Квадратна матриця 4 порядку. Обчислення визначників

Лекція 6

Матриці

6.1. Основні поняття

Визначення 1.Матрицею називається прямокутна таблиця чисел.

Для позначення матриці використовуються круглі дужки або здвоєні вертикальні лінії:

Числа, що становлять матрицю, називаються її елементами, елемент матриці розташований у її -й рядку та -м стовпці.

Числа і (кількість рядків і стовпців матриці) називаються її порядками.

Говорять також, що - матриця розміром
.

Якщо
, матриця називається квадратний.

Для короткого запису використовується також позначення
(або
) і далі вказується, у яких межах змінюються і наприклад,
,
,
. (Запис читається так: матриця з елементами ,змінюється від до ,- від до .)

Серед квадратних матриць відзначимо діагональні матриці, які мають всі елементи з нерівними індексами (
) рівні нулю:

.

Говоритимемо, що елементи
розташовані на головній діагоналі.

Діагональна матриця виду

називається одиничноюматрицею.

Надалі зустрічатимуться матриці виду

і
,

які називаються трикутнимиматрицями, а також матриці, що складаються з одного стовпця:

та одного рядка:

(матриця-стовпець і матриця-рядок).

Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю, називається нульовий.

6.2. Визначники порядку n

Нехай дана квадратна матриця порядку :

. (6.1)

Складемо всілякі твори елементів матриці, розташованих у різних рядках та різних стовпцях, тобто. твори виду

. (6.2)

Число творів виду (6.2) дорівнює (Приймемо цей факт без доказу).

Вважатимемо всі ці твори членами визначника порядку , відповідного матриці (6.1).

Другі індекси множників (6.2) складають перестановку перших натуральних чисел
.

Говорять, що числа і у перестановці складають інверсію, якщо
, а в перестановці розташоване раніше .

приклад 1.У перестановці шести чисел,
, числа і ,і ,і ,і ,і становлять інверсії.

Перестановка називається парної, якщо число інверсій у ній парне, та непарною, якщо кількість інверсій у ній непарна.

приклад 2.Перестановка
- непарна, а перестановка
- парна ( інверсій).

Визначення 2.Визначником порядку ,відповідним матриці(6.1), називається алгебраїчна сума членів,складена наступним чином:членами визначника служать всілякі твори елементів матриці,взятих по одному з кожного рядка та кожного стовпця,причому доданок береться зі знаком"+",якщо безліч інших індексів є парною перестановкою чисел
,і зі знаком"–",якщо непарною.

Позначати визначник матриці (6.1) прийнято так:

.

Зауваження. Визначення 2 для
і
призводить до вже знайомих нам визначників 2-го та 3-го порядку:

,

Транспонуваннямнавколо головної діагоналі матриці називається перехід до матриці
, для якої рядки матриці є стовпцями, а стовпці - рядками:

.

Говоритимемо, що визначник
отримано транспонуванням визначника .

Властивості визначника порядку п:

1.
(визначник не змінюється під час транспонування навколо головної діагоналі).

2. Якщо один із рядків визначника складається з нулів, визначник дорівнює нулю.

3. Від перестановки двох рядків визначник змінює лише знак.

4. Визначник, що містить два однакові рядки, дорівнює нулю.

5. Якщо всі елементи деякого рядка визначника помножити на число , визначник помножиться на .

6. Визначник, що містить два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

7. Якщо всі елементи -й рядки визначника представлені у вигляді суми
, то визначник дорівнює сумідвох визначників, у яких усі рядки, крім -й, такі ж, як у вихідному визначнику, а -я рядок в одному визначнику складається з , а в іншому - з .

Визначення 3.-я рядок визначника називається лінійною комбінацією інших його рядків,якщо такі,що, помножуючи -ю рядок на ,а потім складаючи всі рядки,крім -й,отримуємо -ю рядок.

8. Якщо один із рядків визначника є лінійною комбінацією інших його рядків, визначник дорівнює нулю.

9. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного його рядка додати відповідні елементи іншого, помножені на те саме число.

Зауваження. Ми сформулювали властивості визначника рядків. В силу властивості 1 (
) Вони справедливі і для стовпців.

