $х=2.$

Завдання для самостійного вирішення

1. Знайдіть восьмий перший член геометричної прогресії 16; -8; 4; -2 ... .
2. Знайдіть десятий член геометричної прогресії 11,22,44….
3. Відомо, що $b_(1)=5, q=3$. Знайти $b_(7)$.
4. Відомо, що $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. Знайти n.
5. Знайдіть суму перших 11 членів геометричної прогресії 3; 12; 48 ... .
6. Знайти такі х що $3х+4; 2x+4; x+5$ є трьома послідовними членами геометричної прогресії.

Математика – це те, за допомогою чоголюди керують природою та собою.

Радянський математик, академік О.М. Колмогоров

Геометрична прогресія.

Поряд із завданнями на арифметичні прогресії також поширеними на вступних випробуваннях з математики є завдання, пов'язані з поняттям геометричної прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно знати властивості геометричної прогресії та мати гарні навички їх використання.

Ця стаття присвячена викладу основних властивостей геометричної прогресії. Тут також наводяться приклади вирішення типових завдань, запозичених із завдань вступних випробувань з математики.

Попередньо відзначимо основні властивості геометричної прогресії та нагадаємо найбільш важливі формули та затвердження, пов'язані з цим поняттям.

Визначення.Числова послідовність називається геометричною прогресією, якщо кожне її число, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число . Число називається знаменником геометричної прогресії.

Для геометричної прогресіїсправедливі формули

, (1)

де. Формула (1) називається формулою загального члена геометричної прогресії, а формула (2) є основною властивістю геометричної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім геометричним своїх сусідніх членів і .

Зазначимо, що саме через цю властивість аналізована прогресія називається «геометричною».

Наведені вище формули (1) та (2) узагальнюються наступним чином:

, (3)

Для обчислення сумиперших членів геометричної прогресіїзастосовується формула

Якщо позначити, то

де. Оскільки формула (6) є узагальненням формули (5).

У тому випадку , коли і , геометрична прогресіяє нескінченно спадаючою. Для обчислення сумивсіх членів нескінченно спадної геометричної прогресії використовується формула

. (7)

Наприклад, за допомогою формули (7) можна показати, що

де. Дані рівності отримані з формули (7) за умови, що , (перша рівність) та , (друга рівність).

Теорема.Якщо то

Доведення. Якщо то ,

Теорему доведено.

Перейдемо до розгляду прикладів розв'язання задач на тему «Геометрична прогресія».

приклад 1.Дано: , і . Знайти.

Рішення.Якщо застосувати формулу (5), то

Відповідь: .

приклад 2.Нехай і. Знайти.

Рішення.Так як і , то скористаємося формулами (5), (6) і отримаємо систему рівнянь

Якщо друге рівняння системи (9) поділити на перше, або . Звідси випливає і . Розглянемо два випадки.

1. Якщо , то з першого рівняння системи (9) маємо.

2. Якщо, то.

приклад 3.Нехай, і. Знайти.

Рішення.З формули (2) випливає, що або . Так як , то чи .

За умовою . Однак, тому. Оскільки і , то тут маємо систему рівнянь

Якщо друге рівняння системи поділити на перше, то або .

Так як, то рівняння має єдиний відповідний корінь. У такому разі з першого рівняння системи випливає.

Зважаючи на формулу (7), отримуємо.

Відповідь: .

приклад 4.Дано: і . Знайти.

Рішення.Так як, то.

Оскільки , то чи

Відповідно до формули (2) маємо . У цьому зв'язку з рівності (10) отримуємо або .

Однак за умовою, тому.

Приклад 5.Відомо що . Знайти.

Рішення. Відповідно до теореми маємо дві рівності

Так як , то чи . Оскільки, то.

Відповідь: .

Приклад 6.Дано: і . Знайти.

Рішення.Беручи до уваги формулу (5), отримуємо

Так як, то. Оскільки, і, то.

Приклад 7.Нехай і. Знайти.

Рішення.Згідно з формулою (1) можна записати

Отже, маємо або . Відомо, що , тому і .

Відповідь: .

Приклад 8.Знайти знаменник нескінченної спадної геометричної прогресії, якщо

та .

Рішення. З формули (7) випливаєі . Звідси і з умови завдання отримуємо систему рівнянь

Якщо перше рівняння системи звести у квадрат, а потім отримане рівняння розділити на друге рівняння, то отримаємо

Або.

Відповідь: .

Приклад 9.Знайти всі значення , у яких послідовність , , є геометричної прогресією.

Рішення.Нехай, і. Згідно з формулою (2), яка задає основну властивість геометричній прогресії, можна записати або .

Звідси отримуємо квадратне рівняння, корінням якого єта .

Виконаємо перевірку: якщо, то , та ;

якщо, то, і.У першому випадку маємо

і , а в другому - і .

