Алгоритм знаходження загального розв'язання системи лінійних рівнянь. Вирішення систем лінійних рівнянь. Несумісні системи. Системи із загальним рішенням. Приватні рішення

Системи рівнянь отримали широке застосуванняв економічній галузі при математичне моделювання різних процесів. Наприклад, під час вирішення завдань управління та планування виробництва, логістичних маршрутів (транспортне завдання) чи розміщення устаткування.

Системи рівняння використовуються у галузі математики, а й фізики, хімії та біології, під час вирішення завдань з знаходження чисельності популяції.

Системою лінійних рівняньназивають два і більше рівняння з кількома змінними, котрим необхідно знайти загальне рішення. Таку послідовність чисел, коли всі рівняння стануть вірними рівностями чи довести, що послідовності немає.

Лінійне рівняння

Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y – це невідомі, значення яких треба знайти, b, a – коефіцієнти при змінних, c – вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудови його графіка матиме вигляд прямої, всі точки якої є рішенням багаточлена.

Види систем лінійних рівнянь

Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь із двома змінними X та Y.

F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0, де F1,2 – функції, а (x, y) – змінні функцій.

Розв'язати систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), у яких система перетворюється на правильну рівність чи встановити, що відповідних значень x і y немає.

Пара значень (x, y), записана як координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь.

Якщо системи мають одне загальне рішення чи рішення немає їх називають рівносильними.

Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака " рівність " частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна.

Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь із трьома змінними або більше.

Зіткнувшись із системами школярі припускають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь у системі залежить від змінних, їх може бути скільки завгодно багато.

Прості та складні методи вирішення систем рівнянь

Немає загального аналітичного способу вирішення подібних систем, всі методи засновані на чисельних рішеннях. У шкільному курсі математики докладно описані такі методи як перестановка, алгебраїчне додавання, підстановка, а також графічний і матричний спосібрішення методом Гауса.

Основне завдання під час навчання способам рішення - це навчити правильно аналізувати систему та знаходити оптимальний алгоритм рішення кожному за прикладу. Головне не визубрити систему правил та дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школиДосить просте і пояснено дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цьому розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гаусса і Крамера докладніше вивчають перших курсах вищих навчальних закладів.

Рішення систем методом підстановки

Дії методу підстановки спрямовані вираз значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється в рівняння, що залишилося, потім його приводять до вигляду з однією змінною. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі

Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки:

Як видно з прикладу, змінна x була виражена через F(X) = 7 + Y. Отриманий вираз, підставлений у 2-е рівняння системи на місце X, допоміг отримати одну змінну Y у 2-му рівнянні. Рішення цього прикладу не викликає труднощів і дозволяє отримати значення Y. Останній крокце перевірка набутих значень.

Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою не завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другу невідому виявиться надто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше трьох рішень підстановкою також недоцільно.

Розв'язання прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:

Рішення за допомогою алгебраїчного додавання

При пошуку рішенні систем методом додавання виробляють почленное додавання і множення рівнянь на різні числа. Кінцевою метою математичних дійє рівняння з однією змінною.

Для застосування даного методунеобхідна практика та спостережливість. Вирішити систему лінійних рівнянь шляхом додавання при кількості змінних 3 і більше складно. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дроби та десяткові числа.

Алгоритм дій рішення:

1. Помножити обидві частини рівняння деяке число. В результаті арифметичної дії один із коефіцієнтів при змінній повинен стати рівним 1.
2. Почленно скласти отриманий вираз і знайти один із невідомих.
3. Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку змінної, що залишилася.

Спосіб вирішення запровадженням нової змінної

Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж має бути не більшою за два.

Спосіб використовується, щоб спростити одне із рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння вирішується щодо введеної невідомої, а отримане значення використовується визначення початкової змінної.

З прикладу видно, що ввівши нову змінну t вдалося звести 1 рівняння системи до стандартного квадратного тричлену. Вирішити многочлен можна знайшовши дискримінант.

Необхідно знайти значення дискримінанта з відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - шуканий дискримінант, b, a, c - множники многочлена. У за даному прикладі a=1, b=16, c=39, отже, D=100. Якщо дискримінант більший за нуль, то рішень два: t = -b±√D / 2*a, якщо дискримінант менший за нуль, то рішення одне: x= -b / 2*a.

Рішення для отриманих у результаті системи знаходять шляхом складання.

Наочний метод вирішення систем

Підходить для систем з трьома рівняннями. Метод полягає у побудові на координатній осі графіків кожного рівняння, що входить до системи. Координати точок перетину кривих і будуть загальним рішеннямсистеми.

Графічний метод має низку аспектів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом.

Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були обрані довільно: 0 і 3. Виходячи із значень x, знайдені значення для y: 3 і 0. Точки з координатами (0, 3) та (3, 0) були відзначені на графіку та з'єднані лінією.

Події необхідно повторити для другого рівняння. Точка перетину прямих є розв'язком системи.

У наступному прикладі потрібно знайти графічне рішеннясистеми лінійних рівнянь: 0,5x-y+2=0 та 0,5x-y-1=0.

Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються по всьому своєму протязі.

Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидним, що їх рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати, чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.

Матриця та її різновиди

Матриці використовують для короткого запису системи лінійних рівнянь. Матрицею називають таблицю спеціального виду, Заповнену числами. n*m має n - рядків та m - стовпців.

Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно. можливою кількістюрядків. Матриця з одиницями по одній із діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною.

Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється на одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.

Правила перетворення системи рівнянь на матрицю

Стосовно систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти і вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці.

Рядок матриці називається ненульовим, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якомусь із рівнянь кількість змінних відрізняється, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль.