Усі наведені властивості були доведені на практичних заняттях для
; для довільного приймемо їх без підтвердження.

Якщо у визначнику порядку вибрати елемент та викреслити стовпець та рядок, на перетині яких розташований , рядки, що залишилися, і стовпці утворюють визначник порядку
, який називається міноромвизначника , відповідним елементом .

приклад 3.У визначнику

мінором елемента
є визначник
.

Визначення 4.Алгебраїчним доповненням елемента визначника називається його мінор,помножений на
,де - номер рядка, - Номер стовпця,в яких розташований вибраний елемент .

приклад 4.У визначнику

алгебраїчне доповнення
.

Теорема 1 (про розкладання рядком).Визначник дорівнює сумі творів всіх елементів будь-якого рядка на їх додатки алгебри.

Теорема 1 дозволяє звести обчислення визначника порядку до обчислення визначників порядку
.

Приклад 5. Обчислити визначник четвертого порядку:

.

Скористаємося теоремою 1 і розкладемо визначник по 4-му рядку:

Зауваження. Можна спростити визначник спочатку, скориставшись властивістю 9, а потім використовувати теорему 1. Тоді обчислення визначника порядку зведеться до обчислення всього одноговизначника порядку
.

Приклад 6.Обчислити

.

Додамо перший стовпець до другого і перший стовпець, помножений на (
), до третього, в результаті отримаємо

.

Тепер застосуємо теорему 1 і розкладемо за останнім рядком:

,

обчислення визначника 4-го порядку звелося до обчислення лише одного визначника 3-го порядку.

,

обчислення визначника третього порядку звелося до обчислення лише одного визначника другого порядку.

Приклад 7.Обчислити визначник порядку :

.

Перший рядок додамо до другого, третього тощо. -й рядку. Прийдемо до визначника

.

Отримано визначник трикутного вигляду.

Застосуємо
раз теорему 1 (розкладемо по першому стовпцю) і отримаємо

.

Зауваження. Визначник трикутного вигляду дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

6.3. Основні операції над матрицями

Визначення 5.Дві матриці
,
,
,і
,
,
,називатимемо рівними, якщо
.

Короткий запис:
.

Таким чином, дві матриці вважаються рівними, якщо вони мають однакові порядки та їх відповідні елементи дорівнюють.

Визначення 6.Сумою двох матриць
,
,
,і
,
,
,називається така матриця
,
,
,що
.

Інакше кажучи, складати можна тільки матриці тих самих порядків, причому додавання здійснюється поелементно.

Приклад 8.Знайти суму матриць

і
.

Відповідно до визначення 6 знайдемо

.

Правило складання матриць поширюється у сумі будь-якого кінцевого числа доданків.

Визначення 7.Добутком матриці
,
,
,на дійсне число називається така матриця
,
,
,для якої
.

Іншими словами, щоб помножити матрицю на число, потрібно помножити на це число всі її елементи та залишити одержані твори на колишніх місцях.

Приклад 9.Знайти лінійну комбінацію
матриць

і
.

Користуючись визначенням 7, отримуємо

,
,

.

Властивості операцій складання матриць

і множення на число:

1. Додавання комутативно:
.

2. Додавання асоціативно:.

3. Існує нульова матриця
, що задовольняє умову
для всіх А.

4. Для будь-якої матриці Аіснує протилежна матриця У, що задовольняє умову
.

Для будь-яких матриць Аі Ута будь-яких дійсних чисел
мають місце рівності:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

Перевіримо властивість 1. Позначимо
,
. Нехай
,

,
. Маємо

і оскільки рівність доведена для довільного елемента, відповідно до визначення 5
. Властивість 1 доведено.

Аналогічно доводиться якість 2.

Як матриця візьмемо матрицю порядку
, всі елементи якої дорівнюють нулю.

Склавши з будь-якою матрицею за правилом, даним у визначенні 6, ми матрицю не змінний, і властивість 3 справедлива.

Перевіримо властивість 4. Нехай
. Покладемо
. Тоді
Отже, властивість 4 справедлива.

Перевірку властивостей 5 – 8 опустимо.

