Розв'язати систему рівнянь матричним методом гауса. Метод Гауса: опис алгоритму розв'язання системи лінійних рівнянь, приклади, рішення

Продовжуємо розглядати системи лінійних рівнянь. Цей урок є третім на тему. Якщо ви невиразно уявляєте, що таке система лінійних рівнянь взагалі, почуваєтеся чайником, то рекомендую почати з азів на сторінці Далі корисно вивчити урок.

Метод Гауса – це просто!Чому? Відомий німецький математик Йоган Карл Фрідріх Гаусс ще за життя отримав визнання найбільшого математика всіх часів, генія і навіть прізвисько «короля математики». А все геніальне, як відомо просто!До речі, на гроші потрапляють не лише лохи, а ще й генії – портрет Гауса красувався на купюрі в 10 дойчмарок (до введення євро), і Гаус досі загадково посміхається німцям зі звичайних поштових марок.

Метод Гауса простий тим, що для його освоєння ДОСИТЬ ЗНАНЬ П'ЯТИКЛАСНИКА. Необхідно вміти складати та множити!Невипадково метод послідовного виключення невідомих викладачі часто розглядають на шкільних математичних факультативах. Парадокс, але у студентів метод Гауса викликає найбільші складнощі. Нічого дивного – вся річ у методиці, і я постараюся в доступній формі розповісти про алгоритм методу.

Спочатку трохи систематизуємо знання про системи лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь може:

1) Мати єдине рішення. 2) Мати безліч рішень. 3) Не мати рішень (бути несумісний).

Метод Гауса – найбільш потужний та універсальний інструмент для знаходження рішення будь-якийсистеми лінійних рівнянь Як ми пам'ятаємо, правило Крамера та матричний методнепридатні у випадках, коли система має нескінченно багато рішень чи несовместна. А метод послідовного виключенняневідомих в будь-якому випадкуприведе нас до відповіді! На цьому уроці ми знову розглянемо метод Гауса для випадку №1 (єдине рішення системи), під пунктами №№2-3 відведено статтю. Зауважу, що сам алгоритм методу у всіх трьох випадках працює однаково.

Повернемося до найпростішою системіз уроку Як розв'язати систему лінійних рівнянь?і вирішимо її методом Гауса.

На першому етапі слід записати розширену матрицю системи: . За яким принципом записані коефіцієнти, гадаю, всім видно. Вертикальна характеристика всередині матриці не несе ніякого математичного сенсу - це просто накреслення для зручності оформлення.

Довідка : рекомендую запам'ятати терміни лінійної алгебри. Матриця системи - Це матриця, складена тільки з коефіцієнтів при невідомих, в даному прикладі матриця системи: . Розширена матриця системи – це та сама матриця системи плюс стовпець вільних членів, у разі: . Будь-яку з матриць можна для стислості називати просто матрицею.

Після того, як розширена матриця системи записана, з нею необхідно виконати деякі дії, які також називаються елементарними перетвореннями.

Існують такі елементарні перетворення:

1) Рядкиматриці можна, можливо переставлятимісцями. Наприклад, у матриці можна безболісно переставити перший і другий рядки:

2) Якщо у матриці є (або з'явилися) пропорційні (як окремий випадок– однакові) рядки, то слід видалитиз матриці всі ці рядки крім одного. Розглянемо, наприклад, матрицю . У цій матриці останні три рядки пропорційні, тому достатньо залишити лише одну з них: .

3) Якщо в матриці в ході перетворень з'явився нульовий рядок, то його також слідує видалити. Малювати не буду, зрозуміло, нульовий рядок – це рядок, у якому одні нулі.

4) Рядок матриці можна помножити (розділити)на будь-яке число, відмінне від нуля. Розглянемо, наприклад, матрицю. Тут доцільно перший рядок розділити на –3, а другий рядок – помножити на 2: . Ця діядуже корисно, оскільки полегшує подальші перетворення матриці.

5) Це перетворення викликає найбільші труднощі, але насправді нічого складного також немає. До рядка матриці можна додати інший рядок, помножений на число, відмінне від нуля. Розглянемо нашу матрицю з практичного прикладу: . Спочатку я розпишу перетворення дуже докладно. Помножуємо перший рядок на -2: , і до другого рядка додаємо перший рядок помножений на –2: . Тепер перший рядок можна розділити «назад» на –2: . Як бачите, рядок, який ПРИДБА ЧИ – не змінилась. Завждизмінюється рядок, ДО ЯКОГО ДОДАТИ ЮТ.

Насправді так докладно, звісно, ​​не розписують, а пишуть коротше: Ще раз: до другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. Помножують рядок зазвичай усно або на чернетці, при цьому уявний хід розрахунків приблизно такий:

«Переписую матрицю та переписую перший рядок: »

«Спочатку перший стовпець. Внизу мені потрібно отримати нуль. Тому одиницю вгорі множу на –2: , і до другого рядка додаю перший: 2 + (–2) = 0. Записую результат у другий рядок: »

«Тепер другий стовпець. Угорі –1 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: 1 + 2 = 3. Записую результат до другого рядка: »

«І третій стовпець. Угорі –5 множу на –2: . До другого рядка додаю перший: –7 + 10 = 3. Записую результат до другого рядка: »

Будь ласка, ретельно осмисліть цей приклад і розберіться в послідовному алгоритмі обчислень, якщо ви це зрозуміли, то метод Гауса практично «в кишені». Але, звісно, ​​над цим перетворенням ми ще попрацюємо.

Елементарні перетворення не змінюють рішення системи рівнянь

! УВАГА: розглянуті маніпуляції не можна використовуватиякщо Вам запропоновано завдання, де матриці дано «самі по собі». Наприклад, при «класичних» діях з матрицямищось переставляти всередині матриць в жодному разі не можна! Повернемося до нашої системи. Вона практично розібрана по кісточках.

Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до східчастого вигляду:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. І знову: чому перший рядок множимо саме на -2? Для того щоб внизу отримати нуль, а значить, позбавитися однієї змінної в другому рядку.

(2) Ділимо другий рядок на 3.