Стовпці матриці повинні суворо відповідати змінним. Це означає, що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий.

При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться число.

Варіанти знаходження зворотної матриці

Формула знаходження зворотної матриці досить проста: K -1 = 1 / | K |, де K -1 - зворотна матриця, А | K | - Визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення.

Визначник легко обчислюється для матриці два на два, необхідно лише помножити один на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула | K | b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця так, щоб у творі не повторювалися номери стовпців та рядків елементів.

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом

Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі записи під час вирішення систем із великою кількістю змінних і рівнянь.

У прикладі a nm – коефіцієнти рівнянь, матриця – вектор x n – змінні, а b n – вільні члени.

Рішення систем методом Гауса

У вищій математиці метод Гаусса вивчають разом із методом Крамера, а процес пошуку рішення систем і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Дані способи використовують при знаходженні змінних системз великою кількістю лінійних рівнянь.

Метод Гауса дуже схожий на рішення за допомогою підстановок та алгебраїчної складання, але більш систематичний. У шкільному курсі рішення способом Гаусса застосовується для систем із 3 та 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведенні системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом перетворень алгебри і підстановок знаходиться значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння є виразом з двома невідомими, а 3 і 4 - відповідно з трьома і чотирма змінними.

Після приведення системи до описаного виду, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних рівняння системи.

У шкільних підручниках для 7 класу приклад рішення методом Гаусса описаний таким чином:

Як видно з прикладу, на кроці (3) було отримано два рівняння 3x3 -2x4 = 11 і 3x3 +2x4 =7. Рішення будь-якого рівняння дозволить дізнатися одну зі змінних x n .

Теорема 5, про яку згадується в тексті, свідчить, що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильним, то отримана система буде також рівносильна вихідній.

Метод Гауса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але є одним з найбільш цікавих способівдля розвитку кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивченняу математичних та фізичних класах.

Для простоти запису обчислень прийнято робити так:

Коефіцієнти рівнянь та вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним із рівнянь системи. відокремлює ліву частинурівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі.

Спочатку записують матрицю, з якою належить працювати, потім усі дії, що проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" і продовжують виконувати необхідні дії алгебри до досягнення результату.

У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей стоять 1, а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до поодинокого вигляду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння.

Цей спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перелік численних невідомих.

Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності та певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш переважні в тій іншій галузі діяльності людей, інші існують з метою навчання.

Рішення. A = . Знайдемо r(А). Так як матрицяА має порядок 3х4, то найвищий порядокмінорів дорівнює 3. При цьому всі мінори третього порядку дорівнюють нулю (перевірити самостійно). Значить, r(А)< 3. Возьмем главный базисний мінор = -5-4 = -9 ≠ 0. Отже r(А) =2.

Розглянемо матрицю З = .

Мінор третього порядку ≠ 0. Отже, r(C) = 3.

Оскільки r(А) ≠ r(C) , система несумісна.

приклад 2.Визначити спільність системи рівнянь

Вирішити цю систему, якщо вона виявиться спільною.

Рішення.

A = , C = . Очевидно, що r(А) ≤ 3, r(C) ≤ 4. Оскільки detC = 0, то r(C)< 4. Розглянемо мінор третього порядку, розташований у лівому верхньому кутку матриці А і С: = -23 ≠ 0. Отже, r(А) = r(C) = 3.

Число невідомих у системі n=3. Отже система має єдине рішення. При цьому четверте рівняння становить суму перших трьох і його можна не брати до уваги.

За формулами Крамераотримуємо x1=-98/23, x2=-47/23, x3=-123/23.

2.4. Матричний метод. Mетод Гауса

Систему nлінійних рівняньз nневідомими можна вирішувати матричним методомза формулою X = A -1 B (при Δ ≠ 0), яка виходить із (2) множенням обох частин на А-1.

Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь

матричним методом (у параграфі 2.2 цю систему було вирішено за формулами Крамера)

Рішення. Δ = 10 ≠ 0 А = – невироджена матриця.

= (переконайтеся у цьому самостійно, здійснивши необхідні обчислення).

A -1 = (1/Δ)х = .

Х = A -1 В = х = .

Відповідь: .

З практичного погляду матричний методта формули Крамерапов'язані з великим обсягом обчислень, тому перевага надається методом Гауса, який полягає у послідовному виключенні невідомих. Для цього систему рівнянь приводять до еквівалентної системи з трикутною розширеною матрицею (усі елементи нижче головної діагоналі рівні нулю). Ці дії називають прямим ходом. З отриманої трикутної системи змінні знаходять за допомогою послідовних підстановок (зворотний хід).

Приклад 2. Методом Гауса вирішити систему

(Вище ця система була вирішена за формулою Крамера та матричним методом).

Рішення.

Прямий хід. Запишемо розширену матрицю та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до трикутного вигляду:

~ ~ ~ ~ .

Отримаємо систему

Зворотній хід.З останнього рівняння знаходимо х 3 = -6 і підставимо це значення на друге рівняння:

х 2 = - 11/2 - 1/4х 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

х 1 = 2 -х 2 + х 3 = 2+4-6 = 0.

Відповідь: .

2.5. Загальне рішення системи лінійних рівнянь

Нехай дана система лінійних рівнянь = b i(i=). Нехай r(A) = r(C) = r, тобто. система спільна. Будь-який мінор порядку r, відмінний від нуля, є базисним мінором.Не обмежуючи спільності, вважатимемо, що базисний міноррозташовується в перших r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) рядках і стовпцях матриці А. Відкинувши останні m-rрівнянь системи, запишемо укорочену систему:

яка еквівалентна вихідній. Назвемо невідомі х 1 ,….х rбазисними, а х r +1 ,…, х rвільними і перенесемо доданки, що містять вільні невідомі, праву частинурівнянь укороченої системи. Отримуємо систему щодо базисних невідомих:

кототора для кожного набору значень вільних невідомих х r +1 = З 1, ..., х n = З n-rмає єдине рішення х 1 (З 1, ..., З n-r), ..., х r (З 1, ..., З n-r),що знаходиться за правилом Крамера.

