Вирішення системи нормальних рівнянь матричним способом. Розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри за допомогою зворотної матриці

Застосування рівнянь поширене у житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Рівняння людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Матричний метод дозволяє знаходити рішення СЛАУ (система лінійних алгебраїчних рівнянь) будь-якої складності. Весь процес рішення СЛАУ зводиться до двох основних дій:

Визначення зворотної матриці на основі головної матриці:

Розмноження отриманої зворотної матриці на вектор-стовпець рішень.

Допустимо, дано СЛАУ наступного виду:

\[\left\(\begin(matrix) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matrix)\right.\]

Почнемо розв'язання даного рівняння з виписування матриці системи:

Матриця правої частини:

Визначимо зворотну матрицю. Знайти матрицю 2-го порядку можна так: 1 - сама матриця повинна бути невиродженою; 2 - її елементи, які знаходяться на головній діагоналі, міняємо місцями, а у елементів побічної діагоналі виконуємо зміну знака на протилежний, після чого виконуємо розподіл отриманих елементів на визначник матриці. Отримаємо:

\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Rightarrow \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix) \]

2 матриці вважаються рівними, якщо дорівнюють їх відповідні елементи. У результаті маємо наступну відповідь рішення СЛАУ:

Де можна вирішити систему рівнянь матричним методом онлайн?

Вирішити систему рівнянь ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити рівняння онлайн будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете дізнатися, як вирішити рівняння на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у нашій групі Вконтакте.

Тема 2. СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ.

Основні поняття.

Визначення 1. Системою mлінійних рівнянь з nневідомими називається система виду:

де і – числа.

Визначення 2. Рішенням системи (I) називається такий набір невідомих , у якому кожне рівняння цієї системи перетворюється на тотожність.

Визначення 3. Система (I) називається спільноїякщо вона має хоча б одне рішення і несуміснийякщо вона не має рішень. Спільна система називається певною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеноюв іншому випадку.

Визначення 4. Рівняння виду

називається нульовим, а рівняння виду

називається несумісним. Очевидно, що система рівнянь, що містить несумісне рівняння, є несумісною.

Визначення 5. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо кожне рішення однієї системи є рішенням іншої і, навпаки, будь-яке рішення другої системи є рішенням першої.

Матричний запис системи лінійних рівнянь.

Розглянемо систему (I) (див. §1).

Позначимо:

Матриця коефіцієнтів при невідомих

Матриця – стовпець вільних членів

Матриця – стовпець невідомих

.

Визначення 1.Матриця називається основною матрицею системи(I), а матриця – розширеною матрицею системи (I).

За визначенням рівності матриць системі (I) відповідає матрична рівність:

.

Праву частину цієї рівності з визначення твору матриць ( див. визначення 3 § 5 глави 1) можна розкласти на множники:

, тобто.

Рівність (2) називається матричним записом системи (I).

Вирішення системи лінійних рівнянь методом Крамера.

Нехай у системі (I) (див. §1) m=n, тобто. число рівнянь дорівнює кількості невідомих, і основна матриця системи невироджена, тобто. . Тоді система (I) §1 має єдине рішення

де Δ = det Aназивається головним визначником системи(I), Δ iвиходить із визначника Δ заміною i-го стовпця на стовпець із вільних членів системи (I)

Приклад. Вирішити систему методом Крамера:

.

За формулами (3) .

Обчислюємо визначники системи:

,

,

.

Щоб отримати визначник, ми замінили у визначнику перший стовпець на стовпець із вільних членів; замінюючи в визначнику другий стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо; аналогічно, замінюючи в визначнику третій стовпець на стовпець з вільних членів, отримуємо . Рішення системи:

Вирішення систем лінійних рівнянь за допомогою зворотної матриці.

Нехай у системі(I) (див. §1) m=nі основна матриця системи невироджена. Запишемо систему (I) у матричному вигляді ( див. §2):

т.к. матриця Aневироджена, вона має зворотну матрицю ( див. теорему 1 §6 глави 1). Помножимо обидві частини рівності (2) на матрицю , тоді

За визначенням зворотної матриці. З рівності (3) маємо

Вирішити систему за допомогою зворотної матриці

.

Позначимо

У прикладі (§ 3) ми обчислили визначник , отже, матриця Aмає зворотну матрицю. Тоді в силу (4) , тобто.