Ціль елементарних перетворень – привести матрицю до ступінчастого вигляду: . В оформленні завдання прямо так і відкреслюють простим олівцем «сходи», а також обводять кружальцями числа, які розташовуються на «сходах». Сам термін «ступінчастий вигляд» не цілком теоретичний, у науковій та навчальної літературивін часто називається трапецієподібний виглядабо трикутний вигляд.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентнавихідна система рівнянь:

Тепер систему потрібно «розкрутити» у зворотному напрямку – знизу нагору, цей процес називається зворотним ходом методу Гауса.

У нижньому рівнянні ми вже готовий результат: .

Розглянемо перше рівняння системи та підставимо в нього вже відоме значення «гравець»:

Розглянемо найпоширенішу ситуацію, коли методом Гауса потрібно вирішити систему трьох лінійнихрівнянь із трьома невідомими.

Приклад 1

Розв'язати методом Гауса систему рівнянь:

Запишемо розширену матрицю системи:

Зараз я одразу намалюю результат, до якого ми прийдемо під час рішення: І повторюся, наша мета – за допомогою елементарних перетворень привести матрицю до східчастого вигляду. З чого розпочати дії?

Спочатку дивимося на ліве верхнє число: Майже завжди тут має бути одиниця. Взагалі кажучи, влаштує і –1 (а іноді й інші числа), але якось традиційно склалося, що туди зазвичай поміщають одиницю. Як організувати одиницю? Дивимось на перший стовпець – готова одиниця у нас є! Перетворення перше: міняємо місцями перший і третій рядки:

Тепер перший рядок у нас залишиться незмінним до кінця рішення. Вже легше.

Одиниця у лівому верхньому кутку організована. Тепер потрібно отримати нулі на цих місцях:

Нулі отримуємо саме за допомогою «важкого» перетворення. Спочатку знаємося з другим рядком (2, -1, 3, 13). Що потрібно зробити, щоби на першій позиції отримати нуль? Потрібно до другого рядка додати перший рядок, помножений на –2. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –2: (–2, –4, 2, –18). І послідовно проводимо (знову ж таки подумки або на чернетці) додавання, до другого рядка додаємо перший рядок, вже помножений на –2:

Результат записуємо у другий рядок:

Аналогічно розуміємося з третім рядком (3, 2, -5, -1). Щоб отримати на першій позиції нуль, потрібно до третього рядка додати перший рядок, помножений на –3. Подумки чи чернетці множимо перший рядок на –3: (–3, –6, 3, –27). І до третього рядка додаємо перший рядок, помножений на –3:

Результат записуємо у третій рядок:

Насправді ці дії зазвичай виконуються усно і записуються за один крок:

Не треба рахувати все відразу і одночасно. Порядок обчислень та «вписування» результатів послідовнийі зазвичай такий: спочатку переписуємо перший рядок, і пихкаємо собі потихеньку - НАСЛІДНО і Уважно:
А уявний хід самих розрахунків я вже розглянув вище.

У цьому прикладі це зробити легко, другий рядок ділимо на –5 (оскільки там усі числа діляться на 5 без залишку). Заодно ділимо третій рядок на –2, адже що менше числа, то простіше рішення:

На заключному етапі елементарних перетворень потрібно отримати ще один нуль:

Для цього до третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –2:
Спробуйте розібрати цю дію самостійно - помножте другий рядок на -2 і проведіть додавання.

Остання виконана дія – зачіска результату, ділимо третій рядок на 3.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну вихідну систему лінійних рівнянь: Круто.

Тепер у дію вступає зворотний перебіг методу Гаусса. Рівняння розкручуються знизу вгору.

У третьому рівнянні ми вже готовий результат:

Дивимося друге рівняння: . Значення «зет» вже відоме, таким чином:

І, нарешті, перше рівняння: . «Ігрек» і «Зет» відомі, справа за малим:

Відповідь:

Як вже неодноразово зазначалося, для будь-якої системи рівнянь можна і потрібно зробити перевірку знайденого рішення, благо це нескладно і швидко.

Приклад 2

Це приклад для самостійного рішення, зразок чистового оформленнята відповідь наприкінці уроку.

Слід зазначити, що ваш хід рішенняможе не збігтися з моїм ходом рішення, і це – особливість методу Гауса. Але відповіді обов'язково повинні вийти однаковими!

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Дивимося на ліву верхню сходинку. Там у нас має бути одиниця. Проблема полягає в тому, що у першому стовпці одиниць немає взагалі, тому перестановкою рядків нічого не вирішити. У разі одиницю треба організувати з допомогою елементарного перетворення. Зазвичай це можна зробити кількома способами. Я вчинив так: (1) До першого рядка додаємо другий рядок, помножений на –1. Тобто подумки помножили другий рядок на –1 і виконали додавання першого і другого рядка, при цьому другий рядок у нас не змінився.

Тепер ліворуч угорі «мінус один», що нас цілком влаштує. Хто хоче отримати +1, може виконати додатковий рух тіла: помножити перший рядок на –1 (змінити у неї знак).

(2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 5. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 3.

(3) Перший рядок помножили на -1, в принципі це для краси. У третього рядка також змінили знак і переставили її на друге місце, таким чином, на другому сходинці у нас з'явилася потрібна одиниця.

(4) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 2.

(5) Третій рядок поділили на 3.

Поганою ознакою, яка свідчить про помилку в обчисленнях (рідше – про друкарську помилку), є «поганий» нижній рядок. Тобто, якби в нас унизу вийшло щось на зразок, і, відповідно, , то з великою часткою ймовірності можна стверджувати, що припущена помилка під час елементарних перетворень.

Заряджаємо зворотний хід, в оформленні прикладів часто не переписують саму систему, а рівняння "беруть прямо з наведеної матриці". Зворотний хід, нагадую, працює, знизу нагору. Та тут подарунок вийшов:

Відповідь: .

Приклад 4

Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса

Це приклад для самостійного рішення, він дещо складніший. Нічого страшного, якщо хтось заплутається. Повне рішення та зразок оформлення наприкінці уроку. Ваше рішення може відрізнятись від мого рішення.