Відповідь: , .Приклад 10

, (11)

Вирішити рівняння

де і . Рішення.Ліва частина

З формули (7) випливає, що рівняння (11) являє собою суму нескінченної спадної геометричної прогресії, в якій і за умови: і .. У зв'язку з цим рівняння (11) набуває вигляду або . Відповідним коренемквадратного рівняння

Відповідь: .

єПриклад 11. П послідовність позитивних чиселутворює арифметичну прогресію , а– геометричну прогресію

Рішення., причому тут . Знайти. Так якарифметична послідовність , то(Основна властивість арифметичної прогресії). Оскільки , або . Звідси випливає ,що геометрична прогресія має вигляд. Згідно з формулою (2)

далі запишемо, що. Так як і , то. У такому разі вираз набуває вигляду або . За умовою ,тому з рівнянняотримуємо єдине рішення розглянутої задачі

Відповідь: .

, тобто. .Приклад 12

. (12)

Рішення. Обчислити суму

Помножимо на 5 обидві частини рівності (12) та отримаємоарифметична послідовність

Якщо від отриманого виразу відняти (12)

або .

Відповідь: .

Для обчислення підставимо у формулу (7) значення і отримаємо . Так як, то., Наведені тут приклади вирішення завдань будуть корисні абітурієнтам під час підготовки до вступних випробувань. Для більш глибокого вивчення методів розв'язання задач, пов'язаних з геометричною прогресією можна використовуватинавчальні посібники

зі списку літератури, що рекомендується.

1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с. 2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділишкільної програми. - М.: Ленанд / URSS

, 2014. - 216 с. 3. Мединський М.М.елементарної математики у завданнях та вправах. Книга 2: Числові послідовностіта прогресії. - М.: Едітус, 2015. - 208 с.

Залишились питання?

Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Це число називається знаменником геометричної прогресії, тобто кожен член відрізняється від попереднього q разів. (Вважатимемо, що q ≠ 1, інакше все аж надто тривіально). Неважко бачити, що загальна формула n-го члена геометричної прогресії b n = b 1 q n - 1; члени з номерами b n та b m відрізняються у q n – m разів.

Вже в Стародавньому Єгиптізнали як арифметичну, а й геометричну прогресію. Ось, наприклад, завдання з папірусу Райнда: «У семи осіб по сім котів; кожна кішка з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колосу може вирости по сім заходів ячменю. Які великі числа цього ряду та їх сума?»

Мал. 1. Давньоєгипетське завдання про геометричну прогресію

Це завдання багато разів з різними варіаціями повторювалося і в інших народів за інших часів. Наприклад, у написаній у XIII ст. «Книзі про абака» Леонардо Пизанського (Фібоначчі) є завдання, в якому фігурують 7 старих, що прямують до Риму (очевидно, паломниць), у кожної з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, у кожному з яких по 7 хлібів , у кожному з яких по 7 ножів, кожен з яких у 7 піхвах. У задачі питається, скільки всього предметів.

Сума перших членів n членів геометричної прогресії S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Цю формулу можна довести, наприклад: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 .

Додамо до S n число b 1 q n і отримаємо:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n -1) q = b 1 + S n q.

Звідси S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) і ми отримуємо необхідну формулу.

Вже на одній із глиняних табличок Стародавнього Вавилону, що відноситься до VI ст. до зв. е., міститься сума 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Правда, як і в інших випадках ми не знаємо, звідки цей факт був відомий вавилонянам.

Швидке зростання геометричної прогресії у низці культур, – зокрема, в індійській, – неодноразово використовують як наочний символ неоглядності світобудови. У відомій легенді про появу шахів володар надає їх винахіднику можливість самому обрати нагороду, і той просить таку кількість пшеничних зерен, яку вдасться, якщо одне покласти на першу клітинку шахової дошки, два – на другу, чотири – на третю, вісім – на четверту та т. д., щоразу число збільшується вдвічі. Владика думав, що йдеться, найбільше, про кілька мішок, але він прорахувався. Неважко бачити, що за всі 64 клітини шахівниці винахідник мав би отримати (2 64 – 1) зерно, що виражається 20-значним числом; навіть якщо засівати всю поверхню Землі, знадобилося б не менше 8 років, щоб зібрати необхідна кількістьзерен. Цю легенду іноді інтерпретують як вказівку на практично необмежені можливості, приховані у шахівниці.

Те, що це число справді 20-значне, побачити неважко:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (точніший розрахунок дає 1,84∙10 19). А ось цікаво, чи зможете ви дізнатися, якою цифрою закінчується це число?