. (5)

Знайдемо матрицю ( див. §6 глави 1)

, , ,

, , ,

,

.

Метод Гауса.

Нехай задана система лінійних рівнянь:

. (I)

Потрібно знайти всі рішення системи (I) або переконатися, що система несовместна.

Визначення 1.Назвемо елементарним перетворенням системи(I) будь-яка з трьох дій:

1) креслення нульового рівняння;

2) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на число l;

3) зміна місцями доданків у рівняннях системи те щоб невідомі з однаковими номерами переважають у всіх рівняннях займали однакові місця, тобто. якщо, наприклад, у 1-му рівнянні ми змінили 2-е і 3-є доданки, тоді те саме потрібно зробити у всіх рівняннях системи.

Метод Гаусса полягає в тому, що система (I) за допомогою елементарних перетворень приводиться до рівносильної системи, розв'язання якої безпосередньо або встановлюється її нерозв'язність.

Як було описано в §2 система (I) однозначно визначається своєю розширеною матрицею і будь-яке елементарне перетворення системи (I) відповідає елементарному перетворенню розширеної матриці:

.

Перетворення 1) відповідає викресленню нульового рядка в матриці, перетворення 2) рівносильне доданню до відповідного рядка матриці іншого її рядка, помноженого на число l, перетворення 3) еквівалентно перестановці стовпців у матриці.

Легко бачити, що, навпаки, кожному елементарне перетворення матриці відповідає елементарне перетворення системи (I). В силу сказаного, замість операцій із системою (I) ми працюватимемо з розширеною матрицею цієї системи.

У матриці перший стовпець складається з коефіцієнтів при х 1, Другий стовпець - з коефіцієнтів при х 2і т.д. У разі перестановки стовпців слід враховувати, що ця умова порушується. Наприклад, якщо ми поміняємо перший і другий стовпці місцями, то тепер в першому стовпці будуть коефіцієнти при х 2, а у 2-му стовпці - коефіцієнти при х 1.

Розв'язуватимемо систему (I) методом Гауса.

1. Викреслимо у матриці всі нульові рядки, якщо такі є (тобто викреслимо в системі (I) усі нульові рівняння).

2. Перевіримо, чи є серед рядків матриці рядок, у якому всі елементи, крім останнього, дорівнюють нулю (назвемо такий рядок несумісним). Очевидно, що такому рядку відповідає несумісне рівняння в системі (I), отже система (I) рішень не має і на цьому процес закінчується.

3. Нехай матриця не містить несумісних рядків (система (I) не містить несумісних рівнянь). Якщо a 11 = 0, то знаходимо в 1-му рядку якийсь елемент (крім останнього) відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб у 1-му рядку на 1-му місці не було нуля. Тепер вважатимемо, що (тобто. поміняємо місцями відповідні доданки у рівняннях системи (I)).

4. Помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 2-м рядком, потім помножимо 1-ий рядок на і складемо результат з 3-м рядком і т.д. Очевидно, що цей процес еквівалентний виключенню невідомого x 1із усіх рівнянь системи (I), крім одного. У новій матриці отримуємо нулі в 1-му стовпці під елементом a 11:

.

5. Викреслимо у матриці всі нульові рядки, якщо вони є, перевіримо, чи немає несумісного рядка (якщо вона є, то система несумісна і на цьому рішення закінчується). Перевіримо, чи буде a 22 / = 0Якщо так, то знаходимо у другому рядку елемент, відмінний від нуля і переставляємо стовпці так, щоб . Далі множимо елементи 2-го рядка на і складаємо з відповідними елементами 3-го рядка, потім - елементи 2-го рядка і складаємо з відповідними елементами 4-го рядка і т.д., поки не отримаємо нулі під a 22 /

.

Зроблені дії еквівалентні виключенню невідомого х 2з усіх рівнянь системи (I), крім 1-го та 2-го. Так як число рядків звичайно, тому через кінцеве число кроків ми отримаємо, що система несумісна, або ми прийдемо до ступінчастої матриці ( див. визначення 2 §7 глави 1) :

,

Випишемо систему рівнянь, що відповідає матриці . Ця система рівносильна системі (I)

.

З останнього рівняння виражаємо; підставляємо в попереднє рівняння, знаходимо і т.д., доки не отримаємо .