В останній частині розглянемо деякі особливості алгоритму Гаусса. Перша особливість полягає в тому, що іноді в рівняннях системи відсутні деякі змінні, наприклад: Як правильно записати розширену матрицю системи? Про цей момент я вже розповідав на уроці Правило Крамер. Матричний метод. У розширеній матриці системи на місці відсутніх змінних ставимо нулі: До речі, це досить легкий приклад, оскільки в першому стовпці вже є один нуль, і потрібно виконати менше елементарних перетворень.

Друга особливість полягає ось у чому. У всіх розглянутих прикладах на «сходинки» ми поміщали або -1 або +1. Чи можуть там бути інші цифри? У деяких випадках можуть. Розглянемо систему: .

Тут на лівій верхній сходинці у нас двійка. Але помічаємо той факт, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2 без залишку - й інша двійка та шістка. І двійка зліва нагорі нас влаштує! На першому кроці потрібно виконати такі перетворення: до другого рядка додати перший рядок, помножений на -1; до третього рядка додати перший рядок, помножений на -3. Таким чином, ми отримаємо потрібні нулі у першому стовпці.

Або ще такий умовний приклад: . Тут трійка на другому «сході» теж нас влаштовує, оскільки 12 (місце, де нам потрібно отримати нуль) ділиться на 3 без залишку. Необхідно провести наступне перетворення: до третього рядка додати другий рядок, помножений на -4, в результаті чого буде отримано потрібний нам нуль.

Метод Гауса універсальний, але є одна своєрідність. Впевнено навчитися вирішувати системи іншими методами (методом Крамера, матричним методом) можна буквально з першого разу - там дуже жорсткий алгоритм. Але щоб впевнено себе почувати в методі Гауса, слід «набити руку», і вирішувати хоча б 5-10 десять систем. Тому спочатку можливі плутанина, помилки у обчисленнях і в цьому немає нічого незвичайного чи трагічного.

Дощова осіння погода за вікном. Тому для всіх бажаючих більше складний прикладдля самостійного вирішення:

Приклад 5

Вирішити методом Гауса систему 4-х лінійних рівнянь із чотирма невідомими.

Таке завдання практично зустрічається негаразд і рідко. Думаю, навіть чайнику, який докладно вивчив цю сторінку, інтуїтивно зрозумілий алгоритм розв'язання такої системи. Принципово так само – просто дій більше.

Випадки, коли система не має рішень (неспільна) або має безліч рішень, розглянуті на уроці. Несумісні системи та системи із загальним рішенням. Там можна закріпити розглянутий алгоритм методу Гаусса.

Бажаю успіхів!

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду.
Виконані елементарні перетворення: (1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -1. Увага! Тут може виникнути спокуса від третього рядка відняти першу, вкрай не рекомендую віднімати - сильно підвищується ризик помилки. Тільки складаємо! (2) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Другий і третій рядки поміняли місцями. Зверніть увагу , Що на «сходинках» нас влаштовує не тільки одиниця, але ще й -1, що навіть зручніше. (3) До третього рядка додали другий рядок, помножений на 5. (4) У другому рядку змінили знак (помножили на –1). Третій рядок поділили на 14.

Зворотній хід:

Відповідь : .

Приклад 4: Рішення : Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення: (1) До першого рядка додали другий. Таким чином, організована потрібна одиниця на лівій верхній сходинці. (2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на 7. До третього рядка додали перший рядок, помножений на 6.

З другою «сходинкою» все гірше , «Кандидати» неї - числа 17 і 23, а нам необхідна або одиниця, або -1. Перетворення (3) та (4) будуть спрямовані на отримання потрібної одиниці (3) До третього рядка додали другий, помножений на –1. (4) До другого рядка додали третій, помножений на –3. Потрібна річ на другій сходинці отримана . (5) До третього рядка додали другий, помножений на 6. (6) Другий рядок помножили на -1, третій рядок поділили на -83.

Зворотній хід:

Відповідь :

Приклад 5: Рішення : Запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Виконані перетворення: (1) Перший і другий рядки поміняли місцями. (2) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -2. До четвертого рядка додали перший рядок, помножений на -3. (3) До третього рядка додали другий, помножений на 4. До четвертого рядка додали другий, помножений на –1. (4) У другому рядку змінили знак. Четвертий рядок розділили на 3 та помістили замість третього рядка. (5) До четвертого рядка додали третій рядок, помножений на -5.

Зворотній хід:

Відповідь :

Нехай дана система , ∆≠0. (1)
Метод Гауса- Це метод послідовного виключення невідомих.

Суть методу Гауса полягає у перетворенні (1) до системи з трикутною матрицею , з якої потім послідовно (зворотним ходом) виходять значення всіх невідомих. Розглянемо одну з обчислювальних схем. Ця схема називається схемою єдиного поділу. Отже, розглянемо цю схему. Нехай a11 ≠0 (провідний елемент) розділимо на a11 перше рівняння. Отримаємо
(2)
Користуючись рівнянням (2), легко виключити невідомі x 1 з інших рівнянь системи (для цього достатньо від кожного рівняння відняти рівняння (2) попередньо помножене на відповідний коефіцієнт при x 1), тобто на першому кроці отримаємо
.
Іншими словами, на 1 кроці кожен елемент наступних рядків, починаючи з другого, дорівнює різниці між вихідним елементом і добутком його «проекції» на перший стовпець і перший (перетворений) рядок.
Після цього залишивши перше рівняння у спокої, над іншими рівняннями системи, отриманої першому кроці, зробимо аналогічне перетворення: виберемо з їхньої рівняння з провідним елементом і виключимо з його допомогою з інших рівнянь x 2 (крок 2).
Після n кроків замість (1) отримаємо рівносильну систему
(3)
Отже, першому етапі ми отримаємо трикутну систему (3). Цей етап називається прямим перебігом.
На другому етапі (зворотний хід) ми знаходимо послідовно (3) значення x n , x n -1 , …, x 1 .
Позначимо отримане рішення за x0. Тоді різниця ε=b-A·x 0 називається нев'язкою.
Якщо ε=0, то знайдене рішення x0 є вірним.

Обчислення за методом Гауса виконуються у два етапи:

1. Перший етап називається прямим перебігом методу. У першому етапі вихідну систему перетворять до трикутному виду.
2. Другий етап називається зворотним ходом. З другого краю етапі вирішують трикутну систему, еквівалентну вихідної.