Визначення 8.Добутком матриці
,
,
,на матрицю
,
,
,називається матриця
,
,
,з елементами
.

Короткий запис:
.

приклад 10.Знайти добуток матриць

і
.

Відповідно до визначення 8 знайдемо

Приклад 11.Перемножити матриці

і
.

Зауваження 1. Число елементів у рядку матриці дорівнює числу елементів у стовпці матриці (кількість стовпців матриці дорівнює числу рядків матриці ).

Примітка 2. У матриці
рядків стільки ж, скільки в матриці , а стовпців стільки ж, скільки в .

Примітка 3. Взагалі кажучи,
(множення матриць некоммутативно).

Щоб обґрунтувати зауваження 3, достатньо навести хоча б один приклад.

приклад 12.Перемножимо у зворотному порядку матриці і з прикладу 10.

таким чином, у загальному випадку
.

Зазначимо, що в окремому випадку рівність
можливо.

Матриці і , для яких виконується рівність
, називаються перестановочними,або комутуючими.

Вправи.

1. Знайти всі матриці, перестановочні з цієї:

а)
; б)
.

2. Знайти всі матриці другого порядку, квадрати яких дорівнюють нульовій матриці.

3. Довести, що
.

Властивості множення матриць:

Множення дистрибутивне.

Визначники четвертого та старших порядківможливо обчислювати за спрощеними схемами, які полягають у розкладанні за елементами рядків або стовпців або зведення до трикутного вигляду. Обидва методи для наочності будуть розглянуті на матриці 4-го порядку.

Метод розкладання за елементами рядків чи стовпців

Перший приклад ми розглянемо докладними поясненнями всіх проміжних дій.

приклад 1. Обчислити визначник шляхом розкладання.

Рішення. Для спрощення обчислень розкладемо визначник четвертого порядку за елементами першого рядка (містить нульовий елемент). Вони утворюються множенням елементів на відповідні їм доповнення (утворюються викреслення рядків та стовпців на перетині елемента, для якого обчислюються - виділено червоним)

В результаті обчислення зведуть до відшукання трьох визначників третього порядку, які знаходимо за правилом трикутників

Знайдені значення підставляємо у вихідний детермінант

Результат легко перевірити за допомогою матричного калькулятора YukhymCALC. Для цього в калькуляторі вибираємо пункт Матриці-Визначник матриці, розмір матриці встановлюємо 4*4.

Результати збігаються, отже обчислення проведено правильно.

приклад 2. Обчислити визначник матриці четвертого порядку.

Як і в попередньому завданні здійснимо обчислення методом розкладання. Для цього виберемо елементи першого стовпця. Спрощено визначник можна подати через суму чотирьох детермінантів третього порядку у вигляді

Обчислення не надто складні, головне не наплутати зі знаками та трикутниками. Знайдені величини підставляємо у головний визначник та підсумовуємо

Поняття визначника є одним із основних у курсі лінійної алгебри. Це поняття властиве ТІЛЬКИ КВАДРАТНИМ МАТРИЦЯМ, цьому поняттю і присвячена ця стаття. Тут ми говоритимемо про визначників матриць, елементами яких є дійсні (чи комплексні) числа. І тут визначник є дійсне (чи комплексне) число. Весь подальший виклад буде відповіддю на питання як обчислювати визначник, і якими властивостями він має.

Спочатку дамо визначення визначника квадратної матриці порядку n на n як суму творів перестановок елементів матриці. З цього визначення запишемо формули для обчислення визначників матриць першого, другого, третього порядків і докладно розберемо рішення кількох прикладів.

Далі перейдемо до властивостей визначника, які формулюватимемо у вигляді теорем без доказу. Тут буде отримано метод обчислення визначника через його розкладання елементів будь-якого рядка або стовпця. Цей метод дозволяє звести обчислення визначника матриці порядку n n до обчислення визначників матриць порядку 3 на 3 або меншого. Обов'язково покажемо рішення кількох прикладів.

На закінчення зупинимося на обчисленні визначника методом Гауса. Цей метод хороший при знаходженні значень визначників матриць порядку вище 3 на 3 оскільки вимагає менших обчислювальних зусиль. Також розберемо розв'язання прикладів.