Зауваження 1.Таким чином, при вирішенні системи (I) методом Гауса ми приходимо до одного з таких випадків.

1. Система (I) несумісна.

2. Система (I) має єдине рішення, якщо в матриці число рядків дорівнює числу невідомих ().

3. Система (I) має безліч рішень, якщо число рядків у матриці менше числаневідомих ().

Звідси має місце така теорема.

Теорема.Система лінійних рівнянь або несумісна, або має єдине рішення, або - безліч рішень.

приклади. Розв'язати систему рівнянь методом Гауса або довести її несумісність:

б) ;

а) Перепишемо задану систему у вигляді:

.

Ми поміняли місцями перше і друге рівняння вихідної системи, щоб спростити обчислення (замість дробів ми за допомогою такої перестановки будемо оперувати тільки цілими числами).

Складаємо розширену матрицю:

.

Нульових рядків немає; несумісних рядків немає; виключимо перше невідоме з усіх рівнянь системи, крім одного. Для цього помножимо елементи 1-го рядка матриці на «-2» і складемо з відповідними елементами 2-го рядка, що рівнозначно множення 1-го рівняння на «-2» і додавання з 2-м рівнянням. Потім помножимо елементи 1-го рядка «-3» і складемо з відповідними елементами третього рядка, тобто. помножимо 2-е рівняння заданої системи на «-3» і складемо з 3-м рівнянням. Отримаємо

.

Матриці відповідає система рівнянь). - (Див. визначення 3§7 глави 1).

Даний онлайн калькуляторвирішує систему лінійних рівнянь матричним методом. Дається дуже докладне рішення. Щоб вирішити систему лінійних рівнянь, виберіть кількість змінних. Вибирайте спосіб обчислення зворотної матриці. Потім введіть дані в комірки та натискайте на кнопку "Обчислити".

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь

Розглянемо таку систему лінійних рівнянь:

Враховуючи визначення зворотної матриці, маємо A −1 A=E, де E- одинична матриця. Отже (4) можна записати так:

Таким чином, для вирішення системи лінійних рівнянь (1) (або (2)), достатньо помножити зворотну до Aматрицю на вектор обмежень b.

Приклади розв'язання системи лінійних рівнянь матричним методом

Приклад 1. Розв'язати таку систему лінійних рівнянь матричним методом:

Знайдемо зворотний до матриці A методом Жордана-Гаусса. З правої сторониматриці Aзапишемо одиничну матрицю:

Виключимо елементи одного стовпця матриці нижче головної діагоналі. Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -1/3,-1/3 відповідно:

Виключимо елементи 2-го стовпця матриці нижче за головну діагональ. Для цього складемо рядок 3 з рядком 2, помноженим на -24/51:

Виключимо елементи 2-го стовпця матриці вище за головну діагональ. Для цього складемо рядок 1 з рядком 2, помноженим на -3/17:

Відокремлюємо праву частинуматриці. Отримана матриця є зворотною матрицею до A :

Матричний вид запису системи лінійних рівнянь: Ax=b, де

Обчислимо всі алгебраїчні доповнення матриці A:

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Зворотна матриця обчислюється з наступного виразу.

Це поняття, що узагальнює всі можливі операції, які виробляються з матрицями. Математична матриця – таблиця елементів. Про таку таблицю, де mрядків та nстовпців, кажуть, що це матриця має розмірність mна n.

Загальний вигляд матриці:

Для рішення матрицьнеобхідно розуміти, що таке матриця та знати основні її параметри. Основні елементи матриці:

• Головна діагональ, що складається з елементів а 11, а 22 …..а mn.
• Побічна діагональ, що складається з елементів а 1n, а 2n-1 …..а m1.

Основні види матриць:

• Квадратна - така матриця, де число рядків = числу стовпців ( m=n).
• Нульова – де всі елементи матриці = 0.
• Транспонована матриця - матриця У, яка була отримана з вихідної матриці Aшляхом заміни рядків на стовпці.
• Поодинока - всі елементи головної діагоналі = 1, решта = 0.
• Зворотна матриця - матриця, при множенні на яку вихідна матриця дає в результаті поодиноку матрицю.