Коефіцієнти а 11 22 … називають провідними елементами.
На кожному кроці передбачалося, що провідний елемент відрізняється від нуля. Якщо це не так, то як ведучий можна використовувати будь-який інший елемент, як би переставивши рівняння системи.

Призначення методу Гаусса

Метод Гаусса призначений на вирішення систем лінійних рівнянь. Належить до прямих методів рішення.

Види методу Гауса

1. Класичний метод Гаусса;
2. Модифікації методу Гауса. Однією з модифікацій методу Гаус є схема з вибором головного елемента. Особливістю методу Гауса з вибором головного елемента є така перестановка рівнянь, щоб на k-му кроці провідним елементом виявлявся найбільший за модулем елемент k-го стовпця.
3. Метод Жордано-Гаусса;

Відмінність методу Жордано-Гаусса від класичного методу Гаусаполягає у застосуванні правила прямокутника, коли напрямок пошуку рішення відбувається по головній діагоналі (перетворення до одиничної матриці). У методі Гауса напрямок пошуку рішення відбувається по стовпцям (перетворення до системи з трикутною матрицею).
Проілюструємо відмінність методу Жордано-Гауссавід методу Гауса на прикладах.

Приклад рішення методом Гаусса
Вирішимо систему:

Для зручності обчислень поміняємо рядки місцями:

Помножимо 2-й рядок на (2). Додамо 3-й рядок до 2-го

Помножимо 2-й рядок на (-1). Додамо 2-ий рядок до 1-го

З першого рядка виражаємо x 3:
З другого рядка виражаємо x 2:
З 3-го рядка виражаємо x 1:

Приклад рішення методом Жордано-Гаусса
Цю ж СЛАУ вирішимо методом Жордано-Гаусса.

Послідовно вибиратимемо роздільну здатність елемент РЕ, який лежить на головній діагоналі матриці.
Роздільний елемент дорівнює (1).



НЕ = СЕ - (А * В) / РЕ
РЕ - роздільна здатність елемент (1), А і В - елементи матриці, що утворюють прямокутник з елементами СТЕ і РЕ.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Роздільний елемент дорівнює (3).
На місці роздільного елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта всіх елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.

x 1	x 2	x 3	B
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Роздільний елемент дорівнює (-4).
На місці роздільного елемента отримуємо 1, а в самому стовпці записуємо нулі.
Решта всіх елементів матриці, включаючи елементи стовпця B, визначаються за правилом прямокутника.
Для цього вибираємо чотири числа, які розташовані у вершинах прямокутника і завжди включають роздільну здатність елемент РЕ.
Уявимо розрахунок кожного елемента у вигляді таблиці:

x 1	x 2	x 3	B
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Відповідь: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Реалізація методу Гауса

Метод Гауса реалізований багатьма мовами програмування, зокрема: Pascal, C++, php, Delphi , і навіть є реалізація методу Гауса в онлайн режимі .

Використання методу Гауса

Застосування методу Гауса в теорії ігор

Теоретично ігор при знайденні максимальної оптимальної стратегії гравця складається система рівнянь, яка вирішується шляхом Гаусса.

Застосування методу Гаусса під час вирішення диференціальних рівнянь

Для пошуку приватного рішення диференціального рівняння спочатку знаходять похідні відповідного ступеня для записаного приватного рішення (y=f(A,B,C,D)), які підставляють вихідне рівняння. Далі, щоб знайти змінні A, B, C, Dскладається система рівнянь, що вирішується методом Гаусса.

Застосування методу Жордано-Гаусса у лінійному програмуванні

У лінійному програмуванні, зокрема в симплекс-методі перетворення симплексной таблиці кожної ітерації використовується правило прямокутника, у якому використовується метод Жордано-Гаусса.

Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо безліч їх рішень збігається.

Елементарні перетворення системи рівнянь – це:

1. Викреслення із системи очевидних рівнянь, тобто. таких, у яких всі коефіцієнти дорівнюють нулю;
2. Розмноження будь-якого рівняння на число, відмінне від нуля;
3. Додаток до будь-якого i-го рівняння будь-якого j-то рівняння, помноженого на будь-яке число.

Змінна x i називається вільною, якщо ця змінна не є дозволеною, а вся система рівнянь є дозволеною.

Теорема. Елементарні перетворення переводять систему рівнянь на рівносильну.

Сенс методу Гауса полягає в тому, щоб перетворити вихідну систему рівнянь та отримати рівносильну дозволену або рівносильну несумісну систему.

Отже, метод Гауса складається з наступних кроків:

1. Розглянемо перше рівняння. Виберемо перший ненульовий коефіцієнт і розділимо все рівняння нею. Отримаємо рівняння, яке деяка змінна x i входить з коефіцієнтом 1;
2. Віднімемо це рівняння з усіх інших, множачи його на такі числа, щоб коефіцієнти при змінній x i в інших рівняннях обнулилися. Отримаємо систему, дозволену щодо змінної x i і рівносильну вихідної;
3. Якщо виникають тривіальні рівняння (рідко, але буває; наприклад, 0 = 0), викреслюємо їх із системи. Внаслідок рівнянь стає на одне менше;
4. Повторюємо попередні кроки трохи більше n разів, де n - число рівнянь у системі. Щоразу вибираємо для «обробки» нову змінну. Якщо виникають суперечливі рівняння (наприклад, 0 = 8) система несумісна.

У результаті за кілька кроків отримаємо або дозволену систему (можливо, з вільними змінними), або несовместную. Дозволені системи розпадаються на два випадки:

1. Число змінних дорівнює числу рівнянь. Отже, систему визначено;
2. Число змінних більше числа рівнянь. Збираємо всі вільні змінні праворуч – отримуємо формули для дозволених змінних. Ці формули так і записуються у відповідь.

От і все! Система лінійних рівнянь вирішена! Це досить простий алгоритм, і для його освоєння вам не обов'язково звертатися до репетитора з математики. Розглянемо приклад:

Завдання. Розв'язати систему рівнянь:

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого та третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Помножуємо друге рівняння на (−1), а третє рівняння ділимо на (−3) – отримаємо два рівняння, у яких змінна x 2 входить із коефіцієнтом 1;
3. Додаємо друге рівняння до першого, а з третього – віднімаємо. Отримаємо дозволену змінну x 2;
4. Нарешті, віднімаємо третє рівняння з першого - отримуємо дозволену змінну x 3;
5. Отримали дозволену систему, записуємо відповідь.