Відповідне рішенняукороченої, а отже, і вихідної системи має вигляд:

Х(З 1, ..., З n-r) = - загальне рішення системи.

Якщо у загальному рішенні вільним невідомим надати якісь числові значення, то отримаємо рішення лінійної системи, називане приватним .

приклад.

РішенняВстановити спільність та знайти загальне рішення системи . А = .

, З = Так як r(A)< 4).

= r(C) = 2 (переконайтеся у цьому самостійно), то вихідна система спільна і має безліч рішень (оскільки r

Однак на практиці широко поширені ще два випадки:
- Система несумісна (не має рішень);

– Система спільна і має безліч рішень. Примітка : термін «спільність» має на увазі, що система має хоч якесь рішення. У ряді завдань потрібно попередньо дослідити систему на спільність, як це зробити – див..

рангу матриць Для цих систем застосовують найбільш універсальний із усіх способів вирішення –метод Гауса . Насправді, до відповіді призведе і «шкільний» спосіб, але у вищій математиці прийнято використовувати гаусівський методпослідовного виключення невідомих. Ті, хто не знайомий з алгоритмом методу Гауса, будь ласка, спочатку вивчіть урок.

метод Гауса для чайниківСамі елементарні перетворення матриці – такі самі

, різниця буде наприкінці рішення. Спочатку розглянемо кілька прикладів, коли система немає рішень (несовместная).

Приклад 1 Що відразу впадає в око в цій системі? Кількість рівнянь – менше, ніж кількість змінних., то відразу можна сказати, що система або несумісна, або має безліч рішень. І це залишилося лише з'ясувати.

Початок рішення цілком звичайний - запишемо розширену матрицю системи і за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) На лівій верхній сходинці нам потрібно отримати +1 або –1. Таких чисел у першому стовпці немає, тож перестановка рядків нічого не дасть. Одиниці доведеться організувати самостійно, і зробити це можна кількома способами. Я вчинив так: До першого рядка додаємо третій рядок, помножений на -1.

(2) Тепер отримуємо два нулі у першому стовпці. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 5.

(3) Після виконаного перетворення завжди доцільно подивитися, а чи не можна спростити отримані рядки? Можна, можливо. Другий рядок ділимо на 2, заразом отримуючи необхідну -1 на другій сходинці. Третій рядок ділимо на -3.

(4) До третього рядка додаємо другий рядок.

Напевно, всі звернули увагу на поганий рядок, який вийшов у результаті елементарних перетворень: . Зрозуміло, що так не може бути. Дійсно, перепишемо отриману матрицю назад у систему лінійних рівнянь:

Якщо результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де – число, відмінне від нуля, система несумісна (немає рішень) .

Як записати закінчення завдання? Намалюємо білою крейдою: «в результаті елементарних перетворень отримано рядок виду , де» і дамо відповідь: система не має рішень (несумісна).

Якщо ж за умовою потрібно ДОСЛІДЖУВАТИ систему на спільність, тоді необхідно оформити рішення у більш солідному стилі із залученням поняття рангу матриці та теореми Кронекера-Капеллі.

Зверніть увагу, що тут немає жодного зворотного ходу алгоритму Гауса – рішень немає і знаходити нічого.

Приклад 2

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Це приклад для самостійного рішення. Повне рішеннята відповідь наприкінці уроку. Знову нагадую, що ваш хід рішення може відрізнятися від мого ходу рішення, алгоритм Гауса не має сильної «жорсткості».

Ще одна технічна особливістьрішення: елементарні перетворення можна припиняти одразу жяк тільки з'явився рядок виду, де. Розглянемо умовний приклад: припустимо, що після першого ж перетворення вийшла матриця . Матриця ще не приведена до ступінчастого вигляду, але в подальших елементарних перетвореннях немає жодної необхідності, тому що з'явився рядок виду , де . Слід одразу дати відповідь, що система несумісна.

Коли система лінійних рівнянь не має рішень – це майже подарунок, зважаючи на те, що виходить коротке рішення, іноді буквально на 2-3 дії.

Але все в цьому світі врівноважене, і завдання, в якому система має безліч рішень – якраз довше.

Приклад 3

Розв'язати систему лінійних рівнянь

Тут 4 рівнянь і 4 невідомих, таким чином, система може мати або єдине рішення, або не мати рішень, або мати безліч рішень. Як би там не було, але метод Гауса у будь-якому випадку приведе нас до відповіді. У цьому й універсальність.

Початок знову стандартний. Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

Ось і все, а ви боялися.

(1) Зверніть увагу, що всі числа в першому стовпці поділяються на 2, тому на лівій верхній сходинці нас влаштовує двійка. До другого рядка додаємо перший рядок, помножений на -4. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на -2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на -1.

Увага!У багатьох може виникнути спокуса з четвертого рядка віднятиперший рядок. Так робити можна, але не потрібно, досвід показує, що ймовірність помилки у обчисленнях збільшується у декілька разів. Тільки складаємо: До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на –1 – саме так!

(2) Останні три рядки пропорційні, два з них можна видалити.

Тут знову треба виявити підвищена увага, а чи справді рядки пропорційні? Для перестрахування (особливо, чайнику) не зайвим буде другий рядок помножити на -1, а четвертий рядок розділити на 2, отримавши в результаті три однакові рядки. І лише після цього видалити дві з них.