Навігація на сторінці.

Визначення визначника матриці, обчислення визначника матриці за визначенням.

Нагадаємо кілька допоміжних понять.

Визначення.

Перестановкою порядку nназивається впорядкований набір чисел, що складається із n елементів.

Для множини, що містить n елементів, існує n! (n факторіал) перестановок порядку n. Перестановки відрізняються один від одного лише порядком прямування елементів.

Наприклад, розглянемо безліч, що з трьох чисел: . Запишемо всі перестановки (загалом їх шість, тому що ):

Визначення.

Інверсією у перестановці порядку nназивається всяка пара індексів p і q, для якої p-ий елемент перестановки більше q-ого.

У попередньому прикладі інверсією перестановки 4 , 9 , 7 є пара p=2 , q=3 , так як другий елемент перестановки дорівнює 9 і він більший за третій, рівного 7 . Інверсією перестановки 9, 7, 4 будуть три пари: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) і p=2, q=3 (7>4).

Нас більше цікавитиме кількість інверсій у перестановці, а не сама інверсія.

Нехай квадратна матриця порядку n на n над полем дійсних (або комплексних) чисел. Нехай – безліч всіх перестановок порядку n множини. Безліч містить n! перестановок. Позначимо k-у перестановку множини як , а кількість інверсій в k-ої перестановки як .

Визначення.

Визначник матриціА є число, що дорівнює .

Опишемо цю формулу словами. Визначником квадратної матриці порядку n n є сума, що містить n! доданків. Кожен доданок є твір n елементів матриці, причому в кожному творі міститься елемент з кожного рядка і з кожного стовпця матриці А . Перед k-им доданком з'являється коефіцієнт (-1) , якщо елементи матриці А у творі впорядковані за номером рядка, а кількість інверсій в k-й перестановці безлічі стовпців непарно.

Визначник матриці зазвичай позначається як , також зустрічається позначення det(A) . Можна почути, що визначник називають детермінантом.

Отже, .

Звідси видно, що визначником матриці першого порядку елемент цієї матриці .

Обчислення визначника квадратної матриці другого порядку - формула та приклад.

порядку 2 на 2 у загальному вигляді.

І тут n=2 , отже, n!=2!=2 .

.

Маємо

Таким чином, ми отримали формулу для обчислення визначника матриці порядку 2 на 2 вона має вигляд .

приклад.

порядку.

Рішення.

У нашому прикладі. Застосовуємо отриману формулу :

Обчислення визначника квадратної матриці третього порядку - формула та приклад.

Знайдемо визначник квадратної матриці порядку 3 на 3 у загальному вигляді.

І тут n=3 , отже, n!=3!=6 .

Оформимо у вигляді таблиці необхідні дані для застосування формули .

Маємо

Таким чином, ми отримали формулу для обчислення визначника матриці порядку 3 на 3 вона має вигляд

Аналогічно можна отримати формули для обчислення визначників матриць порядку 4 на 4 5 на 5 і більш високих. Вони матимуть дуже громіздкий вигляд.

приклад.

Обчисліть визначник квадратної матриці порядку 3 на 3 .

Рішення.

У нашому прикладі

Застосовуємо отриману формулу для обчислення визначника матриці третього порядку:

Формули для обчислення визначників квадратних матриць другого та третього порядків дуже часто застосовуються, тому рекомендуємо їх запам'ятати.

Властивості визначника матриці обчислення визначника матриці з використанням властивостей.

На підставі озвученого визначення справедливі такі властивості визначника матриці.

Визначник матриці А дорівнює визначнику транспонованої матриці АТ, тобто, .

приклад.

Переконайтеся, що визначник матриці дорівнює визначнику транспонованої матриці.

Рішення.

Скористаємося формулою для обчислення визначника матриці порядку 3 на 3:



Транспонуємо матрицю А:


Обчислимо визначник транспонованої матриці:



Дійсно, визначник транспонованої матриці дорівнює визначнику вихідної матриці.

Якщо у квадратній матриці всі елементи хоча б одного з рядків (одного зі стовпців) нульові, визначник такої матриці дорівнює нулю.

приклад.