Загальне рішення спільної системи лінійних рівнянь – це нова система, рівносильна вихідної, в якій всі дозволені змінні виражені через вільні.

Коли може знадобитися загальне рішення? Якщо доводиться робити менше кроків, ніж k (k - це скільки всього рівнянь). Однак причин, через які процес закінчується на деякому кроці l< k , может быть две:

1. Після l-го кроку вийшла система, яка містить рівняння з номером (l + 1). Насправді, це добре, т.к. дозволена система все одно отримана – навіть на кілька кроків раніше.
2. Після l -го кроку отримали рівняння, у якому всі коефіцієнти при змінних дорівнюють нулю, а вільний коефіцієнт відмінний від нуля. Це суперечливе рівняння, отже, система несовместна.

Важливо розуміти, що виникнення суперечливого рівняння методом Гаусса - це достатня підстава несумісності. При цьому зауважимо, що в результаті l-го кроку не може залишитися тривіальних рівнянь - всі вони викреслюються у процесі.

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння, помножене на 4, з другого. А також додаємо перше рівняння до третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо третє рівняння, помножене на 2, з другого – отримаємо суперечливе рівняння 0 = −5.

Отже, система несумісна, оскільки виявлено суперечливе рівняння.

Завдання. Дослідити спільність та знайти загальне рішення системи:

Опис кроків:

1. Віднімаємо перше рівняння з другого (попередньо помноживши на два) і третього - отримаємо дозволену змінну x 1;
2. Віднімаємо друге рівняння з третього. Оскільки всі коефіцієнти цих рівняннях збігаються, третє рівняння перетвориться на тривіальне. Заодно помножимо друге рівняння на (-1);
3. Віднімаємо з першого рівняння друге - отримаємо дозволену змінну x 2 . Вся система рівнянь тепер також дозволена;
4. Оскільки змінні x 3 і x 4 - вільні, переносимо їх праворуч, щоб висловити дозволені змінні. Це є відповідь.

Отже, система спільна і невизначена, оскільки є дві дозволені змінні (x 1 і x 2) і дві вільні (x 3 і x 4).

У цій статті метод сприймається як спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь (СЛАУ). Метод є аналітичним, тобто дозволяє написати алгоритм рішення у загальному виглядіа потім уже підставляти туди значення з конкретних прикладів. На відміну від матричного методу або формул Крамера, при вирішенні системи лінійних рівнянь методом Гауса можна працювати і з тими, що мають нескінченно багато рішень. Або не мають його зовсім.

Що означає вирішити методом Гаусса?

Для початку необхідно нашу систему рівнянь записати у вигляд це наступним чином. Береться система:

Коефіцієнти записуються як таблиці, а справа окремим стовпчиком - вільні члени. Стовпець з вільними членами відокремлюється для зручності Матриця, що включає цей стовпець, називається розширеною.

Далі основну матрицю з коефіцієнтами потрібно призвести до верхньої трикутної форми. Це основний момент вирішення системи методом Гаусса. Простіше кажучи, після певних маніпуляцій матриця має виглядати так, щоб у її лівій нижній частині стояли одні нулі:

Тоді, якщо записати нову матрицю знову як систему рівнянь, можна помітити, що в останньому рядку вже міститься значення одного з коренів, яке потім підставляється в рівняння вище знаходиться ще один корінь, і так далі.

Це опис рішення методом Гауса в самих загальних рисах. А що вийде, якщо раптом система не має рішення? Чи їх нескінченно багато? Щоб відповісти на ці та ще безліч питань, необхідно розглянути окремо всі елементи, що використовуються під час вирішення методом Гауса.

Матриці, їх властивості

Ніякого прихованого сенсуу матриці немає. Це просто зручний спосібзапис даних для наступних операцій з ними. Боятися їх не треба навіть школярам.

Матриця завжди прямокутна, бо так зручніше. Навіть у методі Гауса, де все зводиться до побудови матриці трикутного вигляду, у записі фігурує прямокутник, тільки з нулями на тому місці, де немає чисел. Нулі можна не записувати, але вони маються на увазі.

Матриця має розмір. Її "ширина" – число рядків (m), "довжина" – число стовпців (n). Тоді розмір матриці A (для їх позначення зазвичай використовуються великі латинські літери) буде позначатись як A m×n . Якщо m=n, то ця квадратна матриця, і m=n - її порядок. Відповідно, будь-який елемент матриці A можна позначити через номер рядка і стовпця: a xy ; x - номер рядка, змінюється, y - номер стовпця, змінюється.

В – це основний момент рішення. В принципі, всі операції можна виконувати безпосередньо з самими рівняннями, проте запис вийде набагато громіздкіший, і в ньому буде набагато легше заплутатися.

Визначник

Ще матриця має визначника. Це дуже важлива характеристика. З'ясовувати його сенс зараз не варто, можна просто показати, як він обчислюється, а потім розповісти, які характеристики матриці він визначає. Найбільш простий спосіб знаходження визначника – через діагоналі. У матриці проводяться уявні діагоналі; елементи, що знаходяться на кожній з них, перемножуються, а потім отримані твори складаються: діагоналі з нахилом праворуч - зі знаком "плюс", з нахилом вліво - зі знаком "мінус".

Дуже важливо відзначити, що обчислювати визначник можна лише у квадратної матриці. Для прямокутної матриці можна зробити таке: із кількості рядків і кількості стовпців вибрати найменше (нехай це буде k), а потім у матриці довільним чином відзначити k стовпців і k рядків. Елементи, що знаходяться на перетині вибраних стовпців та рядків, становитимуть нову квадратну матрицю. Якщо визначник такої матриці буде числом, відмінним від нуля, назветься базисним мінором початкової прямокутної матриці.

Перед тим, як приступити до вирішення системи рівнянь методом Гауса, не заважає порахувати визначник. Якщо він виявиться нульовим, то відразу можна говорити, що у матриці кількість рішень або нескінченно, або взагалі немає. У такому сумному випадку треба йти далі і дізнаватися про ранг матриці.