В результаті елементарних перетворень розширена матриця системи наведена до ступінчастого вигляду:

При оформленні завдання у зошиті бажано для наочності робити такі самі позначки олівцем.

Перепишемо відповідну систему рівнянь:

"Звичайним" єдиним рішенням системи тут і не пахне. Поганого рядка теж немає. Значить, це третій випадок, що залишився – система має нескінченно багато рішень. Іноді за умовою слід досліджувати спільність системи (тобто довести, що рішення взагалі існує), про це можна прочитати в останньому параграфі статті Як знайти ранг матриці?Але поки що розбираємо ази:

Безліч рішень системи коротко записують у вигляді так званого загального вирішення системи .

Загальне рішення системи знайдемо за допомогою зворотного ходу методу Гаусса.

Спочатку потрібно визначити, які змінні у нас є базисними, а які змінні вільними. Не обов'язково морочитися термінами лінійної алгебри, досить запам'ятати, що ось такі базисні змінніі вільні змінні.

Базисні змінні завжди сидять строго на сходах матриці..
У цьому прикладі базовими змінними є і

Вільні змінні – це все рештазмінні, яким не дісталося сходинки. У нашому випадку їх дві: вільні змінні.

Тепер потрібно Усе базисні зміннівисловити тільки через вільні змінні.

Зворотний хід алгоритму Гауса традиційно працює знизу нагору.
З другого рівняння системи виражаємо базисну змінну:

Тепер дивимося на перше рівняння: . Спочатку в нього підставляємо знайдений вираз:

Залишилося висловити базисну змінну через вільні змінні:

У результаті вийшло те, що потрібно – Усебазисні змінні (і) виражені тільки черезвільні змінні:

Власне, загальне рішення готове:

Як правильно записати загальне рішення?
Вільні змінні записуються у загальне рішення «самі собою» і суворо своїх місцях. У даному випадкувільні змінні слід записати на другій та четвертій позиції:
.

Отримані вирази для базисних змінних і, очевидно, потрібно записати на першій та третій позиції:

Надаючи вільним змінним довільні значення, можна знайти нескінченно багато приватних рішень. Найпопулярнішими значеннями є нулі, оскільки приватне рішення виходить найпростіше. Підставимо у загальне рішення:

- Приватне рішення.

Іншою солодкою парочкою є одиниці, підставимо у загальне рішення:

- Ще одне приватне рішення.

Легко помітити, що система рівнянь має нескінченно багато рішень(оскільки вільним змінним ми можемо надати будь-якізначення)

кожнеприватне рішення має задовольняти кожномурівняння системи. На цьому ґрунтується «швидка» перевірка правильності рішення. Візьміть, наприклад, часткове рішення і підставте його в ліву частину кожного рівняння вихідної системи:

Все має зійтися. І з будь-яким отриманим вами приватним рішенням – також все має зійтися.

Але, строго кажучи, перевірка приватного рішення іноді дурить, тобто. якесь приватне рішення може задовольняти кожному рівнянню системи, а загальне рішення насправді знайдено неправильно.

Тому ґрунтовніша і надійніша перевірка загального рішення. Як перевірити отримане загальне рішення ?

Це нескладно, але досить нудно. Потрібно взяти вирази базиснихзмінних, у разі і , і підставити їх у ліву частину кожного рівняння системи.

У ліву частину першого рівняння системи:

У ліву частину другого рівняння системи:


Отримано праву частину вихідного рівняння.

Приклад 4

Вирішити систему методом Гаусса. Знайти спільне рішення та два приватні. Здійснити перевірку загального рішення.

Це приклад самостійного рішення. Тут, до речі, знову кількість рівнянь менша, ніж кількість невідомих, а отже, відразу зрозуміло, що система буде або несумісною, або з безліччю рішень. Що важливо у самому процесі вирішення? Увага, і ще раз увага. Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

І ще пара прикладів для закріплення матеріалу

Приклад 5

Розв'язати систему лінійних рівнянь. Якщо система має нескінченно багато рішень, знайти два приватних рішення та зробити перевірку загального рішення

Рішення: Запишемо розширену матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) До другого рядка додаємо перший рядок. До третього рядка додаємо перший рядок, помножений на 2. До четвертого рядка додаємо перший рядок, помножений на 3.
(2) До третього рядка додаємо другий рядок, помножений на –5. До четвертого рядка додаємо другий рядок, помножений на -7.
(3) Третій і четвертий рядки однакові, один з них видаляємо.

Ось така краса:

Базисні змінні сидять на сходах, тому базисні змінні.
Вільна змінна, якій не дісталося сходинки тут лише одна:

Зворотній хід:
Висловимо базисні змінні через вільну змінну:
Із третього рівняння:

Розглянемо друге рівняння і підставимо в нього знайдений вираз:

Розглянемо перше рівняння і підставимо в нього знайдені вирази:

Так, все-таки зручний калькулятор, який вважає прості дроби.

Таким чином, загальне рішення:

Ще раз, як воно вийшло? Вільна змінна самотньо сидить на своєму законному четвертому місці. Отримані висловлювання для базисних змінних теж зайняли свої порядкові місця.

Відразу здійснимо перевірку загального рішення. Робота для негрів, але вона у мене вже виконана, тому ловіть =)

Підставляємо трьох богатирів , у ліву частину кожного рівняння системи:

Отримано відповідні праві частини рівнянь, отже, загальне рішення знайдено правильно.

Тепер із знайденого загального рішення отримаємо два приватні рішення. Шеф-кухарем тут виступає єдина вільна змінна. Ламати голову не треба.

Нехай тоді - Приватне рішення.
Нехай тоді - Ще одне приватне рішення.