Перевірте, чи визначник матриці порядку 3 на 3 дорівнює нулю.

Рішення.




Дійсно, визначник матриці з нульовим стовпцем дорівнює нулю.

Якщо переставити місцями два будь-які рядки (стовпці) у квадратній матриці, то визначник отриманої матриці буде протилежний вихідному (тобто зміниться знак).

приклад.

Дано дві квадратні матриці порядку 3 на 3 і . Покажіть, що визначники протилежні.

Рішення.

Матриця Отримана з матриці А заміною третього рядка на перший, а першої на третій. Відповідно до розглянутої властивості визначники таких матриць повинні відрізнятися знаком. Перевіримо це, вирахувавши визначники за відомою формулою.



Справді, .

Якщо в квадратній матриці хоча б два рядки (два стовпці) однакові, її визначник дорівнює нулю.

приклад.

Покажіть, що визначник матриці дорівнює нулю.

Рішення.

У даній матриці другий і третій стовпці однакові, так що згідно з розглянутою властивістю її визначник повинен дорівнювати нулю. Перевіримо це.



Насправді визначник матриці із двома однаковими стовпцями є нуль.

Якщо в квадратній матриці всі елементи будь-якого рядка (стовпця) помножити на деяке число k , то визначник отриманої матиці дорівнюватиме визначнику вихідної матриці, помноженому на k . Наприклад,



приклад.

Доведіть, що визначник матриці дорівнює потрійному визначнику матриці .

Рішення.

Елементи першого стовпця матриці отримані з відповідних елементів першого стовпця матриці А множенням на 3 . Тоді в силу розглянутої властивості має виконуватись рівність. Перевіримо це, обчисливши визначники матриць А і .



Отже, що й потрібно довести.

ЗВЕРНІТЬ УВАГУ.

Не плутайте та не змішуйте поняття матриці та визначника! Розглянута властивість визначника матриці та операція множення матриці на число це далеко не одне й те саме.
, але .

Якщо всі елементи будь-якого рядка (стовпця) квадратної матриці є сумою s доданків (s – натуральне число, Більше одиниці), то визначник такої матриці буде дорівнює сумі s визначників матриць, отриманих з вихідної, якщо в якості елементів рядка (стовпця) залишити по одному доданку. Наприклад,


приклад.

Доведіть, що визначник матриці дорівнює сумі визначників матриць .

Рішення.

У нашому прикладі , тому в силу розглянутої властивості визначника матриці має виконуватись рівність . Перевіримо його, обчисливши відповідні визначники матриць порядку 2 на 2 за формулою .


З отриманих результатів видно, що . На цьому доказ завершено.

Якщо до елементів деякого рядка (стовпця) матриці додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на довільне число k, то визначник отриманої матриці дорівнюватиме визначнику вихідної матриці.

приклад.

Переконайтеся, що якщо до елементів третього стовпця матриці додати відповідні елементи другого стовпця цієї матриці, помножені на (-2) і додати відповідні елементи першого стовпця матриці, помножені на довільне дійсне число , то визначник отриманої матриці буде дорівнює визначнику вихідної матриці.

Рішення.

Якщо відштовхуватися від розглянутої властивості визначника, то визначник матриці, отриманої після всіх зазначених у задачі перетворень, дорівнюватиме визначнику матриці А .

Спочатку обчислимо визначник вихідної матриці А:



Тепер виконаємо необхідні перетворення матриці А.

Додамо до елементів третього стовпця матриці відповідні елементи другого стовпця матриці, попередньо помноживши їх (-2) . Після цього матриця набуде вигляду:


До елементів третього стовпця отриманої матриці додамо відповідні елементи першого стовпця, помножені на :


Обчислимо визначник отриманої матриці і переконаємося, що він дорівнює визначнику матриці А , тобто -24 :



Визначник квадратної матриці дорівнює сумі творів елементів будь-якого рядка (стовпця) на них алгебраїчні доповнення.



Тут - доповнення алгебри елемента матриці , .

Ця властивість дозволяє обчислювати визначники матриць порядку вище 3 на 3 шляхом зведення їх до суми декількох визначників матриць порядку на одиницю нижче. Іншими словами – це рекурентна формула обчислення визначника квадратної матриці будь-якого порядку. Рекомендуємо її запам'ятати в силу досить частого застосування.