Класифікація систем

Існує таке поняття, як ранг матриці. Це максимальний порядок її визначника, відмінного від нуля (якщо згадати про базисний мінор, Можна сказати, що ранг матриці - порядок базисного мінору).

По тому, як справи з рангом, СЛАУ можна розділити на:

• Спільні. Успільних систем ранг основної матриці (що складається лише з коефіцієнтів) збігається з рангом розширеної (зі стовпцем вільних членів). Такі системи мають рішення, але необов'язково одне, тому додатково спільні системи поділяють на:
• - певні- мають єдине рішення. У певних системах рівні ранг матриці і кількість невідомих (або число стовпців, що є одне й те саме);
• - невизначені -з нескінченною кількістю рішень. Ранг матриць таких систем менше кількості невідомих.
• Несумісні. Утаких систем ранги основної та розширеної матриць не збігаються. Несумісні системи рішення немає.

Метод Гауса хороший тим, що дозволяє в ході рішення отримати або однозначний доказ несумісності системи (без обчислення визначників великих матриць), або рішення в загальному вигляді для системи з нескінченним числом рішень.

Елементарні перетворення

Перш ніж приступити безпосередньо до вирішення системи, можна зробити її менш громіздкою і зручнішою для обчислень. Це досягається за рахунок елементарних перетворень - таких, що їхнє виконання ніяк не змінює кінцеву відповідь. Слід зазначити, що з наведених елементарних перетворень дійсні лише матриць, вихідниками яких послужили саме СЛАУ. Ось перелік цих перетворень:

1. Перестановка рядків. Вочевидь, що у записи системи змінити порядок рівнянь, то рішення це ніяк не вплине. Отже, в матриці цієї системи також можна міняти місцями рядки, не забуваючи, звичайно, про стовпець вільних членів.
2. Збільшення всіх елементів рядка на деякий коефіцієнт. Дуже корисно! За допомогою нього можна скоротити великі числа у матриці або прибрати нулі. Багато рішень, як завжди, не зміниться, а виконувати подальші операції стане зручніше. Головне, щоб коефіцієнт не дорівнював нулю.
3. Видалення рядків із пропорційними коефіцієнтами. Це частково випливає з попереднього пункту. Якщо два або більше рядки в матриці мають пропорційні коефіцієнти, то при множенні/розподілі одного з рядків на коефіцієнт пропорційності виходять два (або, знову ж таки, більше) абсолютно однакові рядки, і можна забрати зайві, залишивши тільки один.
4. Видалення нульового рядка. Якщо в ході перетворень десь вийшов рядок, в якому всі елементи, включаючи вільний член, - нуль, то такий рядок можна назвати нульовим і викинути з матриці.
5. Додаток до елементів одного рядка елементів іншого (за відповідними стовпцями), помножених на певний коефіцієнт. Найнеочевидніше і найважливіше перетворення з усіх. На ньому варто зупинитися докладніше.

Додавання рядка, помноженого на коефіцієнт

Для простоти розуміння варто розібрати цей процес кроками. Беруться два рядки з матриці:

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a 21 a 22 ... a 2n | b 2

Допустимо, необхідно до другої додати першу, помножену на коефіцієнт "-2".

a" 21 = a 21 + -2×a 11

a" 22 = a 22 + -2×a 12

a" 2n = a 2n + -2×a 1n

Потім у матриці другий рядок замінюється на новий, а перший залишається без змін.

a 11 a 12 ... a 1n | b1

a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2

Необхідно помітити, що коефіцієнт множення можна підібрати таким чином, щоб в результаті складання двох рядків один з елементів нового рядка дорівнював нулю. Отже, можна отримати рівняння у системі, де на одну невідому буде менше. А якщо отримати два такі рівняння, то операцію можна зробити ще раз і отримати рівняння, яке міститиме вже на дві невідомі менше. А якщо щоразу перетворювати на нуль один коефіцієнт у всіх рядків, що стоять нижче за вихідну, то можна, як по сходах, спуститися до самого низу матриці і отримати рівняння з однією невідомою. Це називається вирішити систему методом Гаусса.

Загалом

Нехай існує система. Вона має m рівнянь та n коренів-невідомих. Записати її можна так:

З коефіцієнтів системи складається основна матриця. До розширеної матриці додається стовпець вільних членів і для зручності відокремлюється рисою.

• перший рядок матриці множиться на коефіцієнт k = (-a 21 /a 11);
• перший змінений рядок і другий рядок матриці складаються;
• замість другого рядка в матрицю вставляється результат додавання з попереднього пункту;
• тепер перший коефіцієнт у новою другоюрядку дорівнює a 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.

Тепер виконується та ж серія перетворень, тільки беруть участь перший і третій рядки. Відповідно, у кожному кроці алгоритму елемент a21 замінюється на a31. Потім все повторюється для a 41 ... a m1. У результаті виходить матриця, де у рядках перший елемент дорівнює нулю. Тепер потрібно забути про рядок номер один і виконати той самий алгоритм, починаючи з другого рядка:

• коефіцієнт k = (-a 32/a 22);
• з "поточним" рядком складається другий змінений рядок;
• результат додавання підставляється в третій, четвертий і так далі рядки, а перший і другий залишаються незмінними;
• у рядках матриці вже два перші елементи дорівнюють нулю.

Алгоритм треба повторювати, доки з'явиться коефіцієнт k = (-a m,m-1 /a mm). Це означає, що востаннє алгоритм виконувався лише для нижнього рівняння. Тепер матриця схожа на трикутник, або має ступінчасту форму. У нижньому рядку є рівність a mn × x n = b m. Коефіцієнт і вільний член відомі і корінь виражається через них: x n = b m /a mn . Отриманий корінь підставляється у верхній рядок, щоб знайти x n-1 = (b m-1 - m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 . І так далі за аналогією: у кожному наступному рядку знаходиться новий корінь, і, діставшись "верху" системи, можна знайти безліч рішень. Воно буде єдиним.

Коли немає рішень

Якщо в одному з матричних рядків усі елементи, крім вільного члена, дорівнюють нулю, то рівняння, що відповідає цьому рядку, виглядає як 0 = b. Воно немає рішення. І оскільки таке рівняння укладено в систему, то й безліч рішень усієї системи – порожня, тобто вона є виродженою.