Матриця може бути симетричною щодо головної та побічної діагоналі. Тобто, якщо а 12 = а 21, а 13 = а 31, .... а 23 = а 32 …. а m-1n = а mn-1то матриця симетрична щодо головної діагоналі. Симетричними можуть лише квадратні матриці.

Методи розв'язання матриць.

Майже все методи вирішення матриціполягають у знаходженні її визначника n-го порядку і більшість їх досить громіздкі. Щоб знайти визначник 2-го та 3-го порядку є інші, більш раціональні способи.

Знаходження визначників 2-го порядку.

Для обчислення визначника матриці А 2го порядку, необхідно від твору елементів головної діагоналі відняти добуток елементів побічної діагоналі:

Методи знаходження визначників 3-го порядку.

Нижче наведено правила знаходження визначника 3го порядку.

Спрощено правило трикутника, як одного з методів вирішення матриць, можна зобразити таким чином:

Іншими словами, добуток елементів у першому визначнику, які з'єднані прямими, береться зі знаком "+"; так само, для 2-го визначника - відповідні твори беруться зі знаком "-", тобто за такою схемою:

При рішенні матриць правилом Саррюса, праворуч від визначника дописують перші 2 стовпці та твори відповідних елементів на головній діагоналі та на діагоналях, які їй паралельні, беруть зі знаком "+"; а твори відповідних елементів побічної діагоналі та діагоналей, які їй паралельні, зі знаком "-":

Розкладання визначника по рядку чи стовпцю під час вирішення матриць.

Визначник дорівнює сумітворів елементів рядка визначника з їхньої алгебраїчні доповнення. Зазвичай вибирають той рядок / стовпець, в якому є нулі. Рядок або стовпець, по якому ведеться розкладання, будуть позначати стрілкою.

Приведення визначника до трикутного вигляду під час вирішення матриць.

При рішенні матрицьЗ допомогою приведення визначника до трикутному виду, працюють так: з допомогою найпростіших перетворень над рядками чи стовпцями, визначник стає трикутного вигляду і тоді його значення, відповідно до властивостями визначника, дорівнюватиме добутку елементів, які стоять на головній діагоналі.

Теорема Лапласа під час вирішення матриць.

Вирішуючи матриці за теоремою Лапласа, необхідно знати безпосередньо саму теорему. Теорема Лапласа: Нехай Δ - це визначник n-го порядку. Вибираємо в ньому будь-які kрядків (або стовпців), за умови k≤ n - 1. У такому разі сума творів усіх мінорів k-го порядку, що містяться у вибраних kрядках (стовпцях), на їх алгебраїчні доповнення дорівнюватиме визначнику.

Вирішення зворотної матриці.

Послідовність дій для рішення зворотної матриці:

1. Зрозуміти, чи квадратна дана матриця. У разі негативної відповіді стає ясно, що зворотної матриці не може бути.
2. Обчислюємо додатки алгебри.
3. Складаємо союзну (взаємну, приєднану) матрицю C.
4. Складаємо зворотну матрицю з алгебраїчних доповнень: всі елементи приєднаної матриці Cділимо на визначник початкової матриці. Підсумкова матриця буде шуканою зворотною матрицею щодо заданої.
5. Перевіряємо виконану роботу: множимо матрицю початкову та отриману матриці, результатом має стати одинична матриця.

Вирішення систем матриць.

Для рішення систем матрицьнайчастіше використовують метод Гаусса.

Метод Гаусса — це стандартний спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь алгебри (СЛАУ) і він полягає в тому, що послідовно виключаються змінні, тобто, за допомогою елементарних змін систему рівнянь доводять до еквівалентної системи трикутного вигляду і з неї, послідовно, починаючи з останніх (за номером) знаходять кожен елемент системи.

Метод Гаусає найбільш універсальним і найкращим інструментомдля знаходження рішення матриць. Якщо у системи безліч рішень або система є несумісною, то її не можна вирішувати за правилом Крамера і матричним методом.

Метод Гауса передбачає також прямий (приведення розширеної матриці до ступінчастого вигляду, тобто отримання нулів під головною діагоналлю) і зворотний (отримання нулів над головною діагоналлю розширеної матриці) ходи. Прямий хід є метод Гаусса, зворотний - метод Гаусса-Жордана. Метод Гауса-Жордана відрізняється від методу Гауса лише послідовністю виключення змінних.