Розберемо кілька прикладів.

приклад.

порядку 4 на 4 , розклавши його

• за елементами 3-го рядка,
• по елементам другого стовпця.

Рішення.

Використовуємо формулу розкладання визначника за елементами 3-го рядка



Маємо



Так завдання знаходження визначника матриці порядку 4 на 4 звелося до обчислення трьох визначників матриць порядку 3 на 3:



Підставивши отримані значення, приходимо до результату:


Використовуємо формулу розкладання визначника за елементами 2-го стовпця


та діємо аналогічно.

Не докладно розписуватимемо обчислення визначників матриць третього порядку.



приклад.

Обчисліть визначник матриці порядку 4 на 4 .

Рішення.

Можна розкласти визначник матриці за елементами будь-якого стовпця чи будь-якого рядка, проте вигідніше вибирати рядок чи стовпець, що містить найбільша кількістьнульових елементів, оскільки це допоможе уникнути зайвих обчислень. Розкладемо визначник за елементами першого рядка:



Обчислимо отримані визначники матриць порядку 3 на 3 за відомою формулою:



Підставляємо результати та отримуємо шукане значення


приклад.

Обчисліть визначник матриці порядку 5 на 5 .

Рішення.

У четвертому рядку матриці найбільша кількість нульових елементів серед усіх рядків і стовпців, тому доцільно розкласти визначник матриці саме по елементах четвертого рядка, тому що в цьому випадку потрібно менше обчислень.



Отримані визначники матриць порядку 4 на 4 знайшли в попередніх прикладах, так що скористаємося готовими результатами:



приклад.

Обчисліть визначник матриці порядку 7 на 7 .

Рішення.

Не слід відразу кидатися розкладати визначник по елементах якогось рядка або стовпця. Якщо уважно подивитися на матрицю, можна помітити, що елементи шостого рядка матриці можна отримати множенням відповідних елементів другого рядка на двійку. Тобто, якщо до елементів шостого рядка додати відповідні елементи другого рядка, помножені на (-2) , то визначник не зміниться в силу сьомої властивості, а шостий рядок отриманої матриці буде складатися з нулів. Визначник такої матриці дорівнює нулю за другою властивістю.

Відповідь:

Слід зазначити, що розглянута властивість дає змогу обчислити визначники матриць будь-яких порядків, проте доводиться виконувати масу обчислювальних операцій. Найчастіше визначник матриць порядку вище третього вигідніше шукати шляхом Гаусса, який ми розглянемо нижче.

Сума творів елементів будь-якого рядка (стовпця) квадратної матриці на додатки алгебри відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.


приклад.

Покажіть, що сума творів елементів третього стовпця матриці на додатки алгебри відповідних елементів першого стовпця дорівнює нулю.

Рішення.




Визначник добутку квадратних матриць одного порядку дорівнює добутку їх визначників, тобто, , де m - натуральне число більше одиниці, Ak, k = 1,2, ..., m - квадратні матриці одного порядку.

приклад.

Переконайтеся, що визначник твору двох матриць і дорівнює добутку їх визначників.

Рішення.

Знайдемо спочатку добуток визначників матриць А і В:


Зараз виконаємо множення матриць і обчислимо визначник матриці, що вийшла:



Таким чином, , Що і потрібно показати.

Обчислення визначника матриці методом Гаусса.

Опишемо суть цього методу. Матриця А за допомогою елементарних перетворень наводиться до такого виду, щоб у першому стовпчику всі елементи, крім стали нульовими (це зробити завжди можливо, якщо визначник матриці відмінний від нуля). Цю процедуру опишемо трохи пізніше, а зараз пояснимо, навіщо це робиться. Нульові елементи виходять для того, щоб отримати найпростіше розкладання визначника елементами першого стовпця. Після такого перетворення матриці А , враховуючи восьму властивість і отримаємо

де - мінор (n-1)-ого ​​порядку, що виходить з матриці А викреслюванням елементів першого рядка і першого стовпця.