Геометрична прогресія буває зростаючою, якщо знаменник за модулем більше 1, або спадною, якщо він менший за одиницю. В останньому випадку число q n при досить великих n може стати як завгодно малим. У той час як зростаюча геометрична прогресія зростає несподівано швидко, спадаюча так само швидко зменшується.

Чим більше n , тим слабше число q n відрізняється від нуля, і тим ближче сума n членів геометричної прогресії S n = b 1 (1 - q n ) / (1 - q ) до S = b 1 / (1 - q ) . (Так міркував, наприклад, Ф. Вієт). Число S називається сумою нескінченно спадної геометричної прогресії. Тим не менш, довгі століття питання про те, який сенс має підсумовування всієї геометричної прогресії, з її нескінченним числом членів, не був досить зрозумілий математикам.

Зменшуючу геометричну прогресію можна побачити, наприклад, в апоріях Зенона «Поділ навпіл» і «Ахіллес і черепаха». У першому випадку наочно показується, що вся дорога (припустимо, довжини 1) є сумою нескінченної кількості відрізків 1/2, 1/4, 1/8 і т. д. Так воно, звичайно, і є з точки зору уявлень про кінцеву суму нескінченної геометричної прогресії. І все-таки – як таке може бути?

Мал. 2. Прогресія з коефіцієнтом 1/2

В апорії про Ахіллеса ситуація трохи складніша, тому що тут знаменник прогресії дорівнює не 1/2, а якомусь іншому числу. Нехай, наприклад, Ахіллес біжить зі швидкістю v, черепаха рухається зі швидкістю u, а початкова відстань між ними дорівнює l. Ця відстань Ахіллес пробіжить за час l/v, черепаха за цей час зрушить на відстань lu/v. Коли Ахіллес пробіжить і цей відрізок, дистанція між ним і черепахою стане рівною l (u /v ) 2 і т. д. Виходить, що наздогнати черепаху - означає знайти суму нескінченно спадної геометричної прогресії з першим членом l і знаменником u /v . Ця сума - відрізок, який в результаті пробіжить Ахілес до місця зустрічі з черепахою - дорівнює l / (1 - u / v) = lv / (v - u). Але, знову ж таки, як треба інтерпретувати цей результат і чому він взагалі має якийсь сенс, довгий час було не дуже зрозумілим.

Мал. 3. Геометрична прогресія з коефіцієнтом 2/3

Суму геометричної прогресії використовував Архімед щодо площі сегмента параболи. Нехай даний сегмент параболи відмежований хордою AB і нехай у точці D параболи дотична паралельна AB. Нехай C – середина AB, E – середина AC, F – середина CB. Проведемо прямі, паралельні DC через точки A , E , F , B ; нехай дотичну, проведену в точці D, ці прямі перетинають у точках K, L, M, N. Проведемо також відрізки AD і DB. Нехай пряма EL перетинає пряму AD у точці G, а параболу у точці H; пряма FM перетинає пряму DB у точці Q, а параболу у точці R. Згідно загальної теоріїконічних перерізів, DC – діаметр параболи (тобто відрізок, паралельний її осі); він і дотична в точці D можуть бути осями координат x і y , в яких рівняння параболи записується як y 2 = 2px (x – відстань від D до будь-якої точки даного діаметра, y – довжина паралельного даної дотичної відрізка від цієї точки діаметра до деякої точки на самій параболі).

Через рівняння параболи, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , а оскільки DK = 2DL , то KA = 4LH . Оскільки KA = 2LG, LH = HG. Площа сегмента ADB параболи дорівнює площі трикутника ADB і площам сегментів AHD і DRB, разом узятих. У свою чергу, площа сегмента AHD аналогічним чином дорівнює площі трикутника AHD і сегментів AH і HD, що залишилися, з кожним з яких можна провести ту ж операцію - розбити на трикутник (Δ) і два залишилися сегмента (), і т. д.:

Площа трикутника ΔAHD дорівнює половині площі трикутника ΔALD (у них загальна основа AD , а висоти відрізняються в 2 рази), яка, у свою чергу, дорівнює половині площі трикутника ΔAKD , а отже, і половині площі трикутника ΔACD . Таким чином, площа трикутника AHD дорівнює чверті площі трикутника ACD . Аналогічно, площа трикутника ΔDRB дорівнює чверті площі трикутника ΔDFB. Отже, площі трикутників AHD і DRB, разом узяті, рівні чверті площі трикутника ADB. Повторення цієї операції у застосуванні до сегментів AH , HD , DR і RB виділить і з них трикутники, площа яких, разом узятих, буде в 4 рази менше, ніж площа трикутників AHD і DRB , разом узятих, а значить, в 16 разів менше, ніж площі трикутника ADB . І так далі:

Таким чином, Архімед довів, що «будь-який сегмент, укладений між прямою і параболою, становить чотири третини трикутника, що має з ним одну і ту ж основу і рівну висоту».