Розглянемо систему лінійних рівнянь алгебри(СЛАУ) щодо nневідомих x 1 , x 2 , ..., x n :

Ця система в "згорнутому" вигляді може бути записана так:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Відповідно до правила множення матриць розглянута система лінійних рівнянь може бути записана в матричній формі Ax=b, де

, ,.

Матриця A, стовпцями якої є коефіцієнти за відповідних невідомих, а рядками - коефіцієнти за невідомих у відповідному рівнянні називається матрицею системи. Матриця-стовпець b, елементами якої є праві частини рівнянь системи, називається матрицею правої частини або просто правою частиною системи. Матриця-стовпець x , елементи якої - шукані невідомі, називається рішенням системи.

Система лінійних рівнянь алгебри, записана у вигляді Ax=b, є матричним рівнянням.

Якщо матриця системи невироджена, то в неї існує зворотна матрицяі тоді вирішення системи Ax=bдається формулою:

x=A -1 b.

прикладВирішити систему матричним способом.

Рішеннязнайдемо зворотну матрицю для матриці коефіцієнтів системи

Обчислимо визначник, розкладаючи по першому рядку:

Оскільки Δ ≠ 0 , то A -1 Існує.

Зворотна матриця знайдена правильно.

Знайдемо рішення системи

Отже, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Перевірка:

7. Теорема Кронекера-Капеллі про спільність системи лінійних рівнянь алгебри.

Система лінійних рівняньмає вигляд:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.

Тут а i j та b i (i = ; j = ) - задані, а x j - невідомі дійсні числа. Використовуючи поняття твору матриць, можна переписати систему (5.1) як:

де A = (а i j) - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих системах (5.1), яка називається матрицею системи, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - вектори-стовпці, складені відповідно з невідомих x j і з вільних членів b i .

Упорядкована сукупність nдійсних чисел (c 1 , c 2 ,..., c n) називається рішенням системи(5.1), якщо в результаті підстановки цих чисел замість відповідних змінних x 1 , x 2 ,..., x n кожне рівняння системи перетворюється на арифметичну тотожність; інакше кажучи, якщо існує вектор C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T такий, що AC  B.

Система (5.1) називається спільної,або можна розв'язати,якщо вона має принаймні одне рішення. Система називається несумісний,або нерозв'язноюякщо вона не має рішень.

,

утворена шляхом приписування праворуч до матриці A стовпця вільних членів, називається розширеною матрицею системи.

Питання спільності системи (5.1) вирішується наступною теоремою.

Теорема Кронекера-Капеллі . Система лінійних рівнянь спільна і тоді, коли ранги матриць A іA збігаються, тобто. r(A) = r(A) = r.

Для безлічі М рішень системи (5.1) є три можливості:

1) M =  (у цьому випадку система несумісна);

2) M складається з одного елемента, тобто. система має єдине рішення (у цьому випадку система називається певною);

3) M складається з більш ніж одного елемента (тоді система називається невизначеною). У третьому випадку система (5.1) має безліч рішень.

Система має єдине рішення лише у тому випадку, коли r(A) = n. При цьому число рівнянь - не менше від числа невідомих (mn); якщо m>n, то m-n рівняньє наслідками інших. Якщо 0

Для вирішення довільної системи лінійних рівнянь потрібно вміти розв'язувати системи, в яких число рівнянь дорівнює числу невідомих, - так звані системи крамерівського типу:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2 (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n.

Системи (5.3) вирішуються одним із таких способів: 1) методом Гаусса, або методом виключення невідомих; 2) за формулами Крамера; 3) матричним способом.

Приклад 2.12. Дослідити систему рівнянь та вирішити її, якщо вона спільна:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1,

x 1 – 3x 2 – 6x 3 + 5x 4 = 0.

Рішення.Виписуємо розширену матрицю системи:

 .

Обчислимо ранг основної матриці системи. Очевидно, що, наприклад, мінор другого порядку в лівому верхньому кутку = 7 0 0; містять його мінори третього порядку дорівнюють нулю:

Отже, ранг основного матриці системи дорівнює 2, тобто. r(A) = 2. Для обчислення рангу розширеної матриці A розглянемо облямовуючий мінор

отже, ранг розширеної матриці r(A) = 3. Оскільки r(A)  r(A), то система несумісна.