З матрицею, якій відповідає мінор, проходить така сама процедура отримання нульових елементів у першому стовпці. І так далі до остаточного обчислення визначника.

Тепер залишилося відповісти на запитання: «Як одержувати нульові елементи у першому стовпці»?

Опишемо алгоритм дій.

Якщо , то до елементів першого рядка матриці додаються відповідні елементи k-го рядка, в якому . (Якщо всі без винятку елементи першого стовпця матриці А нульові, то її визначник дорівнює нулю за другою властивістю і не потрібен метод Гауса). Після такого перетворення "новий" елемент буде відмінний від нуля. Визначник «нової» матриці дорівнюватиме визначнику вихідної матриці в силу сьомої властивості.

Тепер ми маємо матрицю, яка має . До елементів другого рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на , до елементів третього рядка – відповідні елементи першого рядка, помножені на . І так далі. На закінчення до елементів n-го рядка додаємо відповідні елементи першого рядка, помножені на . Так буде отримана перетворена матриця А всі елементи першого стовпця якої, крім , будуть нульовими. Визначник отриманої матриці дорівнюватиме визначнику вихідної матриці в силу сьомої властивості.

Розберемо метод при рішенні прикладу, то буде зрозуміліше.

приклад.

Обчислити визначник матриці 5 на 5 .

Рішення.

Скористаємося методом Гауса. Перетворимо матрицю А так, щоб усі елементи першого стовпця, крім , стали нульовими.

Оскільки спочатку елемент , то додамо до елементів першого рядка матриці відповідні елементи, наприклад другого рядка, так як :

Знак «~» означає еквівалентність.

Тепер додаємо до елементів другого рядка відповідні елементи першого рядка, помножені на , до елементів третього рядка – відповідні елементи першого рядка, помножені на , і аналогічно діємо аж до шостого рядка:

Отримуємо

З матрицею проводимо ту ж процедуру отримання нульових елементів у першому стовпці:

Отже,

Зараз виконуємо перетворення із матрицею :

Зауваження.

На певному етапі перетворення матриці методом Гаусса може виникнути ситуація, коли всі елементи кількох останніх рядків матриці стануть нульовими. Це говоритиме про рівність визначника нулю.

Підведемо підсумок.

Визначником квадратної матриці, елементи якої є числа є число. Ми розглянули три способи обчислення визначника:

1. через суму творів поєднань елементів матриці;
2. через розкладання визначника за елементами рядка чи стовпця матриці;
3. методом приведення матриці до верхньої трикутної (методом Гауса).

Були отримані формули для обчислення визначників матриць порядку 2 на 2 та 3 на 3 .

Ми розібрали властивості визначника матриці. Деякі їх дозволяють швидко зрозуміти, що визначник дорівнює нулю.

При обчисленні визначників матриць порядку вище 3 на 3 доцільно використовувати метод Гаусса: виконати елементарні перетворення матриці та призвести до верхньої трикутної. Визначник такої матриці дорівнює добутку всіх елементів, що стоять на головній діагоналі.

Якщо Ви хочете навчитися плавати, то сміливо входите у воду, а якщо хочете навчитися розв'язувати задачі, то вирішуйте їх.»
Д. Пойа (1887-1985 р.)

(Математик. Зробив великий внесок у популяризацію математики. Написав кілька книг про те, як вирішують завдання і як треба вчити вирішувати завдання.)

З кожною квадратною матрицею пов'язують число. Це число називається визначникомматриці. Визначник обчислюється за спеціальними правилами і позначається | A |, det A, A.

Число рядків (стовпців) визначника називається його порядком.

Визначник першого порядкуматриці дорівнює елементу a 11: | A | = a 11

Чи не плутати визначник першого порядку з модулем.

Визначник другого порядкупозначається символом

і дорівнює |A|=a 11 a 22 -a 12 a 21

Визначник 3-го порядкупозначається символом

Для запам'ятовування цієї формули використовують схематичні правила ( правило трикутника або Саррюса)

Правило Саррюса.

Правило трикутника.

Подивимося з прикладу, як використовуються ці правила.

ПРИКЛАД:

Правило Саррюса

Допишемо до визначника два перші стовпці.