Відповідь: Загальне рішення: , приватні рішення: , .

Даремно я тут про негрів згадав... ...бо в голову полізли всілякі садистські мотиви і згадалася відома фотожаба, на якій ляльки-кланці в білих балахонах біжать полем за чорношкірим футболістом. Сиджу, тихо посміхаюсь. Знаєте, як відволікає….

Багато математики шкідливе, тому схожий заключний приклад самостійного рішення.

Приклад 6

Знайти загальне рішення системи лінійних рівнянь.

Перевірку загального рішення в мене вже зроблено, відповіді можна довіряти. Ваш хід рішення може відрізнятись від мого ходу рішення, головне, щоб збіглися загальні рішення.

Напевно, багато хто помітив неприємний момент у рішеннях: дуже часто при зворотному ході методу Гаусса нам довелося поводитися з звичайними дробами. Насправді це справді так, випадки, коли дробів немає – зустрічаються значно рідше. Будьте готові морально і, найголовніше, технічно.

Зупинюся на деяких особливостях рішення, які не зустрілися у прикладах, які вирішують.

До загального рішення системи іноді може входити константа (або константи), наприклад: . Тут з базисних змінних дорівнює постійному числу: . У цьому немає нічого екзотичного, то буває. Очевидно, що в даному випадку будь-яке приватне рішення міститиме п'ятірку на першій позиції.

Рідко, але зустрічаються системи, у яких кількість рівнянь більша за кількість змінних. Метод Гауса працює в найсуворіших умовах, слід незворушно привести розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду за стандартним алгоритмом. Така система може бути несумісною, може мати безліч рішень, і, як не дивно, може мати єдине рішення.

У загальному випадкулінійне рівняння має вигляд:

Рівняння має рішення: якщо хоча б один із коефіцієнтів при невідомих відмінний від нуля. У цьому випадку будь-який мірний вектор називається рішенням рівняння, якщо при підстановці його координат рівняння звертається в тотожність.

Загальна характеристика дозволеної системи рівнянь

Приклад 20.1

Дати характеристику системі рівнянь.

Рішення:

1. Чи входить до складу суперечливе рівняння?(Якщо коефіцієнти, у цьому випадку рівняння має вигляд: і називається суперечливим.)

• Якщо система містить суперечливе, то така система є несумісною і не має рішення

2. Знайти усі дозволені змінні. (Невідома називаєтьсядозволеноюдля системи рівнянь, якщо вона входить в одне із рівнянь системи з коефіцієнтом +1, а в інші рівняння не входить (тобто входить з коефіцієнтом, рівним нулю).

3. Чи є система рівнянь дозволеною? (Система рівнянь називається дозволеною, якщо кожне рівняння системи містить дозволену невідому, серед яких немає збігаються)

Дозволені невідомі, взяті по одному з кожного рівняння системи, утворюють повний набір дозволених невідомихсистеми. (У нашому прикладі це )

Дозволені невідомі, що входять до повного набору, називають також базисними(), а не входять до набору вільними ().

У загальному випадку дозволена система рівнянь має вигляд:

На цьому етапі головне зрозуміти що таке дозволена невідома(Входить у базис і вільна).

Загальне Приватне Базове рішення

Загальним рішеннямдозволеної системи рівнянь називається сукупність виразів дозволених невідомих через вільні члени та вільні невідомі:

Приватним рішеннямназивається рішення, що виходять із загального при конкретних значеннях вільних змінних та невідомих.

Базовим рішеннямназивається приватне рішення, що виходить із загального при нульових значеннях вільних змінних.

• Базове рішення (вектор) називається виродженим, якщо число його координат, відмінних від нуля, менше числадозволених невідомих.
• Базове рішення називається невиродженим, Якщо кількість його координат, відмінних від нуля, дорівнює числу дозволених невідомих системи, що входять у повний набір.

Теорема (1)

Дозволена система рівнянь завжди спільна(Бо вона має хоча б одне рішення); причому якщо система не має вільних невідомих,(тобто в системі рівнянь всі дозволені входять до базису) то вона визначена(має єдине рішення); якщо є хоча б одна вільна змінна, то система не визначена(Має безліч рішень).

Приклад 1. Знайти загальне, базисне та якесь окреме рішення системи рівнянь:

Рішення:

1. Перевіряємо, чи є система дозволеною?

• Система є дозволеною (бо кожне з рівнянь містить у собі дозволену невідому)

2. Включаємо в набір дозволені невідомі по одному з кожного рівняння.

3. Записуємо загальне рішення в залежності від того, які дозволені невідомі ми включили в набір.

4. Знаходимо приватне рішення. Для цього прирівнюємо вільні змінні, які ми не включили до набору прирівняти до довільних чисел.

Відповідь: приватне рішення(Один з варіантів)

5. Знаходимо базисне рішення. Для цього прирівнюємо вільні змінні, які ми не включили до набору на нуль.

Елементарні перетворення лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь призводять до рівносильним дозволеним системам з допомогою елементарних перетворень.

Теорема (2)

Якщо якесь рівняння системи помножити на деяке відмінне від нуля числоа інші рівняння залишити без зміни, то . (тобто якщо помножити ліву і праву частину рівняння на те саме число то вийде рівняння, рівносильне даному)

Теорема (3)

Якщо до якогось рівняння системи додати іншеа всі інші рівняння залишити без зміни, то вийде система, рівносильна даній. (тобто якщо скласти два рівняння (складивши їх ліві та праві частини) то вийде рівняння рівносильне даним)

Слідство з Теорем (2 та 3)

Якщо до якогось рівняння додати інше, помножене на деяке числоа всі інші рівняння залишити без зміни, то вийде система, рівносильна даній.