Коли рішень нескінченна кількість

Може вийти так, що в наведеній трикутній матриці немає рядків з одним елементом-коефіцієнтом рівняння і одним - вільним членом. Є тільки такі рядки, які під час переписування мали б вигляд рівняння з двома чи більше змінними. Отже, система має нескінченну кількість рішень. У разі відповідь можна дати як загального рішення. Як це зробити?

Всі змінні в матриці поділяються на базові та вільні. Базисні - це ті, що стоять "з краю" рядків у ступінчастій матриці. Інші – вільні. У загальному рішенні базисні змінні записуються через вільні.

Для зручності матриця спочатку переписується у систему рівнянь. Потім в останньому з них, там, де точно залишилася тільки одна базова змінна, вона залишається з одного боку, а все інше переноситься в іншу. Так робиться для кожного рівняння з однією базовою змінною. Потім до інших рівнянь, там, де це можливо, замість базисної змінної підставляється отриманий нею вираз. Якщо в результаті знову з'явився вираз, що містить тільки одну базисну змінну, вона звідти знову виражається, і так далі, поки кожна базова змінна не буде записана у вигляді виразу з вільними змінними. Це і є спільним рішенням СЛАУ.

Можна також знайти базисне рішення системи - дати вільним змінним будь-які значення, та був цього конкретного випадку порахувати значення базисних змінних. Приватних рішень можна навести дуже багато.

Рішення на конкретних прикладах

Ось система рівнянь.

Для зручності краще відразу скласти її матрицю

Відомо, що при вирішенні методом Гауса рівняння, що відповідає першому рядку, наприкінці перетворень залишиться незмінним. Тому вигідніше буде, якщо верхній лівий елемент матриці буде найменшим - тоді перші елементи інших рядків після операцій звернуться в нуль. Значить, у складеній матриці вигідно буде на місце першого рядка поставити другий.

другий рядок: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3

a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0

a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7

a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третій рядок: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5

a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0

a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9

a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18

b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57

Тепер, щоб не заплутатися, необхідно записати матрицю із проміжними результатами перетворень.

Очевидно, що таку матрицю можна зробити зручнішою для сприйняття за допомогою деяких операцій. Наприклад, з другого рядка можна усунути всі "мінуси", помножуючи кожен елемент на "-1".

Варто також зауважити, що у третьому рядку всі елементи кратні трьом. Тоді можна скоротити рядок на це число, помножуючи кожен елемент на "-1/3" (мінус - заразом, щоб прибрати від'ємні значення).

Виглядає набагато приємніше. Тепер треба дати спокій перший рядок і попрацювати з другого і третього. Завдання - додати до третього рядка другий, помножений на такий коефіцієнт, щоб елемент a 32 став дорівнює нулю.

k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (якщо в ході деяких перетворень у відповіді вийшло не ціле число, рекомендується для дотримання точності обчислень залишити його "як є", у вигляді звичайної дробу, а вже потім, коли отримані відповіді, вирішувати, чи варто округляти та переводити в іншу форму запису)

a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0

a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7

b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7

Знову записується матриця із новими значеннями.

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

Очевидно, отримана матриця вже має ступінчастий вигляд. Тому подальші перетворення системи методом Гаусса не потрібні. Що тут можна зробити, то це прибрати з третього рядка загальний коефіцієнт "-1/7".

Тепер все гарно. Справа за малим - записати матрицю знову у вигляді системи рівнянь та обчислити коріння

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Той алгоритм, за яким зараз будуть корені, називається зворотним ходом у методі Гауса. Рівняння (3) містить значення z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

І перше рівняння дозволяє знайти x:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Таку систему ми маємо право назвати спільною, та ще й певною, тобто такою, що має єдине рішення. Відповідь записується у такій формі:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Приклад невизначеної системи

Варіант вирішення певної системи методом Гауса розібраний, тепер необхідно розглянути випадок, якщо система невизначена, тобто для неї можна знайти безліч рішень.

х 1 + х 2 + х 3 + х 4 + х 5 = 7 (1)

3х 1 + 2х 2 + х 3 + х 4 - 3х 5 = -2 (2)

х 2 + 2х 3 + 2х 4 + 6х 5 = 23 (3)

5х 1 + 4х 2 + 3х 3 + 3х 4 - х 5 = 12 (4)

Сам вид системи вже насторожує, тому що кількість невідомих n = 5, а ранг матриці системи вже точно менша від цього числа, тому що кількість рядків m = 4, тобто найбільший порядок визначника-квадрату - 4. Значить, рішень існує безліч, і треба шукати його загальний вигляд. Метод Гауса для лінійних рівнянь дозволяє це зробити.

Спочатку, як завжди, складається розширена матриця.

Другий рядок: коефіцієнт k = (-a 21/a 11) = -3. У третьому рядку перший елемент - ще до перетворень, тому не треба нічого чіпати, треба залишити як є. Четвертий рядок: k = (-а 4 1/а 11) = -5

Помноживши елементи першого рядка на кожен їх коефіцієнт по черзі і склавши їх з потрібними рядками, отримуємо матрицю наступного виду:

Як можна бачити, другий, третій і четвертий рядки складаються з елементів, пропорційних один одному. Друга і четверта взагалі однакові, тому одну з них можна прибрати відразу, а решту помножити на коефіцієнт "-1" і отримати рядок номер 3. І знову з двох однакових рядків залишити один.

Вийшла така матриця. Поки ще записана система, треба тут визначити базисні змінні - які стоять при коефіцієнтах a 11 = 1 і a 22 = 1, і вільні - й інші.

У другому рівнянні є лише одна базисна змінна - x2. Значить, її можна висловити звідти, записавши через змінні x 3 x 4 x 5 які є вільними.

Підставляємо отриманий вираз у перше рівняння.

Вийшло рівняння, в якому єдина базова змінна - x1. Зробимо з нею те саме, що і з x 2 .

Усі базисні змінні, яких дві, виражені через три вільні, тепер можна записувати у загальному вигляді.

Також можна вказати одне із приватних рішень системи. Для таких випадків як значення для вільних змінних вибирають, як правило, нулі. Тоді відповіддю буде:

16, 23, 0, 0, 0.