Правило трикутника

Такий спосіб обчислення визначників не підходить для визначників 4-го порядку та вище. Перш ніж вказати правило, що дозволяє знаходити визначники будь-якого порядку, розглянемо поняття додатка алгебри елемента матриці.

Алгебраїчним доповненням (А ij) елемента а ijвизначника матриці Аназивається число, що дорівнює добутку (-1) i+j (у мірі номер рядка плюс номер стовпця цього елемента) на визначник, який виходить з даного в результаті викреслення рядка та стовпця, де стоїть цей елемент.

ПРИКЛАД:

Обчислити додаток алгебри А 21елемента а 21 .

РІШЕННЯ:

За визначенням алгебраїчного доповнення

Обчислення визначника довільного порядку. Визначник дорівнює сумі творів елементів будь-якого його рядка (або стовпця) на відповідні додатки алгебри.

, Розкладання визначника 4-го порядку по першому рядку виглядає наступним чином:

Другого порядку називається число, що дорівнює різниці між добутком чисел, що утворюють головну діагональ, і добутком чисел, що стоять на побічній діагоналі, можна зустріти такі позначення визначника: ; ; ; detA(Детермінант).

.

Приклад:
.

Визначником матриці третього порядкуназивається число або математичне вираз, що обчислюється за таким правилом

Найбільш простим способом обчислення визначника третього порядку є дописування знизу визначника двох перших рядків.

В утвореній таблиці чисел перемножуються елементи, що стоять на головній діагоналі і на паралельних діагоналях головної, знак результату твору не змінюється. Наступним етапомобчислень є аналогічне перемноження елементів, що стоять на побічній діагоналі та на паралельних їй. Знаки результатів творів змінюються на протилежні. Потім складаємо отримані шість доданків.

Приклад:

Розкладання визначника за елементами деякого рядка (стовпця).

Мінором М ijелемента а ijквадратної матриці Аназивається визначник, складений з елементів матриці А, що залишилися після викреслення i-ого рядка та j-го стовпця.

Наприклад, мінором до елементу а 21матриці третього порядку
буде визначник
.

Говоритимемо, що елемент а ijпосідає парне місце, якщо i+j(Сума номерів рядка і стовпця на перетині яких знаходиться даний елемент) - парне число, непарне місце, якщо i+j- непарне число.

Алгебраїчним доповненням А ijелемента а ijквадратної матриці Аназивається вираз (або величина відповідного мінора, взятого зі знаком "+", якщо елемент матриці займає парне місце, і зі знаком "-", якщо елемент займає непарне місце).

Приклад:

а 23= 4;

- алгебраїчне доповнення елемента а 22= 1.

Теорема Лапласа. Визначник дорівнює сумі творів елементів деякого рядка (стовпця) на відповідні алгебраїчні доповнення.

Проілюструємо з прикладу визначника третього порядку. Обчислити визначник третього порядку розкладанням по першому рядку можна так

Аналогічно можна обчислити визначник третього порядку, розклавши по рядку чи стовпцю. Зручно розкладати визначник по тому рядку (або стовпцю), у якому міститься більше нулів.

приклад:

Отже, обчислення визначника 3-го порядку зводиться до обчислення 3-х визначників другого порядку. Загалом можна обчислити визначник квадратної матриці n-го порядку, зводячи його до обчислення nвизначників ( n-1)-го порядку

Зауваження.Не існує простих способівдля обчислення визначників більше високого порядку, Аналогічних способів обчислення визначників 2-го та 3-го порядку. Тому для обчислення визначників вище за третій порядок може використовуватися тільки метод розкладання.

приклад. Обчислити визначник четвертого порядку.

Розкладемо визначник за елементами третього рядка

Властивості визначників:

1. Визначник не зміниться, якщо його рядки замінити стовпцями та навпаки.

2. При перестановці двох сусідніх рядків (стовпців) визначник змінює знак протилежний.

3. Визначник із двома однаковими рядками (стовпцями) дорівнює 0.

4. Загальний множник всіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника можна винести за знак визначника.

5. Визначник не зміниться, якщо до елементів одного з його стовпців (рядки) додати відповідні елементи будь-якого іншого стовпця (рядки), помножені на деяке число.