Формули перерахунку коефіцієнтів системи

Якщо ми маємо систему рівнянь і хочемо перетворити їх у дозволену систему рівнянь у цьому нам допоможе метод Жордана-Гаусса.

Перетворення Жорданаз роздільною здатністю дозволяє отримати для системи рівнянь дозволену невідому в рівнянні з номером . (Приклад 2).

Перетворення Жордана складається з елементарних перетворень двох типів:

Допустимо ми хочемо зробити невідому в нижньому рівнянні дозволеною невідомою. Для цього ми повинні розділити на так, щоб сума.

Приклад 2 Перерахуємо коефіцієнти системи

При розподілі рівняння з номером на його коефіцієнти перераховуються за формулами:

Щоб виключити з рівняння з номером, потрібно збільшити рівняння з номером на і додати до цього рівняння.

Теорема (4) Про скорочення числа рівнянь системи.

Якщо система рівнянь містить тривіальне рівняння, його можна виключити із системи, у своїй вийде система рівносильна вихідної.

Теорема (5) Про несумісність системи рівнянь.

Якщо система рівнянь містить суперечливе рівняння, вона несовместна.

Алгоритм методу Жордана-Гаусса

Алгоритм розв'язання систем рівнянь методом Жордана-Гаусса складається з низки однотипних кроків, на кожному з яких виконуються дії в наступному порядку:

1. Перевіряється, чи не є система несумісною. Якщо система містить суперечливе рівняння, вона несовместна.
2. Перевіряється можливість скорочення числа рівнянь. Якщо система містить тривіальне рівняння, його викреслюють.
3. Якщо система рівнянь є дозволеною, записують загальне рішення системи і якщо необхідно — приватні рішення.
4. Якщо система не є дозволеною, то в рівнянні, що не містить дозволеної невідомої, вибирають роздільну здатність елемент і проводять перетворення Жордана з цим елементом.
5. Далі знову переходять до пункту 1

Приклад 3 Розв'язати систему рівнянь методом Жордана-Гаусса.

Знайти: два загальні та два відповідні базові рішення

Рішення:

Обчислення наведено в таблиці нижче:

Праворуч від таблиці зображені події над рівняннями. Стрілками показано до якого рівняння додається рівняння з роздільною здатністю елементом, помножене на відповідний множник.

У перших трьох рядках таблиці вміщені коефіцієнти при невідомих та правих частинах вихідної системи. Результати першого перетворення Жордана з роздільним елементом рівним одиниці наведені в рядках 4, 5, 6. Результати другого перетворення Жордана з роздільним елементом рівним (-1) наведені в рядках 7, 8, 9. Так як третє рівняння є тривіальним, то його можна не враховувати.

Метод Гаусса, званий також методом послідовного виключення невідомих, ось у чому. За допомогою елементарних перетворень систему лінійних рівнянь призводять до такого виду, щоб її матриця з коефіцієнтів виявилася трапецієподібної (те ж саме, що трикутної або ступінчастої) або близькою до трапецієподібної (прямий хід методу Гаусса, далі – просто прямий хід). Приклад такої системи та її рішення – на малюнку зверху.

У такій системі останнє рівняння містить лише одну змінну та її значення можна однозначно знайти. Потім значення цієї змінної підставлять у попереднє рівняння ( зворотний хід методу Гауса , Далі - просто зворотний хід), з якого знаходять попередню змінну, і так далі.

У трапецієподібній (трикутній) системі, як бачимо, третє рівняння вже не містить змінних yі x, а друге рівняння - змінною x .

Після того, як матриця системи набула трапецієподібної форми, вже не важко розібратися в питанні про спільність системи, визначити число рішень і знайти самі рішення.

Переваги методу:

1. при вирішенні систем лінійних рівнянь з числом рівнянь і невідомих більше трьох метод Гауса не такий громіздкий, як метод Крамера, оскільки при вирішенні методом Гауса необхідно менше обчислень;
2. методом Гауса можна вирішувати невизначені системи лінійних рівнянь, тобто мають спільне рішення (і ми розберемо їх на цьому уроці), а, використовуючи метод Крамера, можна лише констатувати, що система невизначена;
3. можна вирішувати системи лінійних рівнянь, у яких число невідомих не дорівнює кількості рівнянь (також розберемо їх на цьому уроці);
4. метод заснований на елементарних (шкільних) методах – методі підстановки невідомих та методі складання рівнянь, яких ми торкнулися у відповідній статті.

Щоб всі перейнялися простотою, з якою вирішуються трапецієподібні (трикутні, ступінчасті) системи лінійних рівнянь, наведемо рішення такої системи із застосуванням зворотного ходу. Швидке рішення цієї системи було показано на зображенні на початку уроку.

приклад 1.Розв'язати систему лінійних рівнянь, застосовуючи зворотний хід:

Рішення. У цій трапецієподібній системі змінна zоднозначно з третього рівняння. Підставляємо її значення у друге рівняння та отримуємо значення зміною y:

Тепер нам відомі значення вже двох змінних - zі y. Підставляємо їх у перше рівняння та отримуємо значення змінної x:

Із попередніх кроків виписуємо рішення системи рівнянь:

Щоб отримати таку трапецієподібну систему лінійних рівнянь, яку ми вирішили дуже просто, потрібно застосовувати прямий хід, пов'язаний із елементарними перетвореннями системи лінійних рівнянь. Це також не дуже складно.

Елементарні перетворення системи лінійних рівнянь

Повторюючи шкільний метод алгебраїчного складання рівнянь системи, ми з'ясували, що одного з рівнянь системи можна додавати інше рівняння системи, причому кожне з рівнянь може бути помножено деякі числа. В результаті отримуємо систему лінійних рівнянь, еквівалентну даній. У ній вже одне рівняння містило лише одну змінну, підставляючи значення якої інші рівнянь, ми приходимо до рішення. Таке додавання - одне із видів елементарного перетворення системи. При використанні методу Гауса можемо користуватися кількома видами перетворень.