Приклад несумісної системи

Розв'язання несумісних систем рівнянь методом Гауса – найшвидше. Воно закінчується відразу, як тільки на одному з етапів виходить рівняння, яке не має рішення. Тобто етап з обчисленням коренів, досить довгий і нудний, відпадає. Розглядається така система:

x + y - z = 0 (1)

2x - y - z = -2 (2)

4x + y - 3z = 5 (3)

Як завжди, складається матриця:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

І наводиться до східчастого вигляду:

k 1 = -2k 2 = -4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

Після першого ж перетворення у третьому рядку міститься рівняння виду

не має рішення. Отже, система несумісна, і відповіддю буде безліч.

Переваги та недоліки методу

Якщо вибирати, яким методом вирішувати СЛАУ на папері ручкою, то метод, який було розглянуто у цій статті, виглядає найпривабливіше. В елементарних перетвореннях набагато важче заплутатися, ніж у тому трапляється, якщо доводиться шукати вручну визначник або якусь хитру зворотну матрицю. Однак, якщо використовувати програми для роботи з даними такого типу, наприклад, електронні таблиці, то виявляється, що в таких програмах вже закладені алгоритми обчислення основних параметрів матриць - визначник, мінори, зворотна і таке інше. А якщо бути впевненим у тому, що машина вважатиме ці значення сама і не помилиться, доцільніше використовувати вже матричний метод або формул Крамера, тому що їх застосування починається і закінчується обчисленням визначників і зворотними матрицями.

Застосування

Оскільки рішення методом Гауса представляє собою алгоритм, а матриця - це, фактично, двовимірний масив, його можна використовувати при програмуванні. Але оскільки стаття позиціонує себе як керівництво "для чайників", слід сказати, що найпростіше, куди метод можна запхати - це електронні таблиці, наприклад, Excel. Знову ж таки, всякі СЛАУ, занесені в таблицю у вигляді матриці, Excel буде розглядати як двовимірний масив. А для операцій з ними існує безліч приємних команд: додавання (складати можна тільки матриці однакових розмірів!), множення на число, перемноження матриць (також з певними обмеженнями), знаходження зворотної та транспонованої матриць і, найголовніше, обчислення визначника. Якщо це трудомістке заняття замінити однією командою, можна швидше визначати ранг матриці і, отже, встановлювати її спільність чи несовместность.

Даний онлайн калькуляторзнаходить рішення системи лінійних рівнянь (СЛП) методом Гаусса. Дається докладне рішення. Для обчислення вибирайте кількість змінних та кількість рівнянь. Потім введіть дані в комірки та натискайте на кнопку "Обчислити."

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

Подання чисел:

Цілі числа та (або) Звичайні дроби
Цілі числа та (або) Десяткові дроби

Число знаків після десяткового роздільника

×

Попередження

Очистити всі комірки?

Закрити Очистити

Інструкція щодо введення даних.Числа вводяться як цілих чисел (приклади: 487, 5, -7623 тощо.), десяткових чисел (напр. 67., 102.54 тощо.) чи дробів. Дроб треба набирати у вигляді a/b, де a і b (b>0) цілі або десяткові числа. Приклади 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 тощо.

Метод Гауса

Метод Гауса - це метод переходу від вихідної системи лінійних рівнянь (за допомогою еквівалентних перетворень) до системи, яка вирішується простіше, ніж вихідна система.

Еквівалентними перетвореннями системи лінійних рівнянь є:

• зміна місцями двох рівнянь у системі,
• множення будь-якого рівняння у системі на ненульове дійсне число,
• додавання одного рівняння іншого рівняння, помноженого на довільне число.

Розглянемо систему лінійних рівнянь:

(1)

Запишемо систему (1) у матричному вигляді:

Ax=b

(2)

(3)

A-називається матриця коефіцієнтів системи, b − права частинаобмежень, x− вектор змінних, яку потрібно знайти. Нехай rang( A)=p.

Еквівалентні перетворення не змінюють ранг матриці коефіцієнтів та ранг розширеної матриці системи. Не змінюється безліч рішень системи при еквівалентних перетвореннях. Суть методу Гауса полягає у приведенні матраца коефіцієнтів Aдо діагонального чи ступінчастого.

Побудуємо розшрену матрицю системи:

на наступному етапіобнуляємо всі елементи стовпця 2 нижче елемента . Якщо цей елемент нульовий, то цей рядок міняємо місцями з рядком, що лежить нижче за цей рядок і має ненульовий елемент у другому стовпці. Далі обнулюємо всі елементи стовпця 2 нижче провідного елемента a 22 . Для цього складемо рядки 3, ... mз рядком 2, помноженим на − a 32 /a 22 , ..., −a m2 / a 22 відповідно. Продовжуючи процедуру, отримаємо матрицю діагонального чи ступінчастого вигляду. Нехай отримана розширена матриця має вигляд:

(7)

Так як rangA=rang(A|b), то безліч рішень (7) є ( n−p) - Різноманітність. Отже n−pневідомих можна вибрати довільно. Інші невідомі із системи (7) обчислюються так. З останнього рівняння виражаємо x p через інші змінні та вставляємо у попередні вирази. Далі з передостаннього рівняння виражаємо x p−1 через інші змінні та вставляємо у попередні вирази тощо. Розглянемо метод Гауса на конкретні приклади.

Приклади розв'язання системи лінійних рівнянь методом Гаусса

Приклад 1. Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса:

Позначимо через a ij елементи i-ого рядка та j-ого стовпця.

a 1 1 . Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -2/3,-1/2 відповідно:

Матричний вид запису: Ax=b, де

Позначимо через a ij елементи i-ого рядка та j-ого стовпця.

Виключимо елементи 1-го стовпця матриці нижче елемента a 11 . Для цього складемо рядки 2,3 з рядком 1, помноженим на -1/5,-6/5 відповідно:

Ділимо кожен рядок матриці на відповідний провідний елемент (якщо провідний елемент існує):

де x 3 , x

Підставивши верхні вирази у нижні, отримаємо рішення.

Тоді векторне рішення можна уявити так:

де x 3 , x 4 − довільні дійсні числа.