На анімації вище показано, як система рівнянь поступово перетворюється на трапецієподібну. Тобто таку, яку ви бачили на першій анімації і самі переконалися в тому, що з неї просто знайти значення всіх невідомих. Про те, як виконати таке перетворення і, звичайно, приклади, йтиметься далі.

При вирішенні систем лінійних рівнянь з будь-яким числом рівнянь та невідомих у системі рівнянь та у розширеній матриці системи можна, можливо:

1. переставляти місцями рядки (це і було згадано на початку цієї статті);
2. якщо внаслідок інших перетворень з'явилися рівні або пропорційні рядки, їх можна видалити, крім одного;
3. видаляти "нульові" рядки, де всі коефіцієнти дорівнюють нулю;
4. будь-який рядок множити чи ділити на деяке число;
5. до будь-якого рядка додавати інший рядок, помножений на деяке число.

В результаті перетворень отримуємо систему лінійних рівнянь, еквівалентну даній.

Алгоритм та приклади вирішення методом Гауса системи лінійних рівнянь із квадратною матрицею системи

Розглянемо спочатку рішення систем лінійних рівнянь, у яких число невідомих дорівнює кількості рівнянь. Матриця такої системи - квадратна, тобто в ній число рядків дорівнює числу стовпців.

приклад 2.Розв'язати методом Гауса систему лінійних рівнянь

Вирішуючи системи лінійних рівнянь шкільними методами, ми почленно множили одне з рівнянь на деяке число, те щоб коефіцієнти за першої змінної у двох рівняннях були протилежними числами. При додаванні рівнянь відбувається виключення цієї змінної. Аналогічно діє метод Гауса.

Для спрощення зовнішнього виглядурішення складемо розширену матрицю системи:

У цій матриці зліва до вертикальної межі розташовані коефіцієнти при невідомих, а праворуч після вертикальної межі - вільні члени.

Для зручності розподілу коефіцієнтів при змінних (щоб отримати розподіл на одиницю) переставимо місцями перший і другий рядки матриці системи. Отримаємо систему, еквівалентну даній, оскільки в системі лінійних рівнянь можна переставляти місцями рівняння:

За допомогою нового першого рівняння виключимо змінну xз другого та всіх наступних рівнянь. Для цього до другого рядка матриці додамо перший рядок, помножений на (у нашому випадку на ), до третього рядка – перший рядок, помножений на (у нашому випадку на ).

Це можливо, оскільки

Якби в нашій системі рівнянь було більше трьох, то слід додавати і до всіх наступних рівнянь перший рядок, помножений на відношення відповідних коефіцієнтів, взятих зі знаком мінус.

В результаті отримаємо матрицю еквівалентну даній системі нової системирівнянь, у яких усі рівняння, починаючи з другого не містять змінну x :

Для спрощення другого рядка отриманої системи помножимо її на та отримаємо знову матрицю системи рівнянь, еквівалентної даній системі:

Тепер, зберігаючи перше рівняння отриманої системи без змін, за допомогою другого рівняння виключаємо змінну y із усіх наступних рівнянь. Для цього до третього рядка матриці системи додамо другий рядок, помножений на (у нашому випадку на ).

Якби в нашій системі рівнянь було більше трьох, то слід додавати і до всіх наступних рівнянь другий рядок, помножений на відношення відповідних коефіцієнтів, взятих зі знаком мінус.

В результаті знову отримаємо матрицю системи, еквівалентної даній системі лінійних рівнянь:

Ми отримали еквівалентну дану трапецієподібну систему лінійних рівнянь:

Якщо кількість рівнянь і змінних більше, ніж у прикладі, процес послідовного виключення змінних триває до того часу, поки матриця системи стане трапецієподібної, як і нашому демо-примере.

Рішення знайдемо "з кінця" - зворотний хід. Для цього з останнього рівняння визначимо z:
.
Підставивши це значення у попереднє рівняння, знайдемо y:

З першого рівняння знайдемо x:

Відповідь: розв'язання даної системи рівнянь - .

: у цьому випадку буде видана та сама відповідь, якщо система має однозначне рішення. Якщо ж система має безліч рішень, то такою буде і відповідь, і це вже предмет п'ятої частини цього уроку.

Вирішити систему лінійних рівнянь методом Гауса самостійно, а потім переглянути рішення

Перед нами знову приклад спільної та певної системи лінійних рівнянь, в якій число рівнянь дорівнює числу невідомих. Відмінність від нашого демо-прикладу з алгоритму - тут уже чотири рівняння та чотири невідомі.

приклад 4.Розв'язати систему лінійних рівнянь методом Гауса:

Тепер потрібно за допомогою другого рівняння виключити змінну з наступних рівнянь. Проведемо підготовчі роботи. Щоб було зручніше з відношенням коефіцієнтів, потрібно отримати одиницю у другому стовпці другого рядка. Для цього з другого рядка віднімемо третій, а отриманий в результаті другий рядок помножимо на -1.

Проведемо тепер власне виняток змінної з третього та четвертого рівнянь. Для цього до третього рядка додамо другий, помножений на , а до четвертого - другий, помножений на .

Тепер за допомогою третього рівняння виключимо змінну із четвертого рівняння. Для цього до четвертого рядка додамо третій, помножений на . Отримуємо розширену матрицю трапецієподібної форми.

Отримали систему рівнянь, якою еквівалентна дана система:

Отже, отримана та дана системи є спільними та певними. Остаточне рішеннязнаходимо «з кінця». З четвертого рівняння безпосередньо можемо виразити значення змінної "ікс четверте":

Це значення підставляємо у третє рівняння системи та отримуємо

,

,

Зрештою, підстановка значень

У перше рівняння дає

,

звідки знаходимо "ікс перше":

Відповідь: дана система рівнянь має єдине рішення .

Перевірити рішення системи можна і на калькуляторі, що вирішує методом Крамера: у цьому випадку буде видана та сама відповідь, якщо система має однозначне рішення.

Рішення методом Гауса прикладних задач на прикладі задачі на сплави

Системи лінійних рівнянь використовуються для моделювання реальних об'єктів фізичного світу. Вирішимо одне з таких завдань – на сплави. Аналогічні завдання - завдання на суміші, вартість або питома вагаокремих товарів у групі товарів тощо.

Приклад 5.Три шматки сплаву мають загальну масу 150 кг. Перший сплав містить 60% міді, другий – 30%, третій – 10%. При цьому у другому та третьому сплавах разом узятих міді на 28,4 кг менше, ніж у першому сплаві, а у третьому сплаві міді на 6,2 кг менше, ніж у другому. Знайти масу кожного шматка металу.

Рішення. Складаємо систему лінійних рівнянь:

Помножуємо друге та третє рівняння на 10, отримуємо еквівалентну систему лінійних рівнянь:

Складаємо розширену матрицю системи:

Увага, прямий перебіг. Шляхом додавання (у нашому випадку - віднімання) одного рядка, помноженого на число (застосовуємо двічі) з розширеною матрицею системи відбуваються наступні перетворення:

Прямий хід завершився. Отримали розширену матрицю трапецієподібної форми.

Застосовуємо зворотний перебіг. Знаходимо рішення з кінця. Бачимо, що .

З другого рівняння знаходимо

Із третього рівняння -

Перевірити рішення системи можна і на калькуляторі, що вирішує методом Крамера: в цьому випадку буде видана відповідь, якщо система має однозначне рішення.

Про простоту методу Гауса говорить хоча б той факт, що німецькому математику Карлу Фрідріху Гауссу на його винахід знадобилося лише 15 хвилин. Крім методу його імені з творчості Гауса відомо вислів "Не слід змішувати те, що нам здається неймовірним і неприродним, з абсолютно неможливим" - свого роду коротка інструкціящодо здійснення відкриттів.

У багатьох прикладних завданнях може й не бути третього обмеження, тобто третього рівняння, тоді доводиться вирішувати методом Гауса систему двох рівнянь із трьома невідомими, або ж, навпаки, невідомих менше, ніж рівнянь. Вирішення таких систем рівнянь ми зараз і приступимо.

За допомогою методу Гауса можна встановити, спільна чи несумісна будь-яка система nлінійних рівнянь з nзмінними.

Метод Гауса і системи лінійних рівнянь, що мають безліч рішень

Наступний приклад - спільна, але невизначена система лінійних рівнянь, тобто має безліч рішень.

Після виконання перетворень у розширеній матриці системи (перестановки рядків, множення та поділу рядків на деяке число, додатку до одного рядка інший) могли з'явитися рядки виду

Якщо у всіх рівняннях мають вигляд

Вільні члени рівні нулю, це означає, що система невизначена, тобто має безліч рішень, а рівняння цього виду – «зайві» та їх виключаємо з системи.

Приклад 6.

Рішення. Складемо розширену матрицю системи. Потім за допомогою першого рівняння виключимо змінну наступних рівнянь. Для цього до другого, третього та четвертого рядків додамо перший, помножений відповідно на :

Тепер другий рядок додамо до третього та четвертого.

В результаті приходимо до системи

Останні два рівняння перетворилися на рівняння виду. Ці рівняння задовольняються за будь-яких значень невідомих і їх можна відкинути.

Щоб задовольнити друге рівняння, ми можемо і вибрати довільні значення , тоді значення для визначиться вже однозначно: . З першого рівняння значення також знаходиться однозначно: .

Як задана, і остання системи спільні, але невизначені, і формули

за довільних і дають нам всі рішення заданої системи.

Метод Гауса та системи лінійних рівнянь, які не мають рішень

Наступний приклад - несумісна система лінійних рівнянь, тобто така, що не має рішень. Відповідь такі завдання так і формулюється: система немає рішень.

Як уже говорилося у зв'язку з першим прикладом, після виконання перетворень у розширеній матриці системи могли з'явитися рядки виду

відповідні рівняння виду

Якщо серед них є хоча б одне рівняння з відмінним від нуля вільним членом (тобто ), то дана система рівнянь є несумісною, тобто немає рішень і на цьому її рішення закінчено.

Приклад 7.Розв'язати методом Гауса систему лінійних рівнянь:

Рішення. Складаємо розширену матрицю системи. За допомогою першого рівняння виключаємо з наступних рівнянь змінну. Для цього до другого рядка додаємо перший, помножений на , до третього рядка - перший, помножений на , до четвертого - перший, помножений на .

Тепер потрібно за допомогою другого рівняння виключити змінну з наступних рівнянь. Щоб отримати цілі відносини коефіцієнтів, поміняємо місцями другий і третій рядки розширеної матриці системи.

Для виключення з третього і четвертого рівняння до третього рядка додамо другий, помножений на , а до четвертого - другий, помножений на .

Тепер за допомогою третього рівняння виключимо змінну із четвертого рівняння. Для цього до четвертого рядка додамо третій, помножений на .

Задана система еквівалентна таким чином наступній:

Отримана система несумісна, оскільки її останнє рівняння може бути задоволене ніякими значеннями невідомих. Отже, ця система не має